Analisis de varianza.pdf

13.1 INTRODUCCI6N

13.2 ESCALAS DE MEDICI6N

13.3 PRUEBA DEL SIGNO

13.4 PRUEBA DE JERARQuIA SIGNADA DE WILCOXON PARA UBICACI6N

13.5 PRUEBA DE LA MEDIANA

13.6 PRUEBA DE MANN-WHITNEY

13.7 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

,

13.1 INTRODUCCION

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

ANA.LlSIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA POR JERARQuiAs DE KRUSKAL-WALLIS

ANA.LISIS BILATERAL DE LA VARIANCIA POR JERARQUiAS DE FRIEDMAN

COEFICIENTE DE CORRELACI6N POR JERARQuIAs DE SPEARMAN

ANA.LlSIS DE REGRESI6N NO PARAMETRIC 0

RESUMEN

Los procedimientos de inferencia estadfstica estudiados hasta este momenta se clasifican como estadisticas parametricas. La unica excepci6n es el uso de jicuadrada en la prueba de bondad de ajuste y en la prueba de independencia. Estos usos de ji-cuadrada se clasifican como estadisticas no parametncas.

Ahora la pregunta obvia es: ~cual es la diferencia? Para responder, es necesario recordar la naturaleza de los procedimientos de inferencia clasificados como parametricos. En cada situaci6n, el objetivo consistfa en estimar 0 probar una hip6tesis acerca de uno 0 mas parametros de la poblaci6n. Ademas, el elemento fundamental de estos procedimientos fue el conocimiento de la forma funcional de la distribuci6n de la poblaci6n de la cual se extrajeron las muestras que proporcionaron la base para la inferencia.

Un ejemplo de una prueba estadfstica parametrica es la ampliamente utilizada prueba t. Los usos mas comunes de esta prueba son los de probar una hip6tesis acerca de la media de una sola poblaci6n 0 la diferencia entre las medias de dos poblaciones. Una de las suposiciones que fundamentan el uso valido de esta prueba es que la poblaci6n 0 poblaciones de donde proceden las muestras tienen, al menos, una distribuci6n aproximadamente normal.

658

659 13.2 ESCALAS DE MEDICION

En este capitulo se estudian procedimientos que no se centran en panimetros de poblacion ni dependen del conocimiento de la poblacion de la que se extraen las muestras. Estrictamente hablando, solo aquellos procedimientos que prueban hipotesis que no son afirmaciones acerca de los parametros de la poblacion, se clasifican como no parametricos, mientras que a aquellos que no hacen suposicion alguna acerca de la poblacion de la cual se extraen las muestras, se les conoce como procedimientos de libre distribucion. Pese a esta diferencia, se acostumbra utilizar los terminos no parametrico y de libre distribuciOn indistintamente y analizar los diversos procedimientos de ambos tipos bajo el titulo de estadisticas no parametricas. A partir de aqui se seguira este uso convencional.

Lo expuesto anteriormente implica las dos siguientes ventajas de las estadfsticas no parametricas.

1. Permiten la prueba de hipotesis que no son afirmaciones acerca de los valores de los parametros de la poblacion. Algunas pruebas de ji-cuadrada de bondad de ajuste y de independencia son ejemplos de pruebas que tienen estas ventajas.

2. Las pruebas no parametricas pueden utilizarse cuando se desconoce la

distribucion de la poblacion de la cual se extraen las muestras.

3. Los procedimientos no parametricos son mas faciles de calcular y, en consecuencia, se aplican con mayor rapidez que los procedimientos parametricos. Esta puede ser una caracteristica conveniente en ciertos casos, pero cuando el tiempo no es un factor importante merece poca priori dad como criterio para elegir una prueba no parametrica.

4. Los procedimientos no parametricos pueden aplicarse cuando los datos que sirven para el analisis constan simplemente de categorias 0 clasificaciones. Es decir, los datos pueden no estar basados en una escala de medicion 10 suficientemente solida como para permitir las operaciones aritmeticas necesarias para llevar a cabo los procedimientos parametricos. EI tema de las escalas de medicion se analiza con mas detalle en la siguiente seccion. Aunque las estadfsticas no parametricas tienen ciertas ventajas, tambien

deben reconocerse sus desventajas. 1. El uso de procedimientos no parametricos con datos que pueden manejarse

con un procedimiento parametrico produce un desperdicio de informacion. 2. La aplicacion de algunas de las pruebas no parametricas puede ser muy

laboriosa para muestras grandes.

13.2 ESCAIAS DE MEDICION

En la seccion anterior se menciona que una de las ventajas de los procedimientos estadisticos no parametricos es que pueden utilizarse con datos basados en una escala de medicion debil. Para comprender completamente el significado de esta afirmacion, es necesario conocer 0 entender el significado de medicion y de las

660 CAPITULO 13 ESTADISTICA NO PARAMETRICA

diversas escalas de medici6n que se utili zan con mas frecuencia. El lector puede consultar el capitulo 1 donde se estudian las escalas de medici6n.

Muchas autoridades en la materia opinan que las pruebas estadisticas diferentes requieren distintas escalas de medici6n. Aunque se crea que en la practica se sigue esta idea, existen puntos de vista alternativos.

13.3 PRUEBA DEL SIGNO

La prueba t, estudiada en los capitulos anteriores, no es estrictamente valida para probar: 1) la hip6tesis nul a de que la media de una poblaci6n es igual a alglin valor en particular, 0 bien, 2) la hip6tesis nula de que la media de una poblaci6n de diferencias entre pares de medicinas es igual a cero, a menos que las poblaciones en cuesti6n sigan una distribuci6n normal. El casu 2 se reconocera como una situaci6n que se analiza mediante la prueba de comparaci6n por parejas en el capitulo 7. Cuando no es posible hacer suposiciones de normalidad 0 cuando los datos disponibles son categorfas en lugar de medidas sobre una escala de intervalos 0 de razones, debe buscarse un procedimiento opcional. Aun cuando se sabe que la prueba t es casi insensible a las violaciones de la suposici6n de normalidad, hay casos en que resulta preferible una prueba alternativa.

Una prueba no parametrica que se utiliza con frecuencia y que no depende de los supuestos de la prueba t es laprueba del signo. Estaprueba se centra en la mediana mas que en la media como una medida de tendencia central 0 de ubicaci6n. La mediana y la media seran iguales en distribuciones simetricas. La unica suposicion que fundamenta la prueba es que la distribuci6n de la variable de interes es continua. Esta suposici6n excluye el uso de datos nominales.

La prueba del signo toma su nombre del hecho de que los signos mas y menos, y no los valores numericos, proporcionan los datos utilizados en los calculos. Se ilustrara el uso de esta prueba primero en el casu de una sola muestra y, a continuaci6n, mediante un ejemplo que implique muestras por parejas.

EJEMPLO 13.3.1 Los investigadores desean saber si al instruir en cuidados y aseo personal a una muestra de niiias con retraso mental mejorarfa su apariencia. Se eligi6 aleatoriamente a 10 niiias de una escuela para niiios con retraso mental, para que recibieran educacion especial sobre cuidado y aseo personal. Dos seman as despues de conduir el curso de instrucci6n, las niiias fueron entrevistadas por una enfermera y una trab.yadora social, quienes asignaron a cada niiia una calificaci6n basada en su apariencia general. Los investigadores creian que, como maximo, las calificaciones alcanzarfan el nivel de una escala ordinal. Crefan que aunque una calificacion de, digamos 8, representaba una apariencia mejor que una de 6, no podfan decir que la diferencia entre las calificaciones de 6 y 8 era igual a la diferencia entre las calificaciones 8 y 10, 0 bien, que la diferencia entre las calificaciones de 6 y 8 representaba el doble de mejora que la diferencia entre las calificaciones 5 y 6. Las calificaciones se muestran en la tabla 13.3.1. Se desea saber si es posible conduir que la calificaci6n mediana de la poblaci6n de la que se supone se extrajo la muestra es diferente de 5.

661 13.3 PRUEBA DEL SIGNO

TABLA 13.3.1 Caliticaciones de apariencia general de 10 ninas con reu'aso mental

Nina Calificaci6n

1 4 2 5 3 8 4 8 5 9

Nina Calificaci6n

6 6 7 lO 8 7 9 6

10 6

Soluci6n:

1. Datos. Ver el planteamiento del problema.

2. Supuestos. Se supone que las mediciones se tomaron para una variable continua.

3, Hip6tesis.

Ho: la mediana de la poblaci6n es 5.

HA: la mediana de la poblaci6n es diferente de 5.

Sea 0: =.05.

4. Estadistica de prueba. La estadistica de prueba para la prueba del signo es el numero observado de signos mas 0 de signos menos. La naturaleza de la hip6tesis alternativa determina cual de estas estadisticas de prueba es conveniente. En una prueba dada, cualquiera de las siguientes hip6tesis alternativas puede ocurrir.

HA: P( +) > PH alternativa unilateral H A : P(+) < P(-) alternativa unilateral HA : P(+) *- P(-) alternativa bilateral

Si la hip6tesis alternativa es

un numero suficientemente pequeno de signos menos causa el rechazo de Ho' La estadistica de prueba es el numero de signos menos. En forma analoga, si la hip6tesis alternativa es

un numero suficientemente pequeno de signos mas causa el rechazo de Ho' La estadistica de prueba es el numero de signos mas. Si la hip6tesis alternativa es:


un numero suficientemente pequeno de signos menos 0 signos mas causa el rechazo de la hip6tesis nula. Se puede tomar como estadfstica de prueba al signo que ocurra con menor frecuencia.

5. Distribuci6n de la estadistica de prueba. EI primer paso para determinar la naturaleza de la estadfstica de prueba es analizar la tabla 13.3.1 para establecer cuales calificaciones caen arriba y cuales abajo de la mediana supuesta de 5. Si el signo mas se asigna a las calificaciones que caen arriba de la mediana supuesta y el signa menos a las que caen por abajo, se obtienen los resultados que se muestran en la tabla 13.3.2.

Si la hip6tesis nula fuera verdadera, esto es, si en efecto la mediana fuera 5, se esperarfa que el numero de calificaciones que caen por arriba y por abajo de 5 fuera casi igual. Esta forma de razonamiento sugiere otra manera en la que podrfa haberse enunciado la hip6tesis nuIa, a saber, que la probabilidad de un signo mas es igual a Ia probabilidad de un signo menos. Estas probabilidades son, cada una, iguales a .5. Simb61icamente, la hip6tesis seria

En otras palabras, se espera casi el mismo numero de signos mas que de signos menos en la tabla 13.3.2 cuando Ho es verdadera. La observaci6n de esta tabla revela una preponderancia de signos mas; especfficamente, se observan ocho signos mas, un signa menos y un cero, el cual se asigno a la calificacion que cayo exactamente en la mediana. El procedimiento habitual para manejar los ceros es eliminarlos del analisis y, en consecuencia, reducir n, el tamano de la muestra. Si se sigue este procedimiento, el problema se reduce a nueve observaciones, de las cuales ocho son signos mas y una es menos.

Dado que el numero de signos mas y menos no es el mismo, uno se pregunta si la distribucion de los signos es suficientemente desproporcionada como para arrojar alguna duda sobre la hipotesis. Dicho de otra forma, Ia pregunta es si este pequeno numero de signos menos pudo ser unicamente resultado del azar cuando la hip6tesis nula es verdadera, 0 bien, si el numero es tan pequeno que un elemento que no es el azar (es decir, una hip6tesis nula falsa) es responsable de los resultados.

TABlA 13.3.2 Calificaciones pOl' arriba (+) y pOl' abajo (-) de la mediana hipotetica basada en los datos del ejemplo 13.3.1 Nina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificaci6n 0 + + + + + + + + relativa a Ia mediana hipotetica


Con base en 10 expuesto en el capitulo 4, parece razonable concluir que las observaciones de la tabla 13.3.2 constituyen un conjunto de n variables aleatorias independientes de una poblaci6n de Bernoulli con parametro p. Si k es igual a la estadistica de prueba, la distribuci6n muestral de k es la distribuci6n binomial de probabilidad con parametro p .5, si la hip6tesis nula es verdadera.

6. Regia de decision. La regIa de decisi6n depende de la hip6tesis alternativa.

Para H A: P(+) > P(-) se rechaza HQ, cuando Ho es verdadera, si la probabilidad de observar k 0 menos signos menos es menor 0 igual que a.

Para H A : P( +) < P(-) se rechaza Ho' cuando Ho es verdadera, si la probabilidad de obtener k 0 menos signos mas es menor 0 igual que a.

Para HA : P( +)"* P(-) se rechaza Ho' cuando Ho es verdadera, si la probabilidad de obtener un valor de k tan extrema 0 mas que el valor calculado es igual menor que a/2.

Para este ejemplo, la regIa de decisi6n es rechazar Ho' Si el valor p de la estadfstica de prueba es menor igual que .05.

7. Calculo de la estadistica de prueba. Es posible determinar la probabilidad de observar x 0 menos signos menos, cuando esta dada una muestra de tamano n y parametro p, mediante la evaluaci6n de la siguiente expresi6n:

P(k ~ x In, P) = t"Ckpkq,,-k (13.3.1) k=O

Para este ejemplo se calcula

8. Decisi6n estadistica. En la tabla B del apendice se encuentra

P(k ~x 119, .5) = 0.195 Con una prueba bilateral, un numero suficientemente pequeno

de signos menos 0 signos mas puede provo car el rechazo de la hip6tesis nula. Ya que, en el ejemplo, se tiene un menor numero de signos menos, la atenci6n se centra en estos mas que en los signos mas. AI asignar a a el valor .05, se dice que si el numero de signos menos es tan pequeno que la probabilidad de observar tan pocos, 0 incluso menos, es menor que .025 (la mitad de a), se rechaza la hip6tesis nula. La probabilidad calculada .0195, es menor que .025. Por 10 tanto, se rechaza la hip6tesis nula.


9. Conclusion. Se concluye que la calificaci6n mediana no es 5. 10. Valor de p. Para esta pmeba el valor de pes 2(.0195) =.0390.

Prueba del signo para parejus de datos Cuando los datos que van a analizarse constan de observaciones por parejas y no se satisfacen los supuestos que fundamentan la pmeba t, 0 la escala de medicion es debil, puede utilizarse la pmeba del signo para probar la hipotesis nula de que la mediana de las diferencias es igual a O. Una forma alternativa de enunciar la hip6tesis nula es la siguiente:

De las calificaciones por parejas, se toma una, por ejempl0 y" y se resta de la otra calificaci6n Xi" Si Y, es menor que Xi' el signo de la diferencia es +, y si Y, es mayor que Xi' el signo de la diferencia es -. Si la mediana de las diferencias es 0, se esperaria que una pareja seleccionada al azar tuviera exactamente la misma probabilidad de dar un signo + 0 - cuando se hace la resta. Puede enunciarse la hip6tesis nula como sigue:

Ho: P(+) = PH = .5 En una muestra aleatoria formada por parejas, se esperarfa que el numero de signos + y sea casi igual. Si existen mas signos + 0 - que los que pueden atribuirse unicamente al azar, cuando la hipotesis nula es verdadera, se tendran ciertas dudas acerca de la veracidad de la hip6tesis nula. Mediante la prueba del signo, es posible determinar cuantos signos de uno u otro tipo son mas de los que pueden atribuirse unicamente al azar.

FJEMPLO 13.3.2 Un equipo de investigaci6n dental querfa saber si ensefiar a la gente a cepillarse los dientes serfa benefico. Se formaron doce parejas de pacientes de una clinica dental, con igualdad en factores como edad, sexo, inteligencia y calificaciones iniciales de higiene bucal. Un miembro de cada pareja recibi6 instrucci6n acerca de la forma de cepillarse los dientes y otros temas de higiene bucal. Seis meses despues, los 24 individuos fueron examinados y se les asigno una calificaci6n de higiene bucal mediante el examen de un especialista en la materia, quien ignoraba cuales personas hahfan recibido la instrucci6n. Una calificacion baja indica un alto nivel de higiene bucal. Los resultados se muestran en la tabla 13.3.3.

Solucion: 1. Datos. Vease el planteamiento del problema. 2. Supuestos. Se supone que la poblacion de diferencias entre los

pares de calificaciones es una variable continua. 3. HipOtesis. Si las instrucciones producen efectos beneficos, este he

cho se reflejara en las calificaciones asignadas a los miembros de cada par. Si se toman las diferencias entre Xi - Y" es de esperarse que haya mas signos - que signos + si la instrucci6n resulta benefica, pOIque


TABlA 13.3.3 Calificaciones de higiene bucal de 12 individuos que recibieron instrucciones de higiene buca1 (Xi) y 12 individuos que no recibieron instrucciones (Y,)

Calificacion

Numero Con instruccion Sin instruccion de pareja (X) (1')

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

1.5 2.0 3.5 3.0 3.5 2.5 2.0 1.5 1.5 2.0 3.0 2.0

2.0 2.0 4.0 2.5 4.0 3.0 3.5 3.0 2.5 2.5 2.5 2.5

una calificaci6n baja indica un nivel mayor de higiene bucal. Si, en efecto, la instrucci6n es benefica, la mediana de la poblaci6n supuesta de todas las diferencias serla menor que 0, es decir, negativa. En caso contrario, si la capacitaci6n no tiene efectos, la mediana de esta poblaci6n seria cero. Las hip6tesis nula y alternativa son, por 10 tanto:

Ho: la mediana de las diferencias es cero [P( +) = P(-I)J. H A : la mediana de las diferencias es negativa [P( +) < P(-)].

Seaa = .05.

4. Estadistica de prueba. La estadistica de prueba es el numero de signos +.

5. Distribucion de la estadistica de prueba. La distribuci6n muestral de k es a una distribuci6n binomial con parametros n y .5 si Ho es verdadera.

6. Regia de decision. Se rechazaH si P(k:5 2 I 11, .5):5 .05. o 7. Calculo de la estadistica de prueba. EI procedimiento es identico

al que se utiliza para una sola muestra, una vez que se obtienen las diferencias para cada par. AI efectuar las restas, se obtienen los resultados que aparecen en la tabla 13.3.4.


.TABLA 13.3.4 Signos de las diferencias ~ - ~) en las calificaciones de higiene bucal de 12 individuos con inst.uccion

~) y 12 individuos sernejantes sin instruccion (~) Pareja 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 Signo de la diferencia o + +

de calificaciones

La naturaleza de las hipotesis indica una prueba unilateral, por 10 que la totalidad de ex = .5 esta asociada con la region de rechazo, que se compone de todos los valores de k (donde k es igual al numero de signos +) para los que la probabilidad deobtener una cantidad igualo menor de signos + atribuible al azar, cuando Ro es verdadera, es menor 0 igual que .05. En la tabla 13.3.4 se aprecia que el experimento proporciona un cero, dos signos mas y nueve signos menos. Si se elimina el cero, el tamano real de la muestra es n = 11 con dos signos + y nueve signos -. En otras palabras, puesto que un numero "pequeno" de signos + causa el rechazo de la hipotesis nula, el valor de la estadistica de prueba es k = 2.

8. Decision estadistica. Lo que se pretende es conocer la probabilidad de tener no mas de dos signos + en las once pruebas, cuando la hipotesis nula es verdadera. La respuesta se obtiene al evaluar la expresion binomial adecuada. Para este ejemplo se tiene

P(k::; 2111, .5)= L2 llCk(5)k(.5)11-k k=O

AI consultar la tabla B, se obtiene una probabilidad de.0327. Puesto que .0327 es menor que .05, es posible rechazar a Ro.

9. Conclusion. Se concluye que la mediana de las diferencias es negativa. Esto es, se concluye que la capacitacion es benefica.

10. Valor de p. Para esta prueba, p =.0327. Prueba del signo con tablas "mayores que" Como se ha demostrado, la prueba del signo puede emplearse con una sola muestra 0 con dos de ellas, en las que cada miembro de una de las muestras se une con uno de los miembros de la otra para formar una muestra por parejas. Tambien se ha visto que la hipotesis alternativa puede conducir a una prueba unilateral 0 a una prueba bilateral. En cualquier caso, la atencion se centra en el signa menos frecuente y se calcula la probabilidad de obtener un numero menor 0 igual de signos de este tipo.

Se utiliza el signo que se presenta con menos frecuencia como estadistica de prueba debido a que las probabilidades binomiales de la tabla B son probabilidades "menores 0 iguales que". AI utilizar el signa menos frecuente, es posible obtener la


probabilidad directamente de la tabla B sin tener que hacer restas. Si las probabilidades de la tabla B fueron "mayores 0 iguales que", como las que suelen darse en las tablas de la distribucion binominal, se utilizada como estadistica de prueba el signo mas frecuente, para aprovechar la conveniencia de obtener directamente la probabilidad deseada sin tener que hacer resta alguna. De hecho, en estos ejemplos podric: utilizarse como estadistica de Hrueba el signa mas frecuente, pero dado que Ia tabla B contiene probabilidades "menores 0 iguales que", se tendda que hacer una resta para obtener la probabilidad deseada. Considere el ultimo ejemplo. Si se utiliza como estadistica de prueba el signo mas frecuente, que es el signo -, el valor de la estadistica es 9. Asi, la probabilidad deseada es de 9 0 mas signos -, cuando n

11 yP = .5. Es decir, se necesita:

P(k? 9 I 11, .5) Sin embargo, dado que la tabla B contiene probabilidades "menores 0 iguales que", debe obtenerse esta probabilidad mediante resta. Es decir,

P(k ? 9 I 11, .5) = 1 - P(k s 8 I 11, .5) 1 .9673

= .0327

que es el resultado obtenido anteriormente.

Tomano de la muestra En el capitulo 5 se estudia que, cuando el tamano de la muestra es grande ypesta cercano a .5, la distribucion binomial puede ser aproximada por la distribucion normaL La regIa empirica utilizada dice que la aproximacion normal es conveniente cuando np y nq son mayores que 5. Cuando p .5, como se establece en las hipotesis de los ejemplos estudiados, una muestra de tamano 12 puede satisfacer la regIa empirica. Siguiendo este razonamiento, puede utilizarse la aproximacion normal cuando se usa la prueba del signo para probar la hipotesis nula de que Ia mediana 0 la mediana de las diferencias es 0 y n es mayor o igual que 12. Dado que el procedimiento implica la aproximacion de una distribucion continua mediante una distribuci6n discreta, en general, se utiliza la correccion de continuidad de .5. Por 10 tanto, la estadistica de prueba es

(k.5)-.5nz = -'----'-;=~- (13.3.2)

.5-fr; Ia cual se compara contra el valor de z a partir de la distribucion normal estandar correspondiente al nivel de significacion escogido. En la ecuacion 13.3.2, k + .5 se utiliza cuando k < n/2, y k .5 se utiliza cuando k > n/2.

Antilisis por oomputaoora Muchos paquetes de software estadfstico aplican la prueba del signo. Por ejemplo, si se utiliza el paquete MINITAB para aplicar la prueba del signa para el ejemplo 13.3.1, donde los datos estan almacenados en la columna 1, el procedimiento y los resultados sedan como los que se muestran en la figura 13.3.1.

668 CAPITULO 13 ESTADiSTICA NO PARAMETRICA

Datos:

C1: 4 5 8 8 9 6 10 7 6 6

Caja de dialogo: Comandos de la sesi6n:

Stat >- Nonparametrics >- 1 -Sample Sign MTB > STest 5 C1i SUBC> Alternative O.

Teclear CI en Variables. Seleccionar Test median y teclear 5 en la caja de texto. Clic OK.

Resultados:

Prueba de signo para la mediana

Sign test of median = 5.00 versus N.E. 5.000

N BELOW EQUAL ABOVE P-VALUE MEDIAN C1 10 1 1 8 0.0391 8.000

FIGURA 13.3.1 Procedimiento MINITAB Y resultados para el ejemplo 13.3.1.

F-JERCICIOS

13.3.1 Una muestra aleatoria de 15 estudiantes de enfermerfa present6 los siguientes resultados despues de una prueba para medir sus niveles de autoritarismo:

Numerode Calificaci6n estudiante de autoritarismo

1 2 3 4 5 6 7 8

75 90 85

llO 115 95

132 74

Numerode Calificaci6n estudiante de autoritarismo

9 82 10 104 11 88 12 124 13 llO 14 76 15 98

Pruebe en el nivel de significaci6n de .05 la hip6tesis nula que indica que la mediana de la calificaci6n para la poblaci6n de la que se extrae la muestra es 100, y determine el valor de p.

13.3.2 EI prop6sito de un estudio realizado por Vaubourdolle et ai. (A.1 ) era investigar la influencia de la dihidrostestosterona (DHT) liberada a traves de la piel en la velocidad de eliminaci6n de etanol del plasma, para determinar si el efecto de inhibici6n de la DHT sobre la actividad

669 13.4 PRUEBA DE JERARQUiA DE WILCOXON

de la deshidrogenasa del alcohol ocurria en hombres sanos. Los individuos eran 10 hombres sanos que voluntariamente participaron en el estudio, con edades entre 25 y 44 aftos. Entre los datos que se recolectaron estan las siguientes concentraciones de testosterona (T) (nmoW) antes y despues del tratamiento con DHT:

Individuo: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes: 21.5 23.0 21.0 21.8 22.8 14.7 21.0 23.4 20.0 29.5 Despues: 9.4 17.2 13.0 6.4 4.8 4.5 10.7 15.6 12.5 7.7 FUENTE: M. VaubourdoIIe. J. Guechot, O. ChazouiIIeres, R. E. Poupon y J. Giboudeau, "Effect of Dihydrotestosterone on the Rate of Ethanol Elimination in Healthy Men", Alcoholism: Clinical and Experimental Research, 15 (No.2). 238-240. Copyrigth, The Research Society of Alcoholism. Con base en estos datos, ~es posible conduir que el tratamiento con DHT reduce las concentraciones de testosterona en hombres sanos? Sea a. = .01.

13.3.3 Una muestra de 15 pacientes con asma particip6 en un experimento para estudiar los efectos de un nuevo tratamiento sobre la funci6n pulmonar. Una de las mediciones que se registraron fue la de vohimen espiratorio forzado (litros) en 1 segundo (VEF j ) antes y despues de la aplicaci6n del tratamiento. Los resultados son los siguientes:

Individuo Antes Despues

1 2 3 4 5 6 7 8

1.69 1.69 2.77 2.22 1.00 3.07 1.66 3.35 3.00 3.00

.85 2.74 1.42 3.61 2.82 5.14

Individuo Antes Despues

9 10 11 12 13 14 15

2.58 2.44 1.84 4.17 1.89 2.42 1.91 2.94 1.75 3.04 2.46 4.62 2.35 4.42

Con base en estos datos, 13.4 PRUEBA DE JERARQuIA SIGNADA DE WILCOXON PARA UBICACION

En algunos casos se desea probar una hipotesis nula con respecto a la media de la poblacion, pero, por alguna razon, z y t resultan inadecuadas como estadisticas de prueba. Se exc1uye la estadistica z cuando se tiene una muestra pequena (n < 30) de una poblaci6n que a simple vista parece seguir una distribuci6n no normal y el teorema dellfmite central no es aplicable. La estadfstica t no es conveniente porque la distribucion de la poblaci6n de la que se extrae la muestra no se aproxima 10 suficiente a la normalidad. Cuando se presentan tales situaciones, normalmente se busca un procedimiento estadistico no parametrico. Como se ha visto, la prueba del signo puede utilizarse cuando los datos conforman una muestra simple 0 cuando se

670 CAPiTULO 13 ESTADISTICA NO PARAt'\1f~TRICA

presentan en pares. Sin embargo, si los datos para el amilisis son medidos al menos en una escala de intervalos, la prueba del signo tal vez no sea aconsejable pOI'que podrfa desperdiciarse mucha informaci6n contenida en los datos. Un procedimiento mas adecuado puede ser la prueba de jerarquia signada de Wilcoxon (1), la cual utiliza las magnitudes de las diferencias entre las medici ones y un supuesto parametro de ubicacion en lugar de (micamente los signos de las diferencias. Supuestos La prueba de Wilcoxon para ubicaci6n se basa en las siguientes suposiciones sobre los datos. 1. La muestra es aleatoria. 2. La variable es continua, 3. La poblacion se distribuye simetricamente alrededor de su media f.l. 4. La escala de medici6n es al menos de intervalos.

Hipotesis Las siguientes hip6tesis son hip6tesis nulas Gunto con las hipotesis alternativas) que pueden probarse para alguna media de poblacion no conocida f.lo'

a) Ho : f.l f.lo b) Ho : f.l ~ f.lo c) Ho : f.l:S; f.lo HA : f.let: f.lo HA :f.lf.lo

Cuando se utiliza el procedimiento de Wilcoxon se llevan a cabo los siguientes caIculos:

1. Se resta la media hipott~tica f.lo de cada observacion Xi para obtener

dSi cualquier Xj es igual a la media, de modo que d; = 0, entonces se elimina a j del calculo y se reduce, por consiguiente, la n.

2. Se ordenan las jerarqufas con las dj utilizables de menor a mayor sin considerar el signo de d Es decir, solo se considera el valor absoluto de dj , designado porrId;l, al establecer lasjerarquias con estos elementos. Sidos 0 mas valores de Idj I son iguales, a cada uno de enos se Ie asigna la media de las posiciones jerarquicas que ocupan los valores iguales. Si, por ejemplo, los tres mas pequenos son iguales, se les coloca en las posiciones 1, 2 y 3 dentro de las jerarquias, pero a cada uno se Ie asigna unajerarquia de (l + 2 + 3)/3= 2.

3. A cada jerarquia se Ie asigna el signa de la d j que produjo esa jerarqufa. 4. Se encuentra T+, que es la suma de lasjerarquias con signa positivo, y T_, que

es la suma de las jerarquias con signa negativo. Prueba estadi..~tica La estadistica de Wilcoxon es T+ 0 dependiendo de la naturaleza de la hip6tesis alternativa. Si la hipotesis nula es verdadera, es decir, si la media verdadera de la poblacion es igual a la media hipotetica, y si las suposiciones se cumplen, la probabilidad de observar una diferencia positiva dj = Xi - f.lo de una magnitud dada es igual a la probabilidad de observar una diferencia negativa de la misma magnitud, Entonces, al repetir el muestreo, cuando la hip6tesis nula es

671 13.4 PRUEBA DE JERARQUIA DE WILCOXON

verdadera y las suposiciones se cumplen, el valor esperado de T+ es igual al valor esperado de T_. No es de esperarse que los valores de T+ y calculados a partir de una muestra dada sean iguales. Sin embargo, cuando Ho es verdadera, no se espera gran diferencia en sus valores. En consecuencia, un valor suficientemente pequeno de T+ 0 T_ causa el rechazo de Ho'

Cuando la hipotesis alternativa es bilateral (1-1 =1= flo)' un valor suficientemente pequeno de T+ 0 T_ causa el rechazo de Ho: fl = flo' La estadfstica de prueba, entonces, sera T+ 0 T_, cualquiera que sea el mas pequeno. Para simplificar la notaci6n, al mas pequeno de los dos valores se Ie Hamara T.

Cuando Ho: fl;::': flo es verdadera, se espera que la muestra proporcione un valor grande de T+. Por 10 tanto, cuando la hipotesis alternativa unilateral establece que la media verdadera de la poblaci6n es menor que la media hipotetica (fl < flo)' un valor suficientemente pequeno de T+ causa el rechazo de H ' YT + es la estadfstica de prueba.o

Cuando Ho: fl ~ flo es verdadera, se espera que la muestra proporcione un valor grande de T_. Por 10 tanto, para la hip6tesis alternativa unilateral HA : fl > flo, un valor suficientemente pequeno de T_ causa el rechazo de H ' y T_ es la estadistica o de prueba.

Valores criticos Los valores criticos de la estadistica de prueba de Wilcoxon se encuentran en la tabla K del apendice. Los niveles exactos de probabilidad (P) se dan con cuatro decimales para todos los totales posibles de las jerarqufas (T) que proporcionan un nivel diferente de probabilidad en el cuarto decimal de 0.000 I hasta 0.5000. Los totales de lasjerarqufas (T) se tabulan para todas las muestras de tamano n = 5 hasta n 30. A continuacion se enuncian las reglas de decision para las tres hipotesis alternativas:

a) HA : 1-1 =1= 1-10, Se rechaza H 0 en un nivel de significacion a, si el valor calculado de T es menor 0 igual al valor T tabulado para n y una aJ2 preseleccionada. Alternativamente se puede consultar la tabla K con n y el valor calculado de T para ver si el valor P tabulado asociado con el valor calculado de T es menor o igual al nivel de significacion establecido. Si es asi, es posible rechazar H ' o

b) HA : 1-1 < 1-10, Se rechaza Ho en un nivel de significacion a, si T+ es menor 0 igual al valor de T en la tabla K para n y una a preseleccionada.

c) HA : fl > 1-10, Se rechaza Ho a un nivel de significacion a, si T_ es menor 0 igual al valor de Ten la tabla K para n y una a preseleccionada.

EJEMPLO 13.4.1

EI gasto cardiaco (litros/minuto) se midi6 por termodilucion en una muestra aleatoria simple de 15 pacientes con cirugfa cardiaca en posicion lateral izquierda. Los resultados fueron los siguientes:

4.91 4.10 6.74 7.27 7.42 7.50 6.56 4.64 5.98 3.14 3.23 5.80 6.17 5.39 5.77

Se pretende saber si es posible conduir, con base en estos datos, que la media de la poblacion es diferente de 5.05.


Solucion:

1. Datos. Vease el planteamiento del problema.

2. Supuestos. Se sup one que los requerimientos para la aplicaci6n de la prueba de jerarquias signadas de Wilcoxonse cumplen.

3. Hipotesis.

Ro: f.L 5.05

R A : f.L* 5.05

Sea a. 0.05. 4. Estadlstica de prueba. La estadistica de prueba sera T + 0 T_, la

que sea mas pequena, y se designara Tala estadfstica de prueba. 5. Distribucion de la estadistica de prueba. Los valores crfticos de

la estadistica de prueba se encuentran en la tabla K del apendice. 6. RegIa de decision. Se rechazara Ro si el valor calculado de T es

menor 0 igual que 25, el valor crftico para n 15, y a/2 ==.0240, el valor mas cercano a .0250 en la tabla K.

7. Catculo de Ia estadlstica de prueba. EI calculo de estadistica de prueba se muestra en la tabla 13.4.1.

8. Decision estadistica. Puesto que 34 es mayor que 25, no es posible rechazar Ro'

Tabla 13.4.1 Calculo de la estadistica de prueba para el ejemplo 13.4.1 Gasto Jerarqula asignada cardiaco d. =x.-5.05 Jerarqula de Idil de Idil,

4.91 -.14 1 -1 4.10 -.95 7 -7 6.74 +1.69 10 +10 7.27 +2.22 13 +13 7.42 +2.37 14 +14 7.50 +2.45 15 +15 6.56 + 1.51 9 +9 4.64 -.41 3 -3 5.98 +.93 6 +6 3.14 -1.91 12 -12 3.23 -1.82 11 -11 5.80 +.75 5 +5 6.17 + 1.12 8 +8 5.39 +.34 2 +2 5.77 +.72 4 +4

T+ == 86, T_ == 34, T 34

EJERCICIOS 673

Caja de dialogo: Comandos de sesi6n:

Stat> Nonparametrics > 1-Sample Wilcoxon MTB > WTEST 5.05 C1i SUBC> Alternative O.

Teclear Cl en Variables. 8eleccionar Test median. Teclear 5.05 en Ia caja de texto. Clic OK.

Resultados:

Prueba de jerarqu(a signada de Wilcoxon

TEST OF MEDIAN ~ 5.050 VERSUS MEDIAN N.E. 5.050

N FOR WILCOXON ESTIMATED N TEST STATISTIC P-VALUE MEDIAN

C1 15 15 86.0 0.148 5.747


9. Conclusion. 8e concluye que la media de la poblacion puede ser 5.05.

10. Valor de p. A partir de Ia tabla K se aprecia que el valor pes p = 2(.0757) =.1514.

Prueba de jerarquia signada de Wilcoxon para parejas iguales La prueba de Wilcoxon puede emplearse en parejas de datos bajo circunstancias en las que no es adecuado utilizar la prueba de t para comparacion de parejas estudiada en el capftulo 7. En estos casos se obtienen cada uno de los n di valores, las diferencias entre cada uno de los n pares de mediciones. 8i IlD es igual a la media de la poblacion de esas diferencias, es posible seguir el procedimiento descrito previamente para probar cualquiera de las siguientes hipotesis nulas: Ho: IlD = 0, Ho: IlD S; 0 Y Ho: IlD ;::: o. AntilisisporcompuJadora Muchos paquetes de software estadfsticos aplican la prueba de jerarqufa signada de Wilcoxon. 8i, por ejemplo, los datos del ejemplo 13.4.1 se almacenan en la columna 1, es posible utilizar el paquete MINITAB para ejecutar la prueba como se muestra en la figura 13.4.1.

EjERCICIOS 13.4.1 Dieciseis animales de laboratorio fueron alimentados con una dieta especial desde su naci

miento hasta 12semanas despues del mismo. EI aumento de peso (en gramos) de cada uno de elios fue como sigue:

63 68 79 65 64 63 65 64 76 74 66 66 67 73 69 76 ~Es posible conduir a partir de estos datos que la dieta proporcion6 un aumento de peso menor que 70 gramos? Sea a =.05, y calcule el valor de p.

674 CAPiTULO 13 ESTADISTICA NO P ARAMETRICA

13.4.2 Un psic610go seleccion6 aleatoriamente una muestra de 25 estudiantes discapacitados. Las calificaciones de destreza manual de cada uno de los estudiantes son las siguientes:

33 53 22 40 24 56 36 28 38 42 35 52 52 36 47 41 32 20 42 34 53 37 35 47 42

lProporcionan estos datos suficiente evidencia para indicar que la calificaci6n media para las pohlaciones no es 45? Sea a = .05, Y calcule el valor de p.

13.4.3 En un estudio realizado por Davis et ai. (A-2) se comparo durante el recreo y durante las horas de clase ellenguaje de las madres dirigido hacia ninos con retraso mental y ninos con edad cronol6gica equivalente 0 con igual capacidad de reconocimiento del lenguaje. Los resultados fueron consistentes con la hip6tesis de que las madres de ninos con retraso mental igualan su comportamiento verbal a la capacidad de reconocimiento dellenguaje del nino. Entre los datos recolectados estin las siguientes mediciones respecto al numero de palabras por minuto durante el recreo para las madres de ninos con retraso (A) y para las madres de ninos de la misma edad pero sin retraso mentaI.(B):

A: 21.90 15.80 16.50 15.00 14.25 17.10 13.50 14.60 18.75 19.80 B: 13.95 13.35 9.40 11.85 12.45 9.95 9.10 8.00 14.65 12.20 FUENTE: Con autorizaci6n de Hilton Davis, Ph. D.

Con base en estos datos, les posible eoncluir que entre las madres de ninos con retraso mental, el numero promedio de palabras por minuto durante el reereo es mayor que entre las madres con hijos que no tienen retraso mental? Sea a = .01.

13.5 PRUEBA DE LA MEDIANA

La prueba de la mediana es un procedimiento no parametrico que puede emplearse para probar la hip6tesis nula de que dos muestras independientes fueron extrafdas de poblaciones con medianas iguales. Esta prueba, que se atribuye principalmente a Mood (2) y a Westenberg (3), se estudia tambien en Brown y Mood (4).

Se ilustra el procedimiento por medio de un ejemplo. FJEMPLO 13.5.1

~Existe diferencia entre el nivel de salud mental de los alumnos de secundaria de un area rural y un area urbana?

Soludon: 1. Datos. Se aplic6 una prueba para medir el nivel de salud mental en

dos grupos. La primera muestra aleatoria de 12 estudiantes varones se ex~o de una poblaci6n de estudiantes de una secundaria del area rural, y la segunda muestra aleatoria independiente de 16 estudiantes, tambien varones, se extrajo de una poblaci6n de estudiantes de una secundaria del areaurbana. Los resultados se muestran en la tabla 13.5.1.

Para determinar si es posible conduir que hay una diferencia, se lleva a cabo una prueba de hip6tesis que utiliza la prueba de la mediana. Suponga que el nivel de significaci6n es de .05.

2. Supuestos. Las suposiciones que fundamentan la prueba son: a) las muestras son elegidas independiente y aleatoriamente de sus respec

675 13.5 PRUEBA DE LA MEDlANA

TABLA 13.5.1 Calificaciones del nivel de salud mental de jovenes de secundaria

Escuela

Urbana Rural

35 26 27 21 27 38 23 25

29 50 43 22 42 47 42 32

Urbana Rural

25 27 45 46 33 26 46 41

50 37 34 31

tivas poblaciones; b) las poblaciones son de la misma forma y difieren solo en cuanto a su ubicacion, y c) la variable de interes es continua. El nivel de medicion debe ser, al menos, ordinal. No es necesario que las dos muestras sean del mismo tarnafio.

3. Hipotesis. Ho:Mu =MR HA:Mu-:f. MR

Mu es la calificacion mediana de la poblacion de la que se extrae la muestra de estudiantes del area urbana, y MR es la calificacion mediana de la poblacion de estudiantes del area rural de la cual se extrae la muestra. Sea a =.05.

4. Estadistica de prueba. Como se muestra en el siguiente analisis, la estadfstica de prueba es X2, y se calcula, por ejemplo, mediante la ecuacion 12.4.1 para una tabla de contingencia de 2 x 2.

5. Distribucion de la estadistica de pr;ueba. Cuando Ho es verdadera y las suposiciones se cumplen, X2 sigue una distribucion semejante a la de ji-cuadrada con 1 grado de libertad.

6. RegIa de decision. Se rechaza Ho si el cilculo del valor de X2 es 2:: 3.841 (dado que a = .05).

7. Ci.ilculo de la estadistica de prueba. El primer paso para caIcular la estadfstica de prueba es calcular la mediana comiin de las dos muestras combinadas. Esto se hace arreglando las observaciones en orden ascendente y, dado que el niimero total de observaciones es par, obteniendo la media de los dos valores centrales. Para este ejemplo, la mediana es (33 + 34)/2 = 33.5. A continuacion se determina para cada muestra el niimero de ob

servaciones que caen por encima y por debajo de la mediana comtin.

676 CAPITULO 13 ESTADISTICA NO PARAMETRIC A

TABLA 13.5.2 Caliticaciones del mvel de salud mental de j6venes de secundal'ia

Urbana Rural Total Cantidad de calificaciones arriba de la mediana 6 8 14 Cantidad de calificaciones debajo de la mediana 10 4 14 Total 16 12 28

Las frecuencias resultantes se arreglan en una tabla de 2 X 2. La tabla 13.5.2 muestra los resultados de esta operadon.

Si, en efecto, las dos muestras provienen de pobladones con la misma mediana, se puede esperar que aproximadamente la mitad de calificaciones en cada muestra este arriba de la mediana combinada y la otra mitad por debajo. Si se cumplen las condiciones relativas al tamafio de la muestra y las frecuencias esperadas para la tabla de contingencia de 2 x 2, como se estudia en el capitulo 12. puede utilizarse la prueba de ji-cuadrada con 1 grado de libertad para probar la hipotesis nula de igualdad de medianas en las poblaciones. Mediante la formula 12.4.1. se tiene que:

X2 =28[(6)(4)-8(10)]2 =2.33 (16)(12)(14)(14 )

8. Decision estadistica. Puesto que 2.33 < 3.841. el valor crftico de ji-cuadrada con a .05 y 1 grado de libertad, no es posible rechazar la hip6tesis nula con base en estos datos.

9. Conclusion. Se conduye que las dos muestras probablemente se extrajeron de poblaciones con medianas iguales.

10. Valor de p. Puesto que 2.33 < 2.706, se tiene que p > .10. Manejo de valores iguales a la mediaaa A veces, uno 0 mas de los valores observados seran exactamente iguales a la mediana calculada y, por 10 tanto, no caeran por arriba ni por debaJo de ella. Es importante observar que si n} + n2 es impar, al menos un valor siempre sera exactamente igual a la mediana. Esto lleva al problema de que hacer con las observaciones de este tipo. Una soluci6n es eliminarlas del analisis si n} + n 2 es grande y se tienen s610 unos cuantos valores que caen en la mediana combinada, 0 bien, dividir las calificaciones en dos muestras: aquellas que son mayores que la mediana y las que no 10 son, en cuyo caso, las observaciones que son iguales a la mediana se contaran en la segunda categorfa.

Extension de la prueba de la mediaaa La prueba de la mediana se extiende 16gicamente para el caso donde se quiere probar la hip6tesis nula que dice que k ~ 3 muestras son de poblaciones donde las medianas son iguales. Para esta prueba una tabla de contingencia de 2 X k puede elaborarse utilizando las frecuencias que caen por arriba y por debajo de la mediana calculada a partir de las muestras combinadas. Si se cumplen las condiciones como el tamafio de la muestra ylas frecuencias esperadas, X2 puede calcularse y compararse con el valor crftico de jicuadrada con k 1 grados de libertad.

EJERCICIOS 677

Caja de dialogo: Comandos de la sesion:

Stat >- Nonparametrics >- Mood's Median Test MTB > Mood Cl C2.

Teclear Cl en Response y C2 en Factor. Clic OK.

Resultados:

Prueba de la mediana del estado de animo

Mood median test of Cl

Chisquare 2.33 df = 1 p = 0.127

Individual 95.0% CIs C2 N Median Q3-Ql --------+---- ----+----- -+-1 10 6 27.0 15.0 (-+-----------------) 2 4 8 39.5 14.8 (-- ---- -+- ------)

--+---- ----+------ --+-------30.0 36.0 42.0

Overall median = 33.5

A 95.0% C.I. for median (I} - median(2}: (-17.1,3.1)


Malisis por computadora El calculo de la prueba de la median a puede Ilevarse a cabo con el paquete MINITAB. Para ilustrar el uso de este paquete con los datos del ejemplo 13.5.1, primero se almacenan las mediciones en la columna 1; en la columna 2 se almacenan los c6digos que identifican las observaciones que corresponden a los individuos urbanos (1) 0 rurales (2). La figura 13.5.1 muestra los resultados generados por el procedimiento de MINITAB.

FJERCIOOS

13.5.1 Se revisaron 15 expedientes de pacientes de dos hospitales y se asign6 una calificaci6n disefiada para estimar el nivel de atenci6n recibida. Las calificaciones son las siguientes;

Hospital A: 99, 85, 73, 98, 83,88,99,80,74,91, 80,94,94,98,80

Hospital B; 78, 74, 69, 79, 57, 78, 79,68,59,91,89,55,60,55,79

ms posible concluir, en un nivel de significaci6n de .05, que las medianas de las dos pobladones son diferentes? Determine el valor de p.


13.5.2 Se obtuvieron los siguientes valores de albfunina en el suero de 17 personas normales y 13 hospitalizadas.

AlbUmina en el suero (gllOO ml)

Individuos Individuos nonnales hospitalizados

Albumina en el suero (gllOO ml)

Individuos lndividuos nonnales hospitalizados

2.4 3.0 1.5 3.1 3.5 3.2 2.0 1.3 3.1 3.5 3.4 1.5 4.0 3.8 1.7 1.8 4.2 3.9 2.0 2.0

3.4 4.0 3.8 1.5 4.5 3.5 3.5 5.0 3.6 2.9

~Se podria conciuir, en el nivel de significacion de .05, que las medianas de las dos poblaciones de las que se extrajeron las muestras son distintas? Determine el valor de p.

13.6 PRUEBA DE MANN-\VHlTNEY

La prueba de la mediana, que se analizo en la seccion anterior, no utiliza toda la informacion presente en las dos muestras cuando la variable de interes se mide por 10 menos en una escala ordinal. Reducir el contenido de informacion de una observacion para concluir si cae 0 no por arriba 0 por debajo de una mediana comun, es desperdiciar informacion. Si, para probar la hipotesis deseada, se cuenta con un procedimiento que utilice una mayor cantidad de la informacion inherente en los datos, dicho procedimiento debe utilizarse siempre que sea posible. EI procedimiento no parametrico que puede utilizarse con frecuencia en lugar de la prueba de la mediana es la prueba de Mann-Whitney (5), algunas veces Hamada Mann-WhitneyWilcoxon. Esta prueba se basa en las jerarqufas de las observaciones, por 10 cual utiliza mas informacion que la prueba de la mediana.

Supuestos Las suposiciones que fundamentan la prueba de Mann-Whitney son las siguientes:

1. Las dos muestras, de tamafios n y m, respectivamente, que se utilizan para el anaIisis han sido extrafdas de manera independiente y en forma aleatoria de sus poblaciones respectivas.

2. La escala de medicion es por 10 menos ordinaL 3. La variable de interes es continua. 4. Si las poblaciones son diferentes, varian solamente en 10 que respecta a sus

medianas.

Hip6tesis Cuando se satisfacen estas suposiciones, puede probarse la hipotesis nula de que las dos poblaciones denen medianas iguales contra cualquiera de tres alternativas posibles: 1) las poblaciones no tienen medianas iguales {prueba bilate

679 13.6 PRUEBA DE MA-NN-WHITNEY

ral), 2) la mediana de la poblacion 1 es mayor que la mediana de la poblacion 2 (prueba unilateral), 0 bien 3) la mediana de la poblacion 1 es menor que la mediana de la poblacion 2 (prueba unilateral). Si las dos poblaciones son simetricas, de modo que dentro de cada poblaci6n la media y la mediana son las mismas, las condusiones a las que se llega respecto a las medianas de las dos poblaciones se aplicara.n tambien a las medias de ambas poblaciones. El siguiente ejemplo ilustra e1 uso de la prueba de Mann-Whitney.

FJEMPLO 13.6.1

En un experimento disefiado para estimar los efectos de la inhalaci6n prolongada de oxido de cadmio, 15 animales de laboratorio sirvieron de sujetos para el experimento, mientras que 10 animales similares sirvieron de control. La variable de interes fue la concentracion de hemoglobina despues del experimento. Los resultados se muestran en la tabla 13.6.1. Se desea saber si es posible conduir que la inhalaci6n prolongada de 6xido de cadmio disminuye el nivel de hemoglobina.

Soludon:

1. Datos. Vease la tabla 13.6.1.

2. Supuestos. Se considera que las suposiciones para la prueba de Mann- Whitney se cumplen.

TABlA 13.6.1 Determinacion de hemoglobina (gramos) en 25 animales de laboratorio Animales expuestos Animales no expuestos (X) (Y) 14.4 17.4 14.2 16.2 13.8 17.1 16.5 17.5 14.1 15.0 16.6 16.0 15.9 16.9 15.6 15.0 14.1 16.3 15.3 16.8 15.7 16.7 13.7 15.3 14.0


3.

4.

Hipotesis. Las hip6tesis nula y alternativa son las siguientes:

Ho:Mx~ My

HA:Mx

681 13.6 PRUEBA DE MANN-WHITNEY

La estadistica de prueba es

T=S- n(n+l) (13.6.1)2

donde n es el numero de observaciones de la muestra X, y S es la suma de las jerarquias asignadas a las observaciones de la muestra de la poblacion de valores X. La eleccion de los valores de la muestra que se marcan con X es aleatoria.

5. Distribucion de Ia estadistica de prueba. Los valores crfticos de la distribucion de la estadistica de prueba se encuentran en la tabla L para varios niveles de cx.

6. RegIa de decision. Si la mediana de la poblacion X es, en efecto, mas pequena que la mediana de la poblacion Y, como se especifica en la hipotesis alternativa, es de esperar (para muestras de igual tamano) que la suma de las jerarquias asignadas a las observaciones de la poblacion X sea menor que la suma de las jerarqufas asignadas a las observaciones de la poblacion Y. La estadfstica de prueba esta basada en este razonamiento en tal forma que un valor de T suficientemente pequeno causara que se rechace la hipotesis Ho: Mx;?: My.

En general, para pruebas unilaterales del tipo que se muestra aquf, la regIa de decision es:

Rechazar Ho: Mx 2 Mysi el valor calculado de T es menor que w'" donde w,yes el valor critico de T, el cual se obtiene mediante la tabla L del apindice con n, el numero de observaciones de X; m, el numero de observaciones de Y, y ex, el nivel de significaciOn elegido.

Si se utiliza el procedimiento Mann-vVhitney para probar

Ho:Mx:S; My contra

HA:Mx >My

los valores suficientemente grandes de T causaran el rechazo, de tal forma que laregla de decision es:

Rechazar Ho: Mx s; Mysi el valor calculado de T es mayor que wl-c! donde w1-a nm w".

Para la situacion de la prueba bilateral con

Ho:Mx My HA:Mx* My

los valores calculados de T que sean suficientemente grandes 0 suficientemente pequenos causaran el rechazo de Ho. La regIa de decision para este caso es:

682 CAPiTULO 13 ESTADiSTICANO PARAMETRICA

Rechazar Ho: Mx Mysi elc(ilculo de T es menor que w aJ2 0 mayor que wl-(aI2l' donde waJ2 es el valor crituo del valor T para n, m y 0/2 dado en la tabla L del apendice, y W 1-(aJ2) = nm waJ2'

Para este ejempIo, la regIa de decisi6n es: Rechazar H 0 si el valor cdlculado de T es menor que 45, el valor crituo de la estadistica de prueba para n = 15, m 10 y IX ,05 que se encuentra en la tabla L.

La regi6n de rechazo para cada conjunto de hip6tesis se muestra en Ia figura 13.6.1.

7. CaIculo de la estadistica de prueba. Para este ejemplo se tiene, tal como se muestra en la tabla 13.6.2, S 145, de manera que

T=145 15(15+1) =25 2

8. Decision estadistica. AI consul tar Ia tabla Leon n = 15, m = lOy 0: = .05 se encuentra que el valor critico de w" es 45, Dado que 25 < 45, se rechaza Ho'

1-

Ho:Mx~My HA : Mx < My

1-

HO: Mx:5 My HA:Mx>My

W1- a

1

Ho:Mx=My HA : Mx 7' My

FlGUBA 13.6.1 Regiones de rechazo de la prueba Mann-Whitney para tres con juntos de hip6tesis.

683 13.6 PRUEBA DE MANN-WHITNEY

9. Conclusion. Se concluye que Mxes menor que My. Esto lleva ~concluir que la inhalaci6n prolongada de 6xido de caduiio redu.e la concentraci6n de hemoglobina.

10. Valor dep. Puesto que 22 < 25 < 30, entonces, .005 > P>.001. Aprox;maciOn a una muestragrande Cuando nom es mayor que 20 no es posible utilizar la tabla L del apendice para obtener los valores criticos de la prueba de Mann-Whitney. Cuando este es el caso, es posible calcular

T-mn/2 z =: --p====== (13.6.2)

+m+l)/l2 y comparar el resultado con los valores criticos de la distribuci6n normal estandar.

An61isis por computadora Muchos paquetes estadfsticos de software ejecutan la prueba de Mann-Whitney. Con los datos de las dos muestras almacenados en las columnas 1 y 2, por ejemplo, MINITAB realizara la prueba bilateral 0 unilateral. El procedimiento de MINITAB y los resultados para el ejemplo 13.6.1 se muestran en la figura 13.6.2.

Caja de dialogo: Comandos de la sesion:

Stat >- Nonparametrics >- Mann >- Whitney MTB > Mann-Whitney 95.0 C1 C2; SUBC > Alternative -1.

Tec1ear Cl en First Sample y C2 en Second Sample. En Alternative seleccionar menor que. Clic OK.

Resultados:

Prueba e intervalo de confianza de Mann-Whitney

C1 N = 15 Median 15.300 C2 N = 10 Media~ 16.550 Point estimate for ETA1 - ETA2 is -1. 300 95.1 Percent c.r. for ETA1 - ETA2 is (-2.300, -0.600) W = 145.0 Test of ETA1 ETA2 vs. ETA1 < ETA2 is significant at 0.0030 The test is significant at 0.0030 (adjusted for ties)

FIGURA 13.6.2 Procedimiento MINITAB Y resultados para elejeIllplo 13.6.1.

684 CAPITULO 13 ESTADISTICANO PARAMETRICA

FJERCICIOS

13.6.1 El prop6sito de un estudio realizado por Demotes-Mainard et ai. (A-3) era comparar la farmacocinetica de la cefpiramida (una cefalosporina) total y libre en voluntarios sanos yen pacientes con cirrosis alcoh6lica. Entre los datos recolectados estan los siguientes valores de depuraci6n plasmatica (mVmin) despues de una sola inyecci6n intravenosa de 1 gramo de cefpiramida:

Voluntarios: 21.7,29.3,25.3,22.8,21.3,31.2,29.2,28.7,17.2,25.7,32.3 Pacientes con cirrosis alcoh61ica: 18.1, 12.3, 8.8, 10.3, 8.5, 29.3, 8.1, 6.9, 7.9, 14.6, 11.1 FUENTE: Utilizada con autorizaci6n de Fabienne Demotes-Mainard, Ph. D.

ms posible conduir, con base en estos datos, que los pacientes con cirrosis alcoh6lica y los pacientes sin la enfermedad difieren con respecto a la variable de interes? Sea ex = .01.

13.6.2 Lebranchu et at. (A-4) dirigieron un estudio donde nueve individuos eran pacientes con inmunodeficiencia variable comtin (WC) y 12 individuos eran de control. Entre los datos recolectados estan las siguientes cifras de celulas CD4+T por mm3 de sangre periferica.

Pacientes con WC: 623, 437, 370, 300, 330, 527, 290, 730, 1000 Controles: 710, 1260,717,590,930,995,630,977,530,710,1275,825 FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. Yvon Lebranchu.

Con base en estos datos, ~es posible conduir que los pacientes WC tienen un nivel reducido de ceIulas CD4+T? Sea ex .01.

13.6.3 El prop6sito de un estudio realizado por Liu et al. (A-5) era caracterizar los cambios mediadores, celulares y de permeabilidad que ocurren inmediatamente y 19 horas despues de una prueba de estimulaci6n broncosc6pica segmentaria de las vias respiratorias perifericas con antfgenos de ambrosia en individuos alergicos y moderadamente asmaticos.Ademas de los individuos con a~ma, el estudio induia individuos normales que no presentaban sfntomas de asma. Entre los datos recolectados esr;in las siguientes mediciones respecto al porcentaje de Ifquido recuperado de los sitios sometidos a la prueba de antfgenos despues de un lavado broncoalveolar.

Individuos normales: 70, 55, 63, 68,73,77,67 Individuos asmaticos: 64, 25, 70, 35, 43, 49, 62, 56, 43, 66 Fuente: Con autorizaci6n de Mark C. Liu, M. D.

Con base en estos datos, ~es posible conduir que bajo las condiciones descritas, se puede esperar recuperar menos fluido de los individuos asmaticos? Sea ex = .05.

13.7 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Cuando se desea saber que tan bien se ajusta la distribuci6n de los datos de una muestra a una distribuci6n te6rica, la prueba conocida como prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov es una alternativa para la prueba de ji-cuadrada de bondad de ajuste, la cual se estudia en el capitulo 12. La prueba debe su nombre ados matematicos rusos: A Kolmogorov y N. V. Smirnov, quienes presentaron dos pruebas muy parecidas en la decada de 1930.

EI trabajo de Kolmogorov (6) se relaciona con el caso de una sola muestra, como se menciona en este capitulo. EI trabajo de Smirnov (7) trata el caso en el que

635 13.7 PRUEBA DE KOLMOGOROV.SMIRNOV

intervienen dos muestras y el interes central radica en probar la hip6tesis de igualdad entre las distribuciones de las dos poblaciones de origen. Ala prueba para Ia primera situaci6n se Ie conoce como prueba Kolmogorov-Smirnov para una sola muestra. La prueba para el caso de dos muestras es la prueba Kolmogorov-Smirnov para dos muestras, y no se estudia en este texto.

Estadisti~'fldeprueba AI utilizar la prueba de bondad de ajuste de KolmogorovSmimov, se efect11a una comparaci6n entre alguna funci6n te6rica, FT(x), y una funcion de distribucion acumulada muestral Fs(x). La muestra se extrae de manera aleatoria de una poblaci6n con una funcion de distribuci6n acumulada desconocida F(x). Recuerdese (de la seccion 4.2) que una funcion de distribuci6n acumulada proporciona la probabilidad de que X sea menor 0 igual que un valor en particular, x. Es decir, por medio de la funci6n muestral de distribucion acumulada Fs(x), es posible determinar P(X S; x). Si existe un ajuste estrecho entre las distribuciones acumulada te6rica y muestral, entonces se apoya la hipotesis de que la muestra fue extrafda de una poblaci6n cuya funcion de distribuci6n acumulada especffica es FT(x). Sin embargo, si hay una discrepancia entre Ia funcion de distribucion acumulada observada y la te6rica, y si dicha discrepancia es 10 suficientemente grande como para no atribuirla al azar cuando Ho es verdadera, la hip6tesis se rechaza.

La diferencia entre la funci6n de distribuci6n acumulada teorica, Fix), y la muestral, Fs(x), se mide con la estadfstica D, la cual es la maxima distancia vertical entre FsCx) y FT(x). Cuando una prueba bilateral es conveniente, esto es, cuando las hipotesis son:

Ho: F(x) = FT(x) para toda x desde hasta + 00OQ HA : F(x) ~ FT(x) para al menos una x

la estadfstica de prueba es

D= sup IF,(x) F,(x) In x

(13.7.1)

la cual se lee "D es el mayor de los valores, sobre todas las x, del valor absoluto de la diferencia Fs(x) menos FT(X)".

La hipotesis nula se rechaza en un nivel de significacion a si e1 valor calculado de D excede e1 valor que se muestra en la tabla M para I - a (bilateral) y el tamafio n de la muestra.

Supuestos Las suposiciones que fundamentan la prueba de Kolmogorov-Smimov son las siguientes:

1. La muestra es aleatoria. 2. La distribuci6n hipotetica Fix) es continua.

Cuando los valores de D se basan en una distribuci6n te6rica discreta, la prueba es moderada. Cuando la prueba se utiliza con datos discretos, el investigador debe tener en mente que la probabilidad real de co meter un error de tipo I es, cuando mucho, igual que a, que es el nive1 de significaci6n establecido. La prueba


tambien es moderada si uno 0 mas parametros deben ser estimados a partir de los datos de la muestra.

EJEMPLO 13.7.1

Se efectuaron mediciones del nivel de glucosa en la sangre de 36 hombres adultos en ayuno, no obesos y aparentemente sanos. Estas medici ones se muestran en Ia tabla 13.7.1. Se pretende saber si es posible conduir que tales datos no pertenecen a una poblaci6n que sigue una distribuci6n normal, con una media de 80 y una desviaci6n estandar de 6. Soludon:

1. Datos. Vease la tabla 13.7. 1. 2. Supuestos. La muestra disponible es una muestra aleatoria simple

que se extrajo de una poblacion que sigue una distribuci6n continua. 3. Hipotesis.

Ho: F(x) FT(x) para toda x desde - 00 hasta + 00 H A : F(x) ':f:.F/x) para al menos una x

Sea a .05. 4. Estadistica de prueba. Vease la ecuaci6n 13.7.1.

5. Distribudon de Ia estadistica de prueba. Los valores crfticos de la estadistica de prueba para los valores elegidos de a se encuentran en la tabla M.

6. RegIa de decision. Se rechaza H 0 si el valor calculado de D excede .221, que es el valor crftico de D para n = 36 Y a .05

7. CaIcuIo de Ia estadistica de prueba. EI primer paso es calcular los valores de Fs(x), como se muestra en la tabla 13.7.2.

Cada uno de los valores de F/x) se obtienen al dividir la frecuencia acumulada correspondiente entre el tamaflO de la muestra. Por ejemplo, el primer valor de Fs(x) = 2/36 .0556.

Los valores de Fix) se obtienen al convertir cada valor observado de x en un valor de la variable normal estandar, z. En la tabla

TABlA 13.7.1 Concentraciones (mg/l00 mI)

de glucosa en la sangre en 36 varones no

obesos, aparentemente sanos, en ayunas

75 92 80 80 84 72 84 77 81 77 75 81 80 92 72 77 78 76 77 86 77 92 80 78 68 78 92 68 80 81 87 76 80 87 77 86

637

x

13.7 PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

TABlA 13.7.2 Valores de Fs(x) para el ejemplo 13.7.1

Frecuencia x Frecuencia acumulada F.(x)

68 72 75 76 77 78 80 81 84 86 87 92

2 2 2 2 6 3 6 3 2 2 2 4 36

2 4 6 8 14 17 23 26 28 30 32 36

.0556

.1111

.1667

.2222

.3889

.4722

.6389

.7222

.7778

.8333

.8889 1.0000

D del apendice se encuentra el area entre - Yz. Con estas areas OQ es posible calcular los valores de FT(x). El procedimiento se resume en la tabla 13.7.3, yes similar al que se utiliza para obtener las frecuencias relativas esperadas en la prueba de bondad de ajuste de ji-cuadrada.

La estadfstica de prueba D puede calcularse algebraicamente, o bien, determinarse graficamente al medir la distancia vertical mas

TABlA 13.7.3 Pasos para el cileulo de F~x) para el ejemplo 13.7.1

z =(x- 80)/6

68 72 75 76 77 78 80 81 84 86 87 92

-2.00 -1.33 -.83 -.67 -.50 -.33 .00 .17 .67 1.00 l.l7 2.00

.0228

.0918

.2033

.2514

.3085

.3707

.5000

.5675

.7486

.8413

.8790

.9772

688 CAPITULO 13

1.00 ro "0 .90 S ro

.80 E ::l .700 '"

.60'" .~ .50 ~ .40 0'" .30 c ::J .20 0

~ .10 LL

68

FIGURA 13.7.1

8.

9.

ESTADISTICA NO PARAMETRICA

D~ .16

78 80 82 84 86 88 90 92 94 x

70 72 74 76

Fs(x) y FT(x) para el ejemplo 13.7.1.

larga entre las curvas }~(x) y Fix) en una grafica. Las graficas de ambas distribuciones se muestran en la tabla 13.7.1.

Un examen de las graficas de Fs(x) YFT(x) revelan que D '" .16 (.72 .56). A continuaci6n se calcula el valor de D de manera

algebraica. L~s valores posibles de IFs(x) Fix) I se muestran en la tabla 13.7.4. Esta muestra que el valor exacto de D es .1547.

Decision estadistica. AI consultar la tabla M se observa que el valor calculadode D = .1547 no es significativo en ning(in nivel razonable. Por 10 tanto, no procede el rechazo de H ' o Conclusion. La muestra tal vez proviene de la distribuci6n especificada.

TABlA 13.7.4 Calculo de IFix) - F :r

689 13.7 PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

10. Valor dep. Dado que se tiene una prueba bilateral y .1547 < .174, entonces p > .20.

Precauci6n Es necesario tener en cuenta que, al determinar el valor de D, no siempre es suficiente calcular y elegir de entre los valores posibles de IFs(x) - FT(X) I. La distancia vertical mas larga entre Fix) y FT(x) posiblemente no ocurra en un valor observado, x, sino en algUn otro valor de X. Esta situaci6n se muestra en la figura 13.7.2. Es posible apreciar que si solamente se consideran los val ores de IFs(x) - FT(X) I que se presentan en los puntos extremos izquierdos de las barras horizon tales, el valor de D podria err6neamente calcularse como 1.2 -.41 =.2. Sin embargo, al analizar la gnlfica puede observarse que la mayor distancia vertical entre Fs (x) y FT(x) se presenta en el extremo derecho de la barra horizontal que se origina en el punto correspondiente a x = .4, Yel valor correcto de D es 1.5 .21 .3.

Es posible determinar el valor correcto para D de manera algebraica al calcular, ademas de las diferencias IFix) - FT(x) I. las diferencias IF/xi_I) FT(x j ) I para todos los valores de i = 1, 2, .'" r + 1, donde r es igual al numero de valores diferentes de x y Fs(x ) = O. Por 10 tanto, el valor correcto de la estadistica es o

o maximo{maximo[1 FS(x i ) FT(xi) 1,1 Fs(xi-l) - FT(Xi) In (13.7.2)1::; j:::; r

Ventajas y desventajas Las siguientes consideraciones son puntos importantes de comparacion entre las pruebas de Kolmogorov-Smimov y de bondad de ajuste de ji-cuadrada.

1. La prueba de Kolmogorov-Smimov no requiere que las observaciones sean agrupadas, como en el caso de la prueba de ji-cuadrada. La consecuencia de

1.0

.9

690 CAPITUW 13 ESTADISTICA NO PARAMETRICA

esta diferencia es que la prueba de Kolmogorov-Smirnov hace usa de toda la informaci6n presente en e1 conjunto de datos.

2. La prueba de Kolmogorov-Smirnov puede utilizarse con muestras de cualquier tamafio. Recuerde que para realizar la prueba de ji-cuadrada es necesario que las muestras tengan un tamafio minimo.

3. Como se ha visto, la prueba Kolmogorov-Smirnov no es aplicable cuando los panimetros tienen que ser estimados a partir de la muestra. La prueba jicuadrada puede utilizarse en estas situaciones mediante la reducci6n de los grados de libertad en 1 para cada parametro estimado.

4. El problema de suponer una distribuci6n te6rica continua se mencion6 con anterioridad.

EJERCICIOS 13.7.1 El peso del cerebra medido durante la autopsia de cada uno de 25 individuos adultos que

padedan cierta enfermedad, es el siguiente:

Peso del cerebro (gramos)

859 1073 1041 1166 1117 962 1051 1064 1141 1202 973 1001 1016 1168 1255 904 1012 1002 1146 1233 920 1039 1086 1140 1348

~Es posible conduir, a partir de estos datos, que la poblaci6n de la cual se extrajo la muestra no sigue una distribuci6n normal con una media de 1050 Y una desviaci6n estandar de 50? Determine el valor de p para esta prueba.

13.7.2 El coeficiente intelectual de una muestra de 30 adolescentes arrestados por abuso de farmacos es el siguiente:

Coeficiente intelectual

95 100 91 106 109 110 98 104 97 100 107 119 92 106 103 106 105 112

101 91 105 102 101 110 101 95 102 104 107 118

~Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para conduir que la poblaci6n muestreada no sigue una distribuci6n normal con una media de 105 y una desviaci6n estandar de 10? Calcule el valor de p.

691 13.8 ANALISIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS

13.7.3 Para una muestra de sujetos aparentemente normales que servia de control en un experimento, se registraron los siguientes valores de la presi6n sanguine a sist6lica al inicio del experimento:

162 177 151 167 130 154 179 146 147 157 141 157 153 157 134 143 141 137 151 161

ms posible concluir, a partir de esos datos, que la poblaci6n de valores de presi6n sangufnea de la que se extrajo la muestra no sigue una distribud6n normal con J.1 -= 150 Ycr 12? Calcule el valor de p.

13.8 ANAuSIS UNI1ATERAL DE lA VARIANCIA PORJERARQuIAs DE KRUSKAL-WAUlS

En el capitulo 8 se estudia como se utiliza el amilisis unilateral de la variancia para probar la hipotesis nula de que las medias de varias poblaciones son iguales. Cuando las suposiciones que fundamentan esta tecnica no se cumplen, es decir, cuando las poblaciones de las cuales se extraen las muestras no siguen una distribucion normal con variancias iguales, 0 cuando los datos para el analisis son unicamente jerarquias, es posible utilizar una alternativa no parametrica al analisis unilateral de la variancia para probar la hipotesis de parametros de ubicacion iguales. Como se indica en la seccion 13.5, la prueba de la mediana puede ampliarse para incluir la situacion que involucra mas de dos muestras. Una deficiencia de esta prueba, sin embargo, es el hecho de que solo utiliza una pequefia cantidad del total de informacion disponible. La prueba utiliza solo la informacion que indica si las observaciones estan 0 no por arriba 0 por abajo de un solo numero, el cual es la mediana de las muestras combinadas. La prueba no utiliza directamente mediciones de cantidad conocida. Existen varias pruebas no parametricas equivalentes al analisis de la variancia, las cuales utilizan mas informacion al tomar en cuenta la magnitud de cada observaci6n con respecto a la magnitud de cualquier otra observaci6n. Quiza el procedimiento mejor conocido es el analisis unilateral de la variancia por jerarquias de Kruskal-Wallis (8). Procedimiemo de Krushal-Walli~ La aplicaci6n de la prueba comprende los siguientes pasos.

1. Las n 1, n2, , nk observaeiones de las k muestras se combinan en una sola serie de tamano n y se clasifican en orden ascendente. Las observaeiones, posteriormente, se sustituyen por jerarqufas desde 1, la eual se asigna a la observacion menor, hasta n, que eorresponde a la observacion mayor. Cuando dos 0 mas observaciones tienen el mismo valor, a cada una de ellas se Ie da la media de las jerarquias con las que estan empatadas.

2. Las jerarqufas asignadas a las observaciones en cada uno de los k grupos se suman por separado para dar k sumas de jerarquias.

692 CAPiTULO 13 ESTADisTICA NO P ARAMETRICA

3. La estadistica de prueba se calcula asi

12 k R2 JH= L--3(n+l) (13.8.1)

n(n +1) j=1 nj

En la ecuaci6n 13.8.1 . k numero de muestras nj numero de observaciones de la j-esima muestra n numero de observaciones en todas las muestras combinadas Rj == suma de las jerarquias en la j-esima muestra

4. Cuando hay tres muestras y cinco 0 menos observaciones en cada una, e1 nive1 de significaci6n de H puede determinarse al consultar la tabla N del apendiceo Cuando hay mas de cinco observaciones en una 0 mas muestras, H se compara con los valores tabulados de ji-cuadrada con k - 1 grados de libertad.

EJE.MPLO 13.8.1

Se estudi6 el efecto de dos medicamentos en el tiempo de reacci6n ante cierto estimulo en tres muestras de animales experimentales. La muestra III sirvi6 como control, mientras que a los animales de la muestra I se les aplic6 el medicamento A y a los de la muestra II se les aplic6 el medicamento B antes de la aplicaci6n del estimulo. En la tabla 13.8.1 se encuentran anotados los tiempos de reacci6n en segundos de los 13 animales.

~Es posible concluir que las tres poblaciones representadas por las tres muestras difieren con respecto al tiempo de reacci6n? Esto es posible si se puede rechazar la hip6tesis nula que indica que las tres poblaciones no difieren en sus tiempos de reacci6n.

TABlA 13.8.1 Tiempo de reaccion en segundos de 13 animates de experimentacion

Muestra

I II III

17 8 2 20 7 5 40 9 4 31 8 3 35

13.8 ANALISIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS 693

Solucion: 1. Datos. Vease la tabla 13.8.1. 2. Supuestos. Las muestras son aleatorias e independientes, y fue

ron extraidas de sus respectivas poblaciones. La escala de medici6n que se utiliza es al menos ordinal. Las distribuciones de los valores en las poblaciones muestreadas son identicas, excepto por la posibilidad de que una 0 mas poblaciones esten compuestas por valores que tienden a ser mayores que los val ores de las demas poblaciones.

3. Hipotesis. Ho: Las distribuciones de las poblaciones son identicas. H A : De todas las poblaciones, por 10 menos una de elIas tiende a

mostrar valores mayores que al menos una de las demas. Sea 0; = .01.

4. Estadistica de prueha. Vease la ecuaci6n 13.8.1. 5. Distrihucion de Ia estadfstica de prueha. Los valores criticos de

H para diferentes tamanos de muestras y niveles 0; se encuentran en la tabla N.

6. RegIa de decision. La hip6tesis nula se rechaza si el valor calculado de H es tan grande que la probabilidad de obtener un valor mayor 0 igual, cuando Hoes verdadera, es menor 0 igual que el nivel de significaci6n 0;.

7. Calculo de Ia estadistica de prueha. Cuando las tres muestras se combinan en una sola serie y los valores se clasifican por jerarquias, entonees es posible elaborar una tabla de jerarquias como la que se muestra en la tabla 13.8.2.

La hip6tesis nula implica que las observaciones en las tres muestras constituyen una sola muestra de tamano 13 extraida de una sola poblaci6n.

TABLA 13.8.2 Datos de la tabla 13.8.1 sustituidos por jerarqul8S

Muestra

I II II

9 6.5 1 lO 5 4 13 8 3 11 6.5 2 12

R J 55 R2 = 26 R3 = 10


Si esto es eierto, puede esperarse que las jerarqulas esten bien distribuidas entre las tres muestras. En consecuencia, se espera que la suma total de jerarqulas sea dividida entre los tres grupos en proporcion al tamaiio de estos. Cualquier incumplimiento de estas condiciones se refleja en la magnitud de la estadlstica de prueba H.

A partir de los datos de la tabla 13.8.2 y la ecuacion 13.8.1 se obtiene

12 [(55)2 (26)2 (10)2]H --+ +-- -3(13+1) 13(13+1) 5 4 4

= 10.68 8. Decision estadistica. Es posible observar en la tabla N que cuan

do lasn. son 5, 4y4la probabilidad de obtener un valordeH ~ 10.68 es men~r que .009. La hipotesis nula puede rechazarse en un nivel de significaci6n de .0 1.

9. Conclusion. Se eonduye que SI existe una diferencia en el tiempo promedio de reacci6n entre las tres poblaciones.

10. Valor de p. Para esta prueba, p < .009. EmpaJes Es importante indicar que a los dos valores iguales en la muestra II se les asigno una jerarqula de 6.5. Es posible ajustar el valor de H para este empate al dividirlo entre

1 (13.8.2)

donde T = t3 t. La letra t se utiliza para designar el numero de observaciones iguales en una muestra de valores empatados. En este ejemplo, solamente hay un grupo de este tipo, pero, en general, puede haber varios grupos de valores empatados que dan como resultado varios valores de T. Dado que existen solo dos observa

23ciones iguales en esta muestra de valores empatados, entonees T = 2 = 6 y la "iT 6, as} que la expresion 13.8.2 es

__6_ = .99731 133 -13

y

__H__= 10.68 = 10.71 "iT .99731 n3 -n

que, naturalmente, es significativa en el nivel de .01. Como es el caso aqul, el efecto del ajuste para valores iguales es, por 10 general,

insignificante. Tambien es importante sefialar que dicho efecto incrementa a H, aSI que, si la H no ajustada es significativa al niveI dado, entonces no es necesario ajustarla. Mas de ires muesiras y una de elias es mayor que 1m; demas En el siguiente ejemplo es posible observar como utilizar el procedimiento cuando existen mas de tres muestras y al menos una de las nj es mayor que 5.

13.8 ANALISIS UNILATERAL DE LA VARIANCIA DE KRUSKAL-WALLIS 695

TABlA 13.8.3 Valor contable neto del equipo por cama para cada tipo de hospital

Tipo de hospital

A B C D E

$1735(11) $5260(35) $2790(20) $3475(26) $6090(40) 1520(2) 4455(28) 2400(12) 3115(22) 6000(38) 1476(1) 4480(29) 2655(16) 3050(21) 5894(37) 1688(7) 4325(27) 2500(13) 3125(23) 5705(36) 1702(10) 5075(32) 2755(19) 3275(24) 6050(39) 2667(17) 5225(34) 2592(14) 3300(25) 6150(41) 1575(4) 4613(30) 2601(15) 2730(18) 5110(33) 1602(5) 4887(31) 1648(6) 1530(3) 1700(9) 1698(8)

R j = 68 R2 = 246 R3 = 124 R4 = 159 R5 = 264

EJEMPLO 13.8.2 En la tabla 13.8.3 se encuentra el valor contable neto de capital en equipo empleado por cama en una muestra extrafda de cinco tipos de hospitales. Se pretende determinar, mediante la prueba de Kruskal-Wallis, si es posible conduir que el valor contable neto promedio de capital en equipo por cama, difiere en los cinco tipos de hospitales. Las jerarqufas de los 41 valores, junto con las sumas de jerarquias por muestra se encuentran en dicha tabla. Soluci6n: A partir de la sumas de las jerarquias se calcula:

H 12 [(68)2 + (246)2 + (124)2 + (159)2 + (264)2]-3(41+1) 41(41+1) 10 8 9 7 7 36.39 AI consultar la tabla F, con k - 1 = 4 grados de libertad, se encuen

tra que la probabilidad de obtener un valor de H tan grande 0 igual que 36.39 debido s610 al azar, cuando no hay diferencia entre las muestras, es menor que .005. Se conduye, entonces, que sf existe una diferencia entre las cinco poblaciones con respecto al valor promedio de la variable de interes.

AnUlisispor computadora El paquete de software MINITAB calcula la estadfstica de prueba de Kruskal-Wallis y proporciona informaci6n adicional. Despues de poner los tiempos de reacci6n de la tabla 13.8.1 en la columna 1 y los c6digos de las muestras en la columna 2, el procedimiento MINITAB y los resultados son los que se muestran en la figura 13.8.1.

696 CAPiTULO 13 ESTADISTICA NO PARAMETRICA

Datos:

C1: 17 20 40 31 35 8 7 9 8 2 5 4 3

C2: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

Caja de dialogo: Comandos de la sesi6n:

Stat> Nonparametrics > KruskalWallis MTB > KRUSKAL-WALLIS C1 C2

Teclear Cl en Response y C2 en Factor. elic OK.

Resultados:

Prueba Kruskal-Wallis

LEVEL NOBS MEDIAN AVE. RANK Z VALUE

1 5 31.000 11. 0 2.93

2 4 8.000 6.5 -0.31 3 4 3.500 2.5 -2.78

OVERALL 13 7.0

H 10.68 d. f. 2 p 0.005

H 10.71 d.f. 2 P 0.005 (adjusted for ties)

* NOTE * One or more small samples

FIGURA 13.3.1 Procedimiento MINITAB y resultados para la prueba Kruskal-wallis de los datos de tiempo de reacci6n anotados en la tabla 13.8.1.

EJERCICIOS

Para los ejercicios siguientes, efectue la prueba en e! nive! de significaci6n en que se indica y determine el valor de p.

13.S.1 En un estudio de sintomas de fatiga entre hombres con lesiones cerebrales (LC), walker et al. (A-6) registraron las calificaciones de depresi6n de Zung para tres muestras de individuos: con lesion cerebral y sintomas de fatiga, con lesi6n cerebral sin sintomas de fatiga, e individuos normales, de la misma edad que los pacientes, que sirvieron como individuos de control. Los resultados son los siguientes:

LC, fatiga: 46,61,51,36,51,45,54,51,69,54,51,38,64 LC, sin fatiga: 39,44,58,29,40,48,65,41,46 Controles: 36,34,41,29,31,26,33

FUENTE: Utilizada con permiso de Gary C. Walker, M. D.

EJERCICIOS 697

CEs posible concluir, con base en estos datos, que la poblacion representada por estas muestras difiere con respecto a las calificaciones de depresiori de Zung? Sea a .Ol.

13.8.2 Los siguientes valores corresponden a los gastos de pacientes externos por determinada intervencion quirurgica. Estos gastos se obtuvieron en muestras de hospitales localizados en tres diferentes partes del pafs.

Area I II III

$80.75 $58.63 $84.21 78.15 72.70 101.76 85.40 64.20 107.74 71.94 62.50 115.30 82.05 63.24 126.15

Con un nivel de significacion de .05, ~es posible concluir que las muestras difieren con respecto a los gastos?

13.8.3 Du Toit et al. (A-7) afirmaron que la heparina administrada en pequenas dosis (10 IU/kg/h) mediante infusion continua IV puede prevenir 0 aminorar la inducci6n de la coagulacion intravascular diseminada inducida por trombina en mandriles bajo anestesia general. Los animales del grupo A recibieron solamente trombina, los del grupo B fueron pretratados con heparina antes de administrarles trombina, y los del grupo C recibieron heparina dos horas despues de que la coagulacion intravascular diseminada fue inducida con trombina. Cinco horas despues de que los animales fueron anestesiados, se obtuvieron las siguientes mediciones del tiempo parcial de tromboplastina activada (TPTa):

GrupoA: 115, 181, 181, 128, 107,84,76, 118,96, 110, 110 Grupo B: 99,83,92,64,130,66,89,54,80,76 Grupo C: 92,75,74,74,94,79,89,73,61,62,84,60,62,67,67 FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. HendrikJ. Du Toit.

Pruebe una diferencia significativa entre los tres grupos. Sea a = .05. 13.8.4 Tartaglione et al. (A-8) examinaron los efectos de lesiones unilaterales del hemisferio izquierdo

y el hemisferio derecho en la exactitud para elegir y la velocidad de respuesta en una tarea de tiempo de reaccion de cuatro opciones. Se formaron 3 grupos: el grupo 1 de control con 30 individuos, el grupo 2 con 30 pacientes con dano cerebral en el hemisferio izquierdo y el grupo 3 con 30 pacientes con dana cerebral en el hemisferio derecho. La siguiente tabla muestra el numero de errores producidos por los individuos durante una fase del experimento:

Cantidadde Cantidad de Cantidadde Grupo errores Grupo errores Grupo errores

1 5 2 0 3 0 1 2 2 0 3 0 1 2 2 0 3 0

5 2 0 3 0 (Continua)

--

698 CAPITIJLO 13 ESTADisTICA NO PARAMETRICA

Cantidad de Cantidad de Cantidad de Grupo errores Grupo erroresGrupo errores

I 0 2 0 3 0 1 6 2 1 3 0 1 1 2 1 3 0 1 0 2 8 3 0 1 0 2 1 3 0 1 1 2 1 3 0 1 10 2 49 3 1 1 5 2 2 3 1 1 4 2 3 3 1 1 3 2 3 3 2 1 5 3 2 1 1

2 3 2 4 3 4

1 2 2 4 3 3 1 2 3 3 1 2

2 5 2 41 3 0

1 1 2 17 3 4 1 5 2 33 3 4 1 1 3 4 1 1

2 20 2 48 3 5

1 4 2 7 3 5 1 1 2 7 3 6 1 6 2 11 3 7 1 3 2 17 3 7 1 2 2 15 3 23

2 2 22 3 10 6 2 6 3 8

FUENTE: Utilizada con la autorizaci6n de Antonio Tartaglione, M. D.

ms posible conduir, con base en estos datos, que las tres poblaciones representadas por estas muestras difieren con respecto al numero de errores? Sea 0: =.05.

13.8.5 Warde et al. (A-9) estudiaron la incidencia de complicaciones respiratorias y episodios hip6xicos durante la inducci6n anestesica por inhalaci6n con isoflurano en nifios sanos sin premedicaci6n que fueron sometidos a intervenci6n quirurgica bajo anestesia general. Los niiios fueron repartidos de manera aleatoria en tres grupos, en los que se administr6 de manera diferente el isoflurano. Los tiempos que se necesitaron para inducir la anestesia son los siguientes:

GrupoA GrupoB GrupoC

8.0 11.75 6.5 7.75 7.25 7.75 8.25 9.25 7.25

GrupoA GrupoB GrupoC

5.75 8.75 4.75 9.0 11.0 7.5

11.0 12.0 5.5

(ContinUa)

EJERCICIOS 699

GrupoA GrupoB GrupoC GrupoA GrupoB GrupoC

13.0 12.0 8.75 8.75 6.75 6.75 8.5 10.5

1l.5 8.0 7.75 11.0

16.75 9.5 8.75 7.75 6.75 10.25 8.25 12.0

10.75 8.25 10.0 8.0

6.5 6.75 7.5 7.75 8.75 8.75

10.0 7.5 5.0 6.25 6.25 9.0

8.25 8.25 7.75

13.75 7.25

15.0 9.5 7.0 6.75

14.25 5.5 9.75 4.0

15.25 9.5 7.25 5.25 6.25 6.5 9.75 6.5

FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. DecianJ. Warde.

(Es posible concluir, con base en estos datos, que las tres poblaciones representadas por estas muestras difieren con respecto al tiempo de induccion? Sea a =.01.

13.8.6 Un estudio conducido por Ellis et al. (A-I0) ayud6 a explorar las caracteristicas de uni6n de la imipramina a las plaquetas en pacientes maniaticos y a comparar los resultados con datos equivalentes de individuos sanos (con troles) y pacientes con depresi6n. Entre los datos recolectados estan los siguientes valores miximos de uni6n de la imipramina (B max) para tres gropos de diagn6stico y el gropo de control:

Diagnostico Bmu (fmol/mg pr.)

Mania 439,481,617,680,1038,883,600,562,303,492,1075,747, 726,652,988,568

Control sana 509, 494, 952, 697, 329, 329, 518, 328, 516, 664, 450, 794, 774, 247, 395, 860, 751, 896, 470, 643, 505, 455, 471, 500, 504, 780, 864, 467, 766, 518, 642, 845, 639, 640, 670,437, 806,725,526,1123

Depresi6n unipolar 1074,372,473,797,385,769,797,485,334,670,510,299, 333,303,768,392,475,319,301,556,300,339,488, 1114, 761,571,306,80,607, 1017,286, 511, 147,476,416,528, 419,328, 1220,438,238,867, 1657,790,4~9, 179,530,446, 328,348,773,697,520,341,604,420,397

Depresion bipolar 654,548,426,136,718,1010

FUENTE: Utilizada con autorizaci6n del Dr. P. M. Ellis.

ms posible conduir, con base en estos datos, que las cuatro poblaciones representadas por estas muesttas difieren con respecto a los valores Bm.? Sea a =.05.

13.8.7 La siguiente tabla muestra los niveles de residuos de pesticidas (ppb) en muestras de sangre de cuatto poblaciones de individuos humanos. Utilice la prueba de Kruskal-Wallis para pro

700 CAPITULO 13 ESTADiSTICA NO PARAMETRICA

bar, con un nivel de significaci6n de .05, la hip6tesis nula de que no existe diferencia entre las poblaciones con respecto al nivel promedio de residuos de pesticidas.

Poblaci6n Poblaci6n

A B C D A B C D

10 4 37 35 12 32 31 19 11 33 9 18

15 5 10 12 6 6

7 11 10 8 2 5

44 12 15 42 23

11 9 4 7 11 5

32 9 2 17 14 6 8 15 3

13.8.8 Se midi6la actividad de la y-glutamil transpeptidasa (GGTP) hepatica en 22 pacientes sometidos a biopsia percutanea del higado. Los resultados son los siguientes:

Individuo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Nivel de Diagn6stico GGTP hepatica

Higado normal Cinosis biliar primaria Enfermedad del hfgado por alcoholismo Cirrosis biliar primaria Higado normal Hepatitis persistente Hepatitis cronica activa Enfermedad del higado por alcoholismo Hepatitis persistente Hepatitis persistente Enfermedad del higado por alcoholismo Cirrosis biliar primaria Hfgado normal Cirrosis biliar primaria Cirrosis biliar primaria Enfermedad del hfgado por alcoholismo Enfermedad del hfgado por alcoholismo Hepatitis persistente Hepatitis cronica activa Higado normal Hepatitis cr6nica activa Hepatitis cr6nica activa

27.7 45.9 85.3 39.0 25.8 39.6 41.8 64.1 41.1 35.3 71.5 40.9 38.1 40.4 34.0 74.4 78.2 32.6 46.3 39.6 52.7 57.2

~Es posible conduir, a partir de estos datos, que el nivel promedio de GGTP de la poblaci6n difiere en los cinco grupos de diagn6stico? Sea a = .05, Y calcule el valor de p.

13.9 AL"l"ALISIS BILATERAL DE LA VARIANCIA DE FRIEDIVIAN 701

13.9 ANAuSIS BHATERAL DE lA VARIANCIA POR JERARQlllAs DE FRIEDMAN

Asl como en ocasiones se tiene la necesidad de un analisis no parametrico analogo al analisis parametrico unilateral de la variancia, en ciertos casos es necesario analizar los datos de una clasificaci6n bilateral mediante metodos no parametricos amilogos al analisis bilateral de la variancia. Esta necesidad puede surgir porque no se satisfacen las suposiciones necesarias para el analisis parametrico de la variancia, porque la escala de medici6n que se utiliza es "fragil" 0 porque es necesario obtener los resultados rapidamente. Una prueba que suele utilizarse en estos casos es el analisis bilateral de la variancia por jerarqulas de Friedman (9, 10). Esta prueba es conveniente siempre que los datos se midan, al menos, en una escala ordinal y puedan ordenarse significativamente en una clasificaci6n bilateral, como se hace en el disefio por bloques completos y aleatorizados que se estudia en el capitulo 8. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento. FJEMPLO 13.9.1 Un fisioterapeuta realiz6 un estudio para comparar tres modelos diferentes de estimuladores electricos de bajo voltaje. A nueve fisioterapeutas se les pidi6 que clasificaran en orden de preferencia a esos tres generadores. Unajerarquia de 1 indica la primera preferencia. Los resultados se muestran en la tabla 13.9.1. Se pretende saber si es posible concluir que los model os no tienen igualdad de preferencia. Solucion:

1. Datos. Vease la tabla 13.9.1. 2. Supuestos. Las observaciones que aparecen en un bloque dado

son independientes de las observaciones que aparecen en cada uno

TABlA 13.9.1 Clasiflcacion por jerarquias de tres mode

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