Análisis vectorial

I.E “María Auxiliadora” Cuaderno de trabajo Física

Indicadores de evaluación

Al finalizar la unidad serás capaz de:

1. Vectores 2. Tipos de vectores 3. Operaciones con vectores4. Adición de vectores5. Método del paralelogramo 6. Método del triángulo 7. Método del polígono 8. Sustracción de vectores 9. Multiplicación de vectores 10. Descomposición rectangular

11. Vector unitario12. Ejercicios de aplicación

Uno de los primeros temas esenciales que es necesario aprender para introducirnos en el maravilloso mundo

de la física es el correspondiente al análisis vectorial, de múltiple aplicación en esta fascinante ciencia.En física, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo y una dirección u orientación para quedar definido. Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos; es decir, bidimensional o tridimensional.Por ejemplo: La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no

Lic. Germán Misajel García Año académico 2015 Página 1

1. Definen una magnitud vectorial reconociendo sus elementos

2. Calculan la resultante de dos o más vectores.

3. Determinan la dirección de los vectores dados.

4. Suman y descomponen vectores.

O

Y

X

Módulo:

Línea de AcciónSentido

P

Q

Dirección

AA

A

AA

Módulo del vector A


queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

VECTOREs un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado (flecha).El vector en la Física, se utiliza para representar las magnitudes vectoriales tales como: Velocidad, Desplazamiento, aceleración, fuerza, etc.

REPRESENTACIÓN GRÁFICADE UN VECTOR

Donde: A : Se lee “vector A”P : Origen del vectorQ : Extremo del vector

X : Eje de abscisasY : Eje de ordenadasO : Origen de coordenadas

Observación: Todo vector queda bien definido conociendo su Módulo, Dirección y Sentido, siendo estos sus elementos.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Todo vector consta de 3 elementos básicos.MÓDULOEs la longitud del vector e indica el valor numérico de la magnitud vectorial, se representa por |Ᾱ|.

Para hallar el módulo del vector se emplea la fórmula de Pitágoras.

Observación: El módulo de un vector, siempre es un número positivo, nunca puede ser negativo cualquiera sea la dirección. DIRECCIÓNEs la orientación del vector, está determinado por el ángulo de


|A|=√ x2+ y2

Dirección x

yA

xytan )tan(

x

yArc

x

y

Oblícuo

Horizontal

Vertical

4y

Y

X

A

P

Q

X1 X2

Y1

Y2


inclinación que forman la recta que contiene al vector con el Eje “x” positivo en posición normal, pero medido en sentido anti horario.

Observación: Para hallar la dirección del vector se emplea la función trigonométrica tangente:

SENTIDOGráficamente se representa por la cabecita de la flecha, que indica hacia qué lado de la dirección actúa el vector. Pueden ser:

EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE UN VECTOR

Existen diversas formas de representar analíticamente un vector.1. Cuando el punto de aplicación

de un vector está en el origen de un sistema de coordenadas, su extremo coincidirá con un punto del plano, y se representa mediante un par ordenado de números reales.

Donde:“x” e “y” son componentes del vector.

Por ejemplo: Si A=(3 ;4 )2. Por otra parte, cuando el

origen del vector no coincide con el origen del sistema de coordenadas, el vector se halla restando el punto extremo y el punto origen.

Entonces, el vector Ᾱ será:Ᾱ = Extremo – Origen Es decir:

Reemplazando:A=( x2 ; y2 )−( x1 ; y1 )


A=( x ; y )

Ᾱ = Q - P

180°

90°

270°

0°360°

R

IVCIIIC

ICIIC

R R

O

y

x

)1;3(

y

x

)12;5(

)1;1(

0

y

x

y

x)4;3(

P

Q 7

X

Y

-1-4 2


ObservaciónPara hallar su módulo, usando las componentes de este vector graficaremos desde el origen de coordenadas. Mientras para hallar la dirección del se emplea la F.T.T., trazadas siempre al Eje “x”.

1. Hallar el módulo y la dirección

del vector A=(√3;1 )Resolución:

|A|=√ x2+ y2|A|=√(√3 )2+12

|A|=√4≈2tanθ=1/√3tanθ=√3/3θ=30°


del vector b=(−5 ;12 )

Resolución:

Rpta: 13 y 113°3. Hallar el módulo y la dirección

del vector c=(−1 ;−1 )Resolución:

Rpta: √2 y 225°4. Hallar el módulo y la dirección

del vector d= (3;−4 )

Resolución:

Rpta: 5 y 307°5. En el plano xy, hallar el vector

Ᾱ, su módulo y su dirección.Resolución:


A=( x2−x1 ; y2− y1 )

IIC:θ=180°−θR

IIIC:θ=180°+θR

IVC:θ=360 °−θR

X N -1

M

2 -2

Y

3

O

y

x

)(

y

x

)(

)(

0

y

x

y

x)(

m

1P

Q 3

X

Y

-3


Rpta: (-6; 8); 10 y 127°6. Hallar las componentes del

vector Ᾱ, módulo y su dirección.Resolución:

Rpta: (-4;-4); 4√2 y 225°


del vector A=(1; √3 )Resolución:

Rpta: 2 y 60°2. Hallar el módulo y la dirección

del vector B=(−2 ;4 )Resolución:

Rpta: 2√5 y 117°3. Hallar el módulo y la dirección

del vector C=(−1 ;−2 )Resolución:

Rpta: √5 y 243°4. Hallar el módulo y la dirección

del vector D= (1 ;−7 )Resolución:

Rpta: 5√2 y 278°5. Usando el esquema determine

el vector, el módulo y la dirección.Resolución:


X

Ᾱ

0

M

-1

N

3

1

Y

3

a b

cLínea de Acción

ab

c

→ ā, b, c, son paralelos

a

b

c

cyba ,

cyba ,

a b

c

Punto deConcurrencia


Rpta: (-4; 3), 5 y 143°6. Dado el plano cartesiano halle

el vector, el módulo y la dirección.Resolución:

Rpta: (4; 2), 2√5 y 27°

TIPOS DE VECTORES

1. VECTORES COLINEALESSon aquellos vectores que se encuentran en una misma recta (línea de acción)

2. VECTORES PARALELOSCuando los vectores se encuentran en rectas paralelas.

3. VECTORES COPLANARESSon aquellos vectores que se encuentran en un mismo plano.

4. VECTORES CONCURRENTESSon aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

5. VECTORES IGUALES


a

b

ba

ab

ba

a

b

R

d

c

b

a

dcbaR

Suma vectorial

a

b

R

b

a


Son aquellos vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido.

6. VECTORES OPUESTOSSon dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.

7. VECTORES ORTOGONALESSon aquellos vectores donde sus líneas de acción se cortan en 90°.

OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES

1. ADICIÓN DE VECTORES

Es una operación que tiene por finalidad, hallar un único vector denominado vector resultante (R). Este vector resultante es

igual a la suma de todos los vectores.Por ejemplo:

MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

a.MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores que tienen un mismo punto de origen, dados sus módulos y el ángulo que forman. Gráficamente, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. El modulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal que parte del origen de los vectores.

A

A Observación:Para hallar el módulo del vector resultante (R) se usa la fórmula del paralelogramo.


R=√a2+b2+2ab⋅cosα

a

b

R

a

b

a

Rb

d cb

a

b

R

a c

d

c

b

a


b.MÉTODO DEL TRIÁNGULO

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores, para ello se unen los dos vectores uno a continuación del otro formando un triángulo, el vector resultante se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del ultimo vector. Es decir:

Observación: Para hallar el valor del vector resultante se aplica la Ley de cosenos, y la dirección del vector resultante se halla mediante la Ley de senos.

Ley de cosenos

Ley de senos

c.MÉTODO DEL POLÍGONO

Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores (más de dos vectores). Consiste en construir un polígono uniendo los vectores uno a continuación del otro hasta el último vector manteniendo sus tres elementos, de manera que el vector resultante se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del ultimo vector. Por ejemplo, sean los vectores:

Observación:Si al unir los vectores forman un polígono cerrado, la resultante es cero.

Casos particulares: •Cuando la línea de acción de los vectores es la misma, se


asen β

= bsen α

= Rsenθ

a2=b2+R2−2bR⋅cos βb2=a2+R2−2aR⋅cosαR2=a2+b2−2ab⋅cosθ

R=a+b+c+d

a+b+c=0⇒ R=0

baR max a b

a b

baD

a

b

b

a

xb 6 xa 9

12c

7a 22 xb

a

b60


efectúan algebraicamente teniendo en cuenta la dirección.

Observación: El signo será (+) si la orientación es

(→ ) y (-) si la orientación es (←

2. SUSTRACCIÓN DE VECTORES

Es una operación que tiene por finalidad, hallar un vector denominado diferencia, el cual es igual a la resta de vectores. La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo los extremos de los vectores. La orientación del vector diferencia D apunta al minuendo.

ObservaciónEl módulo del vector diferencia se calcula aplicando la Ley de cosenos.

1. Calcular el vector resultante de los vectores mostrados.Resolución:

Rpta: 32. Sabiendo que la resultante de los vectores

mostrados es 15. Halle el módulo de bResolución:

Rpta: b=8

3. Dos vectores cuyos módulos son 2u y 4u, forman entre si un ángulo de 60°; calcular el módulo del vector resultante en la figura.Resolución:

Rpta: 2√74. Hallar el módulo del vector resultante en

la figura.Resolución:

Rpta: 10u


D=√a2+b2−2ab⋅cosθ

8

6

R

030b

a

a

b

m

y

zxa

n

m

y

zxa

n

I

II

xb 1035c

2xa

4

60°

4

nnb

xa


5. Los vectores a y b tienen módulos de 6 y 7 unidades. Si forman un ángulo de 30°. Calcular el módulo y la dirección del vector resultante.Resolución:

Rpta: R=13 y α=13°6. Halla el vector diferencia de dos vectores

de 5 y 6 unidades cuando forman 53°.Resolución:

Rpta: 57. Hallar el valor de la resultante del sistema

de vectores mostrados, sia=6 .Resolución:

Rpta: 18u8. En el sistema, determinar la resultante.

Resolución:

Rpta:

NOMBRES Y APELLIDOS:

………………………………………….1.Determinar el valor de “x”, si la

resultante de los vectores es 10.Resolución:

Rpta: 52.Hallar el módulo del vector

resultante.Resolución:

Rpta: 4u3.En el sistema hallar “x” en

función de Ᾱ y B.Resolución:


d

cb

a eIII

Producto punto

cos baba

b

a

senbaba

Producto aspa


Rpta: Ᾱ+B/24.Hallar la suma de los vectores

mostrados en términos de c .Resolución:

Rpta: 35.El vector diferencia de dos

vectores es 2√61, si sus módulos son 10 y 8 unidades. ¿Qué ángulo forman dichos vectores?Resolución:

Rpta: 120°

6.Sean los vectores a y b , si b=(2;2 ;1), el módulo de a es 4 y

a⋅b=6 . Hallar a×b .Resolución:

Rpta: 60° y 6√3

3. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

El producto escalar y el producto vectorial son las dos formas de multiplicar vectores, de gran importancia en las aplicaciones de la Física.

PRODUCTO ESCALAR Se calcula como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo (θ) que forman entre sí.

Observación: El producto escalar de dos vectores conociendo sus componentes es igual

Si a=(a1 ;a2)y b=(b1 ;b2)

PRODUCTO VECTORIALEs un vector perpendicular al plano formado por los dos vectores, se calcula como el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman ambos vectores y cuyo sentido se


a⋅b=a1⋅b1+a2⋅b2

2xa xc 10110 xb

nnb

xa


determina por la regla de la mano derecha.

1. Determinar el valor de “x”, si la resultante de los vectores es 10.Resolución:

Rpta: ±3

2. Dos vectores de módulo 7cm y 8cm dan como resultante un vector de módulo 13cm. Determine el ángulo que forman.Resolución:

Rpta: 60°3. hallar “x” en función de Ᾱ y B.

Resolución:


a

b

xA

yAy

xA

Suma vectorial

y

x

AyA

xA


Rpta: Ᾱ+B/24. Dos vectores de 100 y 80

unidades forman entre si un ángulo de 37°. Encontrar el módulo del vector diferencia.Resolución:

Rpta: 60u5. Hallar el producto escalar de

dos vectores de 2 y 2√3 unidades cuando forman 30°.Resolución:

Rpta: 6

6. Dados los vectores a=(2;2√3)b=(4 ;0 ). Hallar : a⋅b y a×bResolución:

Rpta: 8 y 8√3DESCOMPOSICIÓN

RECTANGULAR DE UN VECTOR

Dado un vector se puede descomponer en dos vectores llamados “Componentes Rectangulares” que forman entre sí un ángulo recto.

Donde: Ax : Componente de A en el eje x

A y : Componente de A en el eje ySe puede expresar como un triángulo rectángulo:

senθ=A yA

⇒


A=A x+A y

A y=Asenθ

y

x

edcb

a REGLA DE SIGNO PARA LOS VECTORES

20

53°

y

x

15

37°

y

x

8

60°

y

x6

45°

y

x


cosθ=A xA

⇒

Para hallar el módulo de A :

Observación: El método de los componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores.

Pasos a seguir:

▪Se descomponen los vectores oblicuos en sus componentes rectangulares.

▪Se suman algebraicamente y se calcula la resultante en cada uno de los ejes “x” e “y”, teniendo en cuenta la dirección de cada vector (Rx; Ry).

∑ Rx : Suma de vectores en el eje x

∑ R y : Suma de vectores en el eje y

▪Se calcula el módulo de la resultante aplicando Teorema de Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

Observación:

1. Si la R está en el eje “x” →Ry=0

2. Si la R está en el eje “y” →Rx=0

3. Si la R es NULO →Rx=R y=0

Descomponer el vector e indicar el valor de las componentes:1.

Solución:

Ax=

Ax=

A y=

A y=

2.


A=√Ax2+A y2tanθ=

R yRx

R=√Rx2+Ry2

Ax=A cosθ

37°

y

x4

3

10

y

x

θ

y

x12

24

32

40

Ɵ

y

x53°

100

30


Solución:

Ax=

Ax=

A y=

A y=

3. En el sistema vectorial

mostrado, hallar el módulo del vector resultante. Resolución:En el eje x:

Rx=

En el eje y:

R y=

R=√∑ Rx2+∑ R

y2

Rpta: 54. En el sistema, hallar la

dirección del vector resultante,

si la resultante está en el eje “y”.Resolución:

Rx=0Rx=

Rpta: θ=30°

1. Hallar el valor del ángulo “θ” si la resultante se encuentra en el eje “x”.Resolución:

Rpta:2. En el sistema vectorial

mostrado, la resultante es


θ

y

x12

F

9

10N

45°

y

x53°

10N

N24

y

x340N

F

53300N

30

45°

y

x53°

10 220


nula. Halle el valor del ángulo “θ” y el módulo del vector F.Resolución:

Rpta: 3. Hallar la resultante del

sistema.Resolución:

Rpta: 2√2 N4. la resultante del sistema es

7N, si la resultante está en el eje “y”. Hallar “θ” y la fuerza “F”.

Resolución:

Rpta: 60° y 200N

NOMBRES Y APELLIDOS:

………………………………………….1. Hallar la resultante de los

vectores mostrados.Resolución:


10

75°

y

x15°

Ɵ

ba

θ

y

x10

4

32

8

4

2

6

u

1

)1;1(

)1;1(

y

xij

i

j


Rpta: 2√102. La resultante de los vectores

es nula. Hallar el ángulo “θ” y el módulo del vector Ᾱ.Resolución:

Rpta: 3. Determinar la dirección del

vector resultante, respecto del eje “x”.Resolución:

Rpta: 135°4. Usando el plano “xy”, calcular

el módulo del vector resultante.Resolución:

Rpta: 2√3

VECTOR UNITARIO (u )Se usa para indicar la dirección de un vector, su módulo es igual a la unidad y se encuentran en los ejes coordenadas cartesianas.

Existen dos formas de vectores:

VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO


Donde:i=(1 ;0 )j=(0 ;1 )

|u|=1

y

xi

jkz

0xi

jy


i : Vector unitario en el eje x

j : Vector unitario en

el eje y

Observación:

Indica dirección positiva: i; j

Indica dirección negativa : -i; -j

VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO

VECTORES UNITARIOS PRINCIPALES

Cualquier vector se puede expresar en función de los vectores unitarios principales i y j.

En la dirección horizontal : i=(1 ;0 )En la dirección vertical : j=(0 ;1 )Ejemplo:Expresar los vectores en función de los vectores unitarios:

▪a=(4 ;7 )Resolución: a=(4 ;7 )a=(4 ;0 )+(0 ;7 )a=4 (1 ;0 )+7 (0 ;1 )a=4i +7j

▪b=(−3 ; 4 )

Resolución: b=Observación: Fórmula general del vector unitario

A=|A|u A⇒Donde: A : Vector AA : Módulo del vector Au A : Vector unitario de A

1. Expresar los vectores en función de los vectores unitarios:

A=(3 ;2)


u A=AA

Donde:i=(1 ;0 ;0 )j=(0 ;1 ;0 )k=(0 ;0 ;1 )

a=( x ; y )

a=x i+ yj

A=4u

y

xA

2 0

y

x5A

4

y

xA

-84

-1


B=(−4 ;3 )

C=(−6 ;−3 )

D=(5 ;−1 )

2. Expresar los vectores en función de los vectores unitarios:

A=(0 ;2 )

B=(4 ;0 )

C=( 0;−1 )

D=(−1;0 )

3. Expresar los vectores en

A=3i+5j

B=−4i +3j

C=−4j

4. Graficar:

A=−i+5jResolución:

5. De la gráfica, determine el vector ᾹResolución:

6. Dado el vector en el plano xy, determine: El vector Ᾱ, su módulo y el vector unitario de Ᾱ.Resolución:

u A=AA

Rpta: (-12/13; 5/13)


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