Manual delAnálisis Factirial: Andrew L. Comrey

pp. 115- 165

Eileen Rodríguez HernándezProf. Balbino García

ECONOMETRÍA

Índice Introducción Capítulo 4: Los métodos de extración

factorial de factor principal y residuo mínimo› Las comunalidades› Determinación del número de factores a extraer.› Otros métodos de extración de factores

Capítulo 5: Rotaciones ortogonales manuales.› Múlpiple positivo› Estructura simple› Rotación ortogonal del problema de 12 variables

Capítulo 6: Rotaciones oblicuas manuales› Ejes factoriales oblicuos› Coordenadas y proyecciones› Coordenadas y pesos factoriales› Estructura del vector de referencia› Rotación oblicua de un vector de referencia

Conclusión Bibliografía

Introducción EL análisis factoria es una técnica estadística de

reducción de datos usada para explicar la variabilidad entre las variables observadas en términos de un número menor de variables no observadas llamadas factores. Las variables observadas se modelan como combinaciones lineales de factores más expresiones de error. Se utiliza para identificar factores que expliquen una variedad de resultados en diferentes pruebas. El investigador puede hacer uso del análisis factorial, para poder trabajar de manera más simplificada con la correlacion de las variables en estudio. A través de este trabajo presentaré algunas de las tecnicas que el autor de este libro utiliza para el análisis factorial. Siendo así, tocaré parte del capítulo 4, el capítulo 5 y parte del capítulo 6 del Manual de Análisis Factorial de Andrew L. Comrey.

Capítulo 4: Los métodos de extración factorial de factor principal y residuo mínimo

Las comunalidades Los usuarios del análisis factorial prefieren trabajar con las

comunalidades en lugar de 1 en las diagonales, ya que disminuye la extración de varianza.

En el análisis de factor principal, la diagonal de la matriz R contiene las cominalidades.

Cuando los valores de las comunalidades son menores que 1 en las casillas diagonales de R, aparecen raíces caracteristicas negativas de la matriz D.

La solución de las comunalidades derivadas del uso de las SMCs se reciclan y el proceso interativo continúa hasta que las comunalidades se estabilizan lo suficiente para los propósitos del analista. Las SMCs son buenas estimaciones en el caso de que N sea grande y n pequeña.

El conjunto de comunalidades derivadas de la solución por residuo mínimo sin usar las casillas diagonales, se introducen a un nuevo ciclo. Estas se vuelven a usar en una solución por residuo mínimo utilizando las casillas diagonales, lo que la convierte en una solución por factor principal. De esta manera se obtiene una nueva solución. Este proceso no garantiza las comunalidades correctas.

El autor prefiere la solución por residuo mínimo, ya que el uso de las comunalidades no garantiza una solucion definitiva.

Determinación del número de factores a extraer

Con comunalidades especificas, el número de factores a extraer es igual al número de factores con raíces características positivas.

Con el método del residuo mínimo sin comunalidades, es el número de factores extraídos antes de que el proceso interativo converja en vectores de signo contrario.

La extración de factores se debe de detener si los pesos en los factores estraídos ya no decienden, si la maxima correlación residual no extraída ha bajado a un nivel menor que .1 o si los factores que se están extrayendo no tienen pesos tan grandes como .30 o superiores en valor absoluto.

Es recomendable extraer bastantes factores para asegurarse de que no quedan factores sin importancia.

Otro método de extración de factores

Método de grupo centroide y de grupo múltiple- alternativa al método centroide (Thurstone (1967))

Método mineres- minimiza los residuos después de un número especificado de factores sin hacer uso de las diagonales (Harman y Jones(1996))

Método de análisis factorial de máxima propabilidad- exige el uso de computadoras (Lawey y Maxwell (1963))

Método de extración de factores y sus variaciones (Horst (1965))

Capítulo 5: Rotaciones ortogonales manuales

Rotaciones ortogonales manuales: Introducción

Considérese el siguiente ejemplo: sean las variables 1,2 y 3 los tres test verbales intercorrelacionados sustancialmente: 1. vovabulario, 2. fluidez verbal y 3. analogías verbales. Las variables 4, 5 y 6 representan variables de talla: 4. altura, 5. peso y 6. capacidad torácica. Ambos grupos son no correlacionados. Una rotación de los dos factores extraidos, de aproximadamente 45° en sentido inverso a las agujas del reloj alineará a los factores con dos grupos independientes de variables homogéneas. Así, las posiciones factoriales rotadas, identificadas con los factores de habilidad verbal y talla son mucho más fáciles de interpretar.

Rotaciones ortogonales manuales

Todos los ejes factoriales se encuentran en un ángulo recto entre si. Esto permite la interpretación de los pesos factoriales de una variable respecto a los factores ortogonales como si fueran coeficientes de correlación.

Restricción: Los factores deben de mantenerse en ángulo recto entre si.

Múltiple positivo

El múltiple positivo es una rotación que le permite al investigador reducir o eliminar pesos negativos.

Si luego del análisis factorial se producen factores extraídos después del primer factor con pesos sustanciales negativos para algunas variables, estos deben de ser rotados para eliminar estos pesos negativos.

La dirección del factor puede ser invertida después de la rotación, cambiando con ello todos los signos. Los pesos positivos se convierten en negativos y viceversa.

Estructura simple Su propósito es guiar al investigador al realizar las

rotaciones de los ejes factoriales, a posiciones de mayor significado.

Las variables pueden ser reflejadas cambiando todos los signos para todas las correlaciones entre las variables para eliminar signos negativos, haciendo más fácil es uso del multiple positivo como guía de las rotaciones. Esto si, al finalizar, hay que buscarle el sentido opuesto a las variables.

La matriz factorial rotada tendrá las siguientes caracteristicas:› La mayoría de los pesos en cualquier factor será alrededor

del cero.› La fila dada de la matriz factorial, deberá tener entradas

distintas de cero solamente en unas pocas columnas.› Cualesquiera dos columnas factoriales exhibirán un patrón

diferente de pesos altos y bajos.

Rotación ortogonal del problema de 12 variables

Primer conjunto de trazados en la rotación ortogonal del problema de 12 variables: Rotaciones más significativas:

La rotacion del factor I, alejándolo del factor IV y del IV hacia el I, mejora el múltiple positivo, se acerca más a la estructura simple y reduce algo del exceso de varianza en el factor 1.

El factor II se rota hacia el factor III. Esta rotación mejora el múltiple positivo como la estructura simple para ambos factores, siendo una excelente elección para ser ejecutada.

Primera rotación ortogonal del problema de 12 variables

Cada rotación se lleva a cabo multiplicando la primeta matriz de pesos factoriales por la derecha por una matriz de transformacion ortogonal Ai. La ecuación matricial para la primera rotación es:

donde A es la matriz no rotada de los pesos de los factores extraídos, V1 es la matriz de pesos rotados después de la primera rotación, y

es la matriz ortogonal que lleva a la matriz A hasta la matriz V1 .

Este producto sólo cambia las

columnas I y IV, ya que los factores I y IV fueron rotados. En esta tabla se ve que los factores II y III de V1 son idónticos a los de los factores II y III de la matriz A.

Segundo conjunto de trazados en la rotación ortogonal del problema de 12 variables: Rotació más significativa:

La mejor rotación es la del factor III hacia el IV por medio de un ángulo de 21° 36’. Esta rotación mejora claramente la estructura simple y el múltiple positivo simultáneamente

Segunda rotación ortogonal del problema de 12 variables

Esta rotación consistió en la rotación del factor II hacia el factor III por medio de un ángulo de 15° 39’

Tercer conjunto de trazados en la rotación ortogonal del problema de 12 variables: Rotaciones más significativas:

Los pares II, III y II, IV no ofrecen oportunidades de rotación. El mejor trazado de I con III es mejor que el trazado I con IV, ya que mejora simultáneamente la estructuira simple y el múltiple positivo.

Tercera rotación ortogonal del problema de 12 variables

La rotación I con III trata de llevar ambos hiperplanos tan cerca como sea posible de las líneas de mayor densidad de puntos.

Capítulo 6: Rotaciones oblicuas manuales

Ejes factoriales oblicuos Este tipo de rotación permite que grupos

de factores puedan llevarse a hiperplanos más cercanos para cada uno de ellos, a diferencia de la rotación ortogonal, en donde los factores debian de mantenerse en ángulo recto entre si.

Permite mantener una adhesión mayor al criterio de estructura simple.

Las variables 1, 2 y 3 tendrán valores iguales a cero en el factor II, mientras que en la tabla de pesos factoriales ortogonales los pesos no eran grandes, pero distintos de cero. Lo mismo ocurre con las variables 4, 5 y 6 respecto al factor 1.

Los vectores con puntos terminales 4, 5, y 6 tendrán pesos próximos a cero en el factor I’, y los puntos 1, 2 y 3 tendrán pesos próximos a cero en el factor II’.

Coordenadas y proyecciones

Las coordenadas de los vectores y las proyecciones perpendiculares de los vectores sobre los ejes de coordenadas son iguales siempre que los ejes de coordenadas estén en ángulo recto entre si.

La afirmación de que las coordenadas del vector de datos P1 son (.7, .5) respecto de los vectores factoriales F1 y F2 significa que:

F1 y F2 pueden expresarse como combinaciones lineales de los mismos vectores base.

Tanto F1’ como F2’ pueden expresarse como combinaciones lineales de los vectores base ortogonales F1 y F2.

El vector P1 puede expresarse como una combinación lineal de vectores factoriales, oblicuos F1’ y F2’.

Al realizar el cálculo anterior, se obtuvo las X e Y como coordenadas desconocidas, entonces:

Esto da dos ecuaciones con dos incógnitas. Se obtiene que = .592 e Y=.400. X

Hay que trazar perpendiculares a los ejes factoriales y hay que medir la distancia desde el origen de estos puntos para poder obtener las coordenadas de un vector de datos respecto a dos vectores oblicuos. El cálculo del producto escalar P1 Y f1 da:

Al trazar una línea perpendicular desde el punto P1 al vector F1’ se obtiene la correlación entre el vector de datos P1 y el vector factorial F1’. A partir de la relación:

se obtiene que X es la proyección perpendicular del vector de datos P1 sobre el vector factorial F1.

Coordenadas y pesos factoriales

Se le conocen como pesos factoriales a las coordenadas de un vector de datos respecto a unos ejes factoriales .

Con factores ortogonales, se permite la interpretación de los pesos factoriales de una variable respecto a los factores ortogonales como si fueran coeficientes de correlación. Solo de esta manera los elementos de la matriz estructura pueden interpretarse como correlaciones.

Estructura del vector de referencia

La estructura del vector de referencia es conveniente cuando las rotaciones oblicuas se llevan a cabo por medio de la inspección de los trazados de los factores de dos en dos.

Este proceso viabiliza la obtención de las matrices de la solución final: la matriz patrón P, la matriz estructura S y la matriz de correlaciones entre los factores.

Consiste en las proyecciones perpendiculares de los vectores de variables.

Realizar una rotación oblicua de un vector de referencia implica cambiar una columna de la matriz de transformación.

Se presenta cómo un trazado de los factores ortogonales I y II’, el vector I sería el hiperplano para el factor II’, y II’ sería el hiperplano para el factor I.

El factor II está bien colocado, ya que su hiperplano está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos

El factor I estaría mal colocado porque su hiperplano no está situado a lo largo de la línea de máxima densidad de puntos.

Este procedimiento resultaría conveniente si se quisieran rotar las posiciones ortogonales de los factores I y II’ de la figura anterior a las posiciones ortogonales I’ y II.

Rotación oblicua de un vector de referencia (pp. 163)

Este proceso permite cambiar una columna de la matriz A para rotar un vector de referencia que es equivalente a la multiplicación de A por una matriz identidad excepto para la columna que se va a cambiar.

Conclusión

Luego de haber finalizado esta presentacion, pude encontrar que el análisis factorial es un proceso investigativo que facilita muchísimo la manera de interpretar las correlaciones entre variables en estudio. Con este proceso, es muy viable el poder encontrar una variedad de resultados en determinado estudio, ya que le ofrece al investigador poder jugar con las variables en estudio y así poder encontrar relaciones entre ellas. El autor de este libro guía al lector de tal modo que se hace fácil la interpretación del mismo.

Bibliografía

Andrew L. Comrey (1985) Manual de Análisis Factorial.

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_factorial Recuperado de la Web el 25 de septiembre de 2009.