Analisa Algoritma

Algoritma rekursif dan relasi rekurensi

Deskripsi Materi ini membahas tentang algoritma

rekursif beserta relasi rekurensnya

Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Menjelaskan algoritma rekursif dengan

studi kasus menara hanoi dan faktorial beserta perhitungan kompleksitasnya

Menyelesaikan relasi rekurens linier dan koefisien konstan

Meyelesaikan relasi rekurens dengan teorema master

Rekursif Bentuk rekursif :

Suatu subrutin/fungsi/ prosedur yang memanggil dirinya sendiri.

Bentuk dimana pemanggilan subrutin terdapat dalam body subrutin

Dengan rekursi, program akan lebih mudah dilihat Bentuk rekursi bertujuan untuk :

menyederhanakan penulisan program menggantikan bentuk iterasi

Syarat bentuk rekursif: ada kondisi terminal (basis) subroutine call yang melibatkan parameter yang

nilainya menuju kondisi terminal (recurrence)

Menghitung kompleksitas : Studi kasus FaktorialFunction Faktorial (input n : integer) → integer

{menghasilkan nilai n!, n tidak negatif}

Algoritma

If n=0 then

Return

Else

Return n*faktorial (n-1)

Endif Kompleksitas waktu :

untuk kasus basis, tidak ada operasi perkalian → (0) untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu diukur dari jumlah perkalian

(1) ditambah kompleksitas waktu untuk faktorial (n-1)

Kompleksitas waktu T(n)=1+T(n-1)=T(n)=1+1+T(n-2)=2+T(n-2)=T(n)=2+1+T(n-3)=3+T(n-3)= …= …= n+T(0)= n + 0 Jadi T(n) = n T(n)∈ O(n)

Kasus 2 : Menara hanoi

Bagaimana memindahkan seluruh piringan tersebut ke sebuah tiang yang lain (dari A ke B); setiap kali hanya satu piringan yang boleh dipindahkan, tetapi tidak boleh ada piringan besar di atas piringan kecil. Ada tiang perantara C. Kata pendeta, jika pemindahan berhasil dilakukan, maka DUNIA KIAMAT !!!

A B C

AlgoritmaProcedure Hanoi (input n, A, B, C:integer)

Algoritma

If n=1 then

Write (‘Pindahkan piringan dari’,A,’ke’,B) Else

Hanoi(n-1,A,C,B)

Writeln(‘Pindahkan piringan dari’,A,’ke’,B) Hanoi(n-1,C,B,A)

Endif

Relasi Rekurens

T(n)=2n+1 adalah jumlah seluruh perpindahan piringan dari satu tiang ke tiang lainnya.

Bila terdapat 64 tumpukan piringan da perpindahan 1 piringan butuh waktu 1 detik, maka waktu yang dibutuhkan : detik 264−1 detik = 10.446.744.073.709.551.615 detik= kira-kira 600 milyar tahun (???!!!)

Kompleksitas algoritma rekursif Untuk mengetahui kompleksitas bentuk

rekursif, maka T(n) harus diubah dalam bentuk yang bukan rekursif

Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ? Ada dua macam cara untuk menyelesaikan masalah ini, yaitu cara coba-coba dan dengan relasi rekurens

Contoh cara coba coba

Cara ini agak sulit dan perlu pengalaman. Dalam beberapa problem Yang sederhana bisa diselesaikan dengan mudah.

Cara Relasi Rekurensi Merubah

T(n) xn

T(n-1) xn-1

ContohT(n)=T(n-1)+T(n-2)

xn=xn-1+xn-2

xn-xn-1-xn-2=0

Klasifikasi Linier vs non linier Homogen vs non homogen Koefisien konstan vs non konstan

Klasifikasi Linier vs non linier Homogen vs non homogen Koefisien konstan vs non konstan

Yang akan dibahasRelasi rekurens Linier dan koefisien konstan

Klasifikasi Relasi Rekurensi :homogen vs non homogenRelasi rekurensi

a0 xn + a1 xn−1 + + ak xn−k = f(n) untuk n ≥ k

untuk suatu fungsi f(n) dan (k + 1) buah bilangan real a0, a1, a2, …, ak dan ak ≠ 0.

Tergolong homogen jika f(n) = 0 Tergolong tidak homogen jika f(n) 0

Klasifikasi relasi rekurensi

Contoh:1. 2xn + xn−1 = 0

2. xn − xn−4 = n + 3

3. xn = xn−2 +xn-12

4. xn = xn−2 +nxn-12

Relasi Rekurensi linier homogen dengan koefisien konstan, berderajat 1

Relasi Rekurensi linier nonhomogen dengan koefisien konstan, berderajat 4

Relasi Rekurensi nonlinier homogen dengan koefisien konstan, berderajat 2

Relasi Rekurensi nonlinier homogen dengan koefisien tidak konstan,

berderajat 2

Solusi Relasi Rekurensi Linier Homogen Perhatikan relasi rekurensi berikut:

xn = xn-1 + xn-2, untuk n > 1 dengan x1=1, x0 = 1

Jika Anda ingin mencari x1000, maka perlu mencari x999, x998, dan seterusnya sampai x1, x0

Untuk mencari nilai xn dengan cepat, relasi tersebut perlu diubah ke bentuk eksplisit.

Bentuk eksplisit ini merupakan solusi relasi rekurensi tersebut.

Cara mencari solusi relasi rekurensi linier homogen dan nonhomogen berbeda

Solusi Relasi Rekurensi Linier HomogenTahapan: 1. Bentuk: a0 xn + a1 xn−1 + … + ak xn−k = 0, n ≥ k

diubah ke bentuk persamaan karakteristik: a0λk + a1 λk-1 + … + ak-1λ + ak = 0

2. Cari akar-akar karakteristiknya: r1, r2, r3…dst berikut multiplisitasnya (m1, m2, .. dst)

3. Solusi yang dicari adalah

...)...()...( 2,22

2,21

1,21,12

2,11

1,1 2

22

1

11 nm

mmnm

mmn rbnbnbrbnbnba

4. b1,1, b1,2 … dicari dengan melakukan substitusi persamaan dengan syarat awal yang diketahui

Contoh Tentukan solusi umum untuk relasi rekurensi

xn = xn-1 + xn-2, untuk n > 1 Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi:

2 - - 1 = 0 Didapatkan akar-akar karakteristiknya:

1 = (1+5)/2 dengan pengulangan m1 = 1 dan

2 = (1-5)/2 dengan pengulangan m2 = 1 Maka solusi umumnya: nn

n BAx

2

51

2

51

Contoh Tentukan solusi untuk relasi rekurensi

xn = xn-1 + xn-2, untuk n > 1 dengan syarat awal x1=1 dan x0=0 Dari solusi umum:

nn

n BAx

2

51

2

51

dimasukkan syarat awal x1=1 dan x0=0. Diperoleh:

12

51

2

51

BA

dan A + B = 0

Dari kedua persamaan ini diperoleh A=1/5 dan B=-1/5 Maka solusi yang dicari adalah

nn

nx

2

51

5

1

2

51

5

1

Contoh 9 Tentukan solusi umum untuk relasi rekurensi 4xn =

20xn-1 - 17xn-2 + 4xn-3, untuk n > 3 Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi:

42 - 202 - 17 - 4 = 0(2-1) (2 -1) (-4) = 0

Didapatkan akar-akar karakteristiknya:1 = 1/2 dengan pengulangan m1 = 2 dan

2 = 4 dengan pengulangan m2 = 1 Maka solusi umumnya:

nnn C BAnx 4)

2

1)( (

Solusi Relasi Rekurensi Linier Nonhomogen Jika tn memenuhi relasi rekurensi linear tak homogen

(*) a0 xn + a1 xn–1 + … + ak xn–k = f(n) untuk n ≥ k

dan hn adalah solusi umum untuk relasi rekurensi linear homogen yang bersangkutan

(**) a0 xn + a1 xn–1 + … + ak xn–k = 0 untuk n ≥ k, maka

xn = hn + tn

adalah solusi umum untuk (*). hn disebut solusi homogen untuk (*) dan tn disebut sebuah

solusi partikulir (particular solution) untuk (*)

Solusi Relasi Rekurensi Linier Nonhomogen Solusi partikulir serupa dengan bentuk f(n) Ada dua bentuk f(n):

p

i

iinAnf

0

)(1.

2.

p

i

iinAbnf n

0

)(

dengan Ai, i=1,2,…

p,b merupakan konstanta

Contoh Tentukan solusi untuk relasi rekurensi xn =

2 xn-1 + 5, untuk n > 0 dengan syarat awal x0=1

Tahap 1 mencari solusi homogen: Persamaan karakteristik:

- 2 = 0 Akar karakteristik:

= 2 Solusi homogen hn = A 2n

Tahap 2 mencari solusi non homogen

Contoh Dari persamaan xn = 2 xn-1 + 5

didapatkan f(n) = 5Solusi partikulir mengikuti bentuk f(n), dengan p = 0. Maka solusi partikulir tj = Dari hasil substitusi diperoleh persamaan

- 2 = 5 Persamaan ini memberikan = -5Jadi solusi partikulir tn = -5Solusi umum :

xn = hn + tn = A 2n - 5

Dengan memasukkan syarat awal x0 = 1 didapatkan A = 6

sehingga solusi yang dicari adalah xn = 6(2n) - 5

Master TheoremJika diketahui suatu relasi rekurens

Dimana f(n) ∈O(nd) dimana d≥0 maka

Master theorem (contoh)Diketahui suatu relasi rekurens

Dari relasi rekurens di atas, diperoleh a = 2, b = 2, d = 0. sehingga a>bd sehinggaT(n) ∈ O(nlog

2 2) atau T(n) ∈ O(n)

Latihan Diketahui suatu algoritma rekursif dengan

relasi rekurens T(n) =2T(n-1)-T(n-2) untuk n>= 0

=4 untuk n=0=1 untuk n=1

Carilah solusi non rekursifnya