Analisi e gestione del rischio Lezione 10 Rischio di Credito: Modelli Strutturali.
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Analisi e gestione del rischio
Lezione 10
Rischio di Credito:
Modelli Strutturali
Rischio di default: misure• Premio per il rischio di default
– Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo che è determinata dal rischio di default
EL = DP X Lgd – Credit spread: la differenza tra il rendimento a
scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche finanziarie
Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity
Modelli del rischio di default • Modelli strutturali
– Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la sua linea di business ed il suo stato patrimoniale)
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria delle opzioni
• Modelli in forma ridotta (intensity based)– Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle
probabilità di default ed il tasso di recupero
– Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria della struttura a termine
Modelli strutturali L’approccio di Merton
• Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente – La probabilità di default– Il recovery rate nell’evento di default– Il valore del debito e del capitale dell’impresa
• Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni
Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Debito
Risk Free
Default Put
Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–B,0)
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Debito
Valore azienda
Equity
Il modello di Merton
• Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità.
• Il rischio di default è descritto dal pay-offValore del debito alla maturità = min (B,V(T))
…e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè
Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioèDebito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)
Modigliani-Miller• Dalla relazione di parità tra opzioni put e call
abbiamoV = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T)V = valore dell’attivo (valore dell’impresa)Call(V,t; B, T) = Valore del capitale
• La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability
• Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default
Un modello binomiale
Tempo T Stato No default Default
Valore dell’impresa V(H) V(L) Valore del capitale V(H)-B 0 Valore del debito B V(L)
Opzione default put 0 B - V(L)
Credit spread
• Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))]
con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L))
…e in termini di rendimento a scadenza… Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t))
Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t))
…otteniamo il credit spread r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t)
Determinanti dei credit spread
• Il credit spread è non-negativo
r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t)
• Il credit spread tende a zero se – La probabilità di default tende a zero– La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1)
• Il credit spread raggiunge il suo valore massimo quando il tasso di recupero va a zero
r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t)
4040
Un esempio: finanziamento di un progetto
Valore attivo Debito
120
Valore di mercato dell’equity = 30
Prezzo del titolo risk-free = 1
Valore nominale del debito = 80
Equity
4080
0
Soluzione
• Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30, possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la probabilità di default aggiustata per il rischio è 0.25
• Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70 • Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il
valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100• N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è
determinato a partire dal valore del derivato, cioè il capitale dell’azienda.
Modello di Merton
• Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il valore dell’azienda segue un processo geometrico browniano ed i valori di capitale e debito sono determinato utilizzando la formula di Black e Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread sono
1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio
2) La volatilità del valore dell’attivo
Modello di Merton• Valore dell’impresa: processo geometrico browniano
dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t)
• Valore del capitale: un’opzione call
tT
tTrBtVd
tT
tTrBtVd
dBNedNtVf
V
V
V
V
tTr
)2/(/ln
)2/(/ln
)(
2
2
2
1
21
Modello di Merton
• Il valore del debito:
…può essere scomposto come…
21
21)(
,
dBNedNtV
dBNedNtVtV
ftVTtF
tTr
tTr
Modello di Merton
…debito default-free meno una default put option
…e in termini moderni…
21
21
21
tV
tV
tV,
dBNedNBe
dBNedNBe
dBNedNTtF
tTrtTr
tTrtTr
tTr
Modello di Merton
…debito default-free per (1 – Dp x Lgd)
Dp = Default probabilityLgd = Loss given default = 1 – RRQuasi-debt to firm value (quasi-leverage)
d = Bexp(–r(T – t))/V(t)
11
tV11
tV,
2
12
21
RRDpBe
dN
dN
BedNBe
dBNedNTtF
tTr
tTrtTr
tTr
Copertura del rischio di credito
• Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1))
• Strategia 1: acquistare una default put/swap– Si tratta di un derivato di credito che consente di
acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito
• Strategia 2: vendere azioni dell’emittente– Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano
un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato
Modello KMV™
• Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T
• Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva
• Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della non-normalità della distribuzione
tT
tTBVNBV
V
V
2//ln
Pr2
Il modello di Merton e i dati:la maturità a 10 anni (USA)
Rating Leverage Volatility Predicted credit spread
Observed credit spread
% explained
Aaa 13.1% 27.8% 8.0 63 12.6% Aa 21.2% 23.4% 10.0 91 11.0% A 32.0% 19.7% 14.3 123 11.6%
Baa 43.3% 18.8% 32.0 194 16.5% Ba 53.5% 25.2% 137.9 299 46.1% B 65.7% 35.2% 363.3 408 89.0%
Source: Wang ang Wang (2000).
Covenants (Black e Cox, 1976)
• Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà l’episodio di default può avvenire prima della scadenza, quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore minimo.
• Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per tener conto del fatto che il valore del debito può essere monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la restituzione del debito.
• E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è un’opzione call con barriera (down-and-out call).
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
0 5 10 15 20 25 30 35Maturità
Cre
dit
Spre
ad
No-Covenant
Covenant
Debito senior e junior: l’approccio strutturale
Debito senior e junior: valutazione
• La valutazione è molto semplice• Valutiamo anzitutto il debito complessivo
Debito Complessivo = P(t,T)B – put(V,t;B,T)
• Valutiamo il debito senior,Debito senior = P(t,T)S – put(V,t;S,T)
• Valutiamo il debito junior per differenzaDebito junior = P(t,T)J – [put((V,t;B,T) – put(V,t;S,T)]
• N.B. Il rischio di credito del debito junior è rappresentato da uno spread put, che al limite approssima la probabilità risk-neutral di default