Análisis de zapatas por diferencias finitas

Ing. Humberto Ramírez Romero Universidad Técnica Particular de Loja ______________________________________________________________________

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA: ESTRUCTURAS II

PROFESOR: HUMBERTO RAMÍREZ ROMERO

TEMA: ANÁLISIS DE UNA VIGA EN CIMENTACIÓN ELÁSTICA. MODELO DE WINKLER.

EI = constante Ks = Rigidez del resorte = Coeficiente de balasto = β

ddEIM

x

y2

2

−= ddEId

dVX

Y

X

M3

3

== yBkdd

ddq S

X

Y

X

V `4

4

−==

Donde: K´s = Ks B y = Deflexión, positiva hacia abajo. B = Ancho de la viga, también designada con bz Utilizando diferencias finitas:

[ ]YYYhYU nnnXX 112´´ 21

+−+−==

[ ]YYYYhYU nnnnXXX 21123´´ 22

21

++−−+−+== −

1 2 3 4 5

h hh h h h h

nn-1

R2 R4 R3 Rn-1 Ri R5 Rn R1

Y1 Y2 Yi Yn


2

Como M = EI Y´´ y V = EIY´´´, para cualquier nodo “n” se tiene:

[ ]YYYhEIM nnnn 112)( 2 +−

+−=

[ ]YYYYhEIV nnnnn 21123)( 222

++−−+−+= −

Analizar la zapata combinada que se muestra en la figura. La columna 1 está sujeta a PD = 75 000 kgf, PL = 35 000 kgf y la columna 2 a PD = 125 000 kgf y PL = 50 000 kgf. El esfuerzo admisible del terreno a nivel del fondo de la cimentación es 2 kgf/cm2, Df = 1.20 m y hf = 1.50 m. Considere un peso promedio del suelo y la cimentación de 2000 kgf/m3 y una sobrecarga de 400 kgf/m2. Otros datos: f´c = 210 kgf/cm2 y fy = 4200 kgf/cm2 Columna 1: 50 cm x 50 cm Columna 2: 65 cm x 65 cm

Carga total sin mayorar (para calcular área requerida): P1 = 75 000 + 35 000 = 110 000 kgf P2 = 125 000 + 50 000 = 175 000 kgf PT = R = P1 + P2 = 285 000 kgf

Lz

B = bz

L

L1

C1 C2

hzDf hf

P1 P2

L1 = 5 m Lv

Lx Lx

P1 P2R


3

R Lx = P1(0.25) + P2(5.825) Lx = 3.67 m Longitud de la zapata Lz = 7.35 m Longitud volada Lv = 1.20 m Capacidad neta del suelo : σn = 16 600 kgf/m2 Ancho de la zapata B = bz = 2.35 m Pu1 = 1.4PD1 + 1.7PL1 = 164 500 kgf Pu2 = 1.4PD2 + 1.7PL2 = 260 000 kgf Reacción neta del suelo por unidad de longitud de zapata Wnu = (Pu1 + Pu2) / Lz = 57 755.10 kgf / m Reacción neta del suelo por unidad de área: wnu = Wnu / bz = 24 576.64 kgf / m2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X1 = 0.25 mX2 = 5.825 m

P1P2

R1 R9R8R7R6R5R4R3R2 R10 R11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X

h

q

h/2 h


4

Tamaño de paso = h = Lz / n = 7.35 m / 10 = 0.735 m

YbYBq zi iββ ==

hYbBhYhqR z 1111 21

21

2ββ ===

10....3,2=== iYhbhqR izii β

BhYhhR β 111111 21

2==

Las ecuaciones para R1 a R11 son:

hYbR z 11 21 β= hYbR z 77 β=

hYbR z 22 β= hYbR z 88 β=



hYbR z 55 β= hYbR z 1111 21 β=

hYbR z 66 β=

ECUACIONES DE EQUILIBRIO Aplicar la siguiente ecuación en cada nodo

[ ]EIMyyy

hU nnnnXX

=+−=+− 112 21

[ ]EIMyyy

hn

nnn=+−

+− 112 21

[ ] MyyyhEI

nnnn=+−

+− 112 2

Haciendo ChEI =2 , se tiene

[ ] MyyyC nnnn

=+−+− 11 2


5

En el nodo 2:

( ) ( ) hRxhPMyyyC 11123212 −−==+−

( ) ( ) yhbxhPyCyCCy z 1

2

11321 212 β−−=+−

Haciendo hbzf 2β= y agrupando términos, se tiene:

( )xhPCyCyyfC 113212

21

−=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + Ec. 1

Procediendo de la misma manera en los nodos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, en este ejemplo, se tienen las siguientes ecuaciones:

( )xhPCyCyyfCyf 114321 22 −=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ Ec. 2

( )xhPCyCyyfCfyyf 1154321 3223

2 −=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++ Ec. 3

( )xhPCyCyyfCfyfyyf 11654321 4232 2 −=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++ Ec. 4

( )xhPCyCyyfCfyfyfyyf 117654321 523425

2 −=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++

=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++++ CyCyyfCfyfyfyfyyf 87654321

223453

= ( )xhP 11 6 − Ec. 6

=+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++++ CyCyyfCfyfyfyfyfyyf 987654321

22345627

= ( )xhP 11 7 − Ec. 7

+−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++++++ CyyfCfyfyfyfyfyfyyf 987654321

22345674

+ ( ) ( )xhPxhPCy 221110 88 −+−= Ec. 8

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++++++ yfCfyfyfyfyfyfyfyyf 987654321 2345678

29


6

( ) ( )xhPxhPCyCy 22111110 992 −+−=+ Ec. 9

Haciendo sumatoria de momentos en el nodo 11 ( )011 =ΣM , se tiene:

=+++++++++ fyfyyffyfyfyfyfyfyyf 10987654321 234567895

( ) ( )xhPxhP 2211 1010 −+−= Ec. 10

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales ( )∑ = 0Y , se tiene:

=++++++++++ fyfyfyyffyfyfyfyfyfyyf 1110987654321 21

21

hPhP 21+= Ec. 11

En forma matricial, el sistema de 11 ecuaciones con 11 incógnitas, (Yi), se escribe así:

AY = P Donde la matriz “A” es

C+½ f -2c +c 0 0 0 0 0 0 0 0 f C + f -2c +c 0 0 0 0 0 0 0

3/2 f 2f C + f -2c +c 0 0 0 0 0 0 2f 3f 2f C + f -2c +c 0 0 0 0 0

5/2 f 4f 3f 2f C + f -2c +c 0 0 0 0 3f 5f 4f 3f 2f C + f -2c +c 0 0 0

7/2 f 6f 5f 4f 3f 2f C + f -2c +c 0 0 4 f 7f 6f 5f 4f 3f 2f C + f -2c +c 0

9/2 f 8f 7f 6f 5f 4f 3f 2f C + f -2c +c 5 f 9f 8f 7f 6f 5f 4f 3f 2f f 0 ½ f f f f f f f f f f ½ f

El vector columna “Y” contiene las 11 incógnitas Y, y el vector “P” los términos independientes tal como se ilustra en la siguiente tabla: P1(h-X1) P1(2h-X1) P1(3h-X1) P1(4h-X1) P1(5h-X1) P1(6h-X1) P1(7h-X1) P1(8h-X1) + P1(8h-X2) P1(9h-X1) + P2(9h-X2) P1(10h-X1) + P2(10h-X2) hP1 + hP2

Cabe aclarar que si se trabaja con “n” estados de carga, tanto “Y” como “P” se convierten en matrices de “n” columnas.

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