I teoremi di Cantor, Bolzano-Weierstrass, Heine-Pincherle-Borel,Weierstrass e dei valori intermedi

Teorema 1 (Teorema di Cantor). Se

C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . .è una successione di insiemi di numeri reali

non vuoti, chiusi, limitati,

e, per ogni n ∈ N, si ha cheCn ⊇ Cn+1

allora risulta che+∞⋂

n1

Cn , ∅

DIM. Ci si limita, per semplicità, a dimostrare tale teorema nel caso in cui

gli insiemi Cn sono intervalli In = [an, bn]

L’ipotesiIn = [an, bn] ⊇ In+1 = [an+1, bn+1], ∀ n ∈ N,

implica ovviamente che varrà la catena di disuguaglianze

(1) an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn, ∀ n ∈ N .Si osservi, in particolare, che, se per un certo n accade che

In = [an, bn], con an = bn

cioé che In è “puntiforme”, ogni intervallo

In, con n > n,

sarà del pari puntiforme, e tutti gli intervalli

In, con n ≥ n,

risultano uguali, con uno stesso elemento c come unico elemento per ognuno di essi: chiaramente,in tal caso, il teorema è evidente, essendo

+∞⋂n

1

Cn = {c} , ∅

In generale, tenendo conto della (1), si può affermare che la successione

(*) a1, a2, . . . , an, . . .

risulta

1

monotona non decrescente

e che la

(**) b1, b2, . . . , bn, . . .

risulta

monotona non crescente

La (*) è poi

superiormente limitata

in quanto si haan ≤ bn ≤ b1, ∀ n ∈ N ,

mentre la (**) è

inferiormente limitata

in quanto si haa1 ≤ an ≤ bn, ∀ n ∈ N .

Ne segue che la (*) e la (**) sono entrambe

successioni convergenti

e, come è noto nel caso di successioni monotone convergenti,

la (*) converge all’estremo superiore a dell’insieme dei valori dei suoi termini:

a = sup{an, ∀ n ∈ N}mentre

a (**) converge all’estremo inferiore b dell’insieme dei valori dei suoi termini:

b = inf {bn, ∀ n ∈ N}Ora proveremo che risulta

a ≤ b

riducendo all’assurdo l’ipotesi contraria.Se, infatti, fosse

a > b

|

b|

a

per la 2a proprietà dell’estremo superiore a di

A = {an, ∀ n ∈ N}nell’intorno sinistro

]b, a]

deve cadere (almeno) un elemento, diciamolo an , della successione (*):

2

��b

|

a|

an

Essendo attualmenteb < an

per la 2a proprietà dell’estremo inferiore b di

B = {bn, ∀ n ∈ N}nell’intorno destro

[b, an[

di b deve cadere (almeno) un elemento, diciamolo bn della successione (**):

|

b��

an|

bn

Posto alloran∗ = max{n, n}

avremo, per quanto sopra stabilito, la seguente catena di disuguaglianze

bn∗ ≤ bn < an ≤ an∗la quale, in particolare, implica la

bn∗ < an∗che è assurda, essendo, per ogni n ∈ N,

an ≤ bn

Dunque è stabilito che risultaa ≤ b

Poiché, d’altra parte, si avrà ovviamente

an ≤ a ≤ b ≤ bn , ∀ n ∈ N ,ne segue che l’intervallo, chiaramente non vuoto

I = [a, b]

è contenuto in ciascun In = [an, bn], ∀ n ∈ N, sicché l’intersezione

+∞⋂n

1

In

conterrà di conseguenza anch’essa I = [a, b] e sarà dunque

non vuota

C.V.D.

3

Osservazione 1. Il Teorema di Cantor si estende agli spazi numerici pluridimensionali Rk, ∀ k ∈N, purché gli elementi della successione

(*) C1, C2, . . . , Cn, . . .

siano

sottoinsiemi non vuoti, chiusi e limitati di Rk

e si abbiaCn ⊇ Cn+1 , ∀ n ∈ N

cioè la (*), rispetto all’inclusione, sia

una successione non crescente

Il lettore può esercitarsi a dimostrare il Teorema di Cantor nell’ipotesi che, per ogni n ∈ N,

Cn sia un intervallo (bidimensionale) chiuso e limitato di R2

che, quando R2 si identifichi a un piano cartesiano, risulta essere in

rettangolo chiuso (eventualmente degenere)

Teorema 2 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme E di numeri reali che sialimitato e infinito (infinito significa che ha infiniti elementi) ammette (almeno) un punto di accu-mulazione (che può appartenere o no ad E).

DIM. Poiché E è limitato, esso è certamente contenuto in un intervallo chiuso e limitato

I1 = [a1, b1]

|

a1|

b1|

a1 + b1

2

Si divida allora I1 nei due suoi sottointervalli (chiusi e limitati)

I′1 =

[a1 ,

a1 + b1

2

]e I′′1

[a1 + b1

2, b1

]entrambi di lunghezza

b1 − a1

2Almeno uno dei due intervalli I′1, I′′1 deve ovviamente contenere infiniti elementi di E: poniamoallora

I2DEF.= [a2, b2]

cona2 = a1 e b2 =

a1 + b1

2, se I′1 ∩ E è infinito ;

4

in caso contrario, sceglieremo

a2 =a1 + b1

2e b2 = b1

In ogni caso, si ha

I1 ⊃ I2 , mis(I2) = b2 − a2 =b1 − a1

2e I2 ∩ E infinito

Si prosegue ora suddividendoI2 = [a2, b2]

nei due intervalli (chiusi e limitati)

I′2 =

[a2 ,

a2 + b2

2

]e I′′2

[a2 + b2

2, b2

]e, con procedura analoga a quella seguita sopra, sceglieremo l’intervallo

I3 = [a3, b3]

conI2 ⊃ I3 e mis(I3) = b3 − a3 =

b2 − a2

2=

b1 − a1

22

e, inoltre, conI3 ∩ E infinito

Procedendo induttivamente si costruisce la successione decrescente di intervalli chiusi e limitati

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In . . .

conmis(In) = bn − an =

b1 − a1

2n−1 , ∀ n ∈ N,e con

In contenente infiniti elementi di E, ∀ n ∈ N,

ossiaIn ∩ E infinito, ∀ n ∈ N .

Per il Teorema di Cantor abbiamo allora che

+∞⋂n

1

In = I , ∅

ove I è un intervallo che ora proveremo essere addirittura degenere, cioè puntiforme: I = {c}.Dimostriamo tale fatto riducendo all’assurdo l’ipotesi contraria, cioè che risulti I = [a, b], cona < b. Se così fosse, infatti, poiché

In = [an, bn] ⊃ I = [a, b], ∀ n ∈ N,

5

risulterebbe

(2) an ≤ a < b ≤ bn , ∀n ∈ N,

e dalla (2) si trarrebbe la

(3)b1 − a1

2n−1 = bn − an ≥ b − a > a, ∀ n ∈ N :

ora, la (3) è chiaramente assurda, poiché, stando ad essa, il Teorema del confronto implicherebbeda un lato, che risulti

limn→+∞

b1 − a1

2n−1 ≥ b − a > 0

mentre è ovvio che si ha, invece,

limn→+∞

b1 − a1

2n−1 = 0

Così l’intervallo I è puntiforme, I = {c}, con c numero appartenente a ogni In, ∀ n ∈ N.Ora proveremo che

il punto c è punto di accumulazione per E

e per questo è sufficiente dimostrare che

ogni intorno circolare I(c; ε) di c contiene infiniti elementi di E

Sia dunque I(c; ε) =]c − ε, c + ε[ un tale intorno di c,

��c − ε

��c + ε

|

c

e scegliamo n abbastanza grande in modo da aversi

(4) mis(In) = bn − an =b1 − a1

2n−1 < ε

per questo essendo sufficiente scegliere n tale che risulti

(5) 2n >b1 − a1

ε, ossia n > n =

[b1 − a1

ε log 2

]Poiché

In = [an, bn] ⊃ {c}, ∀ n ∈ N,si avrà la

(6) an ≤ c ≤ bn , ∀ n ∈ N,

Ora, se n > n, si ha, da un lato, che varrà

(7) bn < an + ε ≤ c + ε

6

��c − ε

��c + ε

|

c|

an|

bn

e, dall’altro, che varrà pure la

(8) an > bn − ε ≥ c − ε

(7) e (8) implicano ovviamente l’inclusione

(9) In[an, bn] ⊂ I(c; ε), ∀ n > n,

e, poiché In = [an, bn] contiene infiniti elementi di E (e questo per ogni n ∈ N), dalla (9) ) si deduceche

I(c; ε) contiene infiniti elementi di E

donde la conclusione. C.V.D.

Osservazione 2. Il punto c di cui nella dimostrazione precedente può appartenere o no E; seperò E è un insieme chiuso, allora certamente si avrà che c ∈ E.

Osservazione 3. Anche il Teorema di Bolzano-Weierstrass si estende agli spazi pluridimensio-nali Rk, ∀ k ∈ N, pur di adattare l’enunciato nel modo seguente:

ogni insieme E, contenuto in Rk, che sia limitato e infinito ammette (almeno) un punto diaccumulazione

Il lettore può esercitarsi a dimostrare tale teorema nel caso di un sottoinsieme limitato e infinito diR2.

Teorema 3 (Teorema di Heine-Pincherle-Borel). Se E è un insieme chiuso e limitato dinumeri reali, e

F = {Ai}i∈Iè una famiglia di insiemi aperti (di numeri reali) che sia una

copertura di E

cioè tale cheE ⊆

⋃i∈I

Ai

allora esiste una sottofamiglia finita di elementi di F

F′ = {Ai1 , Ai2 , . . . , Aih}

la quale risulta essere ancora una copertura di E, cioè tale che

E ⊆ Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Aih :

brevemente il Teorema si enuncia dicendo che

7

da ogni copertura per aperti di un insieme E, chiuso e limitato,si può estrarre una sottocopertura finita di E.

DIM. Per semplicità supporremo che la copertura F sia numerabile (un opportuno adattamentoestende il risultato a coperture più che numerabili):

F = {A1, A2, . . . , An, . . . }

Costruiamo allora la successione di insiemi

C1, C2, . . . , Cn, . . .

ponendo

CnDEF.= E ∩ {

n⋃i

1

Ai

= E − n⋃

i1

Ai

, ∀ n ∈ N ,

e dimostriamo che valgono

I) Cn è un insieme chiuso, ∀ n ∈ N ;

e

II)) C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . .cioè che

la successione costruita è non crescente rispetto all’inclusione.

Dimostrazione di I).n⋃

i1

Ai è un insieme aperto, ∀ n ∈ N, poiché è unione di (un numero, qui finito,

di) insiemi aperti: il suo complementare

{

n⋃i

1

Ai

è quindi un insieme chiuso, ∀ n ∈ N, e di conseguenza anche l’insieme

Cn = E ∩ { n⋃

i1

Ai

sarà chiuso, ∀ n ∈ N, perché l’intersezione di un numero finito di insiemi chiusi (qui due) è uninsieme chiuso; donde la I).Dimostrazione di II). Poiché è ovvio che vale la

(10)n⋃

i1

Ai ⊆n+1⋃

i1

Ai , ∀ n ∈ N ,

8

ne segue che si avrà pure la

(11) {

n⋃i

1

Ai

⊇ { n+1⋃i

1

Ai

, ∀ n ∈ N ,

e la (11) implica ovviamente la tesi II):

Cn = E ∩ { n⋃

i1

Ai

⊇ Cn+1 = E ∩ { n+1⋃

i1

Ai

, ∀ n ∈ N.

Ora, per provare il Teorema, basta riconoscere che esiste certamente un n ∈ N tale che risulti

Cn = E ∩ { n⋃

i1

Ai

= ∅

in quanto

se E non ha alcun punto in comune con il complementare din⋃

i1

Ai

questo implica che

ogni suoi punto deve essere contenuto inn⋃

i1

Ai

vale a dire che risulta

E ⊆n⋃

i1

Ai

e ciò proverà la tesi del Teorema.Dunque riduciamo all’assurdo l’ipotesi che risulti

Cn , ∅ , ∀ n ∈ N.Infatti, se così fosse, la successione

C1 ⊇ C2 ⊇ · · · ⊇ Cn ⊇ . . .soddisferebbe le ipotesi del Teorema di Cantor, e dunque si avrebbe che

+∞⋂n

1

Cn , ∅

Se, ora, scegliamo un elemento qualunque

c ∈+∞⋂

n1

Cn =

+∞⋂n

1

E ∩ { n⋃i

1

Ai

9

tale c apparterrà a

E ∩ { n⋃

i1

Ai

, ∀ n ∈ N ,

e quindi si avrà la

(12) c ∈ E

e la

(13) c ∈ { n⋃

i1

Ai

, ∀ n ∈ N.

La (13) implica, è chiaro, che valga la

(14) c <n⋃

i1

Ai , ∀ n ∈ N ,

e quindi che risulti

(15) c < An , ∀ n ∈ N ,e infine che si abbia la

(16) c <+∞⋃

i1

Ai

Ma la (12) e la (16) si contraddicono, in quanto l’ipotesi

E ⊆+∞⋃

i1

Ai

comporta che ogni elemento di E, e dunque anche c, sia contenuto in+∞⋃

i1

Ai, il che contrasta con la

(16): donde la conclusione, ormai facile. C.V.D.

Osservazione 4. Il Teorema di Heine-Pincherle-Borel si generalizza agli spazi pluridimensionaliRk, nel senso che,

se E è un insieme chiuso e limitato contenuto in Rk,da ogni copertura F per aperti di E si può estrarre una sottocopertura finita di E.

Il lettore può esercitarsi nel trovare una tal sottocopertura finita nel caso in cui:E sia l’intervallo (bidimensionale) di R2 che, nell’identificazione di R2 con un piano cartesiano,corrisponde al rettangolo E chiuso e limitato di estremi indicati in figura, mentre F sia la famigliadi tutti gli intorni circolari aperti di raggio 2 di R2 intersecanti non banalmente E, corrispondenti adischi circolari aperti di raggio 2 del piano cartesiano.

10

b

(2, 1)b

(8, 1)

b(8, 4)

b(2, 4)

x

y

O

Teorema 4 (Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue). Se f(x) è una funzionedefinita in un insieme

D, chiuso e limitato,

ed f(x) è ovunque continua nell’insieme D, allora

f(x) è dotata in D di minimo e massimo assoluti

vale a dire: esistono in D due puntiξ e η

tali che siaf(ξ) = min

(f(D)

)e f(η) = max

(f(D)

)DIM. La dimostrazione procede in due momenti:

I) si dimostra che

f(x) in D è superiormente limitata;

I) si prova quindi che i due numeri reali

eD = inf(f(D)

)e ED = sup

(f(D)

)in effetti appartengono entrambi a f(D) e sono quindi, rispettivamente

il minimo e il massimo di f(D)

il che è esattamente quanto afferma la tesi del teorema.

Dimostrazione di I). Dimostreremo che f(D) è superiormente limitato: il procedimento per provareche è inferiormente limitato è del tutto analogo.La dimostrazione avviene “per assurdo”, provando cioè che

11

l’ipotesi contraria conduce a contraddizione

Supponiamo quindi che

f(D) sia superiormente illimitato

e ciò significa che esistono valori di f(x) in D che superano un qualunque prefissato numero.Scelto dunque il numero

1

sia

x1 un elemento di D tale che f(x1) > 1;

scelto il2

sia

x2 un elemento di D tale che f(x2) > 2;

. . .scelto

n( ∈ N)

sia

xn un elemento di D tale che f(xn) > n;

ecc. . .Si costruisce in tal modo un sottoinsieme (successione) di D

X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }che certamente conterrà infiniti elementi di D: infatti se X contenesse solo un numero finito dielementi di D, anche l’insieme

f(X) = {f(x1), f(x2), . . . , f(xn), . . . }conterrebbe una numero finito di elementi

(di f(D)

): ma ciò non può essere, perché ogni insieme

finito ha certamente un massimo assoluto, mentre essendo per costruzione

f(xn) > n, ∀ n ∈ N,f(X) non può evidentemente avere un tale massimo.Essendo dunque X un sottoinsieme infinito dell’insieme

D, chiuso e limitato,

per il Teorema di Bolzano-Weierstrass X ha un punto di accumulazione, che diremo a, il quale a,essendo D chiuso, deve appartenere a D, essendo ovviamente anche punto di accumulazione per D.Ora, poiché in ogni intorno di a

I(a; δ), ∀ δ ∈ R+,

12

cadono infiniti elementi di X, ne segue che l’insieme

f(I(a; δ) ∩ X

)risulterà superiormente illimitato, sempre per il fatto che si ha

f(xn) > n, ∀ n ∈ N .

D’altra parte, essendo f(x) continua in D, si ha che

limx→a

f(x) = f(a)

e dunque che, fissato un ε > 0, esiste un intorno di a

I(a; δ(ε)

)tale che valga l’implicazione

x ∈ I(a; δ(ε)

) ∩ X ⊆ I(a; δ(ε)

) ∩ D =⇒ |f(x) − f(a)| < ε

cioèf(a) − ε < f(x) < f(a) + ε, ∀ x ∈ I

(a; δ(ε)

) ∩ X,

ma ciò è in evidente contrasto con quanto sopra stabilito, cioè con il fatto che, invece,

f(I(a; δ(ε)

)) ∩ X è superiormente illimitato

Dunque

f(D) deve essere superiormente e inferiormente limitato

(Si è già detto che la seconda circostanza si dimostra in completa analogia alla prima: il lettorecompleti).Siano allora

eD = inf(f(D)

)e ED = sup

(f(D)

)che risultano attualmente numeri reali.

Dimostrazione di II). Ora si deve provare che si ha

eD ∈ f(D) e ED ∈ f(D)

Dimostriamo, questa volta, che eD ∈ f(D) il lettore completi la prova, dimostrando che ED ∈ f(D).Il numero eD è l’estremo inferiore di f(D) e, anche in tal caso, il procedimento di dimostrazione

riduce all’assurdo l’ipotesi contraria, cioè che sia eD < f(D)

13

Supposto dunqueeD < f(D)

per la 2a proprietà dell’estremo inferiore, in ogni intorno destro aperto di eD del tipo]eD, eD +

1n

[, ∀ n ∈ N,

deve cadere almeno un elemento di f(D), e sia

f(x∗n )

con x∗n opportuno elemento di D:

eD < f(x∗n ) < eD +1n, ∀ n ∈ N,

Per la stessa costruzione dell’insieme

Y∗ = {f(x∗n ), ∀ n ∈ N}

si ha ovviamente che

eD risulta un punto d’accumulazione per Y∗Per di più si avrà anche che

limn→+∞

f(x∗n ) = eD

e ciò segue facilmente da

eD < f(x∗n ) < eD +1n, ∀ n ∈ N,

e dal 1◦ teorema del confronto per successioni, poiché

limn→+∞

eD = limn→+∞

eD +1n

= eD

Ora, a sua volta, l’insiemeX∗ = {x∗n , ∀ n ∈ N}

è certamente dotato di infiniti elementi, poiché lo è l’insieme

f(X∗) = Y∗

e sia quindi

ξ un punto di accumulazione per X∗ ( ⊆ D)

14

che, per la stessa ragione di prima, deve appartenere a D.È noto allora che si può estrarre dalla successione

X∗ = {x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n , . . . }

una sottosuccessione convergente a ξ: sia

x∗n1, x∗n2

, . . . , x∗nh, . . .

h→+∞−−−−−→ ξ

una tal sottosuccessione.Allora si ha che:

da un lato, per la continuità della funzione f(x) risulta

limh→+∞

f(x∗nh

)= f(ξ)

e, dall’altro lato, per la costruzione della {f(x∗n ), ∀ n ∈ N}, si ha pure

limh→+∞

f(x∗nh

)= eD

donde l’uguaglianzaf(ξ) = eD

la quale dimostra che eD = f(ξ) ∈ f(D),

e ciò contrasta con l’ipotesi secondaria assunta

eD < f(D)

provando che quest’ultima è falsa: quindi ne risulta che

eD ∈ f(D)

donde la conclusione. C.V.D.

Osservazione 5. Il Teorema di Weierstrass si generalizza agli spazi pluridimensionali Rn nelsenso che

se f(x1,x2, . . . ,xn) è una funzione definita e continua in un (sotto)insieme D chiuso e limitato di Rn,f(x1,x2, . . . ,xn) assume in D massimo e minimo assoluti.

Il lettore può esercitarsi a dimostrare tale teorema nel caso di una funzione

f(x,y)

definita e continua in un intervallo bidimensionale chiuso di R2 (corrispondente, nell’identificazionedi R2 ad un piano cartesiano, a un rettangolo chiuso con i lati paralleli agli assi cartesiani).

15

Lemma 1 (sulla connessione di un intervallo chiuso e limitato). Se

I = [a, b]

è un intervallo chiuso e limitato di numeri reali e

C1 , C2

sono (suoi sotto)insiemi entrambi chiusi e non vuoti allora vale la seguente implicazione

I = C1 ∪ C2 =⇒ C1 ∩ C2 , ∅A parole si dice che

un intervallo I = [a, b] chiuso e limitato di numeri realinon può essere l’unione di due insiemi chiusi e non vuoti fra loro disgiunti

DIM. La dimostrazione procede per assurdo. Supposto dunque che possa essere

(17) I = C1 ∪ C2 e C1 ∩ C2 = ∅conentrambi non vuoti e chiusi, vediamo come la (17) implica contraddizione.Il numero a deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi C1 e C2 , poiché si ha

a ∈ I = C1 ∪ C2

ma può appartenere ad uno solo di essi, essendo

C1 ∩ C2 = ∅Sia, ad esempio,

a ∈ C1

C2, che non è vuoto, ha un estremo inferiore ξ, per il quale si può affermare attualmente

1) che ξ ∈ C2, perché C2 è chiuso: dunque ξ è il minimo di C2;

2) che ξ > a, perché ξ = a implicherebbe ξ = a ∈ C2, il che non può essere, in vista dell’ipotesiin corso

C1 ∩ C2 = ∅Quindi la situazione è quella in figura (potendo eventualmente anche essere ξ = b)

|

a|

b|

x|

ξ

Ogni x ∈ [a, ξ[ deve essere un elemento di C1, poiché ogni elemento di C2 deve essere non minoredi ξ, che di C2 è il minimo: ne segue che

ξ è punto di accumulazione (sinistra) per C1

16

e quindi, essendo C1 chiuso, deve essereξ ∈ C1

e ciò è in contrasto con l’ipotesi formulata

C1 ∩ C2 = ∅in quanto si è visto che

ξ ∈ C1 ∧ ξ ∈ C2

e quindi cheξ ∈ C1 ∩ C2

e ciò implica cheC1 ∩ C2 , ∅

Dunque deve essereC1 ∩ C2 , ∅

donde la conclusione. C.V.D.

Osservazione 6. Il lemma sopra dimostrato si estende facilmente agli spazi pluridimensionaliRk , ∀ k ∈ N, nel senso che

un intervallo chiuso e limitato I di Rk non può essereunione di due insiemi chiusi non vuoti e disgiunti

Il lettore provi, per esercizio, tale fattp relativamente ad un intervallo bidimensionale chiuso e limi-tato di R2, che corrisponde, nella rappresentazione geometrica di R2, ad un rettangolo chiuso con ilati paralleli agli assi cartesiani.

Teorema 5 (dei valori intermedi per funzioni continue). Se f(x) è una funzione definitae continua in un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] essa

assume tutti i valori compresi tra il suo minimo assoluto m e il suo massimo assoluto M in I.

In altre parole si ha chef(I) = [m,M]

e tale fatto si esprime dicendo brevemente che

il trasformato continuo di un intervallo chiuso e limitatoè ancora un intervallo chiuso e limitato

DIM. Il fatto che f(x) in I assuma minimo m e massimo M è garantito dal Teorema di Weierstrass.Il caso in cui m = M è banale, poiché f(x) risulta ovviamente una funzione costante in tutto I, con

f(x) = m = M , ∀ x ∈ I .

Se, invece, risultam < M

17

e y0 è un punto qualunque dell’intervallo[m,M]

si tratta di provare che esiste (almeno) un x0 ∈ I : f(x0) = y0 .Allo scopo definiamo i due sottoinsiemi di I

A DEF.= {x ∈ I : f(x) ≤ y0}

eB DEF.

= {x ∈ I : f(x) ≥ y0}Osserviamo subito che

A non è vuoto: infatti, se m = f(ξ), con ξ ∈ I, ξ ∈ A ;

B non è vuoto: infatti, se M = f(η), con η ∈ I, η ∈ B .

Proviamo ora che

A e B sono insiemi chiusi

Dimostrazione che A è chiuso. Basta provare che esso contiene ogni suo (eventuale) punto diaccumulazione.Sia a un punto di accumulazione per A: dimostreremo che a ∈ A riducendo all’assurdo l’ipotesicontraria, cioè che a < A. Infatti, se a < A, in ogni intorno di a cadono infiniti elementi di A: sipotrà quindi costruire una successione

a1, a2, . . . , an, . . .

di elementi di A

convergente ad a :

ne segue, per la continuità di f(x), che la successione

f(a1), f(a2), . . . , f(an), . . .

converge ad f(a)

ma, poiché, per definizione di A, risulta

f(an) ≤ y0 , ∀ n ∈ N ,

ne segue, per il 1◦ teorema del confronto, che si avrà

f(a) ≤ y0

e dunque

a ∈ A, per definizione di A stesso,

il che contrasta con l’ipotesi formulata a < A, che quindi

18

è assurda.

Dunquea ∈ A

e A risulta un insieme chiuso, come volevasi.La dimostrazione che B è chiuso è perfettamente analoga, ed è lasciata al lettore.A questo punto, poiché

∀ x ∈ I =⇒ f(x) ≤ y0 ∨ f(x) ≥ y0

ne segue cheA ∪ B = I

Riassumendo, abbiamo che

1) A e B sono sottoinsiemi entrambi non vuoti di I ;

2) A ∪ B = I ;

3) A e B sono insiemi chiusi :

per il lemma sulla connessione di un intervallo chiuso e limitato allora si ha che

A ∩ B , ∅

Se, allora,x0 ∈ A ∩ B

si ha contemporaneamente che

(*) f(x0) ≤ y0 perché x0 ∈ A,

e

(**) f(x0) ≥ y0 perché x0 ∈ B,

da cui non potendo essere, per (*), f(x0) > y0 e, per (**), f(x0) < y0 si trae che deve essere

f(x0) = y0

donde la conclusione.C.V.D.

Osservazione 7. Il teorema dei valori intermedi per funzioni continue vale anche per funzioni dipiù variabili reali: provi il lettore, ad esempio, che, se f F(x,y) è una funzione continua definita inun intervallo bidimensionale chiuso I di R2, essa assume tutti i valori compresi fra il suo minimo emassimo assoluto in I, dei quali minimo e massimo assoluto il Teorema di Weiesrtrass generalizzatoassicura l’esistenza.

19