Analisi e Gestione del Rischio

Lezione 7

Prodotti non-lineari e simulazioni Monte Carlo

Non linearità nel portafoglio

• Prendete un titolo obbligazionario a tasso variabile con un cap o un floor?

• Qual è la differenza in termini di flussi?– Un titolo con cap include una posizione corta in una

serie di opzioni call

– Un titolo con floor include una posizione lunga in una serie di opzioni put.

• Di che segno è la sentitività a un aumento dei tassi forward?…e a cambi della volatilità?

Esempio

• Struttura a termine “bootstrappata” dai tassi swap del 17 marzo 2006.

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tassi Swap

Tassi Forward

Cedole attese con cap e floor (4%)

-2,00%

-1,00%

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Flloor

Cap

Cedole Attese

Rischio Gamma

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

-1,00% -0,80% -0,60% -0,40% -0,20% 0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00%

Cap

Floor

Rischio Vega

-€ 3.000,00

-€ 2.000,00

-€ 1.000,00

€ -

€ 1.000,00

€ 2.000,00

€ 3.000,00

-1,50% -1,00% -0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50%

Cap

Floor

Modelli Delta-Gamma

• Un approccio per la valutazione del rischio di posizioni non lineari è dato dalla rappresentazione della loro sensitività con un’espansione di Taylor, in termini di delta e gamma (il gamma è necessario perché rappresenta la non linearità della posizione.

• Il problema di questo tipo di rappresentazione è che mentre la parte “delta” conserva l’ipotesi sulla distribuzione del sottostante (ad es. la normalità), il termine gamma corrisponde a un fattore di rischio al quadrato, che ha una distribuzione più complessa (ad es. chi-quadro).

• La distribuzione corrispondente all’espansione di Taylor deve quindi essere approssimata con metodi statistici, come ad es. il metodo dei momenti

Approssimazione Delta-Gamma • Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio

che identificheremo col prezzo del sottostante S.

• Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al secondo ordine possiamo esprimere la variazione di prezzo dell’opzione in funzione della variazione di prezzo del sottostante come

22

2

2

2

1

2

1SSS

S

VS

S

VV

22

2

2

2

1

2

1SSS

S

VS

S

VV

22

2

1

S

S

V

S

S

S

V

S

V

V 22

2

1

S

S

V

S

S

S

V

S

V

V

• Alcuni metodi che permettono di affrontare il problema del calcolo del percentile in maniera sufficientemente generale sono offerti dalla statistica

• Questi metodi si basano sul calcolo dei momenti della distribuzione da stimare al fine di approssimarla con una distribuzione di forma nota di cui sia possibile calcolare in maniera semplice il percentile per ogni livello di confidenza desiderato.

• Metodi

Famiglia di JohnsonEspansione di Cornish-Fisher

Approssimazione Delta-Gamma

-2

-1

0

1

2

3

4

5

15.2 16.2 17.2 18.2 19.2 20.2 21.2 22.2

Black & Scholes Delta Delta-Gamma Payoff a scadenza

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

15.2 16.2 17.2 18.2 19.2 20.2 21.2 22.2

Black & Scholes Delta Delta-Gamma Payoff a scadenza

Il metodo Monte Carlo• Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata

sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari

rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio

da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;

• Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore

atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la

media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni

effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui

essa dipende.

Il metodo Monte Carlo in finanza

• In finanza il metodo Monte Carlo è utilizzato per la

determinazione del valore delle opzioni, o la perdita ad un

certo livello di probabilità

• Il punto di partenza consiste nella definizione del processo

dinamico seguito dal sottostante.

• Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune

assumere che il sottostante segua un processo di tipo

geometrico browniano.

Generazione di dati casuali• Diversi metodi possono essere utilizzati per

l’estrazione di dati da una distribuzione H(.). • Dato il valore x, la trasformata integrale H(x), definita

come la probabilità di estrarre un valore minore o uguale a x ha distribuzione uniforme nell’intervallo tra zero e uno.

• Allora è naturale utilizzare l’algoritmo– Estrarre una variabile u da una distribuzione uniforme in

[0,1]– Calcolare dall’inversa di H(.): x = H –1(u)

• La variabile x è estratta dalla distribuzione H(.)

Monte Carlo: utilizzo• Calcolo del prezzo di strumenti derivati.

– Indicando con fT il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore ad oggi, f, sarà dato da

L’idea guida del metodo MC consiste nello stimare tale valore attraverso la simulazione dei possibili valori assunti nel corso del tempo dalle variabili sottostanti, di cui il prezzo del derivato è funzione;

– Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente ampio di possibili valori finali possiamo poi stimare il nostro integrale come media aritmetica di tali valori.

TrT fEef ˆ TrT fEef ˆ

Monte Carlo: utilizzo

• Valutazione del VaR di un portafoglio di derivati non lineari.

• Vengono determinati scenari di valori del sottostante alla data di smobilizzo. Per ognuno di questi scenari viene rivalutato il portafoglio di prodotti derivati, e l’eventuale perdita rispetto al valore attuale

• Viene calcolato il percentile empirico della distribuzione di profitti e perdite del portafoglio.

VaRLPE &1 VaRLPE &1

Un processo per i prezzi azionariProcessi per il Sottostante

Generazione Scenari

Distribuzione probabilistica dei premi

Calcolo della media e dell’errore

Il metodo Monte Carlo• l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come

l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce all’aumentare di n come

• Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema. • E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte

Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce con l’aumentare del numero di dimensioni.

n/1 n/1

tzt2S

S 2

0

ln tzt2S

S 2

0

ln

tzt2

SS2

0 exp

tzt2

SS2

0 exp

Un processo per i prezzi azionari

Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1).

Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1).

Obbligazioni con Opzioni Call

ABN Amro

Obbligazioni con opzioni call

• Composizione del prodotto.

• Rimborso a scadenza garantito

• Cedole fisse determinate su uno scadenzario

• Cedole variabili determinate alla fine

• Facoltà di estinzione anticipata del titolo da parte dell’emittente

• Evento di estinzione del titolo

Cedola variabile• La cedola variabile è determinata come

VN*Max(Y,P*Performance)dove VN è il valore nominale, P è il tasso di partecipazione, la performance è la variazione di prezzo di un sottostante in un periodo di tempo assegnato, e Y è il valore minimo della cedola (floor)

• Un’altra possibilità èVN*Min[X,Max(Y,P*Performance)]

dove X è il valore massimo della cedola (cap) e Y è il valore minimo (floor).

• La rilevazione della performance può essere fatta sia con modalità europea (ad una data prestabilita) o con modalità asiatica (media di rilevazioni)

Cedola variabile (senza cap)

• Analizziamo il caso in cui non sia presente il cap.• Il pay-off della cedola variabile può essere

scomposta come• Cedola Variabile =

=Y + Max(P*Performance – Y, 0) == Y + P*Max(Performance – Y/P, 0)

• NB. Y rappresenta il rendimento garantito a scadenza. Se la performance è minore di Y/P la cedola paga Y.

L’introduzione di un cap

• Assumiamo di introdurre un limite massimo al pagamento di interessi. Definiamo X tale limite.

• Introduciamo nella cedola prima descritta una posizione corta in P opzioni con strike pari a X/P. Il valore della cedola sarà allora.

• Cedola Variabile = = Y + P*Max(Performance – Y/P, 0) – P*Max(Performance – X/P, 0)

• E’ agevole verificare che se la performance è maggiore di X/P il valore della cedola è X.

Il portafoglio di replica• Piano di rimborso = lungo uno zero coupon pari al

valore nominale e scadenza pari alla maturità del titolo.

• Cedole fisse = lungo una sequenza di zero coupon bond che pagano le cedole fisse determinate nel contratto più l’eventuale cedola garantita alla maturità.

• Cedola variabile = lungo un numero P di opzioni call con strike pari a Y/P .

• Cap = corto un numero P di opzioni call con strike pari a X/P

Analisi di sensitività• Il prodotto è lungo nel sottostante. Questo è

evidente nel caso in cui non sia presente il cap. La sensitività aumenti del sottostante è misurata dal delta e dal gamma delle opzioni. In presenza di un cap, la sensitività ad aumenti del sottostante si riduce, ma resta positiva (perché il delta di una call diminuisce all’aumentare dello strike)

• In assenza di cap, il prodotto è senz’altro lungo di volatilità. La sensitività a cambi di volatilità è attenuata, e il segno può essere invertito (es. un livello del sottostante molto vicino al cap).

Gerarchia dei fattori di rischio• L’opzione sul sottostante rappresenta senza dubbio

il fattore di rischio più rilevante. Da un lato infatti è l’elemento caratterizzante del prodotto, dall’altro la volatilità del sottostante è probabilmente maggiore della volatilità della curva dei tassi (almeno per normali livelli di duration).

• Il valore del titolo risentirà comunque anche di aumenti della struttura a termine dei tassi di interesse e di aumenti dello spread di credito pagato da ABN Ambro.

Considerazioni sulla comunicazione dei rischi

• Questo titolo consente di osservare come l’arte della comunicazione dei rischi sia diversa dall’analisi del rischio.

• In primo luogo, la sensitività alla volatilità rappresenterebbe un aspetto assolutamente rilevante per un trader. Tale aspetto non viene tipicamente comunicato all’investitore al dettaglio.

• In secondo luogo, la scelta dell’opzione asiatica creerebbe problemi di copertura a un trader, mentre riduce il rischio del prodotto per l’investitore al dettaglio.