ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Sensibilidad implica preguntarse ¿qué sucedería sí …

El Análisis de Sensibilidad se utiliza para examinar los efectos de cambios en tres áreas diferenciadas del problema:(1) Los coeficientes de la función objetivo (coeficientes objetivo). Los cambios en los coeficientes objetivos NO afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a la solución óptima (aunque sí al valor de la función objetivo).(2) Los coeficientes tecnológicos (aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad). Los cambios en estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible. Gráficamente (en el caso de 2 variables) lo que varía es la pendiente de las rectas que representan las restricciones.

(3) Los recursos disponibles (los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad). Intuitivamente (para 2 variables), los cambios en el RHS suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cual hará variar la forma de la región factible y, con ello, a la solución óptima.

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Ejemplo

PROTRAC produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos (llamada equipo para remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover escombro (el E-9) y el miembro mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC juzga que durante ese periodo será posible vender los E-9 y los F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántos E-9 y F-9 deben producirse?. En la toma de decisión, los principales factores a considerar son los siguientes:

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1. PROTRAC tendrá una utilidad de $5.000 por cada E-9 que se venda y $4.000 por cada F-9.

2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B

3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B.

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4. Con objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta actividad se realiza en un tercer departamento que no tiene relación con los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de 30 horas de comprobación y cada F-9, 10 horas.

5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado que para la política de operación es necesario construir al menos un F-9 por cada 3 E-9.

6. Un consumidor importante ha ordenado un total de por lo menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9 y F-9) para el próximo mes, así es que por lo menos debe producirse esa cantidad

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Planteamiento:

Max Z: 5.000 E + 4.000 F

sa

10 E + 15 F ≤ 15020 E + 10 F ≤ 16030 E + 10 F ≥ 135 E - 3 F ≤ 0 E + F ≥ 5 E ≥ 0 y F ≥ 0

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A) Cambios en los términos independientesLa solución es:

E = 4,5

F = 7

y Z = 50.500

Supongamos

a) Que se dispone de una hora adicional en el departamento A (151 horas)

b) Que se dispone de una menos en el departamento A (149 horas)

c) Lo anterior pero para el departamento B

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C’

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C’’

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La solución ahora es:

Departamento A (±1 lado derecho)

a) E = 4,45 F = 7,1 y Z = 50.650

b) E = 4,55 F = 7,1 y Z = 50.350

Departamento B (±1 lado derecho)

c1) E = 4,575 F = 6,95 y Z = 50.675

c2) E = 4,425 F = 7,05 y Z = 50.325

• Cambios en los recursos: Los valores que quedan a la derecha de las desigualdades (Right-Hand-Side) representan la disponibilidad de recursos de la empresa (horas de mano de obra, materias primas, etc.). Los cambios que se puedan producir en estos valores afectarán también a la “forma” de la región factible y, por extensión, al valor de la solución óptima. A pesar de ello, si el parámetro que varía lo hace dentro de un rango predeterminado, seremos capaces de predecir (vía precios sombra) cómo este cambio afectará a la función objetivo, pues la base (conjunto de variables básicas de la solución) no variará.

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Definición:

Precio dual, valor marginal o precio sombra es el cambio incremental en los beneficios por cambio unitario en el término independiente de una restricción

• Ejemplo: Queremos resolver el siguiente problema de PL referido a una compañía que produce dos tipos de lanchas acuáticas:

Maximizar beneficios = 30 X1 + 80 X2

Sujeto a:

2 X1 + 4 X2 <= 1.000 (horas de mano de obra disponibles)6 X1 + 2 X2 <= 1.200 (kg. de materia prima disponibles)X2 <= 200 (motores de lancha tipo 2 disponibles)X1, X2 >= 0

(a) ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Cuál es el beneficio máximo?.(b) ¿Cuánto valen los precios sombra? Una vez alcanzada la solución óptima, ¿qué recurso tiene un valor marginal más elevado?.(c) Para cada recurso, ¿cuál es el rango de tolerancia en el que son válidos los precios sombra?.(d) ¿Cuáles son los rangos de tolerancia en que pueden variar los coeficientes objetivo?.

Celda objetivo (Máx.)

Celda Nombre Valor original Valor final$E$6 z 0 19000

Celdas de variablesCelda Nombre Valor original Valor final Entero

$B$3 x1 0 100 Continuar$C$3 x2 0 200 Continuar

RestriccionesCelda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Demora$D$9 b actual 1000 $D$9<=$F$9 Vinculante 0

$D$10 b actual 1000 $D$10<=$F$10 No vinculante 200$D$11 b actual 200 $D$11<=$F$11 Vinculante 0

Celdas de variables

Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir

$B$3 x1 100 0 30 10 30

$C$3 x2 200 0 80 1E+30 20

Restricciones

Final Sombra Restricción Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir

$D$9 b actual 1000 15 1000 66,66666667 200

$D$10 b actual 1000 0 1200 1E+30 200

$D$11 b actual 200 20 200 50 20

Análisis:a) Se observa en el “output” de SOLVER que lo óptimo será producir 100 lanchas de tipo 1 y 200 de tipo 2, lo cual nos proporcionará unos beneficios de 19.000

b) El precio dual de la primera restricción es de 15, lo cual significa que estaríamos dispuestos a pagar hasta 15 USD por disponer de una hora más de mano de obra. El precio dual de la segunda restricción es 0, lo cual resulta lógico dado que no agotamos toda la materia prima disponible (en el óptimo aún nos sobran 200 kg.). Finalmente, estaríamos dispuestos a pagar hasta 20 USD por disponer de un motor adicional de tipo 2, lo que convierte este recurso en el de mayor valor marginal.

c) Los precios sombra anteriores son válidos en los rangos establecidos por el “output”. Así, por ejemplo, nuestros beneficios aumentarían en 15 USD por cada hora extra de que dispusiésemos hasta un máximo de 1.066,67 horas, cifra a partir de la cual deberíamos replantear el problema para poder hacer un análisis correcto. Por otro lado, perderemos 15 USD por cada hora que se deduzca de las disponibles inicialmente (1.000) hasta un máximo de 200 horas reducidas (a partir de aquí cabría reprogramar).

d) El coeficiente de X1 puede variar entre 0 y 40 euros sin que por ello cambie la solución óptima (aunque sí los beneficios obtenidos, claro). Por su parte, el coeficiente de X2 podría variar entre 60 e infinito.

• Coste reducido, sabemos que, en la solución final, si la variable X no tomará un valor estrictamente positivo, es decir, no resulta rentable producir, a menos que su coeficiente objetivo aumente en dicha cantidad

• Ejemplo: Compañía de producción de televisores.

Una compañía produce televisores, equipos Hi-Fi y altavoces utilizando una serie de componentes comunes, tal y como se indica en la tabla inferior. Estos componentes están disponibles en cantidades limitadas, por lo que se trata de plantear el problema de maximización restringida de beneficios sabiendo que la contribución neta de los tres productos es, respectivamente, de 75 €, 50 €, y 35 €.

Celda objetivo (Máx.)Celda Nombre Valor original Valor final

$E$15 BENEFICIOS TOTALES (Z) TELEVISORES 16000 25000

Celdas de variablesCelda Nombre Valor original Valor final Entero

$E$6 Xi TELEVISORES 100 200 Continuar$F$6 Xi HI-FI 100 200 Continuar$G$6 Xi ALTAVOCES 100 0 Continuar

RestriccionesCelda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Demora

$H$8 CHASIS UTILIZADOS 400 $H$8<=$J$8 No vinculante 50$H$9 TUBO IMAGEN UTILIZADOS 200 $H$9<=$J$9 No vinculante 50$H$10 CONO ALTAVOZ UTILIZADOS 800 $H$10<=$J$10 Vinculante 0$H$11 FUENTE ALIMENTACION UTILIZADOS 400 $H$11<=$J$11 No vinculante 50$H$12 COMPONENTES ELEC. UTILIZADOS 600 $H$12<=$J$12 Vinculante 0

SOLUCION

Celdas de variables Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir$E$6 Xi TELEVISORES 200 0 75 25 5$F$6 Xi HI-FI 200 0 50 25 12,5$G$6 Xi ALTAVOCES 0 -2,5 35 2,5 1E+30

Restricciones Final Sombra Restricción Permisible Permisible

Celda Nombre Valor PrecioLado

derecho Aumentar Reducir$H$8 CHASIS UTILIZADOS 400 0 450 1E+30 50$H$9 TUBO IMAGEN UTILIZADOS 200 0 250 1E+30 50$H$10 CONO ALTAVOZ UTILIZADOS 800 12,5 800 100 100$H$11

FUENTE ALIMENTACION UTILIZADOS 400 0 450 1E+30 50

$H$12 COMPONENTES ELEC. UTILIZADOS 600 25 600 50 200

• Una vez identificados los componentes del informe, su interpretación es casi inmediata: la solución óptima sería producir 200 televisores, 200 equipos Hi-Fi, y ningún altavoz. La columna de Coste (Gradiente) Reducido nos indica que no resultará rentable producir altavoces a menos que el beneficio que éstos generen aumente en 2,5 € (llegando a 37,5 €). Examinando los Rangos de los Coeficientes Objetivo, observamos que la solución actual no variaría si el beneficio generado por cada televisor se moviese en el rango 70-100 €, o si el generado por los equipos Hi-Fi lo hiciese en el rango 37,5-75 €, o si el de los altavoces no se incrementase en más de 2,5 €. Los Precios Duales determinan, junto con los Rangos del Right-Hand-Side, que estaríamos dispuestos a pagar hasta 12,5 € por cada unidad adicional de conos hasta un máximo de 100 conos, y hasta 25 € por cada unidad adicional de componentes electrónicos hasta un máximo de 50 componentes. Observar que, por el contrario, perderíamos 25 € por cada componente electrónico que “nos quitasen” de los 600 disponibles, hasta un máximo de 200 unidades (cifra a partir de la cual será necesario volver a programar).

X1 X2 X3

2 0 8 ACTUAL DESIGUALDAD DISPONIBLE

RESTRICCION 1 8 6 1 24 ≤ 48

RESTRICCION2 4 2 1,5 20 ≤ 20

RESTRICCION 3 2 1,5 0,5 8 ≤ 8

BENEFICIOS POR PRODUCTO (Cj) 60 30 20

FUNCION OBJETIVO Max Z 280

Celda objetivo (Máx.)Celda Nombre Valor original Valor final

$B$8FUNCION OBJETIVO Max Z

X1 0 280

Celdas de variablesCelda Nombre Valor original Valor final Entero$B$2 X1 0 2 Continuar$C$2 X2 0 0 Continuar$D$2 X3 0 8 Continuar

RestriccionesCelda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Demora

$E$3 RESTRICCION 1 ACTUAL 24 $E$3<=$G$3No

vinculante 24$E$4 RESTRICCION2 ACTUAL 20 $E$4<=$G$4 Vinculante 0$E$5 RESTRICCION 3 ACTUAL 8 $E$5<=$G$5 Vinculante 0

Celdas de variables Final Reducido Objetivo Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir$B$2 X1 2 0 60 20 4$C$2 X2 0 -5 30 5 1E+30

$D$2 X3 8 0 20 2,5 5

Restricciones Final Sombra Restricción Permisible Permisible

Celda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir$E$3 RESTRICCION 1 ACTUAL 24 0 48 1E+30 24$E$4 RESTRICCION2 ACTUAL 20 10 20 4 4

$E$5 RESTRICCION 3 ACTUAL 8 10 8 2 1,333333333

En la base optima del problema la única variable de decisión no básica es x2. Dicha variable, posee como coeficiente en la función objetivo: c2 = 30. Llamaremos cj al coeficiente en la función objetivo de la variable j. Como x2 no está en la base, será interesante determinar el valor de c2 necesario para que la variable x2 sea incorporada a la base optima. Debido a que solo se está cambiando el coeficiente de una variable en la función objetivo, la región factible del problema se ve inalterada, es decir, no se ve modificada la factibilidad del optimo actual. Sólo puede ocurrir que la solución actual deje de ser la optima si c2 crece lo suficiente.

• En este caso, cualquier variación inferior a 5 no cambiaría la base. Un incremento exactamente igual 5 implica que x2 puede pasar a ser una variable básica (optimo alternativo). Valores mayores a 5 representan un cambio en el optimo y requeriría efectuar iteraciones adicionales para obtener la nueva solución optima.

X1 X2 X3 S1 S2 S3 LDCj 60 30 + δ 20 0 0 0

Z 0 5 0 0 10 10 2800 S1 0 -2 0 1 2 -8 24

20 X3 0 -2 1 0 2 -4 860 X1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Zj* 60 35 20 0 10 10Cj - Zj* 0 -5 + δ 0 0 -10 -10

-5 + δ <= 0δ <= 5

X1 X2 X3 S1 S2 S3 LDCj 60 + δ 30 20 0 0 0

Z 0 5 0 0 10 10 2800 S1 0 -2 0 1 2 -8 24

20 X3 0 -2 1 0 2 -4 860 + δ X1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Zj* 60 + δ 35 + 1,25 δ 20 0 10 -0,5δ 10 + 1,5δCj - Zj* 0 -5 -1,25 δ 0 0 0,5 δ - 10 (-10 - 1,5 δ)

-5 -1,25 δ <= 0 -10 +0,5 δ <= 0 -10 -1,5 δ <= 0

δ >=-4 δ <= 20 δ >= - 20/3

-4 <=δ <= 20

Cambio en el parámetro bi

Restricciones de tipo ≤

Cambio en b2

X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD60 30 + δ 20 0 0 0

Z 0 5 0 0 10 10 280

0 S1 0 -2 0 1 2 -8 24

20 X3 0 -2 1 0 2 -4 8

60 X1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 2

Cj

Restricción del tipo >=

• Surco produce tres tipos de barra de caramelo. Cada barra está hecha totalmente de azúcar y chocolate. En la tabla se muestran las composiciones de cada barra y la utilidad obtenida con cada barra de caramelo. Se dispone como máximo de 50 onzas de azúcar y 100 onzas de chocolate

• Formule el modelo de programación lineal, resuelva utilizando el método simplex conteste las siguientes preguntas:

• Interprete los resultados obtenidos• Para qué valores de la ganancia de la barra de caramelo Tipo 1, la base actual permanece

óptima? Si la utilidad para una barra de caramelo tipo 1 fuera de 5 centavos de dólar, cuál sería la solución óptima

• Si la utilidad para una barra de caramelo tipo 2 fuera de 13 centavos de dólar, cuál sería la nueva solución óptima.

• Para qué cantidad de azúcar disponible, la base actual permanecerá óptima. Qué pasa con los valores de las variables y función objetivo, si la cantidad disponible cambia de 50 a 60 onzas de azúcar. Se podrá contestar esta pregunta si la cantidad disponible es de 30 onzas de azúcar, justifique su respuesta.

• Dentro de que parámetros pude variar la cantidad de chocolate disponible

Caramelo Cantidad de azúcar (onzas)

Cantidad de

chocolate (onzas)

Ganancia (centavos

usd)

Tipo1 1 2 3 Tipo 2 1 3 7 Tipo 3 1 1 5