Analisi Numerica Del Telaio Di Un Quadcopter

Universita` degli Studi di Trento

FACOLTA` DI INGEGNERIA

Course: Progettazione Funzionale

Report

Analisi numerica del telaio di un quadcopter

Studente:

Matteo RagniMatricola 161822

Anno Accademico 2012-2013

Matteo Ragni Progettazione Funzionale

Analisi numerica del telaio di un quadcopter | 2

Indice

1 Introduzione 5

2 Impostazione del problema 7

2.1 Modello matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Dinamica del propulsore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Spinta e momento resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Eetti giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Dinamica e controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Controllo in traiettoria del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Scegliere il telaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Le analisi da svolgere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Analisi del modello non ottimizzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Analisi del modello ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Analisi FEM del telaio 21

3.1 Analisi del modello non ottimizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Analisi preliminare - BEAM188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Analisi statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Analisi modale e analisi armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Inertial relief del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Analisi del modello di contatto - SHELL181:CONTA174:TARGE170 . . . . . . . . . . . . 333.1.3 Analisi di un modello tridimensionale - SOLID186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Analisi statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Analisi armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Modello ottimizzato - SOLID187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Analisi statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Analisi Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Risposta armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Un problema di tensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Conclusioni 55

5 Allegati 57

5.1 Indipendenza dierenziale delle accelerazioni angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Gli elementi del quadcopter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Modello Simulink del sistema di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Allegato modello BEAM188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4.1 Disegno Tecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4.2 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4.3 Elementi utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3


5.4.4 Risultati dell'inertia relief analisys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Allegati modello SHELL281:CONTA174:TARGE170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5.1 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


5.6 Allegati modello SOLID186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6.1 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


5.7 Allegati modello SOLID187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.7.1 Disegno tenico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.7.2 Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98



Capitolo 1

Introduzione

In questo documento contenuta una analisi numerica di un telaio di un Quadcopter, ovvero un drone dalla

caratteristica forma a croce, avente quattro propulsori agli estremi come elementi di spinta attiva. Il tempo di

volo direttamente proporzionale alla massa complessiva del drone, eppure raramente gli amatori e i ricercatori

che si cimentano nella costruzione di tale oggetto si sono mai concentrati sulla analisi del telaio, mantenendo

una struttura spesso sovradimensionata che limita tempo di volo e agilit.

Per questo, dopo una attenta scelta del telaio iniziale, che deve essere comunque basata sulle caratteristiche

del gruppo di propulsione del drone, ci si concentrer sulla ottimizzazione della massa, in particolare dei bracci

esterni che sostengono tale elemento di spinta. La ottimizzazione della massa del telaio porta con se due

svantaggi che devono essere attentamente considerati: l'aumento dello spostamento dell'estremo del braccio, che

pu vancare l'ipotesi di corpo rigido sulla quale il sistema di controllo del drone basato, e uno spostamento

delle frequenze naturali del telaio, e la corrispondente risposta dinamica, che potrebbe portare il sistema in

condizioni di risonanza, in cui il sistema diventerebbe incontrollabile.

Il problema qui presentato lo studio di ottimizzazione di un telaio, al ne di avere uno spostamento sucien-

temente contenuto da garantire il mantenimento di una ipotesi fondamentale nello studio dinamico, ovvero il

mantenimento della rigidezza del corpo del telaio.

Si pone quindi l'obbiettivo di minimizzazione della massa complessiva del telaio, sotto i vincoli di spostamento,

rotazione e tensioni.

Partendo da una analisi estremamente analitica della dinamica del sistema del quadcopter, per poi invertire

la dinamica e identicare le forze che si esprimono sul telaio durante la fase di volo. Una volta identicate le

forze, mediante una minimizzazione con KKT, si sceglie una base di partenza tra l'insieme pressocch innito

di soluzioni disponibili sul mercato.

La palla passa in seguito alla analisi FEM. Si studia il comportamento del sistema mediante modelli di com-

plessit sempre maggiori, consci della criticit delle analisi ad elementi niti e della necessit di provare le

eventuali correttezze del modello. Si cercher infatti di analizzare il modello in tono critico, cercando di seguire

il principio di worst case scenario come faro direttivo per eventuali ipotesi semplicatrici dove non sia possibile

approfondire ulteriormente il problema.

Una volta investigato il comportamento del telaio, si passer alla analisi nale di un sistema ulteriormente

ottimizzato, per il quale impensabile fornire una soluzione analitica mediante la teoria delle travi.

L'idea nale, da sviluppare non appena possibile, la costruzione di un modello reale funzionante.

5

Capitolo 2

Impostazione del problema

2.1 Modello matematico

2.1.1 Cinematica

necessario fare una introduzione sulla dinamica del modello di un quadrottero per capire quali sono le

condizioni che possano portare il telaio alla massima sollecitazione.

Si considerino i sistemi di riferimento:

xW^

yW^

zW^

zW^

xC^

yC^

yB^

zB^

zB^

Figura 2.1.1: Sistemi di riferimento

Sistema di riferimento globale: identicato da tre versori {xW , yW , zW }, avente origine in {0, 0, 0}T .

Sistema di riferimento di imbardata: ruotato rispetto al sistema di riferimento globale attorno all'asse

identicato dal versore zW , di un angolo (t) = . Il sistema ha origine in r = {x(t), y(t), z(t)}T ={x, y, z}T , con r vettore che rappresenta la posizione del centro di massa del quadrottero. Identicatodai tre versori {xC(t), yC(t), zW } = {xC , yC , zW }.

Sistema di riferimento solidale al corpo: avente origine nel punto identicato dal vettore r, e ruotatoattorno gli assi yC e xC , di angoli (t) = e (t) = . La rotazione tra questo sistema di riferimento,identicato dai versori {xB(t), yB(t), zB(t)} = {xB , yB , zB} e il sistema di riferimento globale pu essereottenuto mediante radici di rototraslazione, di cui consideriamo prevalentemente la parte riguardante la

7


rotazione

1

:

WRB =W RC

CRB

La velocit del corpo ovviamente espressa dalla derivata temporale del vettore posizione: r(t). La velocitangolare del corpo pu essere espressa come la velocit angolare del sistema di riferimento solidale rispetto al

sistema gloabale. Espressa nel sistema di riferimento del corpo:

BW = p(t) xB + q(t) yB + r(t) zB = p xB + q yB + r zB

2.1.2 Dinamica del propulsore

Spinta e momento resistente

La dinamica del propulsore pu essere fortemente semplicata facendo alcune considerazioni largamente condi-

vise nella letteratura. Come gi analizzato in [1], la spinta verticale e il momento resistente sono i due principali

eetti presi in considerazione nella analisi dinamica. Sebbene sia presente un momento ettente, dovuto al

fenomeno di appeggio di portanza sulle lame, all'albero questo risulta essere bilanciato dallo stesso momento

che si esprime sulla lama opposta.

0.7 R

FT

MD

Distribuzione di forza

sul propulsore

cavg

Figura 2.1.2: Forze che si esprimono sul propulsore

Dalla inversione delle equazioni del coeciente di spinta (CLift) e del coeciente di resistenza (CDrag) si possonoidenticare le funzioni che esprimino la spinta e il momento resistente:

FT () =1

2CLift()S v

2 =

=1

2CLift() (Rcavg) (0.7R)

2(2.1)

MD() =1

2CDrag()S v

2 (0.7R) =

=1

2CDrag() (Rcavg) (0.7R)

2 (0.7R) (2.2)

dove rappresenta la densit dell'aria, cavg la dimensione media della corda della lama del propulsore, utilead approssimare la sezione media della lama, che solitamente per propulsori APC a passo sso si esprime

alla distanza di circa 0.7R, dove R il raggio del propulsore [6]. Questo modello, presentato in dettaglio

1

Matrice di rototraslazione: M =

[[Rotazione]33 {Spostamento}31

0 0 0 1

]Matrice di rotazione: R = submatrix (M, 1..3 1..3)



in un precedente lavoro di chi scrive, stato validato rispetto ad alcuni risultati sperimentali collezionati da

ricercatori, come ad esempio in [4], e amatori.

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Cx

Interpolazione di CLift e CDrag

Cx() = (A + B ) (1 - e/45

)

Dati sperimentali: CLiftDati sperimentali: CDrag

Interpolazione: CLiftInterpolazione: CDrag

Figura 2.1.3: Interpolazione dei coecienti CLift e CDrag, tratto dal lavoro precedente [1]

In questo caso si esprime una ulteriore approssimazione: si considerino i coecienti di spinta e di resistenza

come parametri costanti (cosa che sembra essere particolarmente vera per il coeciente di resistenza, a giudicare

dalla gura 2.1.3), allora possibile riscrivere le due equazioni precedenti come segue:

FT () 12CLift (Rcavg) (0.7R)

2

= kf 2(2.3)

MD() 12CDrag (Rcavg) (0.7R)

2 (0.7R)

= km 2(2.4)

Il quadrottero presenta quattro propulsori, la cui velocit angolare rappresenta anche l'unico elemento di con-

trollo del sistema, che possono essere ricondotti ad una forza e a tre momenti esercitati sul baricentro del corpo.

Usando la 2.3 e la 2.4:FMxMyMz

=

kf kf kf kf0 kf L 0 kf L

kf L 0 kf L 0km km km km

21222324

=

u1u2u3u4

(2.5)con L distanza del baricentro dall'asse di rotazione del corpo.

Eetti giroscopici

L'eetto giroscopico nasce quando l'asse attorno al quale il corpo sta ruotando viene sollecitato a spostarsi da

una forza che agisce su uno qualsiasi dei piani di che contengono l'asse di rotazione, ed dovuto alla legge di

conservazione del momento angolare. Questo fenomeno molto simile a quello che porta una trottola a inclinare

il proprio asse di rotazione di 90 rispetto alla direzione di caduta.Consideriamo una situazione di volo nel quale il veivolo stia traslando. Nella fase di avvicinamento all'assetto

desiderato, sul corpo si genera una coppia:

C = JP

con JP momento di inerzia del propulsore e rotazione di assetto. La coppia giroscopica agisce in un pianoperpendicolare alla rotazione dei propulsori. La controrotazione dei propulsori ci permette di dire che questa



si autobilanci al centro di massa del corpo, a meno di piccole dierenze dovuto alle dierenti dei singolipropulsori per eettuare la manovra. Agisce comunque come una forzante al telaio, ma considerando il valore in

modulo di tale coppia risulta evidente che il suo eetto sia trascurabile, sia come modulo, sia per la lunghezza

del periodo di transitorio in cui si assiste alla variazione dell'angolo di assetto. Non si riscontrano in questa

forzante sollecitazioni euritmiche che possano giusticare una eventuali analisi armonica.

C

Jp

Figura 2.1.4: Eetto giroscopico dovuto alle variazioni di assetto del veivolo

Diverso discorso deve essere fatto per eventuali sbilanciamenti statici e dinamici del propulsore (dovuti ad errori

di fabbricazione, rigidezza delle bronzine, etc.). Considerando gli assi principali di inerzia nel piano di rotazione

dell'elica, si pu notare la presenza di un momento di sbilanciamento dinamico.

P

D1

D2

{m, JP, JD1, JD2}

Terna rotante, solidale

al propulsore, principale di inerzia

per il propulsore

Ms, D1

Ms, D2

Figura 2.1.5: Sbilanciamento del propulsore

Semplicando al massimo il problema, rispetto al sistema di riferimento solidale al propulsore, e pensando di

poter disaccoppiare l'eetto tra i due assi diametrali, si pu scrivere il momento che lega l'asse polare a quelli



diametrali:

MS,D1 = (JD1 JP )2 MS,D1 = (JD2 JP )2 Questi due momenti, che giaciono nel piano identicato dai due assi diametrali, considerando un sistema di

riferimento solidale al telaio

2

, possono essere scritte come una composizione:

MS = |MS,D1| ei t + |MS,D2| ei t (2.6)dove si nota l'evidente legame con la velocit angolare. Il valore assoluto di tale forzante molto dicile da

valutare (anche a causa del appeggio), e le frequenze a cui opera la rendono irrilevante per una analisi di tipo

statico, ma non si pu assolutamente evitare di tenere in considerazione il fattore armonico che tale momento

di sbilanciamento introduce. Si ritiene quindi indispensabile una analisi modale e armonica della struttura in

seguito alla ottimizzazione, al ne di assicurarsi che le velocit angolari operative del motore non siano anche

frequenze naturali del telaio, al ne di evitare fenomeni di risonanza.

Un altro fenomeno da citare il brandeggio, dovuto alla dierenza di portanza tra lame anteriori rispetto

quelle posteriori (rispetto alla direzione del moto), cosa che aumenta il appaggio della anteriore rispetto alla

posteriore; conseguenza diretta di questo fenomeno un avvicinamento del baricentro della lama anteriore al

centro rotorico e quindi per eetto centrifugo aumenta la sua velocit. Questo fenomeno si pu ridurre no a

rendere il suo eetto trascurabile mantenendo leggermente lasco il serraggio delle lame al mozzo centrale, in

modo che le forze centrifughe le possano muovere avanti/indietro. Tale problema arontato e risolto allo stesso

modo su elicotteri di grandi dimensioni.

2.1.3 Dinamica e controllo

Le equazioni della dinamica possono essere facilmente ottenute mediante la formulazione di Newton - Eulero:

m r = mg zW + u1 zB (2.7)

J BW = BW JBW + u2u3

u4

(2.8)dove J risulta essere la matrice di inerzia del quadcopter rispetto al sistema di riferimento {xB , yB , zB}. Allaluce di questa formulazione, lo stato del sistema pu essere identicato da:

posizione del centro di massa: r;

velocit del centro di massa: r;

matrice di rotazione del corpo:

WRB ;

velocit angolare del corpo: BW .

ovvero il vettore:

= {x, y, z, , , , x, y, z, p, q, r}T

ha dimensione 12, contro la dimensione 4 del vettore delle variabili di controllo. Ma facendo riferimento a[2, 3] si pu dimostrare che il sistema sia dierentially at, il che ci garantisce l'estensione delle propriet di

controllabilit di un sistema lineare allo stato del nostro sistema, che non lineare. Questo possibile se si pu

dimostrare che:

scelto un subset di , possibile dimostrare che y = (\) = f(, .., , u, ..,u) con indice diderivazione nito;

che u = g(y, ..,y ,u, ..,u);

2

quindi non al propulsore propulsore



i componenti di y siano indipendenti dierenzialmente, ovvero non esista alcuna equazione dierenzialenella forma (y, ..,y) = 0.

Si scelga ad esempio:

=

xyz

risulta immediato che:

r = [1..3]

r = [1..3] (2.9)

sostituire la equazione 2.9 nella equazione di Newton 2.7 ci permette di ricavare zB :

[1..3] + g zW =u1mzB

comparando gli elementi vettoriali e applicando la propriet di normalit del versore si ottiene:

zB ={x, y, z + g}T{x, y, z + g}T (2.10)Prendendo in considerazione invece la seguente gura:

zW

yW

xW

yC

xC

^

^

^

^^

Figura 2.1.6: Rappresentazione di {xW , yW , zW } e {xC , yC , zW }

diventa facile esprimere la relazione che lega [4] a xC :

xC = {cos, sin, 0}T

Analizzando le rotazioni che sussistono in

CRB si pu notare che la coppia {xC , zB} identica un piano identicoal piano identicato dalla coppia {xB , zB}e quindi si pu esprimere il versore yB come prodotto vettorialenormalizzato:

yB =zB xC|zB xC | (2.11)

sotto l'ipotesi che |zB xC | 6= 0. Il problema di singolarit tipico della formulazione mediante angoli dirollio-beccheggio-imbardata. Per evitarlo, in [1], si erano utilizzati i quaternioni. Utilizzando la 2.10 e la 2.11

siamo in grado di denire completamente la matrice di rotazione del sistema:

xB = yB zB (2.12)



e quindi:

WRB =[xB yB zB

](2.13)

A questo punto necessario denire le velovit angolari del frame solidal al corpo come funzione di ; derivandola 2.7, si denir una proiezione di un vettore, funzione dello strappo

3

:

m...

r =d

dt(mg zW ) =0

+d

dt(u1 zB) =

= u1zB + BW u1zB (2.14)

m...

r zB = (u1zB + BW u1zB) zB == u1zB zB

=1

+ BW u1zB zB =0

m...

r zB = u1 sostituire nella 2.14m...

r = (m...

r zB) zB + BW u1zBh = BW zB = m

u1(...

r (...r zB) zB) (2.15)

questo che abbiamo appena ricavato rappresenta la proiezione del vettore

m

u1

...

r, funzione unicamente di e di

u, sul piano identicato dai versori {xB , yB}, dal quale possiamo denire le componenti di velocit angolare:p = h yB (2.16)q = h xB (2.17)Molto pi semplice denire l'ultima componente, come derivata dell'angolo di imbardata proiettata sull'asse

verticale del sistema di riferimento solidale al corpo:

r = zW zB (2.18)La dimostrazione della indipendenza dierenziale richiederebbe un'altra derivazione, e seguendo una procedura

identica a quella appena eseguita si possono identicare le relazioni tra accelerazioni angolari e vettori {, u}.Non essendo geometricamente evidente si tralascia questa dimostrazione, che riportata solo come allegato: 5.1.

In denitiva possiamo identicare in modo univoco lo stato del sistema con le seguenti equazioni dierenziali

del primo ordine:

r = [1..3]s = rs = mg zW + u1 zB

={

arg(WRB , {, }

)[4]

}BW = h yB + h xB + [4]zW zB$ = BW

$ = J1

BW JBW + u2u3u4

(2.19)

risolvibili note le condizioni iniziali del sistema:

0 = {x0, y0, z0, 0, 0, 0, x0, y0, z0, p0, q0, r0}T

questo perch la condizione di dierentially atness ci garantisce l'estensione delle sole propriet di controllo dal

sistema lineare a non lineare, ma non ci permette assolutamente di rendere univoca la soluzione del problema

di Cauchy associato alla 2.19 riducendo la dimensione del vettore di condizioni iniziali.

3

Per strappo si intende la derivata dell'accelerazione, meglio conosciuto in letterattura come jerk o, per i puristi anglofoni, jolt.



2.1.4 Controllo in traiettoria del sistema

Senza entrare eccessivamente nel dettaglio, si mostra la strategia di controllo che si intende implementare per

seguire una determinata traiettoria: T = {rT , T }T , attualmente in uso per il controllo di quadrotteri permanovre aggressive [3, 2]. Si deniscono errori di posizione e di velocit:

ep = r rTev = r rTe si identica il vettore forza che dovr essere applicato al sistema, lungo l'asse zB :

Fdes = Kpep Kvev +mg zW +m r

dove Kp e Kv rappresentano due matrici di guadagno denite positive. Proiettando la forza si ottiene il primoingresso:

u1 = Fdes zBPer determinare gli altri tre ingressi si deve calcolare l'errore nella rotazione, valutando la matrice di rotazione

desiderata rispetto a quella reale:

zB, des =Fdes|Fdes|a questo punto si implementa la stessa procedura fatta in precedenza per ricavare la matrice di rotazione:

xC, des = {cosT , sinT , 0}T

yB, des =zB, des xC, des|zB, des xC, des|

xB, des = yB, des zB, desWRB, des =

[xB, des yB, des zB, des

]sempre secondo l'ipotesi di non giungere a singolarit (|zB, des xC, des| 6= 0). A questo punto si valuta l'erroresulle rotazioni mediante la vee-map:

er =1

2

[WRTB, des

WRB W RTB WRB, des]

=

=1

2[A]

=

1

2a[1,2]

1

2a[1,3]

12a[2,3]

Per quanto riguarda l'errore delle velocit angolari, queste risultano essere la dierenza tra la velocit angolare

desiderata e la attuale velocit di assetto nel sistema di riferimento del corpo, valutata a partire dalla funzione

h (eq.: 2.15):e = BW BW, desI restanti tre input sono:

{u2, u3, u4}T = Kr er K econ Kr e K matrici di guadagno diagonali.La analisi del modello di controllo, in feedback con matrici di guadagno, si ferma qui. Si tenga conto che il

sistema deve essere tarato in funzione delle caratteristiche dinamiche del sistema (denite anche dalla geometria

nale del telaio). Nell'allegato 5.3, possibile vedere una implementazione in Simulink del sistema di controllo

[8].

Un ulteriore step andrebbe fatto per la modellazione della risposta del motore all'ingresso in corrente (i = i(t, I)),che attualmente non stata eettuata.



2.2 Scegliere il telaio

Il problema fondamentale a cui vogliamo rispondere : come scegliere il telaio date alcune dimensioni di massima?

Partiamo quindi con un problema di ottimizzazione analitica secondo alcune ipotesi preliminari:

peso iniziale approssimato a 2 kg (1 kg di drone + 1 kg di carico supplementare);

telaio in alluminio, quindi si ipotizza una densit = 2700 kg/m3, un modulo elastico E = 69GPa ecarico di snervamento Y = 120MPa. Si escluso a priori il frame in acciaio per problemi legati allainstabilit dell'equilibrio;

congurazione delle componenti come segue:

batteria: 3S1500 20C

motore: Turnigy Aerodrive SK3 (diretto)

ESC: HobbyWing 10A

propulsore: 8 4.5 APC propellers in bra di carbonio (2 CW + 2 CCW )

Da tali parametri si pu fare una stima di massima , mediante software di simulazione specici [7] della velocit

che pu raggiungere il drone in funzione della massima corrente assorbibile dal comparto elettronico scelto (max

burst current), sulla base di una equivalenza energetica (il modello quindi non fornisce altre analisi dinamiche:

dalla massima energia si ottiene la massima energia cinetica dato il peso del modello, in funzione del rendimento

del blocco batteria - esc - motore - propulsore, misurati sperimentalmente). La stima, nel nostro caso si avvicina

ai 57 km/h 15.83m/s.Analizziamo una congurazione di volo, per la quale la soluzione delle equazioni del moto risulta essere parti-

colarmente semplice ma anche molto stressante per il telaio: la congurazione di volo verticale vede infatti il

gruppo di propulsione esprimere la massima forza verticale e il massimo momento resistente al frame.

Dalle equazioni di moto in steady state (d()/dt = 0) otteniamo la forza necessaria per mantenere in volostazionario il drone:

0 = lim{,,}0

(mg zW + u1zB) = mg zW + u1zWu1 = mg

FT, i =1

4mg = 4.905N i = [1..4]

Considerando che, secondo la scheda tecnica della batteria, questa pu fornire la massima corrente di burst per

un periodo massimo di 5 s prima di deteriorare irreversibilmente le celle, possiamo ipotizzare una traiettoria dirisalita da 0m/s a 15.83m/s di terzo ordine:

z(t) = a t3 + b t2 + c t+ d

risolvendo il sistema: z(0) = 0z(0) = 0z(5) = 15.83z(5) = 0

a = 0.253m/s4b = 1.900m/s3

c = 0m/s2

d = 0m/s

derivando la soluzione rispetto ai parametri si ottiene una funzione di forza:

FT, i =1

4(mg +m z(t)) =

= 0.38 t2 + 1.90 t+ 4.905NValutiamo il valore massimo di forza e il momento in cui si esprime:

dFT, idt

= 0 {t = 2.5 s, F = 7.28N}



Andiamo a denire adesso quello che il momento massimo del propulsore. Il rapporto tra il coeciente di

spinta e il coeciente di resistenza ci permette di ottenere direttamente questo valore, dalla inversione delle

equazioni 2.3 e 2.4:

1

22i =

FT, ikf

=MD, ikm

MD, i = kmkf

FT, i

Sebbene il valore di questo rapporto sia variabile tra 1/10 e 1/3 in funzione del propulsore scelto, ed andrebbevalutato mediante prove sperimentali, non avendo questa possibilit, per il worst-case-scenario scegliamo il

valore di massima sollecitazione pari a 1/3.

Forza: FT, i [N ] Coppia: MD, i [N mm]

Minimo 4.905 1635Massimo 7.280 2427

Tabella 2.2.1: Sollecitazione dal gruppo di propulsione

Il campo operativo del motore si estende tra i 5000 rpm ai 12000 rpm, che implica forzanti armoniche nell'in-tervallo dai 523Hz ai 1257Hz .Si imposta su questa analisi il problema di minimizzazione analitico: minimizzare il peso di un telaio,

modellato come trave incastrata soggetta a essione e carico verticale, secondo il vincolo di spostamento e di

sforzo massimo.

Si imposta il problema come minimizzazione vincolata con moltiplicatori KKT. I parametri di minimizzazione

sono strettamente correlati al tipo di sezione possibile tra quelle esistenti in commercio. Per:dj = dj(a1, ..., an)Aj = A(a1, ..., an)Jx, j = Jx, j(a1, ..., an)Jy, j = Jy, j(a1, ..., an)

con {a1, ..., an}j set di parametri che identica la sezione j, si esprime il problema di minimizzazione comesegue:

minimizzare mj = LAj

soggetto a umax (

1

3

P L3

E Jx, j

)2+

(1

2

M L2

E Jy, j

)2 0

max dj(

P L

Jx, j

)2+

(M

Jy, j

)2 0

j(a1, ..., an) 0dove j() rappresenta un vettore di vincoli sulla forma della sezione. Inne il risultato nale m sar:

m = min(mj , j = 1, ..., h)

Si denisce la lagrangiana come segue:

L (a1, ..., an, 1, ..., m+2) = LAj +

1umax

(1

3

P L3

E Jx, j

)2+

(1

2

M L2

E Jy, j

)2+2

max dj(

P L

Jx, j

)2+

(M

Jy, j

)2+

mk=3

kj, k2



il cui minimo si ricava dalla soluzione del sistema:

aL = 0

1

umax (

1

3

P L3

E Jx, j

)2+

(1

2

M L2

E Jy, j

)2 = 02

max dj(

P L

Jx, j

)2+

(M

Jy, j

)2 = 0kj, k2 = 0 k = [3..m]

umax (

1

3

P L3

E Jx, j

)2+

(1

2

M L2

E Jy, j

)2 0

max dj(

P L

Jx, j

)2+

(M

Jy, j

)2 0

j(a1, ..., an) 0k 0 k = [1..m]

A livello computazionale, questo metodo particolarmente pesante, perch richiede la soluzione di sistemi di

equazioni anche piuttosto ampi. In questo caso stato testato su due sezioni relativamente semplici, particolar-

mente sfruttate per la realizzazione di telai per quadrotteri: la sezione circolare cava e la sezione rettangolare.

Di seguito i parametri di ottimizzazione e la tabella con la soluzione:



Di

De

b

h

s

j 1 2

a {De, Di} {b, h, s} perh = b

A piD2e D2i

4b h (b s) (h s)

Jx piD4e D4i

64

b h3

12 (b s) (h s)

3

12

Jy piD4e D4i

64

b3 h

12 (b s)

3 (h s)12

d De/21

2

h2 + b2

DeDiDe Di

0

bhsb 2 sh 2 s

0

Tabella 2.2.2: Sezioni

Di seguito i risultati:

Sezione circolare Sezione rettangolare

Risultato parametro

De = 8.45mmDi = 0mm

b = 8.79mmh = bs = 0.67mmFunzione obbiettivo m = 45.42 g m = 25.23 g

Tabella 2.2.3: Risultati

Dal risultato della ottimizzazione

4

, si scelto di utilizzare il Wartox Frame, come elemento di studio, le cui

caratteristiche gemometriche sono in appendice. Il lato della barra ha una altezza minore, ma uno spessore

maggiore.

4

Si ammette che il risultato della sezione circolare ha lasciato perplesso chi scrive, ma risulta essere anche l'unica soluzione che

rispetta i vincoli imposti dai moltiplicatori 0



2.3 Le analisi da svolgere

Sulla base di quanto abbiamo appena detto, ecco le analisi che verranno approfondite:

Analisi del modello non ottimizzato.

Si esegue una analisi statica di una parte del modello, considerando sia la simmetria che il contatto tra

il braccio e la piastra centrale, mediante diverse formulazioni. La analisi del contatto verr utilizzata

per approndire la condizione di vincolamento, al ne di valutare se possibile sostituire al contatto una

approssimazione che ci consenta di avere sfruttare per le simulazioni successive un modello lineare. La

valutazione del modello viene fatta a partire di altri modelli semplicati di tipo beam. Inne si mostra

un modello di trave solida, lineare.

A seguire della analisi statica, si aettua una analisi modale, al ne di avere una indicazione delle frequenze

naturali del modello da confrontare con la versione ottimizzata.

La analisi armonica nel campo operativo delle frequenze del gruppo propulsore ci permetter di capire la

risposta del sistema rispetto alla eccitazione del motore.

eettuata una analisi di Inertial Relief. Si tratta di una analisi statica, eettuata a diversi timestep,

dove le forze applicate al telaio sono controbilanciate con l'eetto inerziale ai vincoli, al ne di simulare

una sorta di risposta dinamica che discende dal principio di d'Alambert (F ma = 0).

Analisi del modello ottimizzato

Si esegue una analisi statica, mediante un modello importato da modellatore solido, al ne di vericare

che lo spostamento della versione ottimizzata non sia eccessivo.

Alla analisi statica segue una analisi modale. I modi di vibrari estratti dal modello a minor massa sono

messi a confronto con il modello non ottimizzato.

Si esegue una analisi armonica nel campo di frequenze operative del motore, per vericare la risposta del

modello ad eventuali forzanti date dallo sbilanciamento dei propulsori.


Capitolo 3

Analisi FEM del telaio

3.1 Analisi del modello non ottimizzato

3.1.1 Analisi preliminare - BEAM188

Analisi statica

Ci concentriamo su un primo modello a travi, molto semplice. Tutta la struttura espressa sotto forma di

travi BEAM188, e il vincolamento stato eettuato per mezzo di elementi MPC184, ch simulano la rigidezzamolto pi elevata dell'acciaio delle viti di collegamento. Ne valutiamo lo spostamento massimo, e cerchiamo la

convergenza. L'elemento BEAM188 ci permette di denire delle sezioni preintegrate, che garantiscono una certacorrispondenza tra il modello e l'oggetto reale, sgravendo notevolmente il carico computazionale. Il modello

quello presentato nella immagine sottostante:

X

Y

Z

X

Y

Z

Figura 3.1.1: Modello BEAM188

visualizzando anche le sezioni preintegrate:

21


M0

X

Y

ZX

Y

Z

Figura 3.1.2: Visualizzazione delle sezioni pre-integrate

La prima analisi che viene eettuata su questo modello una analisi statica, nella quale si fa uso della simmetria

della struttura per abbassare l'onere di calcolo. La simmetria viene mantenuta garantendo la traslazione lungo

la normale alle ali della piastra centrale. Al ne di ottenere una matrice delle rigidezze non singolare, viene

vincolato il punto interno del cerchio centrale rispetto all'asse libero. Sebbene un modello denito con queste

condizioni al contorno non rispecchi quelle di un corpo libero, questa situazione molto simile a quello che

si viene a vericare nel telaio entro l'intervallo di tempo necessario alle tensioni per giungere dai punti di

applicazione della forza alla zona vincolata. Sebbene questa condizione di carico non si verichi mai, perch

le onde di tensione viaggiano alla velocit di propagazione del suono nell'alluminio, raggiungendo il centro

ben prima che la dinamica del blocco propulsivo ci permetta di raggiungere la massima spinta, la simulazione

presenta comunque un worst-case scenario. Inne, la simulazione potrebbe essere paragonata al tentativo di

sollevamento del drone nel caso di un carico centrale troppo elevato. Queste considerazioni valgono sia per il

modello appena presentato che per i prossimi.

X

Y

Figura 3.1.3: Vincolamento del modello

Andiamo ora ad eseguire lo script 5.4, nel quale sono state abilitate le seguenti ags per la analisi statica:

! >>>> FLAGS


VINCOLI = 1VINCOLI2 = 1FORZA = 1TorqueARM = 0FORZAIn = 0INERZIA_MOTORE = 1STATICO = 1INERTIALREL = 0MODALE = 0ARMONICA = 0INREL_FORCE = 0! >>>> FLAGS


5.00378

5.0038

5.00382

5.00384

5.00386

5.00388

5.0039

5.00392

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

um

ax [

mm

]

delemento [mm]

Convergenza umax

Figura 3.1.5: Convergenza del risultato di spostamento. Notare la diminuzione della pendenza della retta da destra verso

sinistra.

che risulta essere in linea con quanto abbiamo calcolato analiticamente. Lo spostamento risulta essere il

principale vincolo di ottimizzazione che dovremo tenere in considerazione anche sul modello modicato.

PLOT NO. 1NODAL SOLUTIONSTEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =5.00379 SMN =.003328 SMX =5.00379

1112

13

X

Y

Z

Modello BEAM188 - Mesh = 0.25 [mm]

Figura 3.1.6: Struttura deformata

Analisi modale e analisi armonica

Per la analisi modale non importante impostare i carichi, ma importante impostare le condizioni al contorno

e le eventuali masse. Nel nostro caso si impone la presenza di una massa iniziale data dal motore in punta alla



trave, con le seguenti caratteristiche:

Baricentro m = 34 g

0011

mm

Momenti di inerzia P =

266326632948

gmm2 1 0 00 1 0

0 0 1

Tabella 3.1.2: Caratteristiche inerziali del motore, ripetto al piano di appoggio sulla trave

3

28

34

11

{mM, PMx, PMy, PMz}

x

y

z

Figura 3.1.7: Propriet inerziali del motore

La analisi modale estrae una serie di modi di vibrare in funzione delle condizioni al contorno. Il sistema

modellato senza smorzamento, anche se il contatto tra i plates e il braccio sicuramente una fonte di attenua-

zione, ma non si hanno sucienti dati sperimentali per poterlo stimare. Per ottenere una soluzione modale

necessario impostare le seguenti ag all'interno dello script:

! >>>> FLAGS > FLAGS


(u2x,mot + u

2y,mot + u

2z,mot

)0.5e la rotazione massima della normale di propulsione

(R2x,mot +R

2y,mot

)0.5im-

pressi dai modi di vibrare sul baricentro del motore. Questo ci fornisce una idea della condizione nale in cui

si verr a trovare il vettore di spinta.

0

20

40

60

80

100

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000

um

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi modale umotore

mesh = 2

mesh = 1.5

mesh = 1

mesh = 0.5

mesh = 0.25

Figura 3.1.8: Modi di vibrare, spostamento del nodo rappresentativo del motore, per diversi valori della variabile mesh

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000

Ro

t moto

re [

]

[Hz]

Analisi Modale Rotmotore

mesh = 2

mesh = 1.5

mesh = 1

mesh = 0.5

mesh = 0.25

Figura 3.1.9: Modi di vibrare, rotazione del nodo rappresentativo del motore, per diversi valori della variabile mesh



Possiamo eseguire la analisi sia con matrice lumped che con matrice consistent. Le due formulazioni presentano

un errore che tende a divergere all'aumentare del numero di frequenze naturali ricercate.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

0 20 40 60 80 100

[

Hz]

Substep

Comparazione tra formulazione Lumped e Consistent

media

consistent

lumped

Figura 3.1.10: Dierenza dei modi estratti tra la formulazione lumped e la formulazione consistent

Ultimo passo una analisi armonica, all'interno delle frequenze operative del motore, applicando delle forzanti

armoniche simili a quelle che verrebbero generate dallo sbilanciamento del propulsore. Notiamo la presenza di

alcuni picchi di risonanza, che a causa della mancanza di smorzamento risultano essere molto elevati. Per fare

la analisi armonica le ag dello script devono essere aggiustate come segue:



0

20

40

60

80

100

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

um

ax [

mm

]

t [s]

Analisi Armonica umax

mesh = 2

mesh = 1.5

mesh = 1

mesh = 0.5

mesh = 0.25

Figura 3.1.11: Risposta armonica nel punto di massima essione

0

20

40

60

80

100

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

um

oto

re [

mm

]

t [s]

Analisi Armonica umotore

mesh = 2

mesh = 1.5

mesh = 1

mesh = 0.5

mesh = 0.25

Figura 3.1.12: Risposta armonica nel centro di massa del motore: spostamento



0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

Ro

t moto

re [

]

t [s]

Analisi Armonica Rotmotore

mesh = 2

mesh = 1.5

mesh = 1

mesh = 0.5

mesh = 0.25

Figura 3.1.13: Risposta armonica nel centro di massa del motore: rotazione

Il motivo per cui non si stressa tanto la quanticazione del valore di smorzamento semplice: potendo appros-

simare concettualmente la dinamica strutturale ad una qualche forma di modello a poli complessi coniugati, lo

smorzamento non cambia la frequenza a cui si assiste al fenomeno di risonanza della struttura, ma solamente

la forma e la magnitudine di tale picco.

Inertial relief del modello

Quella che viene presentata qui una tecnica particolare per applicare il principio di d'Alambert alla struttura,

facendo uso di una analisi statica e del comando IRLF, mediante il quale siamo in grado di determinare laaccelerazione nel centro di massa del corpo, al ne di ottenere una sorta di simulazione dinamica, senza fare uso

di un vero e proprio risolutore dinamico.



X

Y

Z

X

Y

Z

Modello BEAM188 - IRLF

PLOT NO. 1PLOT NO. 1FM

FM

Figura 3.1.14: Modello completo. In alto a sinistra il particolare di vincolamento

Il nostro modello manca delle caratteristiche inerziali degli elementi al corpo centrale, quali la batteria e la

elettronica di controllo, quindi i fattori di accelerazione devono essere scalati rispetto al peso teorico del modello,

che abbiamo supposto attorno i 2 kg:

F m (a+ g) = 0{F mtel (atel + g) = 0F mqdc (aqdc + g) = 0

aqdc =mtelmqdc

(atel + g) g

Inoltre usiamo le equazioni ricavate nella sezione 2.2, per valutare i risultati di questo tipo di simulazione. La

simulazione con inertial relief si ottiene applicando le seguenti ags allo script:



presentiamo un po' di elaborazione dei dati, solamente lungo l'asse z. L'integrazione numerica eettuatamediante metodo dei trapezi.

t ztel zqdc zqdc zqdc zTEORqdc z

TEORqdc

0.25 85.671 0.899 0.112 0.014 0.90 0.11

0.50 92.129 1.706 0.438 0.083 1.71 0.44

0.75 97.827 2.418 0.954 0.257 2.42 0.96

1.00 102.77 3.036 1.635 0.580 3.04 1.65

1.25 106.94 3.558 2.460 1.092 3.56 2.47

1.50 110.36 3.985 3.402 1.825 3.99 3.42

1.75 113.02 4.318 4.440 2.805 4.33 4.46

2.00 114.92 4.555 5.549 4.054 4.56 5.58

2.25 116.06 4.698 6.706 5.586 4.71 6.74

2.50 116.44 4.745 7.886 7.410 4.76 7.92

2.75 116.06 4.698 9.066 9.529 4.71 9.11

3.00 114.92 4.555 10.223 11.940 4.57 10.27

3.25 113.02 4.318 11.332 14.635 4.33 11.38

3.50 110.36 3.985 12.370 17.597 4.00 12.43

3.75 106.94 3.558 13.313 20.808 3.58 13.38

4.00 102.77 3.036 14.137 24.239 3.06 14.21

4.25 97.827 2.418 14.819 27.858 2.44 14.90

4.50 92.129 1.706 15.334 31.627 1.73 15.42

4.75 85.671 0.899 15.660 35.502 0.93 15.75

Errore medio % 0.5198% 0.6554%

Tabella 3.1.3: Elaborazione risultati dell'inertial relief, lungo l'asse di accelerazione

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

az [

m/s

2]

Err

ore

[m

/s]

t [s]

Accelerazione del telaio

ANSYS solver

Teorico

Errore

Figura 3.1.15: Accelerazione



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1v

z [

m/s

]

Err

ore

[m

/s]

t [s]

Velocita del telaio

ANSYS solver

Teorico

Errore

Figura 3.1.16: Velocit

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

s z [

m]

Err

ore

[m

]

t [s]

Posizione del telaio

ANSYS solver

Teorico

Errore

Figura 3.1.17: Spostamento

L'idea di questo metodo quella di riutilizzare la accelerazione ottenuta al baricentro e riapplicarla agli elementi

per capire lo stato tensionale del corpo in funzione delle forze esterne e delle forze inerziali, facendo agire il

sistema come un corpo libero. Pu essere comodo valutare questa situazione per t = 2.50 s, quando forzaapplicata e accelerazioni sono massime. Impostiamo le ag dello script come segue:



X

Y

Z

Mode

llo

SHEL

L281

:CON

TA17

4:TA

RGE1

70

PLOT NO. 1

ELEMENTS

U F M CP

Figura 3.1.18: Modello SHELL181:CONTA174:TARGE170



Ref_H

Ref_E

Ref_B

Ref_CRef_D

Ref_A

Ref_GRef_F

X

Y

Z

PLOT NO. 1UFMCP

X

Y

Z

PLOT NO. 1UFMCP

Figura 3.1.19: Inttimento del reticolo di elementi

Andando a compiere la soluzione, troviamo l'andamento di convergenza della soluzione in funzione del parametro

di dimensioni elemento mesh.

mesh [mm] utot,max [mm]

2.5 5.502283.75 5.507417.5 5.50495

Tabella 3.1.5: Valori di convergenza sullo spostamento



5.4

5.42

5.44

5.46

5.48

5.5

5.52

5.54

5.56

5.58

5.6

2 3 4 5 6 7 8

um

ax [

mm

]

delemento [mm]

Convergenza umax

Figura 3.1.20: Convergenza dello spostamento

Le posizioni in cui si chiude il contatto possono essere visualizzate in gura 3.1.21:

XY

Z

XY

Z

Modello SHELL281:CONTA174:TARGE170

PLOT NO. 1 PLOT NO. 1NODAL SOLUTION NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =3TIME=1CONTSTAT (AVG)RSYS=0DMX =.142382SMN =1SMX =2.5

STEP=1SUB =3TIME=1CONTSTAT (AVG)RSYS=0DMX =.142382SMN =1SMX =2.5

CP CP

Figura 3.1.21: Visualizzazione della chiusura di contatto, a sinistra il contatto superiore e a destra il contatto inferiore.

Attenzione alla direzione del riferimento.

Lo spostamento ottenuto maggiore rispetto a quello delle simulazioni precedenti, di circa 10%, decisamente unvalore non trascurabile. Chi scrive pensa che questo possa essere dovuto allo scorrimento relativo tra piastre e



corpo centrale e della deformazione della piastra. Qui necessario fare una ulteriore ipotesi: al nostro risultato

di spostamento verr aggiunto uno spostamento di circa 0.5mm, derivato dallo scorrimento relativo eviden-ziato da questa analisi. I prossimi modelli tridimensionali che verranno presentati non potrebbero raggiungere

convergenza in tempi accettabili senza questa ipotesi, ed imposibile analizzare il modello ottimizzato senza

passare ad una formulazione tridimensionale, a causa della sua particolare geometria.

Lo studio di convergenza di questo modello potrebbe essere eettuato mediante l'utilizzo delle ag di inttimento.

Sono state aggiunte procedure di inttimento della mesh per tutti quei punti in cui si presentavano tensioni

particolarmente localizzate, come i punti di vincolamento tra piastra e trave, i raggi di raccordo e la linea di

ne contatto. Applicando queste ag, il tempo computazionale aumenta considerevolmente.

umax,BEAM umax, contatto u%

5.00379 5.50228 9.28 %

Tabella 3.1.6: Spostamento del modello BEAM188 e del modello di contatto

3.1.3 Analisi di un modello tridimensionale - SOLID186

Andiamo a validare i risultati ottenuti nora con un modello leggermente pi complicato, che usi elementi 3D

e una mesh strutturata. Il modello caratterizzato dala sola trave centrale, vincolata tra le due piastre. I

carichi sono applicati come gi spiegato in precedenza. Anche di questo modello si eettua lo studio statico,

modale e armonico. Il modello ha un alto numero di nodi, ed esige un carico computazionale piuttosto elevato,

presenta inoltre il problema della singolarit nella zona di applicazione del carico. Si nota infatti che nei punti

in cui il modello si collega con gli elementi MPC184, questi portino ad una eccessiva deformazione gli elementiSOLID186. Chi scrive si aspettava questa situazione e pensa che la presenza di singolarit potrebbe essereevitata andando a riformulare il collegamento, ma anche che l'errore numerico si disperda molto rapidamente

nell'intorno del punto di collegamento, e che quindi la soluzione generale non sia eccessivamente modicata da

questa singolarit. Rimane ovvio che le soluzioni di tensione in quell'intorno siano da considerare inutilizzabili.

Se si prende come riferimento il punto di vincolamento della piastra, l'errore numerico stato risolto utilizzando

i nodi che facevano parte delle aree del foro. Per il punto di applicazione della immagine 3.1.24 ci non

era possibile, in quanto il ponte di elementi MPC184 stato usato anche per trasmettere il carico inerzialedell'elemento di massa MASS21 che rappresenta il motore.

Modello BEAM186 - Particolare MESH

PLOT NO. 1FM

Figura 3.1.23: Particolare della mesh



X

Y

Z

Modello BEAM186

PLOT NO. 1

F M

Figura 3.1.22: Modello SOLID186 con mesh strutturata



Modello BEAM186 - Particolare MESH

PLOT NO. 1FM

Figura 3.1.24: Singolarit in soluzione sul collegamento elementi SOLID186 - MPC184. Questo comportamento moltopi evidente nella analisi modale che nella analisi statica, nella quale non visibile una deformazione come quella della

immagine.

Analisi statica

Per ottenere la analisi statica necessario impostare le ags dello script come segue:



X

Y

Z

Modello SOLID186

PLOT NO. 1DISPLACEMENTSTEP=1SUB =1TIME=1DMX =5.39474

Figura 3.1.25: Rappresentazione dello spostamento al carico statico

Analisi modale

La analisi modale si ottiene impostando nella script la ag STATICA = 0 FORZE = 0 e la ag MODALE = 1.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

um

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi modale

umotore

Figura 3.1.26: Rappresentazione dello spostamento in funzione del modo di vibrare

Di seguito la diferenza tra i modi di vibrare del modello BEAM188 e il modello SOLID186. Ovviamente, causala complessit del modello sono stati estratti un numero sensibilmente inferiore di modi di vibrare. Notare che

il confronto regge considerando che il modello a travi contiene una rappresentazione della struttura centrale,

che nel modello tridimensionale non presente. In rigore di questo, e con il fatto che la parte centrale sia

multisimmetrica, possiamo considerare il fatto che alcuni modi di vibrare a stesso valore di frequenza siano

presenti pi volte (4 o pi) nella analisi del modello a travi, e rappresentano punti di simmetria posti in



vibrazione dalla stessa frequenza. La cosa testimoniata anche dall'evidente andamento a gradini della curva

BEAM188 nella immagine 3.1.27.

10

100

1000

10000

100000

0 10 20 30 40 50

0 20 40 60 80 100

Lo

g10(

) [H

z]

N modo di vibrare SOLID186

Confronto frequenze

N modo di vibrare BEAM188

SOLID186

BEAM188

Figura 3.1.27: Distribuzione dei modi di vibrare estratti con il modello BEAM188 e con il modello SOLID186

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

um

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi modale - confronto

umotore SOLID186

umotore BEAM188

Figura 3.1.28: Rappresentazione della risposta allo spostamento del modello BEAM188 e del modello SOLID186, per lostesso intervallo di frequenze



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

um

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi modale - confronto

umotore SOLID186

umotore BEAM188

Figura 3.1.29: Zoom del confronto per il primo intervallo di frequenze. Si nota una certa sovrapposizione della risposta

Analisi armonica

La analisi armonica si ottiene impostando la ag MODALE = 0 e la ag ARMONICA = 1.

La analisi armonica ci d un punto critico operativo, la frequenza di 580Hz, che risulta essere di forte risonanzaper il nostro modello, nel punto di applicazione della spinta. In gura 3.1.33 si rappresenta anche la forma di

una delle deformate di risonanza.



0

1

2

3

4

5

6

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

um

ax [

mm

]

[Hz]

Analisi armonica - umax

Modello SOLID186

Figura 3.1.30: Analisi armonica: risposta forzante dell'apice

0

1

2

3

4

5

6

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 0

10

20

30

40

50

60

70

uM

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi armonica - uMotore

Modello SOLID186

Modello BEAM188

Figura 3.1.31: Analisi armonica: risposta forzante spostamento del motore. Confronto tra modello SOLID186 e BEAM188



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5R

ot M

oto

re [

mm

]

[Hz]

Analisi armonica - RotMotore

Modello SOLID186

Modello BEAM188

Figura 3.1.32: Analisi armonica: risposta forzante rotazione del motore.Confronto tra modello SOLID186 e BEAM188

X

Y

Z

Modello SOLID186 - Spostamento in risonanza

PLOT NO. 1

Figura 3.1.33: Analisi armonica: forma della deformata in risonanza

Risulta essere abbastanza evidente uno spostamento verso le basse frequenze dei picchi di risonanza. Questo

probabilemente causato dalla riduzione di rigidezza della sezione., che nel modello tridimensionale si comporta

in maniera elastica, mentre nel modello a travi preintegrata in forma rigida. Considerando a livello concettuale

k

m

poich in questo modello assistiamo ad una riduzione della k, quando lam resta pressocch invariata, ci saremmodovuti aspettare uno spostamento verso le basse frequenze degli autovalori della struttura.



3.2 Modello ottimizzato - SOLID187

Passiamo nalmente alla analisi del modello ottimizzato. Abbiamo visto che lo spostamento risultato nora

inferiore al limite dell'5 % (al di sopra del quale la ipotesi di linearit non pu essere pi considerata valida),possiamo permetterci di diminuire la massa del modello operando sulla sua geometria. Senza reinventare la

ruota, i sistemi di sollevamento sono un ottimo spunto per la soluzione di questo problema. Prendendo l'esempio

della gru a traliccio, che lavora a essione come il nostro braccio, possiamo pensare che l'introduzione di una

sorta di struttura reticolare, fresando le facce laterali della barra, possa essere una strategia vincente. Le facce

superiori e inferiori, che supportano il carico del forte momento ettente introdotto dal gruppo di propulsione,

sono mantenute intatte. Confrontando le masse del modello:

mNormale [g] mOttimizzato [g] m%

17.38 14.93 14.1 %

Tabella 3.2.1: Confronto tra massa prima e dopo la ottimizzazzione

Lo script completo presentato in sezione 5.7.2. Il disegno tecnico quotato esposto come allegato in gura

5.7.1. In questo caso, a dierenza delle analisi precedenti, deniamo direttamente il modello sotto forma

di Parasolid geometrical modeling kernel mediante un modellatore solido (SolidWorks2013), che ci permettedi importarla direttamente nella fase di preprocessing del problema. Il kernel generato presenta dei piccoli

problemi nei semicerchi, che devono essere spezzati in due linee, anch il mesher automatico di ANSY S13.0

possa generare la free mesh del modello. L'utilizzo di una free mesh spiega l'utilizzo degli elementi SOLID187, dinatura tetraedrica ed adatti a questa particolare procedura. Nello script si pu modicare la dimensione media

dell'elemento attraverso la solita variabile mesh. Sono state implementate alcune procedure di renement neipunti critici della struttura.

Modello SOLID187 - Particolare della mesh - mesh = 1.00

PLOT NO. 1UFM

Modello SOLID187 - Particolare della mesh - mesh = 0.25

PLOT NO. 1

Figura 3.2.2: Particolare della mesh del modello SOLID187. Dierenze tra la mesh con parametro mesh = 1.00 (asinistra) e mesh = 0.25 (a destra)



X

Y

Z

PLOT NO. 1

Figura 3.2.1: Mesh



Analisi statica

7.28

7.29

7.3

7.31

7.32

7.33

7.34

7.35

7.36

7.37

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

um

ax

mesh [mm]

Convergenza statica

Figura 3.2.3: Convergenza della analisi statica

Anche in questo caso il graco da leggersi da destra verso sinistra. La diminuzione della pendenza della retta

ci lascia supporre l'avvicinarsi ad una condizione di convergenza. Andiamo a confrontare i dati di spostamento

nel modello ottimizzato e nel modello di partenza:

umax, SOLID umax,OPT u%

5.39474 7.36971 36.6 %

Tabella 3.2.2: Confronto dello spostamento nel modello iniziale e nel modello ottimizzato

umax, SOLID umax,OPT u%

5.39474 + 0.50 7.36971 + 0.50 = 7.86971 33.5 %

Tabella 3.2.3: Confronto dello spostamento nel modello iniziale e nel modello ottimizzato, corretti rispetto allo

spostamento

L = 250mm umax [mm] %

SOLID186 5.89474 2.35 %SOLID187 7.86971 3.14 %

Tabella 3.2.4: Eetto sulla struttura della ottimizzazione



Analisi Modale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

um

oto

re

[Hz]

Analisi modale

uMotore

Figura 3.2.4: Risposta della struttura

Il graco della immagine 3.2.7 eloquente. La struttura indebolita dal punto di vista della rigidezza e si

assiste quindi ad un abbassamento delle frequenze dei modi di vibrare. Questo sar particolarmente importante

nella analisi armonica.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000

uM

oto

re

Analisi modale: confronto uMotore

uMotore

SOLID187

uMotore

SOLID186

Figura 3.2.5: Confronto tra l'analisi modale del modello SOLID187 e SOLID186



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

uM

oto

re

Analisi modale: confronto uMotore

uMotore

SOLID187

uMotore

SOLID186

Figura 3.2.6: Confronto tra l'analisi modale del modello SOLID187 e SOLID186. Zoom sulle prime frequenze

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

[

Hz]

N

Comparazione tra modi del modello iniziale e ottimizzato

SOLID187

SOLID186

Figura 3.2.7: Confronto tra le frequenze del modello SOLID187 e SOLID186



0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

[H

z]

Err

ore

[H

z]

N

Comparazione tra formulazione Lumped e Consistent

Consistent

Lumped

Medio

Errore

Figura 3.2.8: Confronto tra le frequenze naturali del modello con matrice di massa Lumped e matrice Consistent

Risposta armonica

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

um

ax

[Hz]

Risposta armonica - umax

Figura 3.2.9: Risposta armonica del nodo all'apice della struttura



0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

um

oto

re

[Hz]

Risposta armonica - umotore

Figura 3.2.10: Risposta armonica del baricentro del motore (spostamento)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

Ro

t moto

re

[Hz]

Risposta armonica - Rotmotore

Figura 3.2.11: Risposta armonica del baricentro del rotore (rotazione)



0

1

2

3

4

5

6

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

um

oto

re

[Hz]

Risposta armonica - umotore

Modello SOLID187

Modello SOLID186

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

Rot m

oto

re

[Hz]

Risposta armonica - Rotmotore

Modello SOLID187

Modello SOLID186

Figura 3.2.12: Confronto tra le risposte armoniche del motore del modello SOLID187 e SOLID186

Il confronto presente nella immagine 3.2.12, che ci mostra la risposta armonica del modello SOLID186 rispettoal modello SOLID187, illustra la completa sparizione dei picchi di risonanza, che sono passati a frequenzeinferiori rispetto al range di frequenze operative del motore. Questa situazione discende direttamente dalla

diminuzione delle frequenze che rappresentano gli autovalori della struttura, e anche in questo caso si pu

supporre che la causa di questo fenomeno sia una riduzione della rigidezza della struttura in forma maggiore

rispetto alla riduzione della massa, come gi visto nella analisi modale della sezione SOLID186.

Un problema di tensioni

La analisi no a qui sempre stata condotta tenedo conto dello spostamento massimo, che rappresenta il

primo vincolo che veniva ad attivarsi nei primi modelli analitici; ma con questo ultimo modello non possiamo

sottovalutare che le zone di intaglio agiscano come zone di concentrazione dello sforzo. Compiamo nuovamente

la analisi per i modelli tridimensionali, e i risultati son presentati medianti i graci di gura 3.2.13 e 3.2.14.

Nella immagine 3.2.14 evidente che nella zona a maggiore essione, prima del contatto, le tensioni sono

eccessive e potrebbero portare a deformazione plastica la struttura.

Questo ci porta a concludere che sia necessario un nuovo design.



X

Y

Z

018

3654

7290

108

120

PLOT NO. 1

Figura 3.2.13: Sforzo di Von Mises del modello SOLID186



X

Y

Z

018

3654

7290

108

120

PLOT NO. 1

Figura 3.2.14: Sforzo di Von Mises del modello SOLID187


Capitolo 4

Conclusioni

La ottimizzazione di un pezzo meccanico un processo iterativo, e particolarmente spinoso per chi se ne deve

occupare.

Quando non possibile esplorare lo spazio delle soluzioni mediante metodi strettamente analitici, il processo

diventa una sequenza iterativa di guess and try che dicilemente porta verso il punto di ottimo globale, ma

unicamente verso un ottimo locale.

Superata la fase preliminare di ottimizzazione analitica ed esplorazione del modello di base, ci siamo lanciati

nella esplorazione di una prima soluzione, che per quanto non si possa ritenere come denitiva, ci permette di

esprimere alcune considerazioni molto importanti.

Il modello presentato pu essere considerato come un estremo dello spazio delle possibili soluzioni, che attiva

il vincolo di tensione massima, ma allo stesso tempo ci mostra una ottima risposta in condizioni modali,

indipendenti dal carico applicato, e armoniche, dipendenti da un carico completamente diverso. Questo ci

lascia suppporre che forse la prima ipotesi non si mossa nella direzione sbagliata, e che oltre ad esser eun

punto di ottimo rispetto al tempo di volo, la riduzione di massa porti anche ad un ottimo strutturale rendendo

robusto il telaio rispetto alla sollecitazione armonica del motore. In pratica siamo arrivati a stabilire il problema

in una ottica nuova, che potrebbe essere sintetizzata con il seguente schema:

Spazio delle soluzionim, umax

Modello iniziale Modello SOLID187

Ottimizzazione

armonica

elastic

elastic

plastic

plastic

Ottimizzazione

tensioni

Figura 4.0.1: La ricerca delle soluzioni

Alla base di tutto questo c' una analisi ad elementi niti, che sore evidentemente della inesperienza di chi

ha scritto il codice APDL, seppur sia stata eettuata con un software il cui valore riconosciuto a livello

internazionale e siano stati seguiti il pi possibile i manuali forniti con tale software.

In particolare la analisi di contatto, nonostante sia la simulazione sulla quale chi scrive ha concentrato la maggior

parte dei propri sforzi, risulta essere la pi instabile e poco propensa a dimostrare la convergenza. Si riscontra

una zona di singolarit nella linea estrema di ne contatto tra i plates e la trave centrale, che nonostante

l'inttimento continua ad essere di forte unicit nonostante l'inttimento del reticolo. Ancora una volta,

probabile che il problema sia esclusivamente di chi scrive e della sua inesperienza, ciononostante si scelto

di non approfondire le soluzioni ottenute mediante questo modello, proprio perch non si stati in grado di

55


appurare la correttezza delle soluzioni, optando invece per un valore correttivo medio da utilizzare sugli altri

modelli.

In denitiva, chi scrive ha molto apprezzato la opportunit di testare direttamente le potenzialit di una analisi

FEM, ma ha anche capito quanto sia fondamentale aancare, se possibile, a tale modellazione una sessione

di prove sperimentali che possano testimoniare fuori di ogni dubbio la eventuale correttezza delle soluzioni, a

prescindere di chi abbia scritto il codice.


Capitolo 5

Allegati

5.1 Indipendenza dierenziale delle accelerazioni angolari

Abbiamo gi dimostrato la indipendenza dierenziale delle accelerazioni:

r = {x, y, z + g}T

per le accelerazioni angolari la cosa si fa leggermente pi complicata. Denito

....

r = a, che rappresenta losbalzo

1

:

m a = u1zB + 2 u1 (BW zB) + u1 (BW zB + BW BW zB) (5.1)

m a zB = u1 + 2 u1(BW zB) zB =0

+ u1

(BW zB) zB =0

+ (BW BW zB) zB

= u1 + u1 (BW BW zB) zBu1 = m a zB u1 (BW BW zB) zB sostituire nella 5.1m a = (m a zB u1 (BW BW zB) zB) zB +

+2 u1 (BW zB) + u1 (BW zB + BW BW zB)m a

u1=

1

u1((m a zB u1 (BW BW zB) zB) zB) +

+2u1u1

(BW zB) + (BW zB) + (BW BW zB)

BW zB = h =m a

u1 1u1

((m a zB u1 (BW BW zB) zB) zB) + (5.2)

2 u1u1

(BW zB) (BW BW zB)

Non assolutamente banale vedere la proiezione delle velocit angolari sul piano orizzontale del corpo del

quadrottero, ma la relazione precedente ci garantisce la propriet di dientially atness che fondamentale per

il controllo.

1

Lo sbalzo la derivata dello strappo, meglio conosciuto in letteratura come snap, derivata di quarto ordine dello spostamento.

Se si volesse approfondire ulteriormente il controllo in traiettoria del quadcopter, si potrebbe dimostrare che questa deve essere

ottimizzata rispetto a questo componente di traiettoria.

57


5.2 Gli elementi del quadcopter

APC

Pro

pe

ller 8

"x4.

5"

Batt

eria

- 3S

1500

20C

Ele

ttro

nic

a -

Co

ntro

ller

ESC

- H

ob

byw

ing

10A

Turn

igy

Ae

rod

rive

SK3

Wa

rto

x Fr

am

e

Figura 5.2.1: Quadcopter, assemblato



5.3 Modello Simulink del sistema di controllo

Figura 5.3.1: Master Model



Figura 5.3.2: Subsystem Quadcopter



Figura 5.3.3: Subsystem Controller



5.4 Allegato modello BEAM188

5.4.1 Disegno Tecnico

Figura 5.4.1: Disegno del telaio Wartox Frame



250

7.50

5

0

17.86

32

226

234

242

M3

B B 7.5

0 1

B-B

Figura 5.4.2: Particolare del braccio



20

13

M3

100

R5

R5 24

R5

15

17

9

1.50

Figura 5.4.3: Particolare dell'elemento di collegamento centrale



5.4.2 Script

! Matteo Ragni - 20132

finish/clear,start,new/title,Modello BEAM188!/filname,line_model7

! >>>> FLAGS > FLAGS > INFITTIMENTO > INFITTIMENTO > Costanti


57 S2B = 9S3B = 13Altezza = 3.75

hrec_h = 7.562 hrec_s = 1

/prep7

! >>>> SELEZIONE ELEMENTI > GEOMETRIA E MESHING


csys,11+jj117 ! Kp

k,100 + ii,0,0,0

k,101 + ii,0, lunC,0k,102 + ii,LunC/sqrt(2),lunC/sqrt(2),0122 k,103 + ii,lunC,0, 0

k,104 + ii,lunE,lunE,0k,105 + ii,lunG,lunG,0k,106 + ii,lunH,lunH,0127

k,107 + ii,0, lunA,0k,108 + ii,lunA,0, 0

k,109 + ii,lunI,lunA,0132 k,110 + ii,lunA,lunI,0

! Linenumstr,line,ii+1larc,101 + ii,102 + ii,100 + ii,lunC137 larc,103 + ii,102 + ii,100 + ii,lunC

l,102 + ii,104 + iil,104 + ii,105 + iil,105 + ii,106 + ii142

l,107 + ii,109 + iil,109 + ii,106 + iil,108 + ii,110 + iil,110 + ii,106 + ii147

! Meshingtype,1mat,1

152 lsel,s,line,,1+ii,2+ii,1secnum,1lmesh,alllsel,all



167 csys,0jj = 1

*enddo

y_csys13 = 17.49747468 ! preso direttamente da SLDWRKS172 local,13,cart,0,y_csys13,0



csys,13

k,50,0,0,0k,51,0,lunJ-lunN,0177 k,52,0,lunJ,0

k,53,0,lunK,0k,54,0,lunK+lunL,0k,55,0,lunK+2*lunL,0182

k,56,0,lunM,0

numstr,line,200*do,ll,50,55,1187 l,ll,ll+1

*enddo

lsel,s,line,,200,205,1type,1192 secnum,4

lmesh,alllsel,all

! Design dellelemento motore197 z_motore = Altezza/2 + hrec_s/2 + 11.0

k,60,0,lunK,z_motorek,61,0,lunK+lunL,z_motorek,62,0,lunK+2*lunL,z_motore

202 numstr,line,300l,53,60l,55,62l,60,61l,62,61207 lsel,s,line,,300,303,1

type,2lmesh,allallsel,allcsys,0212

! >>>> DEFINIZIONE DELLE CONDIZIONI DI VINCOLAMENTO


csys,0232 *endif

*if,VINCOLI2,eq,1,then

! Vincolamento simmetrico delle plate237 ! per modelli risolti facendo uso di

! simmetriaksel,s,,,101,201,100ksel,a,,,103,203,100ksel,a,,,107,207,100242 ksel,a,,,108,208,100

nslk,sd,all,uxd,all,uy

247 ksel,s,,,102,202,100nslk,sd,all,uzallsel,all

*endif252

! >>>> DEFINIZIONE DEI CARICHI


! Definizione della forza

*dim,ForzaInt,table,20,,,time292 *taxis,ForzaInt(1,1),1,0.00,0.25,0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,2.25

*taxis,ForzaInt(11,1),1,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,3.75,4.00,4.25,4.50,4.75ForzaInt(1,1) =

4.905,5.35625,5.760,6.11625,6.425,6.68625,6.900,7.06625,7.185,7.25625ForzaInt(11,1) =

7.280,7.25625,7.185,7.06625,6.900,6.68625,6.425,6.11625,5.760,5.35625

297 ! Definizione del momento motore

*dim,MomInt,table,20,,,time*taxis,MomInt(1,1),1,0.00,0.25,0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,2.25

*taxis,MomInt(11,1),1,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,3.75,4.00,4.25,4.50,4.75MomInt(1,1) = 1635,1785.4,1920,2038.75,2141.7,2228.75,2300,2355.4,2395,2418.7302 MomInt(11,1) = 2426.7,2418.7,2395,2355.4,2300,2228.7,2141.7,2038.7,1920,1785.4

*dim,MomInt2,table,20,,,time*taxis,MomInt2(1,1),1,0.00,0.25,0.50,0.75,1.00,1.25,1.50,1.75,2.00,2.25

*taxis,MomInt2(11,1),1,2.50,2.75,3.00,3.25,3.50,3.75,4.00,4.25,4.50,4.75MomInt2(1,1) =

-1635,-1785.-4,1920,-2038.75,-2141.7,-2228.75,-2300,-2355.4,-2395,-2418.7307 MomInt2(11,1) =

-2426.7,-2418.7,-2395,-2355.4,-2300,-2228.7,-2141.7,-2038.7,-1920,-1785.4

*endif! >>>> ELEMENTO DI MASSA > SOLUZIONE STATICA > INERTIAL RELIEF


! Se si vuole usare linertial relief non si possono avere! assi di simmetria. necessario specchiare tutto, piazzare! un vincolo nel centro con sei gradi di vincolamento.! le forze devono essere piazzate in modo corretto.347 ! Abilitare INERZIA_MOTORE

local,14,0,0,0,0,45csys,14lplot352 lsel,all

lsymm,y,alllsel,alllsymm,x,all

357 csys,0nummrg,all

! Definisco delle nuove condizioni di vincolamento! di tipo ideale362 k,1000,0,0,0

klists = 2,32,72,102,12,42,82,202numstr,line,1000*do,jj,1,8,1

l,1000,klists(jj)367 *enddo

lsel,s,,,1000,1008,1type,2lmesh,all

372 ! >>>> Inertial relief

*do,jj,1,20,1time,jj*0.25

! Forza377 ksel,s,,,30,61,31

ksel,a,,,70,111,41nslk,sf,all,FZ,%ForzaInt%! Momento resistente382 ksel,s,,,30,70,40

nslk,sf,all,MZ,%MomInt%ksel,s,,,61,111,50nslk,s387 f,all,MZ,%MomInt2%

allsel,all

/solu392 antype,static

irlf,1psolve,elformpsolve,elprepirlist397 fdele,all

*enddo! End


402 ! >>>> SOLUZIONE MODALE


457 prod,96,91,91 ! Y^2prod,97,92,92 ! Z^2! somma degli elementiadd,98,97,96 ! Z^2 + Y^2add,99,98,95 ! Z^2 + Y^2 + Z^2462 ! radice quadrata

sqrt,3,99,,,U_SUM2 ! sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)! *EndFunction! *BeginFunction ROT_SUM

!467 ! Name: ROT_SUM

! ID: 4! Function: sqrt(nsol(NODO_PRP,rot,x)^2+nsol(NODO_PRP,rot,y)^2)nsol,80,NODO_PRP,rot,x ! Rxnsol,81,NODO_PRP,rot,y ! Ry472 ! elevazione a quadrato

prod,85,80,80 ! Rx^2prod,86,81,81 ! Ry^2! somma degli elementiadd,87,85,86 ! Rx^2 + Ry^2477 ! radice quadrata

sqrt,4,87,,,ROT_SUM ! sqrt(Rx^2 + Ry^2)! *EndFunctionplvar,4allsel,all482 *endif

! >>>> SOLUZIONE ARMONICA


5.4.4 Risultati dell'inertia relief analisys

t [s] x y z [m/s2] [1/s2]

0.25 0 0 85.671 5.38E-13 -4.60E-14 -0.68531

0.50 0 0 92.129 5.85E-13 -1.55E-14 7.31E+02

0.75 0 0 97.827 6.19E-13 -2.03E-14 3.46E-13

1.00 0 0 102.77 6.50E-13 -2.13E-14 -2.30E-31

1.25 0 0 106.94 6.76E-13 -2.22E-14 -2.39E-31

1.50 0 0 110.36 6.98E-13 -5.92E-14 -2.52E-31

1.75 0 0 113.02 7.15E-13 -6.06E-14 -2.58E-31

2.00 0 0 114.92 7.22E-13 9.28E-15 4.38E-32

2.25 0 0 116.06 7.34E-13 9.37E-15 4.45E-32

2.50 0 0 116.44 7.37E-13 -6.25E-14 -2.65E-31

2.75 0 0 116.06 7.34E-13 -2.88E-14 3.93E-32

3.00 0 0 114.92 7.27E-13 -6.17E-14 -2.62E-31

3.25 0 0 113.02 7.15E-13 -6.07E-14 -2.58E-31

3.50 0 0 110.36 6.98E-13 -2.29E-14 -2.47E-31

3.75 0 0 106.94 6.76E-13 8.61E-15 4.10E-32

4.00 0 0 102.77 6.50E-13 -2.55E-14 3.48E-32

4.25 0 0 97.827 6.19E-13 -5.25E-14 -2.23E-31

4.75 0 0 85.671 5.83E-13 -2.29E-14 3.12E-32

Baricentro m = 0.25008 kg

0 07.2905

mmMomenti di inerzia P =

5.2709 106

5.2721 10610.506 106

gmm2 1 0 00 1 0

0 0 1

Tabella 5.4.1: Risultati Inertial Relief. I parametri di massa comprendono sia frame che motori.

5.5 Allegati modello SHELL281:CONTA174:TARGE170

5.5.1 Script

1 ! Analisi di contatto, Versione 3! Ragni Matteo 2013

finish/clear,start,new6

/title,Modello SHELL281:CONTA174:TARGE170/nerr,0,99999999

! >>>> FLAGS


SPINTA = 121 MOMENTO = 1

VINCOLO1 = 1VINCOLO2 = 1

*endif! >>>> FLAGS > INFITTIMENTO > Meshing controls > INFITTIMENTO


y_motore = 11.0 + altezza

! Parametri materiale81 e_young = 69000 ! MPa = Modulo Young

ni = 0.33 ! undef = Poissone_tan = 26000 ! MPa = Modulo Tangenterho = 2700e-12 ! Mg/mm^3 = Densitmu = 1.5 ! Coefficiente attrito statico al-al86

! >>> MODELLO :: allinterno dellif la routine disegna il modello

*if,Modello,eq,1,then! Modello della trave

*do,j,0,6,1 ! creazione dei keypoints91 ! kp superiori

k, j*10+01, 0, L0, z_dim(j+1)k, j*10+02, L0, L0, z_dim(j+1)k, j*10+03, -L0, L0, z_dim(j+1)! kp inferiori96 k, j*10+04, 0, -L0, z_dim(j+1)

k, j*10+05, L0, -L0, z_dim(j+1)k, j*10+06, -L0, -L0, z_dim(j+1)

*enddo

*do,k,0,50,10 ! creazione delle aree101 ! Superiori

a,k+01,k+11,k+12,k+02,k+01a,k+01,k+03,k+13,k+11,k+01! Inferioria,k+04,k+05,k+15,k+14,k+04106 a,k+04,k+14,k+16,k+06,k+04

! Laterale x+a,k+02,k+12,k+15,k+05,k+02! Laterale x-a,k+03,k+06,k+16,k+13,k+03111 *enddo

! Modello delle pastre! - Piastra superiore! - - creazione dei keypoints116 numstr,kp,100

*do,j,1,6,1k,,Xdim(1),Ydim,Zdim(j)

*enddonumstr,kp,110121 *do,j,1,5,1

k,,Xdim(2),Ydim,Zdim(j)*enddonumstr,kp,120*do,j,1,7,1126 k,,X2dim(j),Ydim,Z2dim(j)

*enddo! - - generazione delle areenumstr,area,100*do,j,0,3,1131 a,100+j,110+j,111+j,101+j,100+j

*enddoa,112,123,124,114,112a,124,123,125,126,124a,100,105,120,110,100



136 a,120,121,122,110,120! - - unione delle areeasel,s,loc,y,YDIM-eps,YDIM+epsarsym,x,allnummrg,kp141 allsel,all

! - Piastra inferiore! - - generazione dei keypointsnumstr,kp,200*do,j,1,6,1146 k,,Xdim(1),-Ydim,Zdim(j)

*enddonumstr,kp,210*do,j,1,5,1

k,,Xdim(2),-Ydim,Zdim(j)151 *enddo

numstr,kp,220*do,j,1,7,1

k,,X2dim(j),-Ydim,Z2dim(j)*enddo156 ! - generazione delle aree

numstr,area,200*do,j,0,3,1

a,200+j,201+j,211+j,210+j,200+j*enddo161 a,212,214,224,223,212

a,224,226,225,223,224a,200,210,220,205,200a,220,210,222,221,220! - - unione delle aree166 asel,s,loc,y,-YDIM-eps,-YDIM+eps

arsym,x,allnummrg,kpallsel,all

*endif171

! >>> DOMESH :: allinterno dellif la routine genera la mesh del modello

*if,DoMesh,eq,1,then

! Definizione degli elementi di meshing176 sh281 = 1

et,sh281,shell281 ! Elemento shell 281 :: Elemento a 8 nodi e 6gradi di libert

keyopt,sh281,1,0 ! 6 gradi di libert : membrana e piastrakeyopt,sh281,8,2 ! Presenza di un unico layer in spessore,

! Riduci salvataggio aTOP e BOTTOM layer.181 keyopt,sh281,9,0 ! Non usare funzione UTHICK

sectype,100,shell ! spessore travesecdata,tk_beam

sectype,200,shell ! spessore piastrasecdata,tk_piastra186 esize,mesh ! dimensioni elemento

! Definizione delle propriet del materialemp,EX,sh281,e_youngmp,PRXY,sh281,ni191 mp,MU,sh281,mu



mp,DENS,sh281,rho

! Meshing della trave centraleasel,s,loc,y,-altezza,altezza196 type,sh281 ! tipo elemento

secnum,100 ! spessore elementoamesh,all ! fre

Analisi Numerica Del Telaio Di Un Quadcopter

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