Analisi Increment Ale Di Strutture Elasto-plastiche

5/8/2018 Analisi Increment Ale Di Strutture Elasto-plastiche - slidepdf.com

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1

CAPITOLO 1: ANALISI INCREMENTALE DISTRUTTURE ELASTO-PLASTICHE

1.1 Introduzione

La resistenza di un qualunque materiale da costruzione è limitata; ovvero esiste un livello di sforzo

che in ogni caso non può essere superato. Di conseguenza ogni struttura ha una limitata capacità

portante , ovvero è limitata l’entità dei carichi che essa è in grado di sostenere.

La valutazione della capacità portante non può essere compiuta in campo elastico-lineare perché

al crescere del livello di carico nessun materiale continua a comportarsi in tal modo. Pertanto una

valutazione accettabile del coefficiente di sicurezza della struttura , ovvero del rapporto tra il

valore dei carichi di progetto e la capacità portante della struttura, non può essere fatta

nell’ambito del METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI , perché inevitabilmente siperde la proporzionalità fra carichi e sforzi e il coefficiente di sicurezza deve essere valutato

direttamente sui carichi. In questo primo capitolo al fine di valutare la capacità portante delle strutture si farà riferimento a

sistemi di travi (o di aste) realizzati con materiali metallici ( duttili), principalmente in acciaio ma

anche in alluminio, rame, piombo….

Vedremo nel seguito come in questo caso la valutazione della capacità portante ultima ( o stato

limite ultimo ) possa essere fatta con due tipi di analisi distinte :

• Analisi Incrementale Il carico viene incrementato in modo prefissato e la risposta

strutturale viene simulata modificando progressivamente la risposta del materiale al

variare dello stato di sollecitazione e/o di deformazione

• Calcolo a Rottura (o Analisi Limite) Si individua il valore ultimo del moltiplicatoredei carichi che la struttura è in grado di sostenere senza la necessità di seguire l’evolversi

del comportamento del materiale.

In questo primo capitolo verranno presentati gli elementi essenziali dell’analisi incrementale dei

sistemi di travi; si ritiene opportuno tuttavia premettere alla esposizione di essi una brevissima

disamina comparativa dei due tipi di analisi.

Analisi Incrementale

Vantaggi:

- E’ applicabile in presenza di equazioni costitutive complesse e a tutti i tipi di materiali

compresi i conglomerati cementizi.

- E’ applicabile anche in presenza di fenomeni di instabilità dell’equilibrio e di spostamentitali da rendere necessario valutare l’equilibrio nella configurazione deformata

(spostamenti finiti).

- E’ disponibile in moltissimi codici di calcolo (Abaqus, Adina, Ansys, Strauss, Sap2000,

Nolian etc..)

Svantaggi:

- La determinazione della capacità portante dipende, in generale, dalla storia di carico e la

risposta strutturale è influenzata dalla presenza di cedimenti vincolari e di stati di coazione,

difficilmente valutabili (in particolare questi ultimi).

- La risposta strutturale ed anche la valutazione della capacità portante sono assai sensibili

alla variazione sia dei parametri del materiale che dei parametri da cui dipendono gli

algoritmi numerici.

- I risultati ottenuti possono non essere immediatamente interpretabili.



2

Analisi Limite

Vantaggi:

- Il valore del moltiplicatore dei carichi al collasso risulta indipendente dalla storia di

carico e dalla presenza di cedimenti , autotensioni e stati di coazione.

- Il risultato è immediatamente interpretabile ed è sostanzialmente indipendente dai

parametri numerici da cui dipende la procedura di calcolo.- E’ possibile analizzare strutture anche significative senza l’ausilio a codici di calcolo.

Svantaggi:

- E’ di limitata applicabilità e devono essere verificate seguenti ipotesi principali: piccoli

spostamenti, duttilità illimitata, plasticità perfetta, leggi di flusso di tipo associato.- Non è in genere disponibile in molti codici di calcolo.

- Quando è applicata a strutture non metalliche, ad esempio a strutture in muratura come

ad esempio previsto dalla OPCM 3274 sulle costruzioni in zona sismica, va applicata

con opportuni controlli sull’entità delle deformazioni e degli spostamenti all’atto del

collasso

Nel seguito nel paragrafo 2 vengono brevemente discusse le principali caratteristiche delcomportamento dei materiali metallici, in particolare degli acciai sottoposti alla prova mono-assiale,

ed i principali modelli atti ad interpretarle. Nel paragrafo 3 sono presentate le principali

caratteristiche della risposta incrementale, mentre nel paragrafo 4 viene esposta l’analisi

incrementale per le strutture reticolari elasto-plastiche. Nel paragrafo 5 viene presentata l’analisi

incrementale per travi e sistemi di travi, infine nel paragrafo 6 viene introdotto il concetto di

cerniera plastica.



3

1.2 Comportamento dei materiali metallici e modelli costitutivi

1.2.1 Prova mono-assiale

• La prova di trazione per i materiali metallici

0

A

0

F F

A

Fig.1.1

0

Fσ=

Atensione nominale;

Ft=

Atensione effettiva o di Cauchy

0∆ = - allungamento;

0

∆ε=

deformazione assiale

ε

σ

O O

σ

ε

σ0

t t

ε ε0 p

σ

ε p

1

2

i n c r u d

i m e n t o

i nc r udi me n to

(a) (b)

a

b

Acciai a basso tenore di carbonio

o dolci (mild steel)

Acciai legati (alloy steel)

0.1% 2% 12÷30%

Fig.1.2

Acciai da costruzione:

- Acciai da carpenteria Fe360, Fe430, Fe510 ( sono caratterizzati da un numero indice della

tensione caratteristica di rottura espressa in Nmm

-2

)- Acciai per barre ad aderenza migliorata ( sono caratterizzati da un numero indice della

tensione caratteristica di snervamento espressa in Nmm-2) la normativa vigente

(DM_09.01.96) prevede i seguenti tipi di acciai:



4

FeB38k disponibile in barre di diametro φ compreso fra 5 e 30 mm

FeB44k disponibile in barre di diametro φ compreso fra 5 e 26 mm

FeB38k FeB44k

f yk tensione caratteristica di snervamento > 375 Nmm-2 > 430 Nmm-2

f tk tensione caratteristica di rottura > 450 Nmm-2 > 540 Nmm-2 As Allungamento a rottura in % > 14% > 12%

Sono inoltre previste dal DM96, e dall’Eurocodice 2, prove di piegamento e raddrizzamento su

mandrino che forniscono un indice della lavorabilità e della duttilità del materiale e che si consiglia

di far espletare soprattutto in presenza di acciai di provenienza non ben certificata.

Gli acciai a basso tenore di carbonio o dolci (mild steel) sono indicativamente caratterizzati, Fig.1.2

a da:

− una fase “elastica” fino alla tensione di snervamento σ0(f y) a cui corrisponde

indicativamente un valore della deformazione ε0=0,001;− una fase “plastica” a cui corrisponde indicativamente un valore della deformazione ε p=0,02

(2%) oltre la quale le deformazioni sono irreversibili;

− una fase di incrudimento (hardening) prima della rottura a cui corrisponde indicativamente

una deformazione a rottura εu=0,12-0,30 (As=12-30%).

Gli acciai legati (alloy steel) (ad esempio leghe di Fe, Ni e Mo) come gli acciai da precompresso o

gli acciai bonificati non presentano uno snervamento evidente. Lo snervamento viene caratterizzato

come il valore della tensione f y(0,2) (secondo la normativa) per cui si ha una deformazione residua

allo scarico, Fig.1.2b, ε p=0,002 (0,2%).

Il rapporto εu/ε0 è spesso definito duttilità del materiale e da esso dipende la capacità della strutturadi deformarsi senza crollare. Questa proprietà è di grande importanza per le strutture costruite in

zone sismiche.

Si osservi infine, Fig.1.2a, come nel tratto terminale sia evidenziata la differenza fra la tensione

nominale σ riferita all’area iniziale A0 del provino con la tensione t di Cauchy riferita all’area

effettiva che risulta ridotta per il fenomeno della strizione.

Modulo di elasticità dei materiali ferrosiI materiali metallici hanno una organizzazione policristallina composta di grani orientati in maniera

casuale ed in prima approssimazione possono considerarsi isotropi sia in campo elastico che incampo plastico. Il modulo di elasticità o di Young E varia da 180 GPa (per le ghise che hanno un

alto tenore di carbonio) a 210 GPa per gli acciai.

Si ricorda tuttavia che nel caso dei cavi o funi d’acciaio da precompresso si assume, per effetto

dello scorrimento mutuo dei trefoli da cui sono composte, E=190-200 GPa; se esse non sono

verticali il modulo apparente viene, inoltre, a dipendere dal valore del tiro e da ciò, ad esempio,

dipende il comportamento non lineare dei ponti strallati.

Caratteristiche delle deformazioni plastiche nei metalli

− Le deformazioni plastiche avvengono praticamente senza variazioni di volume. Ovvero si

ha: E1=tr E=ε11+ε22 +ε33=0.

In campo plastico un metallo è dunque incomprimibile ed il coefficiente ν di Poisson passadal valore iniziale ν=0,3 (per l’acciaio), se

0ε<ε =0,001, al valore ν=0,5 (quando

pε ε 0,02≥ = fluido viscoso perfetto o fluido di Bingham).



5

− Se si esegue una prova di trazione su elementi bidimensionali (lastre) si evidenzia

l’insorgere di linee o bande di scorrimento dette di Luders, inclinate di un angolo α

(α compreso fra i 30 e i 45 gradi) rispetto l’orizzontale, ove si concentrano o localizzano le

deformazioni plastiche. Analoghe linee si evidenziano nelle prove di torsione.

− Ciò ha portato ad affermare che le deformazioni plastiche si attivano una volta raggiunto il

valore limite τ0 delle tensioni tangenziali su un piano di scorrimento (criterio di Tresca). Nei

materiali “perfetti” composti da un unico cristallo (whiskers) di acciaio dolce τ0=G/3 (13

GPa), valore molto maggiore di quello che si ha nei materiali reali che hanno una

organizzazione policristallina con grani distinti.

• Cicli di carico e scarico (lenti)

Se a partire dall’origine si accresce la tensione oltre +

0σ ( tensione di snervamento), Fig.1.3, per poi

rimuovere il carico si osserva:

− La pendenza (E) del diagramma -σ ε non cambia ed è uguale a quella del tratto iniziale.

− Annullando la tensione rimane una deformazione residua irreversibile.

− Il valore della tensione di segno opposto per cui cambia la pendenza è minore, - +

0 0σ <σ .

− Questa riduzione del carico necessario a produrre scorrimenti di segno opposto a quelli

verificatasi in precedenza è particolarmente evidente per i materiali incrudenti e va sotto il

nome di effetto Bauschinger .

− L’ area interna ad ogni ciclo rappresenta il lavoro dissipato durante il ciclo. Tanto più questa

area è grande tanto più il sistema dissipa energia meccanica trasformandola in calore. Questa

proprietà di dissipazione è ovviamente legata alla duttilità ed è particolarmente importante

per le strutture soggette ad azioni ripetute come quelle sismiche.

La dissipazione nella barra durante un ciclo chiuso elasto-plastico di deformazione, Fig.1.3, puòessere valutata mediante il Principio dei Lavori virtuali e risulta:

( ) ( )d 0 0 0 0 0 0 dW = Fd ∆l = A σ l dε=A l σdε=A l w∫ ∫ ∫

oved

w è l’energia dissipata per unità di volume.

O

σ

ε

−σ0

-

σ ε=d wd

∫ 0

σ+

Fig.1.3



6

Il comportamento dei materiali metallici a partire da uno stato vergine è lo stesso a trazione e

compressione - +

0 0σ =σ .

Per questi materiali, infatti, le forze di coesione sono molto forti (di natura interatomica) e la

resistenza ultima non dipende dal segno dei carichi applicati.

In prima approssimazione il comportamento dei metalli duttili (e.g. l’acciaio dolce, il rame ed il piombo etc.) può essere rappresentato come in Fig.1.4 e risulta molto simile a quello, descritto in

Fig.1.5, del contatto con attrito o alla Coulomb.

σ0

Fig.1.4

u

Tf

T

T u

N

Fig.1.5



7

2.2 Modelli costitutivi elasto-plastici

Le principali ipotesi alla base del comportamento elasto-plastico, illustrato in Fig.1.7, sono:

− le deformazioni plastiche (irreversibili) insorgono quando lo stato di tensione σ raggiunge la

tensione di snervamento0

σ .

− lo stato di deformazione totale ε può essere decomposto nella somma di una parte elastica

εe (reversibile) ed in una plastica ε p (decomposizione additiva)

e pε=ε +ε

(La decomposizione additiva vale unicamente nell’ipotesi di deformazioni “infinitesime”)

− La tensione σ dipende linearmente dalla parte elastica della deformazione εe

e pσ=Eε ovvero σ=E(ε-ε ) .

Un semplice modello meccanico che interpreta le relazioni precedenti è mostrato in Fig.1.6.

σ=E(ε-ε ) .

σ σ

ε

ε εe p

E

Fig.1.6

Il modello elasto-plastico della prima figura può essere pensato come somma di un modello elastico

lineare e di uno plastico.

ε p

A

ε

σ 1

ε p

εe

1

E

=

O

ε0

σ

E

σ0

εe

A

1

2 +

εO

ε

σσ A

0

p

σ

1

2

p p

e

ε

σ

O

σ0

Fig.1.7

Il comportamento di un materiale “elasto- plastico” è caratterizzato dal fatto che la sua risposta

(e.g. in A) dipende dal segno dell’incremento di deformazione ( 0ε > continuano le deformazioni

plastiche, 0ε < - scarico elastico). Si parla invece di materiale “elastico non lineare” ( od

olonomo o di teoria della deformazione ) se la risposta è funzione di ε e non diε ed anche in caso

di scarico si ripercorre il tratto A-O.



8

• Modello elastico-(perfettamente)plastico (EPP)

In Fig.1.8 è rappresentata il comportamento monoassiale di un materiale elastico–perfettamente

plastico.

p

A

ε

σ

1

E

=

O

ε0

σ

E

0σ

ε e

A

1

+

εO

ε

σ0

σ

w

p p

B B

d

A

=

σ /0 E0

ε

σ

O

0

ε

Fig.1.8

Le principali ipotesi che lo caratterizzano sono:

− La tensione non può superare la tensione di snervamento - +

0 0-σ σ σ≤ ≤ che risulta

coincidente con quella di rottura.

− Ogni stato di tensione che verifica queste disuguaglianze è detto ammissibile; per i metalli si

può porre - +

0 0-σ =σ=σ e la condizione di ammissibilità diviene

0σ =σ . In tal modo il

dominio elastico non varia ed ha grandezza costante al contrario di ciò che avviene per imateriali incrudenti.

− Si ha plasticizzazione solo se:

0(σ)= σ -σ =0φ condizione di snervamento (yield condition) mentre (σ)φ è detta funzione

di snervamento .

Poiché per gli acciai dolci εu=12-30% la duttilità viene spesso assunta illimitata.

La velocità (o Potenza ) di dissipazione per unità di volume è definita come D=σε mentre la

dissipazione plastica è definita come: p b

0

εt

d p

t 0

w = σεdt= σdε∫ ∫

Risposta ciclica

In Fig.1.9 è mostrata la risposta ad un ciclo di carico-scarico del modello EPP. In particolare nel

ciclo chiuso A G→ la dissipazione per unità di volume vale

( )+ -

d 0 p pw =2σ ε -ε



9

Risposta ciclica

O

σ

ε

−σ0

F B

E D

Cε p

-

0σ

D'

ε p+

p(ε =−0)

D = σ0 ε p

G A

D = (ε )=(−σ )0 p (−ε )>0σ0 p

Fig.1.9

• Modello rigido perfettamente plastico (RPP)

In Fig.1.11 è raffigurato il comportamento di un materiale rigido perfettamente plastico ,schematizzato in Fig.1.10. In questa schematizzazione si assume l’annullarsi della parte elastica

della deformazione: εe =0.

σ σε

pε=

Fig.1.10

0

O

σ

εε

A B

σ

1

2

Fig.1.11



10

Risposta ciclica di un materiale rigido-perfettamente plastico

Si consideri un ciclo di carico a partire dall’origine O.

Quando 0σ=σ se si mantiene costante la tensione σ , ∆σ=0 si ha: ( )σ e ∆ε 0φ = 0 ≥ ;

allo scarico invece: ( )∆ε=0, σ 0 e ∆σ<0φ < .

In entrambe le situazioni ∆σ∆ ε = 0 ( condizione di complementarietà: gli incrementi di tensione edeformazione si elidono mutuamente e sono ortogonali)

La dissipazione plastica nel caso di Fig.1.12 vale ( )+ -

d 0 p pw =2σ ε -ε .

0

O

σ

pεε p

σ

+

ε- p

−σ0

Fig.1.12

• Modello elasto-plastico con incrudimento (hardening) lineare (EPH)

La tensione di snervamento dipende linearmente dalla deformazione plastica ε p, Fig.1.13.

E

O

ε p

1

ε εe

1O

εe

σ

σ0

y

E

σ

σ

A

2

=

1

A

0

+

e

σ

O

εε p p

σ pA

Hσ0

y

1

2

σ1

Fig.1.13

L’incrudimento lineare implica:− [ ]( )-2

y 0 pσ =σ +Hε H Fl=



11

− ( ) y 0 pσ,ε σ-σ =σ-σ -Hεφ = per ε p >0 (la funzione di snervamento è funzione della

deformazione plastica).Si osservi che:

se H=0 si ha il modello elastico perfettamente plastico (EPP)

se H=0 ed E tende all’infinito modello rigido perfettamente plastico (RPP)

Nei casi usuali H>0 incrudimento positivo , se H<0 (incrudimento negativo) il materiale nonrisulterà stabile secondo Drucker come vedremo in seguito.

• Incrudimento Cinematico

Trazione +

y 0 pσ σ =σ +Hε≤

Compressione -

y 0 pσ σ =-σ +Hε≥ −

Ammissibilità plastica 0 p 0 p-σ

+Hε σ σ

+Hε

≤ ≤ Funzione di snervamento ( ) p p 0σ,ε = σ-Hε -σ 0φ ≤

0

O

σ

εε

p

σ

+ε- p

−σ0

ε0

A

1

2 ε p= 0

1

2σ =σ +Ηεy

+

0 p

−σ =−σ +Ηε p0y

-

Fig.1.14

L’equazione costitutiva per un solido con un diagramma bi-lineare come quello in esame puòessere di due tipi:

Olonoma (path independent): il materiale si comporta come un materiale elastico non lineare e loscarico avviene lungo lo stesso percorso tenuto nella fase di carico.

Non Olonoma ( path dependent): il materiale si comporta come effettivamente elasto-plastico e in

A si ha lo scarico elastico.



12

Risposta elastica

Incrudimento

Risposta elastica pd 0ε =

Risposta elastica

Incrudimento

Risposta elastica pd 0ε =

I diversi percorsi a partire dai punti A e B dipendono dal segno degli incrementi dε e dσ .

σ dε

d

E

1

1

ε

dεσd =

EHE+H

εdE+HEH

E=d

Fig.1.15.

Ed d

E+Hp

⎫⇒ ε = ε⎬

⎭

( )d E d dB1

d 0 d Hd

d 0 EHd dE+H

B

B2 d Ed

d 0

d 0

p

p

⎧ σ = ε − ε⎪

ε < σ = ε⎪⎪

σ <⎪ σ = ε⎪⎪⎨⎪⎪

σ = ε⎪⎪ ε >⎪⎪ σ >⎩

( )d E d dA1

d >0 d Hd

d 0 EH

d dE+HA

A2d Ed

d 0

d 0

p

p

⎧ σ = ε − ε⎪

ε σ = ε⎪⎪ σ >⎪

σ = ε⎪⎨⎪⎪

σ = ε⎪ε <⎪

⎪ σ <⎩



13

• Il modello meccanico per l’incrudimento

σ σ

ε εe p

E

H

ε

EPP deviceσ0

Fig.1.16

p

σ0+ Hε p

= σH+ σ

p

H

O

ε p

pεH

σ AH

Hσ

1

O

σ0

σ A

p

0

σ

σ

ε p

σ

σHH σH

H

1

pε

ε p

σ p pσ

εO

σ

A

0

p

σ

Fig.1.17

• H pσ = σ + σ



14

1.3 Forma incrementale delle equazioni costitutive elasto-plastiche

Si definiscono incrementi o velocità degli stati di tensione e di deformazione (stress and strain

rate) le quantità σ= dσ dt , ε= dε dt .

Ove t rappresenta una variabile, crescente durante il processo di deformazione (dt>0),non necessariamente coincidente con il tempo.L’equazione costitutiva viene espressa in forma incrementale nel modo seguente:

− Additività degli incrementi di deformazione e pε=ε +ε

− Risposta elastica ( )e p E E σ ε ε ε = = −

− Condizione di carico e scarico ( loading-unloading condition)

Se ( ) p 0 ,φ σ ε < ⇒ risposta elastica Eσ = ε , eε = ε , p 0ε =

Se ( ) p 0 ,φ σ ε = ⇒ stato elasto-plastico: la risposta dipende dall’evoluzione della funzione di

snervamento

( ) ( ) p p p

p

d , , dt = dt⎛ ⎞∂φ ∂φφ σ ε = φ σ ε σ + ε⎜ ⎟⎜ ⎟∂σ ∂ε⎝ ⎠

( ) p

p

,∂φ ∂φ

φ σ ε = σ + ε∂σ ∂ε

Se ( ) p 0 ,φ σ ε < ⇒ scarico elastico p 0ε = , Eσ = ε

(se ( ) p0 0 ,∂φ

σ < ⇒ φ σ ε <∂σ

)

Se ( ) p 0 ,φ σ ε = ⇒ deformazioni elasto-plastiche p 0ε ≠

Regola del flusso p = ∂φ⎛ ⎞ε λ⎜ ⎟∂σ⎝ ⎠ , 0λ ≥ moltiplicatore plastico; definendo le variabili

n=∂φ∂σ

, h=∂φ∂ε

( ) ( ) p n hn n E En h 0 , ⎡ ⎤φ σ ε = σ + λ = ε − − λ =⎣ ⎦

E

En h⇒ λ = ε

− , p

En

En hε = ε

− ,

EnE 1

En h

⎡ ⎤σ = − ε⎢ ⎥−⎣ ⎦ .

Eep=E [1-(En)/(En-h)] è detto modulo elasto-plastico (istantaneo)

Esempio n.1: modello elastico perfettamente plastico (EPP)

Il comportamento del modello EPP è illustrato in Fig.1.18.

( ) 0φ σ = σ − σ n=∂φ σ

=∂σ σ p

h= 0∂φ

=∂ε

Se = 0∂φ σσ

φ φ = σ = =

∂σ σ

, allora

0σ

λ = ε >σ

, pε = ε , 0σ =



15

la quantità (non negativa) λ detta moltiplicatore plastico è positiva se sono in atto deformazioni

plastiche e φ(σ) =0 e nulla quando il punto tensione è interno alla superficie di snervamento

Aσ

B −σ0

λ > 0

ε > p 0

1

1

0 pε <λ > 0

ε

σ

O

0

Fig.1.18

Esempio n.2: Modello elasto-plastico con incrudimento lineare (EPH)In Fig.1.19 è illustrato il modello EPH di seguito descritto.

0Hφ = σ− ε − σ ,H

n

H

pσ − ε=

σ − ε

, h nH= −

p

p

H E0

E HH

σ − ε ⎡ ⎤λ = ε >⎢ ⎥+σ − ε ⎣ ⎦ , p

E

E Hε = ε

+ ,

E EHE 1

E H E H

⎡ ⎤σ = − ε = ε⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

ε

σ

A

B

λ > 0 , ε > p 0

σ >0

σ −Ηε > p 0

ε >0

00 ε <0

p−Η 0ε < p

0ε <λ >σ<

σ

1

1

Fig.1.19



16

Esempio n.3: incrudimento non lineare (modello di Ramberg-Osgood)

ε0

ε ε p

0σ

σ

σ0

σ

σσy

= ε+Κ 0

( ) p

n

Fig.1.20

l’esponente n ( di solito 0<n<1) è determinato sulla base di risultati sperimentali.

1.4 Analisi incrementale di strutture reticolari elasto-plastiche

Le strutture reticolari ben si prestano ad illustrare come è possibile determinare la risposta non-

lineare di una struttura al variare del carico e quindi a comprendere quale è la base meccanica dei

codici di calcolo strutturale che compiono queste analisi e sono di crescente impiego nella pratica

strutturale. A questo proposito si ricordi che la nuova normativa sismica sia italiana ( OPCM 3274)

che l’Eurocodice 8 prevedono specificatamente l’analisi incrementale non-lineare sotto carichistatici equivalenti crescenti ( push over).

E’ inoltre da osservare che, se desidera analizzare il comportamento non lineare delle reticolari

metalliche, occorre tenere in conto i fenomeni di instabilità come prescritto dalle CNR 10011;

questo argomento verrà trattato nella II parte di questo corso.

Si consideri una struttura descritta dall’usuale modello di calcolo impiegato per le strutture

reticolari allo scopo di determinarne lo stato di sforzo primario. Si suppongono pertanto tutte le aste

perfettamente incernierate nei nodi ove si considerano applicati i carichi. Sotto queste ipotesi le aste

sono soggette unicamente allo sforzo normale che risulta costante in ogni elemento. In ciascuna asta

della reticolare, che si suppone di sezione costante, lo stato di tensione è uniforme; pertanto un

eventuale snervamento plastico inizia simultaneamente in tutti i punti dell’asta.



17

∆

F F

σ /O

=ε0

1

εE ε∆ =0

1O

= Eσ /0 0

σ0

E

σF

EA

0

F

∆

EAK =w

= K /ε

(a) (b)

= F /K 0

Fig.1.21

Una volta definite le variabili σ=F/A (tensione normale) e ε=∆/0 (deformazione assiale) si

valutano:

• Funzione di snervamento (yielding function) ( ) ( )0 0 0F = F -F 0 F =Aσφ ≤

• Additività dell’allungamento elastico e plastico e p∆=∆ +∆

• Elasticità ( )e w e w p

EAF= ∆ =K ∆ =K ∆-∆

Risposta elastica

Se 0φ > o 0φ = e p W<0 ∆ =0, F=K ∆φ ⇒

Risposta plastica

p= =0 ∆ =∆, F= 0φ φ ⇒

E’ importante osservare che quando un’asta entra in campo plastico non è in grado, secondo questo

modello, di sopportare ulteriori incrementi di carico e, quindi, incrementalmente la struttura si

comporta come se questa asta non esistesse più.



18

Esempio n.1: Reticolare isostatica ( modello EPP)

Si consideri la struttura isostatica di Fig.1.22.

s

F F

u

P

P/2 P/2

3

P

P0

P = 0

u0

u indeterminato

u

Fig.1.22

Basta fare una sezione di Ritter in S per ottenere: F=3P/4

Pertanto ponendo lo sforzo normale F pari al suo valore di snervamento F 0, si verifica che ciò

avviene per un valore del carico P0=4F0/3.

Per ogni incremento ulteriore del carico la struttura sui comporta come se fosse priva dell’asta in

esame, Fig.1.23, e quindi fosse labile.

F=0

u

P

F=0

V V

O

Fig.1.23

Equilibrio incrementale

2V-P=0 P=0

3 polo in o V -F =0 V=0

2

⇒

⇒

La travatura è labile rispetto a incrementi di carico.

L’equilibrio incrementale della struttura implica P=0 . Pertanto P0 rappresenta dunque il carico

massimo o di collasso della struttura. Poiché la struttura è isostatica basta che si plasticizzi una sola

asta per portare a collasso la struttura.



19

Esempio n.2: Reticolare iperstatica -3 aste EPP in parallelo

Si consideri la struttura di Fig.1.24; essa risulta 2 volte iperstatica. Le equazioni che descrivono il

comportamento della struttura risultano:

− Equilibrio 1 2 3F +F +F =F

− Equilibrio incrementale1 2 3F +F +F =F

− Congruenza1 2 3

∆ =∆ =∆ =u

− Equazioni costitutive K= EA cost. in ogni asta (rigidezza in campo elastico)

iF =Ku legame elastico in forma finita

iF =Ku legame elastico in forma incrementale

iF =0 legame in campo plastico in forma incrementale

Le aste presentano le seguenti tensioni di snervamento:

01 0 02 0 03 0σ

=σ

,σ

=2σ

,σ

=3σ

Step1- Risposta elastica

Si definisce0 0

F =Aσ e conseguentemente 0 00

F σ∆ = =

K E

Sostituendo le equazioni di congruenza e di legame nell’equazione di equilibrio è possibile

determinare:

01 0 01

1 2 3

u= F 3K per 0 u σ E

F =F =F = F 3

≤ ≤ ∆ = ∆ =

Corpo rigido

1 2 3

Fu

A

F1 2

F F3

σ0

A

2

A

0σ 3σ

0

Fig.1.24

Nella Fig.1.25 è mostrato il comportamento delle 3 aste e la risposta strutturale fino al punto A



20

∆O

1

1

O

A

1

2

2 3

3

F /F0

1

2

3

1

1

u/0

1

2

3

3

1 ∆u/0

0F/F

F / F =30A

i

Fig.1.25

1 2 3 1

0 0

3EA F uF=F +F +F =3F = u =3

F ∆⇒

Step.2– Asta 1 snervata 0 0u 2∆ ≤ ≤ ∆

1

0

F0

F=

, 2

0 0

F u

F=

∆

, 3

0 0

F u

F= ⇒

∆

0 0

F u2

F=

∆

, B 0F 5F= .

1

O

1 2 ∆u /0

2

3

0

F/F

A

B

4

5

1

2

1

3

Fig.1.26

Step.3- Aste 1_2 snervate 0 02 u 3∆ ≤ ≤ ∆

1 2

0 0

F F= =0

F F

; 3 1 2

0 0 0 0

F F Fu= = =0

F ∆ F F⇒

, 3

0 0

F u=

F ∆

0 0

F u=F ∆

⇒ , c 0F = 6F



21

Quando anche la terza asta si snerva la struttura diventa labile e non è in grado di sopportare

ulteriori incrementi di carico ed Fc=6 F0 è il carico di collasso.

1

O1 2 ∆u /

0

2

3

0F/F

A

B

4

5

6

3

DC

1

2

34

st

nd

rdth

Fig.1.27

Step 4- Aste 1_2_3 snervate 0u 3≥ ∆

1 2 3

0

FF =F =F =0 =0 u>0

F⇒ ⇒ ⇒

Collasso, ossia la struttura è un cinematismo.

- La struttura si è trasformata in un meccanismo e ogni valore di u>0 è possibile.

- Incrementi di carico 0F > non sono pertanto ammissibili.

Step 5- risposta allo scaricod

u<u , u<0

E D 0u u 2= − ∆

Fig.1.28



22

1

O

1 ∆u /0

2

3

0F/F

A

B

4

5

6 DC

2 3D∆u /

-1

1

2

1

1

1

2

1

3

F =0F20

Stato E

F=0

0F

Risposta strutturale

3

1

∆E

u /0

E0

Fig.1.29

Risposta ciclica

1

O

1 2 ∆u /0

2

3

0F/F

A

B4

5

6

3

DC

-1

F0

F =0

F=-4

Stato F

4-1-2-3

-2

-3

-4

-5

-6

L

M

GH

I E

∆ p3

2F0

F0

EA (u -F ∆

3 p )

F=-6

Stato G

0F

02F

3F

F

0

0

F

Fig.1.30

Se una struttura è iperstatica, in genere, non basta lo snervamento di un’asta per provocare il

collasso della struttura. Si osservi che:

- La plasticizzazione di un elemento modifica lo schema resistente e l’incremento di carico si

ridistribuisce in modo diverso fra le altre aste.



23

- Il valore del carico di collasso 6F0 risulta maggiore del valore 3F0 per cui si plasticizza la

prima asta e che rappresenta, a meno del coefficiente di sicurezza, il valore massimo

ammissibile nell’ambito del metodo delle tensioni ammissibili.

Influenza di uno stato di distorsione (o coazione) iniziale sul carico di collasso

Si consideri l’imposizione di un cedimento anelastico di entità ∆ nella barra centrale.

Fu

σ0

σ02 σ3 0

EA

EA

EA

u

iF

F

1 iF2 F i3

∆

ui

(a) (b) Fig.1.31

(a): Configurazione naturale (b): Configurazione iniziale

• ∆ spostamento imposto alla barra 2 ⇒ iu spostamento del blocco rigido; • Nella configurazione di riferimento 2i 1i 3iF=F -F -F =0 ; 3i 1i 2i 1iF =F F =-2F⇒

B1 1

F i1 3=Fi

i2F

O

1 32 u/∆(a)

0

Risposta delle aste

2

3

A

0F /F

2

C3

i

Risposta strutturale

1

O

2

3

1

F/F

6

5

4 BA

0

2 3

(b)

∆u/0

CCollasso

Fig.1.32

• Si può pertanto concludere che il diagramma carico spostamento e la risposta della

struttura sono diversi mentre il carico di collasso rimane lo stesso.



24

Esempio n.3: Meccanismi locali di collassoSi definisce meccanismo parziale o locale un meccanismo che coinvolge solo una parte della

struttura. Si consideri la reticolare di Fig.1.33.

P

uF

s

F

O

0P

(b)

P

u

Collasso

(a)

Fig.1.33

- Il collasso avviene quando lo sforzo F nella sezione S raggiunge il valore F0 di snervamento;- Il meccanismo non coinvolge altre aste.

Quando si ha un meccanismo parziale all’atto del collasso intere parti della struttura possono

risultare poco sollecitate.

1.5 Analisi incrementale delle travi elasto-plastiche (EPP)

1.5.1 Diagramma Momento-curvatura di una trave elastica-perfettamente plasticaSi consideri una trave ad asse rettilineo piana (i.e. l’asse y è asse di sollecitazione ed x e y assi

principali di inerzia), Fig.1.34.

• Per essa si supponga valida l’ipotesi di Eulero-Bernoulli: durante la deformazione le sezioni

rimangono piane ed ortogonali all’asse medio della trave nella configurazione deformata; il

che implica l’annullarsi degli scorrimenti (da taglio) γ = 0.



25

( yε )

y

dθ

dθ z

d

du= θd

-

+

y y

z

θ

R

R

θ

(a) (b) (c)

y

y

Fig.1.34

• L’ipotesi, sopra ricordata, di conservazione delle sezioni piane comporta:

w( z)=θ( z) y , e quindi

ε( z)=dw( z)/d z= ydθ( z)/dz= yχ( z) , la curvatura χ è definita χ=1/R , R raggio di curvatura.

• Il momento flettente Mx è definito come:

( )A

M= σ da y y∫ ( sezione della trave)

• Si assume una equazione costitutiva elastica perfettamente plastica (EPP) come illustrato inFig.1.35; ove, essendo E il modulo di Young, σ0 la tensione di snervamento e εel la

deformazione al limite elastico, risulta:

σ( y)=Eχ y se ε=χ y≤ εel

σ( y)=σ0 se ε=χ y ≥ εel

ε

σ

O

0σ

−σ0

ε−ε

el

el

Fig.1.35



26

Esempio n.1: la sezione rettangolareSi consideri la sezione rettangolare di Fig.1.36, il cui legame costitutivo è riportato in Fig.1.37.

b

xG

y

ε y

σ

d

d

deformazioni stato elastico stato plastico

−σ0

=

h

y

=ε yχ

σ0

sezione plasticizzata

0σ

−σ0

Fig.1.36

ε

σ

O

0σ

−σ0

ε−ε

el

el

el< yε = χ − ε el yε = χ ≤ ε el> yε = χ ε

0σ = σ E E yσ = ε = χ

0σ = σ

Fig.1.37

Fase elastica max ε = χh/2 < εel implica χel= 2εel/h = 2σ0 /Eh , ed essendo

h/2

-h/2

E M = b E d = EJ y y y yσ = χ ⇒ χ ⋅ χ∫

ove J è il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico x, e per la sezione rettangolare si ha :

J=bh3

/12. Quando χ=χel si ha snervamento sia all’intradosso che all’estradosso ed il momento limiteelastico vale:

Mel(χel)=EJχel=2Jσ0/h=σ0 bh2/σ



27

Ricordando che il modulo elastico è Wel=bh2/6 si può anche scrivere:

Mel=σ0Wel

Inoltre, per la linearità del tratto elastico, è possibile scrivere in forma adimensionale:

M/Mel=χ/χel

Fase elasto-plastica χ>χel=2σ0/Eh Nella fibra a distanza y=d ove si ha la transizione dal comportamento elastico a quello plastico,

Fig1.38, si può scrivere:

ε(d)=εel, e ponendo χd=εel =σ0/E, si ricava d=σ0/Eχ=(h/2)χel/χ ossia d/h=χel/(2χ).−σ

d

d

σ0

0

σ=Εχ =σd 0

Fig.1.38

Mentre nella fase elastica, M ≤ Mel, ed è proporzionale alla curvatura, ora risulta:

h/2

2

d

1 2 h 1 hM 2b E d d 2b d d + d d+ d

2 3 2 2 2 y y y y

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= χ + σ = σ ⋅ σ − − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭⎣ ⎦∫ ∫ d

0 0 0

0

22

elel

bh 3 d 3 12 M

6 2 h 2 2

2

0⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞σ χ⎛ ⎞= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟χ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

elel

3 1M M 1

2 3 /

⎡ ⎤⎛ χ ⎞⇒ = −⎢ ⎥⎜ ⎟χ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

0 el

3lim M = M M

2χ→∞=

Quando la curvatura tende all’infinito il momento flettente tende al valore M0 detto Momento limite

plastico o ultimo della sezione Fig.1.39, in corrispondenza del quale la sezione è completamente

snervata, come mostrato in Fig.1.36.



28

χ

Μ/Μ

O

1

3/2

1 /χel

el

Μ =3/2Μ0 el

Fig.1.39

( )

el el

el el el

M

M 3/2 1 1 3

/

/ /

⎧ χ χ χ ≤ χ⎪= ⎨ ⎡ ⎤− χ χ χ ≥ χ⎪ ⎣ ⎦⎩2

Nel caso specifico della sezione rettangolare si ha, Fig.1.36.

W0 = bh2/4 viene detto modulo plastico.

Il momento limite non può essere attinto che asintoticamente, per valori della deformazione ε che

tendono all’infinito; tuttavia si osservi che valori di M molto prossimi a M0 si ottengono per valori

di ε accettabili in materiali reali, come mostrato nella tabella seguente.

χ/

χel=

εmax/

εel

1 2 3 5 10

M/M0 .66666 .91666 .963 .987 .997

χ/ (M/EJ) 1.0 1.455 2.077 3.378 6.689

Esempio n2: calcolo del momento limite nelle sezioni con 2 assi di simmetria.Si può procedere in perfetta analogia con quanto fatto nel caso precedente considerando il

diagramma bi-rettangolare delle tensioni di Fig.1.36 e la geometria effettiva della sezione.

Ricordando che il momento limite elastico risulta:

Mel=Welσ0

In modo del tutto analogo si scrive il momento limite ultimo della sezione:

M0=W0σ0

Ove W0 viene detto modulo plastico.Il rapporto α=M0/Mel=W0/Wel viene indicato come fattore di forma (shape factor) e dipende

unicamente dalla geometria della sezione e risulta, per le sezioni simmetriche rispetto all’asse x,

1 ≤ α≤ 2. In Fig.1.40 sono riportati i fattori di forma relativi ad alcune sezioni.

α = 1.5 α 1.1≈ α 1.7= =α 2.37

Fig.1.40



29

Esempio n.3: Analisi incrementale di una trave semplicemente appoggiata di materiale EPP.Si consideri la trave di sezione rettangolare riportata in Fig.1.41.

P, 1

P/2 P/2

Mel

Ma

a

= P /4 ,

M, M*

b

h

aM+

= /4

Fig.1.41

•Tutte le sezioni si mantengono in campo elastico se P<Pel ≤ 4Mel/

La freccia in mezzeria vale

v=P3/48EJ

Mentre per il carico al limite elastico si ha:

vel=Pel3/48EJ=Mell

2/12EJ, pertanto v/vel = P /Pel

•Alcuni punti vanno in campo plastico non appena P>Pel, mentre poiché nella sezione di mezzeriail momento non può superare il momento limite M0 il carico non può superare il valore

P0=4M0/ (carico di collasso)

La freccia in mezzeria può essere calcolata mediante il Principio dei Lavori Virtuali come nel

seguito riportato, tenendo conto che se il momento è superiore al momento limite elastico occorre

mettere in conto la curvatura elasto-plastica in precedenza calcolata. In Fig.1.42 è riportato il

diagramma carico spostamento per la struttura in esame.

( ) ( )

-1 22 2

*

el el

el el0 0

2 P 4 Pv 2 M d = 2 d + 2 3 d

2 P 2 P

a

a

z z z z z z z z z

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= χ χ − χ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

i

( )( ) ( )e

el el2

el

vv 5 3 P P 3 2 P PP P

⎡ ⎤⇒ = − + −⎣ ⎦



30

3/2

1 /vel

el

(dP/dv) =0c

E

C

20/9

1/2

v

P/P

O

1

Fig.1.42

L’ ampiezza o spread della zona plastica cresce progressivamente al crescere del carico, tratto -2a

di Fig.1.41, tuttavia la zona ove le deformazioni plastiche interessano una porzione notevole della

sezione rimane di dimensioni assai limitate dell’ordine dell’altezza della trave; per una discussione

più accurata si rimanda al vol.III del citato testo di L. Corradi.

Il comportamento della trave se soggetta a 2 carichi simmetrici (four points bending test) è riportato

in Fig.1.43.

P

Mel M = Pa

a a

P

P/P

O

1

3/2

1

el

vv / el

∞

E

1/2

Fig.1.43

Esempio n.4: Momento limite di sezioni semplicemente simmetricheIn Fig.1.44 è riportato l’andamento delle tensioni da considerarsi per valutare il Momento limite di

una sezione a T rovescia.

Si osservi che in campo plastico l’asse neutro separa la sezione in due parti con area uguale affinché

la sezione sia in equilibrio alla traslazione secondo l’asse z e lo sforza normale N si annulli .



31

G

t

0σ

−σ0

σ0A

-

+A

Ω+

Ω-

pl.n.a.

-

t+

Fig.1.44

Sezione completamente plasticizzataasse neutro +

0 0 N d d 0 A A A 2a a+ −

−

Ω Ω

= σ + −σ = ⇒ = =∫ ∫

momento plastico

( ) pM A t A t0

− − + += σ +

1.5.2 Scarichi elasticiIn Fig.1.45 è mostrato l’evolversi dello stato tensionale in una sezione rettangolare per effetto di

uno scarico elastico. Si presti attenzione al fatto che a causa dello scarico le tensioni massime non

saranno più ai lembi estremi.

σ0

-

+

+

-

+

=

σ0

( ) yε ( ) yσ + ( ) = y

y

∆ε

= ∆χ

( ) = E

=E

y

y

∆σ ∆ε =

∆χ

⇒ ( ) = ( )

M M 0

y yσ ∆σ =

= + ∆ >

Stato elasto-plastico Scarico elastico

Fig.1.45

Alla fine della fase di scarico si avrà:



32

( )2

ep ep el el ep el

3 1M M M 0 M = M M 1 W

2 3i

⎡ ⎤= − ∆ = ⇒ ∆ = − χ χ = ∆σ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

( )

2 20

el ep el ep

3

d el ep el ep

3 11 = 1

2 3 2

3 12d h 12 2

i i

i

0

0 0

σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ∆σ = σ − χ χ ⇒ σ χ χ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤∆σ = ∆σ ⇒ σ = σ − χ χ + χ χ⎢ ⎥⎣ ⎦

Al progredire dello scarico elastico le tensioni ai lembi estremi possono anche cambiare segno.

1.6 La “Cerniera plastica”

Gli effetti della concentrazione delle deformazioni plastiche in una zona di ampiezza limitata, pari a

δ, ove il legame momento curvatura si scosta dal tratto lineare (i.e. si ha una curvatura plastica)

possono essere semplicemente messi in conto introducendo al centro del tratto δ una cerniera

plastica ( plastic hinge).

Si osservi:− In corrispondenza di una cerniera plastica è definito un legame momento – rotazione

relativa ( M-θ, Fig.1.46) di tipo rigido plastico che risulta dall’integrazione sul tratto δ della

curvaturaχ.

δ

∆φ

θ

θ

M0M0

M

O

χ el

elM

0M

χ

Μ

χ

0Μ

Μ

Μ

0Μ

θ

el

p

Fig.1.46



33

− In Fig.1.46 il momento flettente, che si suppone positivo, tende le fibre all’intradosso ed è

rappresentato con una coppia M0 che ha verso opposto alla rotazione relativa

θ, (convenzionalmente si è disegnata la coppia che la cerniera trasmette al tronco di trave ad

essa adiacente).

− dissipazione nella cerniera plastica risulta0

D=M =Mθ θ

1.7 Analisi incrementale di travi e telai elasto-plastici (EPP)

Le ipotesi costitutive che implicitamente vengono fatte quando si assume che la generica sezione o

risulta in campo elastico o è sede di una cerniera plastica flessionale sono:

Si trascura l’influenza dello sforzo normale e del taglio sullo snervamento della

sezione

In campo elastico si assume M=EJ χ Si considera l’attivazione di una cerniera rigido-plastica come descritto nel

paragrafo 6 per cui si ha:

( ) 0M M M 0φ = − ≤ funzione di snervamento

M ,

∂φ⎛ ⎞θ = λ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 0λ ≥ regola del flusso

Esempio n.1: Trave incastrata alle estremità La trave in Fig.1.47, di rigidezza EJ e di resistenza plastica M 0 costanti, è due volte staticamente

indeterminata potendosi assumere, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, uguali a zero le reazioni

orizzontali e lo sforzo normale.

CA B

q = q0

Fig.1.47

In figura si indica con µ il moltiplicatore dei carichi e con q0 il valore di riferimento del carico; al

crescere del moltiplicatore sulla trave inizialmente elastica si formano due cerniere alle estremità

ove il momento è massimo in modulo. La trave si comporta come trave semplicemente appoggiata

per il successivo incremento di carico e si forma una terza cerniera nella mezzeria C. La trave,

divenuta labile, si trasforma in un meccanismo (meccanismo di collasso) e non è in grado di

sopportare ulteriori incrementi di carico. Una diminuzione del carico, ovvero un carico di segno

opposto, può tuttavia indurre lo scarico elastico nelle cerniere.



34

• Step 1: risposta elastica el0 ≤ µ ≤ µ

M (z)

+

− −1/12 q

2

1/24 q 2

u =

u (z)

4

q

384 EJmax

Fig.1.48

Elastic limit load 2 0A B 0 el el 02

12M1M M q M q q

12

⎛ ⎞= = − = − ⇒ = = µ⎜ ⎟⎝ ⎠

0el 2

0

12M

qµ =

,

4 2

el 0 0el

q Mv

384 EJ 32EJ

µ= =

,

el

2 0c el 0

1 MM q =

24 2= µ

• Step2 : cerniere plastiche nelle sezioni A-B el 2µ ≤ µ ≤ µ

Mc

A B

MM

0 0q= q0µ

MM

(a)

0

qµ0

0

(b)

M0

qµ0

0Mel

(µ − µ )

vep

∆

(c) Aθ

+

Bθ

qel 0

=

M

(d)

0M

0

Fig.1.49



35

( ) 20c el 0

M 1M q

2 8= + µ − µ

( )4

el el 0

5v v q

384 EJ= + µ − µ

; ( ) 0

A B el

q

24EJθ = θ = µ − µ

Cerniera plastica nella sezione di mezzeria C ( )2

µ = µ

0c 0 2 2

0

16MM M

q= ⇒ µ =

2 el 4 3µ µ =

( )2

2 4 2

0 0c 2 el 0

M 5 Mv q

32EJ 384 EJ 12EJ= + µ − µ =

;

2 2

0A B

M

6EJθ = θ =

2c elv v 8 3=

• Step 3: cerniere plastiche nelle sezioni A-B-C

µ

0M0MA

3

M0

M0 q0

Fig.1.50

Meccanismo di collasso

Si osservi che nella condizione di collasso incipiente la struttura è ancora in equilibrio e si ha:

(1) A B 3 0V +V q= µ

(2) 2A 3 0V =1 2 qµ

(3) 2

c A 0 3 0 0M V 2 M 2 q 4 M 0= − − µ − =

( ) ( )2 0A 3 0 3

4M l2 V 1 2µ q µ q 3

4⇒ → = = + ← ⇒

equilibrio limite 2

3 0 0 2µ 16M q µ= =

AM0 M0

M0

µ q03

VB

0M

VA

C

Fig.1.51

L’equilibrio è possibile solo se µ=µ3=µc=16M0/q02; se µ>µc l’equilibrio non è più possibile.

In Fig.1.52 è riportato il diagramma carico-spostamento per il problema in esame, che risulta lineare

a tratti. La formazione di una cerniera plastica modifica la struttura originaria, che man mano

diminuisce la sua iperstaticità e diviene più deformabile; in corrispondenza al moltiplicatore di

collasso µc la struttura diviene labile e può avere un atto di moto rigido senza alcun incremento di

carico. Una diminuzione del carico fa sì che tutte le cerniere ritornino in campo elastico e la

struttura riassuma la rigidezza (pendenza) iniziale.



36

O

1E

µ/µC

el

4/3

1 2 8/3 v/vel

E

M /6EJ

µ/µel

θ ,θo A B

S t e p 2

S t e

p 1

D

e l a

s t i c o

c e r n i e r a

A, B

cerniera CDC

O

θCO

EE

Fig.1.52

Il collasso avviene quando si forma la terza delle cerniere plastiche (allineate). Si tratta di un

meccanismo globale che coinvolge l’intera struttura; non rimangono infatti nella struttura tratti

almeno isostatici.

Rimuovendo completamente il carico le cerniere plastiche non si richiudono e nella struttura resta

uno stato di auto-tensione generato dalla presenza delle 3 distorsioni angolari in A,B e C.

• Step.4: scarico elastico Distorsioni imposte

A B C , ,θ θ θ

AM 0 M 0

M0

µ =4/3c

0M

µel

(b )

(a )

=

µ

(c )

c

θA B

θ

θC

q0

+

(d )

+ 1/3 M 0

Fig.1.53

In Fig.1.53 è riportato il diagramma dei momenti generato dalla presenza delle distorsioni plastiche.

Esso è auto-equilibrato, ovvero è in equilibrio con carichi esterni nulli.



37

θB

M 0

θA

θC

Fig.1.53.a

In Fig.1.53.a è riportato lo stato E di deformazione residue permanenti.

Se nella struttura fossero stati presenti cedimenti vincolari o stati di coazione termica etc. la

risposta strutturale, ovvero il diagramma carico spostamento, sarebbe stato diversa ma il valore del

moltiplicatore dei carichi per cui si attiva un meccanismo di collasso non sarebbe cambiato.

Nel caso in esame la trave è iperstatica e il moltiplicatore di collasso risulta i 4/3 del moltiplicatore

al limite elastico. Dopo la formazione delle due cerniere di estremità si ha la redistribuzione delmomento flettente e la struttura ha ancora riserve di resistenza. Nella trave appoggiata vista in

precedenza unicamente il fattore di forma α rappresenta la riserva di resistenza dopo lo

snervamento delle prime fibre.

Esempio n.2: Portale

In Fig.1.54 è riportato un portale tre volte iperstatico (e tre volte staticamente indeterminato), avente

rigidità EJ e di momento limite M0

costanti, soggetto ad un carico P0

applicato nella mezzeria del

traverso. Al crescere del carico P si forma inizialmente una cerniera in E, quindi altre 2 cerniere

alle estremità della traverso; si ha dunque un meccanismo di collasso parziale.

EJ,M const0

E

A B

C D

P =µ P0

Fig.1.54



38

Step 1: Risposta elastica el≤ µ ≤ µ0

M

−

+

1/12 P

+

− −

−

1/6 P

+

1/24 P

Fig.1.55

Ponendo il momento in E pari al momento limite si determina il moltiplicatore limite elastico.

Mel=P/6=µelP0/6 = M0 , da cui µel=6M0/P0

Step 2: Formazione della cerniera plastica in E

A B

C D

µP0

M M0 0

E

=

M0 M0

Pµ 0el

+

(µ−µ )el P0

θ

Fig.1.56

In Fig.1.56 sono riportati il diagramma del momento all’atto della formazione della prima cerniera

ed il diagramma del momento corrispondente al successivo incremento di carico.

Si formano pertanto 2 cerniere nelle sezioni C e D (m=m2). Imponendo che il momento in esse

raggiunga il momento limite si può scrivere:

MC=-M0 –(µ2-µel)P0/4 =-M0, da cui µel=8M0/ P0



39

M /2

−

+ +

− −

−+

+ +

−

−

+

−

−

elµ 0P

0M /2

0

M /40

M /40

P0elµ

M0

+

0P

elµ )(µ−

(µ−µ )0el

P /4

µ )(µ−el

P /80

(µ−µ )0el

P

Fig.1.57

E’ possibile valutare la rotazione relativa della cerniera in E applicando il Principio dei lavori

virtuali, Fig.1.58 e Fig.1.59.

+ +

−

−+

−

−

0

0P =µ )(µ −

θ

2 el2M /

0

M z/

M /20

0M /2 (1- 3 z/ )

0M /4

E2

z

Fig.1.58

1 1

1

1

− −

1 1

− −M*

Fig.1.59

( )2

2

* 0 0 0E

-1M M MMM EJd 2 1 3 d 2 d

4EJ EJ 8EJ

/ z

z z z z⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞θ = = − − + − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ∫

0 0



40

Step 3 : Formazione delle cerniere plastiche in C e D

A B

0

Pµ

C

M0 ME

0

D

3

MA

AH

VA VB

BHBM

M0 M0

M0M0

M

M0

M0 0

M0

VC DV

03Pµ

E

0M

(a) (b)

Fig.1.60

Come detto in precedenza all’atto del collasso incipiente (µ=µc=µ3) la struttura è in equilibrio; dalla

Fig.1.64b considerando l’equilibrio del tratto C-E si ha:

Vc=µ3P0/2=4M0/, da cui µc=µ3=8M0/P0

In corrispondenza a questo valore del moltiplicatore si formano 3 cerniere allineate, si ha pertanto

un tratto labile , tuttavia il numero delle cerniere non ha superato il grado di iperstaticità. La

struttura dunque presenta un meccanismo di collasso parziale in quanto coinvolge solo una partedella struttura.

Infine in Fig. 1.61 è riportato il diagramma carico spostamento della struttura in oggetto.

O

6E

µ/µC

el

8

v/vel

E

M /8EJ

µ/µel

θo E

S t e p 2

S t e

p 1

D

e l a s t

i c o

c e r n i e r a

E

cerniere C, DDC

O

θCO

D,θ

Fig.1.61

In conclusione si osservi che anche una modifica della rigidezza della struttura (senza modificarne il

momento limite) non comporta una variazione del carico di collasso ma solo della risposta

strutturale ed eventualmente del diagramma del momento. l’eventuale presenza di stati di coazionee/o di cedimenti vincolari ha, come discusso nell’esempio precedente, le stesse conseguenze.

Analisi Increment Ale Di Strutture Elasto-plastiche

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