Analisi Riesgo y Confiabilidad Sist.retencion Aguas Lluvias

Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2) 5

ANLISIS DE RIESGO Y CONFIABILIDAD DE SISTEMAS DE RETENCIN PARA EL MANEJO DE LA ESCORRENTA PLUVIAL1

Rafael Segarra Garca2

Resumen: El desarrollo urbanstico ha tenido como consecuencia el incremento en la frecuencia y magnitud de la ocurrencia de inundaciones locales, con el potencial de ocasionar graves daos a la infraestructura y rutas viales existentes. En este estudio se desarrolla un modelo probabilstico que permite evaluar la eficiencia operacional de un sistema de retencin de escorrenta pluvial en trminos del riesgo y la confiabilidad con respecto a desbordamientos de dicho sistema. Se evala la confiabilidad de un sistema de retencin considerando la variabilidad del proceso de escorrenta y en funcin de sus variables de diseo. El modelo es de naturaleza analtica y sera de utilidad en la fase de planificacin para el diseo de sistemas de manejo de escorrenta pluvial. Se han validado los resultados del modelo probabilstico con resultados de simulaciones con modelos numricos.

Palabras clave: anlisis de riesgo, confiabilidad, manejo de escorrenta, modelo probabilstico, retencin de escorrenta.

RISK AND RELIABILITY ANALYSIS OF DETENTION SYSTEMS FOR STORM WATER MANAGEMENT

Abstract: Urban development has had the consequence of increasing the frequency and magnitude of local flooding, with the potential of causing severe infrastructure and roadway damage. This study develops a probabilistic model that allows for the evaluation of the operational efficiency of a storm water detention system in terms of risk and reliability as related to system overflows. The detention systems reliability is assessed in terms of its design variables, while also accounting for the variability of the storm runoff process. The model is analytic in nature, and will be useful at the planning stage of the design of storm water management systems. The results of the probabilistic model have been validated with results from numerical simulation models.

Keywords: probabilistic model, risk analysis, reliability, stormwater management, stormwater detention.

INTRODUCCIN

El manejo de la escorrenta pluvial mediante el diseo de sistemas de retencin, ya sea mediante charcas u otro tipo de estructura, constituye una herramienta comnmente utilizada en proyectos de desarrollo urbanstico, motivado en gran medida por la necesidad de controlar problemas severos de inundacin o la carga de contaminantes dispersos que se vierten al ambiente de una forma desmedida. En variadas jurisdicciones, el manejo de la escorrenta pluvial ha adquirido un matiz legal mediante la incorporacin de requisitos especficos de control en reglamentos y normas de diseo que persiguen proteger las reas receptoras de descargas pluviales que puedan afectar vidas y propiedades.

El diseo de los sistemas de retencin de escorrenta requiere, fundamentalmente, la determinacin de la capacidad de almacenaje y la tasa a la cual se debe extraer la cantidad interceptada para minimizar el riesgo de un desbordamiento descontrolado el cual pueda ocasionar daos no-intencionados al ambiente o a la propiedad. El problema mayor que existe en cuanto al diseo de dichas instalaciones surge de la variabilidad natural del proceso de escorrenta, el cual dificulta en extremo el proceso de diseo y evaluacin de estos sistemas. Dicha variabilidad no permite la utilizacin eficiente de mtodos determinsticos para la evaluacin operacional de las instalaciones para el manejo de la escorrenta.

1 Artculo recibido el 28 de noviembre de 2008 y aceptado para publicacin el 25 de mayo de 2009. 2 Catedrtico, Departamento de Ingeniera Civil y Agrimensura, Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagez, PR 00680-9000. [email protected]

6 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 9(1-2)

Tradicionalmente se han utilizado mtodos probabilsticos o la simulacin a tiempo real de los sistemas de manejo para evaluar las caractersticas operacionales de estos sistemas. La simulacin usualmente se sirve de modelos tal como el Storm Water Management Model (SWMM), el cual permite la simulacin continua de un sistema de manejo con escorrentas derivadas de un historial horario de lluvias dentro de un perodo de un ao o mayor. Representativo de los mtodos probabilsticos son aquellos que utilizan la tcnica de las funciones de variables aleatorias para derivar distribuciones de las variables operacionales del sistema analizado.

Los mtodos probabilsticos en esta disciplina usualmente se estructuran mediante la expresin de la capacidad de almacenaje actual del sistema condicionada en el almacenaje residual al finalizar el evento de lluvia previo a la ocurrencia del evento presente. Durante el perodo de tiempo entre eventos de lluvia consecutivos el sistema puede vaciarse, enteramente o parcialmente, en funcin de la tasa de extraccin de la escorrenta almacenada, ya sea por infiltracin, bombeo o evaporacin. La estructura probabilstica de dichas formulaciones es de tipo Markov ya que las probabilidades de estado actual del sistema [en la etapa (n)] estn condicionadas en el estado anterior de ste [etapa (n-1)]. La aplicacin fundamental de los mtodos ha consistido de estipular el estado de almacenaje en la etapa (n 1) y condicionar la derivacin para la etapa (n) en sta (Adams and Papa, 2000).

Pese a que la teora de las cadenas de Markov en principio permitira manipular la estructura probabilstica del proceso para obtener informacin sobre el sistema, dicha teora no ha sido de utilidad prctica debido a la dificultad en definir las probabilidades de transicin condicionadas en el estado de almacenaje anterior. Usualmente se ha presumido un estado condicional constante, tal como la mitad de la capacidad de almacenaje del diseo del sistema, para as lograr el objetivo de obtener soluciones analticas prcticas a la formulacin (Adams and Chen, 2006; Li and Adams, 1994; 2000; Segarra and Loganathan, 1994; Loganathan et al., 1985). Aunque dicha accin permita derivar modelos prcticos, los resultados obtenidos estn condicionados en la presuncin del nivel de almacenaje condicional. En este estudio se relaja esta restriccin con el objetivo de proveer una formulacin ms atemperada a la naturaleza aleatoria de la variable del estado de almacenaje.

En la formulacin del modelo en esta investigacin se postul una distribucin de probabilidad para el estado de almacenaje del sistema al finalizar el evento de lluvia previo (n-1) al evento presente (n) y de esta forma evitar utilizar un valor determinstico para esta variable. Este enfoque altera la estructura Markoviana del proceso, pero se considera ms realista que el procedimiento convencional esbozado. El describir la transicin del almacenaje mediante un proceso Markov presume cierta estructura para la transicin de estado del sistema, principalmente que el proceso est condicionado en el estado de la etapa anterior del mismo. Dicha estructura terica no refleja la influencia de otros procesos que afectan la transicin de estado en el ciclo dinmico real de un sistema de retencin. En un sistema real existen mltiples influencias de varios procesos que establecen el estado especfico del almacenaje en determinado momento y los cuales no pueden ser representados por un proceso terico Markov.

Variables tales como la sedimentacin y el grado de mantenimiento ejercido en el sistema de retencin influyen sobre las caractersticas operacionales de dicho sistema de una forma no reproducible en un proceso estocstico estacionario. Entonces, la dinmica temporal de la capacidad de almacenaje disponible en un sistema de retencin no es solamente una funcin del proceso climatolgico, sino tambin de otros procesos no enteramente cuantificables en un modelo probabilstico. Basado en estas consideraciones, se formula un modelo probabilstico en el cual se considera la variabilidad del estado condicional de almacenaje de un sistema de retencin de escorrenta.

FORMULACIN DEL MODELO

El modelo propuesto est estructurado sobre una generalizacin de la formulacin bsica presentada por Loganathan et. al. (1985) y elaborada por Segarra and Loganathan (1992) y Segarra (2001). La expresin fundamental derivada en los estudios citados consiste de un balance de masa en una unidad de retencin de escorrenta. El proceso de llegada de tormentas se describe por un proceso de Poisson. El concepto del sistema de retencin modelado se ilustra esquemticamente en la Figura 1.


Figura 1: Diagrama conceptual del sistema de manejo de escorrenta.

El proceso fundamental ilustrado en la Figura 1 consiste de la secuencia de n tormentas con precipitacin P(k); k = 1, 2, , n-1, n. Las tormentas independientes de duracin tR(k) estn separadas por un tiempo te, el tiempo entre eventos. Al finalizar la tormenta anterior al evento de inters (n), el sistema se encuentra con un almacenaje disponible definido por la variable Z(n-1). Durante el tiempo entre eventos se sustrae agua a la tasa a, para un total volumtrico ate. Al momento de ocurrir la tormenta en la etapa n, el sistema se encuentra con la capacidad disponible T(n). El evento n produce la precipitacin P(n), la cual se traduce en la acumulacin de escorrenta R(n). Durante la duracin del evento n se sustrae agua a la tasa q. La capacidad de almacenaje se reducira o incrementara de acuerdo a la diferencia neta entre la escorrenta interceptada, R(n), y aquella sustrada, atR. Si el sistema se desborda por una alta acumulacin de escorrenta, ste desbordara el volumen Y(n).

Las variables de diseo del sistema consisten de la capacidad del almacenaje (b), la tasa de sustraccin de agua durante el tiempo entre tormentas (a) y la tasa de sustraccin de agua durante la duracin de la tormenta (q). Dichas variables pueden combinarse en un modelo que permita computar la magnitud del almacenaje disponible en el sistema de retencin, aunque ste no sera de tanto inters como la magnitud de desborde que podra ocurrir durante cierto evento. Es por esta razn que se formula el modelo en trminos de la magnitud de desborde, la cual define la eficiencia operacional del sistema.

En la derivacin subsiguiente se omite el ndice de las etapas del proceso hidrolgico ya que no existe ambigedad en la representacin de las variables en cuanto a la etapa a las cuales stas se refieren.

La medida de eficiencia del sistema se ha denominado (Di Toro and Small, 1979) como la eficiencia de captura de escorrenta a largo plazo, expresada en trminos de la variable de desborde mediante la siguiente relacin:

Evento (n 1) con

Evento (n) con precipitacin

Z(n-

tR(n)

at

te

T(n)

qtR(n

R(n) b

Y(n)

Estado del almacenaje al finalizar

Estado del almacenaje al


[ ][ ]REYE1= (1)

donde es la eficiencia en la captura de escorrenta; E[Y] es la esperanza del volumen de desborde y E[R] es la esperanza del volumen de escorrenta.

Las esperanzas del volumen de desborde y de escorrenta describen el proceso a largo plazo. Luego se mostrar que la ecuacin (1) describe tambin el riesgo asociado al desbordamiento del sistema de almacenaje. La investigacin persigue obtener expresiones analticas para la eficiencia de manera que se puedan evaluar las caractersticas operacionales del sistema de almacenaje en trminos de sus variables de diseo.

El volumen de desborde de cierta tormenta depende directamente de la interaccin de las variables de diseo del sistema de almacenaje (a, q y b) y del estado del almacenaje de la unidad de retencin al finalizar la tormenta anterior. El volumen de desborde puede expresarse mediante la relacin:

[ ]0tqTRY R ,max = (2)donde I es el volumen de desborde de la tormenta (mm); R es el volumen de escorrenta de la tormenta (mm); T es la capacidad de almacenaje disponible al comienzo de la tormenta (mm) y q es la tasa de sustraccin de la escorrenta almacenada (mm/hr) durante la duracin de la tormenta tR.

La ecuacin (2) expresa que el volumen de desborde para un evento es el sobrante de escorrenta, cuando ste exceda el total de la capacidad disponible al comenzar la tormenta (T) y la cantidad sustrada durante la misma (qTR); de lo contrario el desborde sera cero. La variable T a su vez depende de la cantidad de almacenaje disponible al finalizar el evento anterior y la cantidad de escorrenta sustrada del sistema durante el tiempo entre tormentas. Esta variable puede expresarse de la siguiente forma:

[ ]btaZT e ,min += (3)donde Z es la capacidad de almacenaje disponible al finalizar la tormenta anterior (mm); a es la tasa de sustraccin (mm/hr) de la escorrenta acumulada durante el tiempo entre tormentas te; b es la capacidad de almacenaje de diseo de la unidad de retencin (mm).

La ecuacin (3) expresa que la capacidad de almacenaje disponible al iniciar la tormenta actual (T) equivale al total de la capacidad sobrante al finalizar la tormenta anterior (Z) y el volumen sustrado durante el tiempo entre eventos de lluvia (ate), siempre que dicho total sea menor que la capacidad de diseo disponible, de lo contrario el espacio de almacenaje disponible no podra ser mayor que la capacidad fsica del sistema (b).

El modelo descrito por las ecuaciones (2) y (3) es en gran medida similar a la formulacin general de los estudios referenciados anteriormente. La estructura Markoviana del modelo surge de la variable Z, la cual condiciona el estado del proceso. En vista de la complejidad de lidiar con el proceso de transicin de estado en la formulacin de un proceso Markov para el modelo que se pretende desarrollar, usualmente se ha presumido una naturaleza determinstica para la variable Z, representando sta como Z = b, donde representa una fraccin de la capacidad total del sistema.

En el presente estudio se describe el estado del sistema al finalizar el evento anterior (Z) como una variable aleatoria con cierta distribucin de densidad de probabilidad independiente. Aunque dicha formulacin no pueda describirse como una estrictamente Markoviana, no obstante sta posiblemente sera una ms realista al considerar los factores operacionales que afectan el estado del sistema. La incertidumbre de ciertas variables operacionales tales como la sedimentacin y el nivel de mantenimiento influyen sobre el estado del sistema de una manera que no permite caracterizar esta variable con una estructura especfica tipo Markov.

Se propone una distribucin exponencial trunca para la variable Z, acotada por los lmites fsicos de la capacidad de almacenaje que sta representa. La consideracin de una distribucin exponencial no surge de ninguna observacin experimental del proceso sino ms bien de conveniencia analtica y el hecho de que, dado que las variables hidrolgicas pueden describirse mediante distribuciones exponenciales, no podra descartarse la observacin que una funcin de dichas variables pueda a su vez describirse por este tipo de distribucin. La conveniencia analtica no es tan arbitraria como aparenta ser al considerar que la distribucin propuesta para la variable Z puede reproducir, mediante la variacin


de su parmetro, un sinnmero de formas de distribucin, incluyendo la uniforme, lo cual aade gran flexibilidad al modelo. A tales efectos, se propone la siguiente distribucin para la variable Z, la cantidad de almacenaje disponible al finalizar el evento previo al evento de diseo:

z

z eCzf =)( 0 z b; - (4)

y a su vez

ze1C

= (5)

donde fZ(z) es la funcin de densidad de probabilidad; es el parmetro de forma de la distribucin (mm-1) y b es la capacidad de diseo de almacenaje del sistema retenedor (mm).

El parmetro , especificado por el usuario, determina la forma particular que asumir la distribucin de Z, permitiendo a su vez la consideracin de situaciones de frontera tales como aquellas en la que sea ms probable que el almacenaje este inicialmente lleno o inicialmente vaco. La diferencia fundamental con los otros modelos, en este aspecto, es que se prescinde del requerimiento de asignar un valor determinstico a Z para obtener soluciones analticas.

La naturaleza del parmetro puede apreciarse si se normaliza la esperanza de Z con la capacidad de diseo del sistema. La esperanza normalizada de Z se presenta de la siguiente forma:

z

z

e1e

b1

bzE

=][ (6)

La magnitud asignada al parmetro permite determinar el estado promedio del almacenaje en relacin a su capacidad nominal. Se puede demostrar que:

1bzE =

][lim (7)

0bzE =

][lim (8)

50bzE

0 .][lim =

(9)

Se aprecia de las expresiones de los lmites que el parmetro determinara el valor ms probable del estado del almacenaje Z, con una alta probabilidad de que, en promedio, el sistema est vaco para valores negativos grandes de , o de lo contrario, que se encuentre lleno para valores positivos grandes de dicho parmetro. Una magnitud pequea del parmetro, aproximndose a cero, favorecera la condicin de que usualmente el sistema se encuentre a la mitad de su capacidad. Sin utilizar una estructura determinstica para la variable Z, el parmetro permite considerar la variabilidad de la variable de estado del sistema. Este parmetro tambin permite reproducir numerosas formas de la distribucin de la variable Z, incluyendo la distribucin uniforme, la cual se obtiene para 0.

DERIVACIN DEL MODELO PROBABILSTICO

El modelo para eficiencia en la captura de escorrenta se deriva mediante la aplicacin sucesiva del procedimiento de las distribuciones derivadas de funciones de variables aleatorias, como formulado por Benjamin and Cornell (1970). Las variables hidrolgicas fundamentales del proceso consisten de la precipitacin de la tormenta en la etapa n (P), la duracin de dicha tormenta (tR), el tiempo entre las tormentas n-1 y n (te) y la capacidad de almacenaje disponible en el sistema al finalizar la tormenta n-1 (Z).

Se presume que las variables P, tR y te son independientes e idnticamente distribuidas, en este caso exponencialmente. El uso de dicha estructura se justifica con los resultados de varias investigaciones, las cuales sugieren que los procesos indicados pueden representarse de la manera propuesta (Pagn, 1984; Loganathan and Delleur, 1984; Delleur, 1983; Eagleson, 1978; Chow and Yen; 1976). En el caso del tiempo entre tormentas, la distribucin exponencial est estipulada por la naturaleza del proceso de Poisson. Adicionalmente y tal como se ha discutido anteriormente, se presume que la variable Z es tambin independiente y exponencial. Se argumenta a favor de la independencia de esta variable mediante la observacin de que el estado de almacenaje del sistema es afectado por


procesos y actividades tales como la sedimentacin y la calidad del mantenimiento provisto a las instalaciones, los cuales introducen componentes que no estn funcionalmente relacionados al proceso hidrolgico.

La derivacin del modelo por el mtodo de las distribuciones derivadas procede en etapas, agrupando las variables independientes funcionalmente en otras variables y hallando sus distribuciones hasta obtener finalmente la distribucin de la variable del volumen de desborde Y.

Distribucin de la variable T

La variable T, definida por la ecuacin (3), se refiere a la capacidad de almacenaje disponible en el sistema al ocurrir la tormenta n, y consiste del almacenaje disponible al finalizar el evento anterior ms la capacidad adicional producida por la sustraccin del agua acumulada durante el periodo de tiempo entre tormentas sucesivas. A su vez, T es funcin de las variables Z y te, en adicin a los parmetros a y b.

Primeramente conviene obtener la distribucin del trmino ate definiendo una variable nueva como V = ate, la cual define el volumen de agua sustrado durante el tiempo entre tormentas. El tiempo entre tormentas sucesivas se describe por una distribucin exponencial con parmetro . La distribucin de V entonces estara dada por.

( ) vaV eavf = 0 v (10)

donde: = parmetro de la distribucin, definido por el inverso del promedio poblacional del tiempo entre tormentas (hr-1).

Prosigue combinar las variables independientes de la ecuacin (3) en un solo trmino, con el propsito de simplificar la relacin. Para estos fines se define la siguiente variable:

W = Z + V (11)

donde: W es la capacidad de almacenaje total que se produce durante el tiempo entre tormentas y el cual estara disponible al arribo de la tormenta n (mm).

La variable W no representa una capacidad fsica real ya que la misma es ilimitada en su dominio positivo. La distribucin de la variable W se obtiene mediante el procedimiento de las distribuciones derivadas. Una forma prctica de obtener dichas distribuciones consiste de derivar primeramente la distribucin de densidad cumulativa y luego obtener la densidad de probabilidad mediante la derivacin de la cumulativa. Dicho procedimiento se ha utilizado en el presente estudio.

Debido a que la variable Z es de naturaleza finita, se impone cierta divisin en el dominio de W, de manera que la distribucin de esta variable se formula en el rango W b y W > b. La distribucin cumulativa se expresa como FW(w) = P[W w], la cual a su vez, mediante la relacin (11), puede expresarse como P[W w] = P[Z + V w]. Para W b se obtiene la siguiente expresin.

dvdzzfzfwF Vw

0z

zw

0yZW )()()( = == 0 w b (12)

Sustituyendo las distribuciones apropiadas e integrando, se obtiene la densidad cumulativa de W:

( ) ww

aW ea

CeaaCCwF

+=)( 0 w b (13)

La distribucin acumulativa para el otro rango del dominio, W > b, se obtiene de una expresin similar a la (12), pero ahora sustituyendo w = b en el integral de la variable Z. Esta operacin obtiene:


= w

abw

aW eea

aC1wF

)( w > b (14)

La distribucin de densidad de probabilidad de W se obtiene mediante la derivada de FW(w), resultando en las siguientes expresiones:

( )

>

=

bweeaC

bw0eeaC

wfbww

abw

a

wwa

W

)( (15)

Obtenida la distribucin de W, la relacin entre T y W se reduce a T = min[W, b]. Esta relacin significa que la variable T ser de naturaleza mixta, consistiendo de una parte continua y otra discreta en trminos de una probabilidad de masa. La parte continua se obtiene cuando W < b, o sea, que el espacio que se haga disponible durante el tiempo entre tormentas no exceda la capacidad de almacenaje de diseo del sistema. En dicha regin T = W. De lo contrario, T no podra exceder esta capacidad. Entonces, la parte discreta de la distribucin de T est definida por P[T = b] = P[W b]. Finalmente, la densidad de probabilidad de la variable T se expresa como:

=

=

bteeaC

bt0eeaC

tfbba

tta

T

)( (16)

Se aprecia que la distribucin de T es funcin del tiempo entre eventos y de la tasa de sustraccin. El parmetro modifica la distribucin dependiendo de qu estado del sistema de almacenaje sta favorezca de acuerdo a su magnitud.

Distribucin de la variable Y

La distribucin del desborde (Y) se obtiene de la ecuacin (2), tambin mediante la aplicacin sucesiva del mtodo de las distribuciones derivadas. Para realizar esta tarea, primero se agrupan las variables relacionadas al almacenaje de la ecuacin (2) de la siguiente forma:

Y = max[R U,0] (17)

donde se introduce la variable U = T + qtR

La variable U define la capacidad de total de almacenaje que se hace disponible durante la duracin de la tormenta presente (tR), consistiendo de la capacidad disponible al comenzar el evento y aquella adicional que se produce mediante la sustraccin de agua (q).

Se ha postulado una distribucin exponencial para la duracin de la tormenta, caracterizada por el parmetro , en este caso. A su vez, se puede definir una variable D = qtR,y as definir la variable U como U = T + D. Siendo D una sencilla funcin lineal de la duracin de la tormenta, la distribucin de esta variable se puede representar como:

( ) dqD eadf = d 0 (18)

La derivacin de la distribucin de U se complica por el hecho de que T es una variable mixta. La derivacin se desarrolla utilizando la relacin P[U u] = P[T + D u] y definiendo las regiones apropiadas para la integracin de las distribuciones marginales de las variables T y D. Considerando el dominio de T, se definen las regiones U b y U > b


para la distribucin de esta variable. Para la primera de estas regiones (U b), la cumulativa de U se obtiene de la relacin

dtdddftfuF Du

0t

tu

0dTU )()()( = == 0 u b (19)

Utilizando las distribuciones apropiadas, se obtiene la siguiente expresin para la distribucin cumulativa en el dominio indicado para 0 u b:

( )( ) ( )( ) ( )( )u

q2

uua2

u eqaqCqe

qaCe

aqaCaCuF

+=)( (20)

En la derivacin de la otra parte del dominio (U > b), se utiliza la siguiente expresin:

[ ] [ ]buDPbTPdtdddftfuF Du0t

tu

0dTU =+= = = )()()( u > b (21)

Utilizando las distribuciones indicadas, se obtiene la integracin en la parte del dominio correspondiente a U > b:

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )bu

qbbu

qu

a2u

q2

u eqaaqaqCe

qaCae

qaqCq1uF

++=

)(

(22)

para u > b

La derivada de la distribucin cumulativa permite obtener la densidad de probabilidad de la variable U. Esta operacin obtiene la siguiente distribucin, en la cual se han agrupado los coeficientes para simplificar las expresiones:

++=

bueK

bu0eKeKeKuf

bq

1

uq

4u

3u

a2

U

;

;)(

(23)

Las constantes de la distribucin (23) agrupan combinaciones de parmetros del modelo y se definen de la siguiente forma:

( )( )aqaCaK2

= (24)

( )( )

= qaCK3 (25)

( )( )

= qaqCaK4 (26)

bq

3

bqa

241 eKqaqaqeK

qaKK

+++=

(27)

Las constantes de las ecuaciones (24) a (27) combinan los parmetros del proceso hidrolgico y las variables de diseo del sistema. Con la distribucin de U, solamente restara derivar la distribucin del trmino R U. La variable R representa la acumulacin de escorrenta que produce la tormenta. Aunque sera necesario obtener las estadsticas de la escorrenta para definir esta variable, esto sera muy difcil en la prctica, particularmente para las reas urbanas. Debido a que las estadsticas de la lluvia son ms accesibles, es ms conveniente expresar R en trminos de una transformacin sencilla de la precipitacin, similar en naturaleza al Mtodo Racional. A tales fines, se presume que la escorrenta puede expresarse como R = CP, donde C describe cierto coeficiente de escorrenta y P representa la variable de la acumulacin de precipitacin de la tormenta, la cual se ha presumido sigue una distribucin exponencial con parmetro . Dicha


representacin es ms apropiada para reas urbanizadas pequeas. En localizaciones donde existan estadsticas de escorrenta, stas pueden representarse en el modelo utilizando C = 1 y dejando que el parmetro de la precipitacin represente dicho proceso.

En base a la variable exponencial de precipitacin, la densidad de probabilidad de la escorrenta se deriva como

rC

R eCrF

=)( ; r 0 (28)

donde es el parmetro de la distribucin, definido por el inverso del promedio poblacional de la acumulacin de precipitacin para cada tormenta (mm-1).

Es conveniente transformar aun ms la expresin (17) para resaltar la relacin entre el desborde de escorrenta y la capacidad de almacenaje del sistema de retencin. Para lograr esto se define la nueva variable S = R U, donde S sera el negativo del espacio de almacenaje disponible al finalizar la tormenta. Valores negativos de S representan la situacin donde la escorrenta no alcanza a llenar el almacenaje y por consiguiente no habra desborde. Por esta razn la variable de desborde puede expresarse como:

Y = max[S, 0] (29)

Como indica la expresin (29), valores negativos de S no produciran desborde, mientras que valores positivos de S definen la magnitud del desborde de escorrenta. La variable S podra tambin representar la capacidad de almacenaje disponible si sta se representa como S = U R, entonces el desborde se definira como Y = R. Esta ltima definicin no es til en nuestro caso y, por consiguiente, se utiliza la definicin original.

La derivacin de la distribucin de densidad de la variable S es compleja debido a la interaccin de los dominios de las variables R y U. Afortunadamente, no es necesario definir dicha distribucin en todo su dominio por la razn que el desborde Y solamente exceder cero para valores positivos de S. Es necesario definir la distribucin slo para valores positivos del desborde. La razn de esta simplificacin obedece al hecho de que se pretende finalmente obtener la esperanza de Y, la cual debido a la naturaleza mixta de la variable pesara el valor Y = 0 con la probabilidad de que S 0. La expresin de la esperanza de Y tendra la siguiente forma:

[ ] ( ) [ ]0SP0dyysfyYE0y

+= = + (30)Aunque solamente hara falta definir la densidad de S en la regin mayor de cero, aun as se deriv la distribucin

completa para verificar la correspondencia en los lmites del dominio de la variable. Para el propsito del estudio solamente se presentar la parte correspondiente al dominio positivo de la distribucin. Utilizando la formulacin de las distribuciones derivadas, la distribucin cumulativa del rango positivo de la variable S se obtiene de la siguiente expresin:

( ) ( ) ( ) dudrrfufdudrrfufsF R

bu

su

0rbuUR

b

0u

su

0rbuU0SS )()()()()( = += >= += > += ; s > 0 (31)

Insertando las distribuciones apropiadas para las variables U y R en el integral anterior, se obtiene la siguiente expresin para la distribucin cumulativa del rango positivo de S:

( )s

Cs0sS eK1sF

> =)( ; s > 0 (32)

donde b

qC1b

qC4b

C3b

aC25 eCq

qCKe1Cq

qCKe1C

CKe1Ca

aCKK

+

+

+

+

++

++

++

+=

(33)

El trmino K5 incluye los parmetros del proceso hidrolgico y las variables de diseo del sistema de retencin de

escorrenta. Los trminos K1, K2, K3 y K4 han sido definidos en las expresiones (24) a (27).


La densidad de probabilidad de la variable S se obtiene derivando la expresin de la distribucin cumulativa (32):

( )s

Cs0sS eKC

sf

> =)(

; s > 0 (34)

Debido a que el desborde Y es equivalente a S en el dominio de la distribucin de esta variable, la distribucin del desborde se obtiene directamente de la relacin fY(y) = fS(S>0)(y). Cabe notar que la distribucin de Y es de naturaleza mixta, con una probabilidad de masa en P[Y = 0]. La expresin para esta probabilidad no nos concierne debido a que en la determinacin de la esperanza de Y, sta estara multiplicada por Y = 0, como se define en la expresin (30).

Finalmente, se evala la expresin (30) haciendo uso de la distribucin en la expresin (34). Realizando esta operacin, se obtiene:

[ ] sKCYE = (35)La esperanza de Y se combina con la esperanza de la cantidad de escorrenta para definir la eficiencia operacional

del sistema mediante la expresin (1). La esperanza de la acumulacin de escorrenta se obtiene con la distribucin (28):

[ ]s

CRE = (36)

La esperanza de R indica que la escorrenta es funcin del coeficiente que transforma la precipitacin en escorrenta. Si existen las estadsticas del proceso de escorrenta, obviando la necesidad de transformar las de la lluvia, entonces un coeficiente C = 1 permitira utilizar los datos de la escorrenta para definir el parmetro en base a este proceso.

Utilizando las expresiones (35) y (36), la eficiencia en la captura de escorrenta definida en la expresin (1) se obtiene como

= 1 - K5 (37)donde K5 est definida por la expresin (33).

La naturaleza de se relaciona directamente con el concepto del riesgo hidrolgico, el cual para nuestros fines se define como P[Y > 0], o sea, la probabilidad de que ocurra el desbordamiento del sistema de almacenaje durante cierta tormenta, la cual est relacionada a los parmetros del proceso y las especificaciones de diseo del sistema, ya sea de su capacidad y la tasa de extraccin de agua que se utilice en ste. Utilizando la distribucin obtenida para el desborde, el riesgo estara definido como

P[Y > 0] = 1 - FY(Y>0) (0) (38)

La evaluacin de la expresin (38) obtiene

P[Y > 0] = KS (39)

Se aprecia que la eficiencia operacional del sistema, definida por la expresin (37), se relaciona directamente con el riesgo de desborde del sistema de almacenaje. La eficiencia operacional a largo plazo del sistema corresponde al riesgo de desborde. Un resultado similar haba sido obtenido por Loganathan et al. (1985). La evaluacin de este riesgo es completamente analtica y slo requiere la solucin de la expresin (33). Dicha formulacin es amena para utilizarse en modelos de planificacin y optimizacin ya que provee una relacin tecnolgica que puede resolverse prontamente.

A continuacin se discute la validacin del modelo y varias aplicaciones.


VALIDACIN DEL MODELO

La validacin del modelo estadstico con datos reales requiere un historial extenso de mediciones de campo en facilidades existentes. Lamentablemente, una vez construidos, el monitoreo de dichos sistemas es limitado y fragmentado. Es por esta razn que el diseo de un sistema de almacenaje frecuentemente se realiza mediante la simulacin numrica con una serie histrica de lluvia. La serie de lluvia puede consistir de datos horarios dentro de un periodo de un ao o ms. Los modelos Storm Water Management Model (SWMM) y Storm Water Runoff Model (STORM) han sido utilizados extensamente para simulaciones detalladas de sistemas de manejo de escorrenta. Los resultados de dichas simulaciones permiten obtener los parmetros del funcionamiento del sistema y a la vez analizar su eficiencia operacional para varias alternativas de diseo. Estudios representativos de este enfoque han sido realizados por la Environmental Protection Agency (1986), Goforth et al. (1983), Nix (1982) y Heany et al. (1979). El modelo probabilstico puede validarse mediante la comparacin con los resultados de este tipo de estudio.

Un caso especial del modelo general puede validarse con los resultados de los estudios de Nix (1982) y Goforth et al. (1983). El estudio de Nix se realiz con el modelo SWMM, con datos de precipitacin de la ciudad de Minneapolis, en el estado de Minnesota, mientras que aquel de Goforth et al. utiliz el modelo STORM, basndose en datos climatolgicos de la ciudad de Atlanta, en el estado de Georgia.

Aplicacin a Minneapolis

La aplicacin del modelo probabilstico a los resultados de la simulacin detallada de un sistema de retencin de escorrenta pluvial en Minneapolis (Nix, 1982) requiere ciertas simplificaciones para atemperar el modelo a la conceptualizacin del sistema utilizado en la simulacin. El sistema utilizado en la simulacin consisti de un rea urbana contribuyente a una unidad de retencin de la cual se sustraa agua a una tasa constante mediante el bombeo. El sistema se simul con la lluvia horaria de un ao representativo. Se utiliz un modelo lineal sencillo para la transformacin de lluvia en escorrenta. El anlisis de la serie resultante de eventos permiti extraer las estadsticas del proceso, las cuales se utilizan para definir los parmetros del modelo probabilstico. El anlisis del ciclo de vaciado y llenado del almacenaje sirvi para determinar el parmetro operacional de la eficiencia de captura de escorrenta para numerosas combinaciones de las variables de diseo del sistema.

La conceptualizacin del sistema utilizado en la simulacin de Minneapolis puede representarse en el modelo probabilstico presumiendo una sustraccin uniforme de agua del almacenaje en todo tiempo. En el modelo probabilstico, esta sustraccin uniforme puede expresarse como q = a, o sea, que se extrae agua a una tasa constante (a) durante todo el tiempo. Tambin, considerando el hecho de que las estadsticas del mismo proceso de escorrenta estn disponibles, es innecesario recurrir a la transformacin de lluvia en escorrenta descrita por el parmetro C, el cual puede disponerse como C = 1 en el modelo. Los trminos del modelo probabilstico, las expresiones (24) a (27), y luego (33), se simplifican a los siguientes:

( ) ba3

ab

221 eKaeKKK

+++=

(40)

( )( )

= aCK2 (41)

( )( )

= qaCK3 (42)

K4 = K2 (43)

( )[ ] ba1ba2b3ba25 eaaKe1aaKe1Ke1aaKK

+

++

+

++

++++

+=

(44)

Las expresiones (40) a (44) comparan con aquellas obtenidas por Segarra and Loganathan (1992), aunque la

formulacin de los autores se bas en la presuncin de un nivel de almacenaje conocido disponible en la unidad al finalizar la tormenta en la etapa n-1. En el modelo propuesto, dicho estado es variable y la posibilidad de cierto nivel est determinada por el parmetro . Aun as, los resultados obtenidos en las formulaciones anteriores, para sistemas presumiblemente vacos o llenos en la etapa n-1, pueden aproximarse considerando los lmites establecidos en las


expresiones (7) y (9), reflejando una alta probabilidad de que la unidad haya finalizado llena o vaca para el evento anterior.

En los resultados de la simulacin detallada presentada por Nix (1982) se presentan los resultados en forma de las denominadas isocuantas (isoquants), un trmino aplicado a las grficas de la relacin entre la capacidad de almacenaje y la tasa de sustraccin de agua que produzcan un nivel especfico de eficiencia de captura de escorrenta. De esta forma, es posible estimar cul sera la eficiencia operacional de cualquier combinacin de las variables de diseo de un sistema de retencin.

Aunque se desconozca el estado inicial del sistema de almacenaje, por ste ser una variable dinmica del proceso, el parmetro permite construir las isocuantas que enmarcan las posibles representaciones del sistema basado en los lmites establecidos en las expresiones (7) y (9) ya que stas representan los lmites operacionales del mismo.

El sistema simulado en Minneapolis consisti de un rea de captacin sencilla, de unos 2.6 km2. El rea drena directamente hacia la unidad de retencin de escorrenta. Se simul el sistema mediante una transformacin lineal entre la lluvia horaria y la escorrenta, con tormentas de cierto ao cuyas estadsticas de muestra eran comparables a las de la serie total registrada. El anlisis de los resultados de la escorrenta produjeron las estadsticas que se ilustran en la siguiente tabla:

Tabla 1: Estadsticas de la escorrenta de Minneapolisa.

Variable Magnitud C.V.b Promedio de acumulacin de escorrenta, E[R] 2.24 mm 1.40 Promedio de duracin de las tormentas, E[tR] 7.3 hr 1.10 Promedio de tiempo entre tormentas, E[te] 90.9 hr 0.96 a-adaptadas de Nix (1982); b- coeficiente de variacin

Las variables cuyas estadsticas se presentan en la Tabla 1 son representadas en el modelo probabilstico por las

variable R, tR y te, respectivamente. Los parmetros asociados a estas variables corresponden a = 0.446 mm-1, = 0.137 hr-1 y = 0.011 hr-1, respectivamente. La magnitud de estos parmetros se obtiene del inverso de las magnitudes presentadas en la Tabla 1. El coeficiente de variacin permite evaluar cun apropiado sera describir la variable hidrolgica por una distribucin exponencial (C.V. = 1). En el caso de la acumulacin de escorrenta, el coeficiente presentado indica que esta variable podra tal vez no representarse adecuadamente por una exponencial, con la salvedad de que se trata de una muestra y no de la poblacin de dicha variable. En el caso de los tiempos, la presuncin de exponencial es ms adecuada.

La aplicacin del modelo consiste de la solucin de las expresiones (37) y (44), incluyendo las constantes incluidas en esta ltima. Considerando que las expresiones son analticas, es posible aplicar cierto algoritmo matemtico para resolverlas explcitamente. En este caso se utiliz una hoja de clculo electrnica, universalmente disponible, para resolver las ecuaciones mediante un algoritmo sencillo en el cual inicialmente se fijaba el valor de la variable de la tasa de sustraccin, para luego obtener mediante iteracin el valor correspondiente de la capacidad de retencin para el nivel de eficiencia estipulado. De esta forma se generaron las isocuantas para compararlas con aquellas obtenidas de la simulacin detallada.

Para enmarcar los posibles lmites de las isocuantas y as reflejar las condiciones determinsticas utilizadas en estudios anteriores, solamente se generaron las correspondientes a las condiciones extremas, enmarcadas por los lmites (para obtener E[Z]/b 1) y (para obtener E[Z]/b 0). Los valores actuales empleados para estos lmites de en la simulacin corresponden a {-2000, 5000}. Los resultados, para varios niveles de eficiencia () se presentan en las Figuras 2 a 3, comparados con los resultados del estudio de Minneapolis.

Para facilitar la presentacin de los resultados del modelo, las magnitudes de las variables de diseo a y b han sido normalizadas para lograr una representacin no-dimensional de las isocuantas. La variable de la tasa de sustraccin a ha sido normalizada por la razn Qo = E[R]/E[te], la cual es equivalente a , en trminos de los parmetros del modelo. A su vez, la variable de la capacidad de almacenaje b ha sido normalizada por el promedio de la escorrenta, E[R].

Los resultados presentados en las Figuras 2 y 3 son similares a aquellos obtenidos por Segarra and El Basha (1992), demostrando que el modelo probabilstico refleja adecuadamente los extremos de estado del sistema. Los resultados del modelo comparan favorablemente con aquellos de la simulacin detallada en el sentido que enmarcan, en gran medida,


el rango de posibilidades de las variables de diseo para cierta eficiencia. Para ms detalles sobre la comparacin de los resultados, se refiere al lector a la literatura anteriormente citada.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 2 4 6 8 10 12

Capacidad de Almacenaje, b/E[R]

Tasa de Sustraccin, a/Qo

Resultados del modelo SWMM

Lmite superior, para condicin ? ? 8

Lmite inferior, para condicin ? ? - 8

Figura 2: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de simulacin para Minneapolis, con eficiencia = 50%.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 1 2 3 4 5 6 7






Figura 3: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de simulacin para Minneapolis, con eficiencia = 80%.


Vale indicar que las isocuantas convergen para valores altos de la tasa de sustraccin debido a que en dicha regin no hara diferencia el estado del sistema al finalizar la tormenta anterior. Para razones de sustraccin ms pequeas existe una marcada diferenciacin en las isocuantas del modelo probabilstico debido a que el estado del sistema al finalizar la tormenta previa ejerce una mayor influencia sobre el requerimiento de almacenaje del sistema. Valores intermedios de produciran isocuantas ms cercanas a las curvas experimentales, las cuales reflejan toda la dinmica del proceso.

La regin de las isocuantas diagonalmente ms cercana al origen de los ejes de coordenadas es la de mayor inters prctico debido a que en esta regin existiran los diseos de menor costo (Segarra and El Basha, 1996). Es precisamente en dicha regin que se obtiene una mejor comparacin del modelo probabilstico con la simulacin, en trminos de enmarcar las posibles soluciones del sistema.

Aplicacin a Atlanta

El modelo probabilstico se compara con otra simulacin similar a la de Minneapolis. En este caso para la ciudad de Atlanta, en el estado de Georgia. Dicha simulacin fue realizada por Goforth et al. (1983), utilizando el modelo SWWM y aplicndolo a un rea de captacin de 0.1 km2. Para la simulacin de un ao de lluvia, se obtuvieron las estadsticas del proceso de escorrenta que se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2: Estadsticas de la escorrenta de Atlantaa.

Variable Magnitud C.V.b

Promedio de acumulacin de escorrenta, E[R] 5.66 mm 1.10

Promedio de duracin de las tormentas, E[tR] 6.89 hr 1.12

Promedio de tiempo entre tormentas, E[te] 124.3 hr 0.94

a-adaptadas de Goforth et al. (1983); b- coeficiente de variacin

El mismo procedimiento utilizado en la ilustracin de Minneapolis se aplica aqu. En este caso, el coeficiente de variacin para la escorrenta es ms cercano al de la exponencial que aquel de Minneapolis.

Para esta aplicacin, se computan las isocuantas para un solo nivel de eficiencia, pero ahora variando el parmetro del estado inicial del sistema. Se aaden dos isocuantas intermedias, una definida por = 0.001 (implicando una unidad con una distribucin uniforme de estado inicial), y la otra para = 7.0, la cual refleja un rango de estado inicial, definido por E[Z]/b, entre 0.22 y 0.33, implicando que la unidad de retencin tendra, inicialmente, menos de una tercera parte de su capacidad disponible, en promedio. Al igual que la aplicacin anterior, los resultados presentados por Goforth et al. (1983) tambin han sido normalizados para presentarlos en la Figura 4.

Se aprecia en la Figura 4 una excelente comparacin con los resultados de la simulacin. La correspondencia de la curva de simulacin con aquella del modelo para = 7.0 sugiere que el sistema estara, la mayor parte del tiempo, con menos de la mitad de la capacidad de almacenaje disponible. Esto se debe a que la isocuanta para este valor del parmetro se ubica sobre aquella correspondiente a la mitad de la capacidad disponible ( 0). Estos resultados comparan con aquellos obtenidos por Loganathan et al. (1985), pero con la diferencia que el modelo probabilstico propuesto permite una mejor evaluacin de las caractersticas operacionales del sistema, como ilustran las siguientes aplicaciones.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10





Condicin de distribucin uniforme, con ? ? 0

Condicin intermedia, con ? = 7.0


Figura 4: Comparacin del modelo probabilstico con resultados de simulacin para Atlanta, con eficiencia = 80%.

Evaluacin de la confiabilidad de un sistema de retencin

La utilidad prctica del modelo probabilstico reside en la capacidad de estimar la confiabilidad de alternativas de diseo de un sistema de manejo de escorrenta. El diseo del sistema consiste de la determinacin de los valores de las variables de sustraccin a y q, y la variable de la capacidad de almacenaje b. La confiabilidad del diseo se determina en trminos del rango de la eficiencia en la captura de escorrenta que provee una combinacin particular de sustraccin y capacidad de almacenaje en un sistema de retencin. El rango se evala considerando las condiciones extremas definidas por el parmetro y discutidas anteriormente.

Una forma prctica de representar el rango de confiabilidad de un diseo consiste en fijar la capacidad de almacenaje del sistema y luego evaluar la confiabilidad para distintos valores de la tasa de sustraccin. Utilizando los parmetros y la configuracin de la simulacin de Atlanta discutida anteriormente, se evala la confiabilidad del sistema para un diseo con una capacidad de retencin de 12.7 mm (0.5 pulg.). El procedimiento consiste en evaluar la eficiencia de captura de escorrenta variando la sustraccin para las condiciones extremas de una unidad con alta probabilidad de estar inicialmente vaca ( ) o inicialmente llena ( ). Los resultados de dicho anlisis se presentan en la Figura 5.


30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Eficiencia , ? (%)


Lmte superior de eficiencia Lmite inferior de eficiencia

Figura 5: Confiabilidad del sistema de retencin en Atlanta para capacidad de almacenaje b = 12.7 mm.

Los resultados de la Figura 5 ilustran la confiabilidad del sistema en base a los lmites de eficiencia del diseo del sistema de retencin. Para valores bajos de la tasa de sustraccin, se observa una posible alta variabilidad en la eficiencia potencial del sistema, demostrando poca confiabilidad en el sentido que existe una posibilidad razonable, considerando la banda del lmite inferior de eficiencia, de que ocurra un desbordamiento. Los lmites de eficiencia convergen al incrementar la tasa de sustraccin, proveyendo una mayor confiabilidad al diseo y por ende un menor nivel de riesgo.

Altos niveles de confiabilidad implicaran un mayor costo de las facilidades de sustraccin. El diseador escogera aquella combinacin de tasa de sustraccin y capacidad de almacenaje que provea una confiabilidad deseable, cuyo nivel no necesariamente reflejara consideraciones de costo. Consideraciones de otro tipo, particularmente ambientales, no enteramente cuantificables en trminos monetarios, podran fijar el nivel de confiabilidad deseado para dichos sistemas.

APLICACIONES DEL MODELO GENERAL

Diseo con tasas de sustraccin distintas

Las aplicaciones ilustradas han considerado un caso especial del modelo probabilstico. En esta seccin se consideran aplicaciones del modelo general, descrito por las expresiones (33) y (37). Primeramente se discute una aplicacin en la cual las razones de sustraccin durante el tiempo entre tormentas y durante la duracin de la tormenta actual son distintas (a q). La tasa de sustraccin a puede representar infiltracin u otro proceso de remocin que aplique durante el tiempo entre tormentas, mientras que q puede representar bombeo o la descarga promedio controlada del sistema durante la tormenta. Se considera la situacin en la cual se pretende determinar qu tasa de sustraccin q sera recomendable ejercer durante el evento y cmo sta afecta la capacidad del sistema para cierta eficiencia operacional. Aplicando el modelo, se puede establecer la relacin entre la capacidad de almacenaje y la tasa de sustraccin. Con el fin de ilustrar esta aplicacin, para un rea hipottica, se han definido los parmetros presentados en la Tabla 3:


Tabla 3: Parmetros para rea hipottica.

Parmetro Magnitud C 0.9 70% 0.079 mm1 0.5 hr1 0.017 hr1 a 0.13 mm/hr

Los datos de la tabla describen un rea urbanizada para la cual se planifica un sistema de retencin donde se pretende lograr un 70% de eficiencia en la intercepcin de la escorrenta pluvial. En este sistema se proveer una sustraccin uniforme de 0.13 mm/hr (siempre que exista escorrenta acumulada), la cual podra incrementarse mediante bombeo durante la ocurrencia de las tormentas. El modelo representado por las expresiones (33) y (37) se resuelve fijando los valores de la capacidad b, la eficiencia y luego resolviendo por la sustraccin q. La solucin obtenida se presenta en la Figura 6.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 10 20 30 40 50 60


Tasa de Sustraccin Relativa, q/a

Figura 6: Variacin de requerimiento de almacenaje con tasa de sustraccin relativa, para eficiencia = 70%.

En la Figura 6, los resultados obtenidos para la sustraccin q han sido normalizados por la sustraccin durante el tiempo entre tormentas. De esta forma se representa la magnitud relativa de estas variables y como afectan la capacidad del sistema. Se aprecia la razn decreciente entre la tasa de sustraccin y la capacidad de almacenaje requerida para mantener la eficiencia operacional estipulada. La generacin de estas relaciones permitira desarrollar alternativas para escoger la mejor combinacin de sustracciones de acuerdo a las consideraciones de diseo del sistema bajo consideracin. El siguiente ejemplo ilustra la utilizacin de resultados como los presentados en la Figura 6:

Se desea disear una charca de retencin con una eficiencia estimada de 70% para manejar la escorrenta proveniente de un desarrollo de 0.02 km2. Debido a la posible sedimentacin, se estima que existir solamente una pequea capacidad de infiltracin en esta unidad, consistiendo de 0.13 mm/hr. Se considera proveer una tasa de sustraccin de escorrenta durante las tormentas, mediante bombeo, equivalente a q/a = 30. Para esta tasa, la Figura 6 sugiere la capacidad expresada por b/E[R] = b = 0.78. La capacidad de almacenaje requerida estara dada por b =


0.78/ = 9.9 mm. Considerando el rea contribuyente, el volumen de capacidad de la charca se obtendra como brea = 198 m3. De la misma forma, la tasa de bombeo requerida se obtiene como qrea = 0.022 m3/s.

Primordialmente, el modelo probabilstico permite la estimacin del riesgo hidrolgico asociado a un diseo de un sistema de retencin, en cuya evaluacin tambin podran incorporarse observaciones de campo sobre el estado usual del sistema. Este aspecto del modelo se ilustra en la siguiente aplicacin:

Aplicacin sobre la estimacin del riesgo hidrolgico para un sistema de retencin

Cierto sistema de retencin de un sector urbanizado (C = 0.9) posee una capacidad de almacenaje equivalente a b = 7.62 mm. La unidad se ha desbordado varias veces en el pasado y se desea evaluar su eficiencia operacional. El sistema provee para sustraer agua, durante el tiempo entre tormentas, por infiltracin u otro proceso a una capacidad nominal de a = 0.51 mm/hr. Durante la ocurrencia de cualquier tormenta se activa una bomba con una capacidad equivalente a q = 2.54 mm/r. Se ha observado a travs del tiempo que usualmente, en promedio, el sistema se encuentra aproximadamente a mitad de su capacidad al finalizar cualquier evento. Para evaluar el riesgo hidrolgico considerando dicha observacin de campo, se determina el valor de que produce el resultado E[Z]/b = 0.50 en la expresin (6). Esta operacin obtiene = 0.01. El riesgo se computa mediante la expresin (39), siendo el trmino K5 definido por la expresin (33). Utilizando la magnitud de los parmetros hidrolgicos , , , definidos en la Tabla 3, se obtiene para el riesgo P[Y > 0] = 37%. El riesgo computado refleja la probabilidad de que ocurra cierta magnitud de desborde del sistema para cada tormenta.

Anlisis del impacto de la impermeabilizacin sobre la confiabilidad de un sistema de retencin

Finalmente, se ilustra una aplicacin que permite evaluar el impacto de un desarrollo urbanstico sobre la eficiencia de una unidad de retencin existente. Se logra esta evaluacin variando la magnitud del coeficiente de escorrenta C. El efecto de la impermeabilizacin de un terreno sera la reduccin de la eficiencia operacional de la unidad.

En la aplicacin, se utilizan los parmetros hidrolgicos del rea hipottica para un sistema de retencin con capacidad b = 17.8 mm y razones de sustraccin a = q = 0.25 mm/hr. Se vara el coeficiente de escorrenta entre aquel de un rea parcialmente desarrollada a una casi completamente impermeabilizada. Los estados de almacenaje del sistema se establecen variando el parmetro dentro del intervalo {-200, 100}. La Figura 7 ilustra los resultados obtenidos con el modelo probabilstico para las dos condiciones.

40

50

60

70

80

90

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Eficiencia, ? (%)

Esperanza de Capacidad de Almacenaje, E[Z]/b

Area completamente pavimentada (C = 1)

Area parcialmente pavimentada (C = 0.6)

Figura 7: Efecto de impermeabilizacin del rea contribuyente sobre eficiencia operacional del sistema de retencin.


La eficiencia se ha relacionado con el valor normalizado del promedio del la capacidad de almacenaje disponible al finalizar la tormenta que precede la de diseo. De esta forma se evala todo el rango de posibilidades de la eficiencia operacional del sistema de retencin. A manera de ilustracin, si se impermeabiliza el rea que sirve la unidad de retencin, la eficiencia mxima (para E[Z]/b = 1) alcanzable de dicho sistema se reducira de 91% a solamente 76%. Esta ltima compara con una eficiencia mnima de 68%, esperada para la condicin original del rea.

Aunque es obvio que la impermeabilizacin reducira la confiabilidad de cualquier sistema de retencin, la contribucin particular del modelo propuesto consiste en permitir la cuantificacin de dicho impacto sobre sus caractersticas operacionales. Dicha capacidad permitira una mejor planificacin del desarrollo urbanstico de un rea al incorporar el posible impacto de tal accin sobre el sistema de manejo de escorrenta que pueda servir a sta.

CONCLUSIONES

Se ha derivado un modelo probabilstico para el diseo y la evaluacin operacional de sistemas de retencin de escorrenta que considera la dinmica e incertidumbre del proceso hidrolgico mediante una formulacin analtica que a la vez permite la pronta evaluacin de alternativas de diseo para dichos sistemas. Las variables de diseo se relacionan a los parmetros del proceso hidrolgico que describen la ocurrencia, duracin y acumulacin de precipitacin de tormentas. El modelo provee una herramienta prctica para la evaluacin de alternativas de manejo de escorrenta en la etapa de planificacin de un proyecto.

Uno de los aspectos ms significativos del modelo es que ste provee para la evaluacin del riesgo y la confiabilidad asociada a un diseo particular de un sistema de retencin. Se ha demostrado que la medida de eficiencia operacional de un sistema se relaciona directamente a su riesgo de desbordamiento. A su vez, la confiabilidad de un sistema se ha evaluado en trminos del rango de eficiencia operacional que resulta de variar la tasa de sustraccin de escorrenta para cierta capacidad de almacenaje.

La comparacin de las isocuantas de almacenaje/sustraccin, generadas para un caso particular de la metodologa, con aquellas derivadas de resultados de simulaciones extensas con modelos numricos result ser muy favorable, revelando un grado aceptable de validacin para el modelo. La validacin del modelo general requerira simulaciones ms complejas o la obtencin de datos de campo levantados de facilidades existentes en donde se halla provisto un monitoreo extenso del proceso.

El proceso simulado se condicion en el conocimiento de la distribucin del estado del sistema previo a la ocurrencia de la tormenta de inters. Los modelos existentes presumen cierto estado de almacenaje fijo o estiman las probabilidades de estado en base a la matriz estacionara de probabilidades de transicin, derivada de la teora de las cadenas de Markov. Este ltimo procedimiento, aunque tericamente vlido, no considera el efecto de ciertas variables operacionales las cuales en la realidad ejercen un control significativo sobre la dinmica del estado de almacenaje de un sistema de retencin y por ende sobre su distribucin. La distribucin propuesta en el estudio posee un alto grado de flexibilidad al permitir la consideracin de todo el rango de estados de almacenaje del sistema.

Investigaciones futuras podran reevaluar varios aspectos de la metodologa propuesta para generalizar la formulacin bajo otras consideraciones, con la salvedad de que modelos ms complejos posiblemente se desarrollaran a expensas de la simplicidad computacional del modelo original.

RECONOCIMIENTO

Se agradece los comentarios pertinentes del evaluador annimo sobre el contenido y la redaccin del artculo y la colaboracin de la estudiante Karen Gonzlez en el cotejo de la derivacin del modelo.

Este trabajo est dedicado a la memoria del Dr. G. V. Loganathan, mentor y amigo, trgicamente perdido en la masacre de Virginia Tech.

SIMBOLOS

a = tasa de sustraccin de escorrenta durante el tiempo entre tormentas, mm/hr b = capacidad de almacenaje de la unidad de retencin, mm


C = coeficiente de escorrenta D = cantidad de escorrenta sustrada del sistema de retencin durante la tormenta, mm P = acumulacin de lluvia de cierta tormenta, mm q = tasa de sustraccin de escorrenta durante la duracin de la tormenta de diseo, mm/hr Qo = E[R]/E[te], tambin equivalente a R = acumulacin de escorrenta de cierta tormenta, mm S = capacidad de almacenaje del sistema de retencin a finalizar la tormenta de diseo, mm T = capacidad de almacenaje del sistema de retencin al inicio de la tormenta de diseo, mm te = tiempo entre la ocurrencia de tormentas sucesivas, hr tR = duracin de la tormenta de diseo, hr U = capacidad potencial de almacenaje disponible en la unidad de retencin durante la duracin de la tormenta de

diseo, mm V = cantidad de escorrenta sustrada del sistema de retencin durante el tiempo entre tormentas, mm W = total de la capacidad disponible en el sistema de retencin al finalizar la tormenta anterior a la de diseo (Z) y el

volumen potencial extrado durante el tiempo entre tormentas (ate),mm Y = cantidad de desborde del sistema de retencin para la tormenta de diseo, mm = inverso del promedio de la acumulacin de lluvia, mm1 = inverso del promedio de la duracin de las tormentas, hr1 = inverso del promedio del tiempo entre tormentas sucesivas, hr1 = parmetro de la distribucin de probabilidad de la capacidad de almacenaje disponible en el sistema de retencin

al finalizar el evento anterior a la tormenta de diseo, mm1

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