Análise de Redes Sociais: Introdução aos Grafos Aleatórios
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Introdução a Grafos Aleatórios
Alexandre Duarte / Alisson Brito
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Modelos de Rede
Por que modelos? Representação simples de redes complexas Pode derivar propriedades matemáticas Prever propriedades e consequências
Também: No que uma rede real é diferente de uma
hipotética? Que aprendizados podem ser obtidos
dessas redes?
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Erdös e Rényi
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Erdös-Renyi: o mais simples modelo de rede
Premissas vértices conectados aleatoriamente a rede é não-direcional
Parâmetro chave (número de nós vizinhos: N) : p ou M p = probablidade de dois nós
compartilharem uma aresta M = número total de arestas no grafo
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Com o que elas se parecem
Re-arranjo de layout
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Grau de distribuição
(N,p)-model: para cada aresta potencial, uma moeda desbalanceada é lançada
Com probabilidade p a aresta é adicionada Com probabilidade (1-p) a aresta não é
adicionada
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http://ladamic.com/netlearn/NetLogo501/ErdosRenyiDegDist.html
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Grau de distribuição
Qual a probabilidade de um nó ter 0,1,2,3,… arestas?
A soma das probabilidades é 1
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Quantas arestas por nó?
Cada nó tem (N – 1) tentativas de ter arestas
Cada tentativa tem prob. p de sucesso
Probabilidade de um nó ter grau k:
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Sobre distribuição binomial
Grafo de 8 nós, probabilidade p de 2 nós terem uma aresta
Qual a probabilidade de um dado nó ter grau 4?
A BC
D
EF
G
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Coeficiente binomial: escolher 4 de 7
A B C D E F G
Sejam os 7 nós da rede com os quais nosso nó pode ter arestas. Azul são aqueles com aresta com nosso nó e branco aqueles sem.
ABC DE FG
Quantas amostras diferentes podemos ter contendo os mesmos nós, mas em ordens diferentes?
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Coeficiente binomial
Se a ordem é importante, então há 7! Diferentes ordens:
Há 7 opções na primeira escolha, 6 para a segunda, 5 para terceira e assim em diante:
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
ABC DE FG
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A B CD
Suponha que a ordem dos nós que não são conectados (brancos) não importaTodas as possíveis combinações de nós brancos são a mesma coisa para mim.
A B CD EF G
A B CD EG F
A B CD FE G
A B CD FG E
A B CD GF E
A B CD GE F
Ao invés de 7! combinações, temos 7!/3! combinações
Coeficiente binomial
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FE G
O Mesmo acontece para os azuis, se não importa a posição que ocupam, perdemos um fator de 4!
Coeficiente binomial
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= -----------------------------------------------------------------formas de arranjar n-1 itens
(formas de arranjar k itens)*(formas de arranjar n-1-k itens)
= -----------------n-1!
k! (n-1-k)!
Note que o coeficiente binomial é simétrico – há um mesmo número de formas de escolher k ou n-1-k itens de um total de n-1
Coeficiente binomial
Números de formas de escolher k itens de (n-1)
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Coeficiente binomial
De quantas formas podemos de escolher 2 de 5 itens? 10 120 6 5
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… agora a distribuição
p = probabilidade de haver uma aresta (azul)
(1-p) = probabilidade de não haver aresta (branco)
Probabilidade de um nó se conectar a 4 de um total de 7 nós numa ordem particular (2 brancos seguidos por 3 azuis, um branco e um azul) é:
P(white)*P(white)*P(blue)*P(blue)*P(blue)*P(white)*P(blue)
= p4*(1-p)3
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Distribuição binomial
Se a ordem não importa, precisamos multiplicar a ordem de um dado arranjo qualquer pela quantidade de arranjos:
+….
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Se p = 0,5
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p = 0,1
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Qual a média?
Grau médio z = (n-1)*p
No geral: = E(X) = x p(x)
0 * + 1 * + 2 * + 3 * + 4 * + 5 * + 6 * + 7 *
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
m = 3.5
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Qual a variância?
Variância em graus2=(n-1)*p*(1-p)
No geral: s2 = E[(X-m)2] = (x-m)2 p(x)
(-3.5)2 *+ + + + + +
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
(-2.5)2 *
+
(-1.5)2 *
(-0.5)2 * (0.5)2 *
(1.5)2 *
(2.5)2 *
(-3.5)2 *
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Aproximações
knkk pp
k
np
1)1(
1Binomial
Poisson
Normal
Limite p pequeno
Limite n grande
!k
ezp
zk
k
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Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
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O que se conclui de redes aleatórias?
Não esperamos encontrar nós concentrando um grande número de conexões