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Trabajo Fin de Máster:
“Análisis de inversiones mediante opciones
reales: análisis metodológico y aplicado”
Autor: Santiago Huidobro Ariza
Tutor: Pablo Cortés Achedad
Sevilla, 2016
Universidad de Sevilla
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
1
ÍNDICE GENERAL
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3
2. OBJETIVOS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER ........................................................................ 6
3. ANÁLISIS TRADICIONAL DE INVERSIONES ......................................................................... 8
3.1 Conceptos básicos ..................................................................................................... 8
3.1.1 Flujos de caja de un proyecto ............................................................................ 8
3.1.2 Valor temporal del dinero ................................................................................. 8
3.1.3 Valor actual de un proyecto .............................................................................. 9
3.2 Evaluación tradicional de un proyecto mediante VAN ............................................ 10
4. OPCIONES FINANCIERAS ................................................................................................. 11
4.1 Definición de opción financiera............................................................................... 11
4.2 Clasificación de opciones financieras ...................................................................... 11
4.2.1 Opción de compra (call) ......................................................................................... 11
4.2.3 Opciones europeas y opciones americanas ............................................................ 14
4.2.4 Opciones exóticas .................................................................................................. 15
4.3 Valor de las opciones financieras ............................................................................ 15
4.3.1 Variables en las opciones ................................................................................ 15
4.3.2 Métodos de valoración de opciones ................................................................ 19
5. OPCIONES REALES .......................................................................................................... 28
5.1 Opciones financieras y opciones reales ................................................................... 28
5.2 Clasificación de las opciones reales ......................................................................... 29
5.2.1 Diferir un proyecto................................................................................................. 29
5.2.2 Ampliar un proyecto .............................................................................................. 29
5.2.3 Abandonar un proyecto ......................................................................................... 30
5.3 Variables en las opciones reales.............................................................................. 30
5.3.1 Valor actual del activo subyacente real (𝑺𝟎) .......................................................... 30
5.3.2 Inversión necesaria para acometer el proyecto (X) ................................................ 31
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metodológico y aplicado”
2
5.3.3 Tiempo de vencimiento (T) .................................................................................... 31
5.3.4 Tasa de interés libre de riesgo (𝑹𝒇) ....................................................................... 31
5.3.5 Volatilidad (𝝈) ........................................................................................................ 31
5.3.6 Dividendos (D) ....................................................................................................... 32
5.4 Analogía entre parámetros ..................................................................................... 32
6. COMPARACIÓN DE ANÁLISIS DE INVERSIONES MEDIANTE LA TÉCNICA DEL VALOR
ACTUAL NETO Y OPCIONES REALES ........................................................................................ 33
6.1 Método tradicional. Valor Actual Neto ................................................................... 33
6.1.1 Estimación de los ingresos futuros .................................................................. 36
6.1.2 Estimación de los costes futuros ..................................................................... 39
6.1.3 Cálculo del Valor Actual de los ingresos .......................................................... 40
6.1.4 Cálculo del Valor Actual de los costes.............................................................. 41
6.1.5 VAN del proyecto ............................................................................................ 42
6.1.6 Influencia de la tasa de descuento .................................................................. 42
6.2 Método de valoración de inversiones con opciones reales ..................................... 43
6.2.1 Opción diferir .................................................................................................. 43
6.2.2 Opción ampliar ................................................................................................ 56
7. CONCLUSIONES............................................................................................................... 62
8. REFERENCIAS .................................................................................................................. 66
ANEXO I. Desarrollo de la fórmula de Black-Scholes .............................................................. 67
ANEXO II: Opciones financieras. Aplicación práctica. ............................................................. 69
ANEXO III. Ejemplo portfolio correlado .................................................................................. 96
ANEXO IV. Descripción de las funciones de Excel utilizadas ................................................. 100
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
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1. INTRODUCCIÓN
En el mundo empresarial es común asistir al nacimiento, ampliación, reducción o incluso
abandono de multitud de planes de inversión por una u otra causa. El contexto en el que
se plantea una inversión es de una complejidad muy elevada y en él entran en juego
numerosas variables. Algo que parece tan sencillo en cualquier actividad diaria como
variar el modo en que se realiza o simplemente dejar de hacerla, resulta difícil de
plasmar cuando se trata de una inversión empresarial.
No obstante, esta flexibilidad existe y por tanto debe ser recogida en modelos
matemáticos. Los contextos en los que tienen lugar las inversiones son más complejos
que lo que a simple vista parecen. En ellos aparecen multitud de variables que no
siempre desarrollan el mismo papel o que, incluso, la intensidad de su aparición hace
necesario tratar de manera diferente el escenario previamente dibujado. En este juego
de interdependencias se debe identificar cuál de las variables puede influir en mayor
medida en la postura que se tome definitivamente. No es por tanto extraño que ante
los problemas complejos que se plantean en dichos escenarios sea necesario actuar
formulando soluciones que no sean sencillas. Para ello es de vital importancia poseer las
herramientas apropiadas que permitan abordar con seguridad estos desafíos.
El primer punto a estudiar en el proyecto será el análisis tradicional de inversiones. Éste
se basa en el estudio de los flujos de caja futuros para el cálculo de un valor numérico,
el Valor Actual Neto (VAN), que determine si el proyecto es factible o no. Esta
metodología no contempla la complejidad real que se mencionaba previamente, la cual
incluye la posibilidad de cambiar el rumbo de un proyecto mientras el mismo se está
llevando a cabo. No permite reflejar, por ejemplo, que los flujos de caja planteados a día
de hoy varíen enormemente en el futuro, bien porque los ingresos o los costes variables
de la empresa se han disparado. Ante esta situación, los directivos de una empresa no
tendrían más remedio que ampliar o reducir su participación en el negocio y para
facilitar sus decisiones se debe contar con modelos complejos.
Todas estas circunstancias conducen al segundo punto importante en el trabajo: las
opciones reales. Éstas permiten estudiar todas las posibilidades del negocio y dar valores
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metodológico y aplicado”
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numéricos a las decisiones nacidas durante el desarrollo del mismo. Su utilidad se basa
en un análisis totalmente objetivo, evitando en cualquier caso criterios subjetivos o
intuiciones.
Para concebir tanto las características de cada método como, sobre todo, para ver las
diferencias que conllevan la elección de uno u otro se presentará un caso práctico. En
primer lugar se analizará la posible inversión desde el punto de vista tradicional (se
aportan los conceptos y herramientas necesarios para la evaluación de un proyecto de
inversión mediante el método tradicional de los flujos de caja descontados) para más
adelante descubrir cómo las posibilidades son mucho más amplias con las opciones
reales. Tanta es la diferencia que proyectos cuyo VAN tradicional es negativo, es decir,
que no deben ser emprendidos, pueden tornarse en inversiones fructíferas si se
posponen o amplían.
Todo este conocimiento ofrece una ventaja al inversionista, en otras palabras, otorga un
cierto valor al conocimiento y uso de las opciones reales. Esto puede verse reflejado de
un modo cualitativo en la Figura 1 (Lamothe Fernández, P. et al (2003)):
Figura 1. Aumento del valor con Opciones Reales
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Además, se ha incluido una parte teórica (punto 4) y práctica (Anexo) de las opciones
financieras, se explica lo que son y se describen algunas de ellas. Las opciones financieras
sirven de puente entre el análisis tradicional de inversiones y el estudio mediante
Opciones Reales. Para entender bien el funcionamiento de estas últimas es
imprescindible la asimilación de los conocimientos concernientes a las opciones
financieras.
De este modo, la estructura del proyecto puede resumirse de la siguiente manera:
En primer lugar se presenta el estudio tradicional de las inversiones, basado en
el Valor Actual Neto (VAN).
A continuación y a modo de nexo se estudian las opciones financieras,
descubriendo así un nuevo abanico de posibilidades en lo concerniente al
desarrollo de una inversión.
En tercer lugar se muestran las opciones reales como visión alternativa y
mejorada al análisis tradicional de inversiones.
Esta ventaja de las opciones reales sobre el VAN se demostrará numéricamente
con dos casos prácticos, uno basado en posponer un negocio y otro en ampliarlo.
En último lugar, se concluye el proyecto con una valoración de los resultados
obtenidos y se proponen algunas directrices para investigaciones venideras.
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2. OBJETIVOS DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER
El objetivo de este Trabajo Fin de Máster es el desarrollo y comprensión de una
metodología objetiva para el análisis de inversiones, gestionando de esta forma las
distintas posibilidades que puedan existir.
Se estudiará una inversión haciendo uso de diferentes herramientas. En primer lugar se
analizará desde el punto de vista tradicional, esto es, calculando el valor del proyecto a
partir del VAN (Valor Actual Neto). A continuación se examinará bajo las posibilidades
que introducen las opciones reales, en concreto, “Diferir el proyecto” o “Ampliar el
proyecto”.
De este modo se pueden resumir las metodologías utilizadas para determinar el valor
de un proyecto en:
- Método tradicional.
Valor Actual Neto (VAN): permite calcular el valor presente de un número
de flujos de caja futuros cuya cuantía está definida desde el principio y
no puede variar.
- Método de las Opciones Reales: permite la variación del rumbo de un proyecto
durante la realización del mismo. Para calcular el nuevo valor del proyecto se
hará uso de tres técnicas:
Fórmula de Black-Scholes: es una ecuación utilizada para determinar el
valor de determinados activos financieros y que puede extrapolarse al
uso de inversiones reales (no financieras). El modelo matemático debe su
nombre a Fisher Black y Myron Scholes y su uso por parte de Robert C.
Merton le valió el Premio Nobel de Economía en 1997 (Merton, R.C.
(1997)).
Método Binomial: es un método de valoración de opciones desarrollado
por John C. Cox, Stephen Ross y Mark Rubinstein en 1979 cuya principal
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ventaja reside en, además de ser intuitivo, utilizar una matemática muy
sencilla. (Cox, J. et al. (1979)).
Simulación Montecarlo: es un método numérico utilizado para aproximar
expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.
Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo desarrollado por Stan
Ulam y John Von Neumann a final de los años cuarenta cuando
investigaban el movimiento aleatorio de los neutrones. En años
posteriores, la simulación de Montecarlo se ha venido aplicando a una
infinidad de ámbitos, entre ellos las opciones reales.
Más adelante, se desarrollarán detalladamente los modelos planteados y se resolverán.
De este modo, se comprueba la fiabilidad y la necesidad de los mismos al aplicarlos en
inversiones empresariales.
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3. ANÁLISIS TRADICIONAL DE INVERSIONES
A lo largo de este apartado se presentarán los conceptos básicos necesarios para la
comprensión del análisis clásico de las inversiones.
3.1 Conceptos básicos
El análisis tradicional de inversiones se basa en el cálculo del Valor Actual Neto (VAN).
Para ello se actualizan al presente todos los flujos de caja (o cash-flow en inglés) futuros,
tanto los ingresos como los gastos. De un modo intuitivo, si el VAN es positivo, es decir
si los ingresos resultan mayores que los gastos, el proyecto puede ser acometido.
Adicionalmente, a mayor VAN, mayor interés en el proyecto.
3.1.1 Flujos de caja de un proyecto
Como se ha comentado en el párrafo previo los flujos de caja pueden ser clasificados en
dos tipos:
- Ingresos recibidos durante el desarrollo del proyecto
- Gastos del mismo, donde se incluye tanto el desembolso inicial como los gastos
(fijos y variables) que deben afrontarse a lo largo del intervalo temporal que dure
el proyecto.
Para que la valoración de la inversión sea lo más precisa posible es necesaria una
correcta estimación de todos estos flujos de caja y la determinación de su valor actual.
Esto se calcula mediante una tasa de descuento que representa una inversión sin riesgo
y que generalmente se denomina k.
3.1.2 Valor temporal del dinero
El valor del dinero no permanece constante a lo largo del tiempo. Un euro de hoy vale
más que un euro de mañana, o lo que es lo mismo, con una misma cantidad monetaria
se pueden comprar menos cosas a medida que pasa el tiempo.
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La Figura 2 muestra cómo el poder adquisitivo del dólar (se ha elegido la moneda
americana pues el euro es demasiado reciente como para mostrar una evolución tan
clara) desciende a medida que el número de dólares en circulación aumenta.
Figura 2. Depreciación histórica del dólar
3.1.3 Valor actual de un proyecto
Una vez se ha comprendido que el valor del dinero no es constante a lo largo del tiempo
resulta evidente la necesidad de una comparación de ingresos y gastos en un mismo
instante temporal. Este momento elegido es, por criterio común, el instante actual. Así,
a partir de la tasa de descuento k comentada antes, un flujo de caja se convierte a su
valor actual a través de la siguiente fórmula:
𝑉𝐴𝑛 =𝑉𝐹
(1 + 𝑘)𝑛 (1)
Donde VA es el valor actual, VF el valor futuro, k la tasa de descuento y n el periodo
temporal.
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Cuando se desean convertir al valor actual un número superior de flujos de caja no hay
más que transformar dicha fórmula en un sumatorio tal que:
𝑉𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑉𝐴𝑖
𝑁
𝑖=1
= ∑𝐹𝐶𝑖
(1 + 𝑘)𝑖
𝑁
𝑖=1
(2)
3.2 Evaluación tradicional de un proyecto mediante VAN
Como se ha comentado con anterioridad, el criterio más usual para evaluar y comparar
inversiones es el Valor Actual Neto (VAN). Éste indica cuánto aumentará o disminuirá el
valor de la empresa si se acomete un determinado proyecto. La fórmula para calcular el
VAN no es sino la aplicación de la Ecuación 2 a los flujos de caja de ingresos menos los
flujos de caja de costes:
𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠) − 𝑉𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠) (3)
Cuando los ingresos sean mayores que los gastos (todo ello actualizado a su valor
presente mediante la tasa de descuento k), esto es, el VAN sea positivo el proyecto es
realizable. En caso contrario, cuando el VAN es negativo, es desaconsejable continuar
con el proyecto.
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4. OPCIONES FINANCIERAS
En este apartado se muestra qué es una opción financiera, qué tipos existen y cuáles son
los métodos más utilizados para determinar su valor. Esto se incluye por la necesaria
conexión entre las opciones financieras y reales, puesto que el desarrollo metodológico
de las segundas se basa en las primeras.
Asimismo, este apartado se ve complementado con el Anexo II el cual presenta un caso
práctico de aplicación de opciones financieras.
4.1 Definición de opción financiera
Una opción es un contrato entre dos partes por el cual una de ellas adquiere sobre la
otra el derecho, pero no la obligación, de comprarle o de venderle una cantidad
determinada de un activo (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices
bursátiles, etc.) a un cierto precio (precio de ejercicio o strike) y en un momento futuro
(fecha de vencimiento) (Broyles, J. (2007)).
4.2 Clasificación de opciones financieras
Las opciones financieras más importantes pueden ser clasificadas del siguiente modo.
4.2.1 Opción de compra (call)
Una opción de compra da a su poseedor el derecho pero no la obligación de comprar un
activo financiero (por lo general una acción) en un momento futuro T a un precio de
ejercicio X. De este modo si al llegar al instante T el precio del activo es S > X, el poseedor
de la opción ejercerá su derecho a compra y obtendrá un beneficio (payoff) de S – X tras
venderla en el mercado. Si por el contrario, en el instante T resulta que S < X, la opción
de compra no se lleva a cabo y el beneficio es 0.
Los contratos de opciones pueden ser clasificados por la diferencia entre su precio de
ejercicio y el valor del activo subyacente al vencimiento (precio de ejercicio, X) en tres
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categorías: en el dinero, dentro del dinero y fuera del dinero. Para las opciones call la
clasificación se rige según:
- En el dinero (“At the money”)
Una opción (tanto call como put) está at-the-money cuando su precio de ejercicio, es
decir, el precio que el poseedor debe pagar para ejercer su derecho, es el mismo que el
precio del subyacente sobre el que la opción está basada.
- Fuera de dinero (Out of the money)
Una opción está out-of-the-money si no tiene valor intrínseco; sería el caso de una
opción call para la que el precio del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio
de la opción.
- Dentro del dinero (In the money)
Una opción in-the-money, por el contrario, tiene valor intrínseco; por ejemplo en el caso
de una opción de compra cuyo precio del activo subyacente es mayor que el precio de
ejercicio de la opción.
Todo esto puede mostrarse de un modo gráfico tal y como lo hace la Figura 3:
Figura 3. Beneficio de una opción de compra (call)
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El valor de una opción call (C) en el instante de vencimiento será el máximo entre las
dos posibilidades comentadas previamente (Mascareñas, J. (2010)). Es decir,
𝐶 = 𝑚𝑎𝑥(𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (4)
4.2.2 Opción de venta (put)
Una opción de venta da a su poseedor el derecho pero no la obligación de vender un
activo financiero en un momento futuro T a un precio de ejercicio X. De modo similar a
la opción de compra, si en el instante T el precio de la acción es S < X, el dueño de la
opción la ejerce, es decir vende el activo a precio X obteniendo un beneficio de X – S. Al
contrario, si S > X, la opción no se ejerce y el valor de la misma es cero.
La misma clasificación de “en el dinero, fuera del dinero o dentro del dinero” puede
hacerse para opciones de venta put solo que las condiciones cambiarán:
- En el dinero (“At the money”)
Como se ha comentado, una opción está en el dinero cuando su precio de ejercicio es el
mismo que el precio del subyacente.
- Fuera de dinero (Out of the money)
Una opción fuera del dinero es la que carece de valor intrínseco; por ejemplo una opción
put cuyo precio del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio de la opción.
- Dentro del dinero (In the money)
Una opción de venta in-the-money será aquella que posea valor intrínseco; por ejemplo
una con el precio del activo subyacente mayor que el precio de ejercicio.
La Figura 4 muestra gráficamente estas situaciones:
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Figura 4. Beneficio de una opción de venta (put)
Así, el valor de una opción de venta put al vencimiento será el máximo entre 0 y la
diferencia entre el precio de ejercicio (X) y el valor de la acción (S) (Mascareñas, J.
(2010)):
𝑃 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 − 𝑆𝑇 , 0) (5)
4.2.3 Opciones europeas y opciones americanas
Siguiendo un criterio temporal, las opciones financieras se pueden clasificar según el
instante en que pueden ser ejercidas:
- Opciones europeas: el poseedor de la opción solo puede ejercer su derecho de
compra o venta en el instante de vencimiento (T).
- Opciones americanas: el derecho sobre estas acciones puede ser ejercido en
cualquier momento entre la compra de las mismas y la fecha de vencimiento.
Esto supone una clara ventaja frente a las acciones europeas.
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4.2.4 Opciones exóticas
Si bien las opciones más utilizadas son las europeas y americanas, existen otro tipo de
opciones nacidas para adaptarse a las necesidades de sus clientes (riesgo que quieren
asumir, rendimiento exigido, coberturas que precisan, etc.). Se las conoce como
“opciones exóticas” y entre ellas destacan: opciones asiáticas, opciones “look-back”,
opciones barrera, opciones rusas…
Sin entrar en demasiado detalle, pues no es el objetivo de este proyecto, se exponen a
continuación dos de las más conocidas:
- Opciones asiáticas: Son aquellas opciones para las que el precio del activo
subyacente en el vencimiento se determina como la media de las cotizaciones
del mismo durante un período de tiempo.
- Opciones “look-back”: Son opciones que proporcionan a sus propietarios pagos
basados en el precio del subyacente alcanzado durante la vida de la opción que
les resulte más favorable. Dicho precio es el que se toma como precio de
ejercicio.
4.3 Valor de las opciones financieras
Como se ha visto antes, una opción financiera otorga a su poseedor la capacidad de
comprar/vender una opción a otro individuo. Para que este sea un trato en el que ambas
partes puedan salir beneficiadas debe establecerse una prima. A lo largo de este
apartado se estudiarán los métodos existentes para determinar de la manera más
precisa posible su valor.
4.3.1 Variables en las opciones
El valor de la prima debe depender de las características de la acción: de su precio actual,
de las posibilidades de que su valor varíe, del tiempo que se tenga para ejercer el
derecho… Todas estas variables se resumen seguidamente.
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El valor del activo subyacente (S)
Es el precio que posee en el instante actual el activo cuya opción se piensa adquirir. Es
un dato observable en los mercados bursátiles y cuyo valor no alberga ningún tipo de
duda.
Para opciones call, resulta beneficioso un aumento del valor de la acción pues
incrementará la diferencia entre dicho valor y el precio de ejercicio X, es decir, el
beneficio.
Para opciones put la casuística es justo al revés, resulta beneficioso que el precio del
activo subyacente descienda.
El precio de ejercicio (X)
Es el precio acordado en el contrato para ejercer la compraventa en la fecha de ejercicio,
o sea, precio al que el comprador de una opción puede comprar (caso de haber
adquirido una opción call) o vender (si hubiera adquirido una opción put) el activo
subyacente.
Para el propietario opciones call, una subida del precio de ejercicio resulta desfavorable
por lo que sus opciones perderán valor.
En el caso de ser propietario de opciones de venta put una subida del precio de strike
repercutiría positivamente en el valor de dichas opciones.
Tiempo de vencimiento
Es el tiempo durante el cual (en el caso de opciones americanas) o la fecha en la cual (en
el caso de opciones europeas) el propietario de una opción puede ejercer su derecho de
compra/venta. Cuanto mayor sea el tiempo de vencimiento más flexibilidad tiene el
poseedor para hacer uso de la opción, con lo que el valor de ésta aumenta.
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Tasa de interés sin riesgo (𝑹𝒇)
La tasa de interés sin riesgo (𝑅𝑓 por su nombre en inglés, Risk Free Rate) es la tasa
recibida por el accionista en caso de invertir en una entidad la cual puede considerarse
que carece de riesgo.
Una subida en esta tasa repercute positivamente en el valor de opciones call y
negativamente en el valor de opciones put.
Si se tiene una opción call, que ya se ha adquirido a un precio pactado, una subida de la
tasa de interés sin riesgo (aproximadamente el rendimiento de los bonos USA o
Alemania menos el coste de asegurar su cobro) significa que el rendimiento de la
inversión segura aumenta, y lo mismo ha de ocurrir con el resto de alternativas de
inversión, que se ven obligadas a aumentar su rendimiento. Por ejemplo, si los bonos
alemanes suben de rendimiento, los bonos españoles han de hacer lo mismo para que
se mantenga la prima de riesgo exigida por el inversor y por tanto, al ejercitar la opción
call el inversor compraría un activo con mayor rendimiento que el que determinó el
precio de la opción inicialmente, por lo que se encontraría con una rentabilidad superior
a la esperada en el momento de adquirir la opción y consecuentemente el valor de ésta
aumenta.
Si la opción es de tipo put, el comprador obtiene el derecho de vender el activo al precio
de ejercicio pactado. En el caso de subida de la Risk Free Rate, se tiene que el precio de
venta pactado en la opción put se ha fijado en base a un rendimiento inferior y será por
tanto inferior al que tenga el mismo activo después de aumentar su rendimiento, luego
al vender, el inversor estaría obteniendo el mismo precio (el de la opción put) por un
activo que vale más al haber aumentado su rentabilidad, como consecuencia el valor de
la opción put desciende.
En el caso de descenso de la tasa libre de riesgo los razonamientos serían análogos pero
de sentido contrario.
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A pesar de todo, la influencia de las variaciones de los tipos de interés sobre el precio de
las opciones no tiene un gran impacto.
Volatilidad (σ)
La volatilidad representa la facilidad o dificultad con la que varía el precio del activo
subyacente en el mercado. Una variación elevada, es decir, una volatilidad alta indica
que el precio del activo puede variar ampliamente desde la fecha actual a la del
vencimiento con lo cual resulta muy interesante estar en posesión de opciones del
mismo (es decir, aumenta el valor de las opciones).
Dividendos (D)
Es el dinero que aportaría el activo subyacente si se estuviera en posesión de éste
mientras se posee la opción y no se ejerce. Si los dividendos son altos el valor de la
opción call disminuye, mientras que en el caso de opción de compra put aumenta.
A continuación se recogen en la Tabla 1 todos los impactos comentados con
anterioridad.
Tabla 1: Influencia de las distintas variables sobre el valor de las opciones
Aumento de la variable CALL PUT
S Aumenta Disminuye
X Disminuye Aumenta
T Aumenta Aumenta
𝑹𝒇 Aumenta Disminuye
σ Aumenta Aumenta
D Disminuye Aumenta
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4.3.2 Métodos de valoración de opciones
Haciendo uso de las variables presentadas pueden construirse diferentes métodos de
valoración de las opciones financieras (y de las opciones reales como se verá en capítulos
posteriores).
Los métodos de los que se hará uso en este proyecto para valorar opciones financieras
son los siguientes:
- Método de Black-Scholes.
- Método Binomial.
- Método de Montecarlo.
Seguidamente se presentan con mayor detalle los tres métodos.
Método de Black-Scholes
El método de Black-Scholes se basa en el uso de las siguientes fórmulas para el cálculo
del valor de opciones call y put (Hull, J.C. (2012)):
𝐶 = 𝑁(𝑑1)𝑆0 − 𝑁(𝑑2)𝑋𝑒𝑅𝑓𝑇 (6)
𝑃 = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (7)
donde C es el valor de la opción call, P es el valor de la opción put, 𝑆0 es el valor actual
del activo subyacente, X es el precio de ejercicio, 𝑅𝑓 es la tasa libre de riesgo, T es el
tiempo de vencimiento y N(𝑑1) y N(𝑑2) son los valores de la distribución normal estándar
(media 0 y desviación 1). Los parámetros 𝑑1 y 𝑑2 se corresponden con las ecuaciones
que siguen :
𝑑1 =𝑙𝑛
𝑆0
𝑋 + (𝑅𝑓 + 0.5σ2)𝑇
σ√𝑇 (8)
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𝑑2 = 𝑑1 − σ√𝑇 (9)
Donde σ es la volatilidad del activo subyacente.
Una explicación más detallada de este modelo se encuentra en el Anexo 7.1.
Los parámetros 𝑆0, T, X y 𝑅𝑓 son fácilmente determinables por lo que la fórmula de
Black-Scholes resulta ser la manera más sencilla de hallar el valor de una opción. Si bien
la volatilidad σresulta más complicada de determinar, más adelante se expondrá una
forma de calcularla a partir del histórico de la cotización del activo subyacente.
Método Binomial
Al contrario que el método anterior, en este se requiere un esfuerzo superior al de
sustituir valores en una fórmula. No obstante, al estar basado en un álgebra sencilla su
ejecución resulta más intuitiva.
La elaboración del método Binomial puede resumirse en la Figura 5 (Lamothe
Fernández, P. (2013)):
Figura 5: Modelo Binomial
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𝑆0 es el valor inicial del activo subyacente. Tras el primer paso temporal, ese número
inicial puede tornarse en dos posibles valores: uno superior que 𝑆0 (𝑆0 ∗ 𝑢, con u>1) y
otro inferior que 𝑆0 (𝑆0 ∗ 𝑑, con d<1). Los factores multiplicativos toman su nombre del
inglés up y down y guardan la relación u=1/d. Los valores exactos dependen de la
volatilidad del activo subyacente.
Para hacer uso del Método Binomial se utilizará la teoría del portfolio réplica, la cual
consiste en crear una cartera perfectamente correlada al valor de la opción.
La teoría del portfolio réplica usa una cartera formada por un conjunto de acciones y
bonos que correlan con el valor de la opción (en el Anexo 7.3 se muestra un ejemplo de
ello). Debido a esto, el valor de la opción call se calcula como el valor del porfolio
mencionado.
Así, puede irse calculando para cada instante o salto temporal el valor C de la opción.
Como se ha dicho, en el segundo periodo el precio del activo subyacente puede subir a
𝑆0 ∗ 𝑢 (en adelante 𝑆𝑢) o bajar a 𝑆0 ∗ 𝑑 (en adelante 𝑆𝑑). Si se denomina como X al precio
de ejercicio, el valor de la opción de compra puede ser 𝐶𝑢 o 𝐶𝑑:
𝐶𝑢 = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑆𝑢 − 𝑋) (10)
𝐶𝑑 = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑆𝑑 − 𝑋) (11)
Si la cartera réplica está formado por m acciones del activo subyacente y B bonos libres
de riesgo, se tienen dos valores posibles para el portfolio (𝑃𝑢 y 𝑃𝑑) tal que:
𝑃𝑢 = 𝑚𝑆𝑢 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (12)
𝑃𝑑 = 𝑚𝑆𝑑 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (13)
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22
Siendo 𝑅𝑓 la tasa libre de riesgo. Como se ha comentado previamente, el valor de la
cartera coincide con el de la opción, de ahí que pueda afirmarse que tanto para los casos
Siendo 𝑅𝑓 la tasa libre de riesgo. Como se ha comentado previamente, el valor de la
cartera coincide con el de la opción, de ahí que pueda afirmarse que tanto para los casos
up como para los casos down el valor del portfolio (P) puede igualarse al de la opción
(C):
𝑃𝑢 = 𝐶𝑢 (14)
𝑃𝑑 = 𝐶𝑑 (15)
De este modo el valor de la opción (C) puede igualarse a la definición del porfolio réplica,
es decir al conjunto de B bonos libres de riesgo y m acciones:
𝐶𝑢 = 𝑚𝑆𝑢 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (16)
𝐶𝑑 = 𝑚𝑆𝑑 + 𝐵(1 + 𝑅𝑓) (17)
De estas ecuaciones pueden despejarse m y B:
𝑚 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑
𝑆𝑢 − 𝑆𝑑 (18)
𝐵 =𝑆𝑢𝐶𝑑 − 𝑆𝑑𝐶𝑢
(𝑆𝑢 − 𝑆𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (19)
Siendo cierto que la evolución del activo subyacente sigue un proceso binomial tal que:
𝑆𝑢 = 𝑆 ∗ 𝑢 (20)
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23
𝑆𝑑 = 𝑆 ∗ 𝑑 (21)
Se pueden sustituir estos valores en las ecuaciones de m y B. Se saca factor común S y
se obtienen las siguientes expresiones:
𝑚 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑
𝑆(𝑢 − 𝑑) (22)
𝐵 =𝑢𝐶𝑑 − 𝑑𝐶𝑢
(𝑢 − 𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (23)
Para calcular el valor de la opción call no queda más que sustituir estos valores de m y B
en la ecuación de C:
𝐶 = 𝑚𝑆 + 𝐵 (24)
𝐶 =𝐶𝑢 − 𝐶𝑑
𝑢 − 𝑑+
𝑢𝐶𝑑 − 𝑑𝐶𝑢
(𝑢 − 𝑑)(1 + 𝑅𝑓) (25)
Esta última expresión puede simplificarse:
𝐶 =𝑝𝐶𝑢 + (1 − 𝑝)𝐶𝑑
1 + 𝑅𝑓 (26)
Se define además una nueva variable p, la probabilidad neutral al riesgo, y su
complementaria q. Las variables p y q pueden ser interpretadas como las probabilidades
riesgo-neutral de movimientos al alza o a la baja, respectivamente.
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24
Figura 5: Evolución del valor de la opción
Las respectivas ecuaciones para el cálculo de estas variables son:
𝑝 =(1 + 𝑅𝑓) − 𝑑
𝑢 − 𝑑 (27)
𝑞 = 1 − 𝑝 =𝑢 − (1 + 𝑅𝑓)
𝑢 − 𝑑 (28)
Simulación Monte Carlo
Este método suele ser usado cuando se carece de modelos matemáticos que sean
capaces de valorar el caso específico que en un determinado momento se esté
analizando. Se basa en la simulación de un rango muy elevado de procesos estocásticos.
La base matemática del modelo reside en que el activo subyacente sigue un proceso
geométrico browniano, esto es, un proceso aleatorio que describe el comportamiento
de ciertas variables aleatorias a medida que se desplazan en el tiempo. Este proceso se
utiliza frecuentemente en los modelos financieros para describir la evolución de los
precios a lo largo del tiempo. Cuando se aplica a éstos, el movimiento browniano da por
supuesto que el cambio de un período de tiempo al siguiente no está relacionado ni con
𝐶𝑢
𝐶𝑑
𝐶
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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25
el nivel de precios ni con las series pasadas de cambios de precio. Es decir, cada cambio
de precio es independiente de los cambios de precio anteriores y la volatilidad de los
cambios de precio es constante.
La fórmula que recoge dicho comportamiento es la siguiente:
𝑆 + 𝑑𝑠 = 𝑆 ∗ 𝑒𝑥 𝑝 [(𝜇 −𝜎2
2) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧] (29)
Donde S es el valor del activo subyacente, 𝜇 es la tasa de retorno de éste (en el Anexo
7.4 se explica con más detalle), σ es su volatilidad histórica y dz es un proceso de Wiener
con desviación típica 1 y media 0. En matemáticas, un proceso de Wiener es un tipo de
proceso estocástico con tiempo continuo, frecuentemente se les denomina movimiento
browniano estándar.
La Teoría del Arbitraje, en inglés Arbitrage Pricing Theory (APT), afirma que la tasa de
retorno esperada de un activo financiero se puede modelar como una función lineal de
varios factores macroeconómicos, donde la sensibilidad a cambios en cada factor es
representada por un factor específico, el coeficiente beta. Si APT se cumple, entonces el
retorno de un activo debe satisfacer la siguiente relación (Harrington, D. (2003)):
𝐸(𝑟𝑗) = 𝑟𝑓 + 𝑏𝑗1𝐹1 + 𝑏𝑗2𝐹2 + ⋯ + 𝑏𝑗𝑛𝐹𝑛 + 𝜀𝑗 (30)
Donde:
- 𝐸(𝑟𝑗) es la tasa de retorno esperada del activo,
- 𝑟𝑓 es el retorno esperado de un activo libre de riesgo,
- 𝐹𝑘 es el factor macroeconómico,
- 𝑏𝑗𝑘 es la sensibilidad del activo al factor 𝑘,
- 𝜀𝑗 es el término de error de media cero del activo de riesgo.
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26
Para simplificar el desarrollo del proyecto, se decide suprimir los factores
macroeconómicos y asumir que la tasa de retorno es igual a la tasa de interés libre de
riesgo (𝜇 = 𝑟𝑓).
Esta ecuación diferencial se transforma a tiempo discreto, es decir, se analiza para saltos
temporales Δt. De esta forma, el precio del activo puede estimarse según:
𝑆(𝑇−1) = 𝑆𝑇 ∗ 𝑒𝑥 𝑝 [(𝑅𝑓 −𝜎2
2) 𝛥𝑡 + 𝜎√𝛥𝑡 𝑥] (31)
Donde 𝑆𝑇 es el precio del activo subyacente, 𝑅𝑓 es la tasa de interés libre de riesgo, σ es
la volatilidad, x es una variable aleatoria normal de distribución N(0,1) y 𝛥𝑡 es el
vencimiento de la opción (en años) dividido entre el número de periodos.
Para cada escenario simulado (en el cual 𝑆𝑇 tomará un valor diferente) se debe calcular
el payoff de la opción:
𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = 𝑚𝑎 𝑥(0, 𝑆𝑇 − 𝑋) (32)
Donde X es el precio de ejercicio. A continuación debe calcularse la esperanza del payoff
para todas las simulaciones realizadas, 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)] (si los escenarios son
equiprobables se trataría de la media de valores). El valor obtenido debe ser
multiplicado por el factor 𝑒(−𝑅𝑓(𝑇−𝑡)) para encontrar el valor actual de la opción. De este
modo:
𝐶 = 𝑒(−𝑅𝑓(𝑇−𝑡)) ∗ 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)] (33)
En resumen, la metodología a seguir para realizar una Simulación Monte Carlo es:
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27
1) Simular la variación del activo subyacente desde su valor inicial 𝑆0 hasta 𝑆𝑇.
2) Para dicha simulación, calcular el payoff de la opción.
3) Repetir este proceso, por lo general se considera adecuado hacerlo unas 10.000
veces.
4) Calcular el payoff promedio, 𝐸[𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓(𝑆)].
5) El valor presente del payoff promedio será el valor de la opción (C).
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28
5. OPCIONES REALES
Como se comentó al inicio de este proyecto, el enfoque tradicional del análisis de
inversiones reside en el cálculo del Valor Actual Neto (VAN), el cual recomienda
acometer un proyecto si su valor es positivo o no hacerlo en caso contrario. La principal
restricción de este punto de vista es que no permite incluir la infinidad de opciones que
suelen estar presentes en las inversiones reales.
5.1 Opciones financieras y opciones reales
Las definiciones de opción financiera y opción real están altamente ligadas, no obstante
difieren en el ámbito en el que son aplicadas, esto es, mundo financiero o proyectos
reales (Amran, M. et al. (2000)).
- Opción financiera: es un instrumento financiero que otorga a su poseedor el
derecho pero no la obligación a comprar o vender valores financieros (acciones,
bonos, índices bursátiles…) a un precio determinado (o precio de strike) en una
fecha establecida (fecha de vencimiento).
- Opción real: es el derecho pero no la obligación de realizar una acción (posponer,
ampliar, reducir, abandonar…) sobre un activo subyacente real (proyecto de
inversión) con un coste establecido.
En resumen, si el activo subyacente es un activo financiero (acciones, bonos, etc.)
entonces se habla de opción financiera. Por otro lado, si el activo subyacente es un
activo real como puede serlo un proyecto de inversión entonces se habla de opción real.
Además, las opciones financieras son siempre un contrato entre dos partes mientras
que en opciones reales no tiene porqué ser así.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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29
Asimismo, las opciones financieras y reales pueden ser indistintamente europeas o
americanas, es decir, ser ejercidas en una fecha futura concreta o a lo largo de un
periodo de tiempo.
5.2 Clasificación de las opciones reales
Se ha mencionado que las opciones reales más comunes en un proyecto son posponerlo
(o diferirlo), ampliarlo, etc. A continuación se detalla cada una de estas posibilidades.
5.2.1 Diferir un proyecto
La opción de diferir, posponer o esperar representa la flexibilidad que posee la dirección
de la empresa para acometer la inversión en el momento en que esta resulta más
favorable. La opción de diferir puede verse como una opción call ya que representa la
posibilidad de acometer un proyecto (comprar un activo, en el símil financiero) pero no
en el momento actual sino tras un cierto periodo temporal (en una fecha de
vencimiento).
Diferir la entrada en un proyecto ofrece ciertas ventajas e inconvenientes que hay que
analizar cuidadosamente para saber si vale la pena o no. Por una parte añade valor al
proyecto pues se dispone de más tiempo para evaluar información y estudiar el
movimiento de las variables más determinantes. Sin embargo, debe tenerse en cuenta
que durante el tiempo el que un proyecto no se está llevando a cabo hay una serie de
flujos de caja que no se están ingresando.
5.2.2 Ampliar un proyecto
Esta opción recoge el derecho de expandir un proyecto de inversión incluyendo, por
ejemplo, introducir nuevos servicios o productos, adquirir otras empresas, incrementar
los presupuestos en ciertos departamentos, etc. Todo esto se equipara financieramente
a una opción call, ya que de nuevo permite realizar una inversión (en este caso concreto
ampliarla) en un momento futuro si ésta resulta ser más conveniente.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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30
De este modo, un proyecto de inversión con un VAN muy pequeño, o incluso negativo,
pero con opciones de crecimiento y alta incertidumbre del mercado puede tornarse
interesante a través de una opción de expansión. Es decir, se podría aceptar un proyecto
con un VAN negativo a corto plazo pero con un elevado potencial de crecimiento en el
futuro.
5.2.3 Abandonar un proyecto
Esta opción proporciona la posibilidad de suspender un proyecto vendiendo o
liquidando el mismo, lo que se correspondería con una opción financiera de venta (put).
Cuando un proyecto no se sostiene económicamente debe ser abandonado para
disminuir en lo posible las pérdidas.
En concreto, se estaría hablando de una opción de venta americana con un precio de
ejercicio correspondiente al valor de venta del proyecto. De este modo, en cada periodo
temporal se toma la decisión de continuar o abandonar el proyecto. De hecho, puede
darse el caso de que el proyecto esté avanzando con un VAN positivo pero que el valor
de abandono supere al valor presente de los flujos de caja futuros.
5.3 Variables en las opciones reales
Del mismo modo que en las opciones financieras se presentaron una serie de variables
que afectaban al valor de las mismas, a continuación se hará lo propio con las opciones
reales.
5.3.1 Valor actual del activo subyacente real (𝑺𝟎)
El valor actual del activo real se corresponde con el valor actual del proyecto de
inversión, es decir, hace referencia a los flujos de caja netos (ingresos netos) que el
proyecto generará. Además de sobre proyectos de inversión, pueden existir opciones
reales sobre patentes, inmuebles, etc.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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31
5.3.2 Inversión necesaria para acometer el proyecto (X)
Esta variable es la equivalente al precio de ejercicio o precio de strike en las opciones
financieras.
Para toda aquella opción real con un equivalente financiero de opción de compra call
(se mencionaron opción de ampliar o de diferir) el valor de la opción real es
inversamente proporcional al de la inversión. Esto es, si en un momento T la inversión
necesaria para acometer el proyecto aumenta, el valor de la opción disminuye. Si por el
contrario la inversión disminuye, el valor de la opción aumenta.
Para las opciones reales cuya equivalencia financiera está en opciones de venta put (por
ejemplo abandonar el proyecto), el aumento o disminución del valor de la opción va
acorde al de la inversión.
5.3.3 Tiempo de vencimiento (T)
Es el espacio temporal que posee el propietario de la opción para ejercer su derecho. Si
este valor aumenta, se tiene una mayor flexibilidad para ejercerlo con lo que el valor de
la opción sube. Por ejemplo, si suceden acontecimientos poco afortunados, el poseedor
de la opción renuncia a su derecho pudiendo así limitar sus pérdidas. De este modo, el
valor de una opción aumenta al hacerlo el tiempo de vencimiento T.
5.3.4 Tasa de interés libre de riesgo (𝑹𝒇)
Ya que esta tasa refleja el valor temporal del dinero, se tiene que una subida de la misma
repercutirá en subida del valor de opciones de compra y en bajadas en el valor de
opciones venta.
5.3.5 Volatilidad (𝝈)
La volatilidad representa la incertidumbre alrededor del proyecto, la variabilidad del
valor futuro del activo subyacente real.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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32
Si la volatilidad es alta existirá una mayor incertidumbre en el mercado, con lo que se
hace interesante estar en posesión de una opción real. Es decir, un aumento de la
volatilidad se transforma en un aumento del valor de las opciones.
5.3.6 Dividendos (D)
Es el dinero que el activo subyacente proporcionaría si se estuviese en posesión del
mismo y no de una opción.
Si el activo entrega unos dividendos altos, el valor de la opción de compra cae mientras
que el de la opción de venta aumenta.
5.4 Analogía entre parámetros
Para poder aprovechar el conocimiento de las opciones financieras en las opciones
reales deben definirse los elementos equivalentes entre ambas, es decir, determinar
una analogía entre los parámetros de ambas.
A continuación, la Tabla 2 refleja la analogía entre las variables existentes en opciones
financieras y reales:
Tabla 2: Analogía entre opción call y opción real
Opción call Opción real
Precio acción Valor Actual (Cash-flows)
Precio ejercicio Coste de inversión
Vencimiento Plazo hasta que la oportunidad se va
Incertidumbre precio acción Incertidumbre valor del proyecto
Tipo de interés libre de riesgo Tipo de interés libre de riesgo
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
33
6. COMPARACIÓN DE ANÁLISIS DE INVERSIONES MEDIANTE LA TÉCNICA DEL
VALOR ACTUAL NETO Y OPCIONES REALES
A lo largo de este apartado se presentarán las dos formas de analizar un proyecto de
inversión que se han ido mencionando a lo largo del proyecto.
En primer lugar se estudiará el método tradicional, esto es el cálculo Valor Actual Neto
(VAN) cuyo resultado indica si la inversión debe llevarse a cabo o no. Se mencionó que
un valor positivo del VAN hace factible el negocio mientras que un valor negativo lo
desaconseja.
Tras ello, se presentarán las alternativas que las opciones reales introducen en un
proyecto y cómo pueden mejorar los resultados del mismo. En concreto, las dos
opciones nuevas que se plantearán serán:
- Posponer el inicio del proyecto durante un periodo de tiempo (durante el cual
puede recabarse más información)
- Ampliar la inversión si el desarrollo del negocio está resultando favorable y se
cree que los beneficios pueden resultar aún mayores.
6.1 Método tradicional. Valor Actual Neto
Para comprobar la practicidad de esta metodología se aplicará a un caso de estudio que
pasa a detallarse a continuación. En él se calculará el valor actual de los ingresos y los
costes (los cuales deben obtenerse previamente) para poder deducir el Valor Actual
Neto. Éste permite decidir si el negocio se lleva a cabo o se desprecia, de acuerdo con el
criterio tradicional de análisis de inversiones.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
34
Presentación del caso práctico. AUTODREAM El caso de estudio comprende una empresa de alquiler de automóviles, AUTODREAM, con
más de diez años de experiencia en el sector. Dicha compañía está analizando la posibilidad
de expandir su negocio a un nuevo país con el fin de aumentar su público potencial. Se
desea averiguar si el proyecto resultaría rentable económicamente por lo que debe
realizarse un estudio de viabilidad. Para ello es necesario estimar de la manera más precisa
posible los datos de ingresos y gastos futuros.
Automóviles
La empresa de alquiler pone
a disposición de sus clientes
un conjunto de coches que
pueden ser agrupados en
cuatro categorías:
- Utilitarios
- Todoterreno
- Lujo
- Deportivos
Tarifas
El cliente puede acceder a estos vehículos a través
de cinco diferentes tarifas. Cada una de ellas ofrece
un mayor número de servicios:
- Tarifa 1: es la más básica y con ella solo se
adquiere el coche.
- Tarifa 2: añade a éste un sistema de
navegación portátil.
- Tarifa 3: la tercera ofrece un seguro de
asistencia en carretera 24h.
- Tarifa 4: permite al cliente aparcar el coche
en cualquier lugar de su destino sin
necesidad de acudir a uno de los
establecimientos de la empresa.
- Tarifa 5: por último la quinta ofrece un
servicio de chófer.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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35
Precios
La siguiente tabla todos los posibles precios por día del alquiler de los vehículos en
función del tipo de coche y tarifa elegida por el cliente:
Precio (€) Tarifa 1 Tarifa 2 Tarifa 3 Tarifa 4 Tarifa 5
Utilitario 21 28 39 45 63
Todoterreno 25 32 43 49 67
Lujo 30 37 48 54 72
Deportivo 35 42 53 59 77
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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36
6.1.1 Estimación de los ingresos futuros
Los ingresos que se esperan generar dependerán del número de clientes que contraten
los servicios de la empresa así como del tipo de automóvil y tarifa que elijan. Para poder
estimar esto suele realizarse un estudio de mercado determinando la probabilidad de
que un usuario elija un plan u otro. La Tabla 3 refleja las probabilidades mencionadas
para cada combinación coche-tarifa.
Tabla 3: Probabilidades de cada plan
Precio (€) Tarifa 1 Tarifa 2 Tarifa 3 Tarifa 4 Tarifa 5
Utilitario 0,05 0,06 0,04 0,06 0,01
Todoterreno 0,07 0,06 0,04 0,06 0,02
Lujo 0,07 0,05 0,06 0,08 0,04
Deportivo 0,04 0,05 0,05 0,07 0,02
La suma de todas las probabilidades es igual a 1, como no podría ser de otra manera. Si
se multiplican los valores de la Tabla 2 (precios por día) y la Tabla 3 (probabilidades) y se
suman todos los valores se obtiene el ingreso medio diario de cada vehículo en plantilla,
que resulta ser 43,14€. La empresa tiene calculado de su operación en otros países que
el porcentaje de uso de los coches es de un 25%. Es decir, solo el 25% del tiempo los
automóviles están alquilados, el resto del tiempo se encuentran en el garaje. Por tanto,
el ingreso diario de cada vehículo resulta ser de 10,78€. Al multiplicar por 365 días que
tiene un año se obtiene un ingreso medio anual por coche de 3936,52€:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 ∗ % 𝑢𝑠𝑜 ∗ 𝑛º 𝑑í𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 (33)
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 43,14 ∗ 0,25 ∗ 365 = 3936,52 € (34)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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37
A continuación debe estimarse también el número de clientes del negocio durante el
periodo a estudio, cinco años. Para ello, se plantearán tres escenarios diferentes:
pesimista, prudente y optimista. En cada uno de ellos se partirá de una cantidad de
clientes y se preverá un crecimiento anual determinado. Todo esto se recoge en la Tabla
4:
Tabla 4: Escenarios posibles
Escenario Probabilidad Clientes Año 1 Crecimiento anual (%)
Optimista 0,35 14290 15%
Prudente 0,40 12074 8%
Pesimista 0,25 4744 0%
A partir de la Tabla 4 es sencillo calcular el número de clientes de los cinco años
venideros, sin más que partir de la estimación del primer periodo y multiplicar por
(1+Crecimiento anual):
Tabla 5: Estimación de los clientes anuales futuros
Escenario Clientes 1 Clientes 2 Clientes 3 Clientes 4 Clientes 5
Optimista 14290 16433,50 18898,52 21733,30 24993,29
Prudente 12047 13039,92 14083,11 15209,76 16426,54
Pesimista 4744 4744 4744 4744 4744
Ponderación 11017,10 12153,69 13433,73 14876,56 16504,27
La última fila se corresponde al valor “medio”, es decir el valor obtenido al ponderar con
la probabilidad de cada escenario. Si ahora se multiplica cada uno de esos valores por el
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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38
ingreso medio anual calculado previamente (3936,52€) se obtendrán los diferentes
flujos de caja:
Tabla 6: Flujos de caja
Escenario FC1(M€) FC2(M€) FC3(M€) FC4(M€) FC5(M€) Probabilidad
Optimista 56,25 64,69 74,39 85,55 98,38 0,35
Prudente 47,53 51,33 55,43 59,87 64,66 0,40
Pesimista 18,67 18,67 18,67 18,67 18,67 0,25
A primera vista se observa una disparidad en los posibles ingresos de la inversión.
Tomando como ejemplo los valores del cuarto año, es decir 85,55 – 59,87 – 18,67
millones de euros, resulta evidente que existe una alta incertidumbre en el proyecto.
Finalmente, se multiplican en cada columna cada uno de los valores por su probabilidad
(último número de su fila) y se suman los productos, obteniendo así los flujos de caja de
cada periodo temporal:
Tabla 7: Flujos de caja estimados
FC1 (M€) 43,37
FC2 (M€) 47,14
FC3 (M€) 51,97
FC4 (M€) 57,43
FC5 (M€) 63,60
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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39
6.1.2 Estimación de los costes futuros
Tras presentar las hipótesis que han llevado al cálculo de los ingresos, se hace ahora lo
propio para los costes. De inicio, es decir en el Año 0, la empresa decide instaurar 350
establecimientos y a partir de ahí, incrementar esta cifra según el número de clientes
nuevos que lleguen año tras año (el cual se ha presentado en la Tabla 5). Se ha calculado
que cada establecimiento o tienda puede tratar con alrededor de 25 clientes al mismo
tiempo (básicamente por la limitación de mantener 25 coches en la misma zona
geográfica). De este modo, puede calcularse que el primer año aumentará el número de
establecimientos en 11017,1 / 25 = 440,68 -> 441 (se divide el número de clientes
nuevos estimados entre la capacidad de cada sucursal). El resultado obtenido se
redondea al alza con la función redondear de Microsoft Excel la cual se describe en el
Anexo 7.5:
Haciendo lo propio para los demás años se obtienen los datos de la Tabla 8:
Tabla 8: Número de establecimientos anuales
Año 0 1 2 3 4 5
Establecimientos 350 441 487 538 596 661
ΔEstablecimientos 91 46 51 58 65
La tercera fila muestra los nuevos establecimientos que deben construirse de un año
para otro.
Los costes anuales pueden clasificarse en dos tipos: costes por creación de nuevos
establecimientos (compra del local, material de oficina, aparcamientos, etc.) cuyo
desembolso se estima en 130,000€ y costes por mantenimiento de locales (sueldo de
los empleados, reparaciones de los coches, etc.) cuyo gasto asciende a 62,000€.
Teniendo en cuenta el número de entidades que van a existir cada año, el coste anual
total asciende a:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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40
Tabla 9: Costes anuales
Año 0 1 2 3 4 5
Coste (M€) 45,5 39,17 36,17 39,98 44,49 49,43
6.1.3 Cálculo del Valor Actual de los ingresos
La fórmula necesaria para calcular el valor actual de una serie de flujos de caja fue
explicada con anterioridad. A continuación se hará uso de la misma aplicándola a los
cash flow de los ingresos.
𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = ∑𝐹𝐶𝑖
(1 + 𝑘)𝑖
𝑁
𝑖=1
(35)
El número de años considerados a estudio son cinco, los flujos de caja aparecen en la
Tabla 8 y como tasa de descuento se tomará un valor del 10%, es decir k=0,10. Este valor
puede resultar a primera vista muy elevado, no obstante la situación actual del país no
es del todo estable por lo que cualquier inversión posee un riesgo añadido. Sustituyendo
los valores se obtiene un Valor Actual de los Ingresos de:
𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 196,16 𝑀€ (36)
La Figura 6 muestra el procedimiento a seguir para el cálculo, que no es más que el uso
de la función VNA de Microsoft Excel que se describe con más detalle en el Anexo IV:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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41
Figura 6: Cálculo de Valor Actual de los ingresos
6.1.4 Cálculo del Valor Actual de los costes
Para este cálculo se procederá de forma similar a la metodología para el valor actual de
los ingresos. No obstante debe tenerse en cuenta que para el Año 0 (Inversión inicial)
no debe aplicarse la tasa de descuento. Realizando toda la operativa se obtiene un valor
de:
𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 200,27 𝑀€ (37)
A continuación, la Figura 7 recoge los pasos necesarios para el cálculo en Excel:
Figura 7: Cálculo del VA de los costes
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42
6.1.5 VAN del proyecto
Una vez han sido calculados el Valor Actual de los ingresos y de los costes, el cálculo del
Valor Actual del proyecto no requiere más que una simple resta:
𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 (38)
𝑉𝐴𝑁 = 196,16 − 200,27 = −4.11 𝑀€ (39)
Debido a que el resultado del VAN es negativo, la inversión no debe ser acometida. Esto
es, no obstante, siguiendo el criterio tradicional de análisis de inversiones. Más adelante
se demostrará cómo el uso de las opciones financieras pueden alterar estos resultados
numéricos y por tanto el desarrollo de la inversión.
6.1.6 Influencia de la tasa de descuento
En los cálculos previos se ha elegido una tasa de descuento del 10% (k=0.10). No
obstante, la elección de otros valores habría influido en los resultados de los valores
actuales de ingresos y costes. Para comprobarlo se han calculado éstos para valores de
k que van desde 5% hasta 13%. Representándolos en la Figura 8 se obtiene lo siguiente:
Figura 8: Influencia de k en el VAN
(€50.000.000,00)
€0,00
€50.000.000,00
€100.000.000,00
€150.000.000,00
€200.000.000,00
€250.000.000,00
0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13
Títu
lo d
el e
je
Influencia de k en el VAN
VAN proyecto
VA Costes
VA Ingresos
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43
Puede apreciarse que el valor de la tasa de descuento influye en mayor medida en los
Ingresos. Esto es así puesto que el valor de los Costes incluye un desembolso inicial muy
fuerte (en el Año 0) que no se ve influido por k, de ahí que logre mantener unos valores
más constantes. Se observa que a partir de un valor de, aproximadamente, k=9% (como
era el caso estudiado, k=10%) el VAN es negativo.
6.2 Método de valoración de inversiones con opciones reales
En este apartado van a presentarse los casos más comunes de opciones reales, esto es,
la opción de diferir y de ampliar el proyecto. Cada uno de ellos se resolverá aplicando
los métodos que se han presentado en este proyecto: Black-Scholes, Binomial y Monte
Carlo.
6.2.1 Opción diferir
La empresa tiene la posibilidad de establecerse en un país dentro de un año y durante
este tiempo recabar información sobre el mismo.
Según los especialistas de AUTODREAM, la situación económica del país será más idónea
para el negocio pasado este tiempo. Por tanto, debe estudiarse la posibilidad de diferir
el proyecto un año, teniendo en cuenta el coste de no percibir ingresos durante ese
periodo.
Esta posibilidad de posponer el proyecto tiene su equivalente financiero en una opción
de compra. Tal y como se vio con anterioridad, el cálculo del valor de una opción call
requiere el conocimiento de una serie de parámetros como son: 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ. Las dos
primeras variables fueron calculadas en el apartado anterior y se corresponden con el
Valor Actual de los ingresos y de los costes:
𝑆0 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 196,16 𝑀€ (40)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
44
𝑋 = 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 200,27 𝑀€ (41)
El intervalo temporal T es ahora un año (tiempo que se pospondría el proyecto), la tasa
libre de riesgo 𝑅𝑓 puede suponerse 7%.
La variable que falta por determinarse es la volatilidad. Si bien en el ejemplo práctico de
opciones financieras se pudo estimar la volatilidad histórica a partir de las cotizaciones
de una empresa, aquí no puede realizarse lo mismo. Dando la vuelta a la ecuación de
Black-Scholes puede utilizarse el valor del subyacente, el precio de ejercicio, el tiempo
hasta el vencimiento, el tipo de interés libre de riesgo hasta el vencimiento y el precio
de mercado de la opción, para calcular la volatilidad. Esta volatilidad se denomina
volatilidad implícita.
Estimación de la volatilidad implícita
A lo largo de este apartado se expondrán los pasos para determinar esta variable. En
primer lugar debe establecerse según conveniencia la probabilidad mínima de que el
valor actual del proyecto de dentro de un año sea mayor que el desembolso inicial: 𝑃0 =
𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋) con T=1 año. Esto es equivalente a decir que el VAN sea positivo de aquí a
un año.
Para ello debe considerarse una variable aleatoria logarítmica normal, r, que refleje la
variación temporal del valor del proyecto (Lamothe Fernández, P et al. (2010)):
𝑆𝑇
𝑆0= 𝑒𝑟 (42)
Al mismo tiempo, r depende de la volatilidad σ que se está buscando según la ecuación:
𝑟 = (𝑅𝑓 −1
2∗ 𝜎2) ∗ 𝑇 + 𝜎√𝑇 ∗ 𝑥 (43)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
45
Esta variable gaussiana r (o normal) tiene dos sumandos: el primero de ellos es una
componente determinista (no hay influencia del riesgo) y el segundo es una
componente aleatoria con distribución normal de media 0 y desviación típica √𝑇 ∗ 𝑥,
siendo x una variable aleatoria con distribución N(0,1).
El objetivo ahora es expresar la probabilidad de que el valor actual del proyecto sea
superior a la inversión, esto es, 𝑃0 = 𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋), en función de Q(x). Esta función
expresa la probabilidad de cola de una distribución normal estándar (debido a que se
busca un valor “mayor que (>)” y no “menor que (<)”). Ya se ha comentado que 𝑃0 será
establecerá a conveniencia, luego si se expresa esto en función de Q(x) podrá despejarse
de ahí la volatilidad.
Como r es una variable aleatoria log-normal y se desea utilizar la función Q(x), ha de
transformarse en variable aleatoria normal (o gaussiana). En primer lugar se aplicará
logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad:
𝑃0 = 𝑃(𝑆𝑇 > 𝑋) = 𝑃 (𝑙𝑛𝑆𝑇
𝑆0> 𝑙𝑛
𝑋
𝑆0) = 𝑃 (𝑟 > 𝑙𝑛
𝑋
𝑆0) (44)
A continuación se normalizará la variable r, es decir, se transformará en una variable
aleatoria normal con media 0 y varianza 1. La esperanza y la varianza de r son:
𝐸(𝑟) = (𝑅𝑓 −1
2𝜎2) 𝑇 (45)
𝑉(𝑟) = 𝜎2𝑇 (46)
Por tanto, la normalización será:
𝑃 (𝑟 − 𝐸(𝑟)
𝑉(𝑟)>
𝑙𝑛𝑋𝑆0
− 𝐸(𝑟)
𝑉(𝑟)) = 𝑄 (
𝑙𝑛𝑋𝑆0
− 𝐸(𝑟)
𝑉(𝑟)) = 𝑃0 (47)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
46
Aplicando 𝑄−1(𝑥) en ambos lados se tiene:
𝑙𝑛𝑋𝑆0
− 𝐸(𝑟)
𝑉(𝑟)= 𝑄−1(𝑃0) (48)
Sustituyendo en esta ecuación las definiciones de 𝐸(𝑟) y 𝑉(𝑟) y despejando la
volatilidad se queda lo siguiente:
𝜎 = √𝑙𝑛
𝑋𝑆0
− 𝑅𝑓𝑇
𝑇 ∗ [𝑄−1(𝑃0) −12]
(49)
El objetivo era fijar a conveniencia una probabilidad de que el valor del proyecto fuese
mayor que la inversión, en otras palabras, fijar un valor de 𝑃0 y obtener la volatilidad
correspondiente. Para una probabilidad de 0,9, la volatilidad toma un valor de:
𝜎 = 0,167641 (50)
6.2.1.1 Fórmula de Black-Scholes
Tras el cálculo de la volatilidad, se tienen todos los parámetros que exige la fórmula de
Black-Scholes para obtener el valor de la opción. La Figura 9 muestra el proceso seguido
para el cálculo, idéntico al de las opciones financieras. En primer lugar deben calcularse
𝑑1 y 𝑑2, obtener N(𝑑1) y N(𝑑2) y sustituir junto con las variables 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ en la
ecuación de C (valor de la opción).
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
47
Figura 9: Cálculo del valor de la opción real mediante Black-Scholes
El valor de la opción real resulta ser de 19,15 millones de euros. No obstante, el hecho
de posponer el inicio del negocio tiene un coste que viene representado por los flujos
de caja que se dejan de percibir durante el aplazamiento (en este caso un año). Los cash
flow perdidos durante el primer año coinciden con los ingresos menos la inversión,
actualizados al periodo actual (ver Apartado 6.1).
De este modo, tiene que comprobarse si el VAN del proyecto es ahora positivo o si sigue
siendo menor que cero. Para ello se sumará el VAN obtenido del modo tradicional con
el valor de la opción y se descontarán los costes.
𝑉𝐴𝑁𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟 = 𝑉𝐴𝑁𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 (51)
Para los valores concretos del proyecto:
𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘−𝑆𝑐ℎ𝑜𝑙𝑒𝑠 = −4,11 + 19,15 − 11,39 = 3,65 𝑀€ (52)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
48
El VAN del proyecto calculado primeramente era negativo, lo que indicaba que no
resulta rentable acometer el proyecto. Sin embargo, el valor obtenido con la opción de
diferir revela que la inversión puede ser atractiva si se espera un año, es decir, el valor
de esperar es mayor que el coste.
6.2.1.2 Método Binomial
En este apartado se valorará la opción de diferir el comienzo del proyecto un año
utilizando otra metodología. El Método Binomial se basa en dividir el periodo de tiempo
a estudio en diferentes sub-periodos o nodos en los cuales los ingresos pueden tomar
distintos valores.
Esta metodología requiere los valores correspondientes a la tasa libre de riesgo, 𝑅𝑓, la
volatilidad, σ, el periodo de tiempo a diferir, T, el Valor Actual del proyecto, 𝑆0 y el
desembolso para llevar a cabo el proyecto, X. En el caso concreto a estudio el árbol
binomial constará de seis iteraciones (n=6) por lo que cada sub-periodo coincide con 1/6
años (es decir, dos meses), 𝛥𝑡 = T/n = 0,1666 años.
Se ha tomado un valor se seis iteraciones pues resulta práctico y representativo. Elegir
un número superior de iteraciones (por ejemplo doce, una por mes) no supondría una
mejor comprensión del método y sin embargo sí dificultaría la presentación de
resultados. Debe comprenderse que el Método Binomial tiende a una convergencia
hacia el valor de Black-Scholes al aumentar el número de iteraciones debido a que, al
aumentar el número de ellas en la construcción del árbol binomial, la distribución
binomial se aproxima a una distribución normal (que es la base de Black-Scholes).
A continuación, es necesario establecer los parámetros u y d que permiten la
construcción del árbol binomial. Sus expresiones son:
𝑢 = 𝑒(σ∗√Δt) = 1,07083 (53)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
49
𝑑 = 1𝑢⁄ = 0,93385 (54)
Con dichas variables ya puede empezar a construirse el árbol. Se parte del valor actual
del proyecto (ingresos esperados), 𝑆0 = 196,16 𝑀€, y se van creando los valores
crecientes o decrecientes con los factores u y d respectivamente. La Figura 10 muestra
el proceso a seguir:
Figura 10: Árbol binomial de los valores del proyecto
Los valores, por ejemplo, del primer sub-periodo se obtienen de la siguiente manera:
𝑉𝐴𝑡=11 = 𝑆0 ∗ 𝑢 = 196,16 ∗ 1,0708 = 210,01 𝑀€ (55)
𝑉𝐴𝑡=12 = 𝑆0 ∗ 𝑑 = 196,16 ∗ 0,933 = 183,18 𝑀€ (56)
Procediendo de igual manera en cada nodo se llega hasta los valores de la derecha del
todo, los siete posibles valores del valor del proyecto al cabo de un año.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
50
Una vez calculados los valores del proyecto deben calcularse los respectivos valores de
la opción. Para aquellos casos en los que 𝑆𝑇 (para T=1 año) sea mayor que X, o sea, el
valor del proyecto sea superior a la inversión necesaria para ejercerlo, el valor de la
opción es 𝐶 = 𝑆𝑇 − 𝑋. En caso contrario, el valor de la opción es cero pues no será
ejercida. Por tanto, la expresión para el cálculo del valor de la opción es:
𝐶 = max (𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (57)
Aplicando esta ecuación para los siete últimos valores, teniendo en cuenta que 𝑋 =
200,27 𝑀€, se descubre que la opción de posponer el proyecto solo se realizaría para
tres casos (los tres primeros). Haciendo uso de una comparativa financiera, en los otros
cuatro casos el precio de mercado (𝑆𝑇) estaría por debajo del precio de ejercicio (X) por
lo que no resultaría interesante ejercer el derecho de compra y el valor de la opción pasa
automáticamente a ser cero:
𝐶4 = 196,16 − 200,27 = −4,11 𝑀€ (58)
𝐶5 = 171,06 − 200,27 = −29,20 𝑀€ (59)
𝐶6 = 149,18 − 200,27 = −51,08 𝑀€ (60)
𝐶7 = 130,10 − 200,27 = −70,17 𝑀€ (61)
El último paso es obtener el valor actual de la opción. Para ello debe ir construyéndose
el árbol de valores de la opción de derecha a izquierda, o sea, de la última columna cuya
construcción acaba de explicarse hasta la primera celda. Este proceso se denomina
“backward induction” y requiere de dos parámetros, llamados probabilidades neutrales
al riesgo, cuyas ecuaciones son:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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51
𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑
𝑢 − 𝑑= 0,5413 (62)
𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4587 (63)
Con estos valores se va dando forma al árbol, cada valor de la opción seguirá la ecuación
siguiente:
𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑
1 + 𝑅𝑓 (64)
La Figura 11 muestra el árbol completo:
Figura 11: Árbol binomial de los valores de la opción
Por ejemplo, el valor de la casilla 85,20M€ de la Figura X se ha calculado así:
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52
𝐶 =𝑝 ∗ 103,24 + (1 − 𝑝) ∗ 65,409
1 + 𝑅𝑓 (65)
El primero de los valores es el valor actual de la opción, 𝐶 = 18,82 𝑀€. Es algo menor
que el obtenido por el método de Black-Scholes pero del mismo orden de magnitud.
Para obtener el VAN de la opción esperar no hay más que sumar el VAN original al valor
de la opción y restarle los cash-flow no ingresados en el primer año:
𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑀. 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 = −4,11 + 18,82 − 11,39 = 3,31 𝑀€ (66)
Como sucedía en el Método de Black-Scholes, se percibe que la opción de esperar puede
resultar muy beneficiosa ya que se pasa de un VAN negativo a obtener beneficios.
6.2.1.3 Simulación Monte Carlo
Esta metodología es, en cierto punto, similar a la binomial. También se basa en simular
diferentes escenarios, es decir, diferentes valores de 𝑆𝑇, solo que aquí el número de
éstos asciende a millares. Para calcular los posibles valores del proyecto se considera
que dicha variable sigue el mismo movimiento que en opciones financieras, esto es, un
movimiento geométrico browniano (Hull, J.C. (2012)):
𝑆𝑇 = 𝑆0 ∗ 𝑒𝑟 = 𝑆0 ∗ 𝑒((𝜇−
12
∗σ2)∗𝑇+σ∗√𝑇∗𝑥) (67)
Siendo 𝑆𝑇 el valor del proyecto en el instante T (para el caso a estudio, T=1 año), 𝑆0 es
el valor actual del proyecto, 𝜇 coincide con la tasa libre de riesgo 𝑅𝑓 y finalmente σ es la
volatilidad.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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53
El número de simulaciones a realizar puede ser tan grande como se desee, por lo general
a partir de mil se considera un ensayo correcto y esta es la cifra que se toma para este
ejemplo. A cada uno de los escenarios se le asignará la misma probabilidad de
ocurrencia, es decir, 1/1000. Las variables 𝑆0, X, T, 𝑅𝑓 y σ se fijan desde el inicio para
todas las simulaciones, lo que marcará la variación de un escenario a otro es el valor de
x, que será una variable aleatoria normal N(0,1).
Del mismo modo que se hizo en el Método Binomial, para el instante T (1 año) habrá
valores del proyecto superiores al coste de inversión, esto es 𝑆𝑇 > 𝑋, y otros inferiores,
𝑆𝑇 < 𝑋. En el primer caso el beneficio o payoff será 𝑆𝑇 − 𝑋 y en el segundo será 0 pues
el proyecto no se llevará a cabo. Por último, se calculará un valor promedio de estos
beneficios de entre las mil simulaciones realizadas.
En este punto se tienen todas las variables de la fórmula de 𝑆𝑇 mostrada salvo la variable
aleatoria normal, x. Para su estimación no hay más que generar una serie de números al
azar entre 0 y 1 con la función “ALEATORIO” de Excel y calcular las distintas
probabilidades con la función “DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)” donde
“probabilidad” es los distintos valores de x. Estas funciones de Excel se describen a
continuación:
Ahora sí es posible simular tantos valores de 𝑆𝑇 como se deseen. A continuación se
muestra el proceso seguido, incluyendo el cálculo previo de la variable aleatoria x. Debe
tenerse en cuenta que la Figura 12 solamente muestra las primeras simulaciones pues
mostrar las mil no sería cómodo ni aportaría valor.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
54
Figura 12: Simulación de distintos valores de 𝑆𝑇
A continuación se calcularán los diferentes payoff. Para ello se hará uso de la función
“SI(prueba_lógica; [valor_si_verdadero]; [valor_si_falso]”. La “prueba lógica” será
comprobar si los distintos valores de 𝑆𝑇 (columna F) son mayores que X (celda B7), es
decir 𝑆𝑇 > 𝑋. El “valor_si_verdadero” será la diferencia entre ambos valores, 𝑆𝑇 − 𝑋, y
el “valor_si_falso” será cero, pues en dicho caso el proyecto no se llevaría a cabo.
El siguiente paso es obtener el promedio de todos los payoff obtenidos, para ello se
suman todos los valores con la función “SUMA(número1; [número2]; …)” y se divide
entre mil. El resultado es el mostrado en la Figura 13:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
55
Figura 13: Cálculo del promedio de los payoff
El valor de la celda H3, es decir 19,82 millones de euros, se corresponde con el valor de
la opción dentro de un año, en el instante T. No obstante, el valor que se necesita para
poder calcular el VAN de la opción diferir es el del instante actual. Para ello se multiplica
el promedio obtenido por el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇).
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 = 19,819 ∗ 𝑒(−0.08∗1) = 18,295 𝑀€ (68)
Finalmente se tienen todos los datos necesarios para calcular el VAN que se obtiene si
se pospone el inicio del proyecto un año. Procediendo de manera similar al Método de
Black-Scholes y Binomial:
𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜 = −4,11 + 18,29 − 11,39 = 2,79 𝑀€ (69)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
56
6.2.2 Opción ampliar
La opción de ampliar recoge la posibilidad de generar un crecimiento de la inversión
adquiriendo, a cierto coste, otra parte del proyecto. A primera vista, aumentar la
participación en el negocio cuando no se posee una seguridad total en él puede parecer
poco recomendable. Sin embargo, en este apartado se demostrará cómo las opciones
reales permiten sacar partido a dicha situación y obtener beneficios.
Desde una perspectiva financiera, la opción de ampliar el proyecto se asemeja a una
opción de compra call, en la cual el activo subyacente 𝑆0 es el valor actual de los cash-
flow que se estima que el proyecto adicional generaría. El desembolso necesario para
desarrollar la inversión adicional se corresponde con el precio de ejercicio X.
La empresa AUTODREAM se muestra dubitativa en relación a su entrada en un
determinado país. Por dicha razón se baraja la posibilidad de realizar una incursión
piloto durante cuatro años, con un desembolso mucho menor. Si tras este periodo, la
prueba en el país resulta exitosa se ampliaría el negocio en el quinto año a través de una
fuerte inversión (mucho mayor que la de los años previos). Dicha ampliación se espera
que genere un valor actual cinco veces superior al valor del cuarto año.
La empresa se ha dedicado a estimar los parámetros relativos al negocio. A través de un
estudio de mercado se ha analizado la situación de empresas similares del sector que se
han introducido en este mercado. A pesar de la confidencialidad de sus datos se ha
deducido que la inversión piloto conlleva un desembolso de 5 millones de euros. El valor
actual de los ingresos netos se estima en 4 millones de euros teniendo en cuenta
distintos escenarios optimistas y pesimistas. Los valores de la volatilidad y la tasa libre
de riesgo se suponen 30% y 8%, respectivamente.
Lógicamente el proyecto no sería interesante desde un punto de vista tradicional pues
resulta un VAN negativo:
𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐴𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑉𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡𝑒𝑠 = 4 − 5 = −1 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 (70)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
57
Lo interesante es estudiar el valor de la inversión si esta se ampliase al pasar cuatro años.
Dicha ampliación exige un desembolso adicional de 15 millones de euros y se estima que
establecería un valor del negocio cinco veces superior al que se tenía en el año cuarto.
6.2.2.1 Método de Black-Scholes
Debido a las características propias del Método de Black-Scholes que se han descubierto
previamente se deduce que esta metodología no es factible para la casuística
presentada en la opción de ampliar el proyecto. Esto es así pues Black-Scholes permite
ciertamente obtener el valor de una opción real para un tiempo futuro pero no admite
la creación de casos especiales como el de multiplicar por cinco el valor del negocio y/o
aumentar el desembolso exigido. Por esta razón, el caso concreto que se plantea solo
podrá analizarse desde la perspectiva del Método Binomial y de la Simulación
Montecarlo.
6.2.2.2 Método Binomial
Cuando todos los parámetros han sido estimados pueden calcularse las variables
necesarias para la construcción del árbol binomial, es decir, los parámetros u y d que ya
fueron usados en la opción diferir.
𝑢 = 𝑒(𝜎∗√𝛥𝑡) = 𝑒0,3 = 1.16 (71)
𝑑 = 1 𝑢⁄ = 0.86 (72)
A continuación pasa a construirse el árbol. Se utilizará un intervalos temporal de un año
(𝑇 = 1 año) para el periodo de prueba o piloto. La Figura 14 muestra el procedimiento
seguido:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
58
Figura 14: Construcción del árbol binomial
Llegado a este punto, la directiva de la empresa calcula los VAN que se obtendrían de
llevar a cabo la ampliación. Para ello debe tenerse en cuenta el factor de expansión del
valor del negocio (que se estableció en cinco) y el desembolso exigido para ampliar:
𝑉𝐴𝑁1 = (5 ∗ 7,28) − 15 = 46 𝑀€ (73)
𝑉𝐴𝑁2 = (5 ∗ 5,39) − 15 = 16,4 𝑀€ (74)
𝑉𝐴𝑁3 = (5 ∗ 4) − 15 = 5 𝑀€ (75)
𝑉𝐴𝑁4 = (5 ∗ 2,96) − 15 = −0,18 𝑀€ (76)
𝑉𝐴𝑁5 = (5 ∗ 2,19) − 15 = −4,02 𝑀€ (77)
De las cinco posibilidades que aparecen, el proyecto solo se llevaría a cabo en los tres
primeros casos que es donde el valor de ampliar el proyecto supera al valor de no
hacerlo. En los otros dos casos, el proyecto se mantendría sin ampliar y mantendría los
valores que aparecen en la última columna del árbol binomial.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
59
Seguidamente, debe construirse el árbol de valores de la opción avanzando de derecha
a izquierda (“backward induction”) a través de las probabilidades neutrales al riesgo, p
y q (Hull, J.C. (2012)):
𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑
𝑢 − 𝑑=
1 + 0,08 − 0,86
1,16 − 0,86= 0,49 (78)
𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,51 (79)
De este modo, cada valor de la opción en un sub-periodo se obtendrá según la fórmula:
𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑
1 + 𝑅𝑓 (80)
Si se realiza este proceso a lo largo de todo el árbol se obtiene lo que muestra la Figura
15:
Figura 15: Backward induction
Finalmente y una vez obtenido el valor de la opción ampliar, puede calcularse el nuevo
VAN del negocio (recuérdese que el inicial era -1M€):
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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60
𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑟𝑀. 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 = 4,97 − 1 = 3,97 𝑀€ (81)
Este resultado demuestra cómo un proyecto que a primera vista resultaba poco
interesante puede llegar a ser una inversión muy beneficiosa si se hace uso de las
oportunidades que presentan las opciones reales.
6.2.2.3 Simulación Montecarlo
A continuación se valorará la opción de ampliar el proyecto a través de la Simulación
Montecarlo. La simulación de los distintos escenarios, es decir, de los distintos valores
alcanzables por el proyecto es idéntica a la ejecutada en la opción de posponer por lo
que no es necesario profundizar en ello.
Una vez se han encontrado dichos valores (columna F) debe comprobarse si la opción
ampliar es rentable o no. Para ello deben cumplirse dos requisitos, que el VAN de
ampliar sea positivo y además que este sea superior al caso de no ampliar (puede que
ampliar salga rentable pero menos que no hacerlo). Para visualizar mejor dichas
condiciones se han separado en dos columnas, la G y la H. En la primera se comprueba
si el VAN de ampliar es positivo a través de la función “SI(prueba_lógica;
[valor_si_verdadero]; [valor_si_falso]”, en concreto “SI(ValorColumnaF*5-
15.000.000>0; ValorColumnaF*5-15.000.000; ValorColumnaF)”. En la columna H se
comprueba si éste valor (ampliando) es mayor o menor que el previo (sin ampliar), de
ser menor no se lleva a cabo la opción. Esto se realiza con la función
“=SI(ValorColumnaG<ValorColumnaF; ValorColumnaF; ValorColumnaG)”.
Finalmente se calcula el promedio de los valores calculados y se actualizan al instante
temporal actual mediante el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇). La Figura 16 muestra el proceso completo
de la Simulación Montecarlo:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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61
Figura 16: Desarrollo de la Simulación Montecarlo
El valor de la opción ampliar es, según esta metodología, 𝐶 = 5,34 𝑀€. Con este dato
puede calcularse el VAN del proyecto con la opción ampliar tal que:
𝑉𝐴𝑁𝑂𝑝𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑟𝑆. 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜 = 5,34 − 1 = 4,34 𝑀€ (82)
El valor arrojado por la Simulación Montecarlo es muy similar al del Método Binomial,
la deducción de ambos es que el uso de las opciones reales (en este caso ampliar la
inversión) puede transformar un proyecto poco interesante en otro beneficioso.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
62
7. CONCLUSIONES
A lo largo del proyecto se ha tenido la oportunidad de estudiar el análisis de inversiones
desde diferentes enfoques, dando lugar a una estructura que puede resumirse del
siguiente modo:
En primer lugar se presentó el análisis tradicional del Valor Actual Neto, el menos
sofisticado de los métodos. El VAN puede resultar útil para inversiones que no
impliquen demasiado riesgo (lo que no es muy común) o como primera toma de
contacto con el análisis de inversiones.
Seguidamente se introdujeron las opciones financieras. Si bien el tema principal
del trabajo son las opciones reales, éstas últimas no pueden comprenderse sin
conocer las primeras. Efectivamente, las opciones reales no son más que una
extrapolación de las financieras al mundo real, la aplicación de la misma teoría a
proyectos reales en vez de a activos bursátiles.
A continuación se estudiaron las opciones reales, mostrando las nuevas
posibilidades que se pueden encarar durante un proyecto real y cómo éstos son
elementos dinámicos, sujetos a infinidad de cambios.
Como se acaba de decir, al inicio de este trabajo se exponían las limitaciones que
conlleva el análisis tradicional de las inversiones, es decir, el que utiliza como base para
su cálculo el Valor Actual Neto. Si en un proyecto existe una cierta flexibilidad operativa,
el VAN es incapaz de incluirla y dará siempre por hecho que una vez iniciada la inversión
no puede verse alterada.
En la vida real, el abanico de modificaciones en los que puede verse afectado un
proyecto es casi siempre tan amplio como se desee. Por ello, todo parece indicar que el
uso del análisis tradicional no tiene verdadero sentido salvo en un ámbito académico o
en proyectos con una incertidumbre realmente baja (cosa que no es muy común).
En la mayoría de entornos de inversión existe un riesgo o incertidumbre (una volatilidad
en los flujos de caja) y es ahí donde las opciones reales se convierten en una herramienta
casi indispensable. Estas fluctuaciones son las que hacen que la inversión que se está
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
63
llevando a cabo pase a ser más interesante aún, a ser totalmente inapropiada, etc. y que
los directivos deban modificar el rumbo del proyecto.
En la parte práctica del proyecto se ha demostrado cómo un proyecto que no es rentable
y que bajo el punto de vista tradicional debería ser desechado, puede tornarse en una
inversión muy interesante si se hace uso de las opciones reales. En concreto se han
planteado dos casuísticas:
La opción de diferir un proyecto: permite adquirir información extra durante el
tiempo de espera y utilizarla de un modo tal que aumente el valor del proyecto.
No obstante debe realizarse un análisis correcto de la situación y tener en cuenta
que durante este intervalo temporal de posposición se están dejando de ingresar
flujos de caja.
La opción de ampliar un proyecto: resulta muy interesante ya que establece la
posibilidad de multiplicar los beneficios si en futuro la inversión resulta rentable,
pero sin acometer en el presente un desembolso monetario demasiado elevado
(evitando también los respectivos riesgos).
Estos casos han sido resueltos por tres metodologías diferentes (salvo la opción de
ampliar la inversión, que se ha hecho con dos):
- Método de Black-Scholes,
- Método Binomial
- Simulación Montecarlo.
Se ha llegado a la conclusión de que la más sencilla de aplicar es la de Black-Scholes pues
su uso se limita a la sustitución de una serie de valores (muchos de los cuales se obtienen
sin necesidad de ningún tipo de cálculo) en una fórmula. No obstante este preciso
hecho, el que el cálculo se realice a partir de una ecuación limita en gran medida la
flexibilidad del modelo y la posibilidad de aplicarlo a las diferentes casuísticas que
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
64
afronte cada empresa. Para el caso concreto de ampliar un negocio que se ha estudiado
en este proyecto, la fórmula de Black-Scholes resultaba imposible de aplicar pues no
permitía satisfacer las condiciones impuestas por la inversión. Se estimó que los ingresos
podían resultar cinco veces superiores en el último año de inversión si se hacía un
desembolso extra en el negocio. La fórmula de Black-Scholes no consiente estas
condiciones por lo que resulta inútil en según qué casos. Por otro lado, las metodologías
Binomial y Montecarlo, a pesar de resultar más tediosas de aplicar permiten incluir casi
cualquier opción. Esto es así porque su aplicación es más “paso a paso”, en lugar de
utilizar directamente una fórmula como en Black-Scholes. En ambos se van mostrando
todas las opciones posibles que va tomando el negocio (ya sea en las ramas del árbol
binomial o en los distintos valores futuros en la simulación Montecarlo) lo que permite
realizar ciertas modificaciones sobre dichos valores según los valores que van tomando.
En otro orden de cosas, resulta interesante aclarar el concepto “valor de la opción” pues
se ha venido utilizando continuamente en el proyecto. Cuando se habla de opciones
financieras ese valor es real, es decir, es un precio que se debe pagar si se desea estar
en posesión de la opción. No obstante, cuando se trata de opciones reales y por tanto
de proyectos reales, el valor pasa a ser algo conceptual. Evidentemente, si una empresa
está estudiando un proyecto y decide, por ejemplo, diferir el inicio del mismo un año no
va a recibir la cantidad monetaria que cualquiera de los métodos (Black-Scholes,
Binomial o Montecarlo) indica que vale esa opción. Lo que sucede realmente es que se
calculan que para ese momento (momento consecuencia de esperar) los resultados de
la inversión y se comparan con los obtenidos si se hiciese en el momento actual. De este
modo, la opción de esperar puede analizarse numéricamente o valorarse.
Por otro lado, el proyecto presenta una serie de líneas de estudio que sería deseable
ampliar en el futuro. Sería muy interesante extrapolar los casos analizados al uso de
opciones americanas, pues en el trabajo solo se han estudiado las europeas. Estas
opciones americanas presentarían una mayor versatilidad frente a cambios en el
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
65
desarrollo del proyecto de inversión pues permiten variar su progreso en cualquier
instante. Ello refleja de mejor manera la flexibilidad que se ha querido buscar a lo largo
de todo el proyecto y por la cual se ha rechazado el enfoque tradicional del Valor Actual
Neto.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
66
8. REFERENCIAS
- Hull, J.C. (2012). “Options, Futures and Other Derivatives”. Pearson
- Mascareñas, J. (2010). “Opciones reales: Introducción”. Universidad
Complutense de Madrid.
- Mascareñas, J. (2010). “Opciones reales: Valoración por el método binomial”.
Universidad Complutense de Madrid.
- Lamothe Fernández, P. (2013). “Opciones reales: Métodos de simulación y
valoración”. Ecobook: editorial del economista
- Lamothe Fernández, P. & Pérez Somalo, M. (2003). “Opciones Financieras y
Productos Estructurados”. McGraw Hill.
- Amran, M. & Kulatilaka, N. (2000). “Opciones reales: evaluación de inversiones
en un mundo incierto”. Gestión 2000.
- Harrington, D. (2003) “Modern Portfolio Theory, the Capital Asset Pricing
Model, and Arbitrage Pricing Theory: A User's Guide”. Springer.
- Broyles, J. (2007) “Financial Management and Real Options”. Atlantic Publishers
- Chriss, N. A. (2013) “Black-Scholes and Beyond. Option Pricing Models”
- Valoración de opciones reales: dificultades, problemas y errores
http://www.iese.edu/research/pdfs/di-0760.pdf
- Valoración de opciones reales
https://www.slb.com/~/media/Files/resources/oilfield_review/spanish04/spr04/p4_1
9.pdf
- Cálculos básicos de volatilidad
http://ibexvolatility.blogspot.sk/p/que-es-la-volatilidad.html
- Aproximación a la Simulación Montecarlo
http://www.barrhibb.com/documents/downloads/Least_Squares_Monte_Carlo_Appr
oach_to_Liability_Proxy_Modelling_and_Capital_Calculation.pdf
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
67
ANEXO I. Desarrollo de la fórmula de Black-Scholes
Este anexo sirve de complemento a los apartados cuatro y cinco (Opciones Financieras
y opciones Reales, respectivamente) pues permite comprender mejor de dónde nace la
fórmula de Black-Scholes y cuál es su justificación matemática.
La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial, la cual describe el
precio de una opción a lo largo del tiempo. Dicha ecuación es (Chriss, N. A. (2013)):
∂𝑉
∂𝑡+
1
2𝜎2𝑆2
∂2𝑉
∂𝑆2+ 𝑟𝑆
∂𝑉
∂𝑆− 𝑟𝑉 = 0 (83)
Donde los respectivos términos se corresponden con:
- 𝑆 es el precio de mercado de la acción, el cual será a veces una variable aleatoria
y otras una fija según el contexto.
- 𝑉(𝑆, 𝑡) es el precio de un derivado como función del tiempo y de precio de
mercado.
- 𝐶(𝑆, 𝑡) es el precio de una opción de compra y 𝑃(𝑆, 𝑡) el precio de una opción de
venta europea.
- 𝐾 es el precio de ejercicio de la acción.
- 𝑟 rd la tasa anual libre de riesgo.
- 𝜇 es el cambio relativo del valor de la acción, anualizado.
- 𝜎 es la desviación estándar de los rendimientos de las acciones.
- 𝑡 es el tiempo expresado en años. Por lo general se utiliza t=0 para el momento
actual y t=T para el momento de expiración.
La clave de esta ecuación es que uno puede analizar perfectamente la opción que se
posee y comprar y vender el activo subyacente de la mejor forma posible y en el
momento más preciso. De este modo, solo existe un precio correcto para la opción, que
es el que otorga la fórmula de Black-Scholes.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
68
La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de opciones europeas tanto de compra
como de venta resolviendo la ecuación anterior para unas condiciones de contorno
determinadas.
El valor de una opción de compra (call) que no ofrezca dividendos en términos
de los parámetros de Black-Scholes es:
𝐶(𝑆, 𝑇) = 𝑁(𝑑1)𝑆0 − 𝑁(𝑑2)𝑋𝑒𝑅𝑓𝑇 (84)
𝑑1 =𝑙𝑛
𝑆0
𝑋+ (𝑅𝑓 + 0.5σ2)𝑇
σ√𝑇 (85)
𝑑2 = 𝑑1 − σ√𝑇 (86)
El precio correspondiente a una opción de venta (put) es:
𝑃(𝑆, 𝑇) = 𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑆 + 𝐶(𝑆, 𝑇) = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (87)
Para ambas ecuaciones las variables se corresponden con:
- 𝑁(∗) es el valor de la distribución normal estándar
- 𝑇 − 𝑡 es el tiempo hasta vencimiento
- 𝑆 es el precio del active subyacente
- 𝐾 es el precio de ejercicio
- 𝑟 es la tasa libre de riesgo anual
- 𝜎 es la volatilidad del active subyacente
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
69
ANEXO II: Opciones financieras. Aplicación práctica.
En este anexo se presentará un caso práctico de aplicación de los métodos de Black-
Scholes, Binomial y Montecarlo para el cálculo del valor de opciones financiera de
compra (call) y de venta (put). Con ello se complementa la parte práctica presentada en
el Apartado 4 (Opciones Financieras).
El proceso a seguir es altamente parecido para ambos casos por lo que el desarrollo será
algo más profundo para el primer caso analizado, opciones call, y se asume una
extrapolación de los pasos a seguir para el segundo, opciones put.
Además del cálculo en sí del valor de las opciones se analizará el beneficio obtenido en
función del precio de mercado en la fecha de vencimiento (𝑆𝑇) y la influencia que tienen
las distintas variables (la volatilidad, σ , el valor actual de la acción, 𝑆0, el periodo
temporal, T, el precio de strike, X y el tipo de interés, 𝑅𝑓) en la valoración final de la
opción. Cabe decir que este análisis se presentará solo para el caso de opciones call ya
que mostrarlo también para opciones put resultaría tedioso y no aportaría demasiado
valor añadido al proyecto.
La empresa AUTODREAM presentada con anterioridad suele realizar inversiones en
bolsa con el fin de aumentar sus ingresos y así poder financiar nuevos proyectos.
En esta ocasión, se está valorando la adquisición de opciones (primero se estudiará el
caso call y a continuación put) de la empresa RENTCAR en la cual se prevén amplios
movimientos en un futuro cercano. En concreto desean adquirirse los derechos sobre
2000 acciones en un plazo de seis meses. Para que este acuerdo resulte rentable es
necesario establecer un precio justo por las opciones (la prima) con lo que se hará uso
de las diferentes metodologías presentadas.
La empresa RENTCAR pasa a presentarse a continuación:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
70
Empresa RENTCAR La compañía RENTCAR es una empresa de reciente creación dedicada al alquiler de
automóviles. Durante sus primeros años de vida ha sido capaz de mantener un crecimiento
continuo revalorizándose periodo tras periodo.
La empresa, además, participa en bolsa por lo que resulta altamente atractiva para muchos
accionistas.
Actividad de RENTCAR
La empresa se decida al alquiler de coches.
Evolución
Como se ha comentado, la continua progresión de la empresa la hace muy interesante para
los inversores. A modo de ejemplo se muestra la evolución de las cotizaciones durante el
mes de enero: la línea de tendencia prueba esta propensión al crecimiento
12,20
12,40
12,60
12,80
13,00
13,20
13,40
13,60
Evolución cotización RENTCAR
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
71
Cálculo de parámetros
Los parámetros que serán requeridos son 𝑆𝑜, 𝑅𝑓, X, T y σ. Se fijará un precio de strike de
13€; T se ha dicho que es seis meses, utilizando años como unidad se tiene T=0.5; 𝑅𝑓 se
tomará 7%.
Los otros dos elementos, 𝑆𝑜 y σ, pueden deducirse de las valoraciones históricas de las
acciones de la empresa, las cuales son conocidas. El primero de ellos, 𝑆𝑜, se obtiene de
forma elemental viendo el precio de la acción a día de hoy y el segundo se calcula a
continuación.
Cálculo de la volatilidad histórica
Para calcular la volatilidad histórica de la empresa RENTCAR se hará uso de su cotización
durante el pasado mes de enero. Como se comentó, las valoraciones de las acciones son
de dominio público y fáciles de obtener.
Para la generación de estos valores se ha hecho uso de la función ALEATORIO (para un
mayor conocimiento de las funciones puede verse el Anexo IV) de Excel y de dos
parámetros “a” y “b” que determinan los límites. Existe también una función
ALEATORIO.ENTRE(valor1; valor2) pero no permite la generación de números con
decimales. De este modo los valores han sido desarrollados mediante la siguiente
fórmula:
a + ALEATORIO() * (b-a)
La Figura 17 recoge parte de estos valores:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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72
Figura 17: Cotización histórica de RENTCAR
Inmediatamente puede establecerse el valor de la cotización actual como 𝑆0 =
13,21€.
A continuación se calculará la volatilidad histórica, primero la diaria y a continuación
la anual. Para la medida de ésta es necesario que la media de la variable sea estable.
A fin de obviar el efecto de la tendencia se hace uso de los rendimientos (r) y no de
los precios de cierre. La fórmula de los rendimientos es:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
73
𝑟 = ln (𝑆𝑡
𝑆(𝑡−1)) (88)
Cuando r tiene un valor positivo significa que el precio de hoy es más grande que el
de ayer y viceversa.
La fórmula de la volatilidad es la siguiente:
σ = √1
𝑛 − 1∑(𝑟𝑡 − 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)2
𝑛
𝑡=1
(89)
No obstante, Excel permite su cálculo rápidamente con la función
“DESVEST(número1; [número2]; …)”.
Al haberse utilizado datos diarios, la volatilidad obtenida es diaria. Generalmente
este valor se expresa en términos anuales por lo que debe anualizarse. Para ello se
utiliza la siguiente ecuación:
σ𝑇𝑑𝑖𝑎𝑠 = σ𝑑𝑖𝑎1 ∗ √𝑇 (90)
El número de días es 252, los días hábiles que tiene un año. Como la raíz de este
número es prácticamente 16 suele multiplicarse por dicha cantidad. Así se tiene una
volatilidad anual de:
σ = 0,15894 (91)
Expresado en términos porcentuales, se tiene σ = 15,89%. La Figura 18 muestra el
valor de los rendimientos, de la volatilidad diaria y de la volatilidad anual.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
74
Figura 18: Volatilidad histórica anual de RENTCAR
Opciones call
En este apartado se calculará el valor de una opción de compra call mediante las
metodologías presentadas en los apartados previos.
Fórmula de Black-Scholes
A continuación, se aplica la fórmula de Black-Scholes presentada con anterioridad sin
más que sustituir los valores que ya se poseen en ella. Debe tenerse en cuenta que el
valor de T es 0,5 pues se expresa en años. La Figura 19 muestra el cálculo realizado en
Excel:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
75
Figura 19: Cálculo del valor de la opción
El valor de la opción es, por tanto, C=0.96409€. Esto quiere decir que pagando una prima
de 0.96409€/acción, el portador de la misma tiene la opción de comprar acciones a un
precio de 13€/acción en una fecha de seis meses.
Payoff de la opción
De este modo, pasados seis meses las acciones serán compradas si su precio de mercado
es superior a 13€, o sea S(T = 6 meses) > X = 13€. Inmediatamente serían vendidas
en el mercado obteniendo un beneficio o payoff de:
𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 (€) = 𝑁º𝑜𝑝𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∗ [𝑆(6𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) − 𝑋 − 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎] (92)
Que en el caso particular de estudio es:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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76
𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 (€) = 2000 ∗ [𝑆(6𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠) − 13.96] (93)
Para el caso opuesto, S(T = 6 meses) < X = 13€, las acciones no serían compradas y
se sufrirían unas pérdidas equivalentes al precio de la prima, 2000 ∗ 0,9641 =
1928,2 €.
Se hace necesario ahora suponer diferentes valores de S(T=6 meses) y ver su influencia
en el payoff de la opción. Para ello se simulará el cálculo de éste con valores de S entre
10 y 18€ con un paso de 5 céntimos. La Figura 20 muestra los valores simulados de S
(columna C) así como sus correspondientes valores del beneficio (columna D). Téngase
en cuenta que se muestran solo los valores alrededor de S=13€ ya que es donde se
produce la variación en los valores del payoff:
Figura 20: Simulación de los valores de S y cálculo del payoff
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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77
Asimismo, la Figura 21 muestra gráficamente esta relación entre S y el beneficio
englobando todos los valores simulados del activo subyacente.
Figura 21: Payoff de la opción en función de S
La Figura 21 refleja las posibilidades mencionadas previamente. Si el valor de la acción
es inferior a 13€ se perderá el dinero de la prima. En caso contrario el beneficio será
tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la acción.
Punto de equilibrio
El punto de equilibrio es el valor de S a partir del cual se obtienen beneficios reales, es
decir, los beneficios obtenidos ya han cubierto el coste de la prima. Este valor de S es
13,96€, que se corresponde a la suma X + Prima.
Impacto de las distintas variables
Como se expuso al explicar el Método de Black-Scholes, el valor de la opción depende
de distintos parámetros: la volatilidad, σ , el valor actual de la acción, 𝑆0, el periodo
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
10
10,3
10,6
10,9
11,2
11,5
11,8
12,1
12,4
12,7 13
13,3
13,6
13,9
14,2
14,5
14,8
15,1
15,4
15,7 16
16,3
16,6
16,9
17,2
17,5
17,8
Payoff de la opción
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
78
temporal, T, el precio de strike, X y el tipo de interés, 𝑅𝑓. Para algunos de ellos se
determinó primeramente un valor, lo cual ha influido en el valor C obtenido. A
continuación se pretende analizar cómo afectan cada una de estas variables al valor de
opción.
Impacto de la volatilidad, 𝛔
La Figura 22 muestra cómo se ha realizado el estudio del impacto de la volatilidad
(segunda columna) modificando su valor entre 0,1 y 0,5 manteniendo el resto de
parámetros constantes.
Figura 22: Impacto de la volatilidad en el valor de la opción
Esta influencia puede verse más fácilmente si se representan el precio de la opción (eje
de ordenadas) frente a la volatilidad (eje de abscisas) tal y como lo hace la Figura 23:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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79
Figura 23: Impacto de la volatilidad en el valor de la opción (II)
Como era de esperar y ya se explicó con anterioridad, el valor de la opción aumenta a la
par que la volatilidad.
Impacto del precio inicial, 𝑺𝟎
Para comprobar la influencia de este parámetro se procede de forma similar al anterior.
Se variará el valor de 𝑆0 desde 10 hasta 14€ en saltos de 50 céntimos. Las Figuras 24 y
25 muestran el resultado:
Figura 24: Impacto del precio inicial en el valor de la opción
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
C
σ
Valor de la opción call
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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80
Figura 25: Impacto del precio inicial en el valor de la opción (II)
Puede apreciarse que el precio inicial de la acción influye positivamente en el valor de
la opción ya que aumenta el beneficio (𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = S − X).
Impacto del tiempo de vencimiento, T
A continuación se analiza este parámetro haciéndolo variar desde un mes (T=1/12 años)
hasta un año (T=1). El resultado es el que muestra la Figura 26:
Figura 26: Impacto de T en el valor de la opción
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21 13,21
C
So
Valor de la opción call
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81
Desde un punto de vista gráfico el resultado es el que muestra la Figura 27:
Figura 27: Impacto de T en el valor de la opción (II)
Se comprueba que el valor aumenta para un tiempo de vencimiento más lejano.
Impacto del precio de strike, X
De modo similar, se hace variar el precio de ejercicio desde 11 hasta 15€ en saltos de
0,5€ con el resultado mostrado por la Figura 28 y la Figura 29:
Figura 28: Impacto de X en el valor de la opción
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50
C
T
Valor de la opción call
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82
Figura 29: Impacto de X en el valor de la opción (II)
Teniendo en cuenta que se está analizando una opción de compra (call) un aumento del
precio de ejercicio hace disminuir el valor de la opción
Impacto de la tasa libre de riesgo, 𝑹𝒇
Se hace variar esta tasa entre valores de 1 a 10% en pasos de 1%, observándose la
siguiente influencia en la Figura 30:
Figura 30: Impacto de 𝑅𝑓 en el valor de la opción
Representando gráficamente los resultados se obtiene lo presentado por la Figura 31:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
11 11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5 15
C
X
Valor de la opción call
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metodológico y aplicado”
83
Figura 31: Impacto de 𝑅𝑓 en el valor de la opción (II)
El precio de la opción de compra aumenta al hacerlo la tasa libre de riesgo, como ya se
había razonado previamente.
Método Binomial
A lo largo de este apartado se calculará el valor de la opción financiera call mediante el
Método Binomial. Para ello se dividirá el periodo temporal hasta el vencimiento en seis
sub-periodos (n=6) durante los cuales el valor de la acción puede subir o bajar.
En primer lugar se calcularán los parámetros “u” y “d” necesarios para construir el árbol
del modo siguiente:
𝑢 = 𝑒(σ∗√Δt) = 1,0469 (94)
𝑑 = 1𝑢⁄ = 0,9551 (95)
Partiendo de la cotización actual del activo (𝑆 = 13,21€) van construyéndose las ramas
del árbol a partir de los valores crecientes y decrecientes. La Figura 32 muestra la
construcción del árbol:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
C
Rf
Valor de la opción call
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84
Figura 32: Árbol binomial de los valores de la acción
Una vez construido éste, se calculan los valores de la opción partiendo de los valores de
la derecha del todo. Se deberá tener en cuenta que si el valor de la acción es menor que
el precio de ejercicio el derecho de compra no se ejercerá y por tanto el valor de la
opción es cero. Matemáticamente esto se expresa como:
𝐶 = max (𝑆𝑇 − 𝑋, 0) (96)
De este modo, las tres últimas posibilidades no se llevarían a cabo puesto que la
cotización tras los seis meses es menor que el precio de strike. El siguiente paso es
calcular todos los valores de la opción hasta el momento inicial. Para ello se sigue el
proceso backward induction utilizando las probabilidades neutrales p y q:
𝑝 =1 + 𝑅𝑓 − 𝑑
𝑢 − 𝑑= 0,5648 (97)
𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4351 (98)
Así, cada valor de la opción se calcula como:
𝐶 =𝑝 ∗ 𝐶𝑢 + (1 − 𝑝) ∗ 𝐶𝑑
1 + 𝑅𝑓 (99)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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85
La Figura 33 muestra el resultado completo de construcción del árbol de valores de la
opción.
Figura 33: Árbol binomial de valores de la opción
De este modo la casilla L9 representa el valor de la opción de compra call:
𝐶 = 1,0199€ (100)
Simulación Montecarlo
A continuación se calculará el valor de la opción de compra utilizando la metodología
Montecarlo. Para mil simulaciones diferentes se calculará el valor de la acción tras el
paso de seis meses y el respectivo valor de la acción. Se recuerda que la fórmula que
describe la cotización en un instante futuro T es:
𝑆𝑇 = 𝑆0 ∗ 𝑒𝑟 = 𝑆0 ∗ 𝑒((𝜇−
12
∗σ2)∗𝑇+σ∗√𝑇∗𝑥) (101)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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86
Del mismo modo que se ha expuesto antes, si la cotización de la acción en el instante de
vencimiento es superior al precio de ejercicio se ejercerá el derecho de compra (𝐶 =
𝑆𝑇 − 𝑋) y en caso contrario no se hará (𝐶 = 0).Todos estos valores podrán resumirse
en un promedio del valor de la opción que será actualizado al instante actual mediante
el factor 𝑒(−𝑅𝑓∗𝑇).
La Figura 34 muestra el proceso seguido. En primer lugar se simulan mil valores distintos
de la variable x, o sea la probabilidad (columna E) y para cada uno de ellos se calcula una
cotización futura diferente (columna F). Si ésta es mayor que el precio de ejercicio el
valor de la opción será 𝐶 = 𝑆𝑇 − 𝑋 y en caso contrario 𝐶 = 0 (columna G). por último
se calcula el valor promedio de ellos y se actualiza al momento actual (columnas H e I,
respectivamente).
Figura 34: Cálculo del valor de la opción mediante Simulación Montecarlo
La celda I2 representa el valor actual de la opción de compra:
𝐶 = 1,0505€ (102)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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87
Opción put
A lo largo de este apartado se calculará el valor de una opción de venta (put) bajo las
mismas condiciones mencionadas con anterioridad y utilizadas en la opción de compra.
Esto es, un precio de ejercicio de 13€, un periodo de vencimiento de seis meses, una
tasa de interés libre de riesgo del 7%, una cotización inicial del activo de 13,21€ y una
volatilidad histórica de 15,89%.
Método Black-Scholes
Los pasos del Método Black-Scholes para el cálculo del valor de una opción de venta no
distan mucho de los de la opción de compra. De nuevo es necesario sustituir una serie
de valores (presentados en el párrafo anterior) en una fórmula que, eso sí, difiere del
caso de opción call:
𝑃(𝑆, 𝑇) = 𝑁(−𝑑2)𝑋𝑒−𝑅𝑓𝑇 − 𝑁(−𝑑1)𝑆 (103)
La Figura 35 muestra el proceso seguido para el cálculo del valor de la opción put.
Figura 35: Cálculo del valor de la opción put.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
88
De este modo, el Método de Black-Scholes arroja un valor de C=0,307€ como el precio
a pagar por la adquisición del derecho de venta de las acciones.
Impacto de las distintas variables
Del mismo modo que se hizo en las call, se va a analizar y demostrar el impacto de las
variables en el valor de la opción.
Impacto de la volatilidad, σ
Esta variable se ha modificado para valores entre 0,1 y 0,5 con pasos de 0,05. La Figura
36 muestra el proceso seguido en Excel:
Figura 36: Influencia de la volatilidad en el valor de la opción put
Este impacto puede notarse más fácilmente si se representa de modo gráfico tal y como
lo hace la Figura 37:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
89
Figura 37: Influencia de la volatilidad en el valor de la opción put (II)
Como se había explicado previamente, el valor de la opción put aumenta si lo hace la
volatilidad.
Impacto del precio inicial, 𝑺𝟎
A continuación se estudiará la influencia del precio inicial del activo subyacente. Para
ello, se modifica el valor de este desde 10 a 14€ en saltos de 0,5€. La Figura 38 muestra
la modificación del valor de P:
Figura 38: Influencia del precio inicial en el valor de la opción put
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metodológico y aplicado”
90
Gráficamente puede representarse la relación 𝑃 − 𝑆0 como lo hace la Figura 39:
Figura 39: Influencia del precio inicial en el valor de la opción put (II)
Ya era sabido que un aumento del precio inicial afectaría negativamente al valor de la
opción pues se disminuye el beneficio en caso de ejercer el derecho de venta
(𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑋 − 𝑆).
Impacto del tiempo de vencimiento, T
En tercer lugar se estudiará la influencia del tiempo de vencimiento en la valoración de
la opción put, se hará variar éste desde un mes (T=1/12 años) hasta un año (T=1). La
Figura 40 muestra la variación del parámetro P según varía T:
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
91
Figura 40: Influencia del tiempo de vencimiento en el valor de la opción put
La Figura 41 muestra de un modo gráfico la relación entre el valor de la opción put y el
tiempo de vencimiento:
Figura 41: Influencia del tiempo de vencimiento en el valor de la opción put (II)
Al aumentar el tiempo de vencimiento el valor de la opción sube pues se posee un
intervalo temporal más amplio para que la situación se torne favorable.
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metodológico y aplicado”
92
Impacto del precio de strike, X
La influencia del precio de ejercicio o strike (X) en el valor de la opción de venta ha sido
comprobada en la Figura 42:
Figura 42: Influencia del precio de ejercicio en el valor de la opción put
Y puede representarse gráficamente tal y como lo hace la Figura 43:
Figura 43: Influencia del precio de ejercicio en el valor de la opción put (II)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
93
Como era de esperar si el precio de ejercicio es más alto el valor de la opción de venta
es superior pues se estaría aumentando el beneficio obtenido por la venta de la opción
(𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝑋 − 𝑆).
Impacto de la tasa libre de riesgo, 𝑹𝒇
Finalmente se comprobará la influencia de la tasa libre de riesgo sobre el valor de la
opción de venta (put) como muestra la Figura 44:
Figura 44: Influencia de la tasa libre de riesgo en el valor de la opción put
La Figura 45 representa de un modo gráfico la influencia de la tasa libre de riesgo en el
valor de la opción put:
Figura 45: Influencia de la tasa libre de riesgo en el valor de la opción put (II)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
94
Como ya se razonó con anterioridad, una subida de la tasa libre de riesgo perjudica el
valor de la opción put.
Método Binomial
La primera parte del Método Binomial, esto es la construcción del árbol, es idéntica al
caso de opción de compra y por ello se obviará en este apartado. La diferencia reside en
la condición necesaria para ejercer o no el derecho de compra. En este caso, si el precio
de mercado es superior al precio de ejercicio fijado resultará interesante utilizar la
opción put y en caso contrario, no. Así, el valor de dicha opción en el primer caso será
𝐶 = 𝑋 − 𝑆𝑇 y en el segundo caso 𝐶 = 0 pues la opción no se ejercerá.
Tras realizar el proceso de backward induction (de modo idéntico al caso call) el valor
que se obtiene es el que muestra la Figura 46.
Figura 46: Backward induction para opción put
De esta manera, el valor de la opción de venta put se fija en C=0,277€.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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95
Simulación Montecarlo
Como se ha comentado en el Método de Black-Scholes y en el Método Binomial, el
proceso a seguir para calcular el valor de la opción put es prácticamente idéntico al de
la opción call. Por este motivo pasará a mostrarse directamente la Figura 47, en la cual
aparece todo el proceso a seguir para el cálculo de dicho valor:
Figura 47: Cálculo del valor de la opción put
Por tanto, el valor de la opción put calculado a través de la Simulación Montecarlo es
C=0,2878€.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
96
ANEXO III. Ejemplo de un portfolio correlado
Este anexo es un complemento al Apartado 4.3.2 donde se afirma que la base para el
desarrollo teórico del Método Binomial (que conduce a la obtención de la fórmula para
calcular el valor de la opción) reside en utilizar un portfolio correlado. A continuación se
presenta un ejemplo sencillo del mismo para facilitar su entendimiento.
La base de esta metodología es replicar la remuneración que aportan las opciones
usando otros títulos financieros. Así, si las remuneraciones finales son las mismas el
valor inicial de estos títulos y de la opción debe ser el mismo. De este modo se pueden
entender las opciones como:
– Opción call: comprar una acción con dinero prestado
– Opción put: vender una acción con dinero prestado
La clave es encontrar los títulos exactos de réplica que pueden ser evaluados
directamente. Para el ejemplo de una opción call: si ésta se ejerce el dueño está
efectivamente en posesión de una acción cuyo pago se retrasa hasta el ejercicio de la
opción (y un pago retrasado es esencialmente un préstamo).
A continuación se ejemplificará el cálculo del valor de una opción call a partir de un
portfolio réplica.
Se tiene una acción tal que:
- El precio actual es 100€
- El precio al final del ejercicio será 80 ó 125€
Se tiene una opción call tal que:
- El precio de ejercicio es 110€
Se supondrá que los fondos pueden ser prestados a una tasa sin riesgo del 10%
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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97
Con estos datos deben identificarse las condiciones donde las remuneraciones al final
del periodo son iguales tanto comprando acciones y prestándose dinero como
comprando opciones call y así se conseguirá que los valores iniciales deban ser iguales
(y se obtendrá el valor de la opción).
Opción call
Se pagarán C euros (C es lo que se calculará finalmente) para adquirir la opción.
Si S>K la remuneración de la opción es S-K
Si S<K la remuneración de la opción es 0.
Tabla 10: Casuística opción call
Inicio
(Stock/Mercado=100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar call -C 0 125 – 110 = 15
Comprar acciones y préstamo
Se comprarán acciones y se pedirá dinero prestado tal que se consiga una remuneración
igual que la de la opción call.
Si S>K, la acción y el pago de deuda hacen un retorno positivo. Se encontrará una
cociente para que acción y pagos sea iguales a los retornos de la opción.
Si S<K, la acción y el pago deben dar cero (como la opción)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
98
Tabla 11: Casuística comprando acción con préstamo
Inicio
(Stock = 100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar acción -100 80 125
Pedir préstamo 80/(1+r) -80 -80
Neto -100+80/(1+r) 0 45
A continuación se comparan los costos y las remuneraciones:
Si S>K, la acción y su préstamo rinden más que la opción call. En este caso el
cociente de retorno es 3:1.
Si S<K, los retornos deberán ser iguales. Comprar tres call debe igualar las
remuneraciones.
Tabla 12: Comparación de costos y remuneraciones
Inicio
(Stock = 100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar call -C 0 125 - 110 = 15
Inicio
(Stock = 100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar acción y
pedir préstamo -100+80/(1+r) 0 45
Finalmente se igualan las remuneraciones sugiriendo que los costes iniciales deben ser
también iguales.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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Tabla 13: Remuneración para el caso de opción call
Inicio
(Stock = 100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar 3 call -3C 3*0=0 3*(125-110)=45
Tabla 14: Remuneración para el caso de comprar acciones con préstamo
Inicio
(Stock = 100)
Final 1
(Stock = 80)
Final 2
(Stock = 125)
Comprar acción y
pedir préstamo 100+80/(1,1) 0 45
Igualando los costes iniciales se puede despejar el valor de la opción tal que:
3𝐶 = −100 +80
1,1→ 𝐶 = 9.09€ (104)
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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100
ANEXO IV. Descripción de las funciones de Excel utilizadas
En este apartado se presentará el funcionamiento de las funciones de Excel que han sido
utilizadas a lo largo de todo el proyecto.
1. REDONDEAR.MAS
Descripción
Redondea un número hacia arriba, en dirección contraria a cero.
Sintaxis
REDONDEAR.MAS(número; núm_decimales)
La sintaxis de la función REDONDEAR.MAS tiene los siguientes argumentos:
Número: parámetro obligatorio. Cualquier número real que se desea redondear
hacia arriba.
Núm_decimales: parámetro obligatorio. El número de dígitos al que se desea
redondear el número.
Observaciones
La función REDONDEAR.MAS es similar a la función REDONDEAR, excepto que
siempre redondea al número superior más próximo, alejándolo de cero.
Si el argumento núm_decimales es mayor que 0 (cero), el número se redondea
al valor superior (inferior para los números negativos) más próximo que
contenga el número de lugares decimales especificado.
Si núm_decimales es 0, número se redondeará hacia arriba al entero más
próximo.
Si el argumento núm_decimales es menor que 0, el número se redondea al valor
superior (inferior si es negativo) más próximo a partir de la izquierda de la coma
decimal.
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2. VNA
Descripción
Calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una
serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos).
Sintaxis
VNA(tasa;valor1;[valor2];...)
La sintaxis de la función VNA tiene los siguientes argumentos:
Tasa Obligatorio. La tasa de descuento a lo largo de un período.
Valor1; valor2... Valor1 es obligatorio, los valores siguientes son opcionales.
o Valor1; valor2; ... deben tener la misma duración y ocurrir al final de cada
período.
o VNA usa el orden de valor1; valor2; ... para interpretar el orden de los flujos de
caja. Asegúrese de escribir los valores de los pagos y de los ingresos en el orden
adecuado.
o Los argumentos que son celdas vacías, valores lógicos o representaciones
textuales de números, valores de error o texto que no se pueden traducir a
números, se pasan por alto.
o Si un argumento es una matriz o una referencia, solo se considerarán los
números de esa matriz o referencia. Se pasan por alto las celdas vacías, valores
lógicos, texto o valores de error de la matriz o de la referencia.
Observaciones
La inversión VNA comienza un período antes de la fecha del flujo de caja de
valor1 y termina con el último flujo de caja de la lista. El cálculo VNA se basa en
flujos de caja futuros. Si el primer flujo de caja se produce al principio del primer
período, el primer valor se debe agregar al resultado VNA, que no se incluye en
los argumentos valores. Para obtener más información, vea los siguientes
ejemplos.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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102
Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la fórmula de VNA es:
𝑁𝑃𝑉 = ∑𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒𝑠𝑖
(1 + 𝑟𝑎𝑡𝑒)𝑖
𝑛
𝑖=1
(105)
VNA es similar a la función VA (valor actual). La principal diferencia entre VA y
VNA es que VA permite que los flujos de caja comiencen al final o al principio del
período. A diferencia de los valores variables de flujos de caja en VNA, los flujos
de caja en VA deben permanecer constantes durante la inversión. Para obtener
más información acerca de anualidades y funciones financieras, vea VA.
VNA también está relacionado con la función TIR (tasa interna de retorno). TIR
es la tasa para la cual VNA es igual a cero: VNA(TIR(...); ...) = 0.
3. ALEATORIO
Descripción
Devuelve un número real aleatorio mayor o igual que 0 y menor que 1, distribuido
uniformemente. Cada vez que calcula la hoja de cálculo, devuelve un número real
aleatorio nuevo.
Sintaxis
ALEATORIO
La sintaxis de la función ALEATORIO no tiene argumentos.
Observaciones
Para generar un número real aleatorio entre a y b, use:
ALEATORIO()*(b-a)+a
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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103
Si desea usar ALEATORIO para generar un número aleatorio pero no desea que los
números cambien cada vez que calcule la celda, puede escribir =ALEATORIO() en
la barra de fórmulas y presionar la tecla F9 para cambiar la fórmula a un número
aleatorio.
4. DISTR.NORM.ESTAND.INV
Devuelve el inverso de la distribución normal estándar acumulativa. La distribución tiene
una media de cero y una desviación estándar de uno.
Sintaxis
DISTR.NORM.ESTAND.INV(probabilidad)
La sintaxis de la función DISTR.NORM.ESTAND.INV tiene los siguientes argumento:
Probabilidad: parámetro obligatorio. Es una probabilidad correspondiente a la
distribución normal.
Observaciones
Si el argumento probabilidad no es numérico, DISTR.NORM.ESTAND.INV
devuelve el valor de error #¡VALOR!.
Si probabilidad <= 0 o si > 1, DISTR.NORM.ESTAND devuelve el valor de error
#¡NUM!.
Dado un valor de probabilidad, DISTR.NORM.ESTAND.INV busca dicho valor z de modo
que DISTR.NORM.ESTAND(z) = probabilidad. Así, la precisión de
DISTR.NORM.ESTAND.INV depende de la precisión de DISTR.NORM.ESTAND.
DISTR.NORM.ESTAND.INV usa una técnica de búsqueda iterativa. Si la búsqueda no
converge después de 100 iteraciones, la función devuelve el valor de error #N/A.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
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104
5. DESVEST
Sintaxis
DESVEST(número1,[número2],...)
La sintaxis de la función DESVEST tiene los siguientes argumentos:
Número1 Obligatorio. Es el primer argumento numérico correspondiente a
una muestra de una población.
Número2, ... Opcional. De 2 a 255 argumentos numéricos correspondientes a
una muestra de una población. También puede usar una matriz única o una
referencia de matriz en lugar de argumentos separados por comas.
Observaciones
DESVEST parte de la hipótesis de que los argumentos representan la muestra de una
población. Si los datos representan la población total, use DESVESTP para calcular la
desviación estándar.
La desviación estándar se calcula con el método "n-1".
Los argumentos pueden ser números o nombres, matrices o referencias que contengan
números.
Se tienen en cuenta los valores lógicos y las representaciones textuales de números
escritos directamente en la lista de argumentos.
Si un argumento es una matriz o una referencia, solo se considerarán los números de
esa matriz o referencia. Se pasan por alto las celdas vacías, valores lógicos, texto o
valores de error de la matriz o de la referencia.
Los argumentos que son valores de error o texto que no se pueden traducir a números
provocan errores.
Trabajo Fin de Máster: “Análisis de inversiones mediante opciones reales: análisis
metodológico y aplicado”
105
Si desea incluir valores lógicos y representaciones textuales de números en una
referencia como parte del cálculo, use la función DESVESTA.
DESVEST usa la fórmula siguiente:
√∑(𝑥 − 𝑥𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜)2
𝑛 − 1 (106)
Donde x es la media de muestra PROMEDIO(número1,número2,…) y n es el tamaño de
la muestra.