Cómo determinar una ecuación lineal de demanda a partir de datos sobre Precios (variable independiente X) y Cantidad (variable dependiente Y)

Método del análisis de regresión

El objeto de un análisis de regresión es descubrir la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables

independientes ( X X X1 2 3, , , ... ). Para lograrlo, se debe postular una relación funcional entre las variables. Debido a su simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal.

Cuando solo existe una variable independiente (en este caso el Precio X), esto se reduce a una línea recta:

XbbY 10ˆ +=

donde los coeficientes b0 y b1 son parámetros que definen la posición e inclinación de la recta. Nótese que hemos usado el símbolo especial Y

para representar el valor de Y calculado por la recta. Como veremos,

el valor real de Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado Y , por lo que es importante hacer esta distinción. Además, nunca olvidar

que en el caso de la función de demanda: donde Y es cantidad demandada, el signo del coeficiente b1 siempre es negativo.

El siguiente diagrama muestra seis pares de puntos observados (x,y). A este tipo de diagrama se le conoce como diagrama de dispersión. Los pares (x,y) son datos observados, esto es, reales.

Y

X

(x,y)

En cambio, el siguiente diagrama muestra la línea expresada por la

función donde los puntos sobre ya no son los puntos

observados, sino los obtenidos de dicha función. Con esta función se

puede entonces estimar (predecir) cantidades demandas (y) para

distintos precios (x)

El parámetro b0 conocido como la “ordenada en el origen,” nos indica cuánto es Y cuando X = 0. El parámetro b1, conocido como la “pendiente,” nos indica cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X (nótese que la pendiente será negativa en el caso de la demanda). Nuestro problema consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes b0 y b1 a partir de una muestra de observaciones de las variables Y y X. En el análisis de regresión, estas estimaciones se obtienen por medio del método de mínimos cuadrados

Veamos el siguiente ejemplo de Precios (x) y cantidad demandada (y).

Y X 200 7 195 8 180 9 183 10 176 11 170 12 160 13 153 14 142 15

Y

X

XbbY 10ˆ +=

De acuerdo con este método de mínimos cuadrados, las formulas para b0 y b1, son las siguientes:

bXY y X

X x X1 2=∑ − ∑∑ − ∑

b y b x0 1= −

En la práctica, los cálculos se efectúan por medio de programas de computadora, por lo que para este ejemplo no se muestran los cálculos detallados. En nuestro ejemplo, aplicando estas fórmulas encontramos b0 y b1, por lo que la función es: = 97.87 - 75.35X

Se pueden entonces obtener dos pares de puntos (x,y) (0 , 97.87) es decir cuando x es cero, y es 97.87 (1.29 , 0) es decir cuando y es cero, x es 1.29

Así, podemos unir estos pares de puntos mediante una recta, para

visualizar la función de demanda Y .

(0 , 97.87)

(1.29 , 0)

Y

X

Y

XbbY 10ˆ +=