Fundamentos de Anlisis MatemticoB. Cascales y S. Troyanski2007 Universidad de Murciandice generalIntroduccin 1Nombres para la historia 3ndice de guras 51 Preliminares 71.1 Espacios topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.1 Conjuntos dirigidos y redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Teorema de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 El teorema de Hahn-Banach: versin analtica . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2 Ejemplos de e.l.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.3 Espacios localmente convexos metrizables y normables . . . . . . . . . . 371.3.4 Teoremas de separacin de conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . 391.3.5 Pares duales. Polares. El teorema del bipolar . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.6 Topologas dbiles en espacios de Banach. Reexividad . . . . . . . . . 511.3.7 El teorema de completitud de Grothendieck. . . . . . . . . . . . . . . . 582 El teorema del punto jo 612.1 El teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2 El teorema del punto jo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 El teorema del punto jo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4 Los teoremas del punto jo de Schauder y de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . 852.5 El teorema de Lomonosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 Optimizacin: funcionales que alcanzan la norma 103B. Cascales y S. Troyanskiii ndice general3.1 El teorema de Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2 El teorema de Krein-mulian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.3 Principio variacional de Ekeland y teorema de Bishop-Phelps. . . . . . . . . . . 1183.4 Mejores aproximaciones y el teorema de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.5 Conexin con el proyecto de investigacin: fronteras de James . . . . . . . . . . 1284 Derivadas de Gteaux y Frchet 1394.1 Diferenciabilidad de Gteaux y de Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Renormamiento convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3 Particiones de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.4 Conexin con el proyecto de investigacin: espacios de Asplund . . . . . . . . . 1705 Integracin en espacios de Banach 1735.1 Medibilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2 La integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.3 La integral de Pettis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4 Conexin con el proyecto de investigacin: PRN y PDRN . . . . . . . . . . . . . 201ndice terminolgico 207Bibliografa 213B. Cascales y S. TroyanskiIntroduccinESTEcurso de doctorado est diseado, tanto para iniciarse en la investigacin en anlisisfuncional, como para completar la formacin y cultura matemtica de aqullos que vayan adedicarse a otras especializaciones en anlisis matemtico, lgebra, geometra y topologa,etc. El estudiante recibir una orientacin especca segn su progreso acadmico. Es objetivoprimordial del curso introducir y familiarizar al alumno con tcnicas profundas del anlisis mate-mtico que tienen aplicaciones a cuestiones de diferenciacin en espacios de Banach, optimiza-cin, teora general de aproximacin, tests de convergencia sobre fronteras e integracin vectorial.Nos centramos en aquellos aspectos del anlisis que constituyen la base necesaria para el estudiode problemas de vigencia actual. Pretendemos que este curso proporcione, a quienes lo sigan conaprovechamiento, una base slida sobre la que poder iniciar tareas de investigacin en las lneasdel grupo de Anlisis Funcional de la Universidad de Murcia.LAS notas que siguen estn organizadas en cinco captulos pensados como material de trabajopara el alumno. Cada captulo cuenta con unos objetivos denidos, notas histricas y llama-das de atencin marcadas con un signo , en las que se aslan comentarios que, en una primeralectura, pudieran haber pasado desapercibidos para el lector. Las citas bibliogrcas son nume-rosas, y cada captulo se cierra con un apartado PARA SABER MSque contiene comentariossobre libros y artculos donde poder ampliar los temas desarrollados en el mismo. Los captulos 3,4 y 5 contienen una seccin titulada Conexin con el proyecto de investigacin, donde se exponencuestiones actuales de investigacin, algunas de ellas planteadas en el proyecto BFM2002-01719(2002-2005) nanciado por el Ministerio de Ciencia y Tecnologa.El primer captulo contiene los preliminares de topologa y teora de dualidad que se necesitanpara el resto del curso. El captulo segundo se dedica al estudio y demostracin de varias versionesdel teorema del punto jo (Banach, Brouwer, Schauder, Tychonoff), as como a sus aplicacionesa las ecuaciones diferenciales (teoremas de Peano y Picard) y a la existencia de subespacios in-variantes para operadores compactos en espacios de Banach (teorema de Lomonosov). En el ca-ptulo tercero estudiamos diversas cuestiones relacionadas con funcionales que alcanzan la normaen conjuntos convexos de un espacio de Banach, y demostramos los teoremas de Krein-Milman,Krein-mulian, Minkowski, Bishop-Phelps y el Principio Variacional de Ekeland. PresentamosB. Cascales y S. Troyanski2 Introduccinalgunas aplicaciones del teorema de James a la teora general de la aproximacin, y lo ligamoscon ciertos tests de convergencia y compacidad dbil. El cuarto captulo est dedicado al estu-dio de la diferenciabilidad y el renormamiento en espacios de Banach. Habida cuenta de que sepueden obtener funciones diferenciables a partir de normas diferenciables, y que estas ltimas sepueden construir a partir de normas duales rotundas, renormamiento y diferenciabilidad conuyende forma natural. Demostramos resultados clsicos de renormamiento (Clarkson, Kadec, Klee) enespacios de Banach con dual separable, los cuales nos permiten probar que estos espacios tienenparticiones de la unidad de clase C1. El ltimo captulo se dedica al estudio de la integracin enespacios de Banach (integrales de Bochner y de Pettis). En los captulos anteriores, algunas de lasdemostraciones hacen uso, de forma encubierta, de resultados que se pueden aislar en trminos deintegracin vectorial (existencia de baricentros). Aqu proporcionamos una introduccin a la inte-gracin en espacios de Banach que deja al lector a las puertas de cuestiones de diferenciabilidadde medidas vectoriales que estn ligadas, de forma natural, con los problemas de diferenciabilidady renormamiento desarrollados en el captulo anterior. Nos remitimos a los cuadros 2.1, 3.1, 4.1y 5.1 de las pginas 62, 104, 140 y 174, respectivamente, en los que se muestra la interrelacinexistente entre los resultados centrales estudiados en cada uno de los captulos.EL material presentado aqu es, en su mayora, autocontenido, partiendo de la base de que elalumno ha estudiado cursos bsicos de topologa conjuntista, clculo de varias variables, teo-ra de la medida y anlisis funcional. Referencias recomendadas donde encontrar los prerrequisitosdel curso son [2, 23, 50, 69, 96].QUEREMOSinsistir en que el contacto de nuestros alumnos con la investigacin no se debereducir nicamente a los cursos de doctorado y al trabajo con su director de tesis. Ambosse deben complementar con la asistencia de los alumnos a las conferencias que, peridicamen-te, se organizan en el Departamento de Matemticas y a las sesiones del Seminario de AnlisisFuncional.Finalmente, reseamos que este curso de doctorado de 4 crditos es parte del programa dedoctorado Matemticas que se imparte en la Universidad de Murcia, y que ha sido distinguidoen el curso 2003-2004 con la Mencin de Calidad del Ministerio de Educacin y Ciencia que,en su informe nal sobre la articulacin y coherencia de los contenidos y estructura general delprograma, argumentaba literalmente:Los objetivos de los cursos estn formulados en general con mucha claridad. Loscontenidos de los cursos guardan una buena concordancia con los objetivos del pro-grama. Hay una excelente correspondencia entre los contenidos de los cursos y laslneas de investigacin. Los contenidos de los cursos son muy adecuados en extensiny profundidad a los crditos asignados. La metodologa didctica propuesta es muyadecuada a los objetivos. Los criterios de evaluacin estn muy bien denidos.Bernardo Cascales y Stanimir TroyanskiB. Cascales y S. TroyanskiNombres para la historiaF. Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10E. H. Moore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13H. L. Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13P. Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16P. Uryshon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16R. Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17H. Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22D. Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28J. von Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28H. Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34E. Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34M. R. Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38S. Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45P. Eno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A. Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60K. Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69M. H. Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69S. Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75L. E. J. Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84V. Lomonosov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100M. Krein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113D. Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113R. C. James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128R. Gteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159M. Kadec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167S. Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200B. J. Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200B. Cascales y S. Troyanskindice de guras1.1 Suma de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Funcional de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Teorema de Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4 Polar de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.5 Ley del Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1 Aproximacin mediante polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2 Aproximacin mediante polinomios de interpolacin . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3 Aproximacin mnm ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4 El teorema del punto jo y el teorema de los valores intermedios . . . . . . . . . . 762.5 Sn1no es un retracto de Bn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6 Mejor aproximacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1 Conjunto de puntos extremales no cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 El lema de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3 Funcin superiormente semicontinua: subgrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4 Funcin inferiormente semicontinua: epgrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5 Principio del Mximo de Bauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.6 Subdiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.7 Frmula de Poisson para una funcin armnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1 Una funcin continua que no es diferenciable Gteaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2 Una funcin diferenciable Gteaux que no es continua . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 Una funcin continua, diferenciable Gteaux, que no es diferenciable Frchet . . . 1444.4 Funcin meseta en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.5 Norma localmente uniformemente convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.6 Suma de un funcin convexa y una estrictamente convexa. . . . . . . . . . . . . . 162B. Cascales y S. TroyanskiCaptulo1PreliminaresPreliminares'&$%5423OBJETIVOSFijar una notacin y terminologa coherentes e inequvocas para el curso.Recordar las cuestiones bsicas de topologa y espacios vectoriales que elalumno debe conocer y que necesitaremos.Volver a introducir al alumno en la riqueza que la interrelacin de tcnicasde topologa, anlisis y lgebra coneren a los espacios vectoriales topol-gicos.Presentar los espacios vectoriales topolgicos como el marco adecuado paraestudiar cuestiones relativas a la dualidad, an cuando stas slo se apliquena los espacios de Banach.EN este captulo repasamos algunas nociones bsicas de topologa, lgebra lineal, y anlisisfuncional, que deben ser conocidas por todos los alumnos, dado que son impartidas en asig-naturas troncales de los planes de estudio de la Licenciatura en Matemticas. En concreto,en esta Universidad, los resultados que se recuerdan en este captulo preliminar han sido cursados,respectivamente, en las asignaturas:Topologa y Ampliacin de Topologa (Asignaturas Troncales de 6 y 9 Crditos. Primer ysegundo cursos de la Licenciatura en Matemticas).lgebra Lineal y Geometra Eucldea (Asignatura Troncal de 15 Crditos. Primer curso dela Licenciatura en Matemticas).Anlisis Funcional (Asignatura Troncal de 6 Crditos. 1erCuatrimestre. Cuarto curso de laLicenciatura en Matemticas).Nuestras referencias bsicas para topologa son [48, 69], para lgebra lineal [31, 87] y paraanlisis funcional [23, 50].B. Cascales y S. Troyanski8 Preliminares1.1 Espacios topolgicosUNA topologa en un conjunto X es una una coleccin de subconjuntos de X (llamados con-juntos abiertos) que satisface las propiedades siguientes: (a) el total, X, y el conjunto vaco,/ 0, son abiertos; (b) la interseccin de una cantidad nita de conjuntos abiertos es un conjuntoabierto; (c) la unin de cualquier coleccin de abiertos es un abierto. El conjunto X es el espaciode la topologa y el par (X, ) se llama espacio topolgico. Algunas veces, cuando no haya con-fusin posible, no mencionaremos a , y simplemente diremos que X es un espacio topolgico, taly como hacemos en toda esta seccin.He aqu un resumen del vocabulario usual que utilizaremos al referirnos a topologas y a losespacios topolgicos (X, ).

Comparacin de topologas Sean Xun conjunto yT, dos topologas en X. Se dice queT esms na que si los conjuntos -abiertos de X son T-abiertos. En este caso tambin se diceque es ms gruesa que T. Se dice que T y son comparables si T es ms na que , o alrevs, es ms na que T.

Cerrados Un conjunto F Xes cerrado si, y slo si, su complementario es abierto. Es claroque tanto Xcomo/ 0 son cerrados. Por otra parte, dado que para cada coleccin AiiIdesubconjuntos de X se tienen las identidadesX _iIAi =

iI(X Ai) y X

iIAi =_iI(X Ai),se obtiene que la interseccin de cualquier coleccin de cerrados es un cerrado y la uninnita de conjuntos cerrados es tambin un cerrado.

Adherencia La adherencia de un subconjunto A de X, denotada por A, es la interseccin de todoslos cerrados de X que contienen a A.

Interior El interior de un subconjunto A de X, denotado porA o int A, se dene como el mayorconjunto abierto de X contenido en A.De las deniciones anteriores se pueden deducir fcilmente las propiedades que siguen y queel lector comprobar sin dicultad.Proposicin 1.1.1. Sean (X, ) un espacio topolgico y AX. Entonces se verican las siguientespropiedades:i)A A A.ii) El interior y la adherencia de A quedan caracterizados por las igualdadesA =_x X : existe Vx tal que x Vx A_yA =_x X : para cada U , x U, se tiene U A ,= / 0_.B. Cascales y S. Troyanski1.1 Espacios topolgicos9iii) A es abierto si, y slo si, A =A.iv) A es cerrado si, y slo si, A = A.

Topologa inducida Si A es un subconjunto de X y / es la coleccin de todas las interseccionesAU, con U , entonces / es una topologa sobre A, como puede comprobarse fcilmen-te. A / se le llama topologa inducida en A por .Lema 1.1.2. SeaBuna familia de subconjuntos de un conjunto Xtal que, para cualesquieramiembros B1, B2 B y cada x B1B2, existe B B con x B B1B2. Entonces, / 0, X y lafamilia de uniones de elementos de B forman una topologa sobre X.Demostracin. Es casi evidente que es una topologa. Slo probaremos que la interseccin nitademiembrosde estdenuevoen . ConsideremosA = iIAiy C = jJCj, dondecadaAi,Cj B. Para cada x AiCj, tomamos Bxi j B tal que x Bxi j AiCj. Es claro queAC =__Bxi j : i I, j J, x X_,con lo que AC .

Base de una topologa Una coleccin B es una base para la topologa si cada elemento de es unin de elementos de B.

Entornos Un conjunto Vse llama entorno de un punto x X si x pertenece al interior de V. Unacoleccin Bx de entornos de un punto x X es una base de entornos para x si todo entornode x contiene un elemento de Bx. Si, para cada x X, Bx es una base de entornos de x, lacoleccin BxxXse llama sistema de entornos para el espacio X. Todo sistema formadopor entornos abiertos satisface las siguientes propiedades:(E1).- Para cada x X, Bx ,= / 0, y para cada U Bx, x U.(E2).- Si x U By, existe V Bx tal que V U.(E3).- Para cada U1,U2 Bx, existe U Bx tal que U U1U2.

Base de ltro Una base de ltro en un conjunto Xes una familia de subconjuntos no vacos Ude X con la propiedad de que U Vcontiene un miembro de U , para cada U,V U . Si Xes un espacio topolgico y Bx es una base de entornos de x X, entonces Bx es una basede ltro.Proposicin 1.1.3. Supongamos que en un conjunto Xhemos dado una coleccin BxxXdefamilias de subconjuntos de Xque tienen las propiedades (E1), (E2) y (E3). Sea la familia detodos los subconjuntos de Xque son uniones de subfamilias de xXBx. La familia es unatopologa en X y la coleccin BxxX es un sistema de entornos del espacio topolgico (X, ).Demostracin. Vase [48, Section 1.2].B. Cascales y S. Troyanski10 Preliminares

Espacios Hausdorff (separados) Se dice que (X, ) es un espacio Hausdorff( es una topologaHausdorff ) cuando puntos distintos de X tienen entornos disjuntos. Si (X, ) es un espacioHausdorff, es fcil convencerse de que cada punto x X es un conjunto cerrado.En lo que sigue, salvo que especiquemos lo contrario, siempre supondremos que nuestrosespacios topolgicos son Hausdorff.Ejemplo 1.1.4 (Espacios mtricos). Sea (M, d) un espacio mtrico. Sea B la familia de todas lasbolas abiertas de (M, d), i.e., la familia de todos los subconjuntosB(x, a) =_y M : d(x, y) < a_,con a > 0 y x M. La familiaBsatisface la condicin exigida en el lema 1.1.2, ya que paracualesquiera x, y, z M y a, b, c R, si z B(x, a) B(y, b), se tiene queB(z, c) B(x, a) B(y, b),donde0 < c mn_ad(x, z), bd(y, z)_.

Espacios metrizables Unespaciotopolgico (X, )sedicemetrizable siexisteunamtricadsobre X tal que cada elemento de es unin de bolas abiertas. En este caso, diremos que latopologa es compatible con la mtrica d.

Funciones continuas Sean X e Yespacios topolgicos yf: X Yuna funcin. Se dice quefes continua en x X si para todo entorno V de y = f (x) se tiene quef1(V) =_u X : f (u) V_es un entorno de x. La aplicacin f se dice continua de X a Y si es continua en cada x X. fes continua si, y slo si, f1(V) es abierto en X para cada abierto V de Y. Equivalentemente,f es continua si, y slo si, para cada subconjunto C de Xse tiene quef_C_ f (C). Laaplicacinf se dice que es abierta de Xsobre Ysi f (V) es abierto en Ypara cada abiertoV X. La aplicacinf se dice que es un homeomorsmo si es biyectiva, y tanto ella comosu inversa son continuas.Espacios topolgicos arbitrarios, 1879-1914. El gran desarrollo de la topologa gene-ral estuvo, en sus orgenes, asociado al desarrollo y necesidad de formalizar cuestionesde anlisis y geometra. Segn R. Engelking, [48, p. 35]: La topologa general debe sus co-mienzos a una serie de artculos publicados por G. Cantor entre 1879-1884. Al discutir launicidad de problemas para series trigonomtricas, Cantor se concentr en el estudio de con-juntos de puntos excepcionales, donde uno puede quitar algunas hiptesis a un teorema sinB. Cascales y S. Troyanski1.1 Espacios topolgicos11que ste deje de ser cierto. Despus, se dedic exclusivamente a la investigacin de conjuntos,dando lugar, de esta forma, al desarrollo de la teora de conjuntos y la topologa. Cantor in-trodujo y estudi, en el marco de los espacios Eucldeos, algunas nociones fundamentales detopologa. Otros conceptos importantes, tambin en espacios Eucldeos, fueron introducidosentre 1893-1905 por C. Jordan, H. Poincar, E. Borel, R. Baire y H. Lebesgue. En el mar-co de la teora general fue decisivo avanzar, desde los espacios Eucldeos hasta los espaciosabstractos: nombres como los de B. Riemann, G. Ascoli, C. Arzel, V. Volterra, D. Hilberte I. Fredholm, aparecen entre los precursores de conceptos como los de variedad, conjuntode curvas, conjunto de funciones, etc. Los espacios abstractos con una estructura topolgicafueron primero introducidos por M. Frchet y F. Riesz, 1906-1908. Con F. Hausdorff, en 1914,comienza la topologa general en el sentido que se le da hoy. Volviendo a la nocin de entornoy utilizando las propiedades (E1), (E2) y (E3) introducidas en la pgina 9, Hausdorff da laprimera denicin satisfactoria de espacio topolgico.1.1.1 Conjuntos dirigidos y redes

Conjunto dirigido Una relacin binaria dirige a un conjunto D si D es no vaco y se satisfacenlas siguientes propiedades:a) Si i, j, k D son tales que i j yj k, entonces i k (propiedad transitiva).b) Si i D, entonces i i (propiedad reexiva).c) Para cada i, j D, existe k D tal que k i y k j.Un conjunto dirigido es un par (D, ) tal que dirige a D. Un subconjunto L D se diceconal en D si, para cada i D, existej L tal quej i; si L es conal en D, entonces(L, ) es un conjunto dirigido con la relacin binaria inducida.

Redes Una red en un conjunto X es una aplicacin : DX, con dominio un conjunto dirigido(D, ). La red se suele denotar mediante (xi)iD, donde xi = (i) para i D.

Lmites Sea (xi)iD una red en X y A X. Se dice que (xi)iD est:frecuentemente en A, si para cada i D existej D tal quej i y xj A;eventualmente en A, si no est frecuentemente en X A.Lared(xi)iDenelespaciotopolgicoXsediceconvergenteaunpuntox Xsiesteventualmente en cada entorno de x. No es difcil comprobar que Xva a ser un espacioHausdorffsi, yslosi, lasredesconvergentesconvergenaunnicopunto. SiXesunespacio Hausdorff y (xi)iD es una red convergente a x, se escribelmiDxi := x,y se dice que x es el lmite de la red. Las sucesiones son un caso particular de las redes,tomando N, con su orden total natural, como conjunto dirigido.B. Cascales y S. Troyanski12 PreliminaresUtilizandoredesconvergentes,sepuedencaracterizarlasfuncionescontinuas:sean Xe Yespaciostopolgicosyf : X Yunaaplicacin. f escontinuaenx Xsi,yslosi,paracadared(xi)iDenXconvergenteax,severicaquelmiD f (xi) =f (x). Tambinpodemoscaracterizar los subconjuntos abiertos y cerrados en los trminos que siguen.Proposicin 1.1.5. Sea X un espacio topolgico. Entonces:Para cada F X se tiene queF =_x X : existe una red (xi)iD en F convergente hacia x_. (1.1)Un conjunto F X es cerrado si, y slo si, ninguna red en F converge a un punto de X F.G Xes abierto si, y slo si, cada red en Xque converge a un punto de G est eventual-mente en G.Demostracin. Slo probaremos la igualdad (1.1). El resto de propiedades quedan como ejercicio.Es claro que el conjunto descrito en la parte derecha de la igualdad (1.1) est contenido en F. Alrevs, sea x F. Para cada entorno V de x, se tiene que V F ,= / 0. Elegimos xV V F. Dirigimosahora la familia de entornos Ux del punto x mediante la relacin binaria que sigue: diremos queU Vcuando U V, U,V Ux.Es claro que la red (xV)VUx converge y tiene lmite x, y as termina la prueba.

Punto de aglomeracin Un punto x Xse dice que es un punto de aglomeracin de una red(xi)iD si (xi)iD est frecuentemente en cada entorno de x. Obsrvese que el conjunto delos puntos de aglomeracin de (xi)iD (que puede ser vaco) se describe por la interseccinC_(xi)iD_= iDxj : j i.

Subredes Sea (xi)iD una red en X. Otra red (y

)L se dice que es una subred de (xi)iD si existeuna aplicacin : L D tal que(i) y

= x() para cada L.(ii) Para cada i0 D, existe 0 L tal que, si0, entonces () i0.Si una red (xi)iD es convergente hacia x X, entonces todas sus subredes convergen tam-bin al mismo punto.Lema 1.1.6. Sea Suna familia de partes de Xcon la propiedad de que la interseccin de dosmiembros de Scontiene un miembro de S. Si (xi)iD es una red que est frecuentemente en cadamiembro S S, entonces existe una subred (y

)L de la red (xi)iD que est eventualmente encada miembro S S.B. Cascales y S. Troyanski1.1 Espacios topolgicos13Demostracin. El conjunto de los pares ordenadosDS:=_(i, S) : i D, S S_se dirige por la relacin binaria(i, S) ( j, T) si, y slo si, i j y S T.El conjunto L = _(i, S) DS: xi S_ es conal en DS, gracias a que (xi)iDest fre-cuentemente en cada S S. Si consideramos ahora la aplicacin : L D dada por () = i,para = (i, S) L, y denimos y

= x(), entonces (y

)Les una subred de (xi)iDque esteventualmente en cada S S.Del lema anterior se obtiene inmediatamente el siguiente resultado.Proposicin 1.1.7. Para una red (xi)iD en el espacio topolgico X, las siguientes armacionesson equivalentes:(i) x X es punto de aglomeracin de (xi)iD.(ii) Existe una subred (y

)L de (xi)iD convergente hacia x.Convergencia segn Moore-Smith, 1922-1955. El concepto de red fue introducido porE. H. Moore y H. L. Smith en 1922. La nocin de convergencia en espacios topol-gicos generales fue descrita por G. Birkhoff en 1937, si bien su presentacin tena algunasdeciencias. La denicin correcta de convergencia de redes y subredes, que hoy utilizamos,se debe a J. L. Kelley, quien la present en 1950. La teora de convergencia de ltros, introdu-cida por H. Cartan en 1937 y desarrollada por N. Bourbaki en 1940, es una teora, a la postre,equivalente a la teora de convergencia de redes, como fue probado por R. Bartle en 1955. Apartir de redes y ltros, los conceptos de ultra-redes y ultra-ltros son herramientas valiosaspara demostrar, entre otras cosas, en su total generalidad y de forma elegante y contunden-te, el teorema de Tychonoff relativo a la compacidad de un producto arbitrario de espacioscompactos.1.1.2 Compacidad

Cubrimiento (o recubrimiento) Sea A X. Una familia Cde subconjuntos de X es un cubrimien-to de A si A

C : C C. El cubrimiento Cde A se dice abierto si cada C Ces abiertoen X. Un subcubrimiento (o subrecubrimiento) de Ces una subfamilia de Cque tambines un cubrimiento de A.

Compactos Un subconjunto K de un espacio topolgico Xse dice que es compacto si todo re-cubrimiento abierto de K en Xtiene un subrecubrimiento nito. Si K Xes compacto yB. Cascales y S. Troyanski14 Preliminaresx , K, entonces existen abiertos U,V X, con x U y K V, tales que U V = / 0. Conse-cuentemente, los subconjuntos compactos de los espacios Hausdorff son cerrados. Recpro-camente, los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son tambin compactos.Proposicin 1.1.8. Sea F un subconjunto cerrado de un conjunto compacto K. Entonces F tam-bin es compacto.Demostracin. Sea F

iIGi, donde cada Gi es abierto. Escribimos G = X F. Entonces, elconjunto G es abierto y K G(

iIGi). Dado que K es compacto, existen i1, . . . , inI tales queK G(

nk=1Gik); luego F

nk=1Gik, y la prueba concluye.

Propiedad de la interseccin nita Se dice que una familia AiiI de subconjuntos de X tiene lapropiedad de la interseccin nita si, para cada J I nito, se tiene que jJAj ,= / 0.Cambiando abiertos por cerrados, la compacidad puede ser caracterizada en trminos de fami-lias con la propiedad de la interseccin nita.Proposicin 1.1.9. Un subconjunto K de un espacio topolgico Xes compacto si, y slo si, ca-da familia FiiIde conjuntos cerrados de Kcon la propiedad de la interseccin nita tieneinterseccin no vaca, i.e., iIFi ,= / 0.Demostracin. Supongamos que Kes compacto y que existe una familia FiiIde conjuntoscerradosdeK,conlapropiedaddelainterseccinnita,talque iIFi =/ 0.Paracadai I,escribimos Gi = X Fi. Se tieneK X = X

iIFi =_iIGi.Como K es compacto, existen i1, . . . , in I tales que K

nk=1Gik. Por tanto,n

k=1Fik = X n_k=1Gik X K.Por otro lado, cada Fi K, y as, nk=1Fik = / 0, lo que proporciona una contradiccin que terminaesta parte de la prueba.Recprocamente, supongamos que, para cada familia FiiI de conjuntos cerrados de K conla propiedad de la interseccin nita, se tiene que iIFi ,= / 0. Sea GiiIun cubrimiento de Kpor abiertos. Denimos Fi = K(X Gi). Cada Fi es cerrado y se verica que

iIFi = K_

iI(X Gi)_= K_X _iIGi_= / 0.Por la hiptesis hecha sobre K, deben existir i1, . . . , in I tales que nk=1Fik = / 0, y as,/ 0 =n

k=1Fik = K_n

k=1(X Gik)_= K_X n_k=1Gik_,lo cual implica claramente que K

nk=1Gik, y la prueba termina.B. Cascales y S. Troyanski1.1 Espacios topolgicos15A travs de redes, la compacidad puede ser caracterizada en los trminos que siguen.Teorema 1.1.10. Un subconjunto K de un espacio topolgico Xes compacto si, y slo si, cadared de K tiene un punto de aglomeracin que pertenece a K.Demostracin. Supongamos que todas las redes de K tienen un punto de aglomeracin que perte-nece a K y que K no es compacto. Entonces, existe un cubrimiento abierto GiiI de K tal que,para cada subconjunto nito J I, se tiene que K , jJGj. Para cada J Inito, elegimosxJ K

jJGj. Dirigimos la familia de subconjuntos nitos P0(I) de I por la siguiente relacinbinaria:J1 J2en P0(I) cuandoJ2 J1.Por hiptesis, la red (xJ)JP0(I) tiene un punto de aglomeracin x K. Por un lado, como GiiIes un cubrimiento de K, existe k I tal que x Gk. Por otro lado, dado que x es punto de aglomera-cin de (xJ)JP0(I), existe J P0(I) tal que J k (es decir, k J), con xJ Gk. Obsrvese que,por construccin, xJ ,

jJGj y, sin embargo, como k J, se tiene que xJ , Gk; esto proporcionauna contradiccin que concluye esta parte de la prueba.SupongamosahoraqueKescompactoysea(xi)iDunaredenK. Veamosqueel con-juntodelospuntosdeaglomeracin C_(xi)iD_de (xi)iDesnovaco:lafamilia decerrados_xj : j i_iDtienelapropiedaddelainterseccinnitay, consecuentemente, laproposi-cin 1.1.9 puede utilizarse para obtener que/ 0 ,=C_(xi)iD_= iDxj : j i.Proposicin 1.1.11. La imagen continua de un espacio topolgico compacto es compacta.Demostracin. Sean Xe Yespacios topolgicos, con Xcompacto, yf: X Yuna aplicacincontinuaysobreyectiva. Sea GiiIuncubrimientoabiertode Y. Como f escontinua, cadaf1(Gi) es abierto en X. Adems, X =

iI f1(Gi). La compacidad de X nos asegura que existeni1, . . . , in I tales que X =

nk=1 f1(Gik). Entonces, Y

nk=1Gik.Corolario 1.1.12. Sean Xe Yespacios topolgicos yf: X Ycontinua y biyectiva. Si Xescompacto, entoncesfes un homeomorsmo.Demostracin. Lo nico que hay que probar es quef lleva cerrados a cerrados, lo que se sigueinmediatamente de las proposiciones 1.1.8 y 1.1.11.El corolario anterior conduce de inmediato al siguiente.Corolario 1.1.13. Sea Xun conjunto con dos topologas T y tal que (X, T) es compacto. Si Tes ms na que , entonces T = .B. Cascales y S. Troyanski16 PreliminaresProposicin 1.1.14. Sean K1 y K2 dos espacios topolgicos compactos. Entonces el espacio pro-ducto K1K2 es un espacio topolgico compacto.Demostracin. Sea (zi)iDuna red en K1K2. Para cada i D podemos escribir zi = (xi, yi),con xi K1 e yi K2. La red (xi)iDtiene una subred convergente a un punto x K1, es decir,existen un conjunto dirigido L1 y 1 : L1 D con la propiedad de que, para cada i0 D, existe

0 L1 tal que, si0, entonces () i0, de forma que la red (x())L1 es convergente a x. Siconsideramos ahora la red (y

)L1, podemos encontrar otro conjunto dirigido L2 y 2 : L2 L1con la propiedad de conalidad adecuada, de forma que la subred (y

)L2de (yi)iD converge aun punto y K2. Es claro que (x

, y

)L2es una subred de (zi)iD que converge hacia (x, y) enK1K2, que es, consecuentemente, un espacio compacto.La demostracin anterior vale para un producto nito de espacios compactos. Observamosque de hecho el producto arbitrario de espacios compactos es un espacio compacto, despus delteorema de Tychonoff, [69, p. 166-167].Compacidad, 1894-1923. La gnesis de la nocin de compacidad est conectada con elteorema de Borel (1894) el cual establece que cada cubrimiento abierto numerable de unintervalo cerrado y acotado tiene un subcubrimiento nito, y con la observacin de H. Lebes-gue (1903) de que lo mismo se satisface para cualquier cubrimiento abierto no necesariamentenumerable. Muchas veces, los conceptos generales de topologa tienen un claro antecedente enla correspondiente propiedad de subconjuntos de R. Esto pas con la nocin de compacidad.Durante algn tiempo no estuvo claro si el concepto de compacidad general deba extenderlas ideas subyacentes detrs del teorema de Borel, la nocin de compacidad sucesional o lanocin de compacidad numerable. El concepto de espacio (regular) compacto fue introducidopor L. Vietoris, en 1921. La nocin de compacto que hemos utilizado aqu se debe a P. Ale-xandroff y P. S. Uryshon, 1923, quienes demostraron muchos de los resultados que se siguenestudiando hoy en da en los textos bsicos de topologa. Mencionamos que la relacin entrecompacidad y redes puede encontrarse en [69].1.1.3 Teorema de Baire

Conjunto raro Sean Xun espacio topolgico y R un subconjunto de X. Se dice que R es densoen ninguna parte o raro si su clausura tiene interior vaco, i.e., int R = / 0.

Conjuntos de Primera y Segunda Categora Las uniones numerables de conjuntos raros en X sellaman conjuntos de primera categora en X. Los conjuntos que no son de primera categoraenXsellamandesegundacategoraenX. ObsrvesequeelespacioXesdesegundacategora en s mismo si, y slo si, la interseccin numerable de abiertos densos es no vaca.

Conjunto GA las intersecciones numerables de abiertos se les da, en topologa, el nombre deconjuntos G.B. Cascales y S. Troyanski1.1 Espacios topolgicos17

Espacio de Baire Un espacio topolgico se llama de Baire si la interseccin de cualquier sucesinde abiertos densos es un conjunto denso. Todo espacio de Baire es de segunda categora ens mismo.Teorema 1.1.15 (Teorema de la Categora de Baire, 1899). Si (M, d) es un espacio mtrico com-pleto, entonces M es un espacio de Baire.Demostracin. Sea(Gn)nNunasucesindeabiertosdensos. Parademostrarque nNGnesdenso, probaremos que, para cualquier abierto no vaco V M, se tiene que V _

nNGn_es novaco. Por la densidad de G1 en M, G1Ves un abierto no vaco. Tomemos x1 M y r1 < 1 demodo que B[x1, r1] V G1. Por la densidad de G2 en M, existen x2 M y r2 < 1/2 tales queB[x2, r2] G2B(x1, r1) G1G2V. Por induccin, se construyen sucesiones (xn)n en M y(rn)n con 0 < rn < 1/n, de modo queB[xn, rn] GnB(xn1, rn1) G1G2. . . GnV.La sucesin (xn)n as construida es de Cauchy, puesto que B(xn, rn) B[xn, rn] B(xn1, rn1) ylmnrn = 0. Y si denotamos por x el lmite de (xn)n, se tiene que x B[xn, rn] GnVpara cadan, debido a que B[xn, rn] es cerrado. Es decir, x V _

nNGn_.Las mismas ideas que aparecen en la demostracin del teorema anterior sirven para probar quetodo espacio topolgico localmente compacto es de Baire.Conviene observar que, si el espacio M no es completo, el teorema anterior no es cierto.Por ejemplo, para M = Q = qn : n N con la mtrica inducida por la de R, se cumpleque Gn := Mqn es un abierto denso, mientras que nNGn = / 0.TeoremadelaCategora, 1899-1937. R. Bairedemostrel teoremadelaCatego-ra 1.1.15 para la recta real en 1899. F. Hausdorff extendi el resultado a los espacioscompletamente metrizables, 1914. E.Cech estableci, en 1937, que un espacio es completa-mente metrizable si, y slo si, es metrizable y es un Gen alguna de sus compacticaciones.Los espacios que son Gen alguna de sus compacticaciones son conocidos como espaciosCech-completos; en los espaciosCech-completos se satisface el teorema de la Categora deBaire. El teorema de la Categora aplicado a espacios de funciones y a espacios de subcon-juntos cerrados es una herramienta eciente para establecer la existencia de algunos objetosmatemticos, como por ejemplo, la existencia de funciones continuas en R que no son deri-vables en ningn punto. El teorema de la Categora es la herramienta que permite demostrarlos teoremas de Grca Cerrada, Acotacin Uniforme y Aplicacin Abierta para espacios deBanach en anlisis funcional.B. Cascales y S. Troyanski18 Preliminares1.2 Espacios vectorialesMEDIANTE K representaremos, o bien el cuerpo de los nmeros reales R, o bien el cuerpo delos nmeros complejos C. En tal caso, se dene un escalar como un elemento del cuerpo deescalares K.

Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre K es un conjunto E, cuyos elementos se llamanvectores, sobre el que se denen dos operaciones: la suma de vectores (a cada par de vectores(x, y) le corresponde un vector x +y) y la multiplicacin de vectores por escalares (a cadapar (, x), con K y x E, le corresponde un vector x), satisfaciendo las propiedades:x +y = y +x, para cada x, y E;x +(y +z) = (x +y) +z, para cada x, y, z E;E contiene un nico vector 0 tal que x +0 = x, para cada x E;para cada x E, existe un nico x E tal que x +(x) = 0;1x = x, para cada x E;(x) = ()x, para cada , K y x E;(x +y) = x +y, para cada K y x, y E;( +)x = x +x, para cada , K y x E.A 0 se le llama elemento neutro y x se denomina elemento opuesto de x.Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre K = R. Un espacio vectorial com-plejo es un espacio vectorial sobre K=C.Debe sobrentenderse que toda armacin sobre espacios vectoriales en la que no se espe-cique el cuerpo de escalares, es vlida para espacios vectoriales reales y complejos.

Suma de Minkowski Si E es un espacio vectorial, A, B E, x E y K, usamos la notacin:x +A =x +a : a A;x A =x a : a A;A+B =a+b : a A, b B (suma de Minkowski);A =a : a A.Mediante A := (1)A designamos el conjunto de los opuestos de los elementos de A.+ =Figura 1.1: Suma de MinkowskiB. Cascales y S. Troyanski1.2 Espacios vectoriales19

Subespacio vectorial Se dice que un subconjunto F Ees un subespacio vectorial de Esi Fes un espacio vectorial respecto de las mismas operaciones inducidas por E. Se compruebafcilmente que esto ocurre si, y slo si,F +F F, para cualesquiera , K.

Conjuntos equilibrados Se dice que un conjunto A E es equilibrado si A A para todo Ktal que [[ 1.

Conjuntos convexos Se dice que un conjunto A E es convexo siA+(1)A A, para cada 0 1.El conjunto A E se dice que es absolutamente convexo si A es convexo y equilibrado, o,equivalentemente, siA+A Apara cada , K con [[ +[[ 1.La interseccin de conjuntos convexos (respectivamente, absolutamente convexos) es con-vexo (respectivamente, absolutamente convexo). As, en cualquier espacio vectorial E, siA E, entonces existe un conjunto convexo (respectivamente, absolutamente convexo) mspequeo en E que contiene a A (i.e., la interseccin de todos los convexos respectivamente,absolutamente convexos que contienen a A) y que denotaremos por co(A) (respectivamen-te, (A)). Es fcil comprobar que si A es equilibrado, entonces su envoltura convexa co(A)es un conjunto absolutamente convexo.

Combinacin lineal Six1, x2, . . . , xnsonvectoresenE,diremosqueunelementodelaforma1x1+. . . +nxn, donde 1, 2, . . . , nK, es una combinacin lineal de los vectores xiE,i = 1, . . . , n. Las sumas anteriores suelen escribirse de forma ms breve como ni=1ixi.

Espacio generado Si A es un subconjunto de E, entonces spanA representa el conjunto de todaslas combinaciones lineales de elementos de A. Es claro que spanA es un subespacio de E, elcual se denomina subespacio vectorial generado por A.

Conjuntos linealmente independientes Un subconjunto A de E se dice linealmente independientesi, para todo subconjunto nito no vaco xi : i = 1, . . . , n de A, la igualdadni=1ixi = 0implica quei = 0, para todo i = 1, . . . , n.

Conjuntos ordenados Un elemento m de un conjunto (A, ) con orden parcial se llama maximalsi, cuando A, con m , se tiene que m = . Un conjunto (A, ) con una relacin deorden se dice totalmente ordenadosi, para cada , A, se tiene que .B. Cascales y S. Troyanski20 PreliminaresLema 1.2.1 (Kuratowski-Zorn, [69, p. 45-46]). Sea A un conjunto con orden parcial tal que cadasubconjunto B de A totalmente ordenado tiene un elemento maximal. Entonces A tiene, al menos,un elemento maximal.

Base UnsubconjuntoBdeunespaciovectorialEsedicequeesunabase(basedeHamel)de E si es linealmente independiente y E = spanB. Equivalentemente, B es base de E si eslinealmente independiente y maximal con respecto a la inclusin de conjuntos. Todo espaciovectorial tiene una base como consecuencia del lema de Zorn 1.2.1.

Dimensin Dos bases cualesquiera de Etienen el mismo cardinal, que se llama dimensin deEsobre K. Un espacio vectorial Etiene dimensin n N (dimE = n) si tiene una baseu1, . . . , un con n elementos. Esto quiere decir que cada x E tiene una nica representa-cin de la formax = 1u1 +. . . +nun, con i K, i = 1, . . . , n.Si dimE = n para algn n N, se dice que E tiene dimensin nita. Si E = 0, entoncesdimE = 0.

Dual algebraico El espacio dual de un espacio vectorial Ees el conjunto E#cuyos elementosson las formas lineales en E, i.e., las aplicaciones g : E K satisfaciendog(x +y) = g(x) +g(y), g(x) = g(x), para cada x, y E y K.Ntese que E#dotado de la adicin y multiplicacin por escalares denidas mediante(g1 +g2)(x) = g1(x) +g2(x), (g1)(x) = g1(x),se convierte en un espacio vectorial.Lema 1.2.2. Sea E un espacio vectorial. Entonces E#tiene dimensin nita si, y slo si, E tienedimensin nita, y dimE = dimE#.Demostracin. Sea dimE = n. Entonces, existe e1, . . . , en tal que cada x Etiene una nicarepresentacin de la forma x =ni=1 fi(x)ei. Por la unicidad de la representacin, se tiene quefi(ax +by) = afi(x) +bfi(y), para cada a, b K y x, y E.As, se tiene quefi E#, para i = 1, . . . , n. Si tomamosf E#, entonces, para cada x E,f (x) =ni=1f (ei) fi(x),luegof =ni=1 f (ei) fi. En consecuencia, dimE#n = dimE.Recprocamente, supongamos que dimE#= n. Como E (E#)#, obtenemos, usando lo queacabamos de probar, que dimE dim(E#)#dimE#, y as acaba la demostracin.B. Cascales y S. Troyanski1.2 Espacios vectoriales21Lema 1.2.3. Sea fi : i = 1, . . . , n un subconjunto linealmente independiente de E#. Entonces,existe uj : j = 1, . . . , n en E tal quefi(uj) = i j, para i, j = 1, . . . , n.Demostracin. Haremos la demostracin por induccin sobre n.Si n = 1 yf1 ,0, tomamos e1 E tal quef1(e1) ,= 0, y u1 = e1/f1(e1).Tomemos ahoraf1, . . . , fn E#linealmente independientes, y supongamos, por hiptesis deinduccin, que la tesis del lema es cierta paraf1, . . . , fn1 E#. Fijemos e1, . . . , en1 E tales quefi(ej) = i j, i, j = 1, . . . , n1, y para cada x E escribamos yx = n1i=1fi(x)ei. Si fn(x yx) = 0para cada x E, entonces fnspanfi : i =1, . . . , n1, con lo que f1, . . . , fn no seran linealmenteindependientes, contradiciendo nuestra hiptesis. Existe por tanto un x E tal quefn(x yx) ,= 0.Si denimosun :=x yxfn(x yx),se tiene entonces quefi(un) = 0, si i < n, yfn(un) = 1. La prueba concluye tomando, para cadai = 1, . . . , n1, ui = ei fn(ei)un.

Ncleo Paraf E#, se dene el ncleo defcomoker f :=_x E : f (x) = 0_.Es claro que ker f es un subespacio de E. Si f es no nula, entonces ker f es un subespaciopropio maximal, o, equivalentemente, dim(E/ker f ) = 1.Lema 1.2.4. Seanf1, . . . , fn, fformas lineales en E que satisfacenn

i=1ker fi ker f .Entoncesf spanf1, . . . , fn.Demostracin. Si fi = 0 para i = 1, . . . , n, entonces ker fi = E para i = 1, . . . , n. As, se tiene queE =

ni=1ker fi ker f , y por tanto, f = 0.Supongamos ahora quef1, . . . , fk son linealmente independientes y quefj spanf1, . . . , fkparaj = k +1, . . . , n. Entonces,k

i=1ker fi n

i=1ker fi ker f . (1.2)Supongamos quef , spanf1, . . . , fk. Entonces, f , f1, . . . , fk son linealmente independientes. Ellema 1.2.3 nos asegura la existencia de u E tal quef (u) = 1 yfi(u) = 0, para cada i = 1, . . . , k.La inclusin (1.2) nos dice quef (u) = 0, llegando a una contradiccin que termina la prueba.B. Cascales y S. Troyanski22 PreliminaresEspacios vectoriales, 1640-1932. La discusin de R2y R3como espacios de coorde-nadas se remonta hasta R. Descartes y P. Fermat. La nocin de vector ya fue expuestapor B. Bolzano, y la idea de suma de vectores aparece implcitamente, en 1799, en trabajosde C. F. Gauss sobre la representacin geomtrica que hace de los imaginarios y la aplicacinde ellos a la geometra elemental. Nombres como los de A. Cayley y H. Grassman aparecenasociados a las extensiones de las ideas que se expresan en espacios de 2 3 coordenadasa ideas que se expresan en espacios de n coordenadas. Grassman, por ejemplo, introduce enestos ltimos las nociones de independencia lineal o dimensin, y establece la relacin funda-mental dim(E) +dim(F) = dim(E +F) +dim(E F). Fue G. Peano, en 1888, quien aprecien todo su valor la obra de Grassman y dio la denicin axiomtica de los espacios vectoriales(de dimensin nita o no) sobre el cuerpo de los nmeros reales, junto con la denicin deaplicacin lineal. Las tcnicas de lgebra lineal asisten con xito a cuestiones del anlisis, ymatemticos de la talla de D. Hilbert las utilizaron con xito desde un principio. En la dcada1920-30, S. Banach tuvo la brillante idea de combinar tcnicas de topologa conjuntista contcnicas de lgebra lineal, obteniendo resultados tan potentes como los teoremas de Banach-Steinhaus, de Grca Cerrada y de Aplicacin Abierta. Las ramas de topologa, lgebra linealy anlisis funcional continan benecindose mutuamente desde los principios del siglo XX.1.3 DualidadEN esta seccin queremos introducir al lector en la riqueza que la interrelacin de tcnicas detopologa, anlisis y lgebra, presentando los espacios vectoriales topolgicos como el marcoadecuado para estudiar cuestiones relativas a la dualidad, que sern utilizadas con profusin en elcontexto de los espacios de Banach en captulos posteriores.

Funcionales subaditivos, seminormas y normas Sean E un espacio vectorial sobre el cuerpo K yq : E R una funcin. Diremos que:(i) q es subaditiva si q(x +y) q(x) +q(y), para todo x, y E.(ii) q es positivamente homognea si q(x) = q(x), para todo x de E y > 0.(iii) q es sublineal si es subaditiva y positivamente homognea.(iv) q es una seminorma si q es subaditiva y q(x) =[[q(x), para todo x E y K.(v) q es una norma si q es una seminorma y adems la ecuacin q(x) = 0 slo tiene lasolucin x = 0.

Espacios normados y de Banach Un espacio normado es un espacio vectorial Xdotado de unanorma ||. Un espacio normado_X, ||_se llama espacio de Banach si la distancia asociadaa la norma, d : X X R, mediante la frmula d(x, y) =|xy|, es completa, es decir, sicada sucesin de Cauchy en (X, d) converge a un punto perteneciente a X.B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad23La topologa asociada a una norma es compatible con la estructura de espacio vectorial, en elsentido de que las operaciones suma y producto por escalares son continuas: esto se sigue direc-tamente del hecho de que la norma satisface la desigualdad triangular y permite sacar escalaresfuera en valor absoluto. En otras palabras, un espacio normado es un espacio vectorial topolgico.

Espacios vectoriales topolgicos Una topologa vectorial en un espacio vectorial E es una topo-loga T para la cual las aplicacioness : (E, T) (E, T) (E, T) y p : K(E, T) (E, T),denidas por s(x, y) = x +y y p(, x) = x son continuas. Un espacio vectorial topolgicoes un espacio vectorial E dotado de una topologa vectorial Hausdorff T. En lo que sigue,utilizaremos e.v.t. como abreviatura para espacio vectorial topolgico, y escribiremos, in-distintamente, (E, T) o E[T] para denotarlo.Salvoqueseespeciquelocontrario, todoslose.v.t. sesupondrnHausdorff, aunquepueda ocurrir que algunas topologas vectoriales no lo sean.Proposicin 1.3.1. Sea E[T] un e.v.t. Entonces:(i) Para a E y K, ,= 0, las aplicacionessa : E[T] E[T] y p : E[T] E[T],denidas por sa(x) = x +a y p(x) = x son homeomorsmos.(ii) Si Ues una base de entornos del origen en E[T], x E y ,= 0, entoncesx +U:=_x +U : U U_es una base de entornos de x.(iii) Si A E es abierto y B E es un subconjunto cualquiera, entonces A+B es abierto.(iv) Si A E es compacto y B E es cerrado, entonces A+B es cerrado.(v) Si F E es un subespacio vectorial, su clausura F es un subespacio vectorial.(vi) Sea Uuna base de entornos del origen de E[T]. Si A es un subconjunto de E, entonces setiene que A =

UU(A+U).(vii) Si F[] es otro e.v.t. y T: E Fes lineal, entonces Tes continua si, y slo si, Tescontinua en 0. Cuando F = (K, [[), Tes continua si, y slo si, ker Tes cerrado en E[T].Demostracin. La demostracin de las cinco primeras propiedades la dejamos como ejercicio.Para probar (vi) obsrvese que, por denicin de clausura, se tiene queA

UU(A+U).B. Cascales y S. Troyanski24 PreliminaresRecprocamente, si x

UU(A+U), entonces, para cada U U , existen aU A e yU U talesque x = aU +yU. Ordenando Upor la relacin binariaU1 U2si, y slo si, U1 U2,para U1,U2 U , es claro que la red (yU)U 0, y por lo tanto, (aU)U converge a un cierto a A,lo que implica que x A.La primera parte de la propiedad (vii) es sencilla de establecer. Slo prestaremos atencin a laprueba del caso F = (K, [[) para ver cmo la hiptesis ker T cerrado implica la continuidad de T.Procedamos por reduccin al absurdo, y supongamos que ker T es cerrado y que T no es continua.Existe, por tanto, una red (xi)iDen E[T] tal que xi 0 pero T(xi) , 0. La ltima condicinsignica que para algn > 0, el conjunto J =_i D : [T(xi)[ > _ es conal en (D, ). Por lotanto, la red (xj)jJ tambin converge a cero. Como T ,=0, podemos tomar a E tal que T(a) =1,y as, si para cadaj J denimoszj =xjT(xj)a,se tiene que zj ker T y que zj (a) , ker T. Por lo tanto, ker T no es cerrado, y hemos llegadoa la contradiccin que acaba la prueba.

Conjunto absorbente Un conjunto A Ese dice que es absorbente si, para cada x E, existe0 > 0 tal que x A, para [[ 0.Proposicin 1.3.2. Si E[T] es un e.v.t. y Uuna base de entornos del origen para T, entonces:(i) Para cada U U , existe V Utal que V +V U.(ii) Para cada U U , existe V Utal que V U, para cada [[ 1.(iii) Cada U Ues absorbente.En particular,

U=_

[[1U : U U_y U=_U : U U_son bases de entornos del origen en E[T]. As, cada e.v.t. tiene una base de entornos del origenformada por conjuntos absorbentes, equilibrados y cerrados.Demostracin. La propiedad (i) es consecuencia de la continuidad de la suma s : E E E enel punto (0, 0). Dado x E, (iii) se deduce de la continuidad de la aplicacinpx : K E[T],dada por px() =x, en = 0. Para demostrar (ii), dado U U , la continuidad del producto porescalares p : KE[T] E[T] en (0, 0) nos asegura la existencia de una bola B[0, ] K y deun W Utales que B[0, ] W U. El conjunto V :=W satisface la propiedad requerida en (ii).La familia Ues una base de entornos del origen gracias a (ii). La familia Ues una base deentornos del origen gracias a (i) y a la propiedad (vi) de la proposicin 1.3.1. Es claro ahora que,tomando los cierres de los elementos de U , se consigue una base de entornos del origen formadapor conjuntos equilibrados, cerrados y absorbentes en E.B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad25Proposicin 1.3.3. Sea E un espacio vectorial y sea Uuna base de ltro vericando:(i) Cada U Ues absorbente y equilibrado.(ii) U : U U =0.(iii) Para cada U U , existe V Utal que V +V U.Si para cada x EconsideramosUx = x +U : U U , entonces existe una nica topologavectorial T tal que Ux es base de entornos de x, para cada x E.Demostracin. La familia UxxE satisface las propiedades (E1), (E2) y (E3), y por tanto, vasela proposicin 1.1.3, existe una nica topologa para la que UxxE es un sistema de entornos. Secomprueba que T es una topologa vectorial.

Topologa asociada a una familia de seminormas Sea E[T] un e.v.t. Se dice que T est asociadaa una familia de seminormas P si la familia

U=_n

i=1_x E : pi(x) < _: p1, . . . , pn P, > 0, n N_(1.3)es una base de entornos del origen para T; obsrvese que, en este caso, para la familia P sesatisface pP_x E : p(x) = 0_=0.Es til tener presente que si T est asociada a P, entonces la convergencia de una sucesin(o red) xiTx es equivalente a la condicin p(xix) 0, para toda seminorma p P.

Espacios localmente convexos Unespaciolocalmenteconvexo(brevementee.l.c.)esune.v.t.E[T] cuya topologaT tiene una base de entornos del origen formada por conjuntos con-vexos. En este caso se dice tambin que T es una topologa localmente convexa.Utilizando la proposicin 1.3.2, es fcil convencerse de que todo e.l.c. tiene una base deentornos del origen formada por conjuntos absolutamente convexos y cerrados. Si (X, ||)es un espacio normado y T es la topologa asociada a la norma ||, entonces (X, T) es une.l.c. Ms en general, si (E, T) es un e.v.t. cuya topologa est asociada a una familia deseminormas, entonces (E, T) es un e.l.c.Como veremos en las pginas siguientes, e.l.c. y e.v.t. cuyas topologas estn asociadas a fa-milias de seminormas son, en realidad, una misma cosa, teorema 1.3.7.Proposicin 1.3.4. Sea A E un conjunto absorbente. Para cada x E, denimospA(x) :=nf_t > 0 : x tA_.El funcional pA : E R es no negativo y positivamente homogneo. Si A es convexo, entoncespA es sublineal, y se tiene que_x E : pA(x) < 1_A _x E : pA(x) 1_. (1.4)Si adems A es absolutamente convexo, entonces pA es una seminorma.B. Cascales y S. Troyanski26 PreliminaresDemostracin. Para A absorbente, es claro quepA est bien denido y es no negativo. Por otrolado, 0 A, y as, pA(0) = 0. Para = 0 se tiene que pA(x) = pA(x). Para > 0 tenemos quepA(x) =nf_t > 0 : x tA_=nf_t > 0 : x tA_= pA(x),y as, pA es positivamente homogneo.SupongamosahoraqueAesconvexoytomemosx, y E. Sean >pA(x)y >pA(y).Elijamos / y / de forma que >/ > pA(x) y >/ > pA(y), satisfaciendox/,y/ A. Se tieneentonces quex +y/+/ =//+/x/ +//+/y/ Ay, en consecuencia, podemos concluir quepA(x +y) pA(x) + pA(y).Obsrvese que si A es equilibrado y t> 0, entonces la condicin x tA equivale a [[x tA,para cada K. As, cuando A es absolutamente convexo, tenemos que, para K, ,= 0, laigualdadpA(x) =nf_t > 0 : x [[1tA_=[[ nf_[[1t : x [[1tA_=[[pA(x)establece que pA es una seminorma. Nos queda slo demostrar las inclusiones (1.4). Es claro queA_x E : pA(x) 1_. Por otro lado, si A es absorbente y convexo y x A para >0, entoncesx A para > , de donde se sigue que_x E : pA(x) < 1_A.

Funcional de Minkowski Si E es un espacio vectorial y A E es absorbente, pA se denomina elfuncional de Minkowski asociado a A. Si p es una seminorma y tomamos la bola unidadA =_x E : p(x) 1_, entonces se tiene que pA = p.OxApA(x)AFigura 1.2: Funcional de MinkowskiB. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad27Proposicin 1.3.5. Sean C un conjunto convexo y absorbente de un e.v.t. E[T] y pC su funcionalde Minkowski asociado. Son equivalentes:(i) pC es continuo en E[T].(ii) 0 intC (i.e, C es un entorno del origen).Adems, en este caso se tiene queintC =_x E : pC(x) < 1_y C =_x E : pC(x) 1_. (1.5)Demostracin. Como 0 _x E : pC(x) < 1_ C, si pCes continuo, entonces 0 intC. Re-cprocamente, si 0 intC, entonces C es un entorno del origen en E[T] para el que se tiene lainclusin C _x E : pC(x) _, lo que signica que pC es continuo en el 0. El apartado (ii)de la proposicin 1.3.1 permite obtener ahora que pC es continuo en todos los puntos.Supongamos ahora quepCes continuo y demostremos la igualdad (1.5) correspondiente alinterior. Es claro que _x E : pC(x) < 1_ intC. Para probar la inclusin contraria, tomemosx intC y jemos (tn)n una sucesin de nmeros reales estrictamente mayores que 1 y convergentea 1. Entonces, tnx x, y por lo tanto, existe N N tal que tNx intC C. De aqu se sigue quepC(x) 1tN 0, se tiene queT_xp(x) +_U,y por lo tanto,q_1p(x) +T(x)_1,lo que es equivalente a q_T(x)_ p(x) +, quedando as establecida la validez de (iii).

Dual topolgico Para un e.v.t. E[T], llamamos dual topolgico (o simplemente, dual, cuando nohay lugar a confusin) al conjunto de aplicaciones lineales de E en K (i.e., formas lineales)que son continuas para T y la topologa natural de K. El dual de E[T] se denota por (E[T])/o, simplemente, E/, si la topologa T se da por supuesta.Queremos llamar la atencin sobre lo siguiente: en el caso de un espacio normado_X, ||_,se utiliza la notacin_X, ||_ o, simplemente, X para referirnos al dual topolgico, quees la forma habitual en la que este dual es representado en los libros sobre espacios de Banach.Por esta razn, y a pesar de que la notacin introducida en la denicin anterior es distinta (es lahabitual en los libros de e.l.c.), preferimos no utilizar la notacin X/ para el dual topolgico deun espacio normado.Espacios localmente convexos, 1920-1966. La teora general de los espacios vectoria-les topolgicos se fund en la dcada de 1920 a 1930, aunque sus orgenes son ante-riores. D. Hilbert fue uno de los nombres ms inuyentes y activos que empujaron hacia laconuencia del anlisis, el lgebra y la topologa. En 1906, Hilbert, cuando investigaba sobreB. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad29cuestiones desarrolladas por I. Fredholm, se dio cuenta de que la teora de ecuaciones integra-les poda ser presentada como un caso particular de la teora de sistemas lineales con innitasecuacioneseincgnitas(xn)n:lasnicassolucionesaconsiderarseranlasquesatisfacennx2n < +. Desde ese momento estuvo claro que el espacio de Hilbert de las sucesiones decuadrado convergente es esencial en toda la teora, apareciendo de forma natural como paso allmite del espacio Eucldeo de dimensin innita. Hilbert necesit introducir en su espacio dostopologas, que correspondan a la topologa fuerte y a lo que hoy en da llamamos topologadbil; e incluso necesit utilizar la compacidad dbil de la bola unidad. En 1907, M. Frchet,F. Riesz y E. Schmidt introdujeron el lenguaje de la geometra eucldea en el espacio de Hil-bert, hablando de normas (|x| con la notacin actual), desigualdad triangular, etc. F. Riesz yE. Fisher demostraron, poco despus, que el espacio de las funciones de cuadrado sumable(en el sentido que H. Lebesgue haba denido en 1902) es isomorfo al espacio de Hilbert. Lateora de los espacios de Hilbert no fue presentada de forma axiomtica hasta 1930, graciasa M. H. Stone y J. von Neumann. Antes, entre 1920 y 1922, S. Banach, H. Hahn y E. Hellydieron la denicin de espacio normado general. Era sin embargo conocido, como Frchethaba notado en su tesis (en 1906), que existan nociones de convergencia clsicas que no co-rrespondan a nociones de convergencia asociadas a una mtrica: la topologa de convergenciapuntual en el espacio de las funciones reales acotadas. La denicin general de espacio local-mente convexo fue dada por von Neumann en 1935. Todos los conceptos anteriores son casosparticulares de la nocin de espacio vectorial topolgico, que fue estudiada de forma sistem-tica hacia 1950 y, en particular, en los tratados de G. Kthe (1960) y N. Bourbaki (1966). Unaestrella indiscutible del mundo de los espacios localmente convexos generales es el espacio dedistribuciones de L. Schawrtz.1.3.1 El teorema de Hahn-Banach: versin analtica

Extensiones de formas lineales Dados un e.v.t. E, un subespacio vectorial F de E y una aplicacinlineal f: F R, siempre existe la posibilidad de obtener una prolongacin lineal,f , def a E. Basta, por ejemplo, considerar un complemento algebraico de Fy denirf comocero sobre l; o, de forma ms general, tomar una base de Hamel en este complementarioy extender f deniendof de manera arbitraria sobre los vectores de la base. De hecho, seobtienen as todas las posibles extensiones lineales de f a E. Si f es continua, no hay, a priori(incluso cuando Ees un espacio normado de dimensin innita), razn para suponer quealguna de tales extensiones tambin sea continua. En algunos espacios normados concretoses fcil construir, con procedimientos particulares, formas lineales continuas. La preguntanatural es, existe un procedimiento general para construir funcionales lineales continuos enlos espacios normados abstractos? El teorema de Hahn-Banach proporciona una respuestaarmativa a dicha cuestin.B. Cascales y S. Troyanski30 PreliminaresTeorema 1.3.9(Hahn, 1927;Banach1929). SeanEunespaciovectorialrealyp : E Runfuncionalsubaditivoypositivamentehomogneo.SeanFunsubespaciovectorialdeEdecodimensin 1 yf: F R lineal de modo quef (x) p(x) para cada x F. Entonces, existef : E R lineal tal quefrestringida a F coincide confy tal quef (x) p(x) para cada x E.Demostracin. Por hiptesis, si x0 E F, entonces E = F spanx0. As, para cada x E setiene que x = y +ax0, con y F y a R, y por tanto, cualquier extensin linealf def est dadaporf (x) =f (y) +a, para cierto R. Se trata ahora de determinar para que se verique ladesigualdadf (x) p(x). (1.6)La existencia de un tal exige condiciones que pasamos a analizar.(a) Si a > 0, la desigualdadf (ax0 +y) = a + f (y) p(ax0 +y) es la misma que + f (ya1) p(x0 +ya1),lo que a su vez equivale a f (z) + p(z +x0), para todo z F.(b) Si a < 0, la desigualdadf (ax0 +y) = a + f (y) p(ax0 +y), que equivale, despus dedividir por a, a que f (ya1) p(x0ya1),es a su vez equivalente a f (w) p(wx0), para todo w F.As pues, una condicin necesaria para que existaf cumpliendo (1.6), es que exista Rsatisfaciendof (w) p(wx0) f (z) + p(z +x0), para todo z, w F. (1.7)Rehaciendo los clculos anteriores en sentido inverso, es inmediato comprobar que dicha condi-cin es tambin suciente. Obsrvese ahora que, para que se cumpla la ecuacin (1.7), basta conque se veriquef (w) p(wx0) f (z) + p(z +x0)para cada z, w F, lo cual es cierto debido a quef (z) + f (w) = f (z +w) p(z +w) = p(z +x0 +wx0) p(z +x0) + p(wx0)para cada z, w F.B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad31Corolario 1.3.10 (Hahn, 1927; Banach 1929). Sean Eun espacio vectorial real yp : E Runa seminorma. Sean F un subespacio vectorial de E de codimensin 1 yf: F R lineal con[ f (x)[ p(x), para cada x F. Entonces, existef : E R lineal tal quef restringida a Fcoincide conf y tal que [ f (x)[ p(x) para cada x E. En particular, si _X, ||_ es un espacionormado, Y Xun subespacio yf : Y R es lineal y continua, entonces existef : X Rlineal y continua tal quefrestringida a Ycoincide confy |f | =| f |.Demostracin. Para demostrar la primera parte del resultado basta utilizar el teorema 1.3.9, te-niendoencuentaque, dadaunaseminormap, laacotacin f (x) p(x), x E, equivalealaacotacin [ f (x)[ p(x), para cada x E.Supongamos ahora que X est dotado de una norma || y quef : Y R es lineal y continuaconnorma |f |.Sidenimosp(x) := |f ||x|,parax X,entoncespesunaseminormaquecumple [ f (x)[ p(x), para cada x Y. Ahora, la segunda parte del corolario es consecuencia delo demostrado en la primera parte del mismo.

Extensiones de Hahn-Banach en espacios normados separables Tal y como se pondr de mani-esto en el teorema 1.3.12, la versin general del teorema de Hahn-Banach requiere del con-curso del lema de Zorn. Sin embargo, el principio de Induccin en N y el corolario 1.3.10son sucientes para probar el teorema de Hahn-Banach para espacios de Banach separables.Teorema 1.3.11 (Hahn, 1927; Banach 1929). Sean _X, ||_ un espacio real normado separable,Yun subespacio vectorial de X, yf: Y R una aplicacin lineal y continua. Entonces, existef : X R lineal y continua, tal quefrestringida a Ycoincide conf , satisfaciendo |f | =| f |.Demostracin. Sea xn : n N un conjunto numerable denso en X, y denamosXn := span_Y x1, x2, . . . , xn_, para n N.Entonces, o bien Xn = Xn+1, o bien Xn es un subespacio de Xn+1 de codimensin 1. Por lo tanto,por induccin sobre n, y utilizando el corolario 1.3.10, podemos extenderf a un funcional linealg denido en el subespacio denso en X dado por Z :=

n=1Xn, el cual satisface |g| = |f |. Paracada y X, existe una sucesin (yn)nen Zconvergente a y. Como g es lineal y continua en Z,la sucesin (g(yn))n es de Cauchy en R, y as, podemos denirf (y) := lmng(yn). Es inmediatocomprobar que el valorf (y) es independiente de la sucesin (yn)n elegida en Z con tal de que staconverja a y, quefes lineal y que es continua, con | f | =|g|(=|f |).

Lema de Kuratowski-Zorn y Teorema de Tychonoff Todas las demostraciones conocidas del teo-rema de Hahn-Banach, en su versin ms general, se basan de alguna manera en el axiomade Eleccin. Siendo ms especcos, el axioma de Eleccin se utiliza para probar el teoremaclsico de Tychonoff sobre el producto de espacios compactos.(AT) El producto iIKi de una familia de espacios compactos KiiI es compacto.B. Cascales y S. Troyanski32 PreliminaresKelley demostr en [68] que el axioma de Eleccin y (AT) son equivalentes. Si por (AT2)denotamos el teorema de Tychonoff para espacios compactos separados, entonces se puededemostrar que (AT) no es equivalente a (AT2), que (AT2) implica el teorema de extensinde Hahn-Banach 1.3.12 y que este ltimo no implica (AT), y por ende no implica el axiomade Eleccin (vase [97]). Para la demostracin de 1.3.12, nosotros haremos uso del lema deKuratowski-Zorn, a la postre equivalente al axioma de Eleccin, que ya ha sido utilizadopara la justicacin de la existencia de bases de Hamel en la pgina 20.Teorema 1.3.12 (Hahn, 1927; Banach 1929). Sean Eun espacio vectorial real yp : E Run funcional subaditivo y positivamente homogneo. Sea Fun subespacio vectorial de Ey seaf : F R lineal tal quef (x) p(x) para cada x F. Entonces, existe una aplicacin linealf : E R tal quefrestringida a F coincide conf , vericandof (x) p(x) para cada x E.Demostracin. Se obtiene aplicando el teorema 1.3.9 y el lema de Kuratowski-Zorn 1.2.1. Paraaplicar dicho lema, se considera la coleccin P de todos los pares (Z, fZ), donde Z es un subes-pacio vectorial de E con F Z, yfZes una extensin lineal def a Z vericandofZ(x) p(x),para todo x Z. P se ordena mediante la relacin(Z, fZ) (W, fW) si Z W yfWcoincide confZ sobre Z.Es inmediato que (P, ) es un conjunto no vaco, parcialmente ordenado, en el que cada cadenatiene supremo enP. El lema de Kuratowski-Zorn garantiza que existen elementos maximalesen (P, ). Si (Z, fZ) es un elemento maximal, necesariamente Z = E, pues en caso contrario,tomando x0 E Z, y de acuerdo con el teorema 1.3.9, fZ se podra extender a Z spanx0, locual contradice la maximalidad de Z.El lema que sigue permite reducir el caso complejo al caso real.Lema 1.3.13. Sea E un espacio vectorial complejo.(i) Sif : E C es una forma C-lineal, entonces su parte real, Re f , es una forma R-lineal, yf (x) = Re f (x) i Re f (ix).(ii) Si u : E R es una forma R-lineal, entonces la formaf (x) := u(x) iu(ix) es C-lineal, yRe f = u.(iii) Si p : E R es una seminorma, entonces [ Re f (x)[ p(x) para todo x E, si, y slo si,[ f (x)[ p(x) para todo x E.Demostracin. Los enunciados (i) y (ii) son de comprobacin inmediata. Obsrvese que, paracada x E, existe un cierto escalar complejo , de mdulo 1, tal que [ f (x)[ = f (x), y por lotanto se tiene que[ f (x)[ = f (x) = Re f (x) p(x) = p(x),lo que demuestra (iii).B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad33Teorema 1.3.14 (Hahn-Banach (R),Sobczyk,1939(C)). SeanEunespaciovectorial,realocomplejo, y p : E R una seminorma. Sean F un subespacio vectorial de E yf : F K unaaplicacin lineal tal que [ f (x)[ p(x), para todo x F. Entonces, existe una extensin lineal def ,f : E K, de modo que [ f (x)[ p(x), para todo x E.Demostracin. Si el cuerpo es R, como ya hemos hecho notar, la desigualdadf (x) p(x), parax E(o x F), equivale a [ f (x)[ p(x), para x E(o x F), y la conclusin se obtiene delteorema 1.3.12.Cuandoelcuerpoes C, tomandou := Re f seobtieneunaforma R-linealquevericaladesigualdad [u(x)[ p(x). El caso anterior aplicado a u garantiza la existencia de una extensinR-lineal u de u a E conservando la acotacin. Deniendof (x) := u(x) i u(ix),se obtiene del lema anterior que [ f (x)[ p(x), y quefes una extensin C-lineal def .

Caracterizacin de e.v.t. con dual no nulo Con ayuda del teorema de Hahn-Banach 1.3.14, po-demos caracterizar los e.v.t. cuyo dual es no nulo como se hace en el teorema 1.3.15. Enparticular, todo e.l.c. tiene dual no nulo (en el corolario 1.3.21 se probar que si Ees une.l.c., entonces E/ separa los puntos de E).Existen e.v.t. (como los espacios Lp([0, 1]), para 0 < p 0_,dondeV( f , z1, z2, . . . , zn, ) =_g E : [ f (zi) g(zi)[ < , i = 1, . . . , n_.p es la topologa en E =KZde la convergencia puntual sobre Z.

Topologas dbiles y dbilesSean E[T] un e.l.c. y E/ su dual topolgico. Entonces se dene latopologa dbil, (E, E/), de E (respectivamente, dbil, (E/, E), de E/), como la topologaasociada a la familia de seminormas px/: x/ E/ (respectivamente, px : x E) dadaspor px/ (x) =[x/(x)[ (respectivamente, px(x/) =[x/(x)[).Puesto que (E/, E) puede considerarse como la topologa inducida por (KE, p) en E/, latopologa dbil es una topologa localmente convexa Hausdorff. Una base de entornos delorigen para (E/, E) viene dada por_V(0, x1, . . . , xn, ) : x1, . . . , xn E, n N, > 0_,B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad35dondeV(0, x1, . . . , xn, ) =_x/ E/ : [x/(xi)[ < , i = 1, . . . , n_.Dado que la topologa dbil de E est generada por la familia de seminormas px/ : x/E/,donde px/ (x) =[x/(x)[ para x E, y adems se satisface que

x/E/_x : px/ (x) = 0_=0,vase el apartado (ii) del corolario 1.3.21, se tiene que (E, E/) es una topologa localmenteconvexa Hausdorff, cuya base de entornos del origen viene dada por_V(0, x/1, . . . , x/n, ) : x/i E/, 1 i n, n N, > 0_,dondeV(0, x/1, . . . , x/n, ) =_x E : [x/i(x)[ < , i = 1, . . . , n_.Cuando (X, ||) es un espacio normado, es un sencillo ejercicio comprobar que la topologadbil (X, X) (respectivamente, dbil (X, X)) es ms gruesa que la topologa asociadaa la norma (respectivamente, asociada a la norma dual).

Topologas en espacios de funciones continuas Sea S un espacio topolgico completamente re-gular y denotemos por C(S) (respectivamente, Cb(S)) el espacio de las funciones escalaresycontinuas(respectivamente, funcionesescalares, continuasyacotadas)denidasenS.C(S) KS, luego en C(S) se puede considerar la topologa inducida por p, que ser unatopologa localmente convexa Hausdorff en C(S), para la cual, una base de entornos de cadapuntofviene dada por_V( f , x1, . . . , xn, ) : xi S, 1 i n, n N, > 0_,dondeV( f , x1, . . . , xn, ) =_g C(S) : [ f (xi) g(xi)[ < , i = 1, . . . , n_.SidenotamosporKlafamiliadeloscompactosdeS, yparacadaK KdenimospK( f ) := supxK[ f (x)[, entonces pK: K K es una familia de seminormas en C(S)satisfaciendo la condicin

KK_f : pK( f ) = 0_=0.Por tanto, existe una topologa localmente convexa Hausdorff, K, en C(S) para la cual labase de entornos de cada puntofviene dada por_V( f , K, ) : K K , > 0_,dondeV( f , K, ) =_g C(S) : [ f (x) g(x)[ < , para cada x K_.B. Cascales y S. Troyanski36 PreliminaresCuando S = Kkes un abierto, podemos tomar Kn , n N, una sucesin de com-pactos vericando:(i) =

n=1Kn;(ii) Kn int Kn+1, n N.Se deduce, de las propiedades (i) y (ii) anteriores, que para cada compacto K , existem N tal que K Km. Una sucesin del tipo (Kn)nse denomina sucesin exhaustiva decompactos de . As, Ken C() es la topologa asociada a la sucesin de seminormaspKn : n N. Razonamientos estndar permiten demostrar que K es la topologa asociadaa la mtricad( f , g) =n=112npKn( f g)1+ pKn( f g),vase el teorema 1.3.16. El espacio (C(), K) es un e.l.c. metrizable y completo.

Topologas en espacios de funciones holomorfas Si C es un abierto, podemos considerar elespacio de funciones holomorfasH () en el abierto como subespacio de (C(), K)con la topologa inducida. (H (), K) es un e.l.c. metrizable y completo, debido a queel teorema de Weierstrass, [35, Theorem 2.1], garantiza que el lmite de una sucesin defunciones holomorfas uniformemente convergente sobre compactos es, a su vez, una funcinholomorfa.

Topologas en espacios de funciones diferenciables Sea Rkabierto. Consideramoslossi-guientes espacios de funciones:Em() =_f : R : m-veces diferenciables con continuidad en _,E () =_f : R : innitamente diferenciables con continuidad en _.Paraf K, denimossop( f ) :=x : f (x) ,= 0.Sean,DmK () =_f Em() : sop( f ) K_, para K , compacto.DK() =_f E () : sop( f ) K_, para K , compacto.D() =

KKDK(), donde Kes la familia de los subconjuntos compactos de .En el espacio Em() se considera la topologa mKde convergencia uniforme sobre compac-tos de las funciones y sus derivadas hasta el grado m. Una familia de seminormas deniendodicha topologa es pK : K K , dondepK( f ) :=sup[[msupxK[Df (x)[,siendo = (1, 2, . . . , k) (N0)k, [[ = 1 +2 + +k yDf (x) :=[[f (x)x11x22 xkk.B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad37En el espacio E () se considera la topologa de la convergencia uniforme sobre compactosde las funciones y todas sus derivadas. La familia de seminormas pK,m : K K , m N,dondepK,m( f ) :=sup[[msupxK[Df (x)[,dene la topologa de E (). Utilizando que se puede poner como unin de una sucesinexhaustiva de compactos, es fcil probar que los e.l.c. Em() y E () son metrizables. EnDmK ()yDK()seconsideranlastopologasinducidas,respectivamente,porEm()yE (). El espacio D() es un espacio no nulo al que se da el nombre de espacio base dedistribuciones,cuandoseledotadelatopologalocalmenteconvexamsnaquehacecontinuas las inmersiones DK() D(), vase [36, Denition 5.19].1.3.3 Espacios localmente convexos metrizables y normables

Metrizabilidad y Primer Axioma de Numerabilidad Por denicin, un espacio topolgico satis-face el Primer Axioma de Numerabilidad si todos los puntos tienen una base de entornosnumerable. Los espacios mtricos satisfacen el Primer Axioma de Numerabilidad, aunqueno todos los espacios topolgicos que satisfacen el Primer Axioma de Numerabilidad sonmetrizables (el intervalo de ordinales [0, 1) es numerablemente compacto, no compacto,satisface el Primer Axioma de Numerabilidad y no es metrizable, [99, p. 151]). Sin embargo,para e.v.t., metrizabilidad y Primer Axioma de Numerabilidad son equivalentes, vase [71,15.11.1]: esto es as porque todo e.v.t. es un espacio uniforme, y cuando satisface el PrimerAxioma de Numerabilidad, entonces su uniformidad tiene una base numerable; los espaciosuniformes con una base de la uniformidad numerable son metrizables, [69, Teorema 13,Captulo 6].La equivalencia entre metrizabilidad y Primer Axioma de Numerabilidad para e.l.c. se puedeprobar como sigue:Teorema 1.3.16. Sea E[T] un e.l.c. Entonces, las siguientes armaciones son equivalentes:(i) E[T] es metrizable.(ii) Existe una base de entornos del origen numerable, i.e., E[T] satisface el Primer Axioma deNumerabilidad.(iii) Existe una familia numerable de seminormas continuas generando la topologa T.Demostracin. La armacin (i) claramente implica (ii). Supongamos que 0 tiene una base deentornos del origen numerable Vnn. Podemos suponer que cada Vnes absolutamente convexoy quesesatisface Vn Vn+1,n N.SeapnelfuncionaldeMinkowski asociadoa Vn.Porlaproposicin 1.3.4, cada pn es una seminorma. Se tiene adems que pn pn+1 para cada n N, yes claro que T est asociada a la familia pn : n N. As acaba la prueba de (ii) (iii).B. Cascales y S. Troyanski38 PreliminaresDemostremos, para terminar, que (iii) (i). Supongamos que T est asociada a una familiade seminormas pn : n N, para la que podemos suponer, sin prdida de generalidad, que secumplepn pn+1, n N (bastara cambiar la familia pn : n N por la familia qn : n N,donde qn(x) := sup1kn pk(x), para x E). La frmulad(x, y) :=n=112n mn_pn(x y), 1_dene una distancia en Ecuya topologa asociada esT. Dejamos como ejercicio el comprobarque d es una distancia. Para ver que T es la topologa asociada a d, es suciente demostrar que lafamilia _y E : pn(y x) < : n N, 0 < < 1_ forma una base de d-entornos del punto x,para cada x E. Efectivamente, dados x E y 0 < < 1, consideremos Bd(x, ). Si tomamos mtal que n=m+112n 0 tal queU V, lo que se obtiene de la denicin de acotacin para U.Proposicin 1.3.18. Sea C abierto. Entonces, (H (), K) es un espacio de Frchet que noes un espacio de Banach.Demostracin. Si (H (), K) fuese normable, existira un K-entorno del origen acotado, V , enH (). As, para cada compacto K , se tendrasupf V_supzK[ f (z)[_ 0, entonces u(y +x0) = 1 p_y +x0_ p(y +x0).Por el teorema 1.3.12, existef: E R lineal tal quef [Fspanx0 = u, y vericando quef (x) p(x), para cada x E. Si U A es un entorno del origen absolutamente convexo y qes su funcional de Minkowski, entonces q es una seminorma T-continua, proposicin 1.3.5,ysetienep q.Enparticular, [ f (x)[ q(x)paracadax Ey,enconsecuencia, f esT-continua. Si consideramos el hiperplano cerrado H := x E : f (x) = 1, es claro queM H y que H A = / 0, dado que si x H, se tienef (x) = 1 p(x), lo que signica quex , A, quedando terminada la prueba.Caso K=C. M = x0 +Fpara cierto x0 Ey cierto subespacio vectorial complejo F E. Porel apartado anterior, existef : E R lineal y continua con H :=x E : f (x) = 1 M,siendof (x0) = 1 y H A = / 0. Es claro que, para y F, se tienef (y) = 0. Como Fes unsubespacio vectorial complejo, se verica que iy F siempre que y F y, en consecuencia,f (iy) = 0 para cada y F. Si denimos g(x) :=f (x) i f (ix), entonces el hiperplano com-plejo H0 :=_x E : g(x) = 1i f (ix0)_es cerrado y satisface las propiedades requeridas.La demostracin est ahora completa.

Semiespacios determinados por hiperplanos Sean E[T] un e.v.t., f E/ y R. Los semiespa-cios abiertos (respectivamente, cerrados) en E[T] determinados porfy son los conjuntosG =_x E : f (x) < _, G=_x E : f (x) > _(respectivamente, F =_x E : f (x) _, F=_x E; f (x) _).

Separacin de conjuntos Si A y B son dos subconjuntos de E[T], se dice que:(i) A yB estnestrictamenteseparados si existenf E/y R de tal manera queA Gy B G; en este caso, se dice que el hiperplano_x E :f (x) = _ separaestrictamente A y B.(ii) A y B estn separados si existenf y como en el apartado anterior con A FyB F; en este caso, se dice que el hiperplano_x E : f (x) = _separa A y B.Lema 1.3.23. Toda forma lineal no nulafdenida en un e.v.t. es abierta.Demostracin. Sean E[T] un e.v.t. yf : E K lineal tal que f (x0) ,= 0, para algn x0 E.Probaremos que si G es un abierto de E[T], entoncesf (G) es abierto en K, i.e., demostraremosque, para cada y G, el conjuntof (G) es un entorno def (y). Distinguimos dos casos:B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad43Cuandof (y) ,= 0. ComoGesabiertoylaoperacinmultiplicacinporescalaresescontinua,existe > 0 tal que ay G cuando [a1[ < . Si K es tal que [ f (y)[ < [ f (y)[,entonces [/f (y) 1[ < , y por tanto = af (y) = f (ay) f (G).Cuandof (y) = 0. Como G es abierto, existe un entorno Vde 0 tal que y +V G. Adems, dadoque 0K x0 =0E y la operacin multiplicacin por escalares es continua, existe >0 tal quex0 V si [[ < . Tenemos entonces que_ : [[ < [ f (x0)[_=_f (y +x0) : [[ < _ f (y +V) f (G),y la demostracin est terminada.Corolario 1.3.24 (Primer teorema de separacin). Sean E[T] un e.v.t. y A, B subconjuntos con-vexos no vacos de E, con AB = / 0. Si A es abierto, existenf: E R lineal y T-continua, y R, tales quef (a) < f (b), para cadaa A, b B.Si ambos, A y B, son abiertos, fpuede tomarse satisfaciendof (a) < < f (b), para cadaa A, b B;es decir, A y B estn separados estrictamente por un hiperplano real cerrado.Demostracin. El conjunto AB es un abierto no vaco y 0 ,AB. El teorema 1.3.22 nos asegurala existencia def: E R, lineal y continua, y R, tales que 0 H :=_x E :f (x) = _y H (AB) =/ 0. Obsrvese que = 0, y as, se tiene quef (AB) es un convexo de R (unintervalo) tal que 0 ,f (AB). En consecuencia, o bienf (a b) > 0, para cada a A y b B,o bienf (ab) < 0, para cada a A y b B. Por ejemplo, en el segundo caso, f (a) 0 se tendr quef (y) < < f (z),para todo y K y todo z F.Para conjuntos cerrados y convexos, el teorema anterior no es cierto. Basta tomar en R2los cerrados convexos K =_(x, 0) R2: x 0_ y F =_(x, y) R+R+ : xy 1_. Elteorema anterior nos permite separar estrictamente, en cualquier e.l.c., un conjunto convexo decerrado de un punto que no pertenece a l. En el caso nito-dimensional X =Rn, se puede separar(no necesariamente de forma estricta) cualquier convexo de un punto que no est en el convexo,vase [98, Theorem 1.3.4].Corolario 1.3.27. Sean K y F subconjuntos disjuntos de un e.l.c. E[T], tales que K es compactoy F es cerrado. Si K se supone absolutamente convexo y F convexo, entonces existe u E/ tal quesupxK[u(x)[ < nfyF[u(y)[.Demostracin. Demostramos el caso complejo. Tomamos f : E R, lineal y continua, y Rcomo en el corolario anterior, y denimos u(x) :=f (x) i f (ix), para x E. Entonces u es linealy satisface que Reu(x) = f (x) para cada x E. De esta forma tenemos que(i) para cada x K, existe un cierto R tal que [u(x)[ = eiu(x), y por lo tanto se tiene[u(x)[ = eiu(x) = u(eix) = Re_u(eix)_ ;(ii) < Reu(y) [u(y)[, para cada y F.As queda terminada la prueba.B. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad45Corolario 1.3.28. Sean E[T] un e.l.c. y A un subconjunto de E. La envoltura convexa y cerradade A es la interseccin de todos los semiespacios que contienen a A determinados por hiperplanosanes cerrados en E, i.e.,co(A) =

F : A F, F semiespacio cerrado. (1.8)En particular, si A es convexo y cerrado, entoncesA =

F : A F, F semiespacio cerrado.Demostracin. Claramente se tiene co(A)

F : A F, F semiespacio cerrado. Por otrolado, si x , co(A), entonces existen una formaf: E R lineal y continua y R, tales quef (x) > >f (y), para cada y co(A). Esto signica que, para el semiespacio determinado porfy , se tiene que x , F, mientras que A F, lo que nos da la otra inclusin que necesitamospara concluir la igualdad (1.8).El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de lo que acabamos de demostrar.Corolario 1.3.29. Sean E un espacio vectorial y T y dos topologas localmente convexas sepa-radas en E, tales que (E[T])/ = (E[])/. Entonces, los conjuntos convexos T-cerrados y -cerradosson los mismos.Si E[T] es un e.l.c., entonces (E[T])/ = (E[(E, E/)])/, vase la proposicin 1.3.33 y, enconsecuencia, los subconjuntos convexos T-cerrados y (E, E/)-cerrados son los mismos.Corolario 1.3.30. Sean E[T] un e.l.c. y F E un subespacio vectorial. EntoncesF =_x E : f (x) = 0, sif E/ yf [F = 0_.Demostracin. Se sigue inmediatamente del hecho de que una forma lineal acotada en un subes-pacio vectorial se anula en este subespacio, y del corolario 1.3.28.Corolario 1.3.31. Sean E[T] un e.l.c. y S un subconjunto de E. Son equivalentes:(i) S es total en E[T], i.e., span(S)T= E.(ii) Sif E/ yf [S = 0, entoncesf = 0 en E.Stanislaw Mazur, 1905-1981. En la monografa de S. Banach Thorie des oprationslinaires, 1932, las propiedades de los conjuntos convexos eran prcticamente ignora-das. Sin embargo, de forma casi simultnea, 1933, S. Mazur haba desarrollado ya una versingeomtrica del teorema de Hahn-Banach, generalizando la teora de Minkowski al demostrarB. Cascales y S. Troyanski46 Preliminaresque, si K es un subconjunto convexo de un espacio normado E, entonces, para cada punto en lafrontera de K, existe un hiperplano cerrado que es soporte de K. Los teoremas de separacin deconjuntos convexos han encontrado numerosas aplicaciones en geometra, anlisis, optimiza-cin, etc. Mazur fue co-fundador con Banach de lo que se conoce como la Escuela Polaca deAnlisis Funcional. Mazur fue estudiante de Banach, y uno de los artces del Scottish book.S. Ulam, escribe:Para aqullos que no conocen el Scottish book, debo empezar diciendo que es unacoleccin informal de problemas en matemticas. Fue empezado en Lwow, Polonia,en 1935. Realmente, algunos de los problemas se haban originado antes, quizs 6 7 aos antes.ElScottishbookrecogelosproblemasquefuerondiscutidosporBanach, Mazur, Ulamyotros, cuando se reunan en el Scottish Cafe en Lwow. Para cada problema propuesto se ofre-ca un premio por su solucin. Hay una ancdota sobre uno de los ms famosos problemasdel Scottish book. ste es el problema 153, propuesto por Mazur, cuyo premio consista en unganso vivo. El problema 153 estuvo originalmente formulado en trminos de aproximacionesde funciones continuas en dos variables por combinaciones lineales de sus secciones. A. Grot-hendieck demostr en su tesis, en 1955, que el problema 153 es equivalente al problema de laaproximacin, que en su tiempo fue considerado uno de los problemas centrales en el anlisisfuncional. El problema de la aproximacin es el siguiente: Es cada operador lineal compactode un espacio de Banach X en otro espacio Yel lmite en norma de una sucesin de operado-res de rango nito? El espacio de Banach Y se dice que tiene la propiedad de la aproximacinsi la respuesta a la cuestin anterior es positiva para cada espacio de Banach X. Espacios deHilbert y espacios de Banach con base de Schauder tienen la propiedad de la aproximacin.La respuesta al problema de la aproximacin (por tanto, al problema 153, y al problema de labase) es negativa. Esto fue probado en 1972 por P. Eno. El ganso fue entregado por Mazur aEno un ao despus, cuando este ltimo estaba dando una charla en Varsovia presentando lasolucin al problema de la aproximacin.1.3.5 Pares duales. Polares. El teorema del bipolar

Par dual Un par dual F, G) es dos espacios vectoriales F y G junto con una aplicacin bilineal, ) : F G K satisfaciendo las propiedades:(i) Si x, y) = 0 para cada x F, entonces y = 0.(ii) Si x, y) = 0 para cada y G, entonces x = 0.Dados x0 F e y0 G, consideramos las aplicaciones linealesfx0 : G K y fy0: F KB. Cascales y S. Troyanski1.3 Dualidad47dadas por fx0(y) := x0, y) yfy0(x) := x, y0), para x Fe y G. La aplicacin x fx(respectivamente, y fy) es lineal e inyectiva de Fen un subespacio del dual algebraicode G, G#(respectivamente, del dual algebraico de F, F#). Algunas veces, consideraremos F(respectivamente, G) ya identicado como subespacio de G#(respectivamente, F#) a travsde la correspondiente inyeccin anterior.

Topologas dbiles Si F, G) es un par dual, llamamos topologa dbil (F, G) de F inducida porG, a la topologa ms gruesa en Fpara la cual las aplicaciones fy: F K, para caday G, son continuas. De forma dual, se dene la topologa dbil (G, F) de G como latopologa ms gruesa en G para la cual son continuas las aplicacionesfx : G K, paracada x F. Obsrvese que (F, G) es una topologa localmente convexa separada, generadapor la familia de seminormasP:=py : y G,donde py(x) =[x, y)[, para cada x F.Si E[T] es un e.l.c. y consideramos la dualidad E, E/), entonces las nociones de topologasdbiles en el par dual coinciden con las nociones de topologas dbiles y dbiles introduci-das en la pgina 34.Ejemplo 1.3.32.(i) Si E es un espacio vectorial y E#es su dual algebraico, E, E#) es un par dual con la aplica-cin bilineal natural x, x) = x(x) para cada (x, x) E E#.(ii) Si E[T] es un e.l.c. y E/ es su dual topolgico, entonces E, E/) es un par dual con la aplica-cin bilineal x, x/) = x/(x), gracias al apartado (ii) del corolario 1.3.21.(iii) Si I es un conjunto de ndices y Ki =K, para cada i I, entoncesiIKi,

iIKi_es unpar dual con la aplicacin bilineal(i)iI, (i)iI_=iIii.(iv) Sea E = (C(K), ||), con Kcompacto. Para cada x K, consideremos x : C(K) Kel funcional lineal continuo x( f ) :=f (x). Denamos K =x : x K (C(K), ||), ysea F = span(K). Entonces, E, F) es un par dual con la aplicacin bilineal inducida por laaplicacin bilineal natural del par dualC(K), (C(K), ||)_. Obsrvese que, si considera-mos el par dual E, F), entonces la topologa dbil (E, F) =_C(K), span(K)_=p es latopologa de la convergencia puntual inducida por KK.Proposicin 1.3.33. Si F, G) es un par dual yf : F K es una forma lineal, entonces f es(F, G)-continua si, y slo si, existe y G (necesariamente nico) tal quef = fy.Demostracin. Es claro que cadafyes (F, G)-continua, por denicin de (F, G). Recproca-mente, seaf : F K lineal (F, G)-continua. Caso de existir y G satisfaciendof = fy, este ydebe ser nico por la propiedad (i) de la denicin de par dual dada en la pgina 46. La exist