Universidad de Tarapacá Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Analisis de Sistemas

MODELOS MATEMÁTICOS SIMPLES: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial

Para iniciar un enfoque matemático, veamos 2 sistemas simples , un circuito eléctrico y un sistema mecánico, ambos con tres elementos pasivos y una fuente de energía (excitación o entrada).

Ejemplo Circuito Eléctrico:

Elementos constituyentes:

Resistor: Parámetro Resistencia RInductor (bobina): Parámetro Inductancia LCapacitor: Parámetro Capacidad C

Las leyes de los elementos individuales, supues-tos lineales, invariantes, y concentrados son:

La ecuación global del sistema, que depende de la interconexión y que en este caso correspon-de a la ecuación de equilibrio de voltajes en un simple lazo cerrado (Ley de Kirchoff de tensio-nes, esto es: la suma total de las tensiones en un lazo cerrado es cero), será:

(1)

Reemplazando los voltajes individuales:

(2)

Ejemplo Sistema Mecánico:

Elementos constituyentes:

Amortiguador: Parámetro Coeficiente de amortiguación B

Cuerpo u objeto: Parámetro Masa mResorte:Parámetro Coeficiente de Elasticidad k

Las leyes de cada elemento, también supuestos lineales, invariantes, y concentrados son:

La ecuación de equilibrio, en este caso mecánico, se denomina “principio de D`Alembert, y señala que la suma de todas las fuerzas (internas y externas) es cero, o sea:

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(1`)

(2`)

2

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Se observa que las ecuaciones integrodiferenciales (2) y (2`) resultantes son de la misma forma, y corresponden a ecuaciones diferenciales de segundo orden , ya que si derivamos ambos miembros de las dos ecuaciones, resultan:

(3)

Si los sistemas son más complejos (mayor número de elementos e interconexiones más complicadas), resultarán un mayor número de ecuaciones diferenciales y/o una ecuación diferencial de orden superior (recordar que se puede demostrar que un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden reducir a una ecuación diferencial de orden n).

Siendo iguales las formas de las ecs. (2) y (2`), la solución matemática de ambas será la misma, para iguales valores numéricos de los parámetros, iguales amplitudes de las excitaciones e iguales valores numéricos de las condiciones iniciales, si las hubiera. Evidentemente que las unidades de medida de los parámetros y de las variables dependientes e independientes serán diferentes en ambos casos, lo que dependerá de la naturaleza física de cada sistema.

Por simplicidad en la presentación previa, se omitieron las unidades de medida de las variables físicas y de los parámetros. En un caso numérico de un sistema real, es importante considerar la consistencia de las ecuaciones en relación a dichas unidades. Al respecto, el uso riguroso del sistema internacional de medidas o MKS racionalizado es altamente conveniente para evitar graves errores. Si partimos usando las unidades MKS de las variables (volts y amperes para el caso eléctrico, newtons y metros/segundo para el caso mecánico, y segundos para el tiempo en ambos casos), las unidades de los parámetros se pueden deducir fácilmente de las ecuaciones que corresponden a las leyes físicas que rigen cada elemento. Por supuesto que en los sistemas eléctricos estamos familiarizados con dichas unidades, esto es:[L]=[Henrys]=[Volts·seg./Amperes]=[Newton·metro/Amperes2]=[Kilogramo·metro2/seg.2·Amperes2],[R]=[Ohms] = [Volts/Amperes]=[Newton·metro/seg.·Amperes2]=[Kilogramo·metro2/seg.3·Amperes2],[C]=[Farad] = [Coulomb/Volts]=[Amperes2·seg.2/Newton·metro]=[Amperes2·seg.4/Kilogramo·metro].

La primera igualdad dimensional se refiere al nombre compacto de la unidad del parámetro. La segunda igualdad se deduce de la ley física más simple del elemento. La tercera es una transformación a unidades fundamentales del sistema MKS, excepto que se mantiene la unidad de fuerza (el Newton que no es fundamental), esta igualdad se puede deducir directamente de ecuación de energía del elemento respectivo. Finalmente, la última igualdad corresponde a la reducción estricta a las 4 unidades fundamentales (recordemos que la cuarta unidad fundamental es el Amper). Queda clara la conveniencia de haber bautizado estas unidades compuestas con un nombre único.

Para el caso del sistema mecánico, las unidades de los parámetros deducidas de las ecuaciones de los elementos, son:

[B]=[Newton·segundo/metro]=[Kilogramo/segundo],[m]=[Kilogramo],[k]=[metro/Newton]=[segundo2/Kilogramo].

Dada la simplicidad de estas unidades correspondientes a los parámetros de los elementos básicos de los sistemas mecánicos, se entiende porqué no se le han asignado nombres únicos, a diferencia de los parámetros de los elementos de los sistemas eléctricos. Esto es una consecuencia de la evolución

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histórica de la física. Las leyes fundamentales de la mecánica fueron descubiertas antes que las respectivas leyes del electromagnetismo (más de un siglo antes).

Consideraciones de Energía y Potencia. Sin entrar a deducir las ecuaciones de energía asociadas a los elementos de los sistemas presentados (lo que es relativamente simple considerando la linealidad e invarianza en el tiempo de los elementos), a continuación se exponen con el objetivo de no olvidar este importante aspecto.

Primeramente, hay que considerar que en ambos sistemas existen fuerzas de carácter conservativo y disipativo. La propiedad conservativa en relación a la energía asociada a los elementos ideales, se refiere a que éstos son capaces de almacenar y entregar energía conforme a la evolución de las variables relevantes (fuerzas, velocidades, voltajes y corrientes, según el caso), de tal modo que en un balance global, se realiza sin pérdida o disipasión de energía. En cambio, en los elementos en que actúan fuerzas disipativas, la potencia y energía que reciben se pierde totalmente, degradándose en forma de energía térmica (calor), que se disipa al ambiente que circunda el elemento.

La tabla siguiente señala la característica en relación a la energía que corresponde a cada uno de los seis elementos básicos en los sistemas de los dos ejemplos.

Sistema Parámetro Tipo Fenómeno asociado

Ecuación de Energía/Potencia

Otras Ecuaciones de interés

Eléctrico

L ConservativoAlmacenamiento en campo magnético

R Disipativo

Disipasión por rozamiento o fricción a nivel microscópico

C ConservativoAlmacenamiento en campo eléctrico

Mecánico

M ConservativoAlmacenamiento en forma de energía cinética

B DisipativoDisipasión por rozamiento o fricción mecánica

k ConservativoAlmacenamiento en forma de energía potencial

Las expresiones de las energías almacenadas en los elementos conservativos dependen exclusivamente del valor instantáneo de la variable en los segundos miembros de las ecuaciones en la quinta columna, esto es, del estado presente, y no de la “historia pasada” del elemento. Por esto dichas variables se denominan “variables de estado”. Se puede demostrar que el orden del sistema, esto es, el orden de una ecuación diferencial que sintetice el comportamiento de él, será igual al número de variables de estado linealmente independientes, lo que a su vez es igual al número de elementos capaces de almacenar energía. En ambos ejemplos previos este orden es dos (bobina-condensador y masa-resorte).

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En cambio, para los elementos disipativos no se puede escribir una expresión general de la energía que ellos disipan. Para estos elementos sólo se puede deducir una expresión generalizada para la potencia instantánea disipada, esto es, la energía disipada por unidad de tiempo. La energía total disipada en un intervalo de tiempo dado se debe calcular integrando la potencia instantánea en dicho intervalo y el resultado dependerá de la evolución de la variable relevante asociada al elemento (voltaje, corriente, fuerza, velocidad, según el caso), como se indica en la última columna para estos elementos disipativos.

La variable λ en la última columna corresponde al flujo enlazado que es igual al producto del flujo magnético propiamente tal multiplicado por el número de vueltas de la bobina. Debemos recordar que la auto-inductancia de una bobina, para el caso lineal es:

De modo que, de acuerdo a la ley de Faraday para la inducción electromagnética, se tiene que el voltaje entre los terminales de la bobina es igual a la velocidad de cambio del flujo enlazado, esto es:

Nótese que para que sea válida la última igualdad se debe cumplir que el flujo enlazado λ, y por lo tanto el flujo , debe ser función lineal de la corriente i.

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