ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE DI STRUMENTI ELEMENTARI (parte 2)
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ANALISI DELLE CARATTERISTICHE DINAMICHE
DI STRUMENTI ELEMENTARI(parte 2)
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FUNZIONE DI TRASFERIMENTOFUNZIONE DI TRASFERIMENTO
Se come funzione in ingresso si considera la funzione impulsivaUNITARIA di DIRAC, la cui L-trasformata vale 1, allora si può definire la funzione di trasferimento come:
La Gu(s), L-trasformata della risposta gu(t), può essere scritta come somma di due termini: Gu(s)=Gul(s)+Guf(s)
n
r
rr
m
r
rri
ulu
sa
sbsGsGsG
0
0
)()()(
)(DGuf
n
r
rr
m
r
rr
i
uf
sa
sb
sG
sGsT
0
0
)(
)()( Condizioni iniziali
tutte pari a 0
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Se si considera un strumento soggetto ad ingresso armonico con andamento sinusoidale, allora si può definire la funzione di trasferimentosinusoidale, sostituendo s con i, come
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidaleFUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale
n
r
rr
m
r
rr
i
uf
ia
ib
iG
iGiT
0
0
)(
)()(
Per gli strumenti e, più in generale, i sistemi che si analizzeranno,si assume n mT(i) è una funzione complessa del tipo:
)Im()Re()( iiiiT
1)
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FUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidaleFUNZIONE DI TRASFERIMENTO sinusoidale
La funzione di trasferimento sinusoidale può essere posta nella forma:
)]([)()( ieMiT
Dove: 22 )][Im()][Re()()( iiiTM
)Re(
)Im()(
arctg
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Il diagramma di Bode è quello comunemente più usato e nella forma chevede le ascisse rappresentate come log(), le ordinate come 20 log|M|.I logaritmi sono in base dieci pertanto nelle ascisse si avranno decadi inordinata Decibel [dB]
La funzione di trasferimento (si veda eq. 1), ricavate le radici a numeratoree a denominatore, può essere sempre fattorializzata nella forma:
'
1
'
1
'2
1 1
2
)'(
1'
'2'
)'1(
12)1()(
)()'(
)(
s
k
t
k nkk
nkk
s
k
t
k nkk
nkk
k
k
k
k
iii
iiii
KiT
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
I termini che compaiono nella precedente relazione hanno il seguentesignificato:
)'()( i
0
0
a
bK Sensibilità statica
Radici con molteplicità e ’, rispettivamente per NUM. E DENOM.
)(
)1(k
ki
)'(
)'1(k
ki
k
nkk
nk
ii
12
2
Radici con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. e DENOM.
k
nkk
nk
ii'2
1'
'2'
Coppie di radici complesse coniugate con molteplicità k e ’k rispettivamente per NUM. E DENOM.
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
In generale, quindi, la funzione di trasferimento può essere semprerappresentata come:
)(......)()()( 21 iTiTiTiT z
Dove z = s + t + s’ + t’ + - ’ :
Il modulo della funzione di trasferimento sarà:
)(......)()()()( 21 iTiTiTMiT z
Introducendo la relazione in dB:
)(log......)(log)(log20)(log20 21 iTiTiTM z
Il modulo della funzione di trasferimento si traccerà sul diagrammadi Bode e sarà ottenuto come somma di ciascun contributo
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Come si rappresentano i contributi di ciascun termine?
0
0
a
bK Sensibilità statica
Contributo nullo alla fase
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Il modulo nel diagramma logaritmico è una retta che passa per l’origine, inclinata di ( - ’)*20 [dB]/decade. L’eq. Di tale retta è:
Fase: retta parallela alle ascisse con eq:
)'()( i
)log(20)'()( M
2)'(
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Modulo:Il diagramma asintotico del modulo è costituito da due rette, che si intersecano nel p.to di rottura log(1/) e che si ottengono dalla relazione
)]log(20)log(20[log20 M
2)(1log20log20 M
per 1k
per 1k
0log20 M
Diagramma asintotico del modulo per >0 e <0Il modulo in corrispondenza dei p.ti di rottura, passa per+3 dB e -3 dB
)(
)1(k
ki
Termini del tipo
+3 dB
-3 dB
rappresenta la molteplicità
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
FASEsi hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisseed uno con ordinata pari a
)(
)1(k
ki
Diagramma asintotico della fase per >0 e <0
Termini del tipo
2
rappresenta la molteplicità
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Moduloper ogni termine a numeratore o a denominatore si hanno due asintoti, uno che coincide con l’asse delle ascisse ed l’altro (con segno + o -, rispetticamente pernumeratore e denominatore) che si ottiengono da:
Termini del tipok
nkk
nk
ii
12
2
2
1
222
2120log20
nkk
nk
LogM
rappresenta la molteplicità
0log20 Mper 0
)]log()[log(40log20 nM per
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Diagramma asintotico del modulo
Termini del tipok
nkk
nk
ii
12
2
Log(n)p.to di rottura
Log()
20Log(M)
40 [dB]
Log(10n)
Pendenza40 [dB/decade]per = +1
Pendenza- 40 [dB/decade]per = -1
-40 [dB]
Log(n)p.to di rottura
Log()
Log(10n)
20Log(M)
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Diagramma asintotico della fase
Termini del tipok
nkk
nk
ii
12
2
Log(n)p.to di rottura
Log()
2
Log(10n)
= per = +1
2
1
2
n
narctg
Log(n)p.to di rottura
Log()
Log(10n)
= - per = -1
-2
-
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Rappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO nelRappresentazione della FUNZIONE DI TRASFERIMENTO neldiagramma di Bodediagramma di Bode
Per =0.6-0.7,il diagramma asintotico della fasepuò essere tracciato analogamente ai termini (1+i)
Termini del tipok
nkk
nk
ii
12
2
Log(n)p.to di rottura
Log()
2
Log(10n)
= per = +1
2
1
2
n
narctg
Log(n)p.to di rottura
Log()
Log(10n)
= - per = -1
-2
-
Log(0.1n)
Log(0.1n)
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ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimentouna funzione di trasferimento
642
118
1010)10(
)1010()(
ii
iiiT
Si raccolgono i termini conformemente a quelli noti:
)(i0
0
a
bK
)1( ki
12
2
nkk
nk
ii
110
210
)1.01(
)101(10
11010
10)1.01(10
)101(10)(
3
2
3
3
26
26
38
ii
i
ii
ii
iiiT
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ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di ESEMPIO: diagramma di Bode asintotico in modulo e fase di una funzione di trasferimentouna funzione di trasferimento
Si calcolano i valori noti e i punti di rottura per ciascun termine:
110
210
)1.01(
)101(10)(
3
2
3
3
ii
i
iiiT
I°: 10K ][20)log(20 dBK
II°: )101( 3 i 310 31
log
III°: )1.01( i 1.0 11
log
IV°: 1000n 3log n
110
210 3
2
3
ii
P.ti di rottura
Diagramma asintotico del modulo e della fase tracciati in classe