Análise de Materiais Utilizados na Indústria de Construção e … · Os dados tabelados...
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* Bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq
Análise de Materiais Utilizados na Indústria de Construção e Decoração
Residencial
Victor V. de Castro* Faculdade de Engenharia - PUCRS
90619-900, Porto Alegre, RS
E-mail: [email protected]
Eliete B. Hauser Faculdade de Matemática - PUCRS
90619-900, Porto Alegre, RS
E-mail: [email protected]
RESUMO
As situações que ocorrem na natureza são complexas e difíceis de serem analisadas de
forma exata. Utilizando hipóteses simplificadoras é possível construir um modelo matemático, que
aproxima a realidade do problema. No Método de Diferenças Finitas (MDF) as derivadas parciais
que aparecem na equação diferencial são substituídas por diferenças finitas. Uma malha é gerada,
subdividindo o domínio, e a equação diferencial é aproximada em cada ponto dessa malha. Assim, a
equação diferencial é transformada em um sistema linear (ou não-linear) de equações algébricas. O
principal objetivo deste trabalho é validar o MDF na escolha de materiais adequados na realização
de experimentos reais, minimizando custos.
O processo de conversão da equação diferencial numa equação de diferenças finitas é
chamado de discretização. No presente estudo foi utilizado o MDF com derivadas parciais da função
temperatura u(x,t), aproximadas por diferenças finitas centradas para a variável posição ,x , e
progressivas para a variável tempo, t.
( )k
uutx
t
u jiji
ji
,1,,
−=
∂
∂ +
( )2
,1,,1
2
2 2,
h
uuutx
x
u jijiji
ji
−+ +−=
∂
∂ (1)
Desta forma a equação do calor ( ) ( )txx
utx
t
u,,
2
22
∂
∂=
∂
∂α é aproximada pela equação de diferenças
finitas:
(2)
A difusividade térmica é definida por:
(3)
onde k é a condutividade térmica do material, ρ é a massa específica e Cp é o calor específico.
Problema Ilustrativo
Consideramos o problema de condução de calor transiente num fio (corpo de prova) de 50 cm
de comprimento, imerso em vapor até que sua temperatura seja de 100ºC (ao longo de todo
comprimento). No instante t=0, sua superfície lateral é isolada e as duas extremidades são enterradas
no gelo 0ºC. Nosso objetivo é determinar u(25,1800), a temperatura no ponto médio do fio após
trinta minutos, considerando dois tipos de materiais: alumínio, caracterizado pela difusividade
térmica α2 = 0,85cm
2/s e azulejo, com α
2 = 0,00149cm
2/s. Esse problema é modelado
matematicamente por:
(4)
( )jijijiji uuh
ki
h
ku ,1,12
2
,2
2
1,
21 −++ ++
−=
αα
<
=
==
<<>∂
∂=
∂∂
Mtxu
xu
tutu
xttxx
utx
t
u
),(
100)0,(
0),50(),0(
500,0),,(),(2
22α
,2
pC
k
ρα =
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ISSN 1984-8218
As equações de diferenças finitas para o problema (4) são apresentadas na tabela I:
Tabela I Equações de Diferenças Finitas
Material Equação de Diferenças Finitas
Alumínio
Azulejo
Utilizando o método de separação de variáveis, a solução exata do problema (4) é
(5)
ilustrada graficamente na Figura I, para os materiais alumínio e azulejo, respectivamente.
Figura 1 Representação gráfica da solução exata (5) para alumínio e azulejo respectivamente.
Com o auxílio do sistema de computação algébrica e simbólica Maple e do software Microsoft
Excel, com espaçamento de malha definida por h=5cm na variável x e k=10 segundos para o tempo
t, obtivemos os resultados que constam na tabela II.
Tabela II Temperatura no centro do fio após 30 minutos de resfriamento
Os dados tabelados comprovam as características de condutividade térmica dos dois materiais
trabalhados. A variação de temperatura encontrada através do MDF, no ponto de vista físico,
coincide com o esperado, nos dois materiais. O alumínio é um condutor de calor mais eficiente que o
azulejo.
Trata-se de trabalho de pesquisa em fase inicial. O principal objetivo é validar a técnica de
diferenças finitas para escolher o material adequado para experimentos reais, minimizando custos
Palavras-chave: Método de Diferenças Finitas, Transferência de Calor, Categorias 1.
Referências
[1] BOYCE, William E. DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. 7, Guanabara Dois, Rio de Janeiro:, 2005.
[2] STROUD, K.A, BOOTH, Dexter J., Advanced Engineering Mathematics, Palgrave
Macmillan, New York, 2003.
Método Aplicado Temperatura para Alumínio
u (25, 1800) - (ºC)
Temperatura para Azulejo
u (25, 1800) - (ºC)
Solução Numérica
(MDF) 0,29 99,85
Solução Separação de
Variáveis 0,30 99,99
Erro Relativo 0,0333 0,0014
( )jijijiji uuuu
,1,1,1, .340.320−++ ++=
,50
1400),( 9
1
222
=−∞
=∑
xnsene
ntxu
tn
imparnn
ππ
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( )jijijiji uuuu
,1,1,1, 000596,0.99880−++ ++=
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ISSN 1984-8218