Analisis de Varianzas
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ANALISIS DE VARIANZA
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• En muchos experimentos aparecen términos técnicos, tales como factores y respuestas. Por ejemplo en un experimento de comparar varias variedades de maíz, una respuesta puede ser la producción de maíz por parcela mientras los factores son las diferentes variedades de maíz. Por medio del análisis de varianzas es posible probar si las diferentes variedades, o una combinación de esos factores, tienen efectos apreciable sobre la producción de maíz
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CONCEPTOS BASICOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
• EXPERIMENTO: Es cualquier proceso o actividad que da origen a un resultado o a una observación. Las actividades se diseñan de tal forma que el investigador puede manejar por lo menos una variable que le interesa.
Ejemplo: Un experimento diseñado para adquirir información acerca de la efectividad de dos diferentes fertilizantes en la producción de cierta variedad de trigo.
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• VARIABLE INDEPENDIENTE: En un experimento, la variable independiente es aquella que el investigador desea medir su efecto y esta bajo su control.
Ejemplo: Del ejemplo anterior; el experimentador tiene bajo su control la selección de los diferentes fertilizantes que se va utilizar en dicho experimento. La variable independiente es “el fertilizante”
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• VARIABLE DEPENDIENTE: En un experimento, las variables dependientes son todas aquellas variables que son expresadas por el modelo y reflejan el efecto de las variables independientes.
Ejemplo: Del ejemplo anterior; la variable dependiente es “la producción de trigo en cada parcela”
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• VARIABLE EXOGENA: En un experimento, las variables exógenas son todas aquellas variables que explican a la variable dependiente en menor escala que las variable independientes. Generalmente no tienen ninguna importancia para el investigador, como si lo tiene la variable dependiente. El investigador debe controlar estas variables puesto que ocasionan, en el experimento, variaciones que no resultan convenientes.
Ejemplo: Del ejemplo anterior las posibles variables exógenas son “los terrenos de sembríos”, “volumen de los ríos”, etc.
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• TRATAMIENTO: En un experimento, el termino de tratamiento se emplea como sinónimo de variable independiente, esto es, son todas aquellas variables cuyos efectos se desean medir.
Ejemplo: Del ejemplo anterior, los tratamientos son “los tipos de fertilizantes”
• UNIDAD EXPERIMENTAL: Es la entidad mas pequeña a la que se aplica un tratamiento.
Ejemplo: Del ejemplo anterior las unidades experimentales son “las parcelas de terreno”
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• ERROR EXPERIMENTAL: Se denomina error experimental a la medida de la variabilidad de respuesta que presentan las unidades experimentales al ser expuestas al mismo nivel de tratamiento.
Ejemplo: Del ejemplo anterior, “las parcelas de terreno se diferencian tanto en su composición química como en su ubicación”; tales diferencias constituyen el error experimental.
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DISEÑO EXPERIMENTAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE
• El análisis de varianzas de una variable, se puede aplicar al análisis de los datos que resultan de un experimento completamente Aleatorizado.
• El diseño experimental completamente aleatorizado es aquel modelo en las que las unidades experimentales sobre las que se toman las medidas se asignan al azar a los diferentes tratamientos o niveles de variables independientes.
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MODELO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE
TRATAMIENTOS O GRUPOS
1 2 3 ……. K
x11 x12 x13 ….. x1k
x21 x22 x23 ….. x2k
x31 x32 x33 ….. x3k
……………………………………………
xn11 xn22 xn33 …… xnkk
T.1 T.2 T.3 …… T.k
………
……..
x 2.x 1. x 3. x k. mediasx
S2
1. S2
2. S2
3. S k
2
.ianzasS var
2
TotalT
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• Total de las medias de la columnas j
• Media de la medidas de la columna j
• Varianzas de las medias de la columna j
n j
iijj xT
1.
n
x
nT
xj
iij
j
j
j
n j 1.
.
1
.1
2
2
.
)(
n
xxS
j
ij
n
jij
j
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• Total de todas la medidas
• Medias de todas las medidas
• Varianzas de todas las medidas
k
j iij
k
jj
nT
j
xT1 11
.
k
jjj
k
j iij
xnx
nn
n
nT
x
j
1.
1 1 1
1
1
11
2
.1 1
2
2
.
)(
nn
n
ij
k
jjj
k
j i
j
SnxxS
j
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CONTRASTE DE HIPOTESIS EN UN MODELO DE CLASIFICACION DE UNA VARIABLE COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
Paso 1: Hipótesis
Paso 2: Nivel de Significancia
igualessonlastodasNo
u
uHuuuHj
k
:
...:
1
210
10,
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Paso 3: Tabla de análisis de varianzasFuente de
Variación
Suma de Cuadrados Grados
de
Libertad
Cuadrados Medios o
Varianzas
Razón F Calculada
Entre
Tratamientos
k-1
Dentro de los
Tratamientos
(Error)
n-k
Total n-1
nc
cSCTR
T
nTk
j j
j
2
1
2
.
cn
SCT
SCTRSCTSCE
k
j iij
j
x
1 1
2
1kSCTR
CMTR
knSCE
CME
CMECMTR
F CAL
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Paso 4: Región Critica
F knk ),1(,
FF knkCalC
),1(,
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Paso 5: Se rechaza Ho y concluimos de que hay
diferencias entre las medias y por lo tanto hay influencias de los tratamientos sobre la variable analizada.
FFSi knkCal ),1(
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DISEÑO EXPERIMENTAL EN BLOQUES ALEATORIZADOS
• Es aquel modelo en que las unidades experimentales sobre las que se toman las medidas se asignan al azar a los diferentes niveles de tratamientos y bloques, donde los bloques son subgrupos homogéneos con relación ala variable exógena cuyos efectos se desea eliminar.
• El diseño es completo en el sentido de que cada tratamiento aparece en cada bloque.
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MODELO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO DE UNA VARIABLE
BLOQUE
TRATAMIENTOSTOTAL DE
BLOQUES
MEDIA DE
BLOQUE
VARIANZA
DE BLOQUE1 2 3 … K
123…L
x11 x12 x13 … x1k
x21 x22 x23 ... x2k
x31 x32 x33 … x3k
… … … …
xL1 xL2 xL3 … xLk
T1.
T2.
T3.
…
TL.
… …
Total de Tratamientos
T.1 T.2 T.3 … T.k
Media de Tratamiento
…
Varianza de Tratamiento
…
x 2.x 1. x 3. x k. x
S2
.1
S2
2. S2
3. S k
2
.
T
x .2
x .3
xL.
S2
1.
S2
.2
S L
2
.
S2
.3
x .1
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• Total de las medidas de la columnas j
• Total de las medidas de la fila i
• Media de la medidas de la columna j
kjL
iijj xT ...,,2,1
1.
kjLL
L
iij
j
j
xTx ...,,2,11.
.
Lik
jiji xT ...,,2,1
1.
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• Media de la medidas de la fila i
• Varianzas de las medias de la columna j
• Varianzas de las medias de la fila ikj
L
jijL
ij
xxS ...,,2,1
1
.1
2
2
.
)(
Lik
iij
k
j
i
xxS ...,,2,1
1
.1
2
2
.
)(
Likk
k
jij
ii
xTx ...,,2,11..
![Page 21: Analisis de Varianzas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052509/563dbad9550346aa9aa89464/html5/thumbnails/21.jpg)
• Total de todas la medidas
• Medias de todas las medidas
k
j
L
iij
k
jj xTT
1 11.
k
jj
k
j
L
iij
xx
Lnnn
Tx
1.
1 1 1
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CONTRASTE DE HIPOTESIS EN UN MODELO DE CLASIFICACION DE UNA
VARIABLE EN BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
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• PASO 1: Formulación de Hipótesis Medias poblacionales de los tratamientos son
distintos, se considera la prueba:
Medias poblacionales de los bloques son
distintos, se considera la prueba:
• PASO 2: Nivel de Significancia α
kjigualessonlastodasNo
u
uHuuuHj
T
k
T
...,,2,1:
...:
.1
.2.1.0
LiigualessonlastodasNo
u
uHuuuHi
B
L
B
...,,2,1:
...:
.1
..2.10
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• PASO 3: Construcción de la Tabla ANAVAFuente de
Variación
Suma de Cuadrados Grados de
Libertad
Cuadrados Medios o
Varianzas
Razón F Calculada
Entre
Tratamientos
k-1
Entre Bloques L-1
Error
(L-1)(k-1)
Total
1kSCTR
CMTR
1LSCBL
CMBL
)1)(1(
kLSCE
CME
CMECMTR
FT
CAL
CMECMBL
FB
CALSCBLSCTRSCTSCE
ck
SCBL
L
iiT
1
2
.
cL
SCTR
k
jjT
1
2
.
nc T
2
cSCTL
i
k
jijx
1 1
2
![Page 25: Analisis de Varianzas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052509/563dbad9550346aa9aa89464/html5/thumbnails/25.jpg)
• PASO 4: Región Critica Región Critica para contrastar los efectos de
los tratamientos, es dado por:
Región Critica para contrastar los efectos de los bloques, es dado por:
FFFC LkkTAB
T
CAL
T
))1)(1(,1(,
FFFC LkLTAB
B
CAL
B
))1)(1(,1(,
![Page 26: Analisis de Varianzas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052509/563dbad9550346aa9aa89464/html5/thumbnails/26.jpg)
• PASO 5: Conclusión: Medias de los tratamientos Se rechaza Ho si y se concluye que hay
diferencias entre las medias de tratamientos y consecuentemente hay influencias de los tratamientos sobre la variable analizada
No se rechaza Ho si y se concluye con un riesgo de α de que el factor tratamiento no causa efecto en la variable dependiente
FF TAB
T
CAL
FF TAB
T
CAL
![Page 27: Analisis de Varianzas](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052509/563dbad9550346aa9aa89464/html5/thumbnails/27.jpg)
Conclusión: Medias de los Bloques Se rechaza Ho si y se concluye que
hay diferencias entre las medias de los bloques y consecuentemente hay influencias de los bloques sobre la variable en estudio.
No se rechaza Ho si y se concluye con un riesgo de α de que el factor bloque no causa efecto a la variable dependiente
FF TAB
B
CAL
FF TAB
B
CAL