An¶alisis y Control de un Efector Reproduciendo un ...
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Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico
Departamento de Ingenierıa Electronica
TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS
“Analisis y Control de un Efector Reproduciendoun Movimiento Circular de una Mano”
presentada por
LEONEL ALONSO JUAN
Ing. en Electronica por el I. T. de Minatitlan
como requisito para la obtencion del grado de:
Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica
Director de Tesis:
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar
Cuernavaca, Morelos, Mexico. 18 de Diciembre de 2006
Centro Nacional de Investigacion y Desarrollo Tecnologico
Departamento de Ingenierıa Electronica
TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS
“Analisis y Control de un Efector Reproduciendoun Movimiento Circular de una Mano”
presentada por
LEONEL ALONSO JUAN
Ing. en Electronica por el I. T. de Minatitlan
como requisito para la obtencion del grado de:
Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electronica
Director de Tesis:
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar
Jurado:
Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramırez - Presidente
Dr. Alejandro Rodrıguez Palacios - Secretario
M.C. Jose Luıs Gonzalez Rubio Sandoval- Vocal
Dr. Marco Antonio Oliver Salazar - Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, Mexico. 18 de Diciembre de 2006
A mis padres.
A mi hermano.
A mis abuelos.
Ne Xquidxe (En honor a mi pueblo).
Agradecimientos
Agradezco a mis padres Leonel Alonso y Porfıria Juan de Alonso la confianza de-
positada en mi, el esfuerzo y la dedicacion con la que me han criado, el amor y la
comprension que siempre los ha caracterizado y por haberme dado la vida y la oportu-
nidad de estar hoy escribiendo estas lıneas.
Agradezco a todos los profesores que con sus ensenanzas y dedicacion hicieron posi-
ble mi titulacion, Carlos Astorga, Luis Gerardo Vela, Gerardo Ramırez, Hugo Calle-
ja, Enrique Quintero, Carlos Daniel, Alejandro Rodrıguez, Vıctor Manuel Alvarado,
Jose Luis Gonzalez y a mi asesor Marco Antonio Oliver.
A mis amigos por permitirme compartirles parte de mi vida y estar conmigo en
los buenos y malos momentos, Guillermo, Paloma, Fer y Gracia y a todos aquellos
con los que convivı en Cuernavaca y forje momentos inolvidables, Peque, Backstreet,
Cesar, Chaca, Ovando, Pachis, Matis, Educado, Rose, Pitta, Frankie, Edson, Sorcia,
Gerry, Princes, Chocotorro, Paco, Mojo, Madrid, Jo, Josefa, Cornelio y a los que no
mencione tambien agradezco.
A mi hermano de sangre Abi y a mis hermanos de vida, Juanpa, Tabo, Iglesias,
Josue, Gerardo Azael, Gerardo Martınez y a todos aquellos que han sido parte de mi
vida, mis companeros de estudio, a todos agradezco el haberme soportado esos anos de
convivencia, a los que ya no frecuento y a los que sı, muchas gracias, siempre los llevo
en mi mente y alma.
Tıo Juan un agradecimiento especial para usted, por ese apoyo y por ese carino que
siempre ha sido incondicional, lo quiero mucho, gracias. Tıo Nacho, tıa Cata, Reynita,
Nachito, Miguel gracias siempre los recuerdo.
Ageadezco a CONACYT y DEGEST por el apoyo economico brindado, pues sin
el no hubiera enfocado mi tiempo completo a la maestrıa y no serıa posible hoy mi
titulacion.
i
Resumen
En este documento de tesis se detalla el procedimiento de obtencion de los modelos
cinematico y dinamico de una mano robotica antropomorfica de cuatro dedos y cua-
tro grados de libertad cada uno. Los dedos de la mano se encuentran completamente
actuados y el medio de transmision del movimiento es a traves de bandas empleando
motores de cd como actuadores.
El modelo cinematico se obtiene con el llamado Formalismo modificado Denavit-
Hartenberg (presentado por [Craig 1989]). El modelo dinamico se encontro aplicando
la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange considerando que no existen fuerzas de
friccion ni perturbaciones.
Ademas, se muestra un breve analisis general de la estabilidad en el sentido de
Lyapunov de robots representados por M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ .
Se muestra tambien la sintonizacion de dos controladores de movimiento para los de-
dos del efector (uno de par calculado y otro basado en pasividad). Se disenan movimien-
tos para cada uno de los dedos de manera tal que esten contenidos dentro del espacio
de trabajo de cada dedo, evitando de esta manera que se le demande a los actuadores
un par mayor al que pueden proporcionar.
El objetivo de este trabajo es demostrar que la ley de control basada en pasividad
tiene un mejor comportamiento en el sentido de la cantidad de error articular de los
eslabones de cada dedo que el control de par calculado.
El control basado en pasividad logra el objetivo de control mediante el moldeo de la
energıa natural del sistema, adicionando posteriormente un amortiguamiento deseado.
Para ambos controladores se requiere de la medicion de las posiciones y velocidades
articulares de los dedos. En principio se considerara a cada dedo de la mano robotica
como un manipulador planar independiente y completamente actuado facilitando ası los
procedimientos de modelado y analisis.
iii
Abstract
In this thesis document a detailed procedure to obtain the anthropomorphic robotics
hand dynamics and kinematic models with four fingers and four degree of freedom each
one is presented. The fingers are completely actuated and the transmission of movement
is by bands using CD motors as actuators.
A kinematic model with the so-called Denavit-Hartenberg modified formalism intro-
duced by [Craig 1989] is obtained. The dynamic model was found applying the Euler-
Lagrange movement equation neglecting friction forces and disturbances.
Furthermore, a brief general analysis about stability in the sense of Lyapunov for
robots represented by M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ is shown.
Also, the tuning of two movement controllers for the fingers is presented, one of
computed torque and the other passivity based is shown. the movement of each finger
is constrained in the proper work space, avoiding this way is demanded to the actuators
a bigger torque that their can provide is designed.
The aim of this work is to demonstrate that the passivity based control law has a
better behavior in the sense of the links joint-error quantity that the computed torque
control.
Passivity based control achieves the control aim by shaping the system natural ener-
gy and adding later on a desired damping. Both controllers requiere the joint velocities
and position vectors. First it will be considered each one robotic fingers as a planar
standalone manipulator and completely actuated, facilitating in this way the modelling
and analysis procedures.
v
Indice general
Agradecimientos I
Resumen III
Abstract V
Lista de tablas XI
Lista de figuras XIV
Notacion XV
1. Introduccion 1
1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Cinematica de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Problematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Aportacion y limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Mecanica del efector 17
2.1. Cinematica del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Cinematica directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Cinematica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Dinamica del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1. Ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Expresiones para K y U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3. Modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Aspectos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
vii
viii INDICE GENERAL
3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores 41
3.1. Estabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2. Funciones definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3. Teorema de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Analisis de estabilidad del efector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Controladores de movimiento para el efector . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1. Control de par calculado (CPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2. Control basado en pasividad (CBP) . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Aspectos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Resultados 57
4.1. Espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par calculado (PDPC) . . . . . 60
4.3. Implementacion en Matlabr del control basado en pasividad (CBP) . . 63
4.4. Comparacion del desempeno de los controladores . . . . . . . . . . . . 65
4.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6. Aspectos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. Conclusiones y trabajos futuros 69
5.1. Comentarios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bibliografıa 75
A. Fundamentos matematicos 79
A.1. Descripcion: posicion y orientacion en el
plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio . . . . . . . . . . . . . 80
A.2.1. Descripcion de una orientacion en el espacio . . . . . . . . . . . 82
A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados . . . . 86
A.3.1. Representacion: traslacion pura de SC´s con respecto a una re-
ferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.3.2. Representacion: rotacion de SC´s respecto a una referencia . . . 89
A.3.3. Representacion: composicion de rotaciones . . . . . . . . . . . . 91
A.3.4. Representacion: Combinacion de transformaciones . . . . . . . . 93
A.4. Transformaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.5. Inversa de una transformacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . 97
INDICE GENERAL ix
B. Propiedades del modelo dinamico 99
B.1. Linealidad en los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.2. Matriz de inercia M(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.3. Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.4. Vector de gravedad G(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
C. Especificaciones mecanicas del efector 105
D. Extension de los modelos del efector 107
D.1. Modelo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.2. Modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
D.3. Discusion acerca de q′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Indice de tablas
2.1. Parametros D-H de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Restricciones de movimiento para las articulaciones de los dedos del efector. 29
4.1. Parametros de simulacion del PDPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Parametros de simulacion del CBP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Medidas de error de los dedos del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
C.1. Longitudes de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . 105
C.2. Distancias de centros de masa de los eslabones de cada dedo del efector. 105
C.3. Masa de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . . . . . . . . . 106
C.4. Momentos de inercia de los eslabones de cada dedo del efector. . . . . . 106
xi
Indice de figuras
1.1. Mano robotica de cenidet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Mano robotica de cenidet (Movimientos de abduccion/aduccion). . . . . 4
1.3. Sistemas coordenados a) articulares y b) angulos de un dedo de la mano
robotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Robot manipulador de 2 gdl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Problema cinematico inverso. a) Solucion multiple, b) codo abajo. . . . 10
1.6. Solucion para θ1 en funcion de θ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Manipulador de 2 gdl en configuracion singular. . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Codo arriba, codo abajo y singularidad de un robot de 2 gdl. . . . . . . 13
2.1. Representacion de los parametros de longitud y torsion de un eslabon. . 20
2.2. Representacion del parametro de desplazamiento y el angulo articular de
un eslabon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Asignacion de sistemas coordenados a los eslabones de un manipulador. 23
2.4. Representacion esquematica de un dedo del efector. a) Asignacion de SC
y, b) variables articulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. Solucion a la cinematica inversa para un dedo del efector. . . . . . . . . 28
2.6. Determinacion del modelo dinamico de un dedo del efector. . . . . . . . 35
3.1. Punto de equilibrio estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Punto de equilibrio asintoticamente estable. . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1. Espacios de trabajo de los dedos de la mano robotica y descripcion del
movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2. Trayectorias articulares para describir un movimiento circular de los de-
dos del efector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3. Esquema de simulacion del control PD de par calculado. . . . . . . . . 62
4.4. Resultados de simulacion del control PD de par calculado. . . . . . . . 62
4.5. Esquema de simulacion del CBP para los dedos Pulgar y Medio. . . . . 64
4.6. Resultados de simulacion del control basado en pasividad. . . . . . . . 64
A.1. Representacion de un punto en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
xiii
xiv INDICE DE FIGURAS
A.2. Representacion de un punto en el espacio. a) en forma de coordenadas,
b) en forma de vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.3. Representacion de un cuerpo rıgido en el espacio. . . . . . . . . . . . . 83
A.4. Representacion de la orientacion de un SC respecto a una referencia. . 83
A.5. Obtencion de la matriz de rotacion en forma directa. . . . . . . . . . . 85
A.6. Rotacion de un sistema coordenado con origen coincidente a la referencia. 86
A.7. Representacion de una traslacion pura en el espacio. . . . . . . . . . . . 87
A.8. Traslacion de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.9. Ejemplo de traslacion de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . 88
A.10.Rotacion pura de un sistema coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.11.Rotacion de un sistema coordenado onsa alrededor del eje z de la referencia. 90
A.12.Coordenadas de un punto relativas a la referencia y con respecto a un
sistema coordenado rotado θ grados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.13.Composicion de rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A.14.Composicion de rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.15.Representacion de un punto respecto a diferentes sistemas coordenados.
Representacion de una transformacion homogenea. . . . . . . . . . . . . 96
D.1. Sistemas coordenados para un dedo del efector considerando los movimien-
tos de aduccion/abduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
D.2. Representacion de los dedos del efector en el espacio. . . . . . . . . . . 109
D.3. Restricciones de diseno mecanico para los dedos del efector en los movimien-
tos de aduccion/abduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Notacion
Mecanica del efector
q Vector de posiciones generalizado.
q Vector de velocidades generalizado.
q Vector de aceleraciones generalizado.
τ Vector de entradas generalizado.
p Vector de momentos generalizado.
L(q, q) Lagrangiano del efector.
H(·, ·) Energıa total.
T (·, ·), K(·, ·) Energıa cinetica.
H Matriz de transformacion homogenea.
M(q) Matriz de inercias.
C(q, q) Matriz centrıfuga y de Coriolis.
G(q) Vector de gravedad.
τd Vector de perturbaciones.
f(q) Vector de fuerzas de friccion.
fv Vector de coeficientes de friccion viscosa.
fd Vector de coeficientes de friccion dinamica.
< Funcion de disipacion de Rayleigh.
e(t) Vector de errores articulares.
e(t) Primera derivada del vector de errores articulares.
e(t) Segunda derivada del vector de errores articulares.
qd Vector de posiciones articulares deseadas.
q Vector de velocidades articulares deseadas.
q Vector de aceleraciones articulares deseadas.
J Jacobiano.
e Media del error articular.
v Velocidad lineal.
w Velocidad angular.
xv
xvi NOTACION
Parametros Denavit-Hartenberg
ai−1 Longitud del eslabon (link length).
αi−1 Torsion del eslabon (link twist).
di Desplazamiento del eslabon (link offset).
θi Angulo articular.
Constantes del modelo
g Aceleracion de la gravedad 9,81m/s2.
li Longitud de los eslabones de los dedos del efector (m).
lciDistancias al centro de masa de los eslabones del efector (m).
mi Masa de los eslabones de los dedos del efector (kg).
Ii Momentos de inercia de los eslabones del efector (kg ·m2).
Lyapunov y sintonizacion
xe Punto de equilibrio.
R Conjunto de los numeros reales.
Rn Espacio real de dimension n.
R+ Conjunto de los numeros reales positivos.
V (·) Funcion candidata de Lyapunov.
Q Matriz simetrica y definida positiva.
LfV (·) Derivada de Lie.
∇ Gradiente.
Kp, Kv Matrices diagonales de sintonizacion.
NOTACION xvii
Abreviaturas
D-H Denavit-Hartenberg.
E-L Euler-Lagrange.
P Accion de control Proporcional.
PD Accion de control Proporcional-Derivativa.
PI Accion de control Proporcional-Integral.
PID Accion de control Proporcional-Integral-Derivativa.
gdl Grados de libertad.
CPC Control de par calculado.
CBP Control basado en pasividad.
ECM Error cuadratico medio.
PBC Passivity based control.
DBC Dissipativity based control.
PDPC PD Par calculado.
Fundamentos matematicos
SCi Sistema coordenado dextrogiro.
P Punto en el plano o en el espacio.~P Vector de posicion del punto P .
px Componentes del Vector P .
i, j, k Vectores unitarios del SC de referencia.
n, s, a Vectores unitarios de un SC rotado o trasladado.
R, Rot Matriz de rotacion.
Rotx,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje x.
Roty,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje y.
Rotz,θ Rotacion pura de θ grados alrededor del eje z.
Tras Matriz de traslacion.~d Vector de traslacion.
Hji
−1Inversa de una matriz de transformacion homogenea.
Capıtulo 1
Introduccion
La robotica es una ciencia muy completa que combina diversas areas de conocimien-
to (electronica, mecanica, sistemas computacionales, control automatico, entre otras),
haciendo uso de los avances recientes obtenidos en las areas de diseno mecanico asistido
por computadora, control electronico de robots y sensado. Con estos avances, el diseno
y construccion de robots se ha incrementado alcanzando niveles significativos en su
empleo para tareas o aplicaciones especıficas.
Tal es el caso de los robots antropomorficos empleados en medicina como asistentes
de operacion o los utilizados como protesis donde pretenden emular el comportamiento
de extremidades y/u organos perdidos.
En este documento de tesis se presenta el analisis y el control de una mano robotica
antropomorfica (o efector) de 4 dedos con 4 grados de libertad cada uno. Se propusieron
dos leyes de control, una lineal y una no lineal (basada en pasividad), para hacer acciones
de movimiento de los dedos de la mano robotica.
Para lograr controlar la mano robotica, se propuso considerar a cada dedo como un
manipulador independiente de los contiguos, facilitando de esta manera el analisis y
en consecuencia la sintonizacion de los controladores. A lo largo de este documento se
usara indistintamente mano robotica y efector para referirse al caso de estudio.
En el presente capıtulo se describen los antecedentes, la problematica y los objetivos
de este tema de tesis. En los capıtulos subsecuentes se detalla el proceso de obtencion
de los modelos cinematico y dinamico del efector, un breve analisis de estabilidad del
sistema, la sintonizacion y simulacion de los controladores propuestos ası como los
resultados obtenidos.
1.1. Antecedentes
Referente a modelado de robots se han realizado numerosos trabajos que dan un
panorama general de las tecnicas empleadas para dicho fin. La literatura muestra las
1
2 Capıtulo 1. Introduccion
tecnicas asociadas con la mecanica (cinematica y dinamica) de manipuladores prin-
cipalmente, por ser esta un campo de estudio muy amplio y con mucha informacion
enriquecedora[Berguis and Nijmeijer 1993].
Tradicionalmente el modelado cinematico de robots se basa en el empleo de transfor-
maciones entre sistemas de referencia, es decir, representacion de la posicion y orien-
tacion de las articulaciones en el plano o en el espacio, segun sea la configuracion del
robot. Los modelos que caracterizan el comportamiento dinamico de robots se obtienen
de forma analıtica, es decir, a partir de las leyes fısicas que aplicadas a los robots se
reflejan directamente en las leyes de la mecanica.
Las tecnicas de control empleadas para controlar robots pueden dividirse en dos
grandes grupos que son:
Tecnicas de control lineal y,
Tecnicas de control no-lineal.
Las tecnicas de control lineal reportadas en la literatura arrojan una nueva clasifi-
cacion de controladores, dichos controladores son denominados como controladores de
posicion y de movimiento, dentro de los mas significativos se encuentran,
Controladores de posicion
PD con compensacion de gravedad.
PD con compensacion pre-calculada de gravedad.
PID.
Controladores de movimiento
PD + (Equivalente al PD con compensacion de gravedad [Kelly y Santibanez 2003]).
PD de par calculado.
PID de par calculado.
De la misma manera, los controladores no-lineales enfocados a controlar robots ma-
nipuladores pueden clasificarse de la siguiente manera,
Controladores no-lineales
Basado en observador.
Basado en pasividad.
1.1. Antecedentes 3
Predictivo.
Modos deslizantes.
Difuso. Entre otros.
El control de sistemas en terminos de la energıa que pueden almacenar o disipar es
conocido como control basado en disipatividad (DBC) o control basado en pasividad
(PBC). Esta ultima tecnica explota las propiedades fısicas y la interconexion del sistema
con su medio ambiente.
El control basado en pasividad de sistemas no-lineales ha ganado popularidad rapi-
damente debido a sus grandes ventajas relacionadas con,
Simplicidad del controlador,
Robustez y
Las caracterısticas fısicas atractivas del enfoque.
Las principales aplicaciones de la metodologıa de diseno de controladores basados en
pasividad, son en las areas de Robotica, Maquinas Electricas y Electronica de Potencia.
Se presenta a continuacion una breve clasificacion de los sistemas de control basados
en pasividad,
Controladores basados en pasividad
Estandar.
Euler-Lagrange.
Adaptable.
Robusto (H∞).
En el caso del prototipo de mano robotica que se pretende analizar y controlar (ver
Figura 1.2), los dedos fueron considerados como manipuladores planares, independien-
tes, completamente actuados1 y sin efector final. Facilitandose de esta manera, la
obtencion de los modelos (cinematico y dinamico) del efector y la simulacion de con-
troladores.
Dentro del esquema de modelado cinematico de manipuladores, diferentes autores
coinciden en metodos generales basados en matrices de transformaciones que relacionan
sistemas de referencia articulares como son,
1 Si el numero de entradas de control es igual al numero de grados de libertad, se dice que el robotes completamente actuado [Ortega et. al. 1998].
4 Capıtulo 1. Introduccion
Figura 1.1: Mano robotica de cenidet.
Formalismo de Denavit-Hartenberg. Basado en la definicion de 4 magnitudes
asociadas a cada articulacion del manipulador, una de las cuales es la variable de
la articulacion y las 3 restantes son parametros fijos para cada robot articulado
(manipulador), [Craig 1989], [Spong y Vidyasar 1989], [Niku 2001], [Ollero 2001]
y,
Los angulos de Euler. Basado en rotaciones en torno a cada eje coordenado de
cada articulacion del manipulador, [Craig 1989].
Figura 1.2: Mano robotica de cenidet (Movimientos de abduccion/aduccion).
1.1. Antecedentes 5
En 1989 Craig presento una nueva manera de aplicar el formalismo de Denavit-
Hartenberg (de aquı en adelante D-H), conocido como Formalismo modificado de D-H
[Craig 1989]. La principal diferencia entre el formalismo tradicional y el modificado
radica en la asignacion de los sistemas coordenados involucrados en el modelado cine-
matico.
La Figura 1.3 muestra algunos de los sistemas coordenados de un dedo del efector
ası como, la asignacion de angulos articulares. Dicha informacion se utiliza en el capıtulo
2 para encontrar el modelo cinematico directo de cada uno de los dedos del efector.
2y2x
0y
0x
1y 1x
2l
1l
2θ
1θ
b)a)
3y3x
3θ
3l
Figura 1.3: Sistemas coordenados a) articulares y b) angulos de un dedo de la manorobotica.
Referente al modelo matematico que describe el comportamiento dinamico de un
robot manipulador, la literatura muestra dos enfoques generales,
Modelado empleando las leyes de Newton (Metodologıa tradicional) y,
Modelado por metodos variacionales empleando funciones de energıa.
Con ambos enfoques se puede obtener el modelo dinamico de manipuladores, sin
embargo, el metodo tradicional presenta un inconveniente y este es que, el analisis se
complica notoriamente cuando aumenta el numero de articulaciones del robot.
Entre los metodos variacionales reportados en la literatura para modelar el compor-
tamiento dinamico de manipuladores figuran dos enfoques,
Euler-Lagrange
Hamilton.
El modelo dinamico de la mano robotica se encontro empleando el formalismo de
Euler-Lagrange, que esta basado en la determinacion de una funcion (Lagrangiano) que
6 Capıtulo 1. Introduccion
involucra las energıas cineticas y potenciales de los eslabones del efector (las falanges
de cada dedo de la mano robotica).
La expresion (1.1), es la conocida ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange (de
aquı en adelante, ecuacion de E-L). La metodologıa empleada para encontrar el modelo
dinamico del efector se detalla en el Capıtulo 2.
d
dt
(∂
∂qL (q, q)
)− ∂
∂qL (q, q) = τ (1.1)
donde L(q, q) el Lagrangiano definido como L = K (q, q) − U(q), q ∈ Rn un vector de
n coordenadas generalizadas que representa el numero de grados de libertad del robot
y τ ∈ Rn un vector de n fuerzas de entrada generalizadas.
La energıa cinetica K, depende tanto de la posicion como de la velocidad articulares
y es la suma de las energıas cineticas de cada eslabon (falanges de cada dedo) del robot,
U es la suma de las energıas potenciales de cada eslabon del robot y solo depende de
la posicion articular [Spong y Vidyasar 1989].
Esta tecnica no es la unica reportada para modelado dinamico de robots manipu-
ladores. Existe un metodo alternativo basado de igual manera en la determinacion de
funciones de energıa para modelado de robots manipuladores. Y esta es el uso de las
ecuaciones de Hamilton. Aunque existe una relacion entre ambas tecnicas, la obtencion
de las ecuaciones dinamicas de manipuladores a traves de las ecuaciones de Hamilton
(al igual que en el formalismo de E-L), esta sustentada en la determinacion de una
funcion denominada Hamiltoniano, definida como la suma de las energıas cineticas y
las energıas potenciales de los eslabones del robot.
H (q, p) = T (q, p) + U(q) (1.2)
A continuacion se menciona la principal diferencia entre las dos tecnicas mencionadas,
La ecuacion de movimiento de E-L caracteriza la dinamica de manipuladores en
terminos de los estados[
q q]T
, posicion y velocidad articulares que tienen una
interpretacion fısica inmediata.
En las ecuaciones de Hamilton se emplean variables de estado[
q p]T
que
son, posicion articular y cantidad de movimiento generalizado(o momentum)y
no tienen interpretacion fısica directa [Clemente y Scherpen 2003].
Para uso en este caso de estudio, q sera un vector de n variables articulares, con-
stituido de los n angulos articulares θi y las velocidades articulares θi. Entonces τ que
tiene n componentes de fuerza en Newton-metro corresponde a los pares ejercidos por
los actuadores directamente a los angulos articulares.
1.2. Motivacion 7
El modelado dinamico de robots manipuladores se trata en [Kelly y Santibanez 2003],
donde se detalla la manera de utilizar la ecuacion de movimiento de E-L en diversas
configuraciones de manipuladores e incluso en el diseno de controladores P, PI, PID para
resolver los problemas de posicion y movimiento apoyandose en la teorıa de estabilidad
de Lyapunov.
En los sistemas descritos por ecuaciones E-L, la estabilidad del equilibrio esta determi-
nada por la funcion de energıa potencial. Ademas, estos equilibrios son asintoticamente
estables si el sistema tiene un amortiguamiento apropiado. Estas propiedades motivaron
el desarrollo de una metodologıa de diseno de controladores basados en pasividad cuyo
objetivo es modificar la energıa potencial del lazo cerrado del sistema (que es igual a la
diferencia entre la energıa del sistema y la energıa aplicada por el controlador) y la adi-
cion de la disipacion requerida. Para lograr el objetivo anterior, se requiere tıpicamente
de un vector generalizado de medicion de las velocidades [Ortega et. al. 1998].
El control basado en pasividad es una tecnica bien establecida que ha demostrado
ser muy poderosa en el diseno de controladores robustos para sistemas fısicos descritos
por las ecuaciones de movimiento de E-L [Ortega et. al. 1998].
1.2. Motivacion
Un manipulador robotico consiste en una secuencia de cuerpos rıgidos (cadena ci-
nematica) llamados enlaces o eslabones (links) que se conectan unos a otros mediante
articulaciones (joints). Cada articulacion puede ser rotacional o traslacional o una com-
binacion de ambas.
Bajo ciertas condiciones racionales, el numero de articulaciones en un manipulador
determina el numero de grados de libertad del manipulador. Los grados de libertad
son el numero de parametros independientes que fijan la situacion del organo terminal,
es decir, cada una de las coordenadas independientes necesarias para describir el es-
tado de un sistema mecanico. Normalmente en cadenas cinematicas abiertas cada par
enlace-articulacion tiene un grado de libertad, ya sea, rotacional o traslacional (pero no
necesariamente ası).
1.2.1. Cinematica de robots
El analisis mecanico de un robot puede hacerse bien atendiendo exclusivamente a sus
movimientos o bien a estos y tambien a las fuerzas que actuan sobre el.
Cuando se estudian exclusivamente los movimientos (posicion y velocidad de cada
articulacion o del punto terminal) se dice que se hace estudio cinematico.
La cinematica es la ciencia que se encarga del estudio del movimiento, sin conside–
8 Capıtulo 1. Introduccion
rar las fuerzas que lo ocasionan. En la ciencia de la cinematica se estudia la velocidad,
posicion y aceleracion y todas las derivadas de alto orden de las variables de posicion
con respecto al tiempo. De aquı que el estudio de la cinematica de manipuladores se
refiere a todas las propiedades geometricas y basadas en el tiempo del movimiento
[Niku 2001].
Un problema basico en el estado de la manipulacion mecanica es la cinematica directa.
Este, es el problema geometrico de calcular la posicion y la orientacion del punto final
del manipulador.
Especıficamente, dado un conjunto de angulos articulares, el problema cinematico
directo calcula la posicion y orientacion del sistema coordenado de la herramienta o
eslabon final relativo al sistema coordenado base.
La cinematica directa consiste en llevar desde las coordenadas propias del mani-
pulador (angulo y longitudes de cada articulacion) hasta las coordenadas cartesianas
de posicion y orientacion el punto terminal del manipulador.
Cuando se desea hacer lo contrario, es decir, transportar las coordenadas cartesianas
referidas a algun sistema externo fijo a las coordenadas propias del robot, se estudia
la cinematica inversa, es decir, se obtienen los valores de los angulos articulares, que
son realmente los que se envıan al sistema de control del manipulador, a partir de la
posicion y orientacion deseada para el punto terminal.
La solucion a la cinematica inversa no es un problema trivial, debido a que las ecua-
ciones cinematicas son no-lineales, su solucion no siempre es facil de encontrar en forma
cerrada, es decir, que no tiene solucion unica o puede no existir. La existencia o no de
una solucion a la cinematica inversa, define el espacio de trabajo de un manipulador
dado.
Problema cinematico directo
Tıpicamente un manipulador es capaz de medir su posicion, usando sensores internos
que pueden ser codificadores (encoders), localizados en cada articulacion del mismo.
Esto permite conocer la posicion y orientacion en terminos de los angulos articulares
del robot (problema cinematico directo). El problema cinematico directo de la mano
robotica se tratara en el capıtulo 2.
Para la determinacion de la cinematica directa de manipuladores, es preciso establecer
un sistema coordenado fijo (tradicionalmente la base del robot) en el cual, todos los
objetos, incluyendo el manipulador son referenciados.
Ejemplo 1.1. Supongase que se tiene un manipulador planar con 2 grados de libertad
(gdl), y se desea encontrar la representacion de la posicion y orientacion de el ultimo
eslabon con respecto al sistema coordenado de referencia (Figura 1.4).
1.2. Motivacion 9
0y
0x
2y
2x
1y
1x1
l
2l
1θ
2θ
Figura 1.4: Robot manipulador de 2 gdl.
Para el primer eslabon
sen θ1 =yo1
l1, cos θ1 =
xo1
l1
yo1 = l1 · sen θ1; xo1 = l1 · cos θ1
donde xo1 y yo1, expresan la proyeccion del primer eslabon sobre el sistema coordenado
de referencia. Para el segundo eslabon la proyeccion es,
sen (θ1 + θ2) =y1 2
l2, cos (θ1 + θ2) =
x1 2
l2
y1 2 = l2 · sen (θ1 + θ2) ; x1 2 = l2 · cos (θ1 + θ2)
Sumando ambas proyecciones sobre el sistema coordenado de referencia, se obtiene la
representacion de la posicion del ultimo punto del segundo eslabon del robot, en funcion
de los angulos articulares.
xo = xo1 + x1 2 = l1 · cos θ1 + l2 · cos (θ1 + θ2)
yo = yo1 + y1 2 = l1 · sen θ1 + l2 · sen (θ1 + θ2)(1.3)
La expresion (1.3), representa la cinematica directa del manipulador de la Figura 1.4,
conforme el robot tenga mas grados de libertad, esta expresion se hace mas compleja
y para determinarla es necesario emplear metodos alternativos (como el formalismo de
D-H) para determinar la cinematica directa de dichos manipuladores.
Problema cinematico inverso
Dados los angulos θ1 y θ2 es posible determinar las coordenadas xo y yo del efector
final o ultimo eslabon. Sin embargo, para poder hacer control se requiere encontrar
expresiones para θ1 y θ2 en terminos de xo y yo (posicion deseada).2
2 La cinematica inversa no siempre tiene solucion, no es facil de encontrar o no es unica en general.
10 Capıtulo 1. Introduccion
o
y
x
Solución1
Solución 2
P
o1θ
2θθ
αγ
c2l
1l
ox
oy
Singularidad
a) b)
Figura 1.5: Problema cinematico inverso. a) Solucion multiple, b) codo abajo.
En la Figura 1.5a, se ilustra de manera sencilla la existencia de soluciones multiples
para el problema cinematico inverso de un manipulador de dos gdl. Las soluciones 1 y
2 son comunmente conocidas como codo arriba (elbow up) y codo abajo (elbow down),
respectivamente.
A continuacion se presenta una forma de calcular la solucion codo abajo (Figura 1.5a)
de un manipulador robotico de 2 grados de libertad. Las expresiones para los angulos
θ1 y θ2 en funcion de las coordenadas cartesianas xo y yo se puede realizar de manera
geometrica y con el uso de funciones trigonometricas.
De la Figura 1.5b, aplicando la ley de cosenos se obtiene c2 = l21 + l22−2 l1l2 cos θ, con
θ + θ2 = 180o y c2 = x2 + y2, entonces
x2 + y2 = l21 + l22 − 2 l1l2 cos (180o − θ2)
cos (180o − θ2) =x2 + y2 − l21 − l22
2 l1l2
Por tanto la solucion para θ2 es,
θ2 = tan−1 sen θ2
c2
(1.4)
donde,
cos θ2 =x2 + y2 − l21 − l22
2l1l2= c2
sen θ2 = ±√
1− c22 = s2
La expresion (1.4) permite encontrar la solucion tanto para la configuracion codo aba-
jo como para la codo arriba, eligiendo entre los signos ± respectivamente. La solucion
para θ1 puede calcularse de la manera siguiente:
1.2. Motivacion 11
o1
θ
2θ
θ
αγ
c2l
1l
2θ
θγ
c2l
1l
2x
2y
ox
oy
Figura 1.6: Solucion para θ1 en funcion de θ2.
Si se definen: θ1 + γ = α, y2 = l2 sen θ2 y x2 = l2 cos θ2, y de la Figura 1.6 se observa
que:
tan α =yo
xo
tan γ =y2
l1 + x2
Finalmente la solucion para γ que a su vez da la pauta para encontrar la solucion a
θ1 queda como,
γ = tan−1 l2 sen θ2
l1 + l2 cos θ2
Notese que θ1 depende de θ2, es decir, θ1 cambia dependiendo de la solucion elegida
para θ2.
θ1 = α− γ (1.5)
Problema de la velocidad cinematica
Para seguir un contorno a una velocidad constante o seguir una velocidad establecida
(o prescrita) se debe conocer la relacion entre la velocidad de la herramienta o efector
final y las velocidades de las articulaciones.
Lo anterior se logra diferenciando las ecuaciones de posicion como se muestra a con-
tinuacion,
xo = l1 cos θ1 + l2 cos (θ1 + θ2)
yo = l1 sen θ1 + l2 sen (θ1 + θ2)
xo = −l1 sen θ1 θ1 − l2 sen (θ1 + θ2)(θ1 + θ2
)
yo = l1 cos θ1 θ1 + l2 cos (θ1 + θ2)(θ1 + θ2
)
12 Capıtulo 1. Introduccion
Si se agrupa el resultado anterior en forma matricial se obtiene,
[xo
yo
]=
[ −l1 sen θ1 − l2 sen (θ1 + θ2) −l2 sen (θ1 + θ2)
l1 cos θ1 + l2 cos (θ1 + θ2) l2 cos (θ1 + θ2)
] [θ1
θ2
]
o, equivalentemente [xo
yo
]= J · θ
donde J se denomina el Jacobiano del manipulador.3
Es posible encontrar una expresion para calcular la velocidad del efector final en
funcion de las velocidades articulares. Para ello se hace uso de la inversa del jacobiano.
Expresado matematicamente,
θ = J−1 ·[
xo
yo
]
J−1 =1
l1 l2 sen θ2
[l2 cos (θ1 + θ2) l2 sen (θ1 + θ2)
−l1 cos θ1 − l2 cos (θ1 + θ2) −l1 sen θ1 − l2 sen (θ1 + θ2)
]
donde el determinante de J es det J = l1 l2 sen θ2.
Singularidad
Observese que cuando θ2 = 0, π, ..., nπ n = 1, 2, ..., el detJ = 0 tambien J−1 = 0. En
ese caso se dice que el manipulador esta en configuracion singular. Una configuracion
singular esta relacionada con la no unicidad de las soluciones al problema cinematico
inverso.
o
1θ
2l
1l
ox
oy
20θ =
Figura 1.7: Manipulador de 2 gdl en configuracion singular.
Nota: La cinematica inversa para la posicion dada tiene dos posibles soluciones el
manipulador no puede cambiar de una configuracion otra sin pasar por la singularidad.
3 El calculo de las velocidades articulares del efector o mano robotica es conceptualmente simpleya que la relacion de velocidad es lineal [Niku 2001].
1.3. Problematica 13
o
y
x
Solución1
Solución 2
P
Singularidad
Figura 1.8: Codo arriba, codo abajo y singularidad de un robot de 2 gdl.
1.3. Problematica
Con el diseno mecanico y construccion de esta mano robotica surgen necesidades di-
rigidas al control de dicho efector, se requiere entonces tener un modelo matematico que
pueda ser empleado para el sintonizacion de controladores que resuelvan los problemas
de control de movimientos (o de seguimiento de trayectorias) y/o el control de posicion
ası como el caso de control de sistemas sub-actuados.
Para lo anterior se han desarrollado tecnicas que ayudan tanto a modelar el robot
como a sintonizar un controlador para cualquiera de los problemas de control men-
cionados. En esencia, la mecanica de los robots y sus campos de estudio (Cinematica
y Dinamica), involucrados el modelado dinamico de sistemas no conservativos a traves
de funciones de energıa, el analisis de sistemas no-lineales y la sintonizacion de contro-
ladores no-lineales son las tecnicas mas usadas para este caso de estudio.
La cinematica aplicada al modelado de robots proporciona una expresion matema-
tica que contiene informacion de las posiciones de las articulaciones de los robots con
respecto a la posicion de la ultima articulacion. La dinamica genera un conjunto de n
ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales y no-autonomas, donde n son los grados
de libertad. El modelado dinamico de robots se realiza tradicionalmente de manera
analıtica, es decir, por medio de las leyes de la fısica. Desde el punto de vista de
sistemas dinamicos un robot de n gdl puede ser considerado como un sistema no-lineal
multivariable, teniendo n entradas y 2n variables de estado normalmente asociadas a
las n articulaciones y a las n velocidades articulares [Niku 2001].
Una de las tecnicas que mayor interes ha despertado en la comunidad de control de
sistemas roboticos por sus multiples aplicaciones y por su retorno al uso de la intuicion
fısica en la labor del ingeniero, es la pasividad. Y para su entendimiento es preciso
establecer el papel de la energıa en el control.
Si al analizar un sistema, se puede discernir que terminos mantienen estable al sis-
14 Capıtulo 1. Introduccion
tema, cuales lo desestabilizan, y cuales representan al flujo interno de energıa del sis-
tema, se arrojara la luz necesaria para el problema de la estabilizacion, abriendo paso
a las tareas subsiguientes de ajuste y refinamiento del comportamiento transitorio.
Entonces de todo lo anterior se concluye que es necesario encontrar un modelo
matematico de la mano robotica, que proporcione la informacion necesaria sobre la
dinamica y estabilidad del sistema completo, y las condiciones requeridas para la sin-
tonizacion del control del efector.
1.4. Justificacion
El tema de tesis desarrollado por [Cimadevilla y Herrera 2006] contemplo la etapa de
diseno mecanico y construccion de una mano robotica, analisis cinematico y dinamico
del prototipo, ademas de un control PID para manipular la posicion de los dedos de la
mano.
Sin embargo, el analisis cinematico tiene sus limitaciones pues solo considera la posi-
cion de los dedos sin importar las fuerzas necesarias para lograr el objetivo, esto es muy
empleado si se desea desarrollar un simulador de un robot o si solo preocupa conocer
la posicion del punto terminal del mismo. Sin embargo, cuando se desea involucrar las
fuerzas y pares aplicados a los actuadores del robot, el modelo cinematico no es sufi-
ciente y se requiere de un analisis dinamico que involucre dichas variables en el modelo
matematico.
Una vez encontrado el modelo matematico que involucra fuerzas y pares, es posible
estudiar las caracterısticas dinamicas del robot y se puede pensar entonces, en sin-
tonizar un controlador para resolver los problemas de posicion o movimiento del robot,
considerando ahora un control de velocidad.
Los modelos cinematicos y dinamicos de robots son modelos no-lineales, por tan-
to la metodologıa de sintonizacion de controladores elegida, debe aprovechar toda la
informacion proporcionada por el modelo.
1.5. Objetivos
1.5.1. Objetivo General
Modelar el sistema efector de algunos movimientos de la mano humana a partir de
la informacion que se desarrollo en [Cimadevilla y Herrera 2006]. Con este modelado,
estudiar las caracterısticas dinamicas del sistema y sintonizar controladores lineal y no-
lineal para controlar el movimiento de los dedos de la mano robotica, de manera que
1.6. Aportacion y limitaciones 15
los dedos del efector describan un movimiento circular.
1.5.2. Objetivos especıficos
1. Encontrar los modelos cinematico directo e inverso del efector.
2. Encontrar un modelo dinamico del efector basado en el modelado de sistemas no
conservativos a traves de funciones de energıa.
3. Estudiar las propiedades y estabilidad del modelo dinamico encontrado.
4. Estudiar el espacio de trabajo de la mano robotica y disenar el movimiento circular
deseado de los dedos.
5. Estudiar controladores lineal y no-lineal (basados en pasividad) usados en robotica
para regular el movimiento de los dedos del efector.
6. Elegido el controlador lineal y el no-lineal estudiar su procedimiento de sin-
tonizacion.
7. Evaluar en simulacion (Matlabr) el comportamiento de ambos controladores.
1.6. Aportacion y limitaciones
1. Un modelo dinamico basado en el formalismo de Euler-Lagrange, que pueda ser
empleado para simulacion y control por computadora del prototipo.
2. Modelado y control del efector especıficamente para los movimientos de flexion y
extension (movimiento en el plano).
3. Aportar un conocimiento completo de las caracterısticas dinamicas del efector.
4. Proporcionar informacion necesaria para trabajos futuros como el caso de control
de sistemas sub-actuados.
5. Dejar una ley de control basada en pasividad para el modelo dinamico de la mano
robotica.
6. Tema de tesis contemplado hasta la etapa de simulacion.
16 Capıtulo 1. Introduccion
1.7. Contenido
Este documento de tesis esta constituido por 5 capıtulos, organizados de la
siguiente manera,
En el Capıtulo uno, se exponen la problematica, los antecedentes, un breve resumen
del estado del arte, el objetivo general ası como los objetivos especıficos de la tesis,
ademas se muestra el modelado cinematico directo e inverso de un robot manipulador
de dos grados de libertad como ejemplo.
En el Capıtulo dos, se hace uso de los conceptos cinematica y dinamica para obtener
los modelos de la mano robotica, empleando parametros Denavith-Hartenberg para
obtener el modelo cinematico directo y la ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange
para la obtencion del modelo dinamico directo de la mano.
El Capıtulo tres, presenta un breve analisis de estabilidad en el sentido de Lyapunov
del efector. Se estudia el espacio de trabajo de los dedos de la mano robotica y se disenan
los movimientos deseados para cada dedo. Se muestra tambien de manera simple la
forma de encontrar las leyes de control de par calculado y basado en pasividad, para
resolver el problema de control de movimiento de los dedos del efector.
En el Capıtulo cuatro, se presentan los resultados de simulacion de los controladores
propuestos. Las simulaciones se realizaron con Simulink de Matlabr. Se presenta tam-
bien una comparacion cuantitativa de los errores articulares de los dedos de la mano
robotica.
El Capıtulo cinco contiene las conclusiones de este trabajo de tesis.
Tambien se encuentra al final del documento principal la bibliografıa y las referencias
empleadas para la redaccion de este trabajo de tesis.
Se anexan 4 apendices, en el Apendice A, se detalla la representacion de puntos y
cuerpos en el plano y en el espacio, ası como la introduccion de transformaciones entre
sistemas coordenados, culminando con la descripcion del concepto matriz de transfor-
macion homogenea, necesario para encontrar el modelo cinematico directo del efector.
En el Apendice B se presentan algunas de las propiedades mas relevantes de las
matrices que componen el modelo dinamico encontrado para el efector.
En el Apendice C, se muestran los valores de las constantes usadas en el mode-
lo dinamico del efector, ası como una figura que muestra los movimientos estudiados
(flexion y extension).
En el Apendice C, se realiza el analisis del modelo dinamico del efector incluyendo
los movimientos de aduccion/abduccion.
Capıtulo 2
Mecanica del efector
En el capıtulo anterior se presento un procedimiento para obtener los modelos cin-
ematico directo e inverso de un robot manipulador con 2 gdl. En el presente capıtulo se
extiende ese procedimiento para modelar la cinematica de un robot al cual se le agrega
un gdl, equivalente a cada dedo del efector. Se muestra tambien de manera detallada
el procedimiento de modelado dinamico de cada dedo de la mano robotica empleando
el metodo variacional de Euler-Lagrange (ecuacion 1.1).
El modelo cinematico directo de la mano robotica se obtuvo aplicando el formalismo
modificado D-H presentado por [Craig 1989]. Se muestran los parametros D-H de cada
dedo de la mano robotica, la matriz de transformacion homogenea que describe su
movimiento, ası como, un algoritmo de solucion a la cinematica inversa para cada dedo
de la mano robotica.
En general para modelar el prototipo de mano robotica se puede considerar a cada
dedo del efector como un manipulador planar independiente, completamente actuado
y sin efector final. Por lo que tomando en consideracion esta idea, y los resultados
obtenidos en [Cimadevilla y Herrera 2006], se encontraron los modelos cinematico y
dinamico de cada dedo de la mano robotica de manera independiente, facilitandose de
esta manera tanto el modelado como la simulacion de controladores.
2.1. Cinematica del efector
Para caracterizar mecanicamente el comportamiento de un robot, se hace uso de las
leyes mecanicas atendiendo exclusivamente a sus movimientos o a sus movimientos y
las fuerzas que lo originan. En el campo de aplicacion de los robots manipuladores se
debe entender que diversos objetos o herramientas se moveran en el espacio, parece
entonces natural desear representar la posicion y orientacion en el.
Para definir y manipular cantidades matematicas que representen posicion y orien-
tacion, se deben asignar sistemas coordenados y establecer convenciones para su rep-
resentacion como que existe un sistema coordenado fijo universo al cual se puede refe-
17
18 Capıtulo 2. Mecanica del efector
renciar cualquier cosa.1
Un robot como cualquier otro cuerpo, esta sometido a las leyes de la mecanica, las
cuales expresadas en alguna formulacion apropiada deberan aplicarsele para saber cual
es su movimiento o sus condiciones de reposo.
Existen dos objetivos ultimos generales, resultado de dicha aplicacion.
1. Conocer la posicion del punto terminal o de cualquier otro punto de un robot
respecto a un sistema de coordenadas fijo o de referencia (tradicionalmente “el
sistema del mundo”),
2. y conocer cual sera el movimiento del robot cuando los actuadores que lo controlan
apliquen determinadas fuerzas y momentos.
Considerando entonces a cada dedo de la mano robotica como un manipulador in-
dependiente, completamente actuado y sin efector final, el modelado y sintonizacion
del control se simplifica de manera significativa. Como informacion complementaria, el
lector puede consultar [Ali et. al. 1993] y [Ramasamy y Arshad 2001] que exponen una
propuesta de solucion similar a la considerada en este caso de estudio.
2.1.1. Cinematica directa
Como ya se habıa mencionado, el analisis mecanico de un robot puede hacerse bien
atendiendo exclusivamente a sus movimientos, o a sus movimientos y a las fuerzas que
actuan sobre el. Cuando se estudian exclusivamente los movimientos (posicion, veloci-
dad de cada articulacion o del efector final) se dice que se realiza estudio cinematico.
La cinematica es la ciencia del movimiento, es decir, trata el movimiento sin considerar
las causas que lo originan.
En el marco del estudio cinematico de manipuladores es posible, pasar desde las
coordenadas propias del robot, hasta las coordenadas cartesianas de posicion y orien-
tacion del ultimo eslabon o efector final. A lo anterior se le conoce como cinematica
directa.
El problema cinematico directo consiste en determinar la posicion y orientacion del
extremo final del robot, respecto a un sistema coordenado de referencia, conocidos los
angulos de las articulaciones y los parametros geometricos de los elementos del robot.
Para la mano robotica lo anterior significa, calcular la posicion y orientacion del ultimo
eslabon de los dedos del efector, relativas al sistema coordenado de la base en funcion
de las variables articulares.
1 Para mayor detalle en la representacion de objetos en el plano o en el espacio ver Apendice A
2.1. Cinematica del efector 19
En este trabajo de tesis se emplea el llamado formalismo modificado de Denavit-
Hartenberg para encontrar la cinematica directa de la mano robotica. Tanto el forma-
lismo tradicional como el modificado D-H, son empleados para la obtencion de modelos
cinematicos directos de manipuadores, sin embargo se eligio el modificado por su sen-
cillez conceptual. A continuacion se describe de manera breve este formalismo.2
Formalismo de Denavit-Hartenberg
El proceso consiste en fijar un sistema de coordenadas a cada enlace o eslabon, que
se movera con el, de acuerdo a un conjunto de normas fijas. A continuacion, identificar
ciertos parametros geometricos que lo relacionan con el sistema fijo al siguiente en-
lace, y usarlos para describir la matriz de transformacion homogenea entre cada par de
sistemas. Finalmente el producto de todas las matrices de transformacion generara la
matriz H (que representa el modelo cinematico directo de un dedo). El conjunto de
normas que establece como deben fijarse los sistemas coordenados se conoce como con-
vencion o formalismo D-H, y a los parametros geometricos que relacionan a los mismos,
parametros D-H.
Se comienza por establecer convenciones para la nomenclatura segun se vio en el
Anexo A. En cadenas cinematicas abiertas cada par eslabon-articulacion, es un grado
de libertad. Posteriormente se debe asignar un sistema coordenado (SC) denominado”
fijo o de referencia llamado de manera comun “sistema del mundo, y generalmente se
asigna a la base inmovil del manipulador.
Una vez hecho esto se asignan nombres a cada par eslabon-articulacion. Se numeran
empezando desde la base del manipulador empleando numeros desde 0 hasta n, donde
n representa el numero de grados de libertad del robot. El primer cuerpo movil es el
eslabon 1, y ası sucesivamente, hasta llegar al extremo libre del manipulador, llamado
eslabon n.
Los SC de los enlaces o eslabones se nombran por numero, de acuerdo al eslabon al
cual estan unidos. Es decir, el sistema coordenado i se une al eslabon i.
Como paso siguiente se deben obtener los parametros D-H del manipulador. Los
parametros D-H son cuatro magnitudes asociadas a cada articulacion, una de las cuales
es la variable de articulacion y las 3 restantes son parametros fijos de cada robot.
Y por ultimo encontrar una matriz de transformacion homogenea que contenga la
informacion de la posicion y orientacion del ultimo eslabon de cada dedo del efector
referido al sistema coordenado de la base del mismo.
Descripcion de los parametros D-H
2 La descripcion de la convencion D-H se resumio de [Craig 1989].
20 Capıtulo 2. Mecanica del efector
Los ejes articulares se definen mediante lıneas en el espacio, el eje articular i se define
por una lınea en el espacio o la direccion de un vector, sobre el cual el eslabon i gira con
respecto al eslabon i− 1. Resulta entonces que para propositos cinematicos, un eslabon
puede especificarse con dos numeros, los cuales definen la ubicacion relativa de los dos
ejes en el espacio.
Para cualesquiera dos ejes en el espacio tridimensional existe una medida bien definida
de distancia entre ellos. Esta distancia se mide a lo largo de una lınea que es mutuamente
perpendicular a ambos ejes. Esta lınea mutuamente perpendicular siempre existe y
es unica excepto cuando ambos ejes son paralelos, en cuyo caso hay muchas lıneas
mutuamente perpendiculares de igual longitud. La Figura 2.1 muestra el eslabon i−1 y
la lınea mutuamente perpendicular a lo largo de la cual se mide la longitud del eslabon
(link length) ai−1.
1ia −
1iα −
1i −
1i − i
Eje
Eslabón Eje
Figura 2.1: Representacion de los parametros de longitud y torsion de un eslabon.
El segundo parametro necesario para definir la ubicacion relativa de los dos ejes se
llama torsion del eslabon (link twist). Si se imagina un plano cuya normal sea la lınea
mutuamente perpendicular que se acaba de construir, se pueden proyectar los ejes i−1
e i sobre este plano y medir el angulo entre ellos. Este angulo se mide desde el eje i− 1
hasta el eje i en sentido de la mano derecha, sobre ai−1. Se usara como definicion de
torsion del eslabon i− 1, αi−1.
En la Figura 2.1, αi−1 indica el angulo entre los ejes i − 1 e i (las lıneas con tres
marcas de referencia son paralelas). En el caso de ejes perpendiculares, la torsion se
mide en el plano que contiene ambos ejes, pero se pierde el sentido de αi−1. En este
2.1. Cinematica del efector 21
caso especial, se es libre de asignar el signo de αi−1 arbitrariamente.
Interconexion de eslabones
Los eslabones adyacentes tienen un eje de articulacion comun entre ellos. Uno de los
parametros de interconexion tiene que ver con la distancia a lo largo de este eje comun
(de un eslabon al siguiente). Este parametro se llama desplazamiento del eslabon (link
offset). El desplazamiento de un eje de articulacion i se representa como di. El segundo
parametro describe la cantidad de rotacion alrededor de dos ejes comunes , es decir,
entre un eslabon y su eslabon adyacente. Este parametro se llama angulo de articulacion
o angulo articular y se representa como θi.
1ia −
1iα −
EjeEslabón
Eje
id
ia
iθ
1i −1i −
i
Eslabón i
Figura 2.2: Representacion del parametro de desplazamiento y el angulo articular de uneslabon.
La Figura 2.2 muestra la interconexion del eslabon i− 1 y el eslabon i. Recordando
que ai−1 es la distancia mutua perpendicular entre los dos ejes del eslabon i − 1. De
igual manera ai es la distancia mutua perpendicular definida para el eslabon i. El primer
parametro de interconexion es el desplazamiento di, que es la distancia con signo que
se mide a lo largo del eje articular i del punto en donde ai−1 se intersecta con el eje
hasta el punto en donde ai intersecta el eje.
El segundo parametro de interconexion es el angulo que se forma entre una extension
de ai−1 y ai medido sobre el eje de la articulacion i. Este parametro se representa
comunmente como θi y es una variable para una articulacion angular.
La longitud del eslabon ai, y la torsion αi, dependen de los ejes de articulacion
22 Capıtulo 2. Mecanica del efector
i e i + 1. Por ende, desde a1 hasta an−1 y desde α1 hasta αn−1 se definen como se
menciono anteriormente.
Para los extremos de las cadenas cinematicas, en esta convencion se asignara el valor
de cero a estas cantidades. Esto es, a0 = an = 0 y α0 = αn = 0. El desplazamiento del
eslabon di y el angulo de joint θi estan bien definidos para las articulaciones 2 hasta
n− 1 [Craig 1989].
En resumen, cualquier robot puede describirse cinematicamente por medio de 4 can-
tidades para cada eslabon. Dos describen el eslabon en sı, y dos su conexion con los
eslabones vecinos. En el caso usual de articulaciones de revolucion, a θi se le llama
variable articular, y las otras tres cantidades seran fijas. A la definicion de mecanismos
a traves de estas cantidades se le conoce como Formalismo de Denavit-Hartenberg.
Convencion para la asignacion de sistemas coordenados
Con el objeto de describir la localizacion de cada eslabon con respecto a sus eslabones
vecinos, se hace necesario asignar sistemas coordenados a cada eslabon. Los sistemas
coordenados de los eslabones se nombran con numeros de acuerdo al eslabon al cual
son asignados. Esto es, el sistema coordenado i, (SCi) se asigna al eslabon i.
La convencion usada para asignar SC a los eslabones es como sigue,
Se nombra zi al eje z del SCi y coincide con el eje articular i. El origen del SCi se
localiza donde ai perpendicular interseca el eje articular i.
xi debe seguir el sentido de ai, en la direccion de la articulacion i hacia la articulacion
i + 1. En el acaso en que ai = 0, xi es normal al plano de zi y zi+1.
yi se forma por la regla de la mano derecha. La Figura 2.3 muestra la localizacion de
SCi−1 y SCi para manipuladores en general.
El sistema coordenado asignado a la base del robot se conoce como sistema coorde-
nado 0 (SC0) o SC de referencia, este SC no se mueve. La posicion de todos los demas
SC es en terminos de este.
Ya que el SC0 es arbitrario, elegir z0 a lo largo del eje 1 y colocar el SC0 de manera
que coincida con el SC1 cuando la variable articular es igual a cero, simplifica de manera
significativa el analisis.
Empleando esta convencion siempre se tendra que a0 = 0, α0 = 0. De manera adi-
cional, esto asegura que d1 = 0 si la articulacion 1 es de revolucion, o que θ1 = 0 si la
articulacion 1 es prismatica.
Para la articulacion n de revolucion, la direccion de xn se elige de manera que se
alinee con xn−1 cuando θn = 0, y el origen del SCn se elige para que dn = 0. Para una
articulacion n prismatica, la direccion de xn se elige para que θn = 0 y el origen del
2.1. Cinematica del efector 23
1ia −
1iα −
EjeEslabón
Eje
id
ia
iθ
1i −1i −
i
Eslabón i
ix
iyiz
1iz −
1iy −
1ix −
Figura 2.3: Asignacion de sistemas coordenados a los eslabones de un manipulador.
SCn se posiciona en la interseccion de xn−1 y el eje articular n cuando dn = 0.
Antes de empezar el analisis cinematico de los dedos de la mano robotica, se requiere
establecer una hipotesis de trabajo que sin perdida de generalidad facilite el procedi-
miento.
Cada enlace o eslabon se considera solo como un cuerpo rıgido, el cual define la
relacion entre los ejes adyacentes vecinos de cada dedo del efector.
Modelo cinematico directo
Despues de todo lo analizado ahora se esta en condiciones de abordar el problema
cinematico directo de la mano robotica, el cual trata de encontrar de forma explıci-
ta una funcion que relacione el espacio de articulaciones con el espacio cartesiano de
posiciones/orientaciones.
Para encontrar el modelo cinematico directo de cada dedo del efector se consideraron
solo las posiciones y orientaciones de las articulaciones de los dedos en condiciones
estaticas.
La Figura 2.4 es una representacion esquematica de un dedo de la mano robotica.
Notese que debido a que se considera a cada dedo como un manipulador planar, todos
los ejes articulares son perpendiculares al plano del dedo, por tanto, todos los ejes z de
los SC son paralelos.
El analisis cinematico inicia definiendo los SC necesarios. Se define el SC de referencia
24 Capıtulo 2. Mecanica del efector
2y2x
0y
0x
1y 1x
2l
1l
2θ
1θ
b)a)
3y3x
3θ3l
Figura 2.4: Representacion esquematica de un dedo del efector. a) Asignacion de SC y,b) variables articulares.
o SC0 fijo a la base de un dedo del efector. Se asigna SC1 de manera que, cuando θ1 = 0,
se alinee con SC0. Debido a que el dedo permanece en un plano con todos sus ejes z
paralelos, no existe desplazamiento de los eslabones (link offset) por lo que todos los
di = 0. En la Figura 2.4 se muestran los SC y la definicion de los angulos articulares
de cada dedo.
Observese que todos los ejes articulares son paralelos y todos los ejes z salen del
papel, entonces, todos los αi = 0.
El analisis cinematico desarrollado por Craig siempre finaliza en el SC cuyo origen
se localiza en el ultimo eje articular, por lo que l3 no aparece en los parametros D-H
del dedo.
Tabla 2.1: Parametros D-H de cada dedo del efector.
αi−1 ai−1 θi di
0 0 θ1 0
0 l1 θ2 0
0 l2 θ3 0
Usando los parametros D-H de la Tabla 2.1, para cada dedo del efector y la no-
cion de matriz de transformacion homogenea analizada en el Apendice A, se calculan
las matrices de transformacion homogeneas individuales para cada eslabon. El modelo
cinematico directo de cada dedo es el resultado de multiplicar todas sus matrices de
transformacion homogenea.
2.1. Cinematica del efector 25
Entonces el modelo cinematico de cada dedo del efector queda representado por
H30 = H1
0 ·H21 ·H3
2 . Donde H10 es la matriz de transformacion homogenea que describe
el movimiento del SC1 (o1x1y1) respecto a SC0 (o0x0y0), H21 y H3
2 son las matrices
de transformacion homogenea del SC2 (o2x2y2) respecto al SC1 y del SC3 (o3x3y3)
referente a SC2, respectivamente. Sean si = sen θi, ci = cos θi.
H30 =
c1 −s1 0 0
s1 c1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
·
c2 −s2 0 l1s2 c2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
·
c2 −s2 0 l2s2 c2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
H30 =
c123 −s123 0 l1c1 + l2c12
s123 c123 0 l1s1 + l2s12
0 0 1 0
0 0 0 1
(2.1)
con,
H30 (1, 1) = (c1c2 − s1s2) c3 − (s1c2 + c1s2) s3 = c12c3 − s12s3 = c123
H30 (2, 1) = (c1c2 − s1s2) s3 + (s1c2 + c1s2) c3 = c12s3 − s12c3 = s123
H30 (1, 2) = − (c1c2 − s1s2) s3 − (s1c2 + c1s2) c3 = −c12s3 − s12c3 = −s123
H30 (2, 2) = (c1c2 − s1s2) c3 − (s1c2 + c1s2) s3 = c12c3 − s12s3 = c123
H30 (1, 4) = (c1c2 − s1s2) l2 + l1c1 = l1c1 + l2c12
H30 (2, 4) = (s1c2 + c1s2) l2 + l1s1 = l1s1 + l2s12 (2.2)
La matriz (2.1) representa la cinematica de los dedos del efector, expresa la relacion
entre los angulos articulares y la posicion final del dedo.3 Las primeras tres columnas
indican la orientacion del ultimo eslabon del dedo respecto al sistema coordenado de
referencia, y la ultima columna la posicion.
El modelo cinematico directo del efector ayudara a determinar el espacio de trabajo
del mismo, facilitando de esta manera el calculo de las trayectorias o movimientos
que cada dedo puede describir, sin exceder los pares mecanicos que los actuadores son
capaces de proporcionar.
3 El uso de las matrices de transformacion homogenea y el significado de sus columnas se trata enel Apendice A.
26 Capıtulo 2. Mecanica del efector
2.1.2. Cinematica inversa
En la seccion anterior se encontraron las coordenadas para la posicion del punto
terminal de cada dedo del efector a partir de los valores de las variables articulares. En
esta seccion se plantea el problema inverso, es decir, obtener los valores de los angulos
articulares a partir de la posicion y orientacion deseadas para el punto terminal de cada
dedo de la mano robotica.
El objetivo del problema cinematico inverso consiste en encontrar expresiones para
los angulos articulares en funcion de la posicion y orientacion del extremo final del robot
deseadas, esto es, determinar la configuracion que deben adoptar las articulaciones de
cada dedo del efector para describir un movimiento circular de la mano.
Esto es muy usado en robotica, y realmente necesario puesto que si la tarea a realizar
es recorrer una trayectoria o describir un movimiento generalmente dado en coorde-
nadas cartesianas referidas a algun sistema fısico, las leyes de control existentes serıan
inutiles, puesto que requieren de mediciones articulares para la retroalimentacion ası co-
mo para la referencia, en el caso de control de movimiento. Para el control de posicion,
la retroalimentacion del vector de velocidades articulares, no es realmente necesario.
Se eligio el movimiento circular de los dedos para ilustrar el desempeno de dos tipos
de controladores, y poder determinar en simulacion que metodologıa resulta conveniente
para este caso de estudio en funcion del error de seguimiento que presenten, evaluados
con alguna medida de error (por ejemplo, el error cuadratico medio).
La cinematica inversa es, en general, mucho mas compleja que la directa. Debido que,
a diferencia de la cinematica directa, no existe un metodo sistematico simple que per-
mita resolver el problema cinematico inverso de robots manipuladores en forma unica.
Los metodos mas comunes empleados son, la aproximacion geometrica y el analisis
algebraico empleando funciones trigonometricas.
Las dificultades presentes en un analisis cinematico inverso pueden ser,
1. Alguno de los puntos pedidos esta, por su lejanıa, fuera del alcance del robot.
2. Alguno de los puntos pedidos esta fuera del alcance, debido a problemas geo-
metricos (unos de los eslabones del robot chocan con otros).
3. Alguno de los puntos pedidos pueden alcanzarse mediante dos o mas combina-
ciones del vector de articulacion. No existe solucion unica.
2.1. Cinematica del efector 27
Solucion a la cinematica inversa
Considerese el modelo cinematico directo presentado en la seccion anterior. De la
matriz (2.1) se toma,
x = l1c1 + l2c12 (2.3)
y = l1s1 + l2s12 (2.4)
con,
cjk = cos(θj + θk) = cos(θj) cos(θk)− sen (θj) sen (θk) (2.5)
sjk = sen(θj + θk) = cos(θj) sen(θk) + sen (θj) cos(θk) (2.6)
Elevando al cuadrado y sumando se tiene, x2 + y2 = l21 + 2l1 l2 c2 + l22 observese que
es posible encontrar una solucion para θ2 como:
θ2 = tan−1 s2
c2
(2.7)
con,
c2 =x2 + y2 − l21 − l22
2 l1 l2(2.8)
y,
s2 = ±√
1− cos2 θ2 (2.9)
La eleccion del signo en (2.9) indica la existencia de soluciones multiples de donde
se puede elegir la configuracion codo arriba o codo abajo, como se vio en el Capıtulo
1. Una vez encontrado θ2 se pueden resolver (2.3) y (2.4) para θ1 reescribiendo de la
siguiente manera,
x = k1c1 − k2s1 (2.10)
y = k1s1 − k2c1 (2.11)
donde k1 = l1 + l2c2 y k2 = l2s2. Entonces si se define,
r = ±√
k21 + k2
2 y, γ = tan−1 k2
k1
De la expresion para γ, parece logico pensar que k1 = r cos γ y k2 = r sen γ, por
tanto, x = r cos γ · c1 − r sen γ · s1 y y = r cos γ · s1 − r sen γ · c1. Ver Figura 2.5
o,
cos (γ + θ1) =x
r, sen (γ + θ1) =
y
r
donde,
γ + θ1 = tan−1 y
x
28 Capıtulo 2. Mecanica del efector
r
x
y
3θ
3l
2l
1l
βγ
2θ
1θ
Falange Medial
Falange Proximal
Falange Distal
Figura 2.5: Solucion a la cinematica inversa para un dedo del efector.
θ1 = tan−1 y
x− tan−1 k2
k1
(2.12)
Finalmente de c123 y s123 en (2.2), θ3 puede calcularse de la siguiente manera,
θ1 + θ2 + θ3 = tan−1 s123
c123
(2.13)
En la solucion del problema cinematico inverso se esta interesado en encontrar una
solucion en forma cerrada, es decir, encontrar una solucion explıcita para los angulos θ1,
θ2 y θ3, en funcion de la posicion final conocida. En cuestiones practicas la existencia
de soluciones al problema cinematico inverso depende de su ingenierıa, ası como, de las
consideraciones matematicas hechas.
Por ejemplo el movimiento de una articulacion de revolucion se pude restringir a
menos de 360o de rotacion, de manera que, no todas las soluciones matematicas en-
contradas corresponden a configuraciones realizables por el manipulador o en este caso
de estudio por un dedo del efector. Una vez encontrada una solucion a las ecuaciones
matematicas, se debe verificar que satisfaga todas las restricciones en los rangos posibles
de movimiento.
En el diseno mecanico de la mano robotica “cenidet” construida por
[Cimadevilla y Herrera 2006], por razones antropomorficas, los angulos articulares estan
limitados a,
2.2. Dinamica del efector 29
Tabla 2.2: Restricciones de movimiento para las articulaciones de los dedos del efector.
Falanges Restriccion Nomenclatura
1a Proximal 90 o l12a Medial 110 o l23a Distal 70 o l3
2.2. Dinamica del efector
Cuando se estudian las fuerzas y momentos que ejerce la carga transportada sobre la
ultima articulacion, ası como las que ejercen los actuadores, y cada articulacion sobre
las contiguas, es posible determinar el movimiento, aplicando las leyes de la mecanica en
cualquiera de sus formulaciones (Newton, Lagrange, D′Alembert, etc.). En eso consiste
hacer un estudio dinamico de robots.
El modelo dinamico de un robot consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias, que se pueden expresar en funcion de las variables articulares o cartesianas
[Kelly y Santibanez 2003].
f (q, q, q, τ) = 0
f (x, x, x, τ) = 0(2.14)
La manera de obtener dichas ecuaciones diferenciales puede ser a traves de dos enfo-
ques, el primero de ellos es la obtencion de las ecuaciones de movimiento utilizando leyes
de fuerzas y el segundo, empleando principios variacionales basados en funciones de e-
nergıa. En particular, en este caso de estudio se trabajo con la ecuacion de movimiento
de Euler-Lagrange (E-L).
El punto de partida de este enfoque variacional para modelar es la definicion de
las funciones de energıa cinetica y potencial del robot y calcular una funcion llamada
Lagrangiano. En la siguiente seccion se presenta de manera breve la definicion de la
ecuacion de movimiento de E-L, y posteriormente su uso para encontrar un modelo
dinamico para el efector.
2.2.1. Ecuacion de movimiento de Euler-Lagrange
Si un sistema no disipa energıa, se dice que el sistema es conservativo. Un sistema
mecanico conservativo es aquel en el cual la energıa aparece solamente como energıa
cinetica y potencial.
Considerese el caso de un sistema mecanico conservativo. La ecuacion dinamica que
30 Capıtulo 2. Mecanica del efector
describe el comportamiento de este sistema con “n” gdl se representa por,
d
dt
(∂
∂qL (q, q)
)− ∂
∂qL (q, q) = τ (2.15)
donde el L es el denominado Lagrangiano, y esta definido como L(q, q) = K(q, q)−U(q),
con K(q, q) la suma de las energıas cineticas de los eslabones y U(q) la suma de todas
las energıas potenciales de los eslabones, q es un vector de n coordenadas generalizadas,
q es su primera derivada y τ es el vector de n entradas generalizadas.
En particular los robots manipuladores son una clase de sistemas no conservativos
en los cuales la energıa cinetica es una funcion cuadratica del vector de velocidades
articulares, y la energıa potencial es independiente de q.
El lagrangiano definido anteriormente puede entonces escribirse,
L(q, q) =1
2qT M(q)q − U(q) (2.16)
con M(q) una matriz simetrica y definida positiva. Sustituyendo (2.16) en (2.15) y
resolviendo se tiene,
∂
∂qL(q, q) =
∂
∂qK(q, q) = M(q)q (2.17)
d
dt
(∂
∂q
)= M(q)q + M(q)q (2.18)
∂
∂qL(q, q) =
1
2
∂
∂q
(qT M(q)q
)− ∂
∂qU(q) (2.19)
Finalmente se obtiene el modelo general para un robot manipulador de “n” gdl con
la siguiente forma,
M(q)q + M(q)q − 1
2
∂
∂q
(qT M(q)q
)+
∂
∂qU(q) = τ (2.20)
o equivalentemente,
M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (2.21)
con,
C(q, q)q = M(q)q − 1
2
∂
∂q
(qT M(q)q
)= M(q)q − ∂
∂qK(q, q)
G(q) =∂
∂qU(q)
La ecuacion (2.21) que representa a un sistema, es en realidad una clase de sistemas no
conservativos E-L, este modelo supone que los eslabones del manipulador son rıgidos, es
2.2. Dinamica del efector 31
decir, que no sufren deformacion (fenomenos de torsion ni flexion) y que la transmision
del movimiento a cada eslabon no posee friccion ni elasticidad.4
Las unidades de los elementos de M(q) correspondientes a variables articulares de
revolucion qi = θi son kg · m2. Las unidades de los elementos de M(q) de variables
articulares prismaticas qi = di son kg. Las unidades de C(q, q) y G(q) correspondien-
tes a variables articulares de revolucion son kg · m2/s2. Las unidades de los elemen-
tos de C(q, q) y G(q) corresponden a variables articulares prismaticas son kg · m/s2
[Lewis et. al. 1993]
Sin embargo, en realidad un robot siempre se encuentra afectado por los fenomenos
mencionados y ademas por perturbaciones. De manera comun el efecto de las fuerzas de
friccion se modela por medio de un vector f(q) ∈ Rn que depende solo de la velocidad
articular [Lewis et. al. 1993], [Kelly y Santibanez 2003].
Una de las representaciones clasicas del vector f(q) que combina expresiones para los
fenomenos de friccion viscosa y de friccion dinamica es,
f(q) = fvq + fd(q) (2.22)
Los fenomenos de friccion no son los unicos que afectan o se involucran con el modela-
do dinamico de robots, y las perturbaciones τd es uno de ellos. τd representa las posibles
perturbaciones al modelo del robot, cuyo significado pudiera representar de alguna
manera un modelado incorrecto o efectos directos de perturbacion en los actuadores del
mismo.
La ecuacion dinamica general de un robot manipulador, considerando los efectos de
la friccion y las perturbaciones queda entonces como,
M(q)q + C(q, q)q + G(q) + f(q) + τd = τ (2.23)
Modelar los efectos de friccion en sistemas mecanicos en general no es tarea sencilla,
por ello tradicionalmente las fuerza y pares de friccion se modelan de forma aproximada.
Debido a que la friccion es un efecto local se dice que f(q) esta desacoplada entre las
articulaciones, entonces puede expresarse como un vector,
f(q) =[
f1(q) f2(q) · · · fn(q)]T
(2.24)
Las expresiones comunes para los terminos de friccion tienen la siguiente forma:
1. Friccion viscosa fv q = vec vi q con vi coeficientes viscosos conocidos. Por tanto,
fv = diag vi4 Caso ideal.
32 Capıtulo 2. Mecanica del efector
2. Friccion dinamica, se representa por fd(q) = vec ki sgn(qi), con ki coeficientes
constantes y la funcion signo definida por un escalar como,
sgn(x) =
+1 x > 0
indefinido x = 0
−1 x < 0
El modelo clasico (2.21) describe inadecuadamente el comportamiento dinamico del
robot a bajas velocidades, es decir, cuando los cuerpos estan en reposo y comienzan el
movimiento. Por esto no es recomendable para modelar la friccion cuando se aborda
el problema de control de posicion para robots manipuladores. En tal situacion es
aconsejable hacer uso de los modelos dinamicos de friccion [Kelly y Santibanez 2003].
La ecuacion (2.21) describe la dinamica de sistemas mecanicos sin disipacion inter-
na de energıa. Los efectos de la friccion no se toman en cuenta en ese modelo clasico
derivado de la ecuacion de E-L (2.15). Los sistemas estan sujetos generalmente a ac-
ciones externas tales como, perturbaciones y entradas de control, disipacion de energıa,
mediante los fenomenos de friccion viscosa, dinamica o resistencias electricas, etc.
En los sistemas no conservativos (sistemas amortiguados) la energıa se disipa. Rayleigh
desarrollo una funcion de disipacion < de la que puede derivarse la fuerza de amor-
tiguamiento. Suponiendo que el sistema involucra r amortiguadores viscosos, la funcion
de disipacion de Rayleigh se define mediante,
< =1
2(b1δ
21 + b2δ
22 + · · ·+ brδ
2r) (2.25)
donde bi es el i-esimo coeficiente de friccion viscoso y δi es la diferencia de velocidad a
traves del i-esimo amortiguador viscoso. Ası pues, δi puede expresarse como funcion de
las velocidades articulares qi.
Si se considera la accion de los efectos disipativos a traves de la funcion de disi-
pacion de Rayleigh, la ecuacion de movimiento de E-L para sistemas no conservativos
se convierte en,d
dt
(∂
∂qL(q, q)
)− ∂
∂qL(q, q) +
∂
∂q<(q) = τ (2.26)
La funcion de disipacion de Rayleigh satisface,
qT ∂
∂q<(q) ≥ 0
En el mejor de los casos se asume que la funcion de disipacion de Rayleigh es
cuadratica,
<(q) =1
2qT Rq
con R = RT ≥ 0 y diagonal [Ortega et. al. 1998].
2.2. Dinamica del efector 33
2.2.2. Expresiones para K y U
La energıa cinetica de una partıcula es la suma de dos terminos, el primer termino
es la energıa cinetica traslacional de la partıcula con su masa m localizada en el centro
de masa, si la partıcula no experimenta un movimiento rotacional, esto serıa todo lo
referente a la energıa cinetica.
La energıa cinetica traslacional de una masa puntual m que se mueve con una veloci-
dad lineal v es,
K =1
2mv2 (2.27)
El segundo es un termino de correccion adicional que se presenta en casos en donde
el cuerpo tiene movimiento tanto rotacional como traslacional, tomando en cuenta el
hecho de que las diferentes partes del cuerpo se estan moviendo a diferentes velocidades.
La energıa rotacional del cuerpo al rededor de su centro del masa esta dada por,
Krot =1
2I w2 (2.28)
donde el momento de inercia se define como,
I =
∫
vol
ρ(r)r2dr (2.29)
con ρ(r) la distribucion de masa en un radio r de un volumen [Spong y Vidyasar 1989]
y w es la velocidad angular.
Entonces la funcion de energıa cinetica de una partıcula de masa m y centro de masa
lcicon movimientos traslacionales y rotacionales se expresa como,
K =1
2mvc
T vc +1
2wT Iw (2.30)
donde w es el vector de n velocidades angulares.
La funcion de energıa cinetica tambien se puede representar como,
K =1
2qT M(q)q (2.31)
con M(q) una matriz simetrica definida positiva que es en general de configuracion
dependiente. A la matriz M se le llama de manera comun, matriz de inercia. En la
siguiente seccion se muestra la manera de calcular esta matriz para un manipulador
planar de tres grados de libertad.
La energıa potencial de un cuerpo es la misma que si la masa del objeto entero
estuviera concentrada en su centro de masa. Ahora considerese el termino de energıa
34 Capıtulo 2. Mecanica del efector
potencial, en el caso de cuerpos rıgidos, la unica fuente de energıa potencial es la
gravedad g. Esto es que la energıa potencial de un manipulador depende solo del vector
de posiciones q y no de q.
La energıa potencial de una masa m a una altura h en un campo gravitacional con
constante g se define por,
U = mgh (2.32)
El origen correspondiente a la energıa potencial cero, se puede seleccionar de manera
arbitraria ya que solo las diferencias en energıa potencial son significativas en terminos
de las fuerzas fısicas [Lewis et. al. 1993].
2.2.3. Modelo dinamico
Los dedos del efector tienen 4 gdl, 3 de los cuales involucran movimientos de flexion
y extension y el cuarto, los movimientos de aduccion/abduccion. Recuerdese que se
desea realizar movimientos circulares en un plano por cada dedo del efector, por tanto
como se planteo durante el modelado cinematico, este tema de tesis solo contempla los
primeros tres grados de movimiento descritos (flexion y extension).
Procedimiento de modelado
Los eslabones de cada dedo estan disenados de tal manera que sus centros de masa se
localizan en lci(ver Figura 2.6), ademas los eslabones tienen masas mi y un momento
de inercia en una direccion normal al plano de movimiento Ii, mientras que las articula-
ciones se mueven por los pares τi generados por motores de corriente directa, no existe
friccion en la transmision del movimiento y la mano esta afectada por la gravedad en
la direccion de −y del SC de referencia.
El modelado dinamico de robots empleando la metodologıa de E-L se puede dividir
en 5 pasos, como se detalla a continuacion.
1.- El primer paso para obtener el modelo dinamico de cada dedo del efector es
determinar las n coordenadas generalizadas que representan la configuracion instanta-
nea del dedo.
En este caso de estudio el vector de variables articulares generalizado q sera igual a
los angulos articulares θi y se ignora la dinamica de los actuadores que manipulan los
movimientos de las articulaciones de los dedos.
Considerando que cada dedo independiente cuenta con 3 gdl5 entonces, el vector
articular se define como,
q =[
q1 q2 q3
]T=
[θ1 θ2 θ3
]T(2.33)
5 Ver Figura 2.4 para la asignacion de los angulos articulares.
2.2. Dinamica del efector 35
1m
2m
3m
3I
2I
1I
1l
2l
1cl
2cl
3cl
3l
Figura 2.6: Determinacion del modelo dinamico de un dedo del efector.
Las coordenadas generalizadas de un sistema son un conjunto de coordenadas in-
dependientes que se necesita para describir completamente el movimiento del sistema.
El numero de coordenadas generalizadas necesario para describir el movimiento del
sistema es igual al numero de grados de libertad.
2.- Construir el vector de estados (posiciones y sus velocidades asociadas)
q =[
q1 q2 q3 q4 q5 q6
]T=
[θ1 θ2 θ3 θ1 θ2 θ3
]T(2.34)
q =[
q1 q2 q3 q1 q2 q3
]T(2.35)
3.- Determinar las funciones de energıa cinetica y potencial para cada dedo el efector.
K(q, q) = K1(q, q) + K2(q, q) + K3(q, q) (2.36)
U(q) = U1(q) + U2(q) + U3(q) (2.37)
La funcion de energıa cinetica y potencial de cada dedo es igual a la suma de las
energıas correspondientes a cada eslabon de cada dedo. K1 representa la energıa cinetica
de la falange proximal para cada dedo, K2 la falange medial y K3 la falange distal y
36 Capıtulo 2. Mecanica del efector
U1, U2, U3 las energıas potenciales de las mismas falanges.
K1(q, q) =1
2m1v
T1 v1 +
1
2I1q
21
K2(q, q) =1
2m2v
T2 v2 +
1
2I2(q1 + q2)
2
K3(q, q) =1
2m3v
T3 v3 +
1
2I3(q1 + q2 + q3)
2 (2.38)
Los subındices de (2.38) indican el numero de la articulacion a la cual representan.
mi representa la masa en kg de las falanges de cada dedo, Ii en kg ·m2 los momentos
de inercia de cada eslabon de cada dedo, vi en m2/s son las velocidades lineales de cada
eslabon.
Las velocidades lineales v1, v2 y v3 se calculan de la siguiente manera,
v1 =d
dt
([x1 y1
]T)
=
[ −lc1 sen q1 q1
lc1 cos q1 q1
]
vT1 v1 = lc1 q
21 (2.39)
v2 =[
x2 y2
]T=
[ −l1 sen q1 q1 − lc2 sen (q1 + q2) (q1 + q2)
l1 sen q1 q1 + lc2cos (q1 + q2) (q1 + q2)
]
vT2 v2 = (l1
2 + lc22 + 2l1lc2 cos q2) q2
1 + 2(lc22 + l1lc2 cos q2) q1 q2 + lc2
2 q22 (2.40)
v3 =[
x3 y3
]T
=
[ −l1 sen q1 q1 − l2 sen (q1 + q2) (q1 + q2)− lc3 sen (q1 + q2 + q3) (q1 + q2 + q3)
l1 sen q1 q1 + l2cos (q1 + q2) (q1 + q2) + lc3cos (q1 + q2 + q3) (q1 + q2 + q3)
]
vT3 v3 = (l1
2 + l22 + lc3
2 + 2l1l2 cos q2 + 2l1lc3 cos (q2 + q3) + 2l2lc3 cos l3) q21
+ (l22 + lc3
2 + 2l2lc3 cos q3) q22 + lc3
2 q22 + 2(lc3
2 + l2lc3cos q3) q2 q3
+ 2(l22 + lc3
2 + l1l2 cos q2 + l1lc3cos(q2 + q3) + 2l2lc3 cos q3) q1 q2
+ 2(lc32 + l1lc3cos(q2 + q3) + l2lc3cos q3) q1 q3
donde,
x1 = lc1 cos q1 y1 = lc1senq1
x2 = l1 cos q1 + lc2 cos(q1 + q2) y2 = l1senq1 + lc2sen(q1 + q2)
x3 = l1 cos q1 + l2 cos(q1 + q2) + lc3 cos(q1 + q2 + q3)
y3 = l1senq1 + l2sen(q1 + q2) + lc3sen(q1 + q2 + q3)
2.2. Dinamica del efector 37
La funcion de energıa potencial de los eslabones de los dedos del efector se expresan
como,
U1 = −m1 g y1, U1 = −m1 g lc1senq1
U2 = −m2 g y2, U2 = −m2 g l1senq1 −m2 g lc2sen(q1 + q2)
U3 = −m3 g y3, U3 = −m3 g l1senq1 −m3 g l2sen(q1 + q2)−m3 g lc3sen(q1 + q2 + q3)
(2.41)
4.- Combinar las funciones de energıa cinetica y potencial para obtener el Lagrangiano
del efector.
L(q, q) =n∑
i=1
Ki(q, q)− Ui(q)
5.- Derivar las ecuaciones de movimiento de E-L para cada dedo de la mano robotica.
Para la articulacion 1 (falange proximal)
d
dt
(∂
∂q1
L (q, q)
)− ∂
∂q1
L (q, q) = τ1
τ1 =[m1l
2c1
+ m2l2c2
+ m2l21 + m3l
2c3
+ m3l21 + m3l
22 + (2m2l1lc2 + 2m3l1l2) cos q2
]q1
+ [2m3l1lc3 cos (q2 + q3) + 2m3l2lc3 cos q3 + I1 + I2 + I3] q1
+[m3l
2c3
+ m3l22 + m2l
2c2
+ (m2l1lc2 + m3l1l2) cos q2 + m3l1lc3 cos(q2 + q3)]q2
+ [2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3] q2 +[m3l
2c3
+ m3l1lc3 cos(q2 + q3) + m3l2lc3 cos q3
]q3
− [(m2l1lc2 + m3l1l2) sen q2 + m3l1lc3 sen (q2 + q3)] q22 + m3 g l2 cos (q1 + q2)
− [2m3l1lc3sen (q2 + q3) + 2m3l2lc3sen q3] q2 q3 + m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3)
− [(2m2l1lc2 + 2m3l1l2) sen q2 + 2m3l1lc3sen (q2 + q3)] q1 q2 + m1 g lc1 cos q1
− [m3l1lc3sen (q2 + q3) + m3l2lc3 sen q3] q23 + m2 g l1 cos q1 + m3 g l1 cos q1
− [2m3l1lc3sen (q2 + q3) + 2m3l2lc3sen q3] q1 q3 + m2 g lc2 cos (q1 + q2) (2.42)
Para la articulacion 2 (falange medial)
d
dt
(∂
∂q2
L (q, q)
)− ∂
∂q2
L (q, q) = τ2
τ2 =[m2l
2c2
+ m3l22 + m3l
2c3
+ (m2l1lc2 + m3l1l2) cos q2
]q1
+ [m3l1lc3 cos (q2 + q3) + 2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3] q1
+[m2l
2c2
+ m2l22 + m3l
2c3
+ 2m3l2lc3 cos q3 + I2 + I3
]q2
+[m3l
2c3
+ m3l2lc3 cos q3 + I3
]q3 + m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3)
+ [(m2l1lc2 + m3l1l2) sen q2 + m3l1lc3sen (q2 + q3)] q21
− (m2l1lc3 −m2l1lc2) sen q2 q1 q2 − 2m3l2lc3sen q3 q1 q3
− 2m3l2lc3sen q3 q2 q3 −m3l2lc3sen q3 q23 (2.43)
+ (m2 g lc2 + m3 g l2) cos (q1 + q2) (2.44)
38 Capıtulo 2. Mecanica del efector
Para la articulacion 3 (falange distal)
d
dt
(∂
∂q3
L (q, q)
)− ∂
∂q3
L (q, q) = τ3
τ3 =[m3l
2c3
+ m3l1lc3 cos (q2 + q3) + m3l2lc3 cos q3 + I3
]q1
+[m3l
2c3
+ m3l2lc3 cos q3 + I3
]q2 +
[m3l
2c3
+ I3
]q3
+ [m3l2lc3sen q3 + m3l1lc3sen (q2 + q3)] q21 + 2m3l2lc3sen q3 q1 q2
+ m3l2lc3sen q3 q22 + 2m3l1lc3sen (q2 + q3) q1 q3
+ m3 g lc3 cos (q1 + q2 + q3) (2.45)
Retomando la estructura de (2.21), (τ1), (τ2) y (τ3) se reescriben como sigue, quedando
el modelo dinamico,
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
q1
q2
q3
+
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 v33
q1
q2
q3
+
g1
g2
g3
=
τ1
τ2
τ3
(2.46)
donde
m11 = m1 l2c1 + m2 l21 + m2 l2c2 + m3 l21 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m2 l1 lc2 cos(q2)
+ 2 m3 l1 l2 cos(q2) + 2 m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I1 + I2 + I3
m12 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)
+ m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m13 = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m21 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)
+ m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m22 = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m23 = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m31 = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m32 = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m33 = m3 l2c3 + I3
c11 = (−m2 l1 lc2sen(q2)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2
+ (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q3
c12 = (−m2 l1 lc2 sen(q2)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q1
+ (−m2 l1 lc2 sen(q)−m3 l1 l2 sen(q2)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2
+ (−m3 l2 lc3 sen(q3)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q3
2.2. Dinamica del efector 39
c13 = (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q1
+ (−m3 l2 lc3 sen(q3)−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q2
+ (−m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)−m3 l2 lc3 sen(q3)) q3
c21 = (m2 l1 lc2 sen(q2) + m3 l1 l2 sen(q2) + m3 l1 lc3 sen(q2 + q3)) q1
− m3 l2 lc3 sen(q3) q3
c22 = −m3 l2 lc3 sen(q3) q3
c23 = −m3 l2 lc3 sin(q3) q1 −m3 l2 lc3 sin(q3) q2 −m3 l2 lc3 sin(q3) q3
c31 = (m3 l1 lc3 sin(q2 + q3) + m3 l2 lc3 sin(q3)) q1 + m3 l2 lc3 sin(q3) q2
c32 = m3 l2 lc3 sin(q3) q2 + m3 l2 lc3 sin(q3) q1
c33 = 0
g1 = (m1 lc1 + m2 l1 + m3 l1) g cos(q1) + (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2)
+ m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
g2 = (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2) + m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
g3 = m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
Esta representacion (2.46) contiene propiedades especıficas, las cuales ayudan al
diseno de controladores para robots. Estas propiedades son explotadas en el momen-
to de disenar y sintonizar controladores, ası como para el analisis de estabilidad de
Lyapunov del sistema completo. Ver anexo B.
Como se vio en la metodologıa planteada en esta seccion, una vez que se han derivado
las expresiones para la energıa del sistema, el metodo de E-L dara tantas ecuaciones
como grados de libertad tenga el sistema. Esas ecuaciones de movimiento para el sistema
describen completamente la dinamica de un sistema conservativo.
Los valores de las constantes del modelo dinamico (2.46) puede consultarse en el
Apendice C y fueron extraıdos del trabajo realizado por Cimadevilla y Herrera en
2006.
La existencia de la matriz M(q)−1 permite expresar el modelo dinamico de los dedos
en terminos del vector de estados[
qT qT]T
,
d
dt
[q
q
]=
[q
M(q)−1 [τ − C (q, q) q −G (q)]
](2.47)
o equivalentemente,
x =
[q
−M(q)−1 [C(q, q)q + G(q)]
]+
[0
M(q)−1
]τ (2.48)
40 Capıtulo 2. Mecanica del efector
2.3. Aspectos relevantes
El calculo del modelo cinematico directo de un manipulador puede hacerse aplicando
una metodologıa bien definida conocida como, Formalismo de Denavit-Hartenberg. Esta
metodologıa es conceptualmente simple y para su uso se deben tener conocimiento de
representacion en el plano y el espacio de cuerpos rıgidos, ası como la nocion de matrices
de transformacion homogenea. El modelo matematico que se obtiene como resultado de
aplicar esta metodologıa expresa la posicion y orientacion del ultimo eslabon de cada
dedo de la mano robotica, referenciado a un sistema de coordenadas dextrogiro asignado
a la base de movimiento de cada dedo.
El concepto de cinematica inversa conlleva diversas complicaciones, pues en la mayo-
rıa de los casos, la solucion puede no ser unica o no existir. A diferencia de la cinematica
directa, para el problema cinematico inverso no existe una metodologıa que ayude a
encontrar una solucion en forma cerrada. El calculo de la cinematica inversa depende
de la habilidad o conocimientos matematicos del ingeniero, ası como de la complejidad
en el diseno mecanico y construccion de cada robot.
El control de robots manipuladores ya sea para los problemas de regulacion o segui-
miento, requiere del calculo de un modelo que represente el comportamiento dinamico
del mismo. El modelo dinamico de robots se puede obtener aplicando las leyes de
Newton, o bien con algun metodo variacional, por ejemplo con el uso de la ecuacion
de Euler-Lagrange. Esta tecnica esta sustentada en la determinacion de una funcion
llamada Lagrangiano, expresada como la diferencia entre la energıa cinetica y potencial
del robot.
No importa la configuracion del robot, el modelo dinamico se puede calcular siempre
que las funciones de energıa cinetica y potencial puedan encontrarse.
Capıtulo 3
Analisis de estabilidad y
sintonizacion de controladores
En este capıtulo se presenta una importante nocion de estabilidad en el sentido de
Lyapunov. Existen muchas definiciones de estabilidad de sistemas. Sin embargo en todos
los casos la idea principal es: dado un conjunto de ecuaciones dinamicas que representan
un sistema fısico, tratar de determinar si dicho sistema tiene un buen comportamiento
en algun sentido concebible. El problema consiste en como convertir la nocion intuitiva
de un buen comportamiento dentro de una definicion matematica precisa que pueda
ser aplicada a un sistema dinamico dado. En este capıtulo se explora la nocion de
estabilidad en el sentido de Lyapunov, aplicado a los puntos de equilibrio.
El control de robots manipuladores es un tema de investigacion muy amplio y bas-
tante enriquecedor, en el que se requiere tener conocimiento del modelo matematico
y una buena respuesta de los sensores de posicion y velocidad del robot (que actuan
directamente sobre el modelo).
El modelo dinamico de un robot puede obtenerse como ya se menciono, haciendo
uso de las leyes fısicas que gobiernan su movimiento o empleando la ecuacion de Euler-
Lagrange. Por otro lado el comportamiento del robot depende de las capacidades de
sensado, es decir, las capacidades de accion y reaccion del controlador a las variables
sensadas.
Las leyes de control existentes para gobernar el movimiento o la posicion de robots
manipuladores son diversas, y elegir un metodo de control particular para cada apli-
cacion no es tarea sencilla. El metodo de control elegido, ası como la forma en la cual
se debe de implementar, pueden tener un impacto significativo en el comportamiento
del manipulador como en el campo de sus posibles aplicaciones.
En este tema de tesis se propone emplear un controlador convencional de robots,
ademas de un controlador basado en pasividad, ambos extraıdos de la literatura dispo-
nible, que sean capaces de controlar el movimiento de los dedos del efector.
41
42 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
3.1. Estabilidad de Lyapunov
A continuacion se presentan algunas de las definiciones relacionadas con la estabili-
dad de sistemas dinamicos en el sentido de Lyapunov. Los teoremas y definiciones se
presentan sin demostracion y fueron extraıdos de [Marquez 2003].
3.1.1. Definiciones
Considerese a los sistemas de la forma
x = f(x) f : D → Rn (3.1)
donde D es un subconjunto abierto y conexo de Rn y f es un mapa localmente Lipschitz
de D en Rn. De aquı en adelante se asume que xe es un punto de equilibrio de (3.1).
En otras palabras, xe cumple con,
f(xe) = 0
Definicion 3.1. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe, del sistema
(3.1) es estable si para cada ε > 0,∃δ = δ(e) > 0, de forma que,
‖x(0)− xe‖ < δ ⇒ ‖x(t)− xe‖ < ε ∀t ≥ t0
de lo contrario, se dice que el punto de equilibrio es inestable.
ex
0x
δ
Figura 3.1: Punto de equilibrio estable.
3.1. Estabilidad de Lyapunov 43
Definicion 3.2. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe, del sistema
(3.1) es convergente si existe δ1 > 0, tal que,
‖x(0)− xe‖ < δ1 ⇒ lımt→∞
x(t) = xe
De manera equivalente, xe es convergente si para cualquier ε1 > 0 dado, ∃T de tal
manera que,
‖x(0)− xe‖ < δ1 ⇒ ‖x(t)− xe‖ < ε1 ∀t ≥ t0 + T
Un punto de equilibrio convergente xe, es aquel en el que cada solucion iniciada sufi-
cientemente cerca de xe eventualmente convergera a xe conforme t →∞. Es importante
tener en cuenta que la estabilidad y la convergencia, como se definieron anteriormente
son dos conceptos diferentes y de ninguna manera uno implica al otro.
Definicion 3.3. [Marquez 2003] Se dice que el punto de equilibrio x = xe es asintotica-
mente estable si es tanto estable como convergente.
ex
0x
δ
Figura 3.2: Punto de equilibrio asintoticamente estable.
La estabilidad asintotica (ver Figura 3.2) es una propiedad deseable en muchas apli-
caciones, la principal debilidad de este concepto es que no dice que tan rapido se aproxi-
man las trayectorias al punto de equilibrio. Existe una forma mas estricta de estabilidad
asintotica, conocida como estabilidad exponencial, definida como,
Definicion 3.4. [Marquez 2003] Se dice que le punto de equilibrio x = xe del sistema
(3.1) es exponencialmente estable (en forma local), si existen dos constantes reales
44 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
α, λ > 0, de tal manera que,
‖x(t)− xe‖ ≤ α ‖x(0)− xe‖ e−λt ∀t > 0 (3.2)
siempre que ‖x(0)− xe‖ < δ. Si (3.2) se cumple para cualquier x ∈ Rn, se dice que el
punto de equilibrio xe es exponencialmente estable en forma global.
La estabilidad exponencial es la forma mas estricta de estabilidad presentada hasta
el momento. Y es inmediato pensar que la estabilidad exponencial implica estabilidad
asintotica.
Existen diversas nociones de estabilidad referidas a la estabilidad de los puntos de
equilibrio. En general un sistema dinamico puede tener mas de un punto de equilibrio,
frecuentemente, en las definiciones y especialmente en las demostraciones de los teore-
mas de estabilidad, se asume que el punto de equilibrio bajo estudio es el origen xe = 0
sin perdida de generalidad. En caso de no ser ası, se debe realizar un cambio de variables
y definir un nuevo sistema con un punto de equilibrio en x = 0. [Marquez 2003].
3.1.2. Funciones definidas positivas
Una vez definido el concepto de estabilidad, el siguiente paso es estudiar la manera
en la que se analizan las propiedades de estabilidad de un punto de equilibrio. Este es el
centro de teorıa de estabilidad de Lyapunov. La base de esta teorıa de estabilidad es el
analisis y construccion de una clase de funciones a ser definidas y sus derivadas a lo largo
de las trayectorias del sistema bajo estudio. Se inicia por introducir la presentacion de
funciones definidas positivas. En la siguiente definicion, D representa un subconjunto
abierto y conexo de Rn.
Definicion 3.5. [Marquez 2003] Se dice que una funcion V : D → R es semidefinida
positiva en D si satisface las siguientes condiciones
i) 0 ∈ D y V (0) = 0
ii) V (x) ≥ 0, ∀x en D − 0
La funcion V : D → R es definida positiva en D si se reemplaza la condicion ii) por,
ii’) V (x) > 0, ∀x en D − 0
Finalmente la funcion V : D → R es semidefinida negativa en D si−V es semidefinida
positiva.
Ejemplo 3.1. Una de las mas simples y quizas mas importante clase de funciones
definidas positivas son,
V (x) : Rn → R = xT Qx, Q ∈ Rnxn, Q = QT
3.1. Estabilidad de Lyapunov 45
En este caso V (·) define una forma cuadratica. Ya que la matriz Q se define como
simetrica, esto es, Q = QT , y se sabe tambien que los eigenvalores correspondientes
λi, i = 1, . . . n, son todos reales. Entonces,
V (·) es definida positiva ⇔ xT Qx > 0,∀x 6= 0 ⇔ λi > 0, ∀i = 1, . . . , n
V (·) es semidefinida positiva ⇔ xT Qx ≥ 0, ∀x 6= 0 ⇔ λi ≥ 0,∀i = 1, . . . , n
V (·) es definida negativa ⇔ xT Qx < 0,∀x 6= 0 ⇔ λi < 0, ∀i = 1, . . . , n
V (·) es semidefinida negativa ⇔ xT Qx ≤ 0, ∀x 6= 0 ⇔ λi ≤ 0,∀i = 1, . . . , n
Las funciones definidas positivas constituyen el bloque basico de construccion de la
teorıa de estabilidad de Lyapunov. Dichas funciones se pueden ver como una abstraccion
de la “energıa total” almacenada en un sistema. Todos los teoremas de estabilidad de
Lyapunov estan enfocados al estudio de la derivada del tiempo de una funcion definida
positiva a lo largo de las trayectorias de (3.1). En otras palabras dado un sistema de la
forma (3.1), se debe construir primero la funcion V (x) y estudiar V (x) dado como,
V (x) =dV
dt=
∂V
∂x
dx
dt= ∇V · f(x)
=
[∂V
∂x1
∂V
∂x2
, · · · ,∂V
∂xn
]
f1(x)
f2(x)...
fn(x)
La siguiente definicion introduce una forma comun de representar esta derivada.
Definicion 3.6. [Marquez 2003] Supongase una funcion V : D → R y una funcion
f : D → Rn. La derivada de Lie de V a lo largo de f , denotado por LfV , se define
por,
LfV (x) =∂V
∂xf(x)
Entonces, de acuerdo a esta definicion, se tiene que,
V (x) =∂V
∂xf(x) = ∇V · f(x) = LfV (x)
3.1.3. Teorema de estabilidad
Teorema 3.1. [Marquez 2003] (Teorema de estabilidad de Lyapunov) Supongase que
x = 0 es un punto de equilibrio de x = f(x), que f : D → Rn y que V : D → R es una
funcion continuamente diferenciable, de tal manera que,
i) V (0) = 0
46 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
ii) V (x) > 0 en D − 0
iii) V (x) ≤ 0 en D − 0
Si las tres las condiciones anteriores se cumplen se dice que el punto x = 0 es estable.
En otras palabras el teorema implica una condicion suficiente y necesaria para la
estabilidad del punto de equilibrio x = 0, y que existe una funcion definida positiva
V (x) continuamente diferenciable, de tal manera que V (x) es semidefinida negativa en
la vecindad de x = 0.
Como se menciono en parrafos anteriores las funciones definidas positivas se pueden
considerar como una funcion generalizada de energıa. La condicion V (x) = c para una c
constante define la llamada superficie de Lyapunov. Una superficie de Lyapunov define
una region del espacio de estados que contiene todas las superficies de Lyapunov de
menor valor, esto es, dada una funcion de Lyapunov V (·), si se define,
Ω1 = x ∈ Br : V (x) ≤ c1Ω2 = x ∈ Br : V (x) ≤ c2
donde Br = x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ‖r‖, y c1 > c2 se eligen de manera que Ωi ⊂ Br, i = 1, 2,
entonces se tiene que Ω2 ⊂ Ω1.
La condicion V ≤ 0 implica que cuando una trayectoria cruza una superficie de
Lyapunov V (x) = c nunca puede salir. Esto es, que una trayectoria que satisface esta
condicion se encuentra confinada a una region cerrada Ω = x : V (x) ≤ c. Lo anterior
implica que el punto de equilibrio es estable, y hace al Teorema 3.1 intuitivamente
simple [Marquez 2003].
Ahora supongase que V (x) es definida negativa. En este caso, una trayectoria puede
solo moverse de una superficie de Lyapunov V (x) = c hacia una superficie mas interna
de Lyapunov con una c mas pequena. De acuerdo con [Marquez 2003] esto representa
una condicion de estabilidad mas estricta.
Teorema 3.2. [Marquez 2003] (Teorema de estabilidad asintotica) Bajo las condiciones
del Teorema 3.1, si V (·) cumple con,
i) V (0) = 0
ii) V (x) > 0 en D − 0
iii) V (x) < 0 en D − 0
se dice que el punto de equilibrio x = 0 es asintoticamente estable.
3.2. Analisis de estabilidad del efector 47
En otras palabras, el teorema dice que la estabilidad asintotica se logra si las condi-
ciones del Teorema 3.1 se fortalece haciendo que V (x) sea definida negativa, en lugar
de semidefinida.1
El primer paso cuando se desea estudiar las propiedades de estabilidad de un punto
de equilibrio consiste en elegir una funcion definida positiva V (·). Encontrar una funcion
definida positiva es bastante sencillo; lo que es muy difıcil es seleccionar una V (·) cuya
derivada a lo largo de las trayectorias cerca del punto de equilibrio sea negativa o
semidefinida negativa.
La razon, ciertamente es que V (·) es independiente de la dinamica de la ecuacion
diferencial que es objeto de estudio, mientras que V depende de esta dinamica de
una manera esencial. Por esta razon, cuando se propone una funcion V (·) como posible
candidata para probar cualquier forma de estabilidad, se dice que V (·) funcion candidata
de Lyapunov. Si sucede que V (·) es definida negativa, entonces se dice que es una funcion
de Lyapunov para ese punto de equilibrio [Marquez 2003].
3.2. Analisis de estabilidad del efector
Supongase que (3.3) es una buena aproximacion de la energıa total de un dedo de la
mano robotica (Ver expresiones (2.38) y (2.41)), se uso (3.3) como una funcion candidata
de Lyapunov para estudiar la estabilidad del efector.
H(q, q) = K(q, q) + U(q) (3.3)
De manera equivalente,
H(q, q) =1
2qT M(q)q + U(q) (3.4)
Se analizo la estabilidad de los dedos del efector de manera independiente y se ex-
tendio el resultado para el efector, suponiendo que de ninguna manera los dedos de
la mano robotica interactuan entre sı. Ahora considerando que el modelo de la mano
robotica es de la forma (3.1), se tiene que,
x =
[q
M(q)−1 [τ −N(q, q)]
], N(q, q) = C(q, q) q + G(q) (3.5)
x = f(x)
donde M(q) es la matriz de inercias, C(q, q) es la matriz de fuerzas centrıfugas y de
Coriolis, G(q) es el vector de gravedad, q es el vector de posiciones generalizado, q es el
vector de velocidades generalizado y τ es el vector de fuerzas de entrada generalizado.
1 La demostracion de los teoremas presentados en esta seccion pueden consultarse en[Marquez 2003].
48 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
El origen es un punto de equilibrio, debido a que f(0) = 0. Para estudiar la estabilidad
del origen en el equilibrio, se requiere proponer una funcion candidata de Lyapunov
V (x) y demostrar que satisface las propiedades de alguno de los teoremas de estabilidad
presentados.
En general elegir esta funcion es relativamente difıcil, sin embargo, en este caso se
procedio inspirado por el entendimiento del sistema fısico, es decir, se calcula la energıa
total de cada uno de los dedos (que son funciones definidas positivas)2 , y se usa esta
cantidad como una funcion candidata de Lyapunov (3.4).
H(q, q) =1
2qT M(q)q + U(q)
donde el vector de estados,
x = q =
x1
x2
x3
x4
x5
x6
=
q1
q2
q3
q4
q5
q6
=
q1
q2
q3
q1
q2
q3
y,
x = q =[
q1 q2 q3 q1 q2 q3
]T
Ahora si se define V (x) = H(q, q), claramente V (0) = 0, es decir, que la propiedad
i) se cumple en ambos teoremas.
Tambien se tiene que V (x) 6= 0 para cualquier x 6= xe . El siguiente paso considerando
que la funcion candidata de Lyapunov es definida positiva, es derivar V(x) respecto al
tiempo aplicando el concepto de la derivada de Lie.
V (x) =1
2qT M(q)q + U(q) (3.6)
V (x) = qT M(q)q +1
2qT M(q)q + U(q) (3.7)
Tomando el modelo de la mano robotica como,
M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (3.8)
de (3.8) se despeja M(q)q y sustituyendo en (3.7) se tiene,
V (x) = qT [τ − C(q, q) q −G(q)] +1
2qT M(q)q + U(q) (3.9)
2 Para mayor informacion consultar [Ortega et. al. 1998], [Marquez 2003].
3.3. Controladores de movimiento para el efector 49
Reordenando de manera conveniente y considerando que qT τ = 0, se tiene entonces,
V (x) = qT
[1
2M(q)− C(q, q)
]q − qT G(q) + U(q) (3.10)
No importa la manera en como este definida C(q, q); siempre se cumple que
qT[
12M(q)− C(q, q)
]q = 0. 3
Considerando que los dedos del efector son completamente amortiguados4 entonces
xe es la solucion de
U(q) =∂U(q)
∂q= 0
entonces existe un mınimo local estricto de la funcion de energıa potencial U(q) es decir,
si U(q) es propia5 y el mınimo es unico, entonces este equilibro es asintoticamente
estable en forma global.
Lema 3.1. Lema C.7 [Ortega et. al. 1998] Supongase que la funcion f(x) : Rn → R y
Bσ ⊆ Rn.
Si ademas
i) f(0) = 0
ii) dfdx
(0) = 0
iii) d2fdx2 > Inε > 0, ε > 0,∀x ∈ Bσ
entonces f(x) tiene un mınimo local estricto y unico en el origen, localmente en Bσ. Si
Bσ = Rn entonces el mınimo es global y unico.
Lo anterior implica que 6
V (x) = 0
Por lo que de acuerdo con el Teorema 3.1, el origen es un punto de equilibrio estable.
3.3. Controladores de movimiento para el efector
Se desea que los dedos de la mano robotica describan repetidamente un movimiento
circular, para ello es necesario, como primer paso conocer el espacio de trabajo del
3 [Ortega et. al. 1998b].4 Consultar [Ortega et. al. 1998]5 Si satisface el Lema C.7 de [Ortega et. al. 1998].6 [Marquez 2003], [Ortega et. al. 1998b].
50 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
efector, y ası, disenar un movimiento para cada articulacion que sea alcanzable por los
dedos, posteriormente elegir una metodologıa de control que cumpla con dicho objetivo.
Algunos de los robots que se utilizan en la industria ası como los robots antropomor-
ficos, estan equipados con sensores de posicion y velocidad, esto significa que tanto
el vector de posiciones articulares como el vector de velocidades articulares q y q res-
pectivamente, estan disponibles y pueden ser utilizadas para construir las diferentes
leyes de control.
Algunos otros robots estan equipados solo con sensores de posicion por lo que la
velocidad articular en caso de ser necesaria debe calcularse de manera independiente e
implementada mediante estimacion derivando la posicion articular (filtrando) o emple-
ando observadores.
Existen de manera basica dos problemas de control de robots manipuladores; control
de posicion y de movimiento. El objetivo del control de posicion es encontrar una τ de
tal forma que,
lımt→∞
q(t) = qd(t)
donde qd, la posicion articular deseada, es un vector constante. Se define el error articular
como e(t) = qd(t) − q(t), e(t) ∈ Rn. Este objetivo de control se emplea en robots
manipuladores que se desplazan libremente en su espacio de trabajo sin interaccionar
con su medio ambiente [Kelly y Santibanez 2003].
El objetivo de control de movimiento es encontrar una funcion vectorial τ de manera
tal que las posiciones articulares q asociadas a las coordenadas articulares del manipu-
lador, sigan con precision a qd, es decir, que siga a una trayectoria deseada.
lımt→∞
e(t) = 0
Las leyes de control descritas en este documento de tesis consideran que los
accionadores de los cuales esta provisto el efector son ideales, es decir, los actua-
dores proporcionan pares y fuerzas proporcionales a sus entradas. En caso de ser
necesaria la inclusion de la dinamica del actuador, solo debe sustituirse el modelo
matematico del mismo en la dinamica del efector sin verse afectado el sistema de control
[Liu y Goldenberg 1993].
Como se desea que los dedos de la mano describan repetidamente un movimiento
circular, el tipo de controladores empleados para la simulacion en Matlabr, deben ser
controladores de movimiento. La conclusion parece ser bastante logica sin embargo es
necesario definir el tipo de controladores a emplear de acuerdo con la aplicacion para
la cual se requiere.
El estudio de las diferentes leyes de control de movimiento para robots manipuladores
demuestra que el control de par calculado es uno de los mejores controladores repor-
tados en la literatura, esto debido principalmente a la facilidad de implementacion y
3.3. Controladores de movimiento para el efector 51
a que cumple en buena manera con el objetivo de control [Kelly y Santibanez 2003],
[Ollero 2001], [Spong y Vidyasar 1989] entre otros.
3.3.1. Control de par calculado (CPC)
Considerese el modelo dinamico de robots manipuladores como,
M(q)q + C(q, q)q + G(q) + τd = τ (3.11)
donde τd representa las posibles perturbaciones que afectan la dinamica del robot,
q(t) ∈ Rn y τ esta dado en Volts (la relacion voltaje de entrada par de salida es lineal).
Lo anterior supone que el modelo del actuador (para este caso de estudio motores de
cd) de cada articulacion esta incluido en el modelo del robot manipulador.
Por simplicidad se reescribe la ecuacion (3.11) de la siguiente manera,
M(q)q + N(q, q) + τd = τ N(q, q) = C(q, q)q + G(q) (3.12)
y se define el error de seguimiento articular como, e(t) = qd(t) − q(t), e(t) ∈ (R)n y
sus derivadas como, e(t) = qd(t) − q(t) y e(t) = qd(t) − q(t), con qd(t) una trayectoria
deseada o calculada previamente.
Si de (3.12) se resuelve para q y se sustituye en la expresion de la segunda derivada
del error de seguimiento se obtiene,
e(t) = qd + M(q)−1 [N(q, q) + τd − τ ] (3.13)
De donde se puede definir la funcion de entrada de control como,
u = qd + M(q)−1 [N(q, q)− τ ] + w (3.14)
con w = M(q)−1τd. Se supone que la perturbacion es desconocida por lo que de aquı en
adelante se suprimira el termino w. Con esta ley de control es posible redefinir el vector
de estados del robot resultando,
qe =[
eT eT]T
(3.15)
la ley de control de par calculado se obtiene invirtiendo la expresion (3.14) sin el termino
w. Quedando,
τ = M(q) [qd − u] + N(q, q) (3.16)
Debido a que el objetivo de control es, encontrar una u de tal manera que,
lımt→∞
e(t) = 0 (3.17)
52 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
La seleccion de la u de control dependera de las necesidades del sistema de control,
es decir, de la aplicacion para la cual esta destinado el robot. Una forma de calcular u
es como una retroalimentacion PD, por ejemplo,
u = −Kp e−Kv e (3.18)
Entonces, la ley de control PD de par calculado (PDPC) queda finalmente como,
τ = M(q) [qd + Kv e + Kp e] + C(q, q) + G(q) (3.19)
El control de par calculado puede variar de acuerdo a la eleccion de la u de control.
El objetivo de control de movimiento es encontrar una funcion vectorial τ de manera
tal que las posiciones articulares q asociadas a las coordenadas articulares del robot
sigan con precision a qd, una trayectoria deseada.
3.3.2. Control basado en pasividad (CBP)
El control de movimiento es por naturaleza no lineal. Los estudios realizados en este
tema han arrojado soluciones diversas para este problema, de los cuales el control de
par calculado es actualmente el mejor conocido. Sin embargo el control de par calculado
logra el objetivo de control empleando el concepto de linealizacion por retroalimentacion
de estados. Esto supone por otro lado, que si el controlador de movimiento empleado
considera la dinamica no lineal del robot, su desempeno sera mucho mejor que el del
control de par calculado.
En anos recientes, el ya bien conocido enfoque de control de robots basado en pa-
sividad ha ganado mucha atencion, ya que, contrariamente al control de par calculado,
trata el problema explotando la estructura fısica del modelo del robot.
La idea principal de este enfoque es moldear la funcion de energıa natural del sistema
de robot de manera tal que se logre el objetivo de control. Esto se hace mediante la
construccion de un controlador que encuentra una funcion de energıa deseada y adiciona
amortiguamiento via retroalimentacion de velocidad para propositos de estabilizacion
asintotica.
En 1981 Takegaki y Arimoto ([Paden and Panja 1988]) presentaron una metodologıa
de diseno de controladores basados en pasividad para resolver el problema de control
de posicion cuyo objetivo consiste en posicionar al robot en alguna posicion deseada qd,
haciendo que exista un mınimo en (e, q) = (0, 0), donde e = qd − q representa el error
de posicion.
El esquema de Takegaki y Arimoto esta sustentado en una simple idea: compen-
sar, por medio de retroalimentacion de la posicion, las fuerzas gravitacionales y en-
tonces anadir fuerzas articulares para lograr tener un mınimo en la posicion deseada y
3.3. Controladores de movimiento para el efector 53
garantizar mediante la adicion de amortiguamiento la convergencia de los estados del
manipulador a la posicion deseada.
Para ilustrar lo anterior se define la ley de control de posicion de Takegaki y Arimoto
como,
τ = G(q)−Kp e + v (3.20)
donde v representa una nueva entrada de control definida como v = −Kde.7 Esta
eleccion de la ley de control modifica la funcion de energıa mecanica del robot en lazo
cerrado en,
H(e, q) =1
2qT M(q)q +
1
2eT Kp e (3.21)
y,
H(e, q) = qT v (3.22)
La expresion (3.22) implica que el sistema en lazo cerrado es marginalmente estable
y es pasivo de la nueva entrada v a q.8
El control de robots a altas velocidades requiere mas que un controlador de posicion
de Takegaki y Arimoto. En lugar de especificar un punto deseado en el espacio de tra-
bajo del manipulador, se especifica ahora una trayectoria o movimiento y se disena un
controlador el cual garantiza que los estados del manipulador converjan a esa trayecto-
ria. [Paden and Panja 1988] realizaron una extension de la ley de control de posicion de
Takegaki y Arimoto, para resolver el problema de movimiento, el controlador resultante
puede verse como una re-configuracion de la ley de control de par calculado. El analisis
del esquema sistema/controlador se realizo empleando el teorema de Matrosov.9
Entonces el problema del control de movimiento se plantea como; dado un movimiento
deseado qdique tiene primera y segunda derivada, encontrar las fuerzas articulares que
garanticen que los estados del manipulador[
qT qT]T
, converjan a[
qTd qT
d
]Tpara
cualquier condicion inicial [Paden and Panja 1988].
Se elige la funcion candidata de Lyapunov V (x) = V (e, e) como,
V (x) =1
2eT M(q)e +
1
2eT Kp e (3.23)
donde Kp simetrica y definida positiva. Diferenciado la funcion candidata de Lyapunov
con respecto al tiempo se tiene,
V (x) = eT M(q)e +1
2eT M(q)e + eT Kp e (3.24)
V (x) = eT M(q) (q − qd) +1
2eT M(q)e + eT Kp e (3.25)
7 Para mayor informacion acerca de la ley de control de Takegaki y Arimoto Revisar[Berguis and Nijmeijer 1993], [Paden and Panja 1988] y [Ortega et. al. 1998] por citar algunos.
8 Ver [Ortega et. al. 1998b].9 Consultar [Paden and Panja 1988].
54 Capıtulo 3. Analisis de estabilidad y sintonizacion de controladores
Sustituyendo la dinamica (3.8) y explotando sus propiedades, se tiene,
V (x) = eT [τ − C(q, q)q −G(q)]− eT M(q)qd +1
2eT M(q)e + eT Kp e (3.26)
V (x) = eT τ − eT C(q, q)q − eT G(q)− eT M(q)qd +1
2eT M(q)e + eT Kp e (3.27)
V (x) = eT τ − eT C(q, q)q − eT G(q)− eT M(q)qd +1
2eT M(q)e + eT Kp e
+ eT C(q, q)e− eT C(q, q)e (3.28)
V (x) = eT τ + eT
[1
2M(q)− C(q, q)
]e− eT G(q)− eT M(q)qd + eT Kp e
− eT C(q, q)qd (3.29)
Si se elige τ (que es la ley de control) de la siguiente manera,
τ = M(q)qd + C(q, q)qd + G(q)−Kp e + v (3.30)
donde,
v = −Kve (3.31)
con Kv definida positiva. De esta manera la derivada de la funcion de Lyapunov V (x)
queda,
V (x) = eT v (3.32)
la cual es semi-definida negativa en el error de seguimiento. La ley de control 3.30
define un mapeo pasivo entre v y e. Esta ley de control preserva la propiedad natural
de pasividad del efector.10
3.4. Aspectos relevantes
La teorıa de estabilidad de Lyapunov estudia el comportamiento de sistemas dinami-
cos descritos por ecuaciones diferenciales de la forma, x = f(x). Entre los conceptos
basicos de la teorıa de Lyapunov, destacan, equilibrio, estabilidad, estabilidad asintotica
y estabilidad exponencial.
La estabilidad del efector juega su rol mas importante en el analisis de los esque-
mas sistema/control. A traves de Lyapunov es posible tambien, disenar controladores
como en el caso del CBP. La ley de control de par calculado puede obtenerse al igual
que el CBP aplicando el denominado metodo directo de Lyapunov como lo demuestra
[Kelly y Santibanez 2003].
10 Para mayor detalle de la pasividad de los sistemas E-L consultar [Ortega et. al. 1998].
3.4. Aspectos relevantes 55
Para realizar la simulacion o implementacion de controladores de movimiento de
robots, se requiere tener conocimiento del espacio de trabajo del efector, y ademas, el
robot no debe interactuar con su medio ambiente.
Las leyes de control presentadas, suponen que el actuador guarda una relacion lineal
entre el voltaje de entrada y el par de entregado a las articulaciones, tambien, que el
modelo dinamico del efector se conoce perfectamente.
La ley de control (3.30) se obtuvo siguiendo el trabajo de [Paden and Panja 1988],
empleando la misma funcion candidata de Lyapunov pero con ligeras variantes en el
desarrollo de V (x).
Capıtulo 4
Resultados
4.1. Espacio de trabajo
Conocidos los modelos matematicos del efector, es necesario calcular el espacio de
trabajo de los dedos de la mano robotica y de esta manera poder proponer el movimiento
circular de los dedos, esto para no exceder los lımites de voltaje y par que los actua-
dores deben proporcionar. El espacio de trabajo de un manipulador es el conjunto de
puntos que es capaz de alcanzar sin exceder o forzar alguna de sus caracterısticas de
construccion.
Dependiendo de la configuracion y la longitud de los eslabones de cada dedo del
efector, estos pueden alcanzar un conjunto (o coleccion) de puntos llamados espacio de
trabajo. El calculo del espacio de trabajo de cada robot esta relacionado unicamente
con su configuracion.
El espacio de trabajo se puede encontrar matematicamente escribiendo las ecuaciones
que describen las articulaciones y eslabones del robot, incluyendo sus limitaciones, por
ejemplo los rangos de movimiento de cada articulacion. De manera alterna el espacio
de trabajo puede ser encontrado empıricamente, moviendo cada articulacion a traves
de todo su rango de movimiento y combinando todos los puntos que puede alcanzar y
restando los que no.
Se debe conocer perfectamente el espacio de trabajo de un robot para ası proponer
un punto,una trayectoria o un movimiento deseado que el robot sea capaz de alcanzar.
De la tabla 2.2, se tiene que un dedo de la mano humana puede moverse en cada
articulacion de 0 − 90o, 0 − 110o y de 0 − 70o, correspondientemente a las falanges
proximal, medial y distal. Las longitudes de cada uno de los eslabones de los dedos de
la mano robotica se presentan en el Anexo C.
Empleando la informacion mencionada anteriormente y aplicando un algoritmo pro-
gramado en Matlabr se obtuvo la Figura 4.1.
Las cruces indican los puntos que cada uno de los dedos es capaz de alcanzar con
57
58 Capıtulo 4. Resultados
las limitaciones expuestas. La circunferencia trazada en lınea continua ejemplifica de
manera grafica el movimiento circular que se pretende sea el objeto de estudio. Este
movimiento se realiza completamente en un plano bidimensional descrito por cada dedo
del efector.
Suponga que suspende su mano en el aire y con su dedo ındice empieza a trazar una
circunferencia en el espacio flexionando y extendiendo su dedo. Tal movimiento repıtalo
para cada dedo sin mover de posicion la mano para ello. lo anterior esta representado
en las graficas de la Figura 4.1.
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2
0
2
4
6
8
10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Índice
Unidades (cm)
Uni
dade
s (c
m)
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Medio
Unidades (cm)
Uni
dade
s (c
m)
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Pulgar
Unidades (cm)
Uni
dade
s (c
m)
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2
0
2
4
6
8
10Espacio de trabajo y trayectoria deseada para el dedo Anular
Unidades (cm)
Uni
dade
s (c
m)
Figura 4.1: Espacios de trabajo de los dedos de la mano robotica y descripcion delmovimiento circular.
Para calcular el espacio de trabajo con Matlabr se introduce (4.1) en un conjunto de
ciclos anidados que generan todas las posibles combinaciones de los angulos articulares
de cada dedo de la mano robotica. El barrido de valores se hace desde cero hasta
los lımites para las articulaciones de los dedos empezando por la articulacion 1 de
[0− 90], la articulacion 2 de [0− 110] y finalmente la articulacion 3 de [0− 70]. Donde
las articulaciones 1, 2 y 3 corresponden a θ1, θ2 y θ3. Todos los valores estan dados en
4.1. Espacio de trabajo 59
grados.
x = l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2) + l3 cos(θ1 + θ2 + θ3)
y = l1 sen θ1 + l2 sen (θ1 + θ2) + l3 sen (θ1 + θ2 + θ3) (4.1)
El movimiento deseado para cada dedo de la mano robotica puede representarse como
“trayectorias” articulares a traves de la cinematica inversa presentada en el Capıtulo
2. El resultado de aplicar la solucion a la cinematica inversa a los dedos del efector se
muestra en la Figura 4.2.
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100Trayectorias deseadas del dedo Pulgar
Tiempo (segundos)
Coo
rden
adas
art
icul
ares
(gr
ados
)
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100Trayectorias deseadas del dedo Índice
Tiempo (segundos)
Coo
rden
adas
art
icul
ares
(gr
ados
)
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100Trayectorias deseadas del dedo Medio
Tiempo (segundos)
Coo
rden
adas
art
icul
ares
(gr
ados
)
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100Trayectorias deseadas del dedo Anular
Tiempo (segundos)
Coo
rden
adas
art
icul
ares
(gr
ados
)
qd1qd2qd3
Figura 4.2: Trayectorias articulares para describir un movimiento circular de los dedosdel efector.
Observese que ninguna de las articulaciones de los dedos del efector excede los lımites
de movimiento presentados en la Tabla 2.2. En la Figura 4.2 se introduce parte de
la nomenclatura empleada en los controladores de movimiento usados para este caso
de estudio. Los resultados obtenidos seran de gran utilidad en la simulacion de los
controladores.
Las expresiones matematicas equivalentes a los movimientos representados en la Figu-
ra 4.2 que cada dedo del efector debe realizar estan dados por,
60 Capıtulo 4. Resultados
Para los dedos Indice y Anular
xd = 1 + 0,7 sen t (4.2)
yd = 7 + 0,7 cos t (4.3)
Para los dedos Medio y Pulgar
xd = 0,8 sen t (4.4)
yd = 7 + 0,8 cos t (4.5)
4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par cal-
culado (PDPC)
El espacio de trabajo y los movimientos deseados para cada dedo del efector (Figura
4.1) se definieron como,
Dedos Indice y Anular
xd = 1 + 0,7 sen t
yd = 7 + 0,7 cos t (4.6)
Dedos Medio y Pulgar
xd = 0,8 sen t
yd = 7 + 0,8 cos t (4.7)
y la ley de control PD de par calculado (PDPC).
τ = M(q) [qd + Kv e + Kp e] + C(q, q) + G(q) (4.8)
Para fines de simulacion las matrices de sintonizacion, Kp y Kv pueden ser diagonales,
asegurando de esta manera un control completamente desacoplado entre articulaciones.
Las eleccion de las matrices Kp y Kv puede hacerse especıficamente como,
Kp = diagw2
1, · · · , w2n
Kv = diag 2w1, · · · , 2wn (4.9)
Con esta eleccion, cada union responde igual que un sistema lineal de segundo orden
crıticamente amortiguado con ancho de banda wi. El ancho de banda wi determina la
4.2. Implementacion en Matlabr del PD de par calculado (PDPC) 61
velocidad de respuesta de la union y, en consecuencia, la taza de decaimiento exponencial
del error articular e y su derivada e; [Kelly y Santibanez 2003].
Recuerdese que se desea que los dedos del efector describan un movimiento circular
en su espacio de trabajo. Entonces para poder formular la ley de control en Matlabr,
se requiere de una relacion directa entre el espacio cartesiano de trabajo de los dedos
y las coordenadas articulares del efector. Dicha relacion de los movimientos articulares
deseados, se calcula haciendo uso de la solucion a la cinematica inversa presentada en
el Capıtulo 2. Ver tambien Figura 4.2.1
De acuerdo con (4.9), las matrices de sintonizacion Kp y Kv, se eligieron,
Kp = diag[
502 502 502]
Kv = diag[
100 100 100]
(4.10)
de manera tal que w = 50.
En la Figura 4.3 se ilustra el esquema de control PDPC construido en Simulink de
Matlabr. El control fue simulado con los siguientes parametros de simulacion.
Tabla 4.1: Parametros de simulacion del PDPC.
Parametro Configuracion
Tiempo de simulacion (Stop Time) 10 segundos
Opciones de la solucion (Solver options) Paso fijo (Fixed-step)
Solucionador (Solver) ode45 (Domain-Price)
Tamano del paso fijo (Fixed-step size) 0.01
Los resultados de simulacion se encuentran graficados en la Figura 4.4. Observese
como las componentes de error de seguimiento e tienden asintoticamente a cero.
En la Figura 4.4, Error 1, Error 2 y Error 3 (con Error = q − qd), corresponden a
los errores de cada articulacion de cada dedo de la mano robotica. A simple vista, el
control PDPC resulta ser un buen controlador al problema de control de movimiento
planteado.
Una de las principales limitantes de la implementacion de este control, radica en el
hecho de que es estrictamente necesario tener conocimiento exacto del modelo dinamico
del efector (conocer las matrices M(q), C(q, q) y G(q)), ası como contar con sus estados
completos, esto es, tanto las posiciones como las velocidades articulares.
Notese como existe una pequena oscilacion al rededor del cero de las senales de
error, esto puede deberse a una mala sintonizacion, al metodo de integracion empleado
1 CineInvMedioyPulgar.mdl, CineInvindice.mdl y CineInvAnular.mdl
62 Capıtulo 4. Resultados
t
tiempo desimulación
q's-pulgar
q's-medio
q's-indice
q's anular
e's pulgar
e's medio
e's indice
e's anular
qds-dedos
Trayectoriasdeseadas
tau1pul
tau1ind
tau1med
tau1anu
edospul
edosind
edosmed
edosanu
Mano cenidet
qd-dedos
edos-pul
edos-ind
edos-med
edos-anu
taus-pul
e-pul
taus-ind
e-ind
taus-med
e-med
taus-anu
e-anu
Control de parcalculado
Clock
<q1p>
<q2p>
<q3p>
<q1i>
<q2i>
<q3i>
<q1m>
<q2m>
<q3m>
<q1a>
<q2a>
<q3a>
Figura 4.3: Esquema de simulacion del control PD de par calculado.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20
0
20
40
60
80Errores articulares del dedo Pulgar
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
50
60Errores articulares del dedo Índice
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20
0
20
40
60
80Errores articulares del dedo Medio
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
50
60Errores articulares del dedo Anular
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
Error 1Error 2Error 3
Figura 4.4: Resultados de simulacion del control PD de par calculado.
4.3. Implementacion en Matlabr del control basado en pasividad (CBP) 63
o a la linealizacion realizada por el control de par calculado. Esta variacion disminuye
empleando el CBP, el cual considera al momento de disenar la ley de control, la dinamica
no-lineal del efector.
4.3. Implementacion en Matlabr del control basado
en pasividad (CBP)
La naturaleza no-lineal del enfoque de control no permite que exista o se pueda
desarrollar una metodologıa de sintonizacion, por lo que la eleccion de las matrices de
sintonizacion se calculan a prueba y error. Se eligieron las matrices de sintonizacion Kp
y Kv, como matrices diagonales, asegurando que el CBP para cada dedo del efector sea
desacoplado. Las matrices de sintonizacion quedan entonces,
Kp = diag[
602 602 602]
Kv = diag[
80 80 80]
(4.11)
En la Figura 4.5 se presenta el esquema de simulacion del CBP empleado en los dedos
Pulgar y Medio.2
Los resultados de simulacion del CBP se muestran en la Figura 4.6. El control basado
en pasividad al igual que el PD de par calculado cumple con el objetivo de control, sin
embargo, se observa que los errores de seguimiento articular generados por el CBP
tienden mas rapido a cero que los encontrados por el PDPC.
Esta aseveracion puede no ser suficiente para demostrar o comprobar que el CBP
resulta tener un mejor comportamiento que el PDPC para este caso de estudio. Por ello
se hace necesario recurrir a alguna medida de error que permita observar numericamente
el comportamiento de ambos controladores al momento de resolver el mismo problema,
en el marco de cantidad de error y rapidez.
Al igual que el control PDPC el CBP requiere del conocimiento exacto del modelo
dinamico de la mano robotica y del vector de mediciones de posicion y velocidades ar-
ticulares. El ingeniero debe tener en cuenta esto al momento de implementar cualquiera
de los dos controladores de movimiento descritos.
En caso de no estar disponibles los vectores de medicion, las leyes de control no
podran implementarse. Para solucionar ese problema deben disenarse esquemas contro-
lador/observador para estimar el vector de velocidades articulares.3
La Tabla 4.2 muestra los parametros de configuracion para las simulaciones del CBP.
2 El esquema para los dedos restantes es similar al presentado en la Figura 4.5.3 Consultar [Berguis and Nijmeijer 1993] como un ejemplo de diseno de observadores aplicados al
control de robots manipuladores.
64 Capıtulo 4. Resultados
Control basado en pasividaddedos medio y pulgar
timep
tiempo desimulación
tau3p
tau3-pul
tau2p
tau2-pul
tau1p
tau1-pul
[tmp,qd3mp]
qd3-pul
[tmp,qd2mp]
qd2-pul
[tmp,qd1mp]
qd1-pul
q3p
q3-pul
q2p
q2pul
q1p
q1-pul
error articular
e3p
e3-pul
e2p
e2-pul
e1p
e1-pul
Velocidad Articular
pulgar
Pulgar
Posición Articular
qd1
qd2
qd3
q1
q2
q3
q4
q5
q6
tau1-pul
tau2-pul
tau3-pul
e1-pul
e2-pul
e3-pul
Control basado en pasividad
Clock
q1
q2
q3
q4
q5
q6
<q6>
<q5>
<q3>
<q2>
<q1>
<q4>
Figura 4.5: Esquema de simulacion del CBP para los dedos Pulgar y Medio.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20
0
20
40
60
80Errores articulares del dedo Pulgar
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10
0
10
20
30
40
50
60Errores articulares del dedo Índice
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20
0
20
40
60
80Errores articulares del dedo Medio
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10
0
10
20
30
40
50
60Errores articulares del dedo Anular
Tiempo (segundos)
Err
or a
rtic
ular
(gr
ados
)
Error 1Error 2Error 3
Figura 4.6: Resultados de simulacion del control basado en pasividad.
4.4. Comparacion del desempeno de los controladores 65
Tabla 4.2: Parametros de simulacion del CBP.
Parametro Configuracion
Tiempo de simulacion (Stop Time) 10 sec
Opciones de la solucion (Solver options) Paso variable (Variable-step)
Solucionador (Solver) ode45(Domain-Price)
Tamano del paso fijo (Fixed-step size) 0.1
La variante de la opcion de solucion en la simulacion de ambos controladores se debe
al hecho, de tratar comparar el desempeno de los controladores en las mejores condi-
ciones. En paso-variable (Variable-step) el PDPC presenta una oscilacion considerable
alrededor del cero del error articular, por lo que se opto por cambiar paso variable por
paso fijo en los parametros de configuracion de la simulacion del PDPC.
4.4. Comparacion del desempeno de los controladores
En la simulacion o implementacion de controladores es necesario tener alguna medida
que valore la calidad de la sintonizacion, esa medida puede obtenerse comparando el
resultado obtenido con el movimiento deseado.
Analizar a simple vista los vectores de error encontrados y graficados en las Figuras
4.4 y 4.6, no determina de forma cuantitativa el controlador con mejor comportamien-
to al movimiento deseado. Es por ello que se hace necesario emplear una alternativa
cuantitativa de calculo de error, de manera que se tenga una cantidad de error que
demuestre el funcionamiento de los controladores simulados.
De acuerdo al estudio realizado existen diversas medidas de error que pudieran em-
plearse para determinar que controlador resulta mas conveniente al momento de resolver
el problema de movimiento. Entre ellos se encuentran el error cuadratico medio (ECM).
El ECM da una medida de las diferencias en promedio entre los movimientos deseados
y los observados.
La expresion (4.12) representa la formula del ECM, empleada para calcular las can-
tidades de error de las simulaciones,
ECM =
√√√√√√√
n∑i=1
(ei − e)2
n(n− 1)
(4.12)
66 Capıtulo 4. Resultados
donde
e =
n∑i=1
ei
n
En la Tabla 4.3 se presentan los resultados de aplicar el concepto de ECM a cada
dedo del efector. La columna ECM(CBP) contiene las medidas de error articular resul-
tado del control basado en pasividad aplicado al acaso de estudio. De manera similar,
ECM(CPC) contiene las cantidades de error del control PD de par calculado.
Tabla 4.3: Medidas de error de los dedos del efector.
Dedos ECM (CBP) ECM (CPC)
Anular 0.052259o 0.067668o
Indice 0.074442o 0.097324o
Medio y Pulgar 0.0102973o 0.0135191o
Notese de la Tabla 4.3 que las cantidades de error articulares obtenidas del CBP son
menores que las del PDPC. De lo anterior puede concluirse de manera superficial que el
CBP es el mejor controlador de los dos analizados en este documento de tesis. El CBP
logra su objetivo en un menor tiempo y ademas con una cantidad de error menor que
el PDPC.
Ambos controladores cumplen con el objetivo de control (describir un movimiento
circular flexionando y extendiendo los dedos de la mano robotica), sin embargo el uso
de una u otra tecnica dependera siempre de la aplicacion para la cual este destinada el
efector.
La diferencia numerica entre los ECM de los controladores, puede deberse especıfi-
camente al hecho de que el controlador basado en pasividad considera la dinamica
no-lineal del efector y el PDPC emplea la llamada linealizacion por retroalimentacion
de estados.
4.5. Resultados
Las graficas de error muestran que el CBP tiende en un menor tiempo a cero, en
comparacion con el PDPC, sin embargo dicha aseveracion puede ser ambigua pues no
es del todo claro y no podrıa asegurarse que el CBP resulte ser mejor controlador de
movimiento que el PDPC para la condicion con la que se realizo la comparacion.
Para ello es necesario alguna medida de error que ayude a clarificar el comportamien-
to de ambos controladores ante el mismo problema. Una opcion es emplear el error
4.6. Aspectos relevantes 67
cuadratico medio, para calcular las cantidades de error de cada uno de los dos del efec-
tor y poder ası, de esta manera, determinar numericamente que controlador tiene menor
cantidad de error.
La comparacion en el desempeno de ambos controladores (CPC y CBP) mostro que
el CBP tiene una menor cantidad de error que el CPC, sin embargo, el uso de una u
otra ley de control dependera del ingeniero y de la aplicacion para la cual esta disenado
el efector.
La implementacion fısica de cualquiera de los controladores propuestos, se encuen-
tra limitada por la necesidad de conocer las velocidades articulares del efector, ya que
el mismo solo cuenta con sensores de posicion. Una de las soluciones propuestas es,
derivar el vector de posiciones articulares empleando un filtro, o con el diseno de obser-
vadores no lineales que estimen las velocidades articulares, estableciendo un esquema
controlador/observador.
4.6. Aspectos relevantes
Las tecnicas de control de movimiento empleadas cumplen con el objetivo de control
de una manera satisfactoria, considerando el hecho de que se debe de disponer de los
vectores de posiciones y velocidades articulares de los dedos del efector, ası como, del
modelo dinamico exacto del mismo.
Resultado de aplicar el concepto de error cuadratico medio a los vectores de error
articular encontrados en las simulaciones, se deduce que el CBP tiene un mejor com-
portamiento que el PDPC. Este mejor comportamiento se traduce como mas veloz y
mas estable en el marco de seguimiento de la referencia.
La implementacion de cualquiera de los dos controladores, dependera las habilidades
de programacion del ingeniero y de la aplicacion para la cual este destinado el efector.
Capıtulo 5
Conclusiones y trabajos futuros
5.1. Comentarios generales
El analisis y control de robots puede ser una tarea no muy sencilla, principalmente
con aquellos robots cuyo diseno antropomorfico emula alguna extremidad u organo
humano.
El principal problema al que puede enfrentarse el ingeniero al intentar controlar la
posicion o el movimiento de robots, es encontrar los modelos matematicos que describen
la posicion y orientacion del mismo, ası como, aquel que representa su comportamiento
dinamico.
Existen dos problemas asociados al modelado cinematico de robots manipuladores. El
primero de ellos se conoce como Problema cinematico directo. La tecnica de modelado
cinematico directo de robots mas empleada en la literatura es la convencion o Formalis-
mo Denavit-Hartenberg, que esta sustentado en la determinacion de cuatro cantidades,
asociadas a cada eslabon del manipulador, apoyandose en la asignacion de sistemas
coordenados a cada articulacion del mismo y, al calculo de una matriz llamada, matriz
de transformacion homogenea H. En la matriz H se encuentra contenida informacion
de la posicion y la orientacion del ultimo eslabon del manipulador o en este caso de
estudio el punto terminal del ultimo eslabon de cada dedo de la mano robotica (siendo
este el equivalente de yema en una mano humana).
El modelo cinematico directo de un manipulador solo expresa la posicion y orientacion
de su ultimo eslabon respecto a un sistema coordenado fijo o de referencia, generalmente
asignado a la base inmovil del mismo.
El segundo problema asociado a la cinematica de robots es, el problema cinematico
inverso, el cual consiste en encontrar expresiones explıcitas para las variables articu-
lares en funcion de la posicion o movimiento deseado, segun sea el problema de control.
El problema cinematico inverso no es un problema facil de solucionar, ya que debido a
la configuracion del robot, puede no existir una solucion o no ser unica.
69
70 Capıtulo 5. Conclusiones y trabajos futuros
El modelo cinematico de robots es suficiente cuando se desea realizar un control de
posicion puro, es decir, cuando solo se desea posicionar al robot en un punto especıfico
de su espacio de trabajo. Sin embargo, cuando se desea ademas controlar la velocidad
con la que el movimiento deseado se realice, se requiere de un modelo que considere las
fuerzas aplicadas a los actuadores.
El modelo que involucra las fuerzas de entrada necesarias mencionadas anterior-
mente, se llama modelo dinamico. El modelo dinamico de robots manipuladores puede
calcularse, bien empleando las leyes de Newton o tecnicas variacionales, como el For-
malismo de Euler-Lagrange.
Si la estructura o configuracion mecanica de los robots no es muy compleja, las
leyes de Newton son suficientes para encontrar sus modelos dinamicos. Sin embargo,
conforme la complejidad de la configuracion del robot aumenta, se complica de manera
significativa el modelado. Para resolver este inconveniente, se hace uso de metodos
variacionales basados en funciones de energıa. Entre ellos se encuentra la ecuacion de
E-L, la cual esta basada en la determinacion de una funcion denominada, Lagrangiano.
El lagrangiano esta definido como la diferencia entre la energıa cinetica K(q, q) y la
energıa potencial U(q) del efector.
La teorıa de estabilidad de Lyapunov estudia el comportamiento de sistemas dinami-
cos descritos por ecuaciones diferenciales de la forma, x = f(x). Entre los conceptos
basicos de la teorıa de Lyapunov, destacan, equilibrio, estabilidad, estabilidad asintotica
y estabilidad exponencial.
La estabilidad del efector juega su rol mas importante en el analisis de los esque-
mas sistema/control. A traves de Lyapunov es posible tambien, disenar controladores
como en el caso del CBP. La ley de control de par calculado puede obtenerse al igual
que el CBP aplicando el denominado metodo directo de Lyapunov como lo demuestra
[Kelly y Santibanez 2003].
Mano robotica cenidet
El efector, es una mano robotica antropomorfica con 4 dedos y 4 grados de libertad
por dedo capaz de realizar movimientos de flexion y extension ası como movimientos de
aduccion/abduccion. Los actuadores son motores de corriente directa que transmiten
el movimiento por medio de bandas a cada una de las articulaciones de los dedos del
efector.
La propuesta del tema de tesis “Analisis y control de un efector reproduciendo un
movimiento circular de una mano”, se hizo basandose en los datos tecnicos de cons-
truccion extraıdos del trabajo previo “Diseno de un sistema articulado emulando el
movimiento de una mano” presentado por Cimadevilla y Herrera en 2006, donde se
describe el diseno mecanico y la construccion de la mano robotica antropomorfica
5.1. Comentarios generales 71
“cenidet”.
La mano robotica cuenta con codificadores (encoders), por lo que el vector de posi-
ciones articulares, esta disponible. Para la simulacion de ambos controladores, se supone
que el vector de velocidades articulares tambien esta disponible.
Cinematica del efector
Cualquier robot puede describirse en forma cinematica proporcionando los valores
de cuatro cantidades para cada eslabon. Dos de ellas describen el eslabon en sı, y los
otros dos describen la conexion del eslabon con un eslabon adyacente. En el caso de una
articulacion angular θi se llama variable de articulacion o variable articular y las otras
tres cantidades son parametros de eslabon fijos. Para las articulaciones prismaticas,
di es la variable de articulacion y las otras tres cantidades son parametros de eslabon
fijos. La definicion de mecanismos por medio de estas cantidades es una convencion o
formalismo al que generalmente se le conoce como notacion Denavit-Hartenberg. Y a
los parametros del robot Parametros Denavit-Hartenberg.
El calculo de la cinematica inversa, sin embargo, no puede determinarse de una
manera sistematica como el problema cinematico directo. La solucion dependera de la
habilidad matematica del ingeniero, ası como de las caracterısticas fısicas del manipu-
lador.
En este trabajo de tesis se presenta un algoritmo para el calculo de la cinematica
inversa de cada dedo del efector considerados como manipuladores planares independi-
entes y completamente actuados.
Control de par calculado
Los controladores empleados se propusieron inicialmente como un controlador lineal
y uno no-lineal (basado en pasividad). El estudio de controladores arrojo el siguiente
resultado.
La tecnica convencional empleada para realizar seguimiento a trayectorias es el con-
trol de par calculado (CPC), que es una tecnica sustentada en el concepto de lineal-
izacion por retroalimentacion de estados. Existen variantes del CPC segun las necesi-
dades de cada robot, para este caso de estudio se eligio el controlador PD de par
calculado, debido a la simplicidad de su implementacion y porque de acuerdo con la
literatura, es el mejor conocido hasta el momento.
Se supuso que los actuadores son ideales (existe una relacion directa entre la senal
de voltaje de entrada y el par mecanico entregado a las articulaciones del efector).
La sintonizacion del controlador PD se realizo con matrices de ganancias diagonales
dando como resultado un control desacoplado sin llegar a ser una estrategia de control
72 Capıtulo 5. Conclusiones y trabajos futuros
articular, ya que cada ley de control construida es capaz de controlar el movimiento
completo de un dedo del efector.
Control basado en pasividad
La tecnica de diseno de controladores basados en pasividad, es llamada ası por su
capacidad de preservar la pasividad del sistema de robot en lazo cerrado. La filosofıa
del diseno consiste en moldear la funcion de la energıa natural del robot de manera
que el objetivo de control se logre. El controlador empleado es una extension del con-
trolador de posicion de Takegaki y Arimoto. La ley de control (3.30) desarrollada por
[Paden and Panja 1988] es una variante del CPC, esto es, una descomposicion del es-
quema de control en un control PD articular mas un lazo de compensacion dinamica.
Al igual que el CPC, para la simulacion de CBP se requiere tener conocimiento exacto
del modelo dinamico del efector y disponer del vector de estados completo (posiciones
y velocidades articulares). Las matrices de ganancias empleadas para la sintonizacion
fueron encontradas empıricamente, puesto que por la naturaleza no lineal del proble-
ma de control movimiento aun no existe un formalismo que ayude a encontrar dichas
matrices en forma sencilla.
Sin embargo, se propusieron matrices diagonales para asegurar un controlador de-
sacoplado. Tanto el CPC como el CBP requieren de movimientos articulares, y es
necesario asegurar que dichos movimientos se encuentren completamente contenidos
en el espacio de trabajo del efector. De no ser ası el robot no sera capaz de describir el
movimiento deseado, exigiendo un esfuerzo inutil a los actuadores ocasionando incluso
la destruccion del efector.
Espacio de trabajo y movimiento deseado
El calculo de los movimientos deseados se realizo encontrando una solucion a la
cinematica inversa del efector. La cinematica inversa es un caso de estudio particular
para cada tipo de robot. No existe un algoritmo que ayude a encontrar las soluciones
requeridas para el control. Si no es posible encontrar una solucion a la cinematica
inversa, el seguimiento a trayectorias no es posible desde este punto de vista.
Los movimientos propuestos, son movimientos circulares descritos por los dedos del
efector cada uno en su espacio bidimensional de trabajo. Se eligieron movimientos dife-
rentes para los dedos, debido a las caracterısticas de construccion del efector, sin em-
bargo, conocido el espacio de trabajo se puede proponer cualquier movimiento, siempre
que estos no excedan los lımites de par que los actuadores pueden proporcionar.
5.2. Conclusiones generales 73
5.2. Conclusiones generales
Para poder simular la ley de control PDPC es necesario que el robot se mueva
en un espacio libre, es decir, no debe existir contacto entre el robot y su medio
ambiente.
Tener conocimiento exacto del modelo del robot y tener disponibles todos los
estados del sistema, esto es, posiciones y velocidades articulares.
Se eligieron las ganancias de sintonizacion del CPC de tal manera que se obtuviera
un sistema crıticamente amortiguado, con la finalidad de evitar un sobre-impulso
del sistema, que se reflejarıa directamente en el impacto de la mano robotica con
su superficie de trabajo o entre los dedos.
El CBP al igual que el CPC para su simulacion requiere del conocimiento de las
variables articulares.
Las matrices de sintonizacion del CBP se encontraron empıricamente ya que a
diferencia de CPC no existe una metodologıa establecida para su calculo.
Se propuso que los dedos del efector realizaran movimietos circulares, que estuvie-
ran contenidos dentro del espacio de trabajo de cada dedo del efector, asegurando
ası de alguna manera que los dedos pudieran reproducir dichos movimientos.
De la simulacion de ambos controladores (CPC y CBP) se puede afirmar que para
este caso de estudio el CBP, es un mejor controlador al momento de resolver el
problema de control de movimiento, ya que, genera una menor cantidad de error
articular que el CPC.
Como segundo factor para determinar el buen comportamiento del CBP ante el
CPC, se encontro tambien que el tiempo de estabilizacion del CBP es menor
comparado con el del CPC.
Sin embargo, el uso de una u otra ley de control dependera de las herramientas con
que se cuente para su implementacion y de la aplicacion para la cual se requiera
el efector.
74 Capıtulo 5. Conclusiones y trabajos futuros
5.3. Trabajos futuros
Se proponen como actividades futuras,
1. Implementar experimentalmente los controladores encontrados en este trabajo.
Empezando por comprobar el modelo dinamico con el comportamiento real de
prototipo de mano robotica desarrollado por Cimadevilla y Herrera.
2. Implementar al prototipo sensores de velocidad y/o posicion de alta resolucion
en las falanges o en su defecto el diseno de esquemas controlador-observador, ya
que el conocimiento de las velocidades articulares es indispensable para realizar
seguimiento a trayectorias.
3. Usar sensores de fuerza (pudiendo ser galgas extensiometricas) para poder realizar
control de fuerza con el efector, es decir, poder reproducir mas movimientos de
la mano humana como sujetar objetos sin romperlos (facilitar la interaccion del
efector con su medio ambiente).
4. Mejorar el diseno de las tarjetas de adquisicion de datos originales o usar tarjetas
disenadas por fabricantes reconocidos. Tambien estudiar el caso en el que los dedos
del efector no sean considerados como manipuladores planares independientes,
ası como, el caso de sistemas sub-actuados.
5. Considerar tecnicas de control alternativas a las presentadas en este trabajo de
tesis, y realizar una comparacion entre ellas y las presentadas, empleando las
mismas condiciones de simulacion.
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Apendice A
Fundamentos matematicos
En el campo de aplicacion de los robots manipuladores se entiende que diversos
objetos o herramientas seran movidos en el plano o en el espacio. Parece entonces natural
desear representar su posicion y orientacion en el plano o en el espacio. Para definir
y manipular cantidades matematicas que representen posicion y orientacion se deben
definir sistemas coordenados y establecer convenciones para su representacion como que
existe un sistema coordenado fijo universo al cual se puede referenciar cualquier cosa.
En este apendice se tratan las matematicas fundamentales empleadas para representar
la posicion y orientacion de objetos rıgidos en el espacio y, las transformaciones entre
sistemas coordenados tales como traslaciones, rotaciones y la combinacion de ambas.
Tambien se discute la nocion de transformacion homogenea; conceptos necesarios para
poder estudiar la cinematica de cualquier manipulador robotico.
Lo expuesto a continuacion es una generalizacion formada a partir de las obras de
[Craig 1989], [Niku 2001] y [Spong y Vidyasar 1989].
A.1. Descripcion: posicion y orientacion en el
plano
Para representar la localizacion de objetos en R2, de manera general y completa se
puede decir que se requieren dos coordenadas y un angulo de orientacion. Si se supone
un sistema coordenado (SC) fijo oxy, donde i y j son vectores de magnitud unitaria.
La representacion de la posicion de un punto con respecto a ese sistema sera con un
vector de posicion ~P , cuyas componentes son,
~P =[
px py
]T(A.1)
Una forma alternativa de representar un punto en R2, es mediante el uso de coordenadas
polares. En este caso las coordenadas son la distancia r del origen al punto P y el angulo
que forma el vector ~P medido con respecto al eje x.
79
80 Apendice A. Fundamentos matematicos
Pxp
yp
x
y
i
j
P
x
y
i
jθ
Pr
r
a) b)
Figura A.1: Representacion de un punto en el plano.
Las componentes del vector ~P se calculan de la siguiente manera,
x = r· cos(θ)
y = r· sin(θ) (A.2)
donde r es la magnitud del vector ~P .
A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espa-
cio
En robotica es de vital importancia representar la posicion de un punto en el plano
o en el espacio (segun la naturaleza del robot), ası tambien la orientacion en el espacio
de un objeto rıgido. El efector final de un manipulador se mueve alrededor de un area
de trabajo y es necesario conocer tanto su posicion como orientacion en el espacio.
Particularmente en este caso de estudio se analizara a cada dedo del efector como un
manipulador independiente sin efector final.
La cinematica de los robots esta sustentada en el establecimiento de varios SC para
cada articulacion del robot (grado de libertad). Para describir la posicion y orientacion
de un cuerpo en el espacio se debe hacer referencia siempre a un SC. Para representar
la posicion y orientacion de un SC se emplea un SC fijo o de referencia (de aquı en
adelante solo referencia).
La representacion en el espacio de puntos o cuerpos rıgidos se hara con la concep-
cion de que en algun lugar, existe un sistema coordenado llamado sistema coordenado
universo ante el cual todos los sistemas coordenados asignados al robot se pueden re-
ferenciar.
A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio 81
La posicion de un punto en un espacio euclidiano tridimensional esta determinada
por tres cantidades llamadas coordenadas y estas coordenadas estan expresadas en
un sistema de referencia formado por tres ejes rectilıneos, ortogonales (los ejes son
perpendiculares entre sı), dextrogiros (el tercer eje es formado por el producto cruz de
los otros dos) y las longitudes de los vectores basicos de cada eje son iguales (normali-
zados). En lo sucesivo se usaran solo sistemas rectilıneos, ortogonales, dextrogiros y
normalizados refiriendose a ellos simplemente como sistemas coordenados (SC).
Supongase que existe un punto P y que se desea representar su posicion con respecto
al sistema coordenado universo o referencia oxyz como se muestra en la Figura A.2.
P
z
x y
P
z
x y
i i
j j
k k
a) b)
zp
zp
yp
yp
xp x
p
o o
Pr
Figura A.2: Representacion de un punto en el espacio. a) en forma de coordenadas, b)en forma de vector.
El punto P se puede representar mediante tres coordenadas relativas a la referencia
como,~P = px · i + py · j + pz · k (A.3)
Las coordenadas del punto P , denotadas por (px, py, pz) en (A.3) son proyecciones
de dicho punto perpendicularmente sobre cada eje coordenado de la referencia. i, j y k
son los vectores unitarios de los ejes x, y y z respectivamente. Ver Figura A.2a.
Equivalentemente el punto P se puede representar en forma de vector relativo a la
referencia. El vector inicia en el origen de oxyz y termina en el punto P . Ver Figura
A.2b.~P = (px − 0) · i + (py − 0) · j + (pz − 0) · k (A.4)
Notese que las expresiones (A.3) y (A.4) son iguales, ambas representan a un punto en
el espacio en forma de vector; este vector con sus tres componentes puede ser expresado
tambien en forma matricial como,
~P =[
px py pz
]T(A.5)
82 Apendice A. Fundamentos matematicos
La representacion del vector (A.5) puede ser ligeramente modificada sin perdida de
generalidad, incluyendo un termino llamado, factor de escala ω. Ver (A.6).
~P =[
px py pz ω]T
(A.6)
de manera tal que,
px =x
ω; py =
y
ω; pz =
z
ω
La variable ω puede ser una cantidad arbitraria. Notese que si ω varıa tambien lo hace
la magnitud del vector ~P , si ω es mas grande que la unidad la magnitud del vector ~P
disminuye, de manera similar si ω es menor que la unidad, la magnitud de ~P aumenta.
Si ω es unitario la magnitud de ~P permanece constante, si ω = 0 px, py, y px se
hacen “infinitos” lo que representa que no interesa mucho la magnitud del vector si no
su direccion.
El vector (A.6) es conocido como vector direccional o vector de coordenadas ho-
mogeneas. Esta representacion sera de mucha utilidad para representar la posicion de
un cuerpo rıgido en el espacio (en este caso de estudio, la posicion del equivalente de
yema de los dedos del efector).
A.2.1. Descripcion de una orientacion en el espacio
Supongase que se desea sujetar un objeto cualquiera con el efector, la localizacion
del efector no estara completa hasta que se haya definido la orientacion de dicho objeto
con respecto a la referencia o sistema coordenado universo. Entonces, es logico pensar
que para describir la orientacion de un cuerpo rıgido en el espacio se le debe vincular
un SC y ası, encontrar una descripcion del SC del cuerpo con respecto a la referencia
oxyz. Ver Figura A.3.
En conclusion se puede decir que los puntos en el espacio seran descritos por vectores
y la orientacion de cuerpos en el espacio por SC. Para hacer mas claro esto, si se
desea representar la posicion de un cuerpo en el espacio con respecto a una referencia o
sistema coordenado universo debe de encontrarse una representacion del SC del cuerpo
con respecto a la referencia.
La representacion de la orientacion de un cuerpo rıgido en el espacio se puede resumir
con los siguientes dos pasos.
Procedimiento:
1. Se deben denotar los vectores que dan las principales direcciones del sistema
coordenado del cuerpo como n, s y a.
2. Y expresar los vectores en terminos de la referencia como nref , sref y aref .
A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio 83
z
x y
i
j
k
o
Pr
n
sa
Figura A.3: Representacion de un cuerpo rıgido en el espacio.
z
x y
i
j
k
o
Pr
n
sa
Figura A.4: Representacion de la orientacion de un SC respecto a una referencia.
84 Apendice A. Fundamentos matematicos
Como consecuencia de aplicar el simple procedimiento mencionado anteriormente, se
obtiene una matriz de 3x3 que representa la orientacion del sistema coordenado relativo
a la referencia. Ver (A.7).
R =[
nref sref aref
]=
nx sx ax
ny sy ay
nz sz az
(A.7)
Entonces la orientacion de un cuerpo cualquiera estara representada por una matriz,
mientras que la posicion de un punto estara representada por un vector.
Los componentes de cada vector en (A.7) son proyecciones sobre las direcciones uni-
tarias de los ejes de la referencia por lo que cada componente de la matriz R es resultado
de un producto punto de un par de vectores unitarios.
R =
nx · i sx · i ax · iny · j sy · j ay · jnz · k sz · k az · k
(A.8)
o equivalentemente
R =
r11 r12 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r33
(A.9)
Ya que el producto punto de dos vectores produce el coseno del angulo entre ellos
a las componentes de la matriz R se les llama comunmente cosenos directores y a la
matriz R se les llama matriz de rotacion.
Definicion A.1. La inversa de una matriz de rotacion es igual a su transpuesta.1
R−1 = RT (A.10)
Una matriz de rotacion se puede obtener casi intuitivamente. Para demostrar esta
aseveracion se utilizara la Figura A.5, en la que se muestra un sistema coordenado
rotado θ grados con respecto a la referencia. La referencia es un sistema dextrogiro por
lo que el tercer eje se genera por el producto cruz de los otros dos (n x s = a), entonces
cumple las siguientes condiciones,
1. n · s = 0. (El angulo entre ellos es 90o)
2. n · a = 0.
3. s · a = 0.
1 Esto significa que la matriz R tiene columnas ortonormales.
A.2. Descripcion: posicion y orientacion en el espacio 85
4. |n| = 1. (La magnitud del vector debe ser unitaria)
5. |s| = 1.
6. |a| = 1.
i
j
i
jˆys ˆ
xn
ns
y
x x
y
ˆ−io o
θθ β
αˆys
ˆxn
ns θθ
a) b)
Figura A.5: Obtencion de la matriz de rotacion en forma directa.
Notese que en la Figura A.5a la rotacion del SC es sobre el eje z de la referencia (los
ejes z y a son paralelos y salen de la hoja). Por definicion las componentes de la matriz
R en (A.7) son productos punto, entonces, nx · i = cos θ (que es el coseno del angulo
entre los ejes n y x) y sy · j = cos θ (que es el coseno del angulo entre los ejes s y y).
Aplicando el concepto de angulos semejantes, para la Figura A.5b se obtiene que
sx · i = cos β, donde β es el angulo entre los ejes s y −i; ny · j = cos α, donde α
es el angulo entre los ejes n y y. Las demas componentes de la matriz son iguales
a cero, puesto que el angulo entre ellos es de 90o, excepto la componente r33 que es
igual a 1. Los ejes z y a son paralelos entre sı, es decir, el angulo entre ellos es de 0o.
α = 90− θ,β = 90− θ.
La matriz de rotacion queda ahora como:
R =
cos θ cos β 0
cos α cos θ 0
0 0 1
(A.11)
El caso planteado anteriormente se resume como una rotacion de un SC respecto a
la referencia, con orıgenes coincidentes. Ver Figura A.6.
86 Apendice A. Fundamentos matematicos
s
nx y
z
o
a
Figura A.6: Rotacion de un sistema coordenado con origen coincidente a la referencia.
A.3. Representacion de transformaciones entre sis-
temas coordenados
En robotica es muy comun desear representar un movimiento en el espacio, es decir,
expresar una misma cantidad en terminos de diferentes sistemas coordenados. Cuando
un objeto se mueve en el espacio, es posible representar su movimiento de manera similar
a la representacion de la posicion y la orientacion de un SC respecto a la referencia. A
lo anterior se le conoce como, transformaciones entre sistemas coordenados.
La transformacion entre sistemas coordenados se puede presentar en una de las si-
guientes formas:
1. Una traslacion pura
2. Una rotacion pura
3. una combinacion de una traslacion y una rotacion
A.3.1. Representacion: traslacion pura de SC´s con respecto
a una referencia
Si un SC se mueve en el espacio preservando su orientacion, se dice que la transfor-
macion es una traslacion pura. Para poder representar una transformacion de este tipo
se considera que el punto en el objeto (que ademas es el origen de su SC) esta sobre
A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados 87
el origen de la referencia y el objeto se desplaza de la referencia como se muestra en la
Figura A.7.
x y
z
o
o
sn
n s
a
i
j
kP
a
Figura A.7: Representacion de una traslacion pura en el espacio.
~P es el vector direccional que representa la traslacion del SC (ver expresion A.3).
Una traslacion pura se puede representar tambien por una rotacion de 0 grados y un
vector direccional, es decir que una traslacion es un conjunto,
Tras =
Rot, ~P
(A.12)
donde Tras denota una traslacion y Rot una rotacion cualquiera. Para el caso par-
ticular de una traslacion pura la rotacion es de 0 grados.
Ejemplo A.1. Se tiene un punto P en el espacio definido por un vector direccional~Pnsa expresado correspondientemente en el sistema coordenado onsa, se desea expresar
dicho punto en terminos de la referencia oxyz. Ver Figura A.8. El sistema coordenado y
la referencia tienen la misma orientacion y el origen del sistema coordenado trasladado
esta definido por ~Pxyz.
88 Apendice A. Fundamentos matematicos
x y
z
o
sn
ns
a
i
j
k
o
P
xyzP
Pa
ansP
Figura A.8: Traslacion de un sistema coordenado.
~Pnsa y ~Pxyz estan definidos respecto a sistemas coordenados con la misma orientacion,
por lo que P puede ser expresado relativo a la referencia de la siguiente manera,
~P = ~Pxyz + ~Pnsa (A.13)
x y
z
o
o
s
nn
s
a
i
j
k
o
s
ns
a
Anterior Actual
xyzP
ansP
P
a a
Figura A.9: Ejemplo de traslacion de un sistema coordenado.
Ejemplo A.2. Considerar los sistemas coordenados mostrados en la Figura A.9. Se
trata de encontrar una representacion para el sistema coordenado onsaact en terminos
de la referencia oxyz.
Aplicando en el resultado obtenido en el Ejemplo A.1 se tiene que la localizacion del
SConsaact respecto al SCoxyz es,
~P = ~Pxyz + ~Pnsa
A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados 89
A.3.2. Representacion: rotacion de SC´s respecto a una refe-
rencia
Supongase que se tiene un SConsa y un punto P relacionado a dicho sistema y se quiere
referenciar P a un sistema coordenado fijo o de referencia oxyz, si SConsa esta rotado
θ grados con respecto a la referencia. Ver Figura A.10.
Denotando los vectores unitarios ortonormales de la referencia como i, j y k y los
del sistema coordenado n,s,a. El vector del origen comun al punto P con respecto al
SConsa (~Pnsa), se puede representar con respecto a la referencia como sigue,
~Pnsa = pn · n + ps · s + pa · a (A.14)
y~Pxyz = px · i + py · j + pz · k (A.15)
Los vectores (A.14) y (A.15) son representaciones del mismo punto P , por lo que es
posible establecer una relacion entre las componentes de P en los dos sistemas coorde-
nados,
px = ~Pxyz · i = ~Pnsa · i (A.16)
sustituyendo (A.14) en (A.16) se obtiene:
px = pn · n · i + ps · s · i + pa · a · i (A.17)
de manera similar,
py = pn · n · j + ps · s · j + pa · a · j (A.18)
pz = pn · n · k + ps · s · k + pa · a · k (A.19)
Las componentes del vector ~Pxyz son simplemente las proyecciones del mismo sobre
la referencia. Por lo que ordenando en forma de matriz los vectores (A.17), (A.18) y
(A.19) se obtiene,
px
py
pz
=
n · i s · i a · in · j s · j a · jn · k s · k a · k
pn
ps
pa
(A.20)
Esto significa que las coordenadas del punto P en SConsa se pre-multiplica por una
matriz de rotacion para encontrar sus coordenadas con respecto a la referencia.
~Pxyz = Rotscref~Pnsa (A.21)
donde Rotscref una matriz de transformacion de las coordenadas de P con respecto al
sistema onsa a las coordenadas de la referencia oxyz.
Rotscref =
n · i s · i a · in · j s · j a · jn · k s · k a · k
(A.22)
90 Apendice A. Fundamentos matematicos
x y
z
oi
j
k xyzP
ansP
P
n
s
n
as
θθ
θ
a
Figura A.10: Rotacion pura de un sistema coordenado.
Ejemplo A.3. Supongase que la referencia oxyz ha sido rotada θ grados alrededor del
eje z como se muestra en la Figura A.11. Se desea encontrar la matriz de transformacion
que describa dicha rotacion.
x
y
z
oi
j
k
n
s
n
a
s
θθ
a
Figura A.11: Rotacion de un sistema coordenado onsa alrededor del eje z de la refer-encia.
Retomando el resultado encontrado en la seccion A.2.1 se obtiene,
R =
cos θ cos β 0
cos α cos θ 0
0 0 1
donde α = 90 − θ y β = 90 − θ. Si se aplica cos (x± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y ,
A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados 91
entonces la matriz R que generaliza un rotacion alrededor del eje z de la referencia es,
R =
cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1
(A.23)
La matriz (A.23) es comunmente llamada matriz basica de rotacion alrededor del eje
z. Para simplificar la descripcion y representacion de una rotacion pura alrededor de
un eje, se supondra que el eje z es perpendicular al plano de la Figura A.12. Ademas
el origen de SConsa y el de la referencia es el mismo.
Rotz,θ = Rotscref (A.24)
i
jns
y
xo
θθ
a)
o
θθ
b)
s n
yj
z
k
a
s
s
a
Figura A.12: Coordenadas de un punto relativas a la referencia y con respecto a unsistema coordenado rotado θ grados.
El resultado obtenido se puede extender para las rotaciones puras alrededor de los
ejes x y y.
Rotx,θ =
1 0 0
0 cos θ −sen θ
0 sen θ cos θ
, Roty,θ =
cos θ 0 sen θ
0 1 0
−sen θ 0 cos θ
,
Rotz,θ =
cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1
En el ejemplo anterior se introdujo parte de la notacion que se empleara para deter-
minar el modelo cinematico directo del efector.
A.3.3. Representacion: composicion de rotaciones
Recordando: la matriz (A.22) representa una transformacion rotacional entre la
referencia (00x0y0z0) y un sistema coordenado cualquiera (por ejemplo: SCo1x1y1z1).
92 Apendice A. Fundamentos matematicos
Supongase que ahora se tiene un tercer sistema coordenado (SCo2x2y2z2) relacionado a
los dos sistemas anteriores por medio de una transformacion rotacional. Un punto dado
puede entonces expresarse en tres diferentes formas. La relacion entre ellas se muestra
en las siguientes expresiones,~P0 = Rot10 · ~P1 (A.25)
~P0 = Rot20 · ~P2 (A.26)
~P1 = Rot21 · ~P2 (A.27)
donde (A.25) y (A.26) representan rotaciones relativas a la referencia, mientras que
(A.27) representa una rotacion relativa a (SCo1x1y1z1). Ver Figura A.13.
0z
0y
0x
1z
1y
1x
2z
2y
2x
2o1o0o
P0,1,2Pr
Figura A.13: Composicion de rotaciones.
Si se sustituye (A.27) en (A.25) se obtiene:
~P0 = T 20 · ~P2 (A.28)
donde T 20 = Rot10 ·Rot21. Igualando (A.26) y (A.28),
Rot20 · ~P2 = Rot10 ·Rot21 · ~P2
Rot20 = Rot10 ·Rot21 (A.29)
La expresion (A.29) es una ley de composicion rotacional, que se interpreta de la
siguiente manera,
Para poder transformar las coordenadas de un punto P de su representacion vectorial
en o2x2y2z2 (~P2) a o0x0y0z0 (~P0), primero se deben transformar a sus coordenadas ~P1
en o1x1y1z1 usando Rot21 y entonces transformar ~P1 a ~P0 empleando Rot10.
Notese que las matrices de rotacion anteriores son matrices que representan una
rotacion generalizada en cualquier eje del sistema coordenado de referencia. Una forma
A.3. Representacion de transformaciones entre sistemas coordenados 93
particular de representar las matrices de rotacion es como se mostro en la expresion
(A.24).
Ejemplo A.4. Encontrar una matriz de transformacion que represente una rotacion
de φ grados alrededor del eje y, , seguida de una rotacion de θ grados alrededor del eje
z.
Solucion. La matriz de transformacion que representa las rotaciones, esta dada por
(A.30),
Rot = Roty,φ ·Rotz,θ (A.30)
Rot20 =
cos φ 0 sen φ
0 1 0
−sen φ 0 cos φ
·
cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1
(A.31)
Rot20 =
cos φ cos θ − cos φ sen θ sen φ
sen θ cos θ 0
−sen φ cos θ sen φ cos θ cos φ
(A.32)
La expresion A.30 es similar a la representacion de general para la composicion de
rotaciones presentada en (A.29).
A.3.4. Representacion: Combinacion de transformaciones
Una transformacion combinada consiste en un numero de traslaciones y rotaciones
sucesivas con respecto a los ejes de la referencia. Cualquier transformacion o movimiento
rıgido se puede resolver como un conjunto de traslaciones y rotaciones en un orden
especıfico.
El orden de las transformaciones es muy importante, ya que si se cambia el orden de
dos transformaciones, el resultado sera completamente diferente. 2
Ejemplo A.5. Supongase un SC, el cual se expone a las siguientes transformaciones,
1. Rotacion de θ grados al rededor del eje z de la referencia.
2. Seguida de una traslacion de ( dx dy dz )
3. Seguida ademas de una rotacion de α grados alrededor del eje x.
~P0 = Rotz,θ · Trasdx,dy ,dz ·Rotx,α (A.33)
~P0 =
cos θ −sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1
·
dx
dy
dz
·
1 0 0
0 cos α −sen α
0 sen α cos α
· ~P1 (A.34)
2 Esto esta sustentado en el hecho que que la multiplicacion de matrices no es conmutativa.
94 Apendice A. Fundamentos matematicos
A.4. Transformaciones homogeneas
Conocidas las representaciones para los diferentes tipos de transformaciones, ahora
es posible generalizar las operaciones de traslacion y rotacion de un objeto y cuerpo en
el espacio.
Como se menciono anteriormente un SC es un conjunto de tres ejes rectilıneos y
ortogonales, a los cuales se le asocian vectores unitarios, es decir, que se usan sistemas
ortonormales y dextrogiros. Dados dos sistemas dextrogiros, supongase el SCo0x0y0z0 y
el SCo1x1y1z1 donde el SC1 se obtiene despues de aplicar una traslacion y una rotacion
al SC0. Ver Figura A.14.
P
1
0dr
0Pr
1Pr
0x 0
y
0z
1z
1y
1x
1o
0o
Figura A.14: Composicion de rotaciones.
Notese que el vector d10 parte del origen del SC0 al origen de SCo1x1y1z1 , expresado
en terminos de la referencia o0x0y0z0 o SC0. La magnitud de dicho vector es |d|.De esta manera cualquier punto P tiene una representacion para cualquier SC, ya
sea ~P0 (respecto a la referencia) o ~P1 (respecto al SC1).
La rotacion del SCo1x1y1z1 con respecto a la referencia de es θ. Los vectores ~P0 y ~P1
estan relacionados de la siguiente manera.
~P0 = ~P1 + ~d 10 (A.35)
El vector (A.36) es similar al obtenido en A.13, esto significa que la relacion mas
general entre los SC0 y SC1 es una combinacion entre una rotacion pura y una traslacion
pura (refiriendose a un movimiento rıgido).
Retomando (A.12),
Tras =
Rot, ~P
A.4. Transformaciones homogeneas 95
es posible expresar (A.35) como,
~P0 = Rotscref · ~P1 + ~d10 (A.36)
Si en lugar de un movimiento se tuviesen dos, los vectores que describen dichos
movimientos son,
~P0 = Rot10 · ~P1 + ~d10 (A.37)
~P1 = Rot21 · ~P2 + ~d21 (A.38)
Su composicion definirıa entonces un tercer movimiento. Este movimiento se puede
describir sustituyendo (A.38) en (A.37) obteniendo,
~P0 = Rot10 ·Rot21 · ~P2 + Rot10 · ~P1 · ~d21 + ~d1
0 (A.39)
La relacion entre ~P0 y ~P2 tambien define un movimiento rıgido, expresado como,
~P0 = Rot20 · ~P2 + ~d20 (A.40)
Comparando (A.39) y (A.40), se obtiene,
Rot20 = Rot10 ·Rot21 (A.41)
~d20 = Rot10 · ~d2
1 + ~d10 (A.42)
La matriz (A.41) es una matriz de composicion rotacional similar a (A.29). ~d20 muestra
que el vector del origen 0 al origen 2, es la suma de los vectores ~d10 y Rot10 · ~d2
1 (del origen
1 al origen 2), todo expresado en la orientacion del SC0 o referencia.
Entonces un movimiento rıgido puede escribirse en forma de matriz,[
Rot10 ·Rot21 Rot10 · ~d21 + ~d1
0
0 1
](A.43)
o de manera equivalente,
H =
[Rotscref
~d
0 1
](A.44)
La matriz H es la llamada Matriz de transformacion homogenea. Recuerdese que
es posible representar un vector en su forma homogenea como se presento en (A.6),
entonces una rotacion, una traslacion puras entre un SC y su referencia, incluso una
combinacion de ambas, se puede generalizar con la matriz H, esto es,
[p0
1
]=
[Rot10
~d10
1 1
][p1
1
](A.45)
96 Apendice A. Fundamentos matematicos
o
P
1
0dr
0Pr
0x 0
y
0z
1z
1y
1x
1Pr
2
1dr
1o
2z
2y2
x
2o
2Pr
Figura A.15: Representacion de un punto respecto a diferentes sistemas coordenados.Representacion de una transformacion homogenea.
o,
~P0 = H10 · ~P1 (A.46)
donde,
~P0 =
[p0
1
], ~P1 =
[p1
1
]
Una forma aun mas general de representar una transformacion homogenea es,
H =
[Rot Tras
Perspectiva Factor de escala
](A.47)
Para propositos generales de robotica el ultimo renglon de la matriz H es(0 0 0 1
). 3
Ejemplo A.6. Representar mediante una matriz de transformacion homogenea un
movimiento rıgido dado por,
1. Una rotacion de θ grados al rededor del eje z y
2. Una traslacion de magnitud d sobre el eje x de la referencia.
3 La justificacion de esta afirmacion se encuentra reportada de manera clara en [Craig 1989],[Niku 2001] y [Spong y Vidyasar 1989].
A.5. Inversa de una transformacion homogenea 97
Solucion.
H10 =
cos θ −sen θ 0 d
sen θ cos θ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
La matriz H10 representa el movimiento descrito por los incisos 1 y 2 del Ejemplo A.6.
Por medio de la matriz de transformacion homogenea es posible representar tanto
la orientacion como la posicion de un SC en una misma matriz. La matriz de trans-
formacion homogenea sera de gran utilidad cuando se determine el modelo cinematico
directo del efector.
A.5. Inversa de una transformacion homogenea
Existen diversas situaciones en las que la inversa de una matriz es de vital importancia
en la robotica. Se trabajo en la representacion de un SC respecto a una referencia (H10 ),
sin embargo en algunos casos es necesario conocer la relacion inversa, es decir, encontrar
la representacion de la referencia con respecto al sistema coordenado (H01 ).
Una forma directa de calcular la inversa, es calcular la inversa de la matriz H.
H01 =
(H1
0
)−1(A.48)
H10 =
[Rot10
T −Rot10T · ~d1
0
0 0 0 1
]
El uso de la matriz de transformacion homogenea para encontrar modelos cinematicos
de robots manipuladores se detallo en el Capıtulo 2.
Apendice B
Propiedades del modelo dinamico
Considerando el modelo dinamico de robots manipuladores (B.1), esta ecuacion y los
terminos que la conforman tienen propiedades bastante interesantes.Dichas propiedades
se describen de manera resumida y sin demostracion en este apendice y son,.1
Linealidad en los parametros dinamicos
Matriz de inercias M(q)
Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q)
Vector de gravedad G(q)
Dinamica residual
M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (B.1)
B.1. Linealidad en los parametros
Es evidente que el vector de estados q =[
qT qT]T
es no lineal, sin embargo puede
expresarse en terminos lineales de los parametros dinamicos del robot como son las
masas e inercias.
Considerar las matrices M(q), C(q, q) y el vector G(q) del modelo dinamico (B.1).
1.- Para todo u, v, w ∈ Rn :
M(q)u + C(w, q)v + G(q) = Φ(q, u, v, w)θ + κ(q, u, v, w)
Donde κ(q, u, v, w) es un vector de nx1, Φ(q, u, v, w) es una matriz de nxm y el vector
θ ∈ Rn depende exclusivamente de los parametros dinamicos del robot y de su carga.
1 Propiedades extraıdas de [Ortega et. al. 1998], [Kelly y Santibanez 2003],[Spong y Vidyasar 1989].
99
100 Apendice B. Propiedades del modelo dinamico
2.- Si q, u, v, w ∈ Ln∞ entonces Φ(q, u, v, w) ∈ Ln
∞. Siempre es posible encontrar un
vector θ ∈ Rm para el cual κ(q, u, v, w) ≡ 0 ∈ Rn. Considerando u = q y v = w = q, la
ecuacion (B.1) puede escribirse como,
Y (q, q, q)θ = M(q)q + C(q, q)q + G(q) = τ (B.2)
donde Y (q, q, q) = Φ(q, q, q, q) es una matriz de nxm, y el vector θ es un vector de mx1
que contiene las m constantes dependientes de los parametros dinamicos. La constante
n es el numero de grados de libertad, mientras que el valor entero m depende de la
seleccion de los parametros dinamicos del robot.
B.2. Matriz de inercia M(q)
La matriz de inercia M(q) es una matriz simetrica definida positiva de nxn cuyos
elementos son funciones unicamente del vector q. M(q) satisface lo siguiente,
1.- Existe una constante real positiva tal que:
M(q) ≥ αI ∀q ∈ Rn
donde I denota la matriz de identidad de dimension nxn. La matriz M(q)−1 existe y
es tambien definida positiva.
1
µ2
I ≤ M−1(q) ≤ 1
µ1
I
con, µ1 y µ2 escalares que pueden calcularse para cualquier robot. Una consecuencia de
la propiedad anterior para M(q) y en particular del hecho de que M(q) sea una matriz
definida positiva, es que la funcion V : Rn xRn → R+
V (q, q) = qT M(q)q
es una funcion definida en q. Con la definicion anterior se tiene que V (q, q) = 2 K(q, q)
siendo K(q, q) la funcion de energıa cinetica del robot.
2.- La matriz de inercia se encuentra ıntimamente relacionada con la funcion de la
energıa cinetica del robot, de la siguiente manera:
K(q, q) =1
2qT M(q)q
Ejemplo B.1. La matriz de inercia M(q) de cada dedo del manipulador es, (vease
Capıtulo 2, ecuacion 2.46).
M(q) =
m11(q) m12(q) m13(q)
m21(q) m22(q) m23(q)
m31(q) m32(q) m33(q)
B.2. Matriz de inercia M(q) 101
donde
m11(q) = m1 l2c1 + m2 l21 + m2 l2c2 + m3 l21 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m2 l1 lc2 cos(q2)
+2 m3 l1 l2 cos(q2) + 2 m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I1 + I2 + I3
m12(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)
+m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m13(q) = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m21(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + m2 l1 lc2 cos(q2) + m3 l1 l2 cos(q2)
+m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m22(q) = m2 l2c2 + m3 l22 + m3 l2c3 + 2 m3 l2 lc3 cos(q3) + I2 + I3
m23(q) = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m31(q) = m3 l2c3 + m3 l1 lc3 cos(q2 + q3) + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m32(q) = m3 l2c3 + m3 l2 lc3 cos(q3) + I3
m33(q) = m3 l2c3 + I3
Notese que M(q) de cada dedo del efector es simetrica, ya que,
m12 = m21
m31 = m13
m23 = m32
Ademas puede verse claramente que M(q) es definida positiva puesto que m11(q) es
positivo para todo q [Kelly y Santibanez 2003] y su determinante cumple con,
det[M(q)] = m11m22m33 −m11m23m32 −m21m12m33 + m21m13m32
+ m31m12m23 −m31m13m22 > 0
3.- M(q) es acotada superior e inferiormente.
µ1I ≤ M(q) ≤ µ2I
Esto quiere decir que existe una constante real positiva tal que,
µ1I ≤ M(q)
donde I denota la matriz de identidad de nxn. Tambien M(q) − µ1I ≥ 0 es definida
positiva, y se cumple que,
xT (M(q)− µ1I)x ≥ 0 ∀x ∈ Rn
4.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existe
una constante β > 0 tal que,
λmax M(q) ≤ β ∀q ∈ Rn
102 Apendice B. Propiedades del modelo dinamico
la constante β puede calcularse como,
β ≥ n
[maxi,j,q
|Mij(q)|]
5.- Para el caso de robots provistos de unicamente de articulaciones rotacionales
existe una constante Km > 0 tal que,
‖M(x)z −M(y)z‖ ≤ Km ‖x− y‖ ‖z‖
para todo vector x, y, z ∈ R2. [Kelly y Santibanez 2003] presenta una manera sencilla
de calcular Km, como,
Km ≥ n2
[maxi,j,q
∣∣∣∣∂Mij(q)
∂qk
∣∣∣∣]
5.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existe
una constante K ′m > 0 tal que,
‖M(x)y‖ ≤ K ′m ‖y‖ ∀x, y ∈ Rn
B.3. Matriz centrıfuga y de Coriolis C(q, q)
A diferencia de M(q) las propiedades de la matriz de fuerzas centrıfugas y de Coriolis
C(q, q) tiene su principal importancia en el estudio de sistemas de control y estabilidad
de robots.
La matriz de fuerzas centrıfugas y de Coriolis C(q, q) es una matriz de nxn cuyos
elementos son funciones de q y q.
1.- La matriz C(q, q) puede no ser unica, pero el vector C(q, q) q es unico.
2.- C(q, 0) = 0 para todo vector q ∈ Rn.
3.- Para todo vector q, x, y, z ∈ Rn y escalar α, se tiene que,
C(q, x)y = C(q, y)x
C(q, z + αx) = C(q, z)y + αC(q, x)y
4.- El vector C(q, x)y puede expresarse en la forma,
C(q, x)y =
xT C1(q)y
xT C2(q)y...
xT Cn(q)y
(B.3)
donde Ck(q) son matrices simetricas de dimension n para todo k = 1, 2, · · · , n.
B.4. Vector de gravedad G(q) 103
5.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existe
una constante Kc1 > 0 tal que,
‖C(q, x)y‖ ≤ Kc1 ‖x‖ ‖y‖ ∀q, x, y ∈ Rn
≤ Kc1 ‖q‖2
Una forma de calcular Kc1 es,
Kc1 = n2
[maxk,i,j,q
∣∣Cki j(q)
∣∣]
6.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existen
constantes Kc1 > 0 y Kc2 > 0 tales que,
‖C(x, z)w − C(y, v)w‖ ≤ Kc1 ‖z − v‖ ‖w‖+ Kc2 ‖x− y‖ ‖w‖ ‖z‖
para todo vector v, x, y, z, w ∈ Rn.
7.- La matriz S(q, q) = 12M (q)− C (q, q) es una matriz antisimetrica, esto es, que los
elementos sj k de S(q, q) satisfacen nj k = −nk j. Independientemente del modo en que
se obtenga la matriz C(q, q) siempre satisface,
qT
[1
2M (q)− C (q, q)
]q = 0 ∀ q, q ∈ Rn
La matriz C(q, q) esta unıvocamente definida por M(q), la cual satisface,
M (q) = C (q, q) + CT (q, q) (B.4)
La propiedad (B.4) es equivalente a la propiedad de antisimetrıa de S(q, q)
[Ortega et. al. 1998], como se muestra a continuacion,
xT[M (q)− 2C (q, q)
]x = 0 ∀ q, q, x ∈ Rn
B.4. Vector de gravedad G(q)
El vector de pares gravitacionales G(q) es un vector de nx1 y solo depende de las
posiciones articulares q. G(q) esta acotado de abajo si q lo esta.
1.- El vector G(q) esta definido como,
G(q) =∂U(q)
∂q∀q ∈ Rn
104 Apendice B. Propiedades del modelo dinamico
2.- El vector G(q) y el vector de velocidades generalizadas q se relacionan mediante,∫ T
0
GT (q) q dt = U (q(t))− U (q(0)) ∀T ∈ R+
3.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, existe
una constante finita Ku tal que,∫ T
0
g (q)T q dt + U (q(0)) ≥ kU ∀T ∈ R+
para todo T ∈ R+, y Ku = mınq U (q).4.- Para el caso de robots provistos unicamente de articulaciones rotacionales, el
vector G(q) es Lipschitz, esto es, que existe una constante Kg > 0 tal que,
Kg ≥ n
[maxi,j,q
∣∣∣∣∂gi(q)
∂qj
∣∣∣∣]
(B.5)
y,
Kg ≥∥∥∥∥∂G(q)
∂q
∥∥∥∥ ≥ λmax
∂G(q)
∂q
Ejemplo B.2. Considerese el vector de pares gravitacionales de cada dedo de la mano
robotica presentado en la ecuacion (2.46).
g1 = (m1 lc1 + m2 l1 + m3 l1) g cos(q1) + (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2)
+ m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
g2 = (m2 lc2 + m3 l2) g cos(q1 + q2) + m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
g3 = m3 lc3 g cos(q1 + q2 + q3)
De acuerdo con (B.5), la constante Kg puede calcularse como,
Kg = n
[maxi,j,q
∣∣∣∣∂gi(q)
∂qj
∣∣∣∣]
Notese que,∂g1(q)
∂q1= − (m1lc1 + m2l1 + m3l1) g sen q1 − (m2lc2 + m3 l2) g sen (q1 + q2)
−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g1(q)
∂q2= − (m2lc2 + m3l2) g sen (q1 + q2)−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)
∂g1(q)∂q3
= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g2(q)∂q1,2
= − (m2lc2 + m3l2) g sen (q1 + q2)−m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)∂g2(q)
∂q3= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)
∂g3(q)∂q1,2,3
= −m3lc3g sen (q1 + q2 + q3)
entonces la constante Kg es,
Kg = 3 [(m1lc1 + m2l1 + m3l1) g + (m2lc2 + m3l2) g + m3lc3g]
Apendice C
Especificaciones mecanicas del
efector
Especificaciones tecnicas de la mano robotica de cenidet necesarias para la simulacion
y control del efector. Datos extraıdos de [Cimadevilla y Herrera 2006].
Tabla C.1: Longitudes de los eslabones de cada dedo del efector.
Falanges Sımbolo Valor (metros)
1a Proximal ındice l1 0.031
1a Proximal medio y pulgar l1 0.041
1a Proximal anular l1 0.036
2a Medial dedos l2 0.024
3a Distal dedos l3 0.0278
Tabla C.2: Distancias de centros de masa de los eslabones de cada dedo del efector.
Falanges Sımbolo Valor (metros)
1a Proximal ındice lc1 0.01005
1a Proximal medio y pulgar lc1 0.01344
1a Proximal anular lc1 0.01215
2a Medial dedos lc2 0.01096
3a Distal dedos lc3 0.01177
105
106 Apendice C. Especificaciones mecanicas del efector
Tabla C.3: Masa de los eslabones de cada dedo del efector.
Falanges Sımbolo Valor (Kg)
1a Proximal ındice m1 0.176
1a Proximal medio y pulgar m1 0.21
1a Proximal anular m1 0.193
2a Medial dedos m2 0.118
3a Distal dedos m3 0.113
Tabla C.4: Momentos de inercia de los eslabones de cada dedo del efector.
Falanges Sımbolo Valor (Kgm2)
1a Proximal ındice I1 4,9465x10−5
1a Proximal medio y pulgar I1 9,9115x10−5
1a Proximal anular I1 7,11519x10−5
2a Medial dedos I2 2,89396x10−5
3a Distal dedos I3 2,703x10−5
Apendice D
Extension de los modelos del efector
El diseno mecanico y la construccion de la mano robotica “cenidet” contempla los
movimientos de flexion y extension, ası como los movimientos de aduccion/abduccion
de los dedos de la misma. En este tema de tesis solo se trabajo con los movimientos
de flexion y extension, sin embargo, es posible extender el analisis empleado, con el
fin de contemplar los movimientos de aduccion/abduccion en el modelado cinematico
y dinamico del efector.
En este apartado se presenta de manera simbolica la manera de obtener los modelos
cinematico directo y dinamico de los dedos del efector considerando de igual manera
que son manipuladores planares, independientes entre sı y completamente actuados.
La principal complicacion en el modelado de los movimientos de aduccion/abduccion
en el modelo cinematico es la asignacion del nuevo sistema coordenado que describe
dichos movimientos. La dinamica es verdaderamente sencilla de obtener, pues solo re-
quiere calcular las funciones de energıa cinetica y potencial que describen los movimien-
tos descritos. Tales funciones de energıa se calculan de la manera sugerida en el Capıtulo
2.
D.1. Modelo cinematico
El modelo cinematico directo de cada dedo se extrae de la Figura D.1. En la base de
este manipulador se ha agregado un nuevo sistema coordenado, este SC esta sustentado
en la regla de la mano derecha para sistemas coordenados. La matriz de transformacion
homogenea que relaciona la posicion final del ultimo eslabon del manipulador con la
referencia es,
H40 = H1
0 ·H21 ·H3
2 ·H43 (D.1)
Las matrices empleadas para calcular la cinematica directa se trataron en el Apendice
A. La complejidad de encontrar este modelo radica en la determinacion de la matriz
H21 . La matriz H2
1 representa los movimientos de aduccion/abduccion.
107
108 Apendice D. Extension de los modelos del efector
3y 3
x
0y
0x
1x
4y
4x
2y 2
x
2z
Figura D.1: Sistemas coordenados para un dedo del efector considerando los movimien-tos de aduccion/abduccion.
D.2. Modelo dinamico
Para encontrar el modelo dinamico se define primero el sistema de referencia o sistema
coordenado fijo que ayudara a describir el movimiento de cada dedo del efector. Ver
Figura D.2.
El vector de coordenadas articulares se define ahora como,
q =[
q1 q2 q3 q4
]T=
[θ1 θ2 θ3 θ4
]T
Las expresiones para la energıa cinetica y potencial de cada manipulador son,
K (q, q) = K1 (q, q) + K2 (q, q) + K3 (q, q) + K4 (q, q)
U (q) = U1 (q) + U2 (q) + U3 (q) + U4 (q)
K1 (q, q) =1
2m1v
T1 v1 +
1
2I1q
21 ; U1 (q) = −m1 · g · y1
K2 (q, q) =1
2m2v
T2 v2 +
1
2I2q
22 ; U2 (q) = −m1 · g · y2
K3 (q, q) =1
2m3v
T3 v3 +
1
2I3 (q2 + q3)
2 ; U3 (q) = −m2 · g · y3
K4 (q, q) =1
2m3v
T4 v4 +
1
2I4 (q2 + q3 + q4)
2 ; U3 (q) = −m3 · g · y4
D.3. Discusion acerca de q′ 109
0o
0x
0y
0z
1θ
2θ1m
1I
2m
3I
1l
1cl
2cl
2l
3cl3l
3m
4I
2I
g
Figura D.2: Representacion de los dedos del efector en el espacio.
donde,
x1 = 0 , y1 = lc1 cos q′1, z1 = lc1sen q′1x2 = lc1 cos q2, y2 = lc1sen q2, z2 = 0
x3 = l1 cos q2 + lc2 cos (q2 + q3)
y3 = l1 sen q2 + lc2sen (q2 + q3) , z3 = 0
x4 = l1 cos q2 + l2 cos (q2 + q3) + lc3 cos (q2 + q3 + q4)
y4 = l1 sen q2 + l2 sen (q2 + q3) + lc3sen (q2 + q3 + q4) , z4 = 0
D.3. Discusion acerca de q′
Supongase el primer eslabon de cualquiera de los dedos del efector con el grado de
libertad agregado (el desplazamiento lateral o de adupcion/abduccion).
110 Apendice D. Extension de los modelos del efector
0y
0z
α β
1θ1
m1I
0
1180q α β= − −
1l
1cl
Figura D.3: Restricciones de diseno mecanico para los dedos del efector en los movimien-tos de aduccion/abduccion.
Las lıneas punteadas delimitan el movimiento sobre el eje z que cada dedo puede
realizar. Estas son restricciones de construccion y es imposible no tomarlas en cuenta
puesto que este primer eslabon solo se puede mover θ1 grados, entonces se define,
q′ =q1
2q′ = θ1 (D.2)
La variacion de θ1 por diseno mecanico es de ±10o, [Cimadevilla y Herrera 2006] y
se representa en la Figura D.3.