ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS · Análise Matricial de Estruturas . FESP Faculdade de Engenharia...
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Engenharia Civil Estabilidade das Construções II
ANÁLISE MATRICIAL
DE ESTRUTURAS
Prof. Alfonso Pappalardo Jr.
São Paulo 2014
Análise Matricial de Estruturas
1.1 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA
x
y nó inicial nó final
1 32 4u u,u ,u
1 3
2 4
u u
u u
Esquema 1 Graus de liberdade e esforços do elemento i-j de treliça plana no sistema local
1 3
2 4
f f
f f
2 GL /NÓ
=−
4
3
2
1
ffff
jif
=−
4
3
2
1
uuuu
jiui j
i j
i j
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1/88
Análise Matricial de Estruturas
Força necessária a ser aplicada no grau de liberdade 4 para produzir um deslocamento unitário no grau de liberdade 1
=−
4
3
2
1
ffff
jif
=−
0
0
0
1
jiu
jijiji −−− ⋅= ukf
××××××××××××
=−
41
31
21
11
ffff
jik
Grau de liberdade 1
1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
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Análise Matricial de Estruturas
1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Quadro 1 Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
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Análise Matricial de Estruturas
1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Quadro 1 (cont.) Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
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Análise Matricial de Estruturas
1.1.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Matriz de rigidez do elemento i-j de treliça plana no sistema local
=−
−
−
00000/0/00000/0/
LEALEA
LEALEA
jik
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Análise Matricial de Estruturas
1
3
2
4
u
u
u
u
α
−
−=
αααα
αααα
cos00cos00
00cos00cos
sensen
sensen
T
Matriz de transformação do sistema global (referência) para o sistema local (barra):
1.1.2 Matriz de Transformação
jiji −− ⋅= UTujiji −− ⋅= FTfEsquema 2 Elemento de treliça
plana com 4 graus de liberdade em relação ao sistema global
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U2
U1
U4
U3
=−
4
3
2
1
UUUU
jiU
=−
4
3
2
1
FFFF
jiF
Análise Matricial de Estruturas
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1.1.2 Matriz de Transformação (cont.)
jijiji −−− ⋅= ukf
jijiji −−− ⋅⋅=⋅ UTkFTMatriz de transformação é uma matriz ortogonal, ou seja:
TTT =−1
Assim, pré-multiplicando ambos os termos da expressão anterior, tem-se:
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Análise Matricial de Estruturas
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1.1.2 Matriz de Transformação (cont.)
TkTK ⋅⋅= −− jiji T
Transformação da matriz de rigidez do sistema local (barra) para o sistema global (referência):
jijiTjiT −−− ⋅⋅⋅=⋅⋅ UTkTFTT
jijiTji −−− ⋅⋅⋅= UTkTF
jijiji −−− ⋅= UKF
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Matriz de rigidez do elemento i-j de treliça plana no sistema global
⋅−⋅−⋅⋅−−
−⋅−⋅⋅−−⋅
⋅=−
αααααααααααα
αααααααααααα
22
22
22
22
coscoscoscoscoscos
coscoscoscoscoscos
sensensensensensen
sensensensensensen
LEAjiK
1.1.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global
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Análise Matricial de Estruturas
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1.1.4 Exemplo de Aplicação
Determine as reações nos apoios (A) e (B) da treliça hiperestática indicada na figura abaixo. Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205 GPa e perfil tubular com diâmetro D = 20 mm e espessura da parede t = 2 mm. Operar com seis casas decimais.
C
2,7 m1,8 m
2,4 m
( )(B)
(A)
27 kN
Sistema de unidades Força: kilonewtons (kN) Comprimento: metros (m)
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.) As matrizes de rigidez das barras no sistema global, são dadas a seguir:
Barra AB EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=3 m; α=−53,13º (unidades: kN, m)
Barra AC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=5,1 m; α=−28,07º (unidades: kN, m)
Barra BC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10-6 m2; L=2,7 m; α=0º (unidades: kN, m)
2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088
3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390
8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
=ABK
=ACK
=BCK
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
Vetor carregamento
Vetor deslocamento
C ( ) (B)
(A)
27 kN
U2 R2
R1 U1
R3 R4
−=
027
UF
=
4
3
2
1
R
RRRR
F
=
2
1U U
UU
=
0000
RU
12/88
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
⋅
=
⋅=
R
U
RRRU
URUU
R
U
UU
KKKK
FF
UKF
= ⋅
4
3
2
1
RRRR
2
1
UU
0000
027−
××××
××××
××××
××××
××××
××××
××
××
××
××
××
××
13/88
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=
= ⋅
=UU→
UUUU UKF ⋅=
0
027−
2
1
UU
5816,37098478,5952
1806,113695816,3709
00186,000569,0− mm
mm
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
= ⋅ =RF→
RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=
URUR UKF ⋅=
0
4
3
2
1
RRRR
00186,000569,0−
7390,10066357,18871088,49462173,5597
−
−−
09944,85865816,37091862,2782
−−−
7,57,26
3,217,26
−
kN
kN
kN
kN
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
(C) (B)
(A)
2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088
=ABK
3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390
=ACK
8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
=BCK
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
(C) (B)
(A)
=
000
001860,
BCU
−
=
00018600056900
,,
ABU
−
=
00
0056900
,ACU
18/88
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1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
=BCK
=
000
001860,
BCU
BCBCBC UKF ⋅=
−=
0915
0915
kN,
kN,
BCF15,9 kN 15,9 kN
(B) (C)
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Esforços Normais (kN)
1.1.4 Exemplo de Aplicação (cont.)
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)
Determine as reações nos apoios (A) e (B) da treliça hiperestática sujeita a um recalque de apoio de 2mm em (C). Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205 GPa e perfil tubular com diâmetro D = 20 mm e espessura da parede t = 2 mm. Operar com seis casas decimais.
Sistema de unidades Força: kilonewtons (kN) Comprimento: metros (m)
C
2,7 m 1,8 m
2,4 m
( ) (B)
(A)
27 kN
2 mm
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...) As matrizes de rigidez das barras no sistema global, são dadas a seguir:
Barra AB EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=3 m; α=−53,13º (unidades: kN, m)
Barra AC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10−6 m2; L=5,1 m; α=−28,07º (unidades: kN, m)
Barra BC EI=210x106 kNm2; A=113,04 x10-6 m2; L=2,7 m; α=0º (unidades: kN, m)
2782,1862 -3709,5816 -2782,1862 3709,5816-3709,5816 4946,1088 3709,5816 -4946,1088-2782,1862 3709,5816 2782,1862 -3709,58163709,5816 -4946,1088 -3709,5816 4946,1088
3539,3169 -1887,6357 -3539,3169 1887,6357-1887,6357 1006,7390 1887,6357 -1006,7390-3539,3169 1887,6357 3539,3169 -1887,63571887,6357 -1006,7390 -1887,6357 1006,7390
8586,9944 0,0000 -8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-8586,9944 0,0000 8586,9944 0,00000,0000 0,0000 0,0000 0,0000
=ABK
=ACK
=BCK
R1 U1 U2 R2
R1 U1 R3 R4
U2 R2 R3 R4
R1 U1 U2 R2
R1 U1 R3 R4
U2 R2 R3 R4
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⋅
=
⋅=
R
U
RRRU
URUU
R
U
UU
KKKK
FF
UKF
= ⋅
4
3
2
1
RRRR
2
1
UU
2000000
,−
027−
××××
××××
××××
××××
××××
××××
××
××
××
××
××
××
U1 U2 R1 R2 R3 R4
U1 U2 R1 R2 R3 R4
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)
RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=
= ⋅
=UU→
027−
2
1
UU
5816,37098478,5952
1806,113695816,3709
00199600061180
,,− mm
mm
⋅00
XX
0000073901006
,,−
20000 ,−
XX
XX
U1 U2
R1 R2 R3 R4
U1 U2
U1 U2
+
+
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)
= ⋅
=RF→
RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=
4
3
2
1
RRRR
00199600061180
,,−
7390,10066357,18871088,49462173,5597
−
−−
09944,85865816,37091862,2782
−−−
14924
922924
,,
,,
−
kN
kN
kN
kN
U1 U2
R1 R2 R3 R4
+
+
0,002000
−××××
××××
××××
7390100663571887
063571887
,,
,
−
R1 R2 R3 R4
R1 R2 R3 R4
⋅
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)
Dx = 0.000e+000 mm Dy = -6.118e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad
Dx = 1.996e+000 mm Dy = 0.000e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad
Dx = 0.000e+000 mm Dy = -2.000e+000 mm Rz = 0.000e+000 rad
Deslocamentos Nodais
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont...)
Esforços Normais (kN)
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1.2 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO
Esquema 3 Graus de liberdade e esforços do elemento i-j de pórtico plano no sistema local
x
y nó inicial nó final
1 42 3 5 6u u,u ,u ,u ,u
1 4
2 5
3 6u u
u u
u u
1 4
2 5
3 6f f
f f
f f
3 GL /NÓ
=−
6
5
4
3
2
1
ffffff
jif
=−
6
5
4
3
2
1
uuuuuu
jiui j
i j
i j
28/88
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Quadro 2 Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local
29/88
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Quadro 2 (cont.) Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
=−
000010
jiu
××××××××××××××××××××××××××××××
=
−
−
2
3
2
3
/6
/12
/6
/12
0
0
LEI
LEI
LEI
LEI
jik
=−
000100
jiu
××××××××××××××××××××××××××××××
=
−
−
LEI
LEI
LEI
LEI
ji
/2
/6
/4
/6
2
2
0
0
k
VETOR DESLOCAMENTO E MATRIZ DE RIGIDEZ
30/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Quadro 2 (cont.) Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
31/88
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Quadro 2 (cont.) Forças devidas à imposição de um deslocamento unitário nos graus de liberdade
32/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.1 Matriz de Rigidez no Sistema Local (cont.)
Matriz de rigidez do elemento i-j de pórtico plano no sistema local
−−
−−
=
−
−−
−−
LEILEILEILEI
LEILEILEILEI
LEALEA
LEILEILEILEI
LEILEILEILEI
LEALEA
ji
/4/6/2/6
/6/12/6/12
//
/2/6/4/6
/6/12/6/12
//
22
2323
22
2323
0000
00000000
0000
k
33/88
1
4
2
5
u
u
u
u
α
3
6
u
u
Análise Matricial de Estruturas
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Matriz de transformação do sistema global (referência) para o sistema local (barra):
αα−αα
αα−αα
=
1000000cos0000cos0000001000000cos0000cos
sensen
sensen
T
1.2.2 Matriz de Transformação
jiji −− ⋅= UTujiji −− ⋅= FTf
Esquema 4 Elemento de pórtico plano com graus de liberdade no sistema global
34/88
U2
U1
U5
U4
U3
U6
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1.2.2 Matriz de Transformação
TkTK ⋅⋅= −− jiji T
Transformação da matriz de rigidez do sistema local (barra) para o sistema global:
Esquema 4 (cont.) Elemento de pórtico plano com graus de liberdade no sistema global
35/88
1
4
2
5
u
u
u
u
α
3
6
u
u
U2
U1
U5
U4
U3
U6
Análise Matricial de Estruturas
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−L/EI4L/EI6
0L/EI2
L/EI60
2
2
−
−−
L/EI6L/EI12
0L/EI6L/EI12
0
23
23
−L/EI2L/EI6
0L/EI4
L/EI60
2
2
−L/EI6
L/EI120
L/EI6L/EI12
0
23
23
−
−
=
0000
L/EAL/EA0000
L/EAL/EA
k
−
−
=
−
−
=
1000000000000000010000000000
1000000cos0000cos0000001000000cos0000cos
cssc
cssc
sensen
sensen
αααα
αααα
T
=
UTROKFTSQNJERQPMIDONMLHCKJIHGBFEDCBA
1.2.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global
i-j
36/88
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1.2.3 Matriz de Rigidez no Sistema Global (cont.)
c A c⋅ B s⋅−( )⋅ s B c⋅ G s⋅−( )⋅−
c B c⋅ A s⋅+( )⋅ s G c⋅ B s⋅+( )⋅−
C c⋅ H s⋅−
c D c⋅ E s⋅−( )⋅ s I c⋅ J s⋅−( )⋅−
c E c⋅ D s⋅+( )⋅ s J c⋅ I s⋅+( )⋅−
F c⋅ K s⋅−
s A c⋅ B s⋅−( )⋅ c B c⋅ G s⋅−( )⋅+
s B c⋅ A s⋅+( )⋅ c G c⋅ B s⋅+( )⋅+
H c⋅ C s⋅+
c I c⋅ J s⋅−( )⋅ s D c⋅ E s⋅−( )⋅+
c J c⋅ I s⋅+( )⋅ s E c⋅ D s⋅+( )⋅+
K c⋅ F s⋅+
C c⋅ H s⋅−
H c⋅ C s⋅+
L
M c⋅ N s⋅−
N c⋅ M s⋅+
O
=− jiK
c D c⋅ I s⋅−( )⋅ s E c⋅ J s⋅−( )⋅−
c I c⋅ D s⋅+( )⋅ s J c⋅ E s⋅+( )⋅−
M c⋅ N s⋅−
c P c⋅ Q s⋅−( )⋅ s Q c⋅ S s⋅−( )⋅−
c Q c⋅ P s⋅+( )⋅ s S c⋅ Q s⋅+( )⋅−
R c⋅ T s⋅−
c E c⋅ J s⋅−( )⋅ s D c⋅ I s⋅−( )⋅+
c J c⋅ E s⋅+( )⋅ s I c⋅ D s⋅+( )⋅+
N c⋅ M s⋅+
c Q c⋅ S s⋅−( )⋅ s P c⋅ Q s⋅−( )⋅+
c S c⋅ Q s⋅+( )⋅ s Q c⋅ P s⋅+( )⋅+
T c⋅ R s⋅+
F c⋅ K s⋅−
K c⋅ F s⋅+
O
R c⋅ T s⋅−
T c⋅ R s⋅+
U
Matriz de rigidez (simbólica) do elemento i-j de pórtico plano no sistema global
37/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.4 Forças Nodais Equivalentes
L
p pL/2
pL2/12
= pL2/12
pL/2
Carregamento uniformemente distribuído
L
Pb2 L3
= a
.(L+2a) P
Carga concentrada
b Pa2 L3
.(L+2b)
Pab2
L2 Pa2b
L2
38/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação Determine os deslocamentos e as reações nos apoios do pórtico plano indicado na figura abaixo. A partir dos deslocamentos nodais obter os esforços internos solicitantes (momentos fletores, forças normais e cortantes). Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular 20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.
1
2
4
3
100 kN/m
6 m
39/88
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Barra 12 Pilar de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=8m α=90o
Barra 23 Viga de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=6m α=0o
São dadas as matrizes de rigidez das barras no sistema global:
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0
-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033
0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840
476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560
-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120
Barra 34 Pilar de concreto seção retangular 20/60 E=23800000 kN/m2 L=8m α=270o
2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0
8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033
0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840
=−21K
=32-K
=−43K
40/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
1
2
4
3
100 kN/m
6 m
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
=
Forças nodais equivalentes
41/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 R7 U5
1
2
4
3
INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos) e reações de apoio
42/88
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⋅
=
⋅=
R
U
RRRU
URUU
R
U
UU
KKKK
FF
UKF
= ⋅
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
UUK5)(5 ×
URK7)(5 ×
RUK5)(7 ×
RRK7)(7 ×
UU
RU
1)(5 ×
1)(7 ×
U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
UF
RF
1)(5 ×
1)(7 ×
Ordenação das incógnitas e partição de matrizes
43/88
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R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 R7 U5
Vetor deslocamento (incógnito)
=
5
4
3
2
1
U
UUUUU
U
=
0000000
RU
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
Deslocamento prescrito pelo sistema de vinculação (apoios rígidos)
44/88
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 R7 U5
Vetor carregamento (forças externas ativas)
+−−−
=
0300300300300
UF
=
7
6
5
4
3
2
1
R
RRRRRRR
F
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
U1 U2 U3 U4 U5
Vetor carregamento incógnito (forças externas reativas)
45/88
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3 R4 U1 U22008 0 -8033 -2008 0 -8033 R1
0 357000 0 0 -357000 0 R2-8033 0 42840 8033 0 21420 R3-2008 0 8033 2008 0 8033 R4
0 -357000 0 0 357000 0 U1-8033 0 21420 8033 0 42840 U2
R4 U1 U2 R5 U3 U4476000 0 0 -476000 0 0 R4
0 4760 14280 0 -4760 14280 U10 14280 57120 0 -14280 28560 U2
-476000 0 0 476000 0 0 R50 -4760 -14280 0 4760 -14280 U30 14280 28560 0 -14280 57120 U4
R5 U3 U4 R6 R7 U52008 0 8033 -2008 0 8033 R5
0 357000 0 0 -357000 0 U38033 0 42840 -8033 0 21420 U4-2008 0 -8033 2008 0 -8033 R6
0 -357000 0 0 357000 0 R78033 0 21420 -8033 0 42840 U5
R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 R7 U5
46/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
= ⋅
u1 u2 u3 u4 u5361760 14280 -4760 14280 014280 99960 -14280 28560 0-4760 -14280 361760 -14280 014280 28560 -14280 99960 21420
0 0 0 21420 42840
− 300 − 300 − 300 + 300
0
U1 U2 U3 U4 U5
RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=
UUUU UKF ⋅=
0
U1 U2 U3 U4 U5
1a fase: Determinação dos deslocamentos
47/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
=UU
− 0,000856 (m)
− 0,004357 (rad)
− 0,000825 (m)
+ 0,004761 − 0,002380
(rad)
(rad)
U1= − 0,856 mm U3= − 0,825 mm
U2= − 4,357x10−3 rad U4= + 4,761x10−3 rad
U5= − 2,380x10−3 rad
Deslocamentos nodais (translação e rotação)
48/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
= ⋅
RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=
URUR UKF ⋅=
0
7
6
5
4
3
2
1
RRRRRRR
− 0,000856
− 0,004357
− 0,000825
+ 0,004761
− 0,002380
00357000-008033-8033-00080338033000
000803300002142000000357000-0008023-0
2a fase: Determinação das reações de apoio
U1 U2 U3 U4 U5
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
49/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
=RF
35,0 (kN)
305,6 (kN)
−93,3 (kN.m)
−35,0 19,1
(kN)
(kN)
−19,1 294,4
(kN)
(kN) R1 = 35,0 kN
R2 = 305,6 kN
R3 = 93,3 kN.m
R4 = 35,0 kN R5 = 19,1 kN
R6 = 19,1 kN
R7 = 294,4 kN
Reações de apoio (forças e momentos)
50/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
1
2
4
3
U2
U1
U3
U5
U4
U6
1
2
F2
F1
F3
F5
F4
F6
1
2
Esforços Internos na Barra 1-2:
51/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
=
−−
−
004357,0000856,00000
21U
212121 −−− ⋅= UKF2008 0 -8033 -2008 0 -8033
0 357000 0 0 -357000 0-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033
0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840
=−21K
−−−−
=−
7,1866,3050,353936305035
21 ,,,
F→
52/88
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
=
=
−
−−−
−
7,1860,35
6,3053,930,356,305
2
2
2
1
1
1
21
M
V
N
M
V
N
f2121 −− ⋅= FTf →
−−−−
=−
7,1866,3050,353936305035
21 ,,,
F
−
−
=
100000001000010000000100000001000010
T
α1-2 = 90º 1
2
53/88
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
1
2
4
3
1
2
Esforços Internos Solicitantes na Barra 1-2
305,6 kN
35,0 kN
93,3 kN.m
305,6 kN
35,0 kN
186,7 kN.m
54/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
55/88
1
2
4
3
U2
U1
U3
U5
U4
U6
2 3
F2
F1
F3
2 3
F5
F4
F6
Esforços Internos Solicitantes na Barra 2-3
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
56/88
=
−
−−
−
004761,0000825,00
004357,0000856,00
32U
323232 −−− ⋅= UKF
=−32K
−
−=−
1,1476,5
03,113
6,50
32F→
476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560
-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
57/88
=
=
−
−−
1,1476,5
03,113
6,50
2
2
2
1
1
1
32
M
V
N
M
V
N
f3232 −− ⋅= FTf →
=
100000010000001000000100000010000001
T
−
−=−
1,1476,5
03,113
6,50
32F
α2-3 = 0º
3 2
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
58/88
100 kN/m 300 kN
300 kN.m 300 kN.m 300 kN
=
Forças nodais equivalentes
+
Carregamento auto-equilibrado
300 kN 300 kN
300 kN.m
300 kN.m 100 kN/m
0 kN 2 3
5,6 kN 113,3 kN.m
0 kN
5,6 kN
147,1 kN.m
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
59/88
0 kN 2 3
5,6 kN 113,3 kN.m
0 kN
5,6 kN
147,1 kN.m
300 kN
300 kN.m
300 kN
100 kN/m
+ 305,6 kN
186,7 kN.m 152,9 kN.m
294,4 kN
100 kN/m
7,1862
1006,305)(2
−⋅
−⋅=xxxM
mMÁX 056,301006,305)(=→=⋅−= xx
dxxdM
mkN ⋅== 3,280)056,3(MM MÁX
300 kN.m
x
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
60/88
305,6 kN
186,7 kN.m 152,9 kN.m
294,4 kN
100 kN/m
MMÁX = 280,3 kN.m
186,7 kN.m 152,9 kN.m
mMÁX 056,3=x
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
280,3
186,7 152,9
186,
7
152,
9
93,3
Diagrama de Momentos Fletores (kN.m)
61/88
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
−305
,6
−294
,4
Diagrama de Forças Normais (kN)
62/88
Análise Matricial de Estruturas
FESP Faculdade de Engenharia São Paulo CE2 Estabilidade das Construções II
1.2.5 Exemplo de Aplicação (cont.)
−35,
0
−19,
1
−305,6
−294,4
Diagrama de Forças Cortantes (kN)
63/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.6 Exemplo de Aplicação
Analisar para o pórtico plano do Exemplo 1.3.5 a variação da força normal nos pilares devida ao recalque diferencial vertical de 2mm no apoio (4). Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular
20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
2 mm 1
2
4
3 6 m
64/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0
-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033
0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840
476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560
-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120
2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0
8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033
0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
2 mm 1
2
4
3
=−43K
=−21K
=−32K
(recalque)
65/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 R7 U5
1
2
4
3
INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos) e reações de apoio
R4 R5
R6
R7 R2
R1
R3
66/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
⋅
=
R
U
RRRU
URUU
R
U
UU
KKKK
FF
= ⋅
U1 U2 U3 U4 U5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
U1
U2
U3
U4
U5
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
Ordenação das incógnitas e partição de matrizes
× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×× × × × × ×
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
−300
−300
−300
+300
0
U1
U2
U3
U4
U5
0
0
0
0
0
0
−0,002 × × × × × ×× × × × × ×
67/88
Análise Matricial de Estruturas
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 0 14280 28560 -14280 99960 21420
0 0 0 21420 42840
-357000 0
0 R7
0
0
...
U1 -300 -300 -300 300
0
=
=UU
− 0,000864 (m) − 0,004569 (rad) − 0,002817 (m)
+ 0,004511 − 0,002256
(rad) (rad)
Deslocamentos nodais (translação e rotação)
U1 U1 U2 U3 U4 U5
...
-0,002
.
U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 0 14280 28560 -14280 99960 21420
0 0 0 21420 42840
U1 -300 -300 -1014
300 0
=
U1 U1 U2 U3 U4 U5
.
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
U1 U2 U3 U4 U5 -357000 0 0 0 0
0 0 -357000 0 0 357000 0 R7
...
U1 R2
R7 =
R7=294,4 kN R2=305,6 kN Base do pórtico
U1 -0,000864 -0,004569 -0,002817 +0,004511 -0,002256
...
-0,002
.
R7=291,5 kN R2=308,5 kN
sem recalque com recalque Reações verticais
OBS: O pilar que recalcou sofreu um alívio, enquanto que para o pilar oposto houve um aumento de esforços.
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
RECALQUE = −2,000 mm U5 = −2,256e-003 rad
U3 = −2,817 mm U4 = 4,511e-003 rad
Deslocamentos nodais
U1 = −0,8641 mm U2 = −4,569e-003 rad
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1.2.6 Exemplo de Aplicação (cont.)
Forças normais (kN) Forças cortantes (kN) Momentos fletores (kN.m)
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
Analisar para o pórtico plano do Exemplo 1.3.5 a variação da força normal nos pilares e o deslocamento vertical no apoio (4), considerando o apoio elástico vertical com k= 40 kN/m. Dados: módulo de elasticidade do concreto E = 23800000 kN/m2 e seção retangular 20x60 cm para a viga e os pilares. Operar com seis casas decimais.
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
1
2
4
3 6 m
k=40000 kN/m 5
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
2008 0 -8033 -2008 0 -80330 357000 0 0 -357000 0
-8033 0 42840 8033 0 21420-2008 0 8033 2008 0 8033
0 -357000 0 0 357000 0-8033 0 21420 8033 0 42840
476000 0 0 -476000 0 00 4760 14280 0 -4760 142800 14280 57120 0 -14280 28560
-476000 0 0 476000 0 00 -4760 -14280 0 4760 -142800 14280 28560 0 -14280 57120
2008 0 8033 -2008 0 80330 357000 0 0 -357000 0
8033 0 42840 -8033 0 21420-2008 0 -8033 2008 0 -8033
0 -357000 0 0 357000 08033 0 21420 -8033 0 42840
300 kN 300 kN.m 300 kN.m
300 kN
1
2
4
3
=−43K
=−21K
=−32K
5
=−54K40000 -40000
40000 -40000
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
R1 R2 R3
R4 U1 U2 R5 U3 U4
R6 U5 U6 1
2
4
3
INCÓGNITAS BÁSICAS: Graus liberdade (deslocamentos)
e reações de apoio
R4 R5
R6
R7
R2
R1
R3 R7
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
U1 U2 U3 U4 U5 361760 14280 -4760 14280 0 14280 99960 -14280 28560 0 -4760 -14280 361760 -14280 14280 28560 -14280 99960 0
0 0 -357000 0 397000
0 21420
0 U6
0
0 0 0 0 21420 42840 0
-357000
U1 -300 -300 -300 300
0 0
=
=UU
− 0,000884 (m) − 0,005111 (rad) − 0,007903 (m)
+ 0,003874 − 0,007106
(rad) (m)
− 0,001937 (rad)
Deslocamentos nodais (translação e rotação)
.
U1 U1 U2 U3 U4 U5 U6
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
Deslocamentos nodais e reações de apoio
U3 = −7,903 mm U4 = 3,874e-003 rad
U1 = −0,8844 mm U2 =−5,111e-003 rad
U5 = −7,106 mm U6 = −1,937e-003 rad
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1.2.7 Exemplo de Aplicação (cont.)
Forças normais (kN) Forças cortantes (kN) Momentos fletores (kN.m)
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1.3.8 Problema Proposto
Matriz de Rigidez Global Elemento AB E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 4 m; α=0º (Unidades: kN, m)
Matriz de Rigidez Global Elemento BC E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 6 m; α=0º (Unidades: kN, m)
Matriz de Rigidez Global Elemento CD E=205x106 kN/m2; A=9,6x10−3 m2; I=2,368x10−5 m4; L= 3 m; α=90º (Unidades: kN, m)
A B C
D
33,33 kN.m 60 kN.m
4,0 m 6,0 m
3,0
m
492000,0000 0,0000 0,0000 -492000,0000 0,0000 0,00000,0000 910,2000 1820,4000 0,0000 -910,2000 1820,40000,0000 1820,4000 4854,4000 0,0000 -1820,4000 2427,2000
-492000,0000 0,0000 0,0000 492000,0000 0,0000 0,00000,0000 -910,2000 -1820,4000 0,0000 910,2000 -1820,40000,0000 1820,4000 2427,2000 0,0000 -1820,4000 4854,4000
328000,0000 0,0000 0,0000 -328000,0000 0,0000 0,00000,0000 269,6889 809,0667 0,0000 -269,6889 809,06670,0000 809,0667 3236,2667 0,0000 -809,0667 1618,1333
-328000,0000 0,0000 0,0000 328000,0000 0,0000 0,00000,0000 -269,6889 -809,0667 0,0000 269,6889 -809,06670,0000 809,0667 1618,1333 0,0000 -809,0667 3236,2667
2157,5111 0,0000 -3236,2667 -2157,5111 0,0000 -3236,26670,0000 656000,0000 0,0000 0,0000 -656000,0000 0,0000
-3236,2667 0,0000 6472,5333 3236,2667 0,0000 3236,2667-2157,5111 0,0000 3236,2667 2157,5111 0,0000 3236,2667
0,0000 -656000,0000 0,0000 0,0000 656000,0000 0,0000-3236,2667 0,0000 3236,2667 3236,2667 0,0000 6472,5333
Determinar os esforços na viga poligonal de aço, esquematizada abaixo. São dadas as matrizes de rigidez de cada elemento.
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1.3.8 Problema Proposto (cont.)
Rz = −5,536e−03 rad
Rz = +7,103e−03 rad
Deslocamentos (rotações) e reações de apoio
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1.3.8 Problema Proposto (cont.)
Diagrama de forças cortantes (kN)
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1.3.8 Problema Proposto (cont.)
Diagrama de momentos fletores (kN.m)
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1.3.9 Problema Proposto
Dado o modelo de elementos finitos de uma viga contínua apoiada sobre uma base elástica de rigidez K = 4000 N/mm. Determinar o recalque no apoio B, quando for aplicado o carregamento uniformemente distribuído 20 N/mm, e a reação vertical no NÓ D. São dadas as matrizes de rigides no sistema local das barras. Determine também os momentos fletores e forças cortantes.
4000mm
A B C
D
20 N/mm
K=40 N/mm
4000mm
10 mm
10 mm250 mm
200 mm
OBS: Devido à simetria do carregamento, considerar a translação horizontal e a rotação do nó B nulas.
K=4000 N/mm
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1.3.9 Problema Proposto (cont...)
Matriz de rigidez: Elemento de viga AB = BC
Viga de aço E=200000 N/mm2, A=6300 mm2, I=67772500 mm4, L=4000mm, α=0o
Matriz de rigidez: Elemento de mola BD Rigidez elástica do solo K = 4000 N/mm
== −− CBBA KK
=−DBK4000 -4000
-4000 4000
315000 0 0 -315000 0 0 0 2541 5082938 0 -2541 5082938 0 5082938 13554500000 0 -5082938 6777250000
-315000 0 0 315000 0 0 0 -2541 -5082938 0 2541 -5082938 0 5082938 6777250000 0 -5082938 13554500000
4000mm
A B C
D
20 N/mm
K=4000 N/mm
4000mm
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1.3.9 Problema Proposto (cont...)
20 N/mm
4000 mm
40000 N
R1 R2 R3
R4 U1 R5
R6
= 40000 N
26,667x106 N.mm 26,667x106 N.mm
K=2000 N/mm
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1.3.9 Problema Proposto (cont...)
0FUKF −⋅=
= ⋅
U1 R1 R2 R3 R4 R5 R6
U1
R1
R2
R3
R4
R5
R6
Ordenação das incógnitas e partição de matrizes
6541 × × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×
R1
R2
R3
R4
R5
R6
−40000 U1
0
0
0
0
0
0 × × × × ×× × × × ×
×××××××
−
0
0
−40000
−26666667
0
26666667
0
Carregamento atuante nos graus de liberdade restritos
02541-
5082938-0
5082938-2000-
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1.3.9 Problema Proposto (cont...)
U1 = −8,81 mm
Deflexão e reações de apoio
71,4 kN.m
62,4
kN
18,1 kN.m
17,6
kN
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1.3.9 Problema Proposto (cont...)
Forças cortantes Momentos fletores
62,4 kN
−17,6 kN
−71,4 kN.m
25,9 kN.m
18,1 kN.m
mkN9,25)m12,3(4,712
204,62)(
m12,30204,62)(2
⋅===→−⋅−⋅=
=→=⋅−=
xMMxxxM
xxxV
máx
máx
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1.3.10 Problema Proposto
Idem para a viga apoiada sobre múltiplas camadas de solo.