1- Introduccion Al Diseño Estructural-Aspectos Basicos Del Diseño Estructural
Analisis Estructural II Introduccion
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ANALISIS ESTRUCTURAL II
Ing Fredy Pilco Bejar
Introduccion
• Propiedades de los materiales Estructurales
• Concreto
• Acero
• Madera
Introduccion
• Tipos de Cargas – Normas
• Cargas Muertas
• Cargas Vivas
Introduccion
• Tipos de Cargas – Normas
• Cargas Vivas
Introduccion
• Calculo de Cargas o Metrado
Introduccion
• Calculo de Cargas o Metrado
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
• Estructuras Estaticamente
Determinadas
• Idealización de Estructuras
• Soportes o conexiones
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
• Principio de
superposicion
• - Es desplazamiento total o las
cargas internas (esfuerzos) en un
punto de una estructura sometida
a varias cargas externas, puede
determinarse al sumar los
desplazamientos o cargas internas
(esfuerzos) casusadao por cada
una de las cargas externas que
actuan por separado.
• - El material debe comportarse de
manera elastico – lineal. Ley
Hooke.
• -No debe haber cambio de
geometria significativos
• Ecuaciones de
Equilibrio
• ∑Fx = 0
• ∑Fy = 0
• ∑Mz = 0
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
• Ejemplos
• - Calcule las reacciones de la viga
mostradas en la figura
- Calcule las Reacciones para la
armadura de la figura
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
• Ejercicios
• - Calcule las reacciones en cada
estructura
ANALISIS DE ESTRUCTURAS
• ARMADURAS
• - Una armadura es un elemento
estructural formado por un arreglo
estable de barras esbeltas. Este
arreglo frecuentemente subdivide
a la armadura en areas
triangulares. Lads juntas son
barras de armaduras soldadads o
atornilladas a placas de conexión
y son rigidas.
• Se considera que las juntas no
transfieren momentos y los
elementos de las armaduras solo
transmiten fuerzas axiales.
ARMADURAS
• ANALISIS DE
ARMADURAS
• - Las barras son rectas y
transmiten unicamente carga
axial. Se desprecia el peso muerto
de la barra.
• Los elementos o miembros se
conectan a los nodos por medio de
pasadores sin friccion. No se
transfiere momento
• Las cargas se aplican unicamente
en los nudos.
Introduccion
• Los metodos matriciales consisten en reemplazar la estructura
continua real por un modelo matematico de elementos
estructurales, cuyas propiedades pueden expresarse en forma
matricial
• Metodo de Rigideces
• Es un metodo del analisis del desplazamiento de la estructura.
Puede usarse tanto para analizarse estructuras estaticamente
determinadas como indeterminadas. Se obtiene los
desplazamientos y las fuerzas en forma directa. Es mucho mas
sencilla de formular las matrices necesarias para realizar las
operaciones en computadora.
• Metodo de Flexibilidad
• Procedimiento diferente para cada caso
• Grados de Libertad en estructuras
Introduccion
• Definiciones y Conceptos Preliminares
• Identificacion del Elemento y El Nodo
• Especificar cada elemento y cada nodo de la estructura Cada
elelmento se especificara por un numero encerrado en un cuadrado
y para los nodos se usara un numero dentro de un circulo.
Tambiwen se identificara los extremos de cada elemento mediante
una flecha a lo largo del elemento.
• Coordenadas Global y del Elemento
• Dadas que las cargas y los desplazamientos son cantidades
vetoriales, es necesario establecer un sistema de coordenadas a fin
de precidar el sentido correcto de la direcccion
• Sistema de Coordenada Global o de la estructura X,Y
• Sistema de coordenada Local o del Elemento x´, y´
Introduccion
• Indeterminacion Cinematica
• Los grados de libertad no restringidos para una armadura
representan las incognitas primarias y por lo tanto estas deben
identificarse
Introduccion
Matriz de Rigidez
• Matriz de Rigidez - Miembros
• La matriz de Rigidez a nivel elemento para una barra cargada
axialmente relaciona las fuerzas axiales en los extremos del
miembro con los desplazamientos axiales en cada extremo
• Los elementos dev la matriz de rigidez a nivel elemento se
expesan inicialmente en terminos de uns sistema coordenado local
x’, y’
Matriz de Rigidez
• El eje x’ es colineal con el eje longitudinal del miembro.
• Aunque la orientacion del sistema globlal es arbitraria,
comunmente se localiza el origen en uno de los nudos externos de
la base de la estructura. Para una estructura plana se posicionan
los ejees X y Y en las direcciones horiozontal y vertical
Matriz de Rigidez• Construccion de la Matriz de Rigidez para una barra
individual de Armadura
• Se considera una barra n
• Longitud L
• Area A
• Modulo de Elasticidad E
• El eje x’ es colineal con el eje longitudinal del miembro.
• Los nodos se denotan con los numeros 1 y 2
• Los ejes de las coordenadas locales x’ y y y’ con origen en 1
Matriz de Rigidez• La direccion es positiva para las fuerzas y desplazamientos en
la direccion positiva del eje x’ (hacia la derecha)
• Primero se introduce un desplazamiento en el nudo 1, ∆1 y el
nudo 2 se considera restrigido por un apoyo temporal
articulado
• Expresando las fuerzas en terminos de ∆1, se tiene la siguiente
ecuacion
• Q11= AE/L * ∆1 y Q21= -AE/L * ∆1
• Los subindices denotan la ubicacion del nudo en el cual actua la
fuerza y el segundo indica la localizacion del desplazamiento
Matriz de Rigidez• En forma similar el nudo 1 se restringe mientras el nudo se
desplaza una distancia ∆2 en direccion positiva las fuerzas en
los extremos son
• Q12= -AE/L * ∆2 y Q22= AE/L * ∆2
• Para calcular las fuerzas resultantes Q1 y Q2 en cada extremo
del miembro en terminos de los desplazamientos de los
extremos ∆1 y ∆2, se suman los terminos correspondientes de
las ecuaciones:
• Q1= Q11 + Q12 = AE/L * (∆1- ∆2)
• Q2= Q21 + Q22 = AE/L * (- ∆1+ ∆2)
Matriz de Rigidez• Las ecuaciones anteriores se pueden expresar en forma
matricial como:
• Donde la matriz de rigidez del elemento
• en el sistema de coordenadas locales es:
•
Algebra Matricial
Algebra Matricial
Algebra Matricial
Metodo de Rigideces
• Matriz de Transformacion
de Fuerza y
Desplazamiento
• Es la trnasformacion del as fuerzas Q y
de los desplazamientoso d definidos en
coordenas locales
• Consideraciones:
• λx = Cos θx=(xf – xn)/L
• = 𝑥𝑓−𝑥𝑛
(𝑥𝑓−𝑥𝑛)2+(𝑦𝑓−𝑦𝑓)
2
• λy = Cos θy=(yf – yn)/L • = 𝑥𝑓−𝑥𝑛
(𝑥𝑓−𝑥𝑛)2+(𝑦𝑓−𝑦𝑓)
2
Metodo de Rigideces
• Matriz de Transformacion
del Desplazamiento
• Es la composicion del desplazamiento de
cada elemento en funcion de las
componentes en las coordenadas globales
• Los desplazamientos o deformaciones se
dan en punto Cercano (N) y en el punto
lejano (F)
• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑛𝑥 cos θ𝑥 + 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝒚
• 𝑑𝑓 = 𝐷𝑓𝑥 cos θ𝑥 + 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒚
• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑛𝑥 λx + 𝐷𝑛𝑦 λy
• 𝑑𝑛 = 𝐷𝑓𝑥 λx + 𝐷𝑓𝑦 λy
Metodo de Rigideces
• En forma Matricial
𝑑𝑛𝑑𝑓
=λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥
0λ𝑦
𝐷𝑛𝑥𝐷𝑛𝑦𝐷𝑓𝑥𝐷𝑓𝑦
• Tambien
• d= TD
• T =λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥
0λ𝑦
• T transforma los cuatro desplazamientos D globales x, y, en los
dos desplazamientos locales x`
• T se conoce como la matriz de transformacion del desplazamiento
Metodo de Rigideces
• Matriz de Transformacion de
Fuerza
• Es la composicion de las fuerzas en los
elementos , de coordenadas locales a
coordenadas globales.
• Componentes de la fuerza global qn en N
• 𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛 cos θ𝑥 𝑦 𝑄𝑛𝑦 =
𝑞𝑛 cos θ𝒚• En el punto F
• 𝑄𝑓𝑥 = 𝑞𝑓 cos θ𝑥 𝑦 𝑄𝑓𝑦 =
𝑞𝑓 cos θ𝒚• 𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛 λx 𝑄𝑛𝑦 =
𝑞𝑛 λy
Metodo de Rigideces
• En forma Matricial
𝑄𝑛𝑥𝑄𝑛𝑦𝑄𝑓𝑥𝑄𝑓𝑦
=
λ𝑥 0λ𝑦 0
00
λ𝑥λ𝑦
𝑞𝑛𝑞𝑓
• Tambien Q= 𝑇𝑇q
• 𝑇𝑇 =
λ𝑥 0λ𝑦 0
00
λ𝑥λ𝑦
𝑇𝑇 transforma las dos fuerzas q locales (x`)
que actuan en los extremos del elemento en las cuatro componentes de la
fuerza Q global (x,y)
• 𝑇𝑇 matriz de la transformacion de la fuerza es la transpuesta de
la matriz de transformacion del desplazamiento
Metodo de Rigideces
• Matriz de Rigidez Global del Elemento
• Es la matriz que relaciona las componentes de la fuerza global Q
del elemento con sus desplazamientos globales D
• d= TD y q= k`d
• Sustituyendo
• q= k`TD
• Teniendo la ecuacion: Q= 𝑇𝑇q
• Q= 𝑇𝑇k`TD
• La matriz k de Rigidez en coordenadas globales del elemento
• k= 𝑇𝑇k`T
Metodo de Rigideces
• Realizando las operaciones matriciales se obtiene:
Metodo de Rigideces
• Matriz de Rigidez de la Armadura
• La matriz de rigidez de la estructura tendra un orden que sera
igual al numero mayor de grados de libertad de la estructura
• Cuando se ensamble las matrices k, cada elemento en k se pondra
entonces en su misma designacion de fila y columna en la matriz
de rigidez de la estructura K
• Los elemento asignados en una ubicacion comun deben sumarse
algebraicamente.
Metodo de Rigideces
• Ejemplos:
• 1.- Determine la matriz de rigidez de la
estructura para la armadura de dos elementos
que se muestra en la figura.
mt
mt
mt
mt
Metodo de Rigideces
• Ejemplos:
• 2.- Determine la matriz de rigidez de la
estructura para la armadura que se muestra en la
figura. AE es constante.
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• Las fuerzas en el sistema global (x, y) Q, que actuan sobre la
armadura, pueden relacionarse con sus desplazamientos globales
D :
• Q= KD Ecuacion de rigidez de la estructura
𝑄𝑘𝑄𝑛
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
• Qk = Cargas externas conocidas
• Qn = Cargas externas NO conocidas
• Dk = Desplazamientos conocidos
• Du = Desplazamientos NO conocidos
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
𝑄𝑘𝑄𝑛
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
• Al expandir la ecuacion se obtiene:
• Qk = K11Du + K12 Dk
• Qu = K21Du + K22 Dk
• A menudo Dk = 0, debido a que los apoyos son restringidos y no
se desplazan
• Qk = K11Du , en la cual puedo calcular los desplazamientos NO
conocidos
• Qu = K21Du, teniendo los desplazamientos no conocidos, se
puede calcular las fuerzas NO conocidas
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• Sabemos que las fuerzas en los elementos pueden determinarse
mediante la ecuacion:
• q= k`TD
• Al expandir la ecuacion se obtiene
•𝑑𝑛𝑑𝑓
=𝐴𝐸
𝐿
1 −1−1 1
λ𝑥 λ𝑦 00 0 λ𝑥
0λ𝑦
𝐷𝑛𝑥𝐷𝑛𝑦𝐷𝑓𝑥𝐷𝑓𝑦
• Se sabe que por equilibrio qn = -qf , por lo tanto, unicamente es
necesario determinar una de las fuerzas, qf
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• qf= 𝐴𝐸
𝐿[−λ𝑥 − λy λ𝑥 λ𝑦]
𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦
• Cuando el resultado es negativo, el elemento se encuentra en
compresion
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• Ejercicio
• Determine la fuerza en dada uno de los dos elementos que
componen la armadura que se muestra en la figura.
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• Solucion
• Determinando Du
• Calculo de Q No conocidos
• Al expandir la ecuacion
• Las fuerzas en cada elemento
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
Aplicacion del Metodo de rigideces para
el Analisis de Armaduras
• Ejercicios
• Determinar las reacciones en los soportes y la
fuerza en el elemento 2 de la armadura que se
muestra en la figura. AE es constante. Cada lado
de la armadura es de 10 mt.
Aplicacion del Metodo de rigideces para el
Analisis de Armaduras
• Ejercicios
• Determinar las reacciones
en los soportes y la
fuerza en todos los
elementos de las
armaduras que se
muestran en la figura. AE
es constante.
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Vigas
• Identificacion del
Elemento y el Nodo
• Sub dividir la viga en elementos finitos
que la componen
• Cada elemento debe estar libre de
carga y tener una seccion prismatica
• Los nodos deben ubicarse en: un
soporte, conexion, aplicacion de fuerza
externa, punto donde se requiere el
desplazamiento vertical o de rotacion
•
• Coordenadas Globales y del
Elemento
• X, Y, Z, Se colocara en un nodo
de modo que las coordenadas en
los otros nodos sean positivas.
• Las coordenadas locales x´,y´y
z´ tienen su origen en el
extremo cercano de cada
elemento, y el eje x´ se dirige
hacia el extramo lejano
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Vigas
• Indeterminacion
Cinematica
• Determinar los grados de libertad para
la viga.
• Tomando en cuenta la flexion y la
fuerza cortante, entonces cada nodo en
un viga puede tener dos grados de
libertad:
• -Un deplazamiento vertical
• - una rotacion
• Coordenadas Globales y del
Elemento
• X, Y, Z, Se colocara en un nodo
de modo que las coordenadas en
los otros nodos sean positivas.
• Las coordenadas locales x´,y´y
z´ tienen su origen en el
extremo cercano de cada
elemento, y el eje x´ se dirige
hacia el extramo lejano
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Vigas
• Los numeros mas bajos se usaran para
identificar los desplazamientos NO
conocidos (grados de libertad no
restringidos).
• Los numeros mas altos se utilizara para
identificar los desplazamientos
conocidos (grados de libertad
restringidos). Para la particion de
matrices
•
Matriz de Rigidez de la Viga Elemento
• Las fuerzas cortantes son qNy´ y qFy´
• Y los momentos flectores qNz´ y qFz´
• , positivas en sentido antihorario
• Se cumple con la regla de la mano
derecha
• DESPLAZAMIENTO EN Y´
• Cuando se impone un desplazamiento
dNy´, mientras se evitan otros posibles
desplazamientos, se crean fuerzas
cortantes y momentos de flexion
• resultantes como se muestra en
la figura.
• De igual modo ocurre con dFy´
Matriz de Rigidez de la Viga Elemento• ROTACIONES EN Z´
• Si se impone una rotacion dNz´Cuando
se impone un desplazamiento dNy´,
mientras se evitan otros posibles.
• Las fuerzas cortantes y momentos
requeridos para la deformacion, se
muestran en la figura.
•
• Por superposicion, sumando los
resultados anteriores, las cuatro
relaciones de carga –
desplazamiento resultantes para
el elemento, pueden expresarse
en forma matricial como:
Matriz de Rigidez de la Viga Elemento• Ejercicios
• Determine las reacciones en los
soportes de la viga que se muestra en la
figura. EI son constantes.
•
• Solucion
• Los numeros mas bajos 1-4
identifican los grados de
libertad NO Restringidos:
• Desplazamientos y cargas
• La viga de la figura esta sometida a dos
momentos de par. Sie el soporte central
2 se asienta 1.5 mm, determine las
reacciones en los soportes. E= 200 Gpa,
I= 22 x 10-6 m4
• Determine el momento
desarrollado en el soporte A de la
viga que se muestra en la figura.
Considere E= 29 000 ksi y que I=
510 pulg4
Ejercicios
Ejercicios
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• Se requerira de el uso de matrices de
transformacion , debido a que los
elementos de los marcos estan
orientados en diferentes direcciones
• Matriz de Rigidez del
Marco - Elemento
• Los elementos estan sometidos a las
• cargas axiales qnx´, qfx´
• Cargas cortantes qny´y qfy´
• Momentos flexionantes qnz´y qfz´
En sus extremos cercanos (N) y lejanos (F)
respectivamente
Estas cargas actuan en sus sentidos
coordenados positivos como en las vigas
•
• Las seis relaciones resultantes
expresadas en forma matricial
• q = k´d
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• Matriz de
transformacion del
desplazamiento y de las
fuerzas
• Matriz de Transformacion del
Desplazamiento
•
El desplazmiento en coordenadas
globales Dnx, crea desplazamientos
en coordenadas locales. (Extremo
Cercano)
𝑑𝑛𝑥´ = 𝐷𝑛𝑥 cos θ𝑥
• 𝑑𝑛𝑦´ = −𝐷𝑛𝑦 cosθ𝒚
• Dny
• 𝑑𝑛𝑥´ = 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝑦
• 𝑑𝑛𝑦´ = 𝐷𝑛𝑦 cos θ𝒙
• Para los ejes Z y z´ son
coincidentes
• 𝑑𝑛𝑧´ = 𝐷𝑛𝑧
• q = k´d
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• De manera similar, para el extremo
lejano se impone un desplazamiento
Dfx en la direccion X, Dfy en la
direccion Y, y una rotacion Dfz, las
ecuaciones de transformacion
resultantes son:
•
𝑑𝑓𝑥´ = 𝐷𝑓𝑥 cosθ𝑥
• 𝑑𝑓𝑦´ = −𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒚
• Dfy
• 𝑑𝑓𝑥´ = 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝑦
• 𝑑𝑓𝑦´ = 𝐷𝑓𝑦 cos θ𝒙
• Para los ejes Z y z´ son
coincidentes
• 𝑑𝑓𝑧´ = 𝐷𝑓𝑧
• Si se considera como
• λx = Cos θx, λy = Cos θy
• Los cosenos directores del
elemento, la superposicion de
los desplazamientos en el
sistema matricial es:
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• O d= TD
Matriz de Transformacion de la Fuerza
• Al aplicar qnx´, se tiene:
𝑄𝑛𝑥 = 𝑞𝑛𝑥 ´ cos θ𝑥
• 𝑄𝑛𝑦 = 𝑞𝑛𝑦´ cosθ𝒚
• Si se aplica qny´, sus componentes son
𝑄𝑛𝑥 = −𝑞𝑛𝑦 ´ cosθ𝒚
• 𝑄𝑛𝑦 = 𝑞𝑛𝑦´ cosθ𝒙
• Como qnz´ es colineal con Qnz ,
se tiene:
• 𝑄𝑛𝑧 = 𝑞𝑛𝑧 ´
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• De manera similar , las cargas en los
extremos lejanos 𝑞𝑛𝑥 ´, 𝑞𝑛𝑦 ´, 𝑞𝑛𝑧 ´ ,
generan los siguientes componentes
𝑄𝑓𝑥 = 𝑞𝑓𝑥 ´ cos θ𝑥
• 𝑄𝑓𝑦 = 𝑞𝑓𝑦´ cos θ𝒚𝑄𝑓𝑥 = −𝑞𝑓𝑦 ´ cosθ𝒚
• 𝑄𝑓𝑦 = 𝑞𝑓𝑦´ cos θ𝒙
• 𝑄𝑓𝑧 = 𝑞𝑓𝑧 ´
• Al ensamblar estas ecuaciones en forma
matricial con
• λx = Cos θx, λy = Cos θy
• Se obtiene:
• O bien
• Q= 𝑇𝑇q
• Matriz de rigidez Global del
Marco - Elemento
• q = k´TD
• Sustituyendo
• Q = 𝑇𝑇k´TD
Aplicacion del Metodo de Rigideces para
el Analisis de Marcos o Porticos
• Q = kD
• Donde: k = 𝑇𝑇k´T
• Aqui k representa la matriz global del
elemento. En forma matricial y
realizando las operaciones respectivas
se tiene:
Bibliografia
• Analisis Estructural. R.C. Hibbeler
• Analsis Matricial de Estructuras. Mohamamed
Mehdi Hadi M.
• Fundamentos de Analisis Estructural. Kenneth M.
Leet – Chia-Ming Uang
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios
Ejercicios