ANÁLISIS NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL AVANZADO

Alfredo Arenas Golder Associates S.A.

aarenas@golder.cl

Paula Viertel Golder Associates S.A.

pviertel@golder.cl

RESUMEN En el presente documento se describen modelos constitutivos simples y avanzados, se comparan dos de ellos y cómo representan el comportamiento de un suelo. Además, se muestra cómo una herramienta para la generación de mallas 3D puede facilitar la tarea de representar la geometría de un problema complejo. INTRODUCCIÓN. Actualmente, es posible representar de forma detallada un problema geotécnico conociendo el comportamiento del suelo (modelo constitutivo), el perfil del subsuelo (malla) y la geometría del problema (malla). En Flac3D, los modelos constitutivos de mayor uso en la resolución numérica de problemas geotécnicos corresponden al Modelo Elástico (ME) y al modelo Mohr Coulomb (MC). En algunos casos, la utilización de los ME y MC permite representar el material en forma simple obteniendo una buena predicción de las tensiones y deformaciones, sin embargo, existen otros casos donde aspectos complejos del comportamiento del material deben der representados para obtener la solución del problema. En estos casos es inevitable el uso de modelos constitutivos avanzados. Por otro lado, existe una tendencia general al uso de mallas bidimensionales para la representación de problemas que deben ser resueltos en tres dimensiones. En estos casos, el uso extensivo de modelos bidimensionales es consecuencia del complicado proceso de elaborar mallas tridimensionales. Este proceso se hace aun más difícil cuando la malla tridimensional es irregular, por ejemplo la topografía de un valle. Muchos de los actuales programas carecen de herramientas poderosas y de fácil uso para la generación de mallas tridimensionales complejas. Por los motivos antes planteados, el presente documento se centra en la descripción de algunos de los modelos constitutivos avanzados implementados en el programa FLAC3D para la representación de materiales granulares. Además, en este documento se incluye la comparación de dos modelos constitutivos, el modelo Mohr Coulomb (MC) y Double Yield (DY). Por último, se muestran los resultados de la implementación de una herramienta automatizada para la generación de mallas en tres dimensiones. MODELOS CONSTITUTIVOS. Una parte importante del análisis numérico avanzado guarda relación con los modelos constitutivos para la representación del comportamiento de los materiales geotécnicos. La elección de un modelo constitutivo apropiado permitirá obtener predicciones que se acerquen más al comportamiento real de una obra geotécnica, y consecuentemente, permitirá optimizar los diseños de las mismas. Se debe escoger el modelo que represente de mejor forma a los materiales involucrados en el problema que se está analizando, por lo tanto, se deben evitar modelos demasiado simplificados que no capturen las características relevantes del problema, o uno muy complejo que requiera la calibración de parámetros que van más allá del interés del problema.

En esta primera parte, este documento se concentra en aquellos modelos constitutivos para materiales granulares y la importancia de su elección y buen uso. PRINCIPALES MODELOS CONSTITUTIVOS. A continuación se explican las principales características de los modelos más usados por los autores para el modelamiento de suelos granulares.

El modelo Elástico (ME) representa el comportamiento de un material elástico, lineal, homogéneo e isotrópico. Este modelo puede ser utilizado para resolver problemas en que el rango de tensiones y deformaciones es muy pequeño o en aquellos casos en que se requiere una estimación muy gruesa del problema. Requiere de dos parámetros, el módulo de deformación del material y el coeficiente de Poisson, los cuales pueden ser estimados mediante ensayos geofísicos en terreno.

El modelo constitutivo Mohr Coulomb (MC) es similar al modelo elástico, pero incorpora el un criterio de falla por corte, por lo cual considera deformaciones plásticas si se alcanza el estado de falla del material. La superficie de falla está gobernada por la cohesión y el ángulo de fricción interna, por lo tanto, mediante ensayos de resistencia al corte, es posible definir los parámetros del modelo.

El modelo Strain Hardening/Softening (SH/S) cuenta con las características del modelo MC, pero además permite incorporar la variación de los parámetros de resistencia al corte en función de la deformación plástica acumulada, y con ello, posibilita considerar deformaciones plásticas a cualquier nivel de esfuerzo cortante.

El modelo Double Yield (DY) cuenta con las características del modelo SH/S, pero además incluye una superficie de fluencia volumétrica (Cap) en función de las deformaciones plásticas volumétricas ocasionadas por el esfuerzo medio isotrópico.

CALIBRACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE MODELOS CONSTITUTIVOS. La implementación de cualquier modelo constitutivo requiere el conocimiento de los parámetros necesarios para alimentar el modelo. Éstos son:

Módulo de deformación volumétrico, K: Representa la relación entre la magnitud de la deformación volumétrica ante un cambio en el esfuerzo medio isotrópico.

Módulo de corte, G: Es la relación entre la magnitud de la deformación de corte debido a un cambio en esfuerzos por distorsión.

Modulo de deformación axial, E: Es la relación entre la magnitud de la deformación axial y el esfuerzo axial necesario para ocasionarlo.

Coeficiente de Poisson, : Relaciona la deformación en un plano principal con las deformaciones producidas en los otros planos principales.

Deformación Elástica: Corresponde a toda deformación que es recuperable en un material, puede ser de tipo volumétrico o distorsionante.

Deformación plástica: Corresponde a deformaciones irrecuperables en un material. Éstas pueden ser de naturaleza volumétrica o distorsionante.

Deformación total: Es la deformación que experimenta un material al ser sometido a un campo de esfuerzos, incluye deformaciones elásticas y plásticas.

Ángulo de fricción interno, : Corresponde a la pendiente de la envolvente de falla en un gráfico esfuerzo de corte versus esfuerzo normal (gráfico Mohr Coulomb).

Cohesión, c: Es la intersección de la envolvente de falla con el eje de las abscisas en un gráfico Mohr Coulomb.

Ángulo de dilatancia, : Parámetro que define la capacidad de un material geotécnico de aumentar de volumen cuando es sometido a un esfuerzo de corte.

Presión Media Efectiva, p: Es el esfuerzo medio efectivo dado por el promedio de esfuerzos normales principales.

Razón de deformaciones plásticas, R: Relación entre el incremental de deformaciones volumétricas plásticas y el incremental de deformaciones volumétricas elásticas.

A partir de las definiciones anteriores, en la siguiente tabla se presenta una guía simple de cómo los modelos constitutivos pueden ser calibrados. Tabla 1 – Calibración de Modelos Constitutivos

Modelo Ensayos - Parámetros Metodología

Elástico - Triaxiales - E, -

Mohr-Coulomb - Triaxiales - E50, ´, c´ -

Strain Hardening/ Softening

- Triaxiales - Kelástico y Gelástico,

- Tabla ´ vs dap - Tabla c´ vs dap

- Tabla vs dap

Comparación directa entre ensayo de laboratorio y simulación del ensayo en Flac3D

Double Yield - Consolidación isotrópica (carga y descarga) - Triaxiales - Odómetro o placa de carga (carga y descarga)

- Kelástico y Gelástico,

- Tabla ´ vs dap - Tabla c´ vs dap

- Tabla vs dap - Tabla p’ vs dvp - R

Comparación directa entre ensayo de laboratorio y simulación del ensayo en Flac3D

Nota: dap = deformaciones angulares plásticas dvp = deformaciones volumétricas plásticas Además de los ensayos indicados en la Tabla 1, es posible calibrar los modelos mediante otros ensayos tales como placa de carga, corte directo, presiómetro u otros. Sin embargo, la cantidad de información y flexibilidad que otorga el ensayo triaxial es económicamente más ventajosa por sobre la entregada por los ensayos mencionados. Una explicación detallada de cómo implementar los modelos constitutivos en Flac3D escapa de los alcances de este documento. Sin embargo, los autores han encontrado algunas recomendaciones prácticas al momento de implementarlos.

Comparar los resultados obtenidos mediante la modelación de ensayos tales como triaxial, odómetro, etc, con los datos reales del ensayo. Esto permitirá obtener una guía para el ingreso de datos que alimentan al modelo.

Para los valores iniciales de las deformaciones volumétricas plásticas se recomienda basar los cálculos en el ensayo odómetro verificando la diferencia entre las deformaciones producidas por carga y las deformaciones producidas por descarga.

Para las deformaciones de corte plástico se recomienda evaluar los datos y comparar los resultados haciendo uso de la curva esfuerzo desviador versus deformación axial.

RESULTADOS COMPARATIVOS. Para ejemplificar algunas de las diferencias entre dos de los modelos constitutivos descritos anteriormente, se mostrarán dos casos comparativos. Primero, se mostrará un ensayo de compresión isotrópica, y luego, se mostrará la calibración de dos modelos constitutivos para representar los ensayos triaxiales a gran escala de la grava de Santiago (Kort, 1978). COMPRESIÓN ISOTROPICA. La Figura 1 muestra un ensayo de compresión isotrópica simulado con los modelos constitutivos Mohr-Coulomb (MC) y Double Yield (DY) para una presión de confinamiento de 0,61 kg/cm2.

Para realizar la calibración se ha utilizado la expresión propuesta por Kort (ecuación 1) para la determinación del módulo de deformación axial en la Grava de Santiago:

(1)

Donde o es la presión isotrópica y a es la presión atmosférica. En la Figura 1 se observa que la pendiente de la curva presión de confinamiento-deformación

volumétrica (p’-v) producida por el modelo MC es la misma para la carga y la descarga. Por otro

lado, el modelo Double Yield produce una curva p’-v cuya pendiente aumenta con el nivel de deformación volumétrica, lo que implica que el módulo de rigidez volumétrico (K) también aumenta con la deformación volumétrica. Además, la pendiente de la curva de descarga es mayor que la de carga.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Pre

sió

n d

e C

on

fin

amie

nto

(kg

/cm

2 )

Deformación volumétrica (%)

Modelo MC

Modelo DY

Figura 1 – Ensayo de consolidación isotrópica analizado con los modelos Mohr Coulomb y Double Yield. El modelo MC puede ser modificado en forma sencilla para simular una curva de carga isotrópica semejante a la descrita por el modelo DY. También puede ser modificado para simular la condición de carga-descarga-carga, pero en base a criterios adoptados por el usuario. La ventaja de utilizar el modelo DY es que los criterios para la definición de estados de carga, descarga, rigidización o ablandamiento, vienen dados internamente por el modelo y no requiere la intervención del usuario mediante códigos externos. ENSAYO TRIAXIAL. Se reprodujo el comportamiento de la grava de Santiago mediante los modelos Mohr Coulomb (MC) y el modelo constitutivo avanzado Double Yield. Las figuras 2 y 3 muestran los resultados de los ensayos triaxiales de la grava de Santiago (Kort, 1978). En estas figuras además se muestran las simulaciones numéricas mediante el modelo MC y DY, respectivamente. Los ensayos reales fueron dibujados mediante líneas sólidas, mientras que las simulaciones fueron dibujadas mediante línea segmentada.

La calibración del modelo MC se realizó usando la ecuación publicada por Kort (1979), mencionada anteriormente. Para el modelo Double Yield se utilizaron los valores desacoplados de la cohesión y fricción de acuerdo a la propuesta de Kort (1979).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5

Esfu

erz

o D

esv

iad

or

(kg

/cm

2)

Deformación unitaria axial (%)

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2

De

form

ació

n v

olu

mé

tric

a u

nit

aria

(%

)

Deformación unitaria axial (%)

Figura 2 – Ensayo Triaxial CID en Grava de Santiago – Calibración mediante modelo Mohr Coulomb

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

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4

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0 1 2 3 4 5

Esfu

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(kg

/cm

2)

Deformación unitaria axial (%)

-0,4

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0,2

0,4

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1

0 0,5 1 1,5

De

form

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n V

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tric

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(%

)

Deformación unitaria axial (%)

Figura 3 – Ensayo Triaxial CID en Grava de Santiago – Calibración mediante modelo Double Yield Se observa que el comportamiento esfuerzo-deformación reproducido por el modelo DY es mucho más cercano al observado que el obtenido mediante el modelo MC. Además, el modelo DY es capaz de capturar el cambio volumétrico plástico a cada nivel de deformación, permitiendo obtener una curva similar a la real y sin cambios de pendiente abruptos. En contraste, el modelo MC produce cambios de pendiente abruptos y sólo puede utilizar un valor de la dilatancia constante a menos que sea modificado externamente por el usuario. Es importante notar que ambos modelos no capturan el efecto del nivel de esfuerzo de confinamiento sobre la respuesta de la dilatancia. El análisis de las deformaciones que ocurren durante una excavación podría ser un ejemplo en el que sería deseable capturar de forma detallada el comportamiento tensión-deformación de los materiales. En ciertas áreas de la excavación, habrán materiales en que la presión de confinamiento disminuirá (descarga) y al mismo tiempo, el nivel de esfuerzo desviador aumentará (carga por corte). Si además el comportamiento tensión-deformación del material no es lineal, las deformaciones producidas por el incremento en el nivel de esfuerzo desviador tenderán a dominar

los movimientos del terreno, por sobre las producidas por la disminución en el nivel de esfuerzo de confinamiento. Tal como se señaló anteriormente, es muy importante elegir el modelo constitutivo adecuado, ya que debe ser capaz de representar el comportamiento de los materiales involucrados en el diseño del problema analizado. Además dicho modelo debe capturar las características del comportamiento del suelo que sean claves en la solución del problema, ya que la apropiada selección del modelo constitutivo determinará en gran parte la validez de los resultados. GENERACIÓN DE MALLAS TRIDIMENSIONALES. Otro punto importante dentro del análisis numérico corresponde a la generación de mallas que sean adaptables al problema y que contengan los aspectos clave para un diseño óptimo. En particular, este documento se remite a la generación de mallas de alta complejidad, como por ejemplo las mallas tridimensionales utilizadas para representar los materiales que conforman un valle; su topografía y un tranque de relaves. Uno de los pasos importantes en cualquier análisis numérico es la generación de una malla para representar la geometría del problema. Para la realización de esta tarea, los ingenieros comúnmente hacen uso de generadores de mallas que permiten generar una malla de sólidos a partir de una superficie en formato CAD. Los usuarios de generadores de mallas deben prestar atención a detalles de las mallas generadas que no siempre son evidentes, pero que son de gran importancia en el análisis numérico como se discute a continuación. MALLAS TRIDIMENSIONALES EFICIENTES. Las principales condiciones que deben cumplir los generadores de mallas para poder realizar un análisis numérico eficiente son:

Producir mallas estructuradas. En lo posible producir mallas estructuradas, o al menos semi-estructuradas. Esta característica facilita la aplicación de condiciones de borde y la orientación espacial del usuario dentro del modelo numérico.

Creación de mallas balanceadas. Las mallas balanceadas son aquellas en que el tamaño de los elementos a través del modelo no varía significativamente. Mallas balanceadas evitan la creación de rigidez aparente a través del modelo. Las mallas estructuradas (semi-) facilitan la creación de mallas balanceadas.

Uso de esquemas de transición. El uso de esquemas de transición evita la concentración de elementos a través del modelo. La concentración de elementos puede ser producida por una variación significativa en la altura del modelo, o cuando la geometría del modelo incorpora vértices con ángulos agudos. Además, el uso de esquemas de transición también ayuda al balance de la malla.

Limitar el uso masivo de elementos tetraédricos. El uso masivo de elementos tetraédricos es debido a su fácil adaptación a geometrías complejas. El uso no controlado de éstos, generalmente produce mallas caóticas.

Establecer apropiadamente los límites del problema. Se debe prestar atención a la influencia de los límites geométricos del modelo y su influencia sobre los resultados.

Una desventaja de cumplir con los aspectos anteriormente señalados es que el generador de mallas debe utilizar diferentes tipos de elementos, lo que dificulta lograr la compatibilidad entre elementos. Esto último se puede traducir en tiempos más largos de proceso por parte del generador de mallas. GENERADOR DE MALLAS. En vista de lo anterior, Golder Associates SA se planteó el desafío de crear un generador de mallas que no solo cumpliera con los puntos antes expuestos, sino que también fuera rápido, de modo que probar diferentes mallas fuera una tarea de minutos y no de horas.

DEFINICIONES INICIALES. Primero, se debe seleccionar cuidadosamente el elemento base utilizado por el generador de mallas, ya que de esto depende la capacidad y eficiencia que tenga éste. Las formas geométricas más comunes y básicas son el triángulo, el rectángulo y el cuadrado, de éstas el triángulo ofrece la mayor flexibilidad. Las esquinas de un triángulo pueden ser calzadas con la topografía sin distorsionar la planaridad del elemento, lo mismo no es verdad para otras formas básicas. La representación más simple del triángulo en tres dimensiones es el tetraedro. De acuerdo a lo anteriormente descrito la idea es alejarse de esta forma, por lo tanto, un triángulo extruido será el elemento base del generador de mallas, como se muestra en la Figura 1a. DETALLES DEL GENERADOR DE MALLAS. Como se mencionó anteriormente, un triángulo extruido (prisma triangular) es el elemento base del generador de mallas. Dos prismas triangulares pueden ser orientados de forma tal que constituyen el elemento cúbico mostrado en la Figura 4a. Notar que las elevaciones de las esquinas del elemento cubico pueden ser posicionadas en forma independiente, como se muestra en la Figura 4b. Adicionalmente, pirámides (Figura 4c) y tetraedros (Figura 4d) pueden ser usados en los esquemas de transición, éstos corresponden entre un 5 a 10% del total de los elementos de la malla. Al conectar y apilar estos elementos se pueden reproducir mallas de geometría muy compleja. El uso del prisma triangular y su arreglo en forma semi-estructurada garantiza la creación de mallas bien balanceadas. EJEMPLO DE MALLA COMPLEJA. Para ilustrar el poder del generador de mallas, un modelo en tres dimensiones de un valle y un tranque de relaves será desarrollado en etapas. El modelo del tranque de relaves se iniciará con la construcción del muro de partida. La Figura 5 muestra el modelo del valle con sus principales características. El generador de mallas es muy preciso, ya que logra capturar las zonas escarpadas, las quebradas laterales e incluso el camino de acceso. Además, esta herramienta es muy eficiente, ya que procesa los 590 000 elementos de la Figura 8 en menos de 5 minutos. La Figura 6 muestra una vista lateral del valle. En esta figura se pueden apreciar dos características importantes de la malla.

El número de elementos a elevaciones más altas es mayor que el número de elementos en el fondo del valle. El algoritmo reduce el número de elementos a medida que se aproxima a elevaciones más bajas.

Los elementos son más o menos del mismo tamaño, produciendo una malla balanceada.

Este último punto es muy importante en el caso de simulaciones que incluyan esfuerzos dinámicos.

Figura 4 – Elemento base del generador de mallas

Figura 5 – Modelo del valle

Figura 6 – Vista lateral del valle Una vez que la topografía del valle ha sido desarrollada, el tranque de relaves es insertado en la forma topográfica. Lo primero es desarrollar la malla para el muro de partida. La Figura 7 muestra el muro de partida. Este muro tiene un alto de 38 m, una cresta de 10 m de ancho y taludes de aguas arriba y abajo de 2:1.

Figura 7 – Muro de partida La Figura 8 muestra la configuración final del tranque de relaves. Éste tiene una altura total de 90 m, un ancho de cresta de 15 m y la misma configuración de taludes que el muro de partida. La Figura 9 muestra una sección transversal del modelo a través del pie del talud de aguas arriba. Cada capa en el muro de partida (como también en el tranque de relaves) es horizontal, por lo tanto, al ser individualmente activadas permiten la simulación de etapas constructivas. Además, en esta figura aparecen solo dos secuencias constructivas. El usuario puede usar tantas como sea necesario para la simular la construcción. Integrar las estructuras en el modelo es automático y fácil. El generador de mallas realiza en forma automática el complejo proceso de actualizar la conectividad, seleccionar los elementos en las transiciones y fusionar nodos y caras repetidas. Adicionalmente, el usuario solo debe ingresar

las constantes geométricas de la presa como son la posición, la altura y ancho de cresta, y las pendientes de aguas arriba y abajo para insertarla. APLICACIONES. El generador de mallas ha sido exitosamente usado para producir mallas en 3D en preparación para los análisis 3D. Durante los análisis estáticos y dinámicos, éste ha probado ser estable y bien balanceado, mejorando los tiempos de convergencia (respecto a otros generadores). Algunas de las mallas generadas hasta el momento incluyen túneles, pendientes naturales con varios estratos, excavaciones, embalses, depósitos de botadero y tierras armadas.

Figura 8 – Configuración final – Se muestra el muro de partida y el tranque de relaves en su forma final

Figura 9 – Sección transversal del modelo a través del pie del talud de aguas arriba

CONCLUSIONES. El modelamiento numérico requiere la selección de modelos constitutivos que representen el comportamiento de los materiales y que son claves en la solución del problema. Además, la solución del problema debe contemplar una representación adecuada de la geometría. En los párrafos anteriores se plantea el uso de modelos constitutivos avanzados como una alternativa a aquellos más simples, cuando el comportamiento del material no puede ser representado con modelos simples. Es importante, la apropiada selección y calibración del modelo constitutivo a ser utilizado. Esto último implica el conocimiento de las definiciones y conceptos que hay detrás del modelo constitutivo, parámetros a ser ingresados y datos de entrada requeridos para alimentar el modelo. La calibración del modelo constitutivo avanzado puede ser realizada mediante la comparación de las curvas tensión-deformación provenientes de ensayos de laboratorio y las predichas por el modelo. En esta publicación se muestra que contar con una herramienta para la generación de mallas tridimensionales complejas es muy importante. Las mallas no solo deben representar la geometría del problema, sino que además deben en lo posible cumplir con las consideraciones numéricas antes expuestas, tales como generación de mallas estructuradas, balanceadas y con discretización variable. REFERENCIAS

Itasca Consulting Group (2008), “Flac 3D Manual” versión 4.0

Kort, I (1978), “Ensayos triaxiales in – situ en la grava de Santiago”, Metropolitano de Santiago, Línea 1, Sector 3, Dirección General de Metro, DGOP – MOP.