ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS
CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS
ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Trabajo de Investigación Tutelado
Alejandro de Miguel Tejada
Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Tutor:
Pablo de la Fuente Martín
Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos
Madrid, Junio de 2011
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�
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Resumen La aparición de estructuras cada vez más esbeltas en el panorama de la
ingeniería civil, hace que los periodos propios de oscilación sean más largos. Este factor hace que cargas que en otra época podían considerarse estáticas, adquieran un carácter dinámico y por tanto cambien por completo la forma de analizar y calcular la estructura.
Tradicionalmente se ha abordado el cálculo dinámico, mayorando las cargas dinámicas a las que se veía sometida una estructura. A partir de aquí el método seguido para obtener la respuesta, era similar al empleado en el campo de la estática.
Diversas exigencias; crecientes en nuestros días, como el confort, conocimiento de los coeficientes de seguridad..., hacen del análisis dinámico una herramienta fundamental para abordar el problema.
Se centrará este Trabajo de Investigación, en el análisis dinámico de estructuras desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, método que ha cobrado una gran importancia por dos motivos fundamentales:
• De un lado, está la llegada de los ordenadores, capaces de reducir los tiempo de análisis hasta límites inimaginados hace no muchos años.
• Por el otro, es el método más eficaz de análisis cuando en el sistema a analizar, existan circunstancias que hagan inabordable el problema desde otro punto de vista, como en el caso de amortiguamientos no proporcionales, o parámetros dependientes de la frecuencia excitadora.
Por último se incluye en este Trabajo de Investigación, una aplicación experimental que ayuda a entender parte de las aplicaciones de un algoritmo tan importante, en lo que a dominio de la frecuencia se refiere, la transformada de Fourier.
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kc
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'
'
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A
0
0±A
T
fT = 1
fu
A2A
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60km/h
Tf
h
f = 12⇡
q
km
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�t
�⇧H = 0
� (t1, t2)
⇧H =ˆ t2
t1
(Ep � Ec)dt +ˆ t2
t1
Eddt
Ep Ec Ed
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mu + cu + ku = p(t)
m
c
k
u
u
u
mu
cu
ku
p(t)
F (t)I + F (t)D + F (t)K = p(t)
m c k
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{M}u + {C}u + {K}u = p(t)
u u u
t
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p(x, t)
m@2u
@t2+
@2
@x2(EI
@2u
@x2) = p(x, t)
u
@2
@x2(EI
@2v
@x2+ c I
@3v
@t@x2) + m
@2v
@t2+ c
@v
@t= p(x, t)
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u(y, t) i(y) �i(t)
u(y, t) =1X
i=1
i(y)�i(t)
i(y)
�i(t)
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F (t)I + F (t)D + F (t)K = {p(t)}
{u}{a}i Yi(t)
{u} = [a] {Y }i
[a]{u}
M {u} + C {u} + K {u} = {p(t)}
Yi + 2Di!iYi + !2i Yi =
Pi(t)Mi
Pi(t) = {a}Ti {p(t)}
Mi {a}Ti M {a}i
!i
Di
{u} = {a}1 Y1 + {a}2 Y2 + ... + {a}n Yn
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�t
�t �t
�t
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T
�t
�tT 1
10�t
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x(t)p(t)
H(⌦)P (⌦) H(⌦)P (⌦)
X(⌦)x1(t) p1(t)
x2(t) p2(t)
X1(⌦)P1(⌦)
=X2(⌦)P2(⌦)
= .........Xn(⌦)n(⌦)
= H(⌦)
X1(⌦) P1(⌦)
H(⌦)p(t)
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g(t) Tp
g(t) = g(t + nTp)
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Tp
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(2⇡nf1t) +1X
n=1
bnsin2⇡(nf1t)
f1 = 1Tp
an = 2Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)cos(n⌦1t)dt
bn = 2Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)sin(n⌦1t)dt
a0 = 1Tp
´ Tp2
�Tp2
g(t)dt
⌦1 = 2⇡f1
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(n⌦1t) +1X
n=1
bnsin(n⌦1t)
g(t)
g(t) (�Tp
2 ,Tp
2 )
g(t)g(↵+0) g(↵�0) ↵
t = 0
p0
u(t) =p0
k
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(p0sin⌦1t)
u(t) =p0
k
11� �2
sin(⌦1t)
(p0cos⌦1t)
u(t) =p0
k
11� �2
cos(⌦1t)
� = ⌦1!
! :⌦1 :
(p0sin⌦1t)
u(t) =p0
k
1(1� �2)2 + (2⇠�)2
�
(1� �2)sin(⌦1t)� 2⇠�cos(⌦1t)
(p0cos⌦1t)
u(t) =p0
k
1(1� �2)2 + (2⇠�)2
�
2⇠�sin(⌦1t) + (1� �2)cos(⌦1t)
g(t) = a0 +1X
n=1
ancos(n⌦1t) +1X
n=1
bnsin(n⌦1t)
u(t) =a0
k+
1X
n=1
an
k
11� �2
n
cos(n⌦1t) +1X
n=1
bn
k
11� �2
n
sin(n⌦1t)
�n = n⌦1!
u(t) =a0
k+
1X
n=1
an
k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2�
2⇠�nsin(n⌦1t) + (1� �2n)cos(n⌦1t)
+1X
n=1
bn
k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2�
(1� �2n)sin(n⌦1t)� 2⇠�ncos(n⌦1t
=a0
k+
1X
n=1
1k
1(1� �2
n)2 + (2⇠�n)2[�
an2⇠�n + bn(1� �2n)
sin(n⌦1t)+
�
an(1� �n)2 � bn2⇠�n
cos(n⌦1t)]
⇠⇠ = c
cc
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sin(n⌦1t) =ein⌦1t � e�in⌦1t
2i
cos(n⌦1t) =ein⌦1t + e�in⌦1t
2
g(t) =1X
n=�1cnein⌦1t
p = ei⌦1t
mu + cu + ku = ei⌦1t
u = e�⇠!t(Acos(!ddt) + Bsin(!dt))
!d = !p
1� ⇠2 !
u = Hei⌦1t
u u u
(�m⌦21 + ic⌦1 + k)Hei⌦1t = ei⌦1t
u = e�⇠!t(Acos(!dt) + Bsin(!dt)) +1
�m⌦21 + ic⌦1 + k
ei⌦1t
ei⌦1t
H(⌦1)ei⌦1t
H(⌦1) =1
�m⌦21 + ic⌦1 + k
=1
k(��2 + 2i⇠� + 1)
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� = ⌦1!H(⌦1)
g(t) =1X
n=�1cnein⌦1t
u(t) =1X
�1cnH(n⌦1)ein⌦1t
cn =1Tp
ˆ Tp2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt
g(t) =1X
�1cnein⌦1t
cn =1Tp
ˆ Tp2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt
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Tp
⌦1 = 2⇡Tp
= �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦
cn
g(t) =1X
�1cnein⌦1t =
1Tp
1X
�1(cnTp)ei⌦nt =
12⇡
1X
�1(cnTp)ei⌦nt�⌦
cnTp =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�in⌦1tdt =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�i⌦ntdt
Tp �⌦ n⌦1 = ⌦n = n�⌦ ⌦.
cnTp = G(⌦) =ˆ 1
�1g(t)e�i⌦tdt
g(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)ei⌦td⌦
G(⌦) g(t)G(⌦)
1X
�1cnei⌦nt
u(t) =1Tp
1X
�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt =
12⇡
1X
�1(cnTp)H(⌦n)ei⌦nt4⌦
Tp
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
�(t)
�(t) = 0 t 6= 0
�(t) t = 0
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´1�1 �(t)dt = 1
h(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
´1�1 f(z)�(z � t0)dt = f(t0)
G(⌦) =ˆ 1
�1�(t)e�i⌦tdt = 1
G(⌦) h(t)
h(t), H(⌦)
U(⌦) u(t)
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1U(⌦)ei⌦td⌦
U(⌦) = G(⌦)H(⌦)
g(t) h(t) g(t) ⇤ h(t)
u(t) = g(t) ⇤ h(t) =ˆ 1
�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧
h(⌧)
g(⌧)
g(⌧)
U(⌦) =ˆ 1
�1[ˆ 1
�1g(⌧)h(t� ⌧)d⌧ ]e�i⌦tdt =
ˆ 1
�1[ˆ 1
�1h(t� ⌧)e�i⌦tdt]g(⌧)d⌧
t� ⌧ = y
U(⌦) =ˆ 1
�1[ˆ 1
�1h(y)e�i⌦tdy]e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ =
ˆ 1
�1H(⌦)e�i⌦⌧g(⌧)d⌧ = H(⌦)G(⌦)
U(⌦) u(t)
u(t) =12⇡
ˆ 1
�1G(⌦)H(⌦)ei⌦td⌦
![Page 32: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/32.jpg)
Tp
G(⌦) =ˆ 1
�1g(t)e�i⌦tdt
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⌦1 = �⌦ =2⇡Tp
Tp �t,tm = m�t.
g(t) =�⌦2⇡
1X
�1G(⌦)ei⌦nt
⌦n = n⌦1
ei⌦nt = ein�⌦m�t = ein 2⇡
Tpm�t = ein 2⇡
N�t m�t = e2⇡in mN
g(tm) =�⌦2⇡
N�1X
n=0
G(⌦)e2⇡in mN
(N � 1)�⌦g(t), G(⌦)
G(⌦) = Tpcn =ˆ Tp
2
�Tp2
g(t)e�i⌦ntdt
G(n�⌦) = �t
N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡in mN
�⌦
Tp = N�t
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u(n�t) =N�1X
n=0
g(n�t)h {(m� n)�t}�t
g(t) h(t) �t
g(m�t)h(m�t)
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im nN
h(t)h(t)
”T0”
G(n�⌦) H(n�⌦)
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
u(m�t) =12⇡
N�1X
m=0
U(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
h(t)H(⌦)
H(⌦)
![Page 35: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/35.jpg)
Tp = 1,6
Tp
m�t m �t = 0,1
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�im�tn�⌦�t =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im nN �t
![Page 36: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/36.jpg)
n�⌦n�f �f
�f =�⌦2⇡
=1Tp
Tp = 2⇡�⌦ = 1
�f = 1, 6
![Page 37: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/37.jpg)
�⌦ = 1,25⇡ �f = 0,625
n = N2
n = N2 .
k�⌦
G(k�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im kN �t
k�⌦ N �⌦2 l�⌦ l = N
2 + (N2 � k) = N � k
G {(N � k)�⌦} =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡im(N�k)
N �t =
=N�1X
m=0
g(m�t)e2⇡im kN �t
n = �k
G {(�k)�⌦} =N�1X
m=0
g(m�t)e2⇡im kN �t
N �⌦2
N �⌦2
N �⌦2 = ⇡
�t �t
G(⌦) =ˆ t1
0e�i⌦tdt
G(⌦) =ˆ t1
0cos(⌦t)dt� i
ˆ t1
0sin(⌦t)dt =
sin(⌦t1)⌦
+ icos(⌦t1)� 1
⌦
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N�⌦N �⌦
2
N �⌦2
�t
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⇡�t
�t
�tTp
H(⌦)
H(⌦)
h(t)
G(⌦) =ˆ t1
0e�i⌦tdt =
sin(⌦t1)⌦
+ icos(⌦t1)� 1
⌦
�⌦
N�⌦N �⌦
2
N2
N2
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g(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
N = 16 �⌦ = 1,25⇡.
N �⌦2
N
H(⌦) =1
m(!2 � ⌦2)
!h(t)
H(⌦)
�⌦ = 0,15625Tp = 64⇥ 0,15625 = 10
H(n�⌦)
H(n�⌦) =1
m(!2 � ⌦2)
![Page 41: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/41.jpg)
H(⌦).
g(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
h(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
H(⌦)h(t)
h(t) =1
m⌦sin(⌦t) t > 00 t < 0
h(t)
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h
H(⌦) h(t)
h(t)”⇠”
h(t)
![Page 43: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/43.jpg)
�⌦
Tp = 2⇡�⌦
h(t) 2⇡r�⌦ r
�1 1
h(t) =1
m!de�⇠!(t� 2⇡
�⌦m)sin!d(t� 2⇡�⌦m)
![Page 44: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/44.jpg)
m
h(t)
h(t)
h(t) =1
m!d
0X
r=�1e�⇠!(t�rTp)sin(!d(t� rTp))
sin✓ = 12(ei✓ � e�i✓)
h(t) =1
m!de�⇠!t
0X
r=�1e⇠!rTp
ei!d(t�rTp) � e�i!d(t�rTp)
2i=
=1
m!d
e�⇠!t
2i
(
ei!dt0X
r=�1e�rTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt
0X
r=�1e�rTp(�⇠!�i!d)
)
�r r
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
(
ei!dt1X
r=0
erTp(�⇠!+i!d) � e�i!dt1X
r=0
erTp(�⇠!�i!d)
)
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
⇢
ei!dt
1� eTp(�⇠!+i!d)� e�i!dt
1� eTp(�⇠!�i!d)
�
h(t) =e�⇠!t
m!d
⇢
sin(!dt)� e�⇠!Tpsin(!d(t� Tp)1� 2e�⇠!Tpcos(!dTp) + e�2⇠!Tp
�
h(t) h(t)Tp Tp h(t)
h(t)
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Tp
⇠ = 0
h(t) =1
2m!(sin(!t) +
cos(!t)sin(!Tp)1� cos(!Tp)
h(t)
h(t) h(t) Tp
h(t)
g(t) Tp
h
![Page 46: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/46.jpg)
Th,
h
g h
Tp = p�t Th = q�t T0 T0 = N�t = (p + q + 1)�t
Th
Th
Th
h
Th
Tp +Th
g tp
![Page 47: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/47.jpg)
g
tpTh g
g
0t0p
th
![Page 48: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/48.jpg)
g Tp
Tp
T0 = Tp + T2
T0.
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h(t),0 < t < T0
t = 0,�T0,�2T0... h(t)
h(t) =e�⇠!t
m!d
⇢
sin(!dt)� e�⇠!T0sin(!d(t� T0))1� 2e�⇠!T0cos(!dT0) + e�2⇠!T0
�
u(k�t)g(t)
u(m�t) =N�1X
j=0
g(j�t)h {(m� j)�t}�t
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
G(n�⌦) g(m�t) H(n�⌦)h(m�t)
u(m�t) u(m�t)
![Page 50: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/50.jpg)
t = 0 u(m�t) u(m�t)0 < t < T0
T0
u(m�t)
u(m�t)u(m�t)
t = 0 u(0) u(0)u(m�t) u(0)
t = 0 u(0)u(0) u(0)
t = 0 u(0)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
H(n�⌦) h(t)
h(t) =1
m!d
e�⇠!t
2i
⇢
ei!dt
1� eT0(�⇠!+i!d)� e�i!dt
1� eT0(�⇠!�i!d)
�
![Page 51: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/51.jpg)
U(⌦).
U(⌦).
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
U(n�⌦)�N
2N2 ,
u(m�t) =1T0
N2X
n=�N2
U(n�⌦)e2⇡in tT0
t = m�t
T0 = N�t
�⌦ = 2⇡T0
t = 0 t = 0
u(0) =2⇡i
T 20
N2X
n=�N2
nU(n�⌦) =2⇡i
T 20
N2X
n=�N2
nRe {U(n�⌦)} + inIm {U(n�⌦)}
![Page 52: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/52.jpg)
Re {U(n�⌦)}) U(n�⌦)Im {U(n�⌦)}) U(n�⌦)
Re {U(n�⌦)} nRe {U(n�⌦)}
Im {U(n�⌦)} nIm {U(n�⌦)}
u(0) =�4⇡T 2
0
N2X
n=0
nIm {U(n�⌦)}
�u(0) = u(0)� u(0)
�u(0) = u(0)� u(0)
u(k�t)�u(0) �u(0)
t = 0
r(t) = e�⇠!t(cos(!dt) +⇠!
!dsin(!dt))
t = 0
s(t) =e�⇠!t
!dsin(!dt)
⌘1(t) = �u(0)r(t)
⌘2(t) = �u(0)s(t)
u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)
�(t) N � 2u1 �(t) N � 1
u2
�(t) u1 h (N�2)�tu2 h (N � 1)�t
R1 R2
u(m�t) = u(m�t) + R1u1(m�t) + R2u2(m�t)
![Page 53: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/53.jpg)
R1u1(0) + R2u2(0) = u(0)� u(0)R1 ˙u1(0) + R2 ˙u2(0) = u(0)� ˙u(0)
u(0) u(0)
u(0)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
G(n�⌦)H(n�⌦)e2⇡im nN �⌦
˙u(0)
˙u(0) = � 4⇡(T0)2
N2X
n=0
nIm {U(n�⌦)}
˙u1(0) ˙u2(0) h(t)
˙h(t) =1
m!d�e�⇠!t
n
!dcos!dt� !de�⇠!T0cos!d(t� T0)
o
� ⇠!h(t)
� = 1� 2e�⇠!T0cos!dT0 + e�2⇠!T0
˙u1(t) ˙h(t) (N � 2)�t
˙u2(t) ˙h(t) (N�1)�t
u1(0) = h(2�t) ˙u1(0) = ˙h(2�t)u2(0) = h(�t) ˙u2(0) = ˙h(�t)
R1 R2
u(n�t) =N�1X
n=0
g(n�t)h {(m� n)�t}�t
![Page 54: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/54.jpg)
G(n�⌦) =N�1X
m=0
g(m�t)e�2⇡in mN �t
G(n�⌦) g(t).
H(n�⌦) =N�1X
k=0
h(k�t)e�2⇧in kN �t
H(n�⌦)h(t).
U(n�⌦) = G(n�⌦)H(n�⌦)
U(n�⌦)
u(m�t) =12⇡
N�1X
n=0
U(n�⌦)e2⇡in mN
u(m�t)
N2
N2
N2
N = 2� �
X(n) =N�1X
m=0
x(m)e�2⇡in mN
�t.� = 3.
W = e�2⇡ iN
![Page 55: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/55.jpg)
n m
n = 4n2 + 2n1 + n0
m = 4m2 + 2m1 + m0
n0 n1 n2 m0 m1 m2
X(n2, n1, n0) =1X
m0=0
1X
m1=0
1X
m2=0
x(m2, m1, m0)Wnm
Wnm
Wnm = W (4n2+2n1+n0)(4m2+2m1+m0) = W (4n2+2n1+n0)4m2W (4n2+2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
WmN = e�2⇡im NN = cos(2m⇡)� isin(2m⇡) = 1
W 16n2m2 = W 8n1m2 = W 8n2m1 = 1
Wnm = W 4n0m2W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
X(n2, n1, n0) =1X
m0=0
1X
m1=0
(
1X
m2=0
x(m2, m1, m0)W 4n0m2
)
W (2n1+n0)2m1W (4n2+2n1+n0)m0
x1(n0, m1, m0) =1X
m2=0
x(m2, m1, m0)W 4n0m2
m1 m0 n0
x1(n0, m1, m0) = x(0, m1, m0)W 0 + x(1, m1, m0)W 4n0
![Page 56: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/56.jpg)
x1 xn0 = 1 m1 = 0 m0 = 1
x1(1, 0, 1) = x1(5) =
x(0, 0, 1)W 4⇥1⇥0 + x(1, 0, 1)W 4⇥1⇥1 = x(1) + x(5)
x x1
x(1) x(5) W 4
x(5) x1(5)4n0m2 m2 = 0 4n0 m2 = 1
W 4n0 , n0 = 0,W 0
x x1
(N � 1)x1
x1(0) x1(4)
x1(0) = x(0) + x(4)W 0
x1(4) = x(0) + x(4)W 4
x1
m1 m0 n0 = m2 = 0n0 = m2 = 1. N
2 = 4W s W s+(N
2 )
W s+(N2 ) = e(2⇡ i
N )(N2 +s) = ei⇡e2i⇡ s
N = �W s
x1(j) = x(j) + x(N2 + j)W s
x1(N2 + j) = x(j)� x(N
2 + j)W s
x x1N2
x2(n0, n1, m0) =1X
m1=0
x1(n0, m1, m0)W (2n1+n0)2m1
n0 n1 m0 x2(n0, n1, m0)x2 x1
W (2n1+n0)2m1
x1 x2N2 N � 1
![Page 57: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/57.jpg)
x3(n0, n1, n2) =1X
m0=0
x2(n0, n1, m0)W (4n2+2n1+n0)m0
X x3
X(n2, n1, n0) = x3(n0, n1, n2)
X
X x3
x1 x2 x3
� = log2NN2 (N
2 )log2N.
m = 0,25
t1 = 0,6
⇠ = 0,06.
⇡2
![Page 58: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/58.jpg)
! = 2⇡
p = sin( 21,2 t)
!d = !p
1� ⇠2
mu + cu + ku = p(t)
mu + cu + ku = 0
u = e�!⇠t[C1sin!dt + C2cos!dt] +p0
k
(1� (⌦! )2)sin⌦t� 2⇠⌦
! cos⌦t
[1� (⌦! )2]2 + 4⇠2(⌦
! )2
C1 C2
�0,2423 0,097
![Page 59: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/59.jpg)
u = e�0,377t � 0,2423sin(6,2718t) + e�0,377t0,097cos(6,2718t) + 0,299sin(5,235t)� 0,097cos(5,235t).
u = e�0,377t(�0,040sin(6,2718t) + 0,1475cos(6,2718t).
t
2,9s0,1s
t u t u
![Page 60: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/60.jpg)
2,9s
¯h(t) g(t)H(⌦)
G(⌦)U(⌦) u(t)
![Page 61: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/61.jpg)
t u u t u u
2,9h(t)
![Page 62: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/62.jpg)
h(t)
5s
h(t) 10s
![Page 63: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/63.jpg)
30s
15s
![Page 64: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/64.jpg)
h(t)
u(m�t) = u(m�t) + ⌘1(m�t) + ⌘2(m�t)
⌘1 µ2
2,9
t u u u t u u u
![Page 65: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/65.jpg)
![Page 66: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/67.jpg)
{u}�n(t)
{u} =MX
n=1
�nyn
[�]M n M
n
yn + 2⇠n!nyn + !2nyn = pn
y0n = �TnMu0
y0n = �TnMv0
![Page 68: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/68.jpg)
n
M ¨{u} + C{u} + K{u} = fg(t)
f
g(t)
H(⌦)ei⌦t
{u} = Hei⌦t
(�⌦2M + i⌦C + K)H = f
⌦ HHR + iHI 2N
N
⌦ H 2N
Hj j
(u)G ⇥Hj, G
g(t)
uj(m�t) =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦
![Page 69: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/69.jpg)
L�t�t
uj G(l�⌦)uj
uj uj
Hj Hj
Hj Hj
Hj(⌦) =1X
s=�1Hj(⌦ + s
2⇡�t
)
s 2⇡�t Hj(⌦)
H(⌦)
⇡�t
Hj(⌦) ⌦ > ⇡�t Hj(⌦) w Hj
Hj(⌦)
uj(m�t) =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)G(l�⌦)e2⇡im lL �⌦
![Page 70: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/70.jpg)
Rp tpT0
Rp
up(tp) = Rphj(tp)
hj Hj
hj =12⇡
L�1X
l=0
Hj(l�⌦)�⌦
uj(0) = uj(0) +2NX
p=1
Rphj(tp)
2NX
p=1
Rphj(tp) = uj(0)� uj(0)
2NX
p=1
Rp˙hj(tp) = uj(0)� ˙uj(0)
![Page 71: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/71.jpg)
uj(m�t) = uj(m�t) +2NX
p=1
Rphj(tp + m�t)
hj(t)˙hj(t)
hj Hj(l�⌦)˙hj(t)
p
˙hj(tp) =hj(tp + �t)� hj(tp ��t)
2�t
h(t)
![Page 72: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/72.jpg)
✓
p1
p2
◆
=✓
1,000,75
◆
p
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m2 = 2 m1 = 3
k1 = 100 k2 = 150
t1 = 1,00
⇠ = 0,00.
p = 20
�t = 0,05
t
M {u} + K {u} = {p(t)}
i
yi + !2i yi = pi
K =✓
250 �100�100 100
◆
M =✓
3 00 2
◆
|K � !2i M | = 0
!1 = 4,75rad/s !2 = 10,52rad/s
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(K � !iM) {ai} = 0
a1 =✓
1,001,82
◆
a2 =✓
1,00�0,82
◆
y1 + !21y1 = p1
y2 + !22y2 = p2
!1 = 4,75 !2 = 10,52
hi(t) =1
2Mi!i(sin!it +
cos!itsin!iT0
1� cos!iT0)
Mi i Mi = {ai}T M {ai}
t y y y t y y y
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T0 = 3s.
(�⌦2M + K)H = f
f
f =✓
10,75
◆
M K fH
250� 3⌦2 �100�100 100� 2⌦2
�
H =✓
10,75
◆
H(⌦)H(⌦) ⌦
�t = 0,05s.
�⌦ = 2⇡T0
= 2,09N2 �⌦ = 60
2 2,09 = 62,70rad/s
H(⌦)
H(⌦) H1(⌦) H2(⌦)
H1 (⌦) w H1(⌦) H2 (⌦) w H2(⌦)
H1(⌦) H2(⌦)g(k�t)
G(k�⌦)
{U(k�⌦)} = {G(k�⌦)}✓
H1(k�⌦)H2(k�⌦)
◆
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R1h1(0,40) + R2h1(0,30) + R3h1(0,40) + R4h1(0,40) = u1(0)
R1h2(0,40) + R2h2(0,30) + R3h2(0,40) + R4h2(0,40) = u2(0)
R1˙h1(0.40) + R2
˙h1(0.30) + R3˙h1(0.20) + R4
˙h1(0.40) = ˙u1(0)
R1˙h2(0.40) + R2
˙h2(0.30) + R3˙h2(0.20) + R4
˙h2(0.40) = ˙u2(0)
u1(0) = �0,049 u2(0) = 0,084 ˙u1(0) = 2,8228 ˙u2(0) = 0,463.
R1 R2 R3 R4
R1 = 458,952 R2 = �972,150 R3 = 994,566 R4 = �444,381
uj(m�t) = uj(m�t) +2NX
p=1
Rphj(tp + m�t)
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![Page 81: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/81.jpg)
fn1 =⇡
2
r
EaI
mL4
Ea
I
m
L
![Page 82: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/82.jpg)
Rx(⌧)
Rx(⌧)
DEP (⌦) =12⇡
ˆ +1
�1Rx(⌧)e�i⌦⌧d⌧
Rx(⌧) =ˆ +1
�1DEP (⌦)ei⌦⌧d⌦
m
↵� ↵ �
DEP =1
2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)
![Page 83: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/83.jpg)
�fA(⌦) a(t)
A⇤(⌦) A(⌦)
Ea = 210000 Nmm2
Ixx = 450,10�8m4
![Page 84: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/84.jpg)
m = 20,4kgm
±30g.
N = 26322400Hz
2400
1200Hz.
DEP =1
2⇡�fA(⌦)A⇤(⌦)
![Page 85: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/85.jpg)
357,4Hz
fn1 =⇡
2
r
EaI
mL4
fn1 =⇡
2
s
2,1E11 ⇥ 450E�8
20,4⇥ 0,904= 417,39Hz
R = ku R u
⇠ =�p
4⇡2 + �2
�
(ti, ai),
yi = L(ai).
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⌧i = tif f
(⌧i, yi)
y = a⌧ + b
� = �a
�.
� = 0,070⇠ = 0,070p
4⇡2+0,0702= 0,070
6,283 = 0,011 ⇠ = 1,1 %
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![Page 88: ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.pdf](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052304/5695d4ea1a28ab9b02a34914/html5/thumbnails/88.jpg)
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