Modelamiento y control de un péndulo invertido desde una ...
Análisis de La Respuesta Sísmica No Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA
NO LINEAL DE PUENTES URBANOS
TIPO PÉNDULO INVERTIDO
T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN INGENIERÍA CIVIL
P R E S E N T A:
ALBERT RICHARD MIRANDA SIVILA
DIRECTORES:
DR. HÉCTOR AURELIANO SÁNCHEZ SÁNCHEZ
DR. ESTEBAN FLORES MÉNDEZ
MÉXICO D.F. 2014
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
v
AGRADECIMIENTOS
Agradezco principalmente a Dios, por guiarme en un camino de rectitud e integridad
en todas las áreas de mi vida, siendo una de ellas la vida académica. Dios me cuidó
y me guardó hasta hoy y estoy seguro que lo hará por siempre; y reconozco
enfáticamente que por su amor y su bendición, ahora soy lo que soy.
Agradezco al Instituto Politécnico Nacional por recibirme y permitirme ser parte de
esta prestigiosa institución.
Agradezco al CONACyT por aceptarme como becario y brindarme un gran apoyo
durante mi estancia como estudiante.
Agradezco a todos mis profesores de Maestría de la SEPI ESIA U.Z., por todos los
valiosos conocimientos recibidos durante estos años de estudio y en especial por su
generosa amistad.
Agradezco al Dr. Héctor Sánchez y al Dr. Esteban Flores por su dirección en la
elaboración de la presente tesis, y por el invaluable legado de conocimientos que me
dejaron a lo largo de estos años.
Agradezco al Dr. Jorge L. Alamilla por transmitirme un enfoque diferente de la
percepción de la ingeniería estructural, por su tiempo y por sus constantes aportes
incondicionales a este trabajo.
Agradezco a mi fiel esposa y compañera Lithz. Su amor, compañía y apoyo en las
etapas más duras de mi vida, fueron el aliento para seguir hasta el final.
Agradezco a mis padres y toda mi familia, que aunque estuvieron lejos de mí, su
enorme amor atravesó fronteras para llegar aquí.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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RESUMEN
El presente trabajo de tesis se enfoca al estudio de la respuesta sísmica de
estructuras de puente actuales tipo péndulo invertido, tomando en cuenta los efectos
de inercia rotacional de la superestructura.
Trabajos realizados en el pasado muestran que la respuesta estructural, en términos
de desplazamientos y elementos mecánicos, aumenta al considerar los efectos de
inercia rotacional, sin embargo, los análisis fueron realizados para determinado
número de sismos, que no reflejan necesariamente todos los escenarios a los que
puede estar sujeta una estructura.
Por otro lado, actualmente se ha buscado reducir la masa traslacional y sobre todo la
rotacional de la superestructura, utilizando elementos prefabricados y presforzados,
con enormes volados de tabletas esbeltas y con concretos de altas resistencias a
compresión. Todas estas características deben tomarse en cuenta para poder
concluir algo sobre el efecto de la inercia rotacional en puentes urbanos actuales tipo
péndulo invertido.
En la primera parte de este trabajo se muestran dos casos completos de análisis de
una estructura existente ante el sismo de México del 19 de septiembre de 1985
registrado en Ciudad Universitaria, donde se observa que considerar el efecto de la
inercia rotacional no siempre incrementa la respuesta estructural, sino que está en
función de las características dinámicas propias de la estructura y del contenido
frecuencial de la señal sísmica a la que está sometida. En la segunda parte se
realiza un análisis de tasas de excedencia de la estructura en estudio, con la
finalidad de obtener resultados generales probabilistas de la respuesta estructural en
términos de distorsiones de entrepiso, que contemplen la naturaleza aleatoria de las
solicitaciones sísmicas.
Dado el nivel de carga al que estará sometida la estructura en estudio, se propone un
modelo no lineal de material en base a rótulas o articulaciones plásticas localizadas
en las secciones donde se espera que se dañe la estructura.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
viii
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
ix
ABSTRACT
This thesis focuses on the study of the seismic response of modern bridge structures
type inverted pendulum, taking into account the effects of rotary inertia of the
superstructure.
Works done in the past show that the structural response in terms of displacement
and mechanical elements increases when considering the effects of rotary inertia,
however, analyzes were conducted for number of earthquakes, which are not
necessarily all scenarios to which may be subject the structure .
On the other hand, currently has sought to reduce the translational mass and
especially the curl of the superstructure, using precast prestressed elements with
huge ruffles slim tablets and concrete of high compressive strengths. All these
features should be taken into account in order to conclude anything about the effect
of rotational inertia in modern urban bridges type inverted pendulum.
The first part of this work, shows two complete analysis of an existing structure
subjected to the Mexico’s earthquake of September 19 in 1985, recorded at Ciudad
Universitaria in México. These results show that considering the effect of the rotary
inertia not always increase the structural response, it is in accordance with the
specific dynamic characteristics of the structure and the frequency content of the
seismic signal to which it is subjected. The second part of this work proposes and
performs an analysis of exceedance rates of the structure under study, in order to
obtain general results of the probabilistic structural response in terms of drifts that
consider the random nature of the seismic action.
Since the load level that is subject to the structure under study, a nonlinear model of
material is proposed, based on plastic hinges located at the sections, which are
expected to suffer damage.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
x
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xi
CONTENIDO GENERAL
CAPÍTULO 1............................................................................................................... 1
1 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE PUENTES URBANOS ............... 1
1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 2
1.1.1 RESEÑA HISTÓRICA DE PUENTES EN EL MUNDO .............................. 3
1.1.2 LOS PUENTES URBANOS EN MÉXICO .................................................. 4
1.2 OBJETIVO ....................................................................................................... 4
1.3 METAS ............................................................................................................. 5
1.4 JUSTIFICACIÓN .............................................................................................. 5
1.5 ALCANCES ...................................................................................................... 6
CAPÍTULO 2............................................................................................................... 7
2 CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURAS DE PUENTES .................................. 7
2.1 ANTECEDENTES ............................................................................................ 8
2.2 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL .............................................................. 10
2.3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL ................................................ 13
2.3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 13
2.3.2 TÉCNICAS DE MODELACIÓN ESTRUCTURAL .................................... 14
2.3.3 TÉCNICAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL ............................................ 16
2.4 COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PUENTES ........................................... 16
2.4.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 16
2.4.2 FORMULACIÓN DINÁMICA DEL PROBLEMA SÍSMICO ....................... 16
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xii
2.4.3 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO ......................................... 22
2.4.4 CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE PUENTES ... 24
2.5 COMPORTAMIENTO NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE PUENTES ........ 25
2.5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 25
2.5.2 REPRESENTACIÓN DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL ................ 26
2.5.3 REGLAS DE HISTÉRESIS ..................................................................... 28
2.6 CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO .......................................... 29
2.6.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 29
2.6.2 DEFINICIÓN ........................................................................................... 30
2.6.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL PRESFUERZO PARCIAL .............. 30
2.6.4 ÍNDICES DE PRESFUERZO PARCIAL .................................................. 31
2.6.5 COMPORTAMIENTO BAJO CARGAS ESTÁTICAS Y REVERSIBLES . 32
2.6.6 DUCTILIDAD Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA .......................................... 34
2.6.7 CARACTERÍSTICAS A FLEXIÓN Y FLEXOCOMPRESIÓN .................. 38
2.7 CARACTERIZACIÓN SÍSMICA ..................................................................... 39
2.7.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 39
2.7.2 INTENSIDAD SÍSMICA .......................................................................... 40
2.7.3 TASAS DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES ..................................... 41
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................ 43
3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS DE PUENTE TIPO PÉNDULO INVERTIDO ........ 43
3.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 44
3.2 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA EN ESTUDIO ................................... 44
3.2.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 44
3.2.2 UBICACIÓN ........................................................................................... 45
3.2.3 ESTRUCTURACIÓN .............................................................................. 46
3.2.4 MATERIALES ......................................................................................... 47
3.3 MODELACIÓN NUMÉRICA ........................................................................... 51
3.3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 51
3.3.2 GEOMETRÍA .......................................................................................... 51
3.3.3 NIVEL DE DISCRETIZACIÓN ................................................................ 54
3.4 TÉCNICA DE ANÁLISIS ................................................................................ 55
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xiii
3.4.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 55
3.4.2 MÉTODO DE ANÁLISIS .......................................................................... 55
3.4.3 COMPORTAMIENTO NO LINEAL (MATERIAL) ..................................... 55
3.5 SIMULACIÓN DE SISMOS ............................................................................ 58
3.5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................... 58
3.5.2 MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE GREEN EMPÍRICA ............................... 58
3.5.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN UTILIZADA ...................................... 59
3.5.4 TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES DE C.U. .......................... 60
3.5.5 SISMOS SEMILLA O FUNCIONES DE GREEN ..................................... 61
CAPÍTULO 4............................................................................................................. 63
4 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA ........................................................ 63
4.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 64
4.2 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA MODELO DE FLUENCIA ............................. 64
4.2.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN ................................................................... 64
4.2.2 HISTORIAS DE CORTANTE Y DE MOMENTOS .................................... 66
4.2.3 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS ...................................................... 68
4.2.4 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO .................................... 69
4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA CON MODELO DE AGRIETAMIENTO ........ 70
4.3.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN ................................................................... 71
4.3.2 HISTORIAS DE CORTANTE ................................................................... 72
4.3.3 HISTORIAS DE MOMENTOS ................................................................. 73
4.3.4 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS ...................................................... 74
4.3.5 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO .................................... 75
4.4 TASA DE EXCEDENCIA DE DISTORCIONES DE ENTREPISO ................... 76
4.4.1 RELACIÓN CON LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES ....... 77
4.4.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO .............................................................. 78
4.4.3 RESULTADOS SIN INERCIA ROTACIONAL .......................................... 79
4.4.4 RESULTADOS CON INERCIA ROTACIONAL ........................................ 80
4.4.5 COMPARATIVA DE RESULTADOS ....................................................... 81
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xiv
CONCLUSIONES .................................................................................................... 83
RECOMENDACIONES ............................................................................................ 85
REFERENCIAS ....................................................................................................... 87
ANEXO 1 ................................................................................................................. 91
ANEXO 2 ................................................................................................................. 95
ANEXO 3 ................................................................................................................. 99
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xv
LISTA DE FIGURAS
Figura 2-1 Columnas de puentes tipo péndulo invertido ............................................................ 8
Figura 2-2 Modelos analíticos con y sin base flexible (Sánchez, H., 1997)............................... 8
Figura 2-3 Marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008) ................................................ 9
Figura 2-4 Modelación de un marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008) ................ 10
Figura 2-5 Configuración estructural de un puente tipo péndulo invertido .............................. 11
Figura 2-6 Estructuración longitudinal ...................................................................................... 11
Figura 2-7 Marco formado por columnas y trabe TA ................................................................ 12
Figura 2-8 Estructura colapsada, sismo de Kobe en Japón 1995 ........................................... 12
Figura 2-9 Aplicaciones actuales del MEF (Método de los Elementos Finitos) ....................... 13
Figura 2-10 Servidor de alto desempeño y supercómputo ...................................................... 13
Figura 2-11 Diferentes niveles de modelación estructural ....................................................... 14
Figura 2-12 Niveles de discretización de secciones variables ................................................. 15
Figura 2-13 Esquema de formulación de masas concentradas ............................................... 18
Figura 2-14 Esquema de formulación de masas consistentes................................................. 18
Figura 2-15 Elemento típico viga-columna con extremos rígidos ............................................ 19
Figura 2-16 Energía de disipación para relación de amortiguamiento..................................... 20
Figura 2-17 Curva de amortiguamiento de Rayleigh ................................................................ 21
Figura 2-18 Articulación plástica ............................................................................................... 26
Figura 2-19 Modelo de un componente de Giberson ............................................................... 27
Figura 2-20 Planteamiento geométrico de la rotación plástica en una rótula .......................... 27
Figura 2-21 Modelo bi-lineal ...................................................................................................... 28
Figura 2-22 Modelo de Ramberg-Osgood ................................................................................ 28
Figura 2-23 Modelo de Takeda modificado .............................................................................. 29
Figura 2-24 Definiciones del punto de fluencia (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J.
K., 1986) .................................................................................................................................... 33
Figura 2-25 Ductilidad de curvatura en función del índice de refuerzo .................................... 34
Figura 2-26 Rotación plástica en función del índice de refuerzo ............................................. 35
Figura 2-27 Idealización de Relaciones Momento-Curvatura para elementos parcialmente
presforzados (ACI - ASCE Committee 423, 1999) ................................................................... 36
Figura 2-28 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales
de secciones presforzadas ........................................................................................................ 37
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xvi
Figura 2-29 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales
de secciones parcialmente presforzadas ................................................................................. 37
Figura 2-30 Relaciones Momento-Curvatura de un elemento presforzado excéntricamente . 38
Figura 2-31 Comparativa de diagramas de interacción de secciones presforsadas y no
presforzadas .............................................................................................................................. 39
Figura 2-32 Sismo de Haití 2010 (MS=7.0) .............................................................................. 40
Figura 2-33 Tasa de excedencia de Magnitudes sísmicas ...................................................... 41
Figura 3-1 Trayecto de la Autopista Urbana Sur ...................................................................... 45
Figura 3-2 Ubicación del tramo en estudio ............................................................................... 45
Figura 3-3 Comparación de diferentes modelos de concreto .................................................. 48
Figura 3-4 Modelo de Bing et al. para concreto confinado y no confinado.............................. 49
Figura 3-5 Modelo de Kent y Park para el acero de refuerzo .................................................. 50
Figura 3-6 Modelo de Menegotto y Pinto para el acero de presfuerzo .................................... 50
Figura 3-7 Vista frontal y lateral de una columna tipo .............................................................. 51
Figura 3-8 Detalle del refuerzo de la columna en elevación .................................................... 52
Figura 3-9 Sección transversal de base y superior .................................................................. 52
Figura 3-10 Geometría de sección central de trabe presforzada ............................................ 53
Figura 3-11 Refuerzo de sección central de trabe presforzada ............................................... 53
Figura 3-12 Consideración de núcleo confinado y recubrimiento ............................................ 56
Figura 3-13 Relación Momento-Curvatura Bi-Lineal ................................................................ 57
Figura 3-14 Relación Momento-Curvatura Tri-Lineal ............................................................... 57
Figura 3-15 Fuentes sísmicas (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997) ...... 59
Figura 3-16 Localización de los sismos registrados en C.U. ................................................... 59
Figura 3-17 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Lineal) .......................... 60
Figura 3-18 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Log.) ............................. 61
Figura 3-19 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla NAM (MS=6.0) ......................... 61
Figura 3-20 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB2 (MS=5.9) ........................ 62
Figura 3-21 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB3 (MS=6.6) ........................ 62
Figura 4-1 Historia de cortantes sin inercia rotacional ............................................................. 66
Figura 4-2 Historia de cortantes con inercia rotacional ............................................................ 66
Figura 4-3 Historia de momentos en la base y la cabeza, modelo de fluencia sin inercia
rotacional ................................................................................................................................... 67
Figura 4-4 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia sin
inercia rotacional ....................................................................................................................... 67
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xvii
Figura 4-5 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de fluencia con inercia
rotacional ................................................................................................................................... 68
Figura 4-6 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia con
inercia rotacional ....................................................................................................................... 68
Figura 4-7 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia sin inercia rotacional
................................................................................................................................................... 69
Figura 4-8 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia con inercia
rotacional ................................................................................................................................... 69
Figura 4-9 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia sin inercia rotacional ... 70
Figura 4-10 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia con inercia rotacional 70
Figura 4-11Historia de cortantes modelo de agrietamiento sin inercia rotacional ................... 72
Figura 4-12Historia de cortantes modelo de agrietamiento con inercia rotacional .................. 72
Figura 4-13Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento sin inercia
rotacional ................................................................................................................................... 73
Figura 4-14 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento
sin inercia rotacional .................................................................................................................. 73
Figura 4-15 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento con
inercia rotacional ....................................................................................................................... 74
Figura 4-16 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento
con inercia rotacional................................................................................................................. 74
Figura 4-17 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL sin inercia rotacional ....... 75
Figura 4-18 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL con inercia rotacional...... 75
Figura 4-19 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento sin inercia
rotacional ................................................................................................................................... 76
Figura 4-20 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento con inercia
rotacional ................................................................................................................................... 76
Figura 4-21 Tasa de excedencia de intensidades C.U. (Esc. Log.) ......................................... 77
Figura 4-22 Ajuste de sin cabeceo a una función Log-normal ................................. 79
Figura 4-23 Función de densidad de probabilidad y función de distribución
acumulada sin cabeceo ........................................................................................... 79
Figura 4-24 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso sin cabeceo ........................... 80
Figura 4-25 Ajuste de con cabeceo a una función Log-normal ................................ 80
Figura 4-26 Función de densidad de probabilidad y función de distribución
acumulada con cabeceo .......................................................................................... 81
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xviii
Figura 4-27 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso con cabeceo .......................... 81
Figura 4-28 Comparación de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso con y sin
cabeceo ..................................................................................................................................... 82
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xix
LISTA DE TABLAS
Tabla 3.1 Resumen de las características de los materiales .............................................. 47
Tabla 3.2 Resumen de masas en la superestructura .......................................................... 54
Tabla 3.3 Resumen de propiedades geométricas de los elementos .................................. 54
Tabla 4.1 Periodos de vibración, modelo de fluencia sin inercia rotacional ....................... 65
Tabla 4.2 Periodos de vibración, modelo de fluencia con inercia rotacional ...................... 65
Tabla 4.3 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento sin inercia rotacional .............. 71
Tabla 4.4 Periodos de vibración modelo TL con inercia rotacional ..................................... 71
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
xx
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
1
CAPÍTULO 1
1 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE
PUENTES URBANOS
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
2
1.1 INTRODUCCIÓN
El análisis estructural y su historia comienzan mucho antes de la época antigua de
los egipcios, romanos y griegos, y aunque no se tienen escritos acerca de los
principios del análisis estructural de ésta época, se sabe por ejemplo que,
Arquímedes (287-212 a.C.) introdujo el concepto de dentro de gravedad entre otros
aportes.
Con el paso de los años, el avance científico y tecnológico, los métodos y
herramientas de análisis y modelado de estructura han ido evolucionando de manera
importante, dando lugar al desarrollo de de la teoría clásica de estructuras en los
siglos XVI y XVII, el desarrollo de métodos aproximados para el cálculo de
estructuras más complejas y así hasta llegar al desarrollo del método de los
elementos finitos a mediados de los años 50.
Por otro lado los fenómenos naturales que golpean cada vez con mayor frecuencia
las estructuras, lleva a buscar métodos y técnicas de análisis que puedan considerar
de mejor manera la naturaleza de acciones complejas como los son el viento, los
sismos, el oleaje, etc. Por esto, en los años 70 son escritas importantes
contribuciones intelectuales en el campo de la dinámica de estructuras y la ingeniería
sísmica, por lo cual durante las últimas décadas se han comenzado a desarrollar
modelos más robustos y técnicas de análisis más sofisticadas y refinadas, como por
ejemplo el modelado a través de elementos finitos en el plano y en 3 dimensiones y
análisis dinámicos en el dominio del tiempo y en condiciones no lineales del material.
Todo este importante avance en el campo del análisis estructural se ha desarrollado
con la finalidad de:
Realizar modelos más robustos que tomen en cuenta las características
mecánicas de los materiales.
Ejecutar análisis que consideren de mejor manera la naturaleza de las
acciones a las que son expuestas las estructuras.
Tener mayor conocimiento y control sobre la respuesta real de las
estructuras.
Sin embargo, a pesar de estos avances, se observa que actualmente se continúan
utilizando modelos muy simplificados y análisis estáticos, con los que se han
proyectado y ejecutado varias estructuras. Asimismo, hay que mencionar que en
México las estructuras de puentes urbanos actuales se están proyectando con
configuraciones cada vez más intrépidas y que los sismos están golpeando con
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
3
mayor intensidad y frecuencia, por lo cual es necesario conocer más a fondo el
comportamiento de este tipo de estructuras ante tales acciones.
1.1.1 RESEÑA HISTÓRICA DE PUENTES EN EL MUNDO
A continuación se presentan algunas aportaciones importantes en el campo de los
puentes a nivel mundial.
En 1925 se presenta el sismo en Santa Bárbara, los ingenieros de California incluyen
previsiones sísmicas a los códigos de construcción.
En 1950 de añaden similares recomendaciones a los códigos de diseño de puentes.
En 1971, debido al sismo de San Fernando Valley, se solicita a la FHWA comenzar
con un programa de investigación para establecer criterios de diseño sísmico.
En 1973, Caltrans inicia el desarrollo de nuevos criterios, siendo una de las agencias
más importantes en el campo del diseño sísmico.
En 1975, la AASHTO adopta los criterios desarrollados por Caltrans.
En 1979, la FHWA completa el programa de investigación y en 1983 la AASHTO
adopta lo establecido por la FHWA para crear la guía de Especificaciones para el
diseño sísmico de puentes carreteros.
En 1989, ocurre el sismo de Loma Prieta CA, y es la causa de que los ingenieros se
enfoquen más de cerca al diseño sísmico de puentes.
En 1992 la guía de especificaciones de la AASHTO se convierte en una
estandarización nacional.
En 1994 ocurre el sismo de Northridge y un nuevo concepto comienza a tomar
importancia, el reforzamiento.
En 1995 se realiza el Manual de Diseño de Puentes AASHTO LRFD
En 2001, la FHWA introduce el manual de reforzamiento Sísmico “Seismicretrofitting
Manual”.
En 2007 se crea la Guía de Especificaciones para diseño sísmico de puentes
carreteros que crea una transición del diseño basado en fuerzas al diseño basado en
desplazamientos.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
4
1.1.2 LOS PUENTES URBANOS EN MÉXICO
La zona Metropolitana del Valle de México (ZMVM) es una de las concentraciones
urbanas más grandes del mundo. Hace más de cinco décadas, se inició la ocupación
masiva de su territorio por una población en crecimiento constante y con actividades
muy diversas que excedió los límites administrativos y políticos de la ciudad, para
mezclarse con los municipios del vecino Estado de México y que hoy integra a las 16
delegaciones del Distrito Federal, 58 municipios del Estado de México y 1 Municipio
del Estado de Hidalgo. (CTS-México, 2011).
La población pasó de 2 millones 953 mil habitantes en 1950 a 18 millones 210 mil en
el año 2000 y la ocupación física del territorio pasó de 22 mil 960 hectáreas a más de
741,000 ha., que representa el 0.37% de la superficie total del país.
Durante las últimas décadas, el Distrito Federal ha vivido un proceso de
despoblamiento de las delegaciones centrales, esta situación ha sido acompañada
de un crecimiento expansivo hacia las delegaciones del poniente, oriente y sur; y en
mayor medida hacia los municipios del Estado de México, particularmente los
ubicados al oriente.
Este proceso de concentración de la población en las áreas externas de la Ciudad,
ha provocado cambios importantes en los patrones de viaje, mientras que en 1983
los viajes con origen - destino en las delegaciones del Distrito Federal representaban
casi el 62 por ciento, en 1994 su participación se redujo a menos del 57 por ciento y
siguiendo con este patrón, los viajes interdelegacionales eran más importantes (32%)
que los viajes al interior de cada delegación (24%). Por su parte, los viajes
metropolitanos (los que cruzan el límite del Distrito Federal y el Estado de México),
pasaron del 17 a casi el 22 por ciento; esto significa poco más de 4.2 millones de
viajes por día. (CTS-México, 2011).
Debido a esta situación, la población ve afectada su calidad de vida y su economía
al padecer el tráfico intenso en varias zonas del Valle de México, donde las
vialidades primarias se encuentran al límite de su capacidad.
Ante la falta de espacios para la ampliación de las vialidades, la construcción de
viaductos elevados se ha convertido en la solución más atractiva en los últimos años.
1.2 OBJETIVO
Estudiar el efecto de la inercia rotacional de la superestructura de puentes urbanos
tipo péndulo invertido en la respuesta sísmica no lineal de la estructura, en términos
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
5
de distorsiones de entrepiso, a partir de sismos reales y sintéticos representativos del
lugar de ubicación de la estructura.
1.3 METAS
Como metas del presente proyecto se tienen las siguientes:
Modelar un puente existente mediante elementos lineales viga-columna,
considerando todas las propiedades mecánicas no lineales asociadas a la
estructura.
Realizar análisis sísmicos no lineales de la estructura en el dominio del
tiempo aplicando sismos reales y simulados (sintéticos), considerando la no
linealidad del material.
Estudiar y analizar la respuesta sísmica no lineal de la estructura, a partir de
las historias de los elementos mecánicos y distorsiones de entrepiso.
Construir curvas de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso, sin
tomar en cuenta y tomando en cuenta el efecto de la inercia rotacional de la
superestructura.
1.4 JUSTIFICACIÓN
Debido al crecimiento demográfico y vehicular en la ciudad de México, se ha visto la
necesidad de implementar gran cantidad de puentes urbanos en por toda la ciudad,
con la finalidad de solucionar el problema del tránsito y disponibilidad de espacio.
Asimismo, tenemos pleno conocimiento de que los sismos que han castigado a la
Ciudad de México a lo largo de la historia, hay en día se han vuelto cada vez más
frecuentes y de mayor intensidad, lo cual nos debe motivar a considerarlos con
mucha importancia y analizar de manera más detallada y refinada la respuesta real
de las estructuras ante tales acciones.
Por otro lado, debido al incremento de las cargas y las nuevas configuraciones
estructurales; la tendencia moderna de diseño y construcción se ha inclinado a
utilizar concretos de mayores resistencias, campo en el que no se tiene mucha
investigación y conocimiento en el dominio no lineal.
Una particularidad de los puentes urbanos tipo péndulo invertido es que la inercia
rotacional de la superestructura altera notablemente su dinámica estructural y
estudios realizados muestran que existe una amplificación de elementos mecánicos
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
6
producto del cabeceo de la superestructura. Los estudios realizados, normalmente se
han concebido bajo acciones sísmicas deterministas (elección de unos cuantos
sismos) por lo cual no se podría garantizar completamente que esa sea la tendencia
general del efecto de cabeceo.
Finalmente se tiene que en la actualidad, México aún no cuenta con una normativa
específica para la construcción de puentes urbanos y lo que se busca es colaborar
en la generación de información útil que pueda servir de base para futuras
recomendaciones.
1.5 ALCANCES
Dentro de los alcances de esta investigación se tendrán los siguientes:
Se analizará un puente existente, con columnas de sección tronco-cónica y
de concreto de alta resistencia, tomando en cuenta todas sus
características geométricas y de material.
Se modelará la subestructura y la superestructura correspondiente a una
sola columna del puente.
El puente será modelado mediante elementos lineales viga-columna en un
entorno de 2 dimensiones. La superestructura se modelará como una masa
concentrada con inercia traslacional y rotacional.
No se considerará la interacción suelo-estructura, por lo que se supondrá
un empotre perfecto de la cimentación.
Se someterá a la estructura a la acción de diversas señales de sismos
reales y/o sintéticos, representativos del lugar de ubicación de la estructura.
Se utilizará un análisis dinámico no lineal en el dominio del tiempo (tiempo-
historia).
Se considerará la no linealidad del material de la estructura, pero no se
considerará la no linealidad geométrica por tratarse de una estructura
bastante rígida.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
7
CAPÍTULO 2
2 CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURAS DE
PUENTES
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
8
2.1 ANTECEDENTES
Los puentes urbanos y en especial los de tipo péndulo invertido son estructuras muy
particulares; su gran rigidez y al mismo tiempo su nula redundancia en la dirección
transversal hacen que este tipo de estructuras requieran una mayor atención a la
hora de analizarlas y diseñarlas.
Figura 2-1 Columnas de puentes tipo péndulo invertido
Varios trabajos han comenzado un largo camino en la investigación del
comportamiento sísmico no lineal de estructuras tipo péndulo invertido, encontrando
importantes resultados que ponen en manifiesto los problemas a los que pueden
estar sujetos este tipo de puentes.
Figura 2-2 Modelos analíticos con y sin base flexible (Sánchez, H., 1997)
El trabajo desarrollado por el Dr. Sánchez sobre demandas de ductilidad de
columnas de puentes (Sánchez, H., 1996), presenta una valoración dela inercia
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
9
rotacional que contribuyen los tableros de este tipo de puentes, y los efectos que
produce en el comportamiento dinámico en el rango no lineal. Los resultados
mostraron que el momento de cabeceo calculado fue de un 17-24% mayor en
comparación con el momento de base, lo cual es bastante significativo.
El mismo investigador presentó un trabajo sobre el comportamiento sísmico de
columnas aisladas (Sánchez, H., 1997), y reporta los resultados numéricos de la
respuesta sísmica de puentes tipo péndulo invertido ubicados en suelo compresible
de la Ciudad de México. Se observa que la interacción suelo-estructura ocasiona
importantes modificaciones en la respuesta dinámica, ya que el giro adicional que
permite la base reduce la rigidez efectiva de la estructura, ocasionando un
incremento del periodo, además de un aumento en el amortiguamiento del sistema.
Figura 2-3 Marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008)
Similares investigaciones enfocadas al estudio del comportamiento y respuesta no
lineal de viaductos urbanos, pero en este caso estructuras tipo marco como la
mostrada en la Figura 2-3, muestran que cuando estas estructuras incursionan en el
intervalo no lineal, llegan a sufrir daños irreversibles para distorsiones de entrepiso
menores a las estipuladas en la normativa mexicana vigente para edificios (NTC-04),
con lo que se puede afirmar que las estructuras de puentes con periodos dominantes
del orden de 0.51 segundos son susceptibles a experimentar serios daños con
menores desplazamientos en el intervalo inelástico (Cruz, M., 2008), deducción que
fue presentada por Miranda en 1993 y que se corrobora con este estudio. La Figura
2-4 muestra el nivel de discretización en la modelación del marco estudiado por
(Cruz, M., 2008).
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
10
Figura 2-4 Modelación de un marco típico viaducto San Antonio (Cruz, M., 2008)
Asimismo los resultados obtenidos de viaductos tipo marco con base flexible reportan
cambios en el comportamiento dinámico de la estructura con base flexible,
traduciéndose en un incremento del periodo de vibración y el amortiguamiento, pero
en una reducción de las distorsiones de entrepiso, lo cual es muy lógico, tomando en
cuenta el movimiento de cuerpo rígido que desarrolla la estructura por la flexibilidad
del terreno.
En cuanto a los elementos mecánicos, se observa una clara reducción del orden del
15.6% en el sistema con base flexible y finalmente se concluye que en este tipo de
estructuras altamente rígidas pueden presentar severos daños para bajos niveles de
distorsión, lo cual debe ser tomado en cuenta (Lugo Espino, Edgar, 2012).
2.2 CONFIGURACIÓN ESTRUCTURAL
La configuración estructural de los puentes tipo péndulo invertido o árbol está
constituida por una subestructura a base de una columna aislada de concreto
reforzado o presforzado (actualmente), apoyada sobre una cimentación de pilas y
cabezal como se puede ver en la Figura 2-5.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
11
Figura 2-5 Configuración estructural de un puente tipo péndulo invertido (Cruz, M., 2008)
Longitudinalmente en conjunto con la superestructura se forman marcos rígidos
mediante trabes presforzadas de apoyo TA, y a su vez, los marcos se articulan entre
ellos por medio de una trabe central presforzada TC para evitar la continuidad
hiperestática como se aprecia en la Figura 2-6.
Figura 2-6 Estructuración longitudinal (Cruz, M., 2008)
Las ventajas de esta configuración estructural son que permiten su emplazamiento
en espacios reducidos (caso particular de la Ciudad de México) y al tratarse de
elementos prefabricados pretensados, su proceso constructivo es rápido, la calidad
es buena y los tiempos de ejecución se reducen como se ve en la Figura 2-7.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
12
Figura 2-7 Marco formado por columnas y trabe TA
Por otro lado, a diferencia de las estructuras de edificios, los puentes urbanos tipo
péndulo invertido son sistemas estructurales que tienen muy poca o ninguna
redundancia estructural, y la falla de alguno de sus elementos o conexiones puede
significar el colapso total, como muestra la Figura 2-8 en el caso de una autopista en
Japón que se desplomó completamente durante el sismo de Kobe en 1995.
Figura 2-8 Estructura colapsada, sismo de Kobe en Japón 1995
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
13
2.3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
2.3.1 INTRODUCCIÓN
La cuantificación de la respuesta sísmica de los puentes en términos de
desplazamientos globales de la estructura, fuerzas en los miembros y deformaciones
locales es ejecutada con la ayuda de modelos matemáticos y técnicas de análisis.
Los diferentes tipos de análisis estático y dinámico de puentes experimentaron
mayores avances a mediados de la década de los 50’s cuando el método de los
Elementos Finitos (Figura 2-9) fue desarrollado y en la década de los 70’s cuando
fueron escritos los primeros trabajos serios en el campo de la dinámica estructural y
la ingeniería sísmica. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
Figura 2-9 Aplicaciones actuales del MEF (Método de los Elementos Finitos)
En poco tiempo, las limitaciones que existían con respecto al cálculo manual y los
procesos iterativos de solución fueron superadas por un constante desarrollo de
herramientas de hardware (Figura 2-10) y software, haciendo posible el modelado de
sistemas completos de puentes, y el análisis de la respuesta ante complejas señales
de aceleraciones sísmicas y considerando efectos de la no linealidad geométrica y
material.
Figura 2-10 Servidor de alto desempeño y supercómputo
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
14
Seleccionar la técnica de modelación y tipo de análisis más apropiados es un
verdadero arte, y requiere de amplio entendimiento del problema para seleccionar el
grado de precisión que se requiere y la disponibilidad de capacidad de cómputo.
2.3.2 TÉCNICAS DE MODELACIÓN ESTRUCTURAL
La modelación tiene como finalidad una formulación matemática de la geometría o
dominio real del puente, de tal manera que pueda determinarse con cierto grado de
aproximación la cuantificación de la verdadera respuesta estructural.
Figura 2-11 Diferentes niveles de modelación estructural (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996)
Existen varios niveles de discretización dentro de la modelación (Figura 2-11), desde
modelos de parámetros concentrados (SDOF), modelos de componentes
estructurales (vigas-columnas), hasta refinados modelos de elementos finitos
(Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
Modelos de parámetros concentrados
Los modelos de parámetros concentrados son aquellos en los que las principales
características dinámicas estructurales tales como la masa, rigidez y
amortiguamiento se condensan en ciertos puntos de la estructura, su formulación
matemática y resolución es simple, pero requiere de mucha experiencia y dominio
del tema para formular el modelo de tal manera que represente adecuadamente el
comportamiento real de la estructura de puente.
Modelos de componentes estructurales
Los modelos de componentes estructurales son basados en la idealización de
subsistemas estructurales, tales como marcos, vigas o columnas, que se encuentran
interconectados para representar la geometría general del puente y de esa manera
su comportamiento. Las características mecánicas de relación fuerza-deformación se
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
15
obtienen para cada elemento o subsistema estructural y al ensamblarse crean el
modelo estructural global del puente.
Figura 2-12 Niveles de discretización de secciones variables
Para el caso de respuesta sísmica de un puente, se pueden considerar diferentes
niveles de discretización (Figura 2-12), dependiendo de la geometría de la columna y
de la respuesta sísmica esperada. Para el análisis de respuesta estrictamente
elástica y con una geometría de columna prismática, un elemento individual tipo viga-
columna es suficiente, mientras que cuando se espera una considerable acción
inelástica en forma de rótulas plásticas o en el caso de columnas con secciones
variables, la discretización debe realizarse con varios elementos tipo viga-columna,
de tal forma que puedan aproximar de la mejor manera el dominio geométrico y la
distribución de masas
Modelos de elementos finitos
Los modelos de elementos finitos, discretizan el dominio o geometría real del puente
mediante un gran número de pequeños elementos, donde las características
mecánicas son derivadas directamente de las leyes constitutivas del material.
(Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
La mejor descripción del modelo analítico de un puente es sin dudas uno que detalle
al máximo el dominio de la estructura mediante elementos estructurales muy
pequeños que representen el comportamiento individual de cada uno y mantengan
una correcta posición y relación espacial con los demás elementos (Método de los
Elementos Finitos), pero no todos los tipos de análisis sofisticados son aplicables a
nivel práctico en este nivel de discretización.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
16
2.3.3 TÉCNICAS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Los tipos de análisis estructural, son herramientas matemáticas que plantean la
relación entre las fuerzas aplicadas y la respuesta estructural. El análisis comprende
desde el planteamiento físico del problema hasta los métodos numéricos de solución
de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno.
Entre los tipos de análisis estructural para estructuras de puentes sujetas a acciones
sísmicas se encuentran el análisis estático lineal, el análisis de espectro de
respuesta, el análisis dinámico lineal, el análisis estático no lineal, y el análisis
dinámico no lineal.
Únicamente un análisis dinámico no-lineal combina la característica inelástica propia
de los materiales que componen la estructura de puente y la naturaleza dinámica de
las excitaciones sísmicas para la determinación directa de la respuesta sísmica de
puentes. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
Lamentablemente la combinación de poderosas herramientas de modelación, y
enormes esfuerzos computacionales de sofisticados análisis, son las principales
razones por la cuales los modelos más complejos son sujetos a técnicas simples de
análisis, mientras que modelos más simples son sometidos a complejos
procedimientos de análisis.
2.4 COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE PUENTES
2.4.1 INTRODUCCIÓN
La aplicación apropiada de las herramientas de modelado y análisis de puentes bajo
acciones sísmicas requiere del conocimiento de algunos conceptos importantes de
dinámica estructural.
2.4.2 FORMULACIÓN DINÁMICA DEL PROBLEMA SÍSMICO
La formulación dinámica de estructuras de puentes formadas a través del ensamble
de elementos estructurales individuales y sometidos a acciones variables en el
tiempo, se expresa mediante una formulación matricial de la siguiente manera:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-1)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
17
Donde [ ], [ ] y [ ] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez
respectivamente, y { }, { }, { } y { } son los vectores de aceleración,
velocidad, desplazamiento y carga respectivamente.
El cálculo de los parámetros dinámicos propios de la estructura (frecuencias
circulares y formas modales) se convierte en un problema de valores y vectores
característicos como se muestra a continuación:
[ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-2)
[ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-3)
Los principales parámetros dinámicos de un sistema estructural de puente que
intervienen en la cuantificación de la respuesta sísmica son la masa, rigidez y
amortiguamiento.
Masa
Generalmente para sistemas de puentes, la mayor contribución de masa que
interviene en la respuesta dinámica es aportada por los elementos estructurales de la
superestructura, sin embargo en un análisis más refinado debe considerarse la masa
de la subestructura.
La masa es contribuida por el peso de los elementos estructurales y se asocia
directamente a los grados de libertad dinámicos que se tengan contemplados en el
análisis, por tal razón en el caso dinámico es muy importante el grado de
discretización de elementos, pues esto conlleva a un cálculo más aproximado de la
respuesta dinámica real. Existen dos tipos de masa, la traslacional y la rotacional,
cada una asociada a los grados de libertad de traslación y rotación respectivamente,
y definidos de acuerdo al espacio en que se realice el análisis, ya sea en 2D o 3D.
La formulación de la matriz de masa puede tomarse de varias maneras, entre ellas la
formulación de masas concentradas y la formulación de masas consistentes son las
más utilizadas en los análisis dinámicos no lineales. La elección entre una o la otra,
está en función del grado de aproximación requerido, la influencia de la inercia
rotacional en la dinámica general de la estructura y la capacidad computacional
disponible.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
18
Figura 2-13 Esquema de formulación de masas concentradas (Chang, G.; Mander, J.; Cedeño, G.; and Domínguez, D., 1996)
La formulación de masas concentradas considera únicamente masas traslacionales
desacopladas entre si y concentradas en los extremos de cada elemento estructural
como se muestra en la Figura 2-13, esto genera una matriz de masa diagonal
desacoplada, sin contribución de grados de libertad rotacional como se muestra a
continuación.
[ ]
[
]
Ecc. ( 2-4)
Por otro lado la formulación de masas consistentes considera una matriz de masa
cinemáticamente equivalente, donde las fuerzas de inercia están asociadas con
todos los grados de libertad y el análisis de las contribuciones de masa a cada grado
de libertad se determina de manera similar al cálculo de la matriz de rigidez (Clough,
R. W.; and Penzien, J., 1995).
Figura 2-14 Esquema de formulación de masas consistentes (Clough, R. W.; and Penzien, J., 1995)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
19
La formulación de masa consistente requiere un esfuerzo computacional mayor en
las operaciones de multiplicación paso a paso del análisis tiempo-historia, dado que
las masas correspondientes a los diferentes grados de libertad se encuentran
acoplados entre sí, pero aproxima de mejor manera el comportamiento de elementos
estructurales tipo viga-columna, ya que contempla la inercia al giro en cada elemento
por más pequeña que esta sea.
Rigidez:
La rigidez del puente depende del material y de la geometría de la estructura y se
formula a través de las matrices de rigidez. La matriz de rigidez global resulta del
ensamble de matrices de rigidez locales más pequeñas, que pueden ser formuladas
desde elementos estructurales como vigas o vigas-columna (Figura 2-15) o
elementos finitos.
Figura 2-15 Elemento típico viga-columna con extremos rígidos (Athol J.C., 2003)
Amortiguamiento:
El tercer término de la ecuación dinámica de movimiento supone una fuerza
amortiguadora viscosa, que es utilizada para simular o modelar numéricamente las
características de fuerzas amortiguadoras propias de las estructuras de puentes.
El amortiguamiento estructural es un tema bastante complejo, y supone un enorme
campo de investigación que aún sigue vigente. Actualmente se maneja la suposición
de un amortiguamiento viscoso, que físicamente es correcto si se tratase de un
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
20
objeto moviéndose en un medio viscoso como aceite por ejemplo, pero no es
físicamente representativo de la forma de amortiguamiento que presentan las
estructuras de puentes u otros sistemas estructurales similares.
Las formas o tipos de amortiguamiento más comunes en estructuras de puentes son:
(1) amortiguamiento por fricción, (2) amortiguamiento por radiación y (3)
amortiguamiento hiterético. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
Sin embargo, para realizar una formulación matemática más simple de la ecuación
de movimiento, las formas de amortiguamiento presentadas en estructuras de
puentes son expresadas en forma equivalente a un coeficiente de amortiguamiento
viscoso , que comúnmente es expresado en función de una relación de
amortiguamiento y el coeficiente de amortiguamiento crítico de la siguiente
manera:
Ecc. ( 2-5)
Para el caso de la equivalencia entre el amortiguamiento histerético y el
amortiguamiento viscoso, varios investigadores proponen la siguiente expresión que
relaciona el comportamiento de los ciclos de histéresis de carga deformación con la
relación de amortiguamiento equivalente de la siguiente manera:
Ecc. ( 2-6)
Donde y representan el promedio de la fuerza y desplazamientos picos del
ciclo histerético y representa el la energía de deformación elástica en un sistema
lineal equivalente Figura 2-16.
Figura 2-16 Energía de disipación para relación de amortiguamiento (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
21
Se puede observar claramente que la determinación de un coeficiente de
amortiguamiento equivalente que conlleve las características de amortiguamiento
estructural es bastante complicado, por lo cual muchas veces los valores de
amortiguamiento asumidos en los análisis están en función de pruebas y
observaciones experimentales, y es muy común asumir valores de relaciones de
amortiguamiento entre 2 y 7% para estructuras de puentes de concreto reforzado,
por lo general lo más usual es asumir un 5% de amortiguamiento crítico.
Únicamente en casos: (1) donde la interacción suelo-estructura juega un papel
importante, (2) donde se emplean dispositivos adicionales de amortiguamiento y (3)
donde se espere grandes disipaciones histéreticas de energía, se deben aplicar
coeficientes de amortiguamiento mayores. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi,
G.M., 1996).
Se debe notar que la mayoría de los modelos analíticos se basan en la rigidez
elástica inicial y el amortiguamiento adoptado debe representar la fase de respuesta
elástica, sin embargo cuando se utiliza un análisis inelástico tiempo-historia, la
disipación histerética de energía será directamente modelada por reglas de
comportamiento histerético. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
Figura 2-17 Curva de amortiguamiento de Rayleigh (Athol J.C., 2003)
La formulación de la matriz de coeficiente de amortiguamiento más utilizada es la de
Rayleigh (Figura 2-17), que supone una matriz de amortiguamiento [ ] proporcional
a las matrices de masa [ ] y rigidez [ ].
[ ] [ ] [ ] Ecc. ( 2-7)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
22
Los coeficientes y se calculan en base a dos frecuencias naturales de vibración,
que comúnmente pueden ser las 2 primeras.
( )
Ecc. ( 2-8)
( )
Ecc. ( 2-9)
(
) Ecc. ( 2-10)
Donde y son las frecuencias naturales de vibrar que se eligen para el modelo,
normalmente suelen ser la primera y la segunda, o la primera y la tercera.
Esta relación entre el amortiguamiento y las frecuencias naturales de vibración indica
que para frecuencias más altas, la cantidad de amortiguamiento aumenta casi
linealmente con la frecuencia (Figura 2-17).
Una consideración importante a tomar en cuenta en la matriz de amortiguamiento en
un análisis no lineal es el uso de la matriz de rigidez elástica o la matriz de rigidez
tangente. Una objeción muy fuerte con respecto al uso de la matriz de rigidez
tangente fue que si una estructura se daña y su matriz de rigidez se reduce, la matriz
de amortiguamiento también se reduce; lo cual no es nada razonable si sabemos que
una estructura dañada presenta mayor amortiguamiento.
La elección correcta de un modelo de amortiguamiento es un tema muy complejo, y
debe elegirse en base al problema que se esté abordando. En el caso de puentes, se
recomienda el amortiguamiento de Rayleigh, cuidando de tomar en cuenta las
frecuencias naturales de entrada y , de tal forma que los modos superiores de
vibrar permanezcan en el rango sub-crítico. Una recomendación basada en la
experiencia sugiere utilizar la primera y tercer frecuencia de vibrar.
2.4.3 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DINÁMICO
El análisis de la respuesta dinámica de los puentes puede resolverse de varias
maneras: (1) usando un análisis en el dominio de la frecuencia, (2) aplicando
integración directa a las ecuaciones de equilibrio acopladas en el dominio del tiempo,
y (3) a través de un análisis modal aplicando el principio de ortogonalidad de modos .
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
23
De manera general, tanto el análisis en el dominio de la frecuencia como el análisis
modal espectral, dependen del principio de superposición, por lo cual estas técnicas
son únicamente aplicables a problemas de análisis lineal; sin embargo los métodos
de integración directa pueden ser empleados para análisis no-linelaes tiempo-
historia.
Uno de los principales métodos de integración directa, son los métodos Beta de
Newmark, ampliamente utilizados en software de análisis actuales. Los dos métodos
propuestos por Newmark son el de aceleración constante y el de aceleración lineal,
entre los cuales destaca el de aceleración constante por su gran aproximación y por
ser incondicionalmente estable.
Algunos han modificado el esquema de Newmark, pasando del método de equilibrio
incremental original a una aproximación de equilibrio para asegurarse de mantener el
equilibrio en cada paso de tiempo. Cualquier error de fuerza residual se traslada al
siguiente paso de tiempo en un proceso de autocorrección.
El método de aceleración constante asume que la aceleración es constante desde el
tiempo hasta el tiempo .
Ecc. ( 2-11)
Integrando con respecto del tiempo sobre el paso de tiempo , se puede obtener
tanto el incremento de la aceleración como de la velocidad.
Ecc. ( 2-12)
Ecc. ( 2-13)
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio para el tiempo .
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } Ecc. ( 2-14)
Señalando que el término de rigidez puede rescribirse como:
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } Ecc. ( 2-15)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
24
De manera similar, el término de amortiguamiento puede reescribirse en términos de
las fuerzas de amortiguamiento nodal equivalente
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } Ecc. ( 2-16)
Esto significa que la ecuación de equilibrio puede ser reescrita en la forma
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } Ecc. ( 2-17)
Sustituyendo los incrementos de aceleración y velocidad en términos de incrementos
de desplazamiento, la ecuación queda de la siguiente manera.
[ ]
[ ] [ ]{ } { } [ ] {
} [ ]{ } { } { } Ecc. ( 2-18)
Si la matriz de amortiguamiento es constante, no cambia con el tiempo y la ecuación
puede simplificarse en la siguiente
[ ]
[ ] [ ]{ } { } [ ] {
} { } { } Ecc. ( 2-19)
Como se mencionó anteriormente, este esquema es incondicionalmente estable,
pero no incondicionalmente preciso, por lo cual es responsabilidad de cada uno
asegurarse de que los pasos de tiempo utilizados sean lo suficientemente pequeños
en comparación a los periodos naturales de vibrar más pequeños que contribuyan
significantemente a la respuesta. Una recomendación realizada por varios
investigadores indica que el paso de tiempo sea de al menos 0.1 del periodo del
modo más alto. Sin embargo, los errores pueden ser reducidos utilizando pasos de
tiempo más pequeños o utilizando iteraciones Newton-Raphson dentro de cada
tiempo.
2.4.4 CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE PUENTES
Independientemente de la información de entrada al sistema en forma de la señal
sísmica o dinámica, los sistemas estructurales de puentes se caracterizan por
parámetros dinámicos propios, que son las formas modales y sus
correspondientes periodos de vibrar . La cantidad de periodos y formas modales de
vibrar están en función del número de grados de libertad dinámicos definidos durante
la discretización del modelo analítico.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
25
Para un sistema de un solo grado de libertad (SDOF), la frecuencia de vibración y
el periodo natural , se calculan y relacionan como se muestra a continuación:
√
Ecc. ( 2-20)
Ecc. ( 2-21)
√
Ecc. ( 2-22)
En un sistema de puente que considere el efecto de amortiguamiento expresado en
forma de un amortiguamiento viscoso equivalente con una relación de
amortiguamiento , la frecuencia circular se ve afectada de la siguiente manera:
√ Ecc. ( 2-23)
Donde es la frecuencia circular amortiguada y como es de suponerse es menor a
la frecuencia circular sin amortiguamiento . De esta misma manera, el periodo
fundamental de vibrar también se ve afectado y queda expresado de la siguiente
manera:
√
( )
Ecc. ( 2-24)
De las expresiones anteriores se puede deducir que la influencia del
amortiguamiento en las características dinámicas propias de la estructura de puente
no es determinante, por ejemplo una relación de amortiguamiento del 10%
únicamente alteraría los parámetros dinámicos de la estructura en un 0.5%, por lo
cual puede ser despreciado. (Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M., 1996).
2.5 COMPORTAMIENTO NO LINEAL EN ESTRUCTURAS DE PUENTES
2.5.1 INTRODUCCIÓN
Existen 2 principales fuentes de no linealidad en el análisis estructural y son las no
linealidades material y geométrica. Las características de la respuesta no lineal
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
26
material asociada a las estructuras de puentes se basan en las características
plásticas o de daño del material y se representa fundamentalmente con el análisis
momento-curvatura de la sección crítica de la columna o elemento estructural,
llamada rótula o articulación plástica (Figura 2-18), teniendo en cuenta los efectos del
nivel de carga axial y el confinamiento.
Figura 2-18 Articulación plástica
Otra fuente de no linealidad, pero menos importante en este tipo de estructuras es la
geométrica. La respuesta de desplazamientos laterales de columnas de puentes
urbanos son muy pequeñas en comparación con las dimensiones transversales de la
columna, y en muchos casos se puede despreciar los efectos de no linealidad
geométrica. Sin embargo, existen algunos casos donde debe considerarse este
efecto, por ejemplo cuando las columnas son muy altas y esbeltas, donde la
combinación de cargas sísmicas laterales y cargas gravitacionales pueden ser muy
significantes. De cualquier manera puede omitirse un análisis completo de no
linealidad geométrica y solo incluir efectos p-delta ( ) o de segundo orden para
evaluar el equilibrio en la configuración deformada.
2.5.2 REPRESENTACIÓN DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL
El comportamiento no lineal de un elemento viga-columna se representa
normalmente mediante el concepto del modelo de un componente de Giberson, que
presenta una posible rótula plástica en uno o ambos extremos del elemento y una
parte central elástica como se muestra en la Figura 2-19.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
27
Figura 2-19 Modelo de un componente de Giberson
La rigidez de la rótula plástica es controlada por la rigidez tangente del punto
correspondiente en la regla de histéresis utilizada en el análisis. La rigidez de la
rótula plástica es tal que la rotación de la propia rótula asociada a la rotación de la
curvatura elástica de la viga sobre la longitud de la rótula es igual a la rotación
asociada con la curvatura sobre la longitud de la rótula con las propiedades
inelásticas en la zona de rótula (Figura 2-20).
Figura 2-20 Planteamiento geométrico de la rotación plástica en una rótula
Si la rótula está en el intervalo elástico la rótula plástica tiene una rigidez infinita. La
rigidez del resorte de la articulación para una longitud de rótula igual a , curvatura
y la relación inelástica momento curvatura, donde es:
Ecc. ( 2-25)
(
) Ecc. ( 2-26)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
28
2.5.3 REGLAS DE HISTÉRESIS
Existen diversas reglas de histéresis que representan el comportamiento inelástico
de elementos viga-columna. Estas reglas pueden ir desde reglas simples como la
elasto-plástica o bilineal (Figura 2-21), hasta formulaciones computacionales más
complejas como la regla de Ramberg-Osgood (Figura 2-22) y la de Wane Stewart
que requiere más de treinta parámetros.
Figura 2-21 Modelo bi-lineal
Muchas reglas de histéresis contienen modelos de degradación de rigidez y
resistencia, y la mayor parte de estas reglas han sido desarrolladas para representar
el comportamiento de elementos de concreto reforzado, puesto que ensayes de este
tipo de elementos muestran claramente que existe una degradación en cada ciclo de
carga y descarga. La regla de Takeda Modificada (Figura 2-23) es una de las reglas
histeréticas con degradación más conocidas y utilizadas por su buena representación
del comportamiento no lineal y simplicidad de cálculo.
Figura 2-22 Modelo de Ramberg-Osgood
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
29
Figura 2-23 Modelo de Takeda modificado
Algunas reglas de histéresis especiales pueden representar de mejor manera el
comportamiento de elementos presforzados, ya que en este tipo de estructuras se
tiene que el nivel de presfuerzo en el elemento es capaz de cerrar la grieta al menos
parcialmente. Este fenómeno histerético se conoce como “pinching” y existen reglas
como la de MehranKeshavarzian que lo representan de forma muy aproximada.
2.6 CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO
2.6.1 INTRODUCCIÓN
La aplicación de presfuerzo a elementos de concreto impone una fuerza de
compresión de tal magnitud, que puede contrarrestar los efectos de cargas de
servicio, modificando el comportamiento estructural de los elementos.
El concepto de presfuerzo no fue totalmente establecido hasta que Freyssinet
publicara su estudio clásico sobre este tema (Freyssinet, E., 1933). Freyssinet
reconocía que ante un definido límite de carga, comenzarían a aparecer grietas en
los elementos presforzados, pero que una vez que se retirasen las cargas
excedentes, las grietas en los elementos serían nuevamente cerradas. Desde
entonces, diferentes aproximaciones de diseño fueron propuestas por diversos
autores, entre ellos Abeles, quien determinó en sus estudios, que eliminar los
esfuerzos de tensión y el posible agrietamiento en el concreto es innecesario en la
mayoría de los casos (ACI - ASCE Committee 423, 1999).
El mismo Abeles sostuvo que el presfuerzo puede ser aplicado para contrarrestar
únicamente una parte de la carga de servicio y permitir cierto agrietamiento bajo la
carga total de servicio. Este agrietamiento y la resistencia adicional requerida podrían
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
30
ser cubiertas por acero de refuerzo no presforzado, denominando a esta nueva
aproximación de diseño “concreto parcialmente presforzado”.
2.6.2 DEFINICIÓN
A lo largo de la historia, diferentes definiciones pero con un mismo sentido se han
dado con respecto al concreto parcialmente presforzado. Por ejemplo, Lin y Burns
establecen que: “Cuando un miembro es diseñado de tal manera que bajo carga de
servicio no existen esfuerzos de tensión, entonces el concreto es totalmente
presforzado. Si en un elemento, algunos esfuerzos de tensión se presentan bajo
cargas de servicio, entonces se trata de un concreto parcialmente presforzado” (Lin,
T. Y.; and Burns, N. H., 1981).
Por otro lado Naaman establece que: “El concreto parcialmente presforzado implica
la combinación de acero pretensado y no pretensado, ambos contribuyendo a la
resistencia del elemento. El objetivo es permitir tensión y agrietamiento bajo cargas
de servicio, asegurando una adecuada resistencia” (Naaman, A. E., 1982).
2.6.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL PRESFUERZO PARCIAL
Entre las ventajas de utilizar elementos parcialmente presforzados se tiene las
siguientes:
En diseño, generalmente las cargas vivas se consideran ser mayores a las
que normalmente estará sometida una estructura, por lo tanto el uso de
presfuerzo parcial permite la aparición de ciertos esfuerzos de tensión en el
elemento ante cargas de servicio, lo cual nos lleva a un diseño más
económico con menores secciones transversales y menor cantidad de
refuerzo.
Cuando se tienen cargas vivas muy grandes, la contra flecha producida por
el presfuerzo total puede ser excedente y dado que las cargas vivas muy
grandes son excepcionales, probablemente jamás se pueda llegar al
balance de deflexión y los elementos queden permanentemente
deformados hacia arriba. Este se puede reducir con el presfuerzo parcial, ya
que los niveles de deflexión inicial no son tan altos.
El acero de refuerzo no pretensado ayuda mucho en el control de
deformaciones a largo plazo y mejora las propiedades geométricas de la
sección.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
31
Los elementos parcialmente pretensados tienen un mejor comportamiento
dúctil que un elemento totalmente pretensado, por lo que es capaz de
absorber mayor cantidad de energía bajo cargas dinámicas extremas como
sismos y explosiones.
Se ha comprobado que el acero no presforzado tiene mejor comportamiento
ante temperaturas elevadas, dado que no pierde su resistencia tan
rápidamente como el acero pretensado. Esto le brinda al elemento una
mejor resistencia al fuego.
Entre las desventajas del presfuerzo parcial tenemos:
Bajo cargas repetidas, la resistencia a la fatiga puede ser una
preocupación. Pero es conocido también que el rango de variación de las
cargas repetidas normalmente está en un nivel inferior a la capacidad de la
sección, por lo cual es un tema que puede controlarse.
Debido al agrietamiento permitido, la durabilidad puede ser un problema
potencial. Sin embargo, este problema puede resolverse convenientemente
con un buen detallado del acero dulce y los recubrimientos de la sección.
2.6.4 ÍNDICES DE PRESFUERZO PARCIAL
Diferentes índices se han propuesto para definir el grado de presfuerzo de una
sección, entre los más comunes podemos citar el índice de grado de presfuerzo y
la relación de presfuerzo parcial Ecc. ( 2-27) y Ecc. ( 2-28).
Ecc. ( 2-27)
Ecc. ( 2-28)
Donde es el momento que produce un esfuerzo nulo en la fibra extrema más
cercana al acero de presfuerzo, y son los momentos por carga muerta y viva
respectivamente, es el momento nominal proporcionado por el acero de
presfuerzo únicamente y es el momento nominal total.
Caracterizar la cantidad total de refuerzo a flexión de un elemento es muy
importante, como se verá más adelante, este parámetro puede de alguna manera
definir el comportamiento no lineal del elemento. La cantidad de refuerzo de un
elemento parcialmente presforzado puede definirse por el índice de refuerzo :
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
32
Ecc. ( 2-29)
2.6.5 COMPORTAMIENTO BAJO CARGAS ESTÁTICAS Y REVERSIBLES
Existen numerosas investigaciones con respecto al comportamiento de elementos
parcialmente presforzados bajo cargas estáticas (Abeles 1986; Burns 1964; Cohn
and Barlett 1982; Harajli and Naaman 1985; Thompson and Park 1980; y
Watcharaumnuay 1984). De estas investigaciones experimentales realizadas en
elementos reforzados con diferentes cantidades de acero presforzado y no
presforzado, se obtuvieron los siguientes resultados (ACI - ASCE Committee 423,
1999).
Las vigas parcialmente presforzadas muestran deflexiones últimas más
grandes, mayores ductilidades y mayor absorción de energía que vigas
totalmente presforzadas.
Las vigas parcialmente presforzadas se agrietan para menores niveles de
carga, pero presentan mayor rigidez post-agrietamiento que las vigas
totalmente presforzadas.
Para índices de refuerzo dados, la relación momento curvatura es casi
independiente de la razón entre las áreas de refuerzo a tensión (pretensado
vs no pretensado).
El cambio del presfuerzo efectivo de los tendones no conduce a un cambio
significante en la curvatura y resistencia última de elementos a flexión.
Un decaimiento del presfuerzo efectivo produce un incremento de la
curvatura de de fluencia y por tanto un decaimiento de la ductilidad de
curvatura.
Las cargas cíclicas reversibles resultan de efectos dinámicos producidos
por sismos, viento o explosiones. La filosofía de diseño para cargas
sísmicas requiere la provisión de una seguridad de vida prudente y
razonable. Para lograr estos objetivos, las estructuras deben proporcionar
rigidez y resistencia necesarias para resistir las fuerzas de diseño con un
nivel de daño aceptable. Para tal efecto, las fuerzas de diseño son
determinadas utilizando un coeficiente de comportamiento sísmico que
toma en cuenta la reducción de demanda en base los efectos de disipación
de energía inelástica.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
33
De acuerdo con la filosofía de diseño sísmico existen dos factores muy importantes
que se deben tomar en cuenta en los elementos parcialmente presforzados, la
ductilidad y la disipación de energía por histéresis (ACI - ASCE Committee 423,
1999).
La ductilidad permite la redistribución de fuerzas en sistemas indeterminados y
asegura una falla gradual precedida de grandes deformaciones antes delcolapso. La
ductilidad puede expresarse en términos de curvatura, rotación y desplazamiento y
es la relación de la deformación última a la deformación de fluencia. En el caso
particular de elementos parcialmente presforzados, la definición de deformación de
fluencia puede ser algo arbitraria, dado que el elemento contiene acero presforzado y
no presforzado con características diferentes de fluencia, tanto en el nivel de
esfuerzos como en la plataforma de fluencia.
Figura 2-24 Definiciones del punto de fluencia (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J. K., 1986)
Bajo esta situación, la deformación de fluencia puede ser definida de varias maneras,
y aunque se han realizado diferentes investigaciones al respecto, no hay una
definición consistente de la deformación de fluencia. Cohn y Bartlett consideran que
la curvatura de fluencia corresponde a la fluencia del refuerzo ordinario, esto conlleva
a un valor relativamente mayor de ductilidad debido a que el acero de presfuerzo
fluye para deformaciones más elevadas. Thompson y Park definen la primera
fluencia como la intersección de la tangente a la porción elástica de la curva carga-
deformación y una lineal horizontal que pasa por la carga última (Figura 2-24a).
Naaman define la deformación de fluencia como la intersección de la secante desde
cero al límite proporcional del acero de presfuerzo y la pendiente post-elástica
(Figura 2-24c).
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
34
2.6.6 DUCTILIDAD Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA
Aunque las definiciones anteriores del punto de fluencia presentan resultados
diferentes, todas están basadas en la ductilidad de la sección del elemento, más que
la fluencia de un componente en particular.
A continuación se presentan los principales factores que afectan la ductilidad de una
sección parcialmente presforzada.
La ductilidad de la sección decrece con el incremento del índice de refuerzo
.
Cuando el presfuerzo efectivo disminuye, la ductilidad de fluencia aumenta,
por lo que la ductilidad disminuye. Este efecto es más marcado en
elementos totalmente presforzados.
Si la relación de presfuerzo parcial disminuye, incrementan tanto la
curvatura última como la de fluencia, pero en términos de ductilidad esta
permanece casi invariable.
Si el refuerzo transversal aumenta, se mejor el confinamiento del concreto y
por tal motivo, la ductilidad también aumenta.
Para altos valores de índice de refuerzo , la resistencia a
compresión del concreto no tiene gran efecto en la ductilidad, pero para
, el uso de concretos de altas resistencias reduce la ductilidad
tanto como un 30% para el caso de bajas relaciones de presfuerzo parcial.
Figura 2-25 Ductilidad de curvatura en función del índice de refuerzo
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
35
Figura 2-26 Rotación plástica en función del índice de refuerzo
El investigador A. Naaman encontró que el índice de refuerzo es una variable
independiente excelente para describir la ductilidad de una sección (ACI - ASCE
Committee 423, 1999). Asímismo, la relación entre la distancia de la fibra extrema a
compresión y la profundidad del acero a tensión puede servir de mucho en
este propósito. Basado en los resultados de experimentos, Naaman desarrolló
ecuaciones de predicción de la ductilidad de curvatura y rotación plástica en función
del índice de refuerzo (Naaman, A. E.; Harajli, M. H.; and Wight, J. K., 1986) las
mismas que se grafican en la Figura 2-25 y la Figura 2-26.
Ecc. ( 2-30)
(
)
Ecc. ( 2-31)
Ecc. ( 2-32)
La disipación de energía se puede atribuir físicamente a un amortiguamiento viscoso
e histerético de los elementos estructurales. La disipación de energía de elementos
de concreto presforzado es tan baja como un 15% de la disipación que puede
desarrollar un elemento convencional de concreto reforzado (ACI - ASCE Committee
423, 1999).
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
36
Figura 2-27 Idealización de Relaciones Momento-Curvatura para elementos parcialmente presforzados (ACI - ASCE Committee 423, 1999)
Ensayes realizados por Penzien indican que el presfuerzo y altas resistencias del
concreto disminuyen el agrietamiento de la sección y por tal reducen el
amortiguamiento (Penzien, J. , 1964).
La disipación de energía (área encerrada dentro de los ciclos histeréticos fuerza-
deformación) de un elemento de concreto presforzado es menor que la de un
elemento de concreto reforzado convencional que desarrolla similares resistencias.
Los elementos de concreto presforzado pueden recuperarse elásticamente aún para
deformaciones muy grandes, por lo cual estas secciones no alcanzan grandes
disipaciones de energía, a menos que el acero de presfuerzo fluya y la sección se
agriete altamente. Sin embargo, la adición de refuerzo no presforzado en elementos
de concreto parcialmente presforzado, proporciona una mejor capacidad de
disipación de energía, como se puede ver en la Figura 2-27c.
Thompson y Park desarrollaron relaciones momento-curvatura idealizadas para
secciones de concreto parciamente presforzado, combinando las relaciones
obtenidas por Blakeley y Park para concreto presforzado y por Raberg-Osgood para
concreto reforzado. Las idealizaciones se basan en unos coeficientes y que son
las relaciones de la resistencia aportada por el acero no presforzado y el acero
presforzado respectivamente con respecto a la resistencia total del elemento. Estas
curvas histeréticas concuerdan muy bien con las curvas experimentales obtenidas de
ensayes de elementos viga-columna (Thompson, K. J.; and Prak, R., 1980b) como se
aprecia en la Figura 2-28 y en la Figura 2-29.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
37
Figura 2-28 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales de secciones presforzadas
Figura 2-29 Comparación de Relaciones Momento-Curvatura idealizadas y experimentales de secciones parcialmente presforzadas
Después que se alcanzó la capacidad del elemento parcialmente presforzado y el
aplastamiento del concreto avanza, la capacidad de disipación de energía es
significantemente mayor que la de una sección totalmente presforzada y las
relaciones momento curvatura en las regiones de articulación plástica se comportan
establemente. La degradación de rigidez no es tan grande, dado que cuando el
concreto comienza a aplastarse, el acero no presforzado trabaja muy bien a
compresión y toma la parte que cede el concreto por desconchamiento del
recubrimiento (ACI - ASCE Committee 423, 1999).
Después de esta revisión de las características del concreto parcialmente
presforzado, se puede concluir que estos tipos de elementos conjuntan las ventajas
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
38
de dos sistemas importantes, por un lado la capacidad de recuperación elástica y
reducción de deformaciones del concreto totalmente presforzado y por otro lado la
capacidad de disipación de energía del concreto reforzado tradicional.
2.6.7 CARACTERÍSTICAS A FLEXIÓN Y FLEXOCOMPRESIÓN
Las relaciones momento curvatura son las que describen mejor el comportamiento
lineal y no lineal de elementos sometidos a flexión (Figura 2-30). En el ANEXO 2 se
puede observar el procedimiento para el cálculo de relaciones momento curvatura
para elementos parcialmente presforzados.
Se pueden observar varias particularidades de las relaciones momento-curvatura de
una sección de concreto presforzado con relación al caso de elementos reforzados
únicamente, entre ellas:
Si la fuerza de presfuerzo es excéntrica, la curva no empieza en cero, sino
en una curvatura negativa.
El punto del primer agrietamiento es para un momento mucho mayor que el
concreto reforzado, por lo cual se hace más necesario buscar un modelo
histerético que tome en cuenta el primer agrietamiento.
La primera rama ascendente no es tan lineal y además no hay un punto de
fluencia bien definido, lo cual complica la representación inelástica con un
simple modelo bilineal.
Figura 2-30 Relaciones Momento-Curvatura de un elemento presforzado excéntricamente
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
39
Se debe tener en cuenta el comportamiento a largo plazo debido a que el concreto y
fundamentalmente el concreto presforzado sufre ciertos fenómenos a lo largo de su
vida, como el flujo plástico, la contracción, y la relajación, que generan grandes
cambios en el comportamiento en función del tiempo. Estos fenómenos son más
evidentes ante elevadas y sostenidas cargas axiales, lo cual es común en elementos
presforzados.
Figura 2-31 Comparativa de diagramas de interacción de secciones presforsadas y no presforzadas
En el caso de elementos cargados axialmente, el comportamiento combinado de
flexocompresión se puede representar por medio de las mismas relaciones
momento-curvatura con el efecto de carga axial y con el diagrama de interacción
para columnas de concreto presforzado. El caso de secciones presforzadas presenta
un comportamiento diferente al de secciones reforzadas, ya que los diagramas de
interacción de columna presforzadas presentan una reducción de capacidad axial,
pero una ganancia considerable en la capacidad a momento como se puede ver en
la Figura 2-31(1).
2.7 CARACTERIZACIÓN SÍSMICA
2.7.1 INTRODUCCIÓN
La caracterización sísmica esta en base al peligro sísmico de un determinado lugar y
se cuantifica en términos de los periodos de retorno de intensidades o sus inversos,
denominados tasas de excedencia.
No siempre es posible determinar el peligro sísmico contando las veces que se han
excedido valores dados de intensidad en el sitio de interés, dado que no siempre se
dispone de catálogos y menos aún completos de las intensidades que se han
producido en un sitio en base a sismos pasados.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
40
Por lo tanto se requiere cuantificar el peligro sísmico de manera indirecta, evaluando
la tasa de actividad sísmica en las fuentes generadoras de temblores, y después se
integran los efectos que producen en un sitio dado, y de esta manera generar tasas
de intensidades en un determinado lugar.
2.7.2 INTENSIDAD SÍSMICA
Es tema muy común la confusión entre los términos magnitud e intensidad sísmica, y
aunque están relacionadas entre sí, no tienen el mismo significado. La magnitud
sísmica es la cantidad de energía liberada en la fuente sísmica, producto del
deslizamiento entre las placas que originan la falla, mientras que la intensidad
sísmica es una medida de la sensación sísmica del movimiento en determinado
lugar. La intensidad puede medirse en función de la aceleración, velocidad o
desplazamiento máximo de la señal registrada, la pseudoaceleración del espectro de
respuesta para la misma señal, los efectos o daños causados en las estructuras
(escala de Mercalli), etc.
Bajo estos conceptos, se puede decir que existe una relación entre la magnitud de un
sismo y la intensidad percibida en determinado lugar, pero no es una relación lineal
directa, sino que está afectada por otros factores importantes como la distancia de un
lugar determinado a la fuente sísmica, la profundidad del sismo, la propagación de
ondas a través del terreno, y otros más.
Figura 2-32 Sismo de Haití 2010 (MS=7.0)
En la Ciudad de México son muy comunes los sismos de magnitud sísmica igual a
7.0 y sin consecuencias importantes, pero por otro lado tenemos el terrible sismo de
igual magnitud de Haití en el 2010 que destrozó todo a su paso como se ve en la
Figura 2-32.
En el análisis sísmico de estructuras, la medida más importante es la intensidad,
porque a través de ella se puede calcular la respuesta estructural asociada a
determinado evento sísmico.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
41
2.7.3 TASAS DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES
Las tasas de excedencia de intensidades sísmicas se definen como el número de
veces, por unidad de tiempo, en que el valor de esa intensidad sísmica es excedido.
De esta manera se entiende que el inverso de la tasa de excedencia sería en periodo
de retorno asociado a dicha intensidad.
De la misma manera las tasas de excedencia de magnitudes se definen como el
número de veces, por unidad de tiempo, en que el valor de la magnitud sísmica es
excedido. Como complemento se debe tomar en cuenta que el periodo de retorno es
el inverso de la tasa de excedencia.
Figura 2-33 Tasa de excedencia de Magnitudes sísmicas
La Figura 2-33 muestra dos funciones de tasas de excedencia de magnitudes de dos
sitios diferentes y como se puede observar, para la misma tasa (0.01) se tienen dos
magnitudes diferentes. Esto quiere decir que el sitio correspondiente a la primer
curva tiene que un sismo de magnitud aproximadamente igual a 6.0 puede ocurrir en
100 años, mientras que en el sitio correspondiente a la segunda curva, en los
mismos 100 años podría ocurrir un sismo de magnitud sísmica superior a 7.0.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
42
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
43
CAPÍTULO 3
3 MODELACIÓN Y ANÁLISIS DE PUENTE TIPO
PÉNDULO INVERTIDO
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
44
3.1 INTRODUCCIÓN
Los puentes urbanos tipo péndulo invertido son estructuras rígidas de altas
resistencias, por lo que se deben tratar como estructuras especiales, dado que su
comportamiento difiere en mucho de las estructuras tradicionales de edificios a las
que estamos acostumbrados en la práctica.
De manera particular, los puentes urbanos tipo péndulo invertido presentan un
comportamiento dinámico variable en función de la masa rotacional de la
superestructura. El modo fundamental de vibrar en la dirección traslacional puede
verse seriamente influenciado por los modos de cabeceo o rotación de la
superestructura. Esto puede generar incrementos en la respuesta estructural, y
comportamientos no lineales que inicialmente no se habían contemplado.
Por otro lado, la incertidumbre asociada al fenómeno sísmico no puede ser resuelta
mediante una condición determinista, por lo cual, los sismos deben tratarse como
una variable aleatoria y buscar que esta sea lo más representativa posible del
espacio muestral.
Finalmente, al contemplar una caracterización completa de las solicitaciones
sísmicas, se hace evidente la necesidad de plantear modelos no lineales que tomen
en cuenta el efecto del daño que se produce en los elementos estructurales.
El presente capítulo describe las características de la estructura en estudio, su
modelación, y demás consideraciones propias del análisis no lineal. Además
contempla el análisis de la simulación sísmica que caracteriza a la zona de
emplazamiento.
3.2 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA EN ESTUDIO
3.2.1 INTRODUCCIÓN
La estructura a estudiar es una columna típica de concreto presforzado que forma
parte del proyecto “Autopista Urbana Sur”, dentro del proyecto general “AUTOPISTA
URBANA” de la Ciudad de México.
El proyecto referido consiste en una vialidad elevada en zona urbana con 4 carriles
(2 por sentido), con una longitud aproximada de16km que va desde la parte final del
distribuidor San Jerónimo hasta Muyuguarda, además de un tramo, que parte desde
el crucero del Anillo Periférico Sur con Viaducto-Tlalpan hacia la salida a Cuernavaca
como se observa en la Figura 3-1.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
45
Figura 3-1 Trayecto de la Autopista Urbana Sur
3.2.2 UBICACIÓN
La vialidad elevada “Autopista Urbana Sur” se localiza al sur de la Ciudad de México,
cubriendo en planta al Anillo Periférico Sur.
Esta autopista fue dividida en 5 inter-tramos, el primero San Jerónimo-Picacho, el
segundo Picacho-Insurgentes, el tercero Insurgentes-Viaducto Tlalpan, el cuarto
Viaducto Tlalpan-Muyuguarda y el quinto la salida a Cuernavaca. La estructura en
estudio es una columna tipo del tramo Picacho-Insurgentes (Figura 3-2).
Figura 3-2 Ubicación del tramo en estudio
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
46
3.2.3 ESTRUCTURACIÓN
La estructura de este sector en estudio consiste en una cimentación profunda
resuelta con pilas, la subestructura se conforma de zapatas aisladas apoyadas sobre
pilas y de estos elementos se desplantan columnas de concreto de alta resistencia
prefabricadas y presforzadas.
Como superestructura, se tienen trabes presforzadas que se clasifican en 2 grupos
principales, las trabes TA (trabes de apoyo) y las trabes TC (trabes centrales). Las
trabes TA forman un marco longitudinal al ensamblarse rígidamente a las columnas y
las trabes TC se sostienen simplemente apoyadas sobre las trabes TA, formando un
sistema tipo Gerber para romper la continuidad longitudinal.
Posteriormente se colocan unas tabletas prefabricadas y presforzadas sobre las
trabes para generar el tablero y se cuela sobre ellas un firme estructural o capa de
compresión para la resistencia a flexión y formar además un diafragma rígido que
sirva para distribuir de manera uniforme las cargas.
Finalmente en los aleros de las trabes se construyen guarniciones sobre las que se
coloca el parapeto metálico y otro parapeto central de concreto para dividir los
sentidos quedando completa la sección elevada.
La estructura consta de los siguientes sistemas estructurales:
Pilas: Son de concreto reforzado colado en sitio, f’c= 250 kg/cm². Su nivel
de desplante varía entre 32 y 15 metros, teniendo la mayor cantidad de
pilas una profundidad de 20 m.
Zapatas: Losas macizas de cimentación de concreto prefabricado, con f’c=
600 kg/cm². Su peralte total es de 1.7 m. Su sección en planta es
rectangular, el cual es de 3.60 x 4.60 m. El nivel de desplante de zapatas es
de 2.2 m bajo el nivel del terreno.
Columnas: Elementos de sección oblonga aligerada, de concreto
prefabricado, reforzado y pretensado con f’c= 600 kg/cm². Sus dimensiones
transversales varían con la altura de 220 x 260 cm en su sección más
esbelta hasta 220 x 335 cm en la sección más grande, con espesor de
pared de 60 cm; y sus alturas varían entre 3.7 y 11.5 metros.
Trabe TA: Trabe cajón de concreto presforzado, f’c= 600 kg/cm². Tiene un
peralte constante de 172 cm y un ancho a nivel de patines de 700 cm, su
longitud varia de 40 a 45 metros. Se divide en tres tramos principalmente,
un volado izquierdo de 5 m, un tramo central entre columnas que varía de
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
47
30 a 35 m y un volado derecho de 5 m. Los extremos de su tramo central se
conectan con las columnas.
Trabe TC: Trabe cajón de concreto presforzado, f’c= 600 kg/cm². Tiene un
peralte constante de 172 cm y un ancho a nivel de patines de 700 cm, su
longitud varia de 34 a 35 metros. Se apoya isostáticamente sobre las trabes
TA.
3.2.4 MATERIALES
A continuación se presenta la Tabla 3.1, que muestra el resumen de las propiedades
mecánicas de los materiales que componen la estructura.
Tabla 3.1 Resumen de las características de los materiales
Material Descripción Valor Unidad
CONCRETO
Resistencia Característica f'c 600 kg/cm2
Resistencia Media fcm 645 kg/cm2
Módulo de Elasticidad Ec 318207 kg/cm2
Módulo de Elasticidad Medio Ecm 325873 kg/cm2
Módulo de Cortante G 135781 kg/cm2
Relación de Poisson vc 0.20
ACERO de refuerzo
Resistencia de Fluencia fy 4200 kg/cm2
Resistencia Última fu 6300 kg/cm2
Módulo de Elasticidad Es 2100000 kg/cm2
Relación de Poisson vs 0.30
ACERO de presfuerzo
Resistencia de Fluencia fy 16200 kg/cm2
Resistencia Última fu 19000 kg/cm2
Módulo de Elasticidad Eps 1900000 kg/cm2
Área de Torón (3/8 in) Aps 0.548 cm2
Fuerza Inicial p/torón Fi 7315 kg
Fuerza Efectiva p/torón Fe 5852 kg
Número de torones N 472
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
48
Concreto
El comportamiento del concreto confinado y no confinado ha recibido la atención de
varios investigadores y ha sido ampliamente estudiado a bajas y altas velocidades de
deformación, estas últimas simulando de alguna manera el comportamiento del
concreto ante acciones dinámicas con elevadas aceleraciones como las que se
presentan durante un sismo.
Todos los investigadores han llegado a conclusiones comunes en cuanto al efecto
del aumento de velocidad de deformación: 1) la resistencia a compresión, el módulo
secante de elasticidad y la pendiente de la rama descendente de la curva esfuerzo
deformación incrementan; y 2) la deformación máxima a la falla decrece, mientras
que la deformación al esfuerzo máximo puede incrementar o decrecer dependiendo
de la velocidad de deformación. (Bing, L.; Park , R. and Tanaka, H., 2000).
Por otro lado, la mayor parte de los estudios han sido limitados a concretos de
resistencia normal con valores de entre 20 y 40 Mpa, por lo que no se tiene
suficiente investigación del comportamiento de concretos de alta resistencia.
Los modelos propuestos por Park et al. (modificado), y Mander et al., han sido
ampliamente utilizados para concretos de resistencias normales y representan muy
bien el comportamiento del concreto en la parte ascendente, pero no manejan muy
bien la parte descendente para concretos de alta resistencia; mientras el modelo de
Park et al. (modificado) es muy optimista, el modelo de Mander et al., se vuelve muy
conservador para concretos de alta resistencia.
Figura 3-3 Comparación de diferentes modelos de concreto
Bing et al., proponen un modelo para concreto de alta resistencia confinado por aros
y espirales, tanto para secciones rectangulares como circulares, la Figura 3-3
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
49
muestra una comparación de los modelos de Park et al. (modificado), Mander et al.,
y Bing et al., para un concreto de 600 Kg/cm2.
Para la presente investigación se utilizó el modelo de (Bing, L.; Park , R. and Tanaka,
H., 2000), dado que representa de mejor manera el comportamiento de concreto de
alta resistencia confinado y no confinado. La Figura 3-4 muestra los modelos de
concreto utilizados, el no confinado y los confinados por estribos transversales de 10
y 20 cm respectivamente.
Además, dado que el concreto presenta características mecánicas muy variables,
propias de su naturaleza y elaboración, se realizó en este trabajo un análisis
probabilista para determinar el valor medio de la resistencia a compresión, en base a
información de trabajos de investigación desarrollados por (Mendoza, C.; and
Moguel, C., 1999). Dado que las desviaciones estándar y particularmente los
coeficientes de variación de las resistencias de concreto son muy grandes, es
recomendable utilizar valores medios en el análisis, ya que los valores son muy
conservadores.
La deducción y cálculo completo se pueden ver en el ANEXO 1, de donde se obtuvo
que la resistencia media del concreto es de .
Figura 3-4 Modelo de Bing et al. para concreto confinado y no confinado
Acero de refuerzo
El acero de refuerzo tiene un comportamiento con menor variación, y los modelos
que se han propuesto para representarlo han dado buenos resultados. Dado su
amplio uso y gran aproximación, se ha propuesto para este estudio el modelo de
Kent y Park, que se puede apreciar en la Figura 3-5.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
50
Figura 3-5 Modelo de Kent y Park para el acero de refuerzo
Acero de Presfuerzo
El acero de presfuerzo es muy similar al acero de refuerzo en el módulo de
elasticidad, pero tiene muchas diferencias importantes que hay que considerar. La
primer gran diferencia es su resistencia, creciendo hasta más de 4 veces con
respecto al acero de refuerzo, y la segunda gran diferencia es que no presenta un
punto marcado de fluencia, incluso, muchos investigadores han tratado de llegar a un
acuerdo con respecto a este tema y se propuso considerar como esfuerzo de
fluencia el correspondiente a una deformación unitaria de 0.01.
Figura 3-6 Modelo de Menegotto y Pinto para el acero de presfuerzo
El modelo que recomienda Naaman en su libro de análisis y diseño de concreto
presforzado es el de Menegotto y Pinto (Figura 3-6) y es el que se utilizó para el
presente estudio (Naaman, A. E., 1982).
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
51
3.3 MODELACIÓN NUMÉRICA
3.3.1 INTRODUCCIÓN
La modelación es la representación de las características geométricas y de
materiales de la estructura a estudiar. En el capítulo 2 se revisaron diferentes
técnicas y niveles de modelación estructural, y para el presente estudio, dada la
complejidad matemática del tipo de análisis, se utilizará una modelación con
elementos viga-columna.
3.3.2 GEOMETRÍA
A continuación se presenta la geometría y detalles de la estructura en estudio que
será modelada y analizada.
La columna en estudio es una columna tipo del viaducto elevado, y se tomará como
la más desfavorable, la columna de sección tipo que presente la máxima altura
posible, y esta corresponde a una columna de 11.50 m.
Figura 3-7 Vista frontal y lateral de una columna tipo
La Figura 3-7 muestra la elevación de la estructura, donde se puede apreciar la
variación de dimensiones en la dirección longitudinal en función de la altura de la
columna.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
52
Tanto el refuerzo longitudinal como el refuerzo transversal es variable en altura
(Figura 3-8), lo cual debe tomarse en cuenta al omento de generar las curvas
momento-curvatura, ya que es función de estos dos aspectos.
Figura 3-8 Detalle del refuerzo de la columna en elevación
El acero de refuerzo de las columnas es variable en función de la altura, sin
embargo, el acero de presfuerzo es continuo desde la base hasta la parte superior
como se puede observar en la (Figura 3-8).
Figura 3-9 Sección transversal de base y superior
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
53
Las secciones de la columna son oblongas y variables en la dirección longitudinal en
función de la altura, con unas dimensiones de base de 2.20m por 3.35m y con
dimensiones en la parte superior de 2.20m por 2.60m, como muestra la Figura 3-9.
Como se puede apreciar las secciones son simétricas oblongas con varias
irregularidades, y se trata de secciones de concreto de alta resistencia parcialmente
presforzadas.
La superestructura consiste en trabes presforzadas con una geometría de sección
cajon (Figura 3-10). Dado que en un sismo, la superestructura normalmente no sufre
daño y tomando en cuenta que se realizará un análisis 2D, la superestructura será
modelada mediante una concentración de masa traslacional y rotacional
correspondiente a la longitud tributaria de la columna en estudio.
Figura 3-10 Geometría de sección central de trabe presforzada
Figura 3-11 Refuerzo de sección central de trabe presforzada
Dado que se utilizó un análisis 2D, la superestructura se modeló como una masa
concentrada por simplicidad, y se tomó en cuenta tanto el efecto traslacional, como el
efecto rotacional de la masa concentrada para tomar en cuenta el efecto de cabeceo
y su influencia en la dinámica estructural del puente.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
54
El resumen de la cuantificación de la masa traslacional y rotacional de la
superestructura considerados en el análisis se muestra en la Tabla 3.2.
Tabla 3.2 Resumen de masas en la superestructura
DESCRIPCIÓN
PESO
TRASLACIONAL
(Ton)
PESO
ROTACIONAL
(Ton.m2)
TRABES Y LOSA 713 10507
PARAPETOS Y BARANDAS 126 4504
CARPETA ASFÁLTICA 91 1648
CARGA VIVA 35%HS20 53 961
TOTAL= 983 17620
3.3.3 NIVEL DE DISCRETIZACIÓN
La columna de estudio tiene una altura total de nivel superior de cimentación a nivel
inferior de trabe de 11.50 m. Como la sección es variable en función de la altura, se
propone una dicretización en sub-elementos de sección constante de 1 m de longitud
para considerar de manera muy aproximada la rigidez y distribución de masa real.
Únicamente el primer elemento es de 2 m de longitud para modelar correctamente la
longitud de rótula plástica supuesta que se considerará de 1m de acuerdo a
recomendaciones de la literatura. Este nivel de discretización da como resultado un
total de 11 nodos y 10 elementos.
Tabla 3.3 Resumen de propiedades geométricas de los elementos
N° ELEMENTO A I AS E G Peso
(m2) (m4) (m2) (Ton/m2) (Ton/m2) (Ton/m)
1 ELEMENTO 1 4.1085 1.8486 2.5210 3258732 1357805 9.8604
2 ELEMENTO 2 4.0188 1.7917 2.5047 3258732 1357805 9.6451
3 ELEMENTO 3 3.9291 1.7347 2.4877 3258732 1357805 9.4298
4 ELEMENTO 4 3.8394 1.6777 2.4699 3258732 1357805 9.2145
5 ELEMENTO 5 3.7497 1.6208 2.4513 3258732 1357805 8.9992
6 ELEMENTO 6 3.6600 1.5638 2.4318 3258732 1357805 8.7840
7 ELEMENTO 7 3.5703 1.5068 2.4113 3258732 1357805 8.5687
8 ELEMENTO 8 3.4626 1.4378 2.3846 3258732 1357805 8.3102
9 ELEMENTO 9 3.3997 1.3972 2.3683 3258732 1357805 8.1593
10 ELEMENTO 10 3.3997 1.3972 2.3683 3258732 1357805 8.1593
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
55
La Tabla 3.3, muestra el resumen con las propiedades geométricas y mecánicas de
los elementos. El memento de inercia indicado en la tabla es el correspondiente a la
sección bruta de concreto, mismo que será reemplazado por el momento agrietado
de acuerdo al modelo no lineal utilizado mediante el cálculo de relaciones momento-
curvatura.
3.4 TÉCNICA DE ANÁLISIS
3.4.1 INTRODUCCIÓN
La técnica de análisis consiste en el tipo de formulación matemática con el que será
resuelto el modelo planteado, de acuerdo a la física que representa el fenómeno
estudiado. Como se mencionó en el Capítulo 2 existen varios niveles de análisis,
unos más sofisticados que otros, dependiendo del planteamiento matemático
utilizado y de acuerdo a la consideración de los efectos no lineales y dinámicos.
Para el presente trabajo se empleó un análisis en el dominio del tiempo no-lineal
(material), que combina la naturaleza dinámica del fenómeno sísmico y el
comportamiento de la estructura cuando se rebasan sus capacidades elásticas
lineales.
3.4.2 MÉTODO DE ANÁLISIS
Para encarar el problema dinámico se deben utilizar métodos que no se basen en el
principio de superposición, dado que ese principio no aplica para el caso no lineal,
por lo tanto en este trabajo se utilizará el método integración directa correspondiente
al método Beta de Newmark de aceleración constante implementado en el software
Ruaumoko.
Este método destaca sobre su similar de aceleración lineal por su gran aproximación
y sobre todo por ser incondicionalmente estable, lo cual es muy importante cuando
se tienen estructuras con modos superiores que pueden tomar gran importancia en el
comportamiento dinámico.
3.4.3 COMPORTAMIENTO NO LINEAL (MATERIAL)
El comportamiento no lineal será representado por las relaciones Momento-
Curvatura de las secciones de concreto parcialmente presforzado.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
56
Figura 3-12 Consideración de núcleo confinado y recubrimiento
Las curvas momento curvatura se generaron considerando un núcleo de concreto
confinado y un recubrimiento de concreto no confinado (Figura 3-12), de acuerdo al
modelo de (Bing, L.; Park , R. and Tanaka, H., 2000).
Las curvas momento-curvatura fueron simplificadas a un comportamiento bilineal con
endurecimiento y otro trilineal que tome en cuenta el primer agrietamiento. Las
simplificaciones se llevaron a cabo mediante la igualación de energías de
deformación, mismo que se logra al igualar las áreas bajo las curvas completa y
simplificada.
El comportamiento del concreto parcialmente presforzado genera un cambio
relativamente pequeño en las propiedades de rigidez y resistencia ante ciclos
repetitivos de carga por lo cual se eligió el modelo histerético de Takeda-Modificado,
pero utilizando el límite inferior de los factores de degradación de rigidez y sin
degradación de resistencia.
Las curvas Momento-Curvatura se obtuvieron del análisis para secciones
parcialmente presforzadas y bajo el efecto de carga axial adicional de acuerdo a la
metodología que se detalla en el ANEXO 2.
Dado que es una estructura de una sola columna, no se desarrollaran variaciones de
carga axial, por lo cual el efecto de la compresión de la sección se tomará en cuenta
en las relaciones momento-curvatura, con lo cual no se requerirán superficies de
fluencia.
La Figura 3-13 y la Figura 3-14 muestran las relaciones momento-curvatura
completas y una aproximación o simplificación matemática bi-lineal y tri-lineal
respectivamente de la sección base de la columna, que es donde se espera la
formación de una rótula o articulación plástica. Los demás elementos no se
consideran para el análisis de relaciones momento-curvatura, porque no se espera
que se sobrepasen los límites elásticos en ellos.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
57
Figura 3-13 Relación Momento-Curvatura Bi-Lineal
Figura 3-14 Relación Momento-Curvatura Tri-Lineal
La carga axial utilizada en el análisis de las secciones contempla el peso propio de la
columna y la superestructura, y las sobrecargas utilizadas para el análisis sísmico,
que aproximadamente se calculan en 1050 ton.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
58
3.5 SIMULACIÓN DE SISMOS
3.5.1 INTRODUCCIÓN
Existen diversas técnicas de simulación que se utilizan actualmente para la
simulación de sismos en el campo de la investigación. La simulación se hace
necesaria ante la falta de datos o que no se tenga el catálogo completo de los
mismos.
El problema de falta de datos es muy común en el tema sísmico, primeramente
debido a que es muy complicado y costoso contar con instrumentación sísmica
cubriendo toda la zona afectada por sismos y por otro lado, la información con la que
se cuenta es relativamente reciente y no representa lo que alguna vez pudo haber
ocurrido en épocas pasadas. Esto ha dado mucha importancia a los métodos de
simulación sísmica y sus desarrollos y resultados han sido realmente importantes en
la actualidad.
El método de simulación que se utilizará en el presente es el Método de la función de
Green Empírica.
3.5.2 MÉTODO DE LA FUNCIÓN DE GREEN EMPÍRICA
Esta técnica se basa en un sismo semilla registrado en el sitio de estudio, a partir del
cual se generan sismos sintéticos bajo el concepto de una integración de sismos
pequeños en función de los tiempos de ruptura caracterizados probabilísticamente.
Los sismos simulados con este método se basan en incrementos de magnitud
sísmica, que es similar a magnificar la cantidad de energía liberada en la falla
tectónica, pero esto no siempre se traduce en una mayor intensidad o sensación del
temblor. Esto se debe a la naturaleza aleatoria de los tiempos entre ruptura, por lo
que dos sismos simulados con la misma semilla y para una misma magnitud, no
necesariamente serán iguales en intensidad, ya que esto depende de procesos
aleatorios del tiempo de ruptura que también son simulados.
Los comienzos y desarrollo actual de este método pueden revisarse en los trabajos
realizados por (Joyner, W.; and Boore, D., 1986), (Wennerberg, L., 1990), (Ordaz, M.;
Arboleda, J.; and Singh, S. , 1995), y (Kohrs-Sansorny, C.; Courboulex, F.; Bour, M.;
and Deschamps, A., 2005).
El trabajo de tesis presentado por (Cruz, M., 2008), muestra en uno de sus
apéndices de manera compacta, la formulación matemática del método de la Función
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
59
de Green Empírica para simulación de grandes sismos, implementado por (Ordaz,
M.; Arboleda, J.; and Singh, S. , 1995).
3.5.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN UTILIZADA
Para generar los sismos se utilizaron como semillas diferentes sismos registrados en
Ciudad Universitaria C.U. (UNAM) del Distrito Federal de México, dado que la
estructura a estudiar está desplantada muy cerca de dicha estación.
Para obtener semillas representativas, se ubicaron todas las señales sísmicas de la
base de datos de sismos fuertes de la SMIS registradas en Ciudad Universitaria en
las diferentes fuentes sísmicas mexicanas de acuerdo a la caracterización de fuentes
sísmicas propuesta por (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997).
Figura 3-15 Fuentes sísmicas (Zúñiga, R.; Suárez, G.; Ordáz, M. and García, V., 1997)
La Figura 3-15 y la Figura 3-16 muestran las principales fuentes sísmicas de acuerdo
a Zúñiga et al. y la ubicación en planta de los epicentros de los sismos registrados en
C.U.
Figura 3-16 Localización de los sismos registrados en C.U.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
60
De este análisis se escogieron 3 fuentes representativas (NAM, SUB2 y SUB3) y sus
semillas o funciones de Green correspondientes. Se simularon señales sísmicas
proporcionales a la sismicidad de las fuentes escogidas y se cubrió completamente el
dominio de intensidades correspondientes a la curva de tasas de excedencia
calculada para la estación de Ciudad Universitaria. De esta manera se asume haber
caracterizado de una manera adecuada la naturaleza aleatoria del fenómeno
sísmico.
3.5.4 TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES DE C.U.
La ecuación de tasas de excedencia de intensidades de Ciudad Universitaria fue
proporcionada por el Dr. Jorge L. Alamilla, y se toma como intensidad la
pseudoaceleración del espectro de respuesta elástico para 1 segundo de periodo y
5% de amortiguamiento crítico. La ecuación que representa la función de tasa de
excedencia de intensidades es la siguiente:
[ (
) ] [ (
) ] Ecc. ( 3-1)
Donde , , , , , , son valores
constantes.
Figura 3-17 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Lineal)
La Figura 3-17 muestra gráficamente la función de tasas de excedencia de
intensidades para C.U. en una escala lineal, sin embargo, la manera más
convencional de representar este tipo de funciones es mediante una escala
logarítmica en ambos ejes, lo cual se puede ver en la Figura 3-18.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
61
Figura 3-18 Función de tasas de excedencia de intensidades (Esc. Log.)
3.5.5 SISMOS SEMILLA O FUNCIONES DE GREEN
Los sismos semilla fueron escogidos de 3 de las fuentes que representan los bloques
de mayor actividad sísmica de México registrada en Ciudad Universitaria como se
puede ver en la Figura 3-16.
A continuación las Figura 3-19, Figura 3-20, y Figura 3-21 muestran los sismos
semilla o función de Green, que se utilizaron para la simulación sísmica con sus
respectivos espectros de respuesta lineales para un porcentaje de amortiguamiento
crítico del 5%.
Figura 3-19 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla NAM (MS=6.0)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
62
Figura 3-20 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB2 (MS=5.9)
Figura 3-21 Acelerograma y espectro de respuesta, semilla SUB3 (MS=6.6)
Como se puede apreciar en las figuras anteriores, los espectros de respuesta son
diferentes entre ellos y de esa manera representan mejor la gama de futuros eventos
sísmicos a los que pueda estar sometida la estructura.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
63
CAPÍTULO 4
4 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA SÍSMICA
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
64
4.1 INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se presenta el análisis de la respuesta sísmica de una
columna del viaducto urbano tipo péndulo invertido descrito en el Capítulo 3.
En una primera parte se presentan los resultados del análisis de la columna ante el
sismo de 1985 registrado en Ciudad Universitaria, dado que la estructura se
encuentra desplantada cerca de la zona; y en la segunda parte se presenta un
análisis de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso de la misma estructura
ante eventos sísmicos simulados que cubren el dominio de la tasa de excedencia de
intensidades sísmicas de Ciudad Universitaria.
El fin es cuantificar, analizar e inferir sobre el efecto de la inercia rotacional en este
tipo de estructuras ante la caracterización sísmica considerada.
4.2 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA MODELO DE FLUENCIA
El análisis se realizó en 2D con el programa de análisis no lineal Ruaumoko,
utilizando para este análisis el modelo bi-lineal de Takeda-Modificado, considerando
un punto de fluencia en el modelo bi-lineal utilizado, mismo que se obtiene del
análisis de la relación momento-curvatura de la sección considerando el nivel de
carga axial en la columna y aproximando la relación a un modelo bi-lineal
simplificado mediante igualación de energías de deformación como se muestra en la
Figura 3-13.
El sismo utilizado en el análisis es el registrado en Ciudad Universitaria el 19 de
septiembre de 1985. A pesar de someter a la estructura a un sismo de magnitud
sísmica igual a 8.2, la estructura no incursiona en el rango no lineal, lo cual se vuelve
común para estructuras de puentes urbanos, que son bastante rígidas y resistentes.
4.2.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN
Una forma de entender mejor el comportamiento dinámico de las estructuras es a
través del estudio de sus periodos de vibrar y formas modales, que representan las
características dinámicas propias de la estructura, indistintamente a la señal sísmica
que sean sometidas. Además comparar estas características dinámicas con
programas de cálculo más sencillos, sirve como validación del modelo resuelto con
programas más sofisticados.
El análisis de modos de vibrar y periodos fue validado con una estructura modelada
en el software comercial SAP2000.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
65
Tabla 4.1 Periodos de vibración, modelo de fluencia sin inercia rotacional
Sin inercia rotacional de superestructura
Modo Periodo
SAP2000 (seg)
Periodo
Ruaumoko (seg) % variación
1 0.8723 0.8722 0.0154%
2 0.0622 0.0622 0.0145%
3 0.0341 0.0341 0.0734%
4 0.0118 0.0119 0.1435%
5 0.0065 0.0065 0.2473%
6 0.0063 0.0063 0.0160%
7 0.0043 0.0043 0.2550%
8 0.0032 0.0032 0.2168%
9 0.0032 0.0032 0.0000%
10 0.0026 0.0026 0.1533%
Tabla 4.2 Periodos de vibración, modelo de fluencia con inercia rotacional
Con inercia rotacional de superestructura
Modo Periodo
SAP2000 (seg)
Periodo
Ruaumoko (seg) % variación
1 0.9891 1.0060 1.7068%
2 0.2582 0.2596 0.5586%
3 0.0608 0.0622 2.2811%
4 0.0249 0.0249 0.0765%
5 0.0103 0.0103 0.1163%
6 0.0063 0.0063 0.0320%
7 0.0061 0.0061 0.1817%
8 0.0042 0.0042 0.1910%
9 0.0032 0.0032 0.0626%
10 0.0032 0.0032 0.1254%
Como se puede apreciar, la consideración de la inercia rotacional de la
superestructura cambia de manera importante las características dinámicas propias
de la estructura, y en este particular caso, sucede algo interesante, dado que al
considerar la masa rotacional, el periodo fundamental se reduce en lugar de
aumentar.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
66
4.2.2 HISTORIAS DE CORTANTE Y DE MOMENTOS
La historia de cortantes y de momentos es consistente con la forma del acelerograma
y se mantiene lineal.
Figura 4-1 Historia de cortantes sin inercia rotacional
Figura 4-2 Historia de cortantes con inercia rotacional
Se puede observar que el considerar la inercia rotacional reduce los cortantes en la
base, pero esto se debe a las características dinámicas propias del sismo y de la
estructura, lo cual no parece tener mucho sentido, sin embargo, la respuesta a esta
situación viene acompañada de principios dinámicos importantes.
Al considerar la masa rotacional, el periodo fundamental de la estructura disminuye;
para este periodo reducido, el espectro de respuesta del sismo casualmente también
se reduce, y decimos casual, porque esto se da específicamente para este sismo,
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
67
pues cada sismo tiene su espectro de respuesta particular. Esto no siempre será así
como se verá más adelante.
Con los momentos pasa algo similar, pero como se explicó anteriormente, esta
disminución de los momentos considerando la inercia rotacional de la estructura es
función de las características dinámicas propias de la estructura y su relación con las
frecuencias contenidas en el sismo en cuestión.
Figura 4-3 Historia de momentos en la base y la cabeza, modelo de fluencia sin inercia rotacional
Figura 4-4 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia sin inercia rotacional
Además como se puede ver en la Figura 4-3, el momento en la parte superior de la
estructura es prácticamente nulo cuando no se consideran los efectos de inercia
rotacional de la superestructura, pero en la Figura 4-5, se puede ver claramente que
al considerar la masa rotacional, los momentos en la cabeza se vuelven
considerables, del orden de un 20-23% en promedio en comparación a los momentos
de base. Resultados similares fueron obtenidos por investigaciones pasadas.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
68
Figura 4-5 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de fluencia con inercia rotacional
Figura 4-6 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de fluencia con inercia rotacional
La Figura 4-6 muestra la relación entre el valor absoluto del momento de cabeza y el
momento absoluto en la base. Los valores tan altos de relación entre ellos en función
del tiempo demuestran que las rotaciones en la cabeza y los desplazamientos
laterales no están totalmente en fase, sino que para tiempos en los que el momento
en la cabeza se hacen grandes, los de base son pequeños, generándose una
dinámica muy particular en la estructura.
4.2.3 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS
Los desplazamientos toman una forma similar, como se puede apreciar en la Figura
4-7 y en la Figura 4-8, los desplazamientos en el nodo superior también se reducen
al considerar el efecto rotacional de la superestructura.
Otra cosa a destacar es que los desplazamientos absolutos en la cabeza son del
orden de los 2 cm, lo cual nos indica el grado de rigidez que presenta este tipo de
estructuras de puentes urbanos tipo péndulo invertido.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
69
Figura 4-7 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia sin inercia rotacional
Figura 4-8 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo de fluencia con inercia rotacional
4.2.4 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO
La relación cortante basal contra desplazamiento para el modelo sin inercia
rotacional muestra un comportamiento lineal como es de esperarse (Figura 4-9), sin
embargo y a pesar de que la estructura permanece en el rango lineal del material, la
relación presenta un comportamiento diferente, no necesariamente lineal cuando se
incluye la masa rotacional (Figura 4-10). A primera vista pareciera que la estructura
incurrió en el rango no lineal, pero en realidad el límite de fluencia nunca fue
rebasado, por lo cual se atribuye este comportamiento a la vibración de la estructura
en dos modos fuera de fase.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
70
Figura 4-9 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia sin inercia rotacional
Figura 4-10 Relación cortante vs desplazamiento modelo de fluencia con inercia rotacional
4.3 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA CON MODELO DE AGRIETAMIENTO
En realidad este modelo es un modelo bilineal adaptado al primer agrietamiento del
concreto, dado que es un punto claramente marcado en secciones presforzadas y
puede cambiar en mucho el análisis de la respuesta esperada, ya que la inercia de la
sección no agrietada es mayor y da como resultado una estructura inicial más rígida,
que puede interactuar de manera diferente con el mismo sismo.
Para este caso se utilizó también el modelo de Takeda-modificado pero con un punto
de agrietamiento, en lugar de uno de fluencia. La relación momento-curvatura
utilizada para este análisis se muestra en la Figura 3-14.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
71
4.3.1 PERIODOS DE VIBRACIÓN
El análisis de modos de vibrar y periodos fue validado con una estructura modelada
en el software comercial SAP2000.
Tabla 4.3 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento sin inercia rotacional
Sin inercia rotacional de superestructura
Modo Periodo
SAP2000 (seg)
Periodo
Ruaumoko (seg) % error
1 0.5762 0.5765 0.052%
2 0.0610 0.0622 1.951%
3 0.0248 0.0245 1.048%
4 0.0096 0.0094 1.948%
5 0.0061 0.0063 2.374%
6 0.0054 0.0055 1.241%
7 0.0037 0.0037 1.270%
8 0.0032 0.0032 0.185%
9 0.0028 0.0028 0.212%
10 0.0023 0.0023 0.043%
Tabla 4.4 Periodos de vibración, modelo de agrietamiento con inercia rotacional
Con inercia rotacional de superestructura
Modo Periodo
SAP2000 (seg)
Periodo
Ruaumoko (seg) % error
1 0.6627 0.6631 0.060%
2 0.1789 0.1800 0.615%
3 0.0625 0.0622 0.496%
4 0.0186 0.0188 1.129%
5 0.0084 0.0086 1.821%
6 0.0062 0.0063 1.532%
7 0.0051 0.0052 2.902%
8 0.0037 0.0037 0.272%
9 0.0032 0.0032 0.062%
10 0.0028 0.0028 0.035%
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
72
Como se puede apreciar, la consideración de la inercia rotacional de la
superestructura cambia de manera las características dinámicas propias de la
estructura, y a diferencia del caso anterior, al considerar la masa rotacional, el
periodo fundamental aumenta.
4.3.2 HISTORIAS DE CORTANTE
Los cortantes mantienen el patrón del acelerograma y aún permanecen
perfectamente elásticos, pero a diferencia del caso anterior, los elementos
mecánicos aumentan al considerar la inercia rotacional.
Figura 4-11Historia de cortantes modelo de agrietamiento sin inercia rotacional
Figura 4-12Historia de cortantes modelo de agrietamiento con inercia rotacional
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
73
4.3.3 HISTORIAS DE MOMENTOS
Los momentos permanecen lineales puesto que la estructura bajo el sismo no
alcanza ni siquiera el momento de agrietamiento.
Figura 4-13Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento sin inercia rotacional
Figura 4-14 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento sin inercia rotacional
Se observa al igual que el caso anterior que los momentos en la cabeza de la
columna son prácticamente nulos cuando no se considera la inercia rotacional y
aumentan considerablemente cuando si se considera, alrededor de un 13-14%.
Esto muestra que el efecto de inercia rotacional puede resultar benéfico o contrario
en función de las características dinámicas propias de la estructura y del sino al que
se someta.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
74
Figura 4-15 Historia de momentos en la base y la cabeza modelo de agrietamiento con inercia rotacional
Figura 4-16 Relación momento cabeza entre momento en la base modelo de agrietamiento con inercia rotacional
4.3.4 HISTORIA DE DESPLAZAMIENTOS
Los desplazamientos son consistentes con los correspondientes al anterior caso,
permanecen en el rango lineal y se observa que tomando en cuenta la inercia
rotacional, los desplazamientos aumentan, aunque no considerablemente (Figura
4-17 y Figura 4-18).
Por otro lado al utilizar un modelo no agrietado para la primer parte de la curva bi-
lineal, se tienen rigideces mayores, lo cual se traduce en menores desplazamientos
laterales de la estructura para el mismo sismo.
Lo que sí es rescatable es que la interacción dinámica entre la estructura y el sismo
es distinta al caso con el modelo de fluencia. En este caso si se podría afirmar que la
inercia rotacional de la superestructura es desfavorable para los desplazamientos y
elementos mecánicos de base, más no así en el caso de los momentos en la cabeza.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
75
Figura 4-17 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL sin inercia rotacional
Figura 4-18 Historia de desplazamientos en la cabeza modelo TL con inercia rotacional
4.3.5 RELACIONES CORTANTE DESPLAZAMIENTO
Las relaciones cortante desplazamiento muestran un comportamiento lineal cuando
no se considera la inercia rotacional (Figura 4-19), mientras que el comportamiento
se distorsiona un poco cuando se considera la inercia rotacional (Figura 4-20), a
pesar de que la estructura no ha sobrepasado ni siquiera el límite de agrietamiento.
Además, es evidente la amplificación de la respuesta tomando en cuenta la inercia
rotacional o cabeceo de la superestructura.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
76
Figura 4-19 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento sin inercia rotacional
Figura 4-20 Relación cortante vs desplazamiento modelo de agrietamiento con inercia rotacional
4.4 TASA DE EXCEDENCIA DE DISTORCIONES DE ENTREPISO
Dado que la respuesta de la estructura depende de la interacción dinámica de la
estructura y la señal sísmica, se hace necesario un análisis que pueda tomar en
cuenta los diferentes parámetros variables del problema.
Para este trabajo se considerará una sola estructura con un solo modelo de
comportamiento, que será el modelo bi-lineal con agrietamiento, y se caracterizará el
ambiente sísmico mediante la simulación de señales sísmicas consistentes con la
función de tasa de excedencia de intensidades sísmicas del sitio de ubicación de la
estructura, misma que se describió en el capítulo 3 y que se resume a continuación.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
77
La tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso se define como el número de
veces que una determinada distorsión de entrepiso es excedida, y la función puede
describir el máximo valor de distorsión que puede esperarse. Por lo tanto se puede
describir de manera más completa el efecto de la inercia rotacional de la
superestructura, comparando ambas tasas de excedencia, una que tome en cuenta
el efecto de cabeceo y otra que no lo tome.
4.4.1 RELACIÓN CON LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES
La tasa de excedencia de intensidades utilizada para la simulación se toma como
intensidad la pseudoaceleración del espectro de respuesta elástico para 1 segundo
de periodo y 5% de amortiguamiento crítico y está completamente definida por la
Ecc. ( 3-1):
La Figura 4-21 representa la tasa de excedencia de intensidades para C.U. y a partir
de esta función y una serie de cálculos y simulaciones.
Figura 4-21 Tasa de excedencia de intensidades C.U. (Esc. Log.)
La relación que existe entre la tasa de excedencia de intensidades con la tasa de
excedencia de distorsiones de entrepiso se obtiene a partir de la definición
probabilista del concepto de tasa de excedencia.
A continuación se presenta la relación matemática de la relación entre las tasas de
excedencia; si se desea revisar con más detalle la demostración de esta ecuación se
puede revisar el ANEXO 3.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
78
∫ [ (
)]
(
) Ecc. ( 4-1)
Donde es la tasa de excedencia de las distorsiones de entrepiso, es la
función de distribución de la relación distorsión-intensidad y es la derivada
de la tasa de excedencia con respecto a la intensidad.
4.4.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO
A continuación se presenta la metodología que se utilizó en el presente trabajo para
la obtención de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso:
Primeramente se simularon 100 sismos que cubrían el dominio de la tasa
de excedencia de intensidades del sitio donde se ubica la estructura
(Ciudad Universitaria). Los sismos son representativos de las principales
fuentes sísmicas registradas y se tomaron en proporción a la sismicidad de
cada fuente. Para cubrir el dominio completo se tuvieron que amplificar las
señales sísmicas simuladas mediante factores de amplificación, ya que el
programa de simulación de sismos utilizado, tiene ciertas limitaciones con la
simulación de sismos de intensidades muy grandes.
Se analizó la estructura mediante un análisis tiempo-historia no lineal para
cada uno de los sismos simulados y se obtuvieron las distorsiones de
entrepiso máximas absolutas. Estos análisis se hicieron sin considerar la
inercia y considerando la inercia rotacional de la superestructura.
Se calcularon las relaciones entre distorsión-intensidad para
cada análisis y se la consideró como una variable aleatoria . Los
valores obtenidos de se ajustaron a una función de densidad de
probabilidad . Teniendo se obtuvo que es la
función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria .
Se derivó la tasa de excedencia de intensidades con respecto de y
se obtuvo .
Con las expresiones calculadas se reemplazó en la Ecc. ( 4-1). Se propuso
una distorsión de entrepiso inicial igual a cero y se integró la expresión
numéricamente entre los límites mínimo y máximo de la variable de
intensidades con lo que se obtuvo la primera tasa de excedencia
correspondiente a la distorsión dada. Luego, se incrementaron la distorsión
de entrepiso y de igual manera se calcularon las tasas de excedencia
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
79
correspondientes. Se realizó un análisis completo para el caso sin cabeceo
y otro tomando en cuenta el cabeceo.
4.4.3 RESULTADOS SIN INERCIA ROTACIONAL
La Figura 4-22 y la Figura 4-23 muestran la función de densidad de probabilidad
, obtenida de los resultados sin tomar en cuenta la inercia rotacional de la
superestructura. Se puede ver que se ajusta bastante bien a una función de densidad
de probabilidad Log-normal.
Figura 4-22 Ajuste de sin cabeceo a una función Log-normal
Figura 4-23 Función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada sin cabeceo
La gráfica de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso calculada
numéricamente se muestra en la Figura 4-24.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
80
Figura 4-24 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso sin cabeceo
4.4.4 RESULTADOS CON INERCIA ROTACIONAL
De la misma manera se obtuvieron los resultados considerando el efecto de la inercia
rotacional. La Figura 4-25 y la Figura 4-26, muestran la función de densidad de
probabilidad y la función de distribución acumulada, ajustadas a una función Log-
normal.
Figura 4-25 Ajuste de con cabeceo a una función Log-normal
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
81
Figura 4-26 Función de densidad de probabilidad y función de distribución acumulada
con cabeceo
La gráfica de la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso calculada
numéricamente se muestra en la Figura 4-27.
Figura 4-27 Tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso con cabeceo
4.4.5 COMPARATIVA DE RESULTADOS
La Figura 4-28 muestra en una sola gráfica superpuesta las dos funciones de tasas
de excedencia de distorsiones de entrepiso. Se puede observar que de manera
general se esperan mayores distorsiones de entrepiso cuando se considera el
cabeceo, sin embargo, para sismos con periodos de retorno muy grandes, la
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
82
situación más desfavorable se da sin considerar el cabeceo. Esto se cumple para el
caso del peligro sísmico de C.U., no se puede generalizar la conclusión para este
tipo de estructuras desplantadas en otro sitio.
Figura 4-28 Comparación de tasas de excedencia de distorsiones de entrepiso con y sin cabeceo
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
83
CONCLUSIONES
A la luz de los resultados obtenidos se exponen las siguientes conclusiones.
Los resultados fueron obtenidos de una estructura real, se desconocen las
consideraciones utilizadas en el diseño. La columna analizada es bastante
rígida y resistente. Difícilmente una estructura así puede incursionar en el
rango no lineal ante eventos sísmicos comunes propios del sitio.
El efecto de la inercia rotacional no puede considerarse directamente como
amplificador o reductor de los elementos mecánicos y desplazamientos.
Esto es función de las características dinámicas propias de la estructura y
de la señal sísmica considerada, y de la relación entre ellas.
Ante esta situación, un análisis de las distorsiones de entrepiso esperadas
para la estructura en estudio no puede basarse en al análisis dinámico ante
ciertos sismos, sino un análisis ante una gama representativa de sismos
simulados que cubran el dominio de eventos sísmicos que podrían
presentarse en la zona. Esto puede lograrse a través de la generación de
gráficas de tasas de excedencia de distorsiones en función de tasas de
excedencia de intensidades registradas en la zona.
Las gráficas de tasas de excedencia muestran que de manera general, el
efecto de inercia rotacional incrementa las distorsiones de entrepiso, pero la
inversión que se da para grandes periodos de retorno nos da un ejemplo de
que no siempre es más desfavorable considerarla.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
84
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
85
RECOMENDACIONES
Tomando en cuenta los resultados obtenidos se recomienda lo siguiente:
El efecto de la inercia rotacional siempre será desfavorable en el cálculo del
momento en la sección de unión de la columna a la superestructura de
puentes tipo péndulo invertido, por lo cual siempre debe tomarse en cuenta
este efecto en la cuantificación de dicho momento.
Con respecto a los cortantes y momentos de base se deberían realizar dos
análisis, uno tomando en cuenta la inercia rotacional de la superestructura y
otro sin tomarla en cuenta. En alguna situación una podría ser más
desfavorable que la otra.
Analizar los periodos fundamentales de la estructura y el espectro de
respuesta al que estará sometida puede dar una idea de si el efecto de
inercia rotacional será desfavorable o no. Sin embargo otro se sugiere
realizar los dos análisis y tomar el más desfavorable, porque una de las
propiedades mecánicas más complicadas de tomar en cuenta y sobre todo
en estructuras de concreto reforzado es la rigidez.
Si se quiere emitir una recomendación general en cuanto al comportamiento
sísmico de este tipo de estructuras, se recomienda un análisis probabilista
completo, que integre las incertidumbres asociadas a los diferentes
elementos que componen el problema encarado, como la sismicidad,
incertidumbres en las características geométricas y mecánicas de los
elementos estructurales, los efectos a largo plazo, la variabilidad de la carga
viva vehicular, etc.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
86
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
87
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“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
91
ANEXO 1
CÁLCULO DE LA RESISTENCIA MEDIA DEL CONCRETO
De manera general, la resistencia del concreto es una variable aleatoria que puede
caracterizarse mediante una función de densidad de probabilidad (fdp) normal de
media y desviación estándar .
La ecuación que describe la función de densidad de probabilidad normal y normal
estándar se muestra a continuación:
√
(
)
√
La función de probabilidad acumulada (fpa) normal y normal estándar se muestran a
continuación:
√ ∫
(
)
√ ∫
La resistencia característica del concreto se define como la resistencia que es
igualada o superada por un porcentaje elevado de probetas ensayadas a compresión
(normalmente 90%). Esto quiere decir que si obtenemos un muestreo de un concreto
con , el 90% de las muestras ensayadas deberá presentar una
resistencia a compresión igual o mayor a .
En el caso particular de México, el porcentaje de referencia para el normalmente
no llega al 90%, esto debido a la mano de obra, los controles de calidad y los
materiales pétreos propios de la región. (Mendoza, C.; and Moguel, C., 1999)
realizaron un estudio de las resistencias medias de concretos para la Ciudad de
México y pudo caracterizar el porcentaje de excedencia asociado a la resistencia
característica a compresión de concretos mexicanos, pero lamentablemente solo se
cuenta con resultados para concretos con resistencias entre 200 y 300 kg/cm2.
Tomando en cuenta que la resistencia del concreto de la estructura en estudio es
mucho mayor, se propuso tomar los parámetros del concreto con la resistencia más
alta y aunque podría resultar poco conservador en la concepción de la variación de la
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
92
resistencia a compresión, se debe tomar en cuenta que el estudio presentado por
(Mendoza, C.; and Moguel, C., 1999) recopila datos del año 1999 y dado los avances
actuales en el control de la fabricación de concretos de altas resistencias, podemos
considerar que ambas situaciones se compensan.
Lo que nos interesa de este análisis es obtener los valores medios de la resistencia a
compresión del concreto utilizado en este trabajo. Para esto se hará uso de la
definición de la función de distribución acumulada, que representa la probabilidad de
que cierto valor (en este caso ) no sea excedido.
El problema se plantea de la siguiente manera:
(
)
Donde es el porcentaje de muestras con resistencias a compresión por debajo de
. Tomando en cuenta que la incógnita buscada es la resistencia a compresión
media , se plantea la ecuación anterior de la siguiente manera:
Donde es la función inversa de distribución de probabilidad acumulada normal
estándar. Además la desviación estándar puede expresarse en función del
coeficiente de variación de la siguiente manera:
Entonces la ecuación se puede expresar como sigue:
Reemplazando los valores de , y , nos encontramos con la siguiente
expresión:
Esta expresión presenta como única incógnita el valor de la resistencia media a
compresión del concreto de la estructura en estudio. El valor de la función inversa
de distribución acumulada puede obtenerse de cualquier libro que contenga una
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
93
tabla de valores de probabilidad de distribución normal estándar o con la ayuda de
algún programa que tenga esta opción en sus librerías (Excel, Matlab, etc.). Es
oportuno recordar que esta función no tiene una integral exacta y por eso se opta por
el uso de análisis numérico para la solución o en su defecto el uso de tablas. A
continuación se muestra el último paso de cálculo y el resultado final de la resistencia
media a compresión calculada:
( )
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
94
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
95
ANEXO 2
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE RELACIONES MOMENTO CURVATURA
PARA CONCRETO PARCIALMENTE PRESFORZADO
Las relaciones momento-curvatura son tema de vital importancia en el análisis no
lineal de estructuras de concreto reforzado modeladas mediante elementos
estructurales tipo viga-columna. Existen varios procedimientos para el cálculo de las
relaciones momento-curvatura, pero todas se basan en los mismos procedimientos.
A continuación se presenta el procedimiento adoptado para la presente tesis
adaptado de los métodos planteados por (Naaman, A. E., 1982) y (Collins, M.; and
Mitchel, D., 1991).
Como primer paso se deben definir ciertas hipótesis que permitan una formulación
matemática del problema, mismas que se indican a continuación:
Las secciones planas, permanecen planas antes y después de la flexión
(Principio de Bernoulli).
Se conocen las relaciones esfuerzo deformación de los materiales
(concreto, acero de refuerzo y acero de presfuerzo).
Se considera nula la resistencia a tensión del concreto.
La distribución y magnitud de los esfuerzos internos equilibra las fuerzas
externas en cada sección del elemento.
De estas hipótesis, quizá la primera es la más importante, debido a que asumir que
las secciones son planas y se mantienen así reduce la complejidad matemática del
problema. Esto es muy aceptable para la mayoría de los casos, pero en secciones
muy peraltadas y de elementos cortos, las distorsiones por cortante anulan esta
hipótesis fuerte.
Bajo el supuesto de las secciones planas, es posible identificar la deformación de
cualquier fibra del elemento con solamente conocer dos datos, ya sea la deformación
unitaria de la fibra superior y la fibra inferior, o en su caso la curvatura y la
deformación unitaria en el centroide como se ve en la Figura A - 1.
Por mayor facilidad y convergencia numérica más rápida al resultado, se recomienda
la opción de calcular las deformaciones unitarias a lo largo de la sección del
elemento en función de la curvatura y la deformación unitaria en el centroide.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
96
Figura A - 1 Curvatura de una Sección
Las ecuaciónes que relaciona la deformación de las fibras de concreto , acero de
refuerzo y acero de presfuerzo en función de la distancia de la fibra, medida
desde el centroide de la sección son las siguientes:
Ecc. (A- 1)
Ecc. (A- 2)
Ecc. (A- 3)
La distancia se considera positiva por encima del centroide y negativa por debajo
del mismo. Las deformaciones en cualquier fibra se consideran a compresión cuando
son de signo negativo y a tensión cuando son de signo positivo. La curvatura es
positiva cuando produce un alargamiento de las fibras inferiores y un acortamiento de
las fibras superiores de la sección del elemento.
El valor es la deformación unitaria debido al presfuerzo efectivo después de las
pérdidas inmediatas. Cabe señalar que también se pueden calcular relaciones
momentos-curvatura a largo plazo que contemplen los efectos de creep o flujo
plástico del concreto y relajación del acero de presfuerzo pero no es alcance de este
Anexo.
Otro concepto que se debe tener en cuenta es el equilibrio de fuerzas internas
(fuerzas resultantes de los esfuerzos internos) con fuerzas externas. A continuación
se presentan las ecuaciones de equilibrio que deben satisfacerse.
∫
∫
∫
Ecc. (A- 4)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
97
∫
∫
∫
Ecc. (A- 5)
Donde ,
y
son los esfuerzos en el concreto, acero de refuerzo y acero de presfuerzo
respectivamente, calculados a partir de las deformaciones obtenidas con las ecuaciones 1, 2
y 3, y con las relaciones esfuerzo-deformación de cada material.
Estos son los conceptos básicos que deben aplicarse al cálculo de cualquier sección de
concreto parcialmente presforzado. Ante la complejidad de la geometría de varias secciones
de concreto y en especial a las utilizadas en el presente trabajo, se debe realizar una
aproximación numérica discreta a las ecuaciones 4 y 5, ya para ello se plantea la utilización
del método de las fibras.
Figura A - 2 Curvatura de una Sección
La Figura A - 2 muestra el esquema de cálculo con el método de las fibras y a continuación
se describe el procedimiento o secuencia de cálculo para obtener las relaciones momento
curvatura por este método.
Primeramente se divide la sección en fibras, cada línea de acero de
refuerzo y presfuerzo se convierten en una fibra independiente y la sección
de concreto se subdivide en pequeñas franjas de espesor tan pequeño
como el grado de aproximación que se quiera.
Se plantea una curvatura inicial , comúnmente cero (0).
Luego se propone un valor para la deformación en el centroide . Con
ese valor de y utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 se calculan las
deformaciones unitarias en todas las fibras inicialmente planteadas.
Con el valor de cada deformación unitaria y las curvas esfuerzo-
deformación de cada material, se obtienen los esfuerzas en cada una de las
fibras. Multiplicando los esfuerzos de cada fibra por su respectiva área se
obtienen las fuerzas en cada fibra.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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Se aplica la ecuación A-4 en su forma discreta de tal manera que la
resultante de las fuerzas axiales sea igual al nivel de carga axial externo
que solicita a la sección. Si el valor no es igual, entonces debe cambiarse el
valor de hasta que la solución converja mediante un proceso iterativo.
Una vez que la igualdad de fuerzas axiales se consigue o con un error de
aproximación muy pequeño, se calcula con la ecuación A-5, también en su
forma discreta, el valor del momento asociado a la curvatura propuesta.
Después se propone otra curvatura, ligeramente superior a la primera y se
realizan los mismos pasos hasta la obtención del momento
correspondiente. De esa manera se van generando una serie de puntos
curvatura y momento, con lo cual se puede graficar la relación momento-
curvatura de la sección.
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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ANEXO 3
RELACIÓN ENTRE LA TASA DE EXCEDENCIA DE INTENSIDADES Y LA TASA
DE EXCEDENCIA DE DISTORSIONES DE ENTREPISO
La relación que existe entre la tasa de excedencia de intensidades y la de
distorsiones de entrepiso se puede plantear desde la definición de lo que es una tasa
de excedencia. La tasa de excedencia de intensidades se define como el
número de veces que una determinada intensidad es excedida por unidad de tiempo
(año), y se formula matemáticamente en términos de probabilidad de la siguiente
manera.
[ ] Ecc. (A- 6)
De la misma manera se puede plantear la tasa de excedencia de distorsiones de
entrepiso , como se muestra a continuación:
[ ] Ecc. (A- 7)
Si realizamos múltiples análisis estructurales, a cada intensidad sísmica , le
corresponderá una respectiva distorsión de entrepiso . Si consideramos que tanto
las intensidades, como las distorsiones son variables aleatorias, la relación entre
ellas también es una variable aleatoria.
Ecc. (A- 8)
Reemplazando la ecuación 8 en la 7 se tiene:
[ ] Ecc. (A- 9)
Utilizando el concepto de probabilidad total, se puede expresar la ecuación A-9 de la
siguiente manera:
∫ [
]
Ecc. (A- 10)
Además, la probabilidad de excedencia puede expresarse en función de una función
de distribución acumulada y la función de densidad de probabilidad de intensidades
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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sísmicas puede escribirse en función de la tasa de excedencia de intensidades
sísmicas como se muestra a continuación:
[
] [ (
)] Ecc. (A- 11)
Ecc. (A- 12)
Reemplazando las ecuaciones A-11 y A-12 en la ecuación A-10, se tiene:
∫ [ (
)]
(
) Ecc. (A- 13)
La ecuación A-13, representa la relación matemática entre la tasa de excedencia de
intensidades y la tasa de excedencia de distorsiones de entrepiso.
La función que defina la tasa de excedencia de intensidades utilizada en este estudio
es la siguiente:
[ (
) ] [ (
) ] Ecc. (A- 14)
La derivada de es como sigue:
[
(
)
(
) ] Ecc. (A- 15)
[(
) (
) ] Ecc. (A- 16)
(
)
(
)
Ecc. (A- 17)
[ (
)
] (
)
Ecc. (A- 18)
“Análisis de la Respuesta Sísmica no Lineal de Puentes Urbanos Tipo Péndulo Invertido”
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“En un mundo dinámico, cambiante y aleatorio,
que aún no conseguimos comprender en su totalidad y que quizá nunca lo hagamos;
las probabilidades se convierten en nuestra mejor verdad.”
(A. Miranda)