Alla ricerca della topologia nascosta - DiMaI - Dipartimento di...
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Alla ricerca della topologia nascostain difesa della geometria perduta…
Viareggio, 10 settembre 2010M. Dedò
Il Centro matematita ha da tempo inserito la topologia fra le sue proposte dirette alle scuole (mostre, kit, laboratori).
Con esiti contraddittori
I commenti a posteriori da parte di chi le ha effettivamente sperimentate
sono molto positivi
Pochi insegnanti le richiedono
però
• qualche motivazione (perché la topologia?)• esempi di proposte di natura topologica già rodate dal Centro (in mostre, laboratori, kit, …) • un esempio nuovo (non rodato)
Perché proprio la topologia?
La topologia è ricca di esempi, spunti, problemi che si prestano bene allo scopo di stimolare e incuriosire i ragazzi (non soltanto la topologia, naturalmente!).
Può anche aiutare a riportare l’attenzione su alcuni aspetti (utili non solo in matematica!) come la fantasia, l’immaginazione, (oltre a ragionamento e attenzione al linguaggio) … che tempo fa erano stimolati dalla geometria sintetica e che ora si stanno perdendo.
alla ricerca della geometria perduta…
Alcune obiezioni
“È troppo difficile”Se si intende che richiede strumenti: falso.Alcune attività (magari formulate diversamente) sono state utilizzate nelle scuole medie e in istituti professionali.
Se si intende che fa pensare: vero! E non vogliamo rinunciarci!!!
“Non è in programma”Vero, però…
la matematica è un blocco unico, in cui tutto è collegato con tutto: ciò che “non è in programma” può rivelare nessi inaspettati con i contenuti classici del programma!
(anche se non è in programma…)
• ragionamenti di tipo qualitativo (la matematica non comprende solo tecniche di calcolo!)
• dare esempi di modellizzazione di un problema concreto (esempio: grafi)
• sviluppare l’attenzione al linguaggio
A cosa può servire la topologia?
• sviluppare l’immaginazione e la capacità di visualizzazione
(anche se non è in programma…)
A cosa può servire la topologia?
A cosa può servire la topologia?
• fornire spunti (provocazioni?) per incuriosire e indurre un atteggiamento di ricerca
• creare occasioni per rompere gli schemi
• mettere i ragazzi su uno stesso piano per una ricerca comune (non occorrono prerequisiti)
(perché non è in programma!)
Abilità trasversali messe in gioco da problemi
“anomali” discussi una tantum:
• leggere il testo del problema e farsene una pittura mentale prima di procedere• dopo aver finito, controllare il risultato (anche con criteri di buon senso…!)
Si tratta di abilità che mirano a dare
significato a ciò che si sta facendo
“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”
(G. Polya, 1945)
Scoprire cosa succede quando si taglia un nastro di Moebius (e soprattutto perché succede) può diventare un’esperienza “che si ricorda”.
C’è bisogno di recuperare, anche nelle scuole secondarie superiori, la curiosità e il gusto della scoperta.
Esempio dei giochi online
Le risposte corrette sono sempre maggiori alle scuole elementari rispetto alle scuole medie. Perché?
Forse i bambini delle elementari ci provano (e così danno un significato al problema); i ragazzini della scuola media cercano una risposta meccanica e non cercano più di dare un significato al problema.
E cosa succederebbe alle superiori??
da un utilizzatore del kit “Grafi e superfici”
… questo laboratorio ha formato gli alunni a spostare l’attenzione dalle tecniche di calcolo alla gestione del pensiero creativo sottoposto alla logica, anche nello studio dei temi curriculari…La consapevolezza della solidità del lavoro svolto venne quando qualche alunno mangiava nella ricreazione “tori e ciambelle” e giocava con i concetti appresi nel laboratorio di topologia.
Il tempo “perso” in problemi “anomali” (che “non sono in programma”) viene riguadagnato dal fatto che i ragazzi tornano ai problemi “normali” da una posizione di forza (“guardandoli dall’alto”), il che fa anche risparmiare tempo…
Alcune proposte già rodate
Attività laboratoriali testate inizialmente nei laboratori offerti presso il Dipartimento o in occasione di mostre o eventi come il Festival della Scienza di Genova, BergamoScienza, ecc… e facenti parte ora di kitdisponibili per il prestito alle scuole.
Grafi eulerianiI sette ponti di KonigsbergSedici ponti a Parigi
Grafi hamiltoniani
Una passeggiata lungo gli spigoli di un dodecaedro
Altri problemi sui grafi…
Un percorso sui grafi
Dal kit “Grafi e superfici”
Il problema delle tre case
… sul piano … su altre superfici
Un ponte tra grafi e superfici
Dal kit “Grafi e superfici”
Superfici
Dai poligoni alle… superfici topologiche Riconoscere superfici topologicheCilindri e nastri di Moebius
Caratteristica di EuleroUn numero per distinguere le superfici
Superfici
Dal kit “Grafi e superfici”
N.B. Tutto il materiale scritto relativo a questo kit è online nel sito della mostra Simmetria, giochi di specchi
http://specchi.mat.unimi.it/matematica/grafi.html
Nastri
Dal kit “Uguali? Diversi!”
Attività per tutti i livelli (dalla scuola primaria alla secondaria di secondo grado)
Nastri da classificare in base a diversi punti di vista:• con quale rettangolo si realizzano• quante curve di bordo• cosa succede tagliandoli a metà
Dai nastri alle superfici
Dal kit “Uguali? Diversi!”
Per le scuole secondarie di secondo grado l’attività prosegue con un avvio alla classificazione delle superfici
Oggetti di uso comune
Poligoni da immaginare con le zip
Le superfici in formastandard
N.B. Tutto il materiale scritto relativo a questo kit sarà inserito prossimamente onlinenel sito della mostra Simmetria, giochi di specchi
http://specchi.mat.uni
mi.it/matematica/grafi.
html
La simmetria dal punto di vista (della topologia) dei quozienti
Una proposta nuova e ancora non rodata
… con una “m” sola!
Il filo conduttore del DVD Simetria
Trovare TUTTE le (24) possibili “macchine per costruire la simmetria”.
Dal punto di vista matematico, si tratta di trovare tutti i possibili
quozienti del piano rispetto a gruppi (discreti) di isometrie.
Per i disegni che si ricostruiscono in una camera di specchi, il quoziente è … ciò che si inserisce nella camera.
La camera di specchi è proprio una “macchina” che (a partire dalla mattonella-quoziente) ricostruisce il disegno sull’intero piano
Il quoziente funge da “timbro”; ovvero, diventa una “macchina” con la quale si possono ricostruire disegni con esattamente QUEL tipo di simmetria.
Due “macchine per costruire la simmetria”, che non sono legate agli specchi
Altri esempi…
Rosoni con simmetria ciclica (può variare solo l’apertura del cono)
Rosoni con simmetria diedrale (può variare solo l’angolo fra i due specchi)
Fra i rosoni: infiniti schemi di simmetria diversi fra loro, però di soli due tipi
Fregi e mosaici: può sembrare di avere una libertà infinita … e invece NO. Ci sono solo un numero FINITO di schemi possibili, 7 per i fregi e 17 per i mosaici.
Le “ostruzioni” sono regolate da un numero, razionale (non necessariamente intero), che ha a che fare con la caratteristica di Eulero (il numero intero V-S+F) e che tiene conto di certe caratteristiche del timbro, come per esempio:• punti conici (quanti e di che angolo)• linee specchio• angoli nella linea specchio• …
24 “oggetti”: ciascuno funzionacome un timbro e riproduce sulpiano un disegno con un datotipo di simmetria.
24 (x5) disegni: da ciascuno si può ricostruire il timbro corrispondente
Trovare tutti i 24 possibili timbri: cioè tutte le possibili combinazioni di buchi, punti conici, punti d’angolo… in maniera tale che il numero di Eulero si annulli.
… però NON è necessario aver chiare tutte queste cose per iniziare a utilizzare il DVD (scatta la “comprensione operativa”…)
L’animazione cloudi tutto il DVD
Si può partire da una foto per generare immagini con un dato tipo di simmetria
Si può analizzare un’immagine per scoprirne il tipo di simmetria
Due animazioni di carattere più tecnico
Due strumenti preziosi
caratteristica di Eulero
Il teorema di Jordan
Topologia
il Centro matematita metterà on line il materiale che via via verrà sperimentato nei laboratori:consultare http://specchi.mat.unimi.it/oppure iscriversi alla newsletter del Centroscrivendo a [email protected]
per info o domande sul DVD e/o per segnalare esempi di utilizzo di parti del DVD scrivere a [email protected]
Un libro bellissimo che tratta la simmetria da questo punto di vista dei quozienti