‹LKÖ⁄RET‹M MATEMAT‹K 8 -...

MATEMAT‹K MATEMAT‹K 88‹LKÖ⁄RET‹M

DERS K‹TABI

Lokman GÜNDO⁄DU

SEVG‹ Yay›nlar› Cilt ve Bas›mevi - Gönül BayramCevat Dündar Cad. Nu.: 139/C 06370 Ostim / Ankaratel.: (0312) 385 90 99 belgeç: (0312) 385 91 82

www.sevgiyayinlari.com.tr

Bu kitap, Millî E¤itim Bakanl›¤› Talim ve Terbiye Kurulu Baflkanl›¤›n›n18.06.2010 tarih ve 64 say›l› karar›yla 2011 - 2012 ö¤retim y›l›ndan itibaren 5(befl) y›l süreyle ders kitab› olarak kabul edilmifltir.

‹lkö¤retim Matematik 8. S›n›f Ders Kitab›

© SEVG‹ Yay›nlar› Cilt ve Bas›mevi - Gönül BayramBu eserin bütün haklar› sakl›d›r ve yay›nevine aittir.

Eserdeki metin, soru, görsel unsurlar yaz›l› izin al›nmadan tümüyle ya da k›smen ço¤alt›lamaz,yay›mlanamaz, ticari amaçla kullan›lamaz.

SEVG‹ Yay›nlar› Cilt ve Bas›mevi - Gönül BayramCevat Dündar Cad. Nu.: 139/C 06370 Ostim / Ankaratel.: (0312) 385 90 99 belgeç: (0312) 385 91 82

www.sevgiyayinlari.com.tr

Editör:

Dil Uzman›:

Görsel Uzman›:

Program Gelifltirme Uzman›:

Rehberlik Uzman›:

Ölçme De¤erlendirme Uzman›:

ISBN:

Yay›nc› Sertifika Nu.:

Didem Eren Savaflkan

Ahmet Kapulu

Ziya Harun Ergenç

Özlem Do¤an

Türkan Çelik

Dr. Nuri Do¤an

978 - 975 - 8270 - 30 - 9

12 662

Bask›: KOZA Yay›n Da¤›t›m Afi, Ankara, 2015

3

Korkma, sönmez bu flafaklarda yüzen al sancak ;Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.O benim milletimin y›ld›z›d›r, parlayacak ;O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olay›m, çehreni ey nazl› hilâl !Kahraman ›rk›ma bir gül ! Ne bu fliddet, bu celâl ?Sana olmaz dökülen kanlar›m›z sonra helâl...Hakk›d›r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl !

Ben ezelden beridir hür yaflad›m, hür yaflar›m.Hangi ç›lg›n bana zincir vuracakm›fl? fiaflar›m !Kükremifl sel gibiyim, bendimi çi¤ner, aflar›m.Y›rtar›m da¤lar›, enginlere s›¤mam, taflar›m.

Garb›n âfâk›n› sarm›flsa çelik z›rhl› duvar,Benim iman dolu gö¤süm gibi serhaddim var.Ulusun, korkma ! Nas›l böyle bir iman› bo¤ar,“Medeniyet !” dedi¤in tek difli kalm›fl canavar?

Arkadafl ! Yurduma alçaklar› u¤ratma, sak›n.Siper et gövdeni, dursun bu hayâs›zca ak›n.Do¤acakt›r sana va’detti¤i günler Hakk’›n...Kim bilir, belki yar›n, belki yar›ndan da yak›n.

Bast›¤›n yerleri “toprak !” diyerek geçme, tan› :Düflün alt›ndaki binlerce kefensiz yatan›.Sen flehit o¤lusun, incitme, yaz›kt›r, atan› :Verme, dünyalar› alsan da, bu cennet vatan›.

Kim bu cennet vatan›n u¤runa olmaz ki fedâ?fiühedâ f›flk›racak topra¤› s›ksan, flühedâ !Cân›, cânân›, bütün var›m› als›n da Huda,Etmesin tek vatan›mdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, ‹lâhi, fludur ancak emeli :De¤mesin mabedimin gö¤süne nâmahrem eli.Bu ezanlar-ki flahadetleri dinin temeli-Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder - varsa - tafl›m,Her cerîhamdan, ‹lâhi, boflan›p kanl› yafl›m,F›flk›r›r ruh-› mücerred gibi yerden na’fl›m ;O zaman yükselerek arfla de¤er belki bafl›m.

Dalgalan sen de flafaklar gibi ey flanl› hilâl !Olsun art›k dökülen kanlar›m›n hepsi helâl.Ebediyen sana yok, ›rk›ma yok izmihlâl :Hakk›d›r, hür yaflam›fl, bayra¤›m›n hürriyet ;Hakk›d›r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl !

Mehmet Âkif ERSOY

‹ST‹KLÂL MARfiI

4

ATATÜRK’ÜN GENÇL‹⁄E H‹TABES‹

Ey Türk gençli¤i ! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuri-

yetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel,

senin, en k›ymetli hazinendir. ‹stikbalde dahi, seni, bu hazineden,

mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlar›n olacakt›r.

Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düflersen,

vazifeye at›lmak için, içinde bulunaca¤›n vaziyetin imkân ve flera-

itini düflünmeyeceksin! Bu imkân ve flerait, çok nâmüsait bir mahi-

yette tezahür edebilir. ‹stiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düfl-

manlar, bütün dünyada emsali görülmemifl bir galibiyetin mümes-

sili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatan›n, bütün kaleleri zapt

edilmifl, bütün tersanelerine girilmifl, bütün ordular› da¤›t›lm›fl ve

memleketin her köflesi bilfiil iflgal edilmifl olabilir. Bütün bu flerait-

ten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde,

iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ h›yanet içinde bulu-

nabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri flahsî menfaatlerini, müstevlile-

rin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde ha-

rap ve bîtap düflmüfl olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâd›! ‹flte, bu ahval ve flerait içinde dahi,

vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmakt›r! Muhtaç oldu¤un

kudret, damarlar›ndaki asîl kanda, mevcuttur !

5

Mustafa Kemal ATATÜRK

6

Bu kitap, matemati¤i korkulan bir ders olmaktan ç›karmak için e¤lenceli, renkli ama kavramsal içe-rik aç›s›ndan güçlü bir sunuflu hedeflemektedir. Kitab›n kurgusu (örgütlenmesi) afla¤›da ana hatlar›ylaaç›klanmaktad›r.

198

• Kartondan makasla 20 x 20 cm2 boyutunda bir parça kesiniz.

• Yanda verilen flekildekine benzer biçimde örüntü bloklar›n-

dan eflkenar dörtgen modellerini kullanarak kartonun yüzeyini

kaplay›n›z. Çal›flma sonunda kartonun yüzeyinde hiç boflluk kal-

mamal›d›r.• Kartondan bir kenar uzunlu¤u 20 cm olan bir eflkenar üçgen-

sel bölge modeli oluflturunuz.• Üçgensel bölge modelinin kenarlar›n›n orta noktalar›n› belir-

leyiniz.• Belirledi¤iniz orta noktalar› ikifler ikifler birlefltirip birbirine efl

üçgensel bölgeler oluflturunuz.• Oluflturdu¤unuz üçgensel bölgelerden ortadakini, kulland›¤›-

n›z kartondan farkl› renkte bir renkli kâ¤›tla kaplay›n›z.

• Kalan üçgensel bölgelerinin kenarlar›n›n orta noktalar›n› bir-

lefltirerek ayn› ifllemi tekrarlay›n›z.• Bu ifllemi art arda üç kez tekrarlayarak bir örüntü oluflturunuz.

� Elde etti¤iniz iki örüntü aras›nda nas›l bir fark vard›r? Aç›klay›n›z.

1. BÖLÜM

ÖRÜNTÜLER

Örnek: Eflkenar üçgensel bölge modellerinden yararlanarak örüntüler olufltural›m.

Örüntüyü inceledi¤imizde örüntünün birbirine efl, eflkenar üç-

gensel bölgelerden olufltu¤unu görürüz.

Öyle bir flekil düflünelim ki hanginoktas›n› büyütüp bakarsak yinebafllang›çtaki flekli görelim. Bu ifllemine kadar sürdürürsek sürdürelimayn› flekil tekrarlan›r. ‹flte bu kendinebenzerlik kavram› “fraktal”d›r.Asl›nda fraktallar matematiksel

denklemlerin sonucunda bilgisayartaraf›ndan çizilen muhteflem görün-tülerdir. Bir fraktalda tüm flekillerinkenar uzunlu¤unu hesaplayamazs›-n›z. Çünkü flekiller sonsuzdur. Buflekillerin en önemli özelli¤i, ne kadar büyütürseniz büyütün görüntünün her küçük ayr›nt›s›n›n

bütünü ile t›pat›p ayn› olmas›d›r.� Sizce fraktallar bir örüntü müdür? Tart›fl›n›z.Fraktal OluflturmaAraç ve gereç: Kalem, renkli kâ¤›t, karton, makas, örüntü bloklar›ndaki eflkenar dörtgen modeli

170

Örnek: Afla¤›daki verilen piramitleri inceleyelim. Aç›n›mlar›n› çizerek temel elemanlar›n› belirleyelim:

Verilen piramitlerin temel elemanlar›n› inceleyiniz.

Yanalayr›tlar

Taban ayr›tlar›

A

T Tepenoktas›

Cisimyüksekli¤i

Yanal yüz

yüksekli¤ih

C

B EH

AB

E

C

T

EDD

hüz¤i

H

T

D

A

B

K

h

C

EF

H

T

DC

A

B

H

M

Piramitler tabanlar›na göre isimlendirilir.

T

C

B

C

T

D

A

BC

EF D

D

T

C

AB

D C

B

D C

B

D C

B

AB

C

T

DD

Taban› üçgen-

sel bölge oldu¤u için

üçgen piramittir.

Taban› kare-

sel bölge oldu¤un-

dan kare piramittir.

Taban› düzgün alt›-

gensel bölge oldu¤u için

düzgün alt›gen piramittir.

Verilen piramit modelleri incelendi¤inde

ilk üç piramidin yüksekliklerinin taban merkezi-

ne indi¤i, son piramidin yüksekli¤inin ise taban

merkezine inmedi¤i görülmektedir.

Taban› dörtgen-

sel bölge oldu¤undan

dörtgen piramittir.

Yükseklik

Taban

Taban

Yan yüz yüksekli¤iTepe noktas›

Yükseklik

Yan yüz

yüksekli¤i

Kazan›m veya kaza-n›mlarla ilgili etkinlik

Etkinli¤e ait yöner-

ge basamaklar›

Kazan›m veya kaza-

n›mlara ilgili örnek

Örnekle ilgili aç›kla-

malar›n bulundu¤u mavi

veya k›rm›z› zemin

Bilgi fleridi

Bölümnumaras› ve

Ad›

Ünitenumaras›

Ünite rengiKonu girifllerinde

kazan›m veyakazan›mlarlailiflkilindirilmifl moti-vasyon metni

Etkinlikte ulafl›l-mas› hedeflenen so-nuca götüren soru

ORGANİZASYON ŞEMASI

Kitap, alt› ünitedenoluflmaktad›r. Ünitelerfarkl› renklerle birbi-rinden ayr›lm›flt›r.

1. Ünite

2. Ünite

3. Ünite

4. Ünite

5. Ünite

6. Ünite

Motivasyona ait

düflündürücü soru

Etkinli¤i ça¤r›flt›r›-c› resimler

7

Kaynak:Bilim TeknikNisan 2006

Haziran 2006PROJE

Projenin ad›: Matematikle ‹lgili Bilmece, Bulmaca ve Matematikçileri Tan›tan

Yaz›larProjenin amac›

: Matemati¤in e¤lenceli yanlar›na dikkat çekme

Projenin süresi: 14 hafta

Projenin aflamalar›

Araştırma Aşaması

1. Matematik kitaplar›n›n araflt›r›l›p incelenmesi

2. Matematikle ilgili bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin araflt›r›lmas›

3. Bilmece ve bulmacalarda yer alacak matematik konular›n›n belirlenmesi (Üslü say›-

lar, kareköklü say›lar, cebir, say› örüntüleri vb.)

4. Yaflam› ilginizi çeken matematikçinin belirlenmesiUygulama Aşaması

1. ‹lginç bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin kitaplar, ‹nternet siteleri, gazete

ve dergilerden bulunmas›2. ‹lginizi çeken matematikçinin hayat›n›n araflt›r›lmas› veya k›sa bir an›s›n›n bulunmas›

3. Derlenen bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin üslü say›lar, kareköklü say›-

lar, cebir, say› örüntüleri gibi alanlara göre grupland›r›lmas›

4. Bunlarla ilgili yorum ve aç›klamalar›n yap›lmas›

5. ‹çeri¤i destekleyecek görsel, iflitsel vb. materyalin haz›rlanmas›

6. Çal›flmalar›n sunuya dönüfltürülmesi ve çal›flma raporunun düzenlenmesi

Projenin Sunulması

1. Projede haz›rlanan çal›flman›n s›n›f arkadafllar›na sunulmas›

2. Çal›flman›n sonucunun de¤erlendirilmesi

3. Sununun bir örne¤inin ve çal›flma raporunun ders ö¤retmenine teslim edilmesi

109

D

E F

3

4

x

N P

M

8

12y

1. Afla¤›daki ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.(.....) Karfl›l›kl› ikifler kenar› efl olan üçgenler, efl üçgenlerdir.(.....) Karfl›l›kl› ikifler aç›s›n›n ölçüsü eflit olan üçgenler efl üçgenlerdir.(.....) Karfl›l›kl› ikifler kenar› efl ve bu kenarlar aras›ndaki aç›s› efl olan üçgenler, efl üçgenlerdir.(.....) Bütün eflkenar üçgenler efl üçgenlerdir.

T S

P R

‹smail’inarsas›Ahmet’in

arsas›Ayd›n’›narsas›

90 m185 m100 m

42. SOKAK

41. SOKAK

A

B C12 cm

5 cm4 cm

D Em

6 cm n

D C

A B

18 cm

F

6 cm

Yanda verilen flekilde |TP| = |SR| ve m(TP^

R) = m(SR^

P) oldu¤unagöre afla¤›dakilerden hangisi do¤rudur?

TPR SRP TRP SRP TPR SPR PTR PRS, , , ,T T T T T T T T

‹ki üçgen aras›nda oldu¤u bilindi¤ine göre x + y

de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

DEF MNP+T T

Ahmet, Ayd›n ve ‹smail adl› üç arkadafl›n yan yana olanarsalar› flekildeki gibidir. Arsalar›n›n 42. sokak taraf›ndakikenar uzunluklar› s›ras›yla 100 m, 185 m ve 90 m, 41. so-kak taraf›ndaki kenar uzunluklar›n›n toplam› 750 m’dir. Bu-na göre her bir arkadafl›n arsas›n›n 41. sokak taraf›ndakikenar uzunlu¤unu bulunuz.

Yandaki flekilde [DE] // [BC], |AD| = 4 cm,

|DB| = 6 cm, |AE| = 5 cm ve |BC| = 12 cm oldu¤unagöre m ve n de¤erlerini bulunuz.

Yandaki flekil bir yamuktur.

|AB| = 6 cm, |DC| = 18 cm |DB| = 16 cm,

|AC| = 24 cm’dir.

[AF], [BF], [DF] ve [FC]’n›n uzunluklar›n› bulunuz.

2.

3.

4.

5.

6.

A. B. C. D.

AALLIIfifiTTIIRRMMAALLAARR

ÖÇK s. 60, 61,62, 63, 64, 65

130

Yanda verilenlere göre a, b, c, d, e, f, guzunluklar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›rala-y›n›z.

5.

C

B

A b g E

D

58 50

6040d

c

8057

6560

70

ef

a

4. Afla¤›daki ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.

(. . . ) Yaln›z üç iç aç›s› verilen üçgen çizilebilir.

(. . . ) Kenarortay uzunluklar› verilen üçgenler çizilebilir.

(. . . ) Genifl aç›l› üçgende kenartoylar üçgenin d›fl bölgesinde bir noktada kesiflir.

(. . . ) Bütün üçgenlerde yükseklikler, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesiflir.

1. Afla¤›da verilen uzunluklardan hangileri ile bir üçgen çizilemez?

2. Afla¤›da verilenlere göre x’in alabilece¤i tam say› de¤erlerini bulunuz.

a) a = 5 cm b) a = 4 cm c) a = 1 cm ç) a = 6 cm

b = 4 cm b = 4 cm b = 2 cm b = 8 cm

c = 7 cm c = 4 cm c = 4 cm c = 11 cm

3. Afla¤›da elemanlar› verilen üçgenleri çizip çizimi anlat›n›z.

a) a = 7 cm b) a = 5 cm c) b = 3 cm ç) a = 11 cm

b = 6 cm

c = 8 cm c = 4 cm ( ) 7 °m C 5=W( ) 0°m C 8=W( ) °m B 55=V( ) °m A 06=W( ) °m B 70=V

A

B C

7 cm

x cm

4 cm

a) b)

C

3 cm

3 cm5 cm

A

D

B

A

B C

10 cm 11 cm

x cm

D

c)

9 cm

x cm 9 cm7 cm

Yanda verilen ABCD ikizkenar yamu¤unda,

a) oldu¤unu

gösteriniz.

b) Üçgenlerin hangi efllik kural›na göre efl ol-duklar›n› nedenleriyle söyleyiniz.

ABC AB DCDCB ve D A, ,T T TT

6. A D

B C

3. ÜNİTE ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME SORULARI

Kazan›m veya kaza-n›mlarla iliflkilendirilmiflproje sayfas›

Proje ile ilgili yap›la-cak çal›flmalar› ça¤r›flt›r›-c› görseller

‹fllenifl sonunda kaza-n›mlarla ilgili sorular

Ünitedeki tüm kaza-n›mlarla ilgili ölçme de¤er-lendirme sorular›

Çal›flma Kitab›’n›nilgili sayfalar›na yön-lendirme

................................................................................................................................................ 11

................................................................................................................................................ 42

8

İÇİNDEKİLER

1. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: ÜSLÜ SAYILAR

Bir Tam Say›n›n Negatif Kuvvetleri ................................................................................................... 12

Rasyonel Say›lar›n Kendisi ile Tekrarl› Çarp›m› .............................................................................. 14

Ondal›k Kesirlerin Kendisi ile Tekrarl› Çarp›m› ................................................................................ 15

Üslü Say›larda Çarpma ve Bölme ‹fllemleri ...................................................................................... 16

Çok Büyük ve Çok Küçük Say›lar ..................................................................................................... 18

ORGAN‹ZASYON fiEMASI ................................................................................................................. 6

12

2. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

Özel Say› Örüntüleri ........................................................................................................................... 43

Aritmetik ve Geometrik Diziler ........................................................................................................... 48

43

2. BÖLÜM: CEBİRSEL İFADELER

Denklem ile Özdefllik Aras›ndaki ‹liflki ve Özdefllikleri Modellerle Aç›klama ................................. 52

Cebirsel ‹fadeleri Çarpanlar›na Ay›rma ............................................................................................ 57

Rasyonel Cebirsel ‹fadelerle ‹fllem Yapma ...................................................................................... 60

52

3. BÖLÜM: DENKLEMLER

Rasyonel Denklemlerin Çözümü ....................................................................................................... 62

Do¤rusal Denklem Sistemlerini Yerine Koyma Metodu ile Çözme ................................................. 64

Do¤rusal Denklem Sistemlerini Yok Etme Metodu ile Çözme ........................................................ 66

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Grafikle Çözümü .......................................................................... 67

62

2. BÖLÜM: KAREKÖKLÜ SAYILAR

Kareköklü Say›lar› Keflfetme ............................................................................................................. 20

20

3. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR

Rasyonel Say›lar›n Ondal›k Aç›l›m› ve ‹rrasyonel Say›lar ............................................................... 26

Rasyonel Say›lar›n Yo¤unlu¤u (S›kl›¤›) ............................................................................................ 29

26

4. BÖLÜM: KAREKÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLER

Kareköklü Say›lar› fieklinde Yazma, Kareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemleri .. 31

Kareköklü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri .............................................................................. 34

Ondal›k Kesirlerin Karekökleri ........................................................................................................... 37

1. ÜN‹TE ÖLÇME VE DE⁄ERLEND‹RME SORULARI ................................................................. 39

PROJE ................................................................................................................................................ 41

a b

31

4. BÖLÜM: EŞİTSİZLİKLER

Eflitlik ve Eflitsizlik Aras›ndaki ‹liflkiyi Belirleme ............................................................................... 70

Eflitsizliklerin Çözümü ........................................................................................................................ 71

‹ki Bilinmeyenli Eflitsizliklerin Grafikleri ............................................................................................. 74


70

................................................................................................................................................ 81

.............................................................................................................................................. 134

9

3. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: ÜÇGENDE KENAR AÇI İLİŞKİSİ

Eski Terimler ....................................................................................................................................... 82

Üçgenlerin Kenarlar› Aras›ndaki ‹liflkiler ........................................................................................... 82

Üçgende Kenar - Aç› ‹liflkisi .............................................................................................................. 85

82

2. BÖLÜM: ÜÇGEN ÇİZİMİ VE ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR

Kenar Uzunluklar› Verilen Üçgeni Çizme ......................................................................................... 89

Bir Kenar Uzunlu¤u ile ‹ki Aç› Ölçüsü Verilen Üçgeni Çizme ......................................................... 91

‹ki Kenar Uzunlu¤u ile Bu Kenarlar› Aras›ndaki Aç›s› Verilen Üçgeni Çizme ................................ 92

Üçgende Yükseklik ............................................................................................................................. 93

Üçgende Aç›ortay ............................................................................................................................... 94

Üçgende Kenarortay ve Kenar Orta Dikme ...................................................................................... 96

89

3. BÖLÜM: ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Üçgenlerde Efllik ................................................................................................................................ 99

Kenar-Aç›-Kenar (K.A.K) Efllik fiart› ............................................................................................... 100

Aç›-Kenar-Aç› (A.K.A) Efllik fiart› .................................................................................................... 101

Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K) Efllik fiart› ........................................................................................... 101

Üçgenlerin Benzerli¤i ....................................................................................................................... 103

Üçgenlerde Benzerlik fiartlar› .......................................................................................................... 104

BENZERL‹KLE ‹LG‹L‹ PROBLEMLER ......................................................................................... 107

99

4. BÖLÜM: PİSAGOR BAĞINTISI

Pisagor Ba¤›nt›s› ............................................................................................................................... 110

110

5. BÖLÜM: DİK ÜÇGENDEKİ DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

Dar Aç›lar›n Trigonometrik Oranlar› ................................................................................................. 117

TR‹GONOMETR‹ TABLOSU ........................................................................................................... 123

117

6. BÖLÜM: EĞİM

Do¤runun E¤imi ................................................................................................................................ 124

Klinometre Yapal›m ........................................................................................................................... 126

Do¤runun E¤imi ile Denklemi Aras›ndaki ‹liflki ................................................................................ 127

3. ÜN‹TE ÖLÇME VE DE⁄ERLEND‹RME SORULARI ................................................................ 130

PROJE .............................................................................................................................................. 133

124

4. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: KOMBİNASYON VE PERMÜTASYON

Bir Kümenin Kombinasyonlar›n› Belirleme ....................................................................................... 135

Permütasyon ve Kombinasyon Aras›ndaki Fark .............................................................................. 138

135

2. BÖLÜM: OLAY VE OLASILIK ÇEŞİTLERİ

Ba¤›ml› ve Ba¤›ms›z Olaylar ............................................................................................................. 141

Olas›l›k Çeflitleri ................................................................................................................................. 144

141

10

SÖZLÜK ............................................................................................................................................. 230

KAYNAKÇA ....................................................................................................................................... 232

6. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: ÖRÜNTÜLER 198

5. ÜN‹TE

1. BÖLÜM: PRİZMALAR

Prizma ‹nfla Etme ve Aç›n›m›n› Çizme ............................................................................................ 161

Dik Prizmalar›n Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›lar› ........................................................................... 164

161

2. BÖLÜM: PİRAMİTLER

Piramit ‹nfla Etme ve Aç›n›m›n› Çizme ............................................................................................ 169

Piramitlerin Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›lar› .................................................................................. 172

169

3. BÖLÜM: KONİ

Koni ‹nfla Etme ve Yüzey Alan Ba¤›nt›s›n› Oluflturma .................................................................... 177

Dik Koninin Hacmi ............................................................................................................................. 181

Fraktal Oluflturma .............................................................................................................................. 198

2. BÖLÜM: YANSIMA, ÖTELEME VE DÖNME HAREKETLERİ 202

Koordinat Düzleminde Yans›ma, Dönme ve Öteleme ..................................................................... 202

3. BÖLÜM: GEOMETRİK CİSİMLERİN ARA KESİTLERİ VE SİMETRİLERİ 210

Geometrik Cisimlerin Simetrileri ve Ara Kesitleri ............................................................................. 210

4. BÖLÜM: ÇOK YÜZLÜLER, YAPILARIN GÖRÜNÜMLERİ VE İZ DÜŞÜMÜ 218

Çok Yüzlüler Oluflturma .................................................................................................................... 218

Yap›lar›n Görünümleri ....................................................................................................................... 221

Perspektif Çizimi ................................................................................................................................ 222


177

4. BÖLÜM: KÜRE

Küre ‹nfla Etme, Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›s›n› Oluflturma ...................................................... 184

184

5. BÖLÜM: GEOMETRİK CİSİMLERİN HACİMLERİ VE YÜZEY ALANLARINI TAHMİN ETME,

BUNLARLA İLGİLİ PROBLEM ÇÖZME VE KURMA


190

3. BÖLÜM: MERKEZÎ EĞİLİM VE YAYILMA ÖLÇÜLERİ İLE İSTATİSTİKSEL TEMSİL BİÇİMLERİ

Histogram Oluflturma ......................................................................................................................... 147

Standart Sapma ................................................................................................................................. 152

‹statistiksel Temsil Biçimleri .............................................................................................................. 154


147

.............................................................................................................................................. 160

.............................................................................................................................................. 197

12

fiimdiye kadar gördü¤ümüz say› kümeleri aras›ndaki iliflkiyi hat›rlayal›m.Sayma say›lar kümesi S = {1, 2, 3, ...}Do¤al say›lar kümesi N = { 0, 1, 2, 3, ...}Tam say›lar kümesi Z = {..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...)Rasyonel say›lar kümesi

biçiminde gösteririz.S N Z Q1 1 1

{ : , , } ¤Qba a b Z b oldu undan0d !=

1. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR

• Kareli kâ¤›d›n›zdan k›sa kenar› 2 br, uzun kenar› 4 br olan bir dikdörtgensel bölge oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz dikdörtgensel bölgenin k›sa kenar›n›n ’si, uzun

kenar›n›n 2 kat› ile yeni bir dikdörtgensel bölge oluflturunuz.• Yeni oluflturdu¤unuz dikdörtgensel bölge için de ayn› ifllemi yap›n›z.• Bu ifllemi 2 ad›m daha devam ettiriniz.• Elde etti¤iniz her dikdörtgensel bölgenin k›-

sa kenar uzunluklar›n›, uzun kenar uzunluklar›ylaçarp›n›z.

� Bu ifllem sonucunda dikdörtgensel bölgelerin alanlar›n›n de¤iflip de¤iflmedi¤i ile ilgili olarak nesöyleyebilirsiniz?

• Elde etti¤iniz dikdörtgensel bölgelerin uzun kenar uzunluklar› aras›ndaki örüntüyü yaz›n›z.• Ayn› örüntüyü 2’nin kuvvetlerinden yararlanarak yaz›n›z.� Yazd›¤›n›z örüntüde 2’nin kuvvetleri aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?• fiimdi de dikdörtgensel bölgelerin k›sa kenar uzunluklar› aras›ndaki örüntüyü yaz›n›z. Örüntünün

ilk iki ad›m›ndaki say›lar› 2’nin kuvvetleri olarak ifade ediniz.� Dikdörtgenlerin k›sa kenar uzunluklar›n›n oluflturdu¤u örüntüde ad›m say›s› artt›kça say›lar›n kuv-

vetleri nas›l de¤ifliyor olabilir?

• Bu örüntünün 3, 4, 5 ve 6. ad›m›ndaki say›lar› ’nin tekrarl› çarp›m› biçiminde yaz›n›z.

� Yazd›¤›n›z tekrarl› çarp›mlar› üslü ifade olarak yazmak isterseniz 2 tam say›s›n›n hangi kuvvetle-rini kullanman›z gerekir?

� Bir tam say›n›n negatif kuvvetlerinin de¤erini rasyonel say› olarak nas›l ifade edebilirsiniz?

21

21

Bir Tam Say›n›n Negatif Kuvvetleri

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t

Haritalar ölçeklerine göre; büyük ölçekli, orta ölçek-li ve küçük ölçekli haritalar ile planlar olmak üzere dör-de ayr›l›r.

Ölçeklerin paydas›ndaki rakam büyükdükçe ölçekküçülür. Yanda küçük ölçekli bir harita verilmifltir. Bu

haritan›n ölçe¤i ’dir.

� Bu haritan›n ölçe¤inin 10’un kuvvetlerini kullana-rak nas›l ifade edebilirsiniz?

10 000 0001

Ölçek: 1:10 000 000

Verilen çal›flmalar› inceledi¤imizde bir üslü say›n›n iflaretinin, taban› pozitif oldu¤unda pozi-tif, taban› negatif oldu¤unda üssü çift ise pozitif, tek ise negatif oldu¤u görülür.

13

Örnek: Uzun kenar uzunlu¤u 2 cm, k›sa kenar uzunlu¤u 1 cm olan bir dikdörtgensel bölgenin alan›n›de¤ifltirmeden kenar uzunluklar›n› de¤ifltirelim ve oluflturdu¤umuz dikdörtgensel bölgeleri inceleyelim:

Örnek: Afla¤›da verilen ifllemleri inceleyelim:

Her seferinde oluflturulan dikdörtgenlerin alanlar› de¤iflmemektedir.Dikdörtgenlerin kenar uzunluklar› aras›ndaki örüntüleri inceleyelim:

2 cm 4 cm

8 cm

16 cm

1 cm cm21

cm41

cm81

: 2

: 2

41

21 2

81

21 2

–

–

22

33

= =

= =

21

21 2–1

1= =

1 20=

. 22 = 21

4 = 22

8 = 23. 2

. 2

Örüntüdeki say›lar 2ile çarp›ld›¤›nda her sefe-rinde üsler 1 artar.

Bir üslü say› paydan paydaya, paydadan paya al›nd›¤›nda üssün iflareti de¤iflir.

n do¤al say›, ü , , .a olmak zere aa

a veyaa

a dir0 1 1 1––n

nn

n0! = = =

((

((((

Örüntüdeki say›lar 2ile bölündü¤ünde her se-ferinde üsler 1 azal›r.

16 = 24

Örnek: Afla¤›da verilen üslü say›lar› inceleyelim:

(–7)(–7)

1(–7) (–7)

1491

71 7•

2 2–2 –2= = = = =

:

:–7 –7 –7 49 7• 2 2= = =] ] ]g g g

: : :–3 –3 –3 –3 –3 81 3• 4 4= = =] ] ] ] ]g g g g g: :– – – – –27 –3• 3 3 3 33 3= = =] ] ] ]g g g g

: :3

31

3 3 31

271• –3

3= = =: :• 3 3 3 3 273 = =

: :(– ) (– ) (– ) (– ) – 16 –= = = =•

: :

: :

: :

: :

: :

4

(– (– ) (– ) (– ) –125 –

(–(– ) (– ) (– ) (– ) –

– –5

11 1

(–11) 1

6 6 6 6 216

(– )

•

•

•

•

•

•

•

4 4 4 4 64

41

4 4 41

641

41

1 11251

51

61

1

–

– –

–

–

3

33 3

3 3

33 3

3

0

0

33

33 3

= =

= = = =

= = =

= = = = =

=

=

= = =

6 6 6 6 2 6

5) 5 5 5 5

5)5 5 5 5

6

: 2

Rasyonel Say›lar›n Kendisi ile Tekrarl› Çarp›m›

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem

Bir rasyonel say›n›n kuvveti hem paya hem paydaya aittir.

dir.çba Q ve n Z i in

ba

ban

n

n! ! =c m

:

72

72

71

21

21

17

27

274

4

4

–4

–4

–4

–4

–4

–4 –4= = = = =c cm m

:

43

43

4131

31

14

34

34–3

–3

–3

3

3

3

3

3

3 3= = = = =c cm m

Örnek: rasyonel say›s›n›, üslü flekilde gösterelim:216125

: :

: :

6 6 65 5 5

216125

65

3

3= =

: : :

: : :: : :

: : :

– – – – –

– – – – –(– ) (– ) (– ) (– )

veya32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

3 3 3 32 2 2 2

32

32

4 4

4

4

4 4

=

=

=

= = =

c c c c c c

c c c c c c

m m m m m m

m m m m m m

Örnek: Afla¤›da yap›lan ifllemleri inceleyelim:

Örnek incelendi¤inde rasyo-nel say›n›n kuvvetinin hem payahem de paydaya ait oldu¤ugörülmektedir.

Örnek incelen-di¤inde negatif rasyo-nel say›lar›n tek kuv-vetlerinin negatif (–),çift kuvvetlerinin isepozitif (+) oldu¤u gö-rülmektedir.

: :

: :: :

: :

–

– – – – –

– – – –(– ) (– ) (– ) – –

veya

3 32

32

32

32

32

32

32

32

32

3 3 32 2 2

32 2

3

3

3

32

3

3

3

3 3

=

=

=

= = = =

c b c c c

c c c c]

c

m l m m m

m m m mg

m

–, ç ›

– , ›ba b

a n ift tam say iken

ba n tek tam say iken

n

n

n=c

c

c

m

m

m

Z

[

\

]]

]]

: :

: :: :

6 6 65 5 5

216125

65

65

65

65

65

653 3

3

3&= = = =c cm m

Negatif rasyonel say›lar›n tek kuvvetleri negatif rasyonel say›lar, çift kuvvetleri ise pozitif ras-yonel say›lard›r.


Verilen örneklerde rasyonel say›lar›n payve paydas›n›n yerleri de¤ifltirildi¤inde üslü say›-n›n kuvvetin iflaretinin de¤iflti¤i görülmektedir.

I. Yol

II. Yol

•

•

•

•

• say›s›n›n de¤erini pay ve payday› hesaplayarak bulunuz.

• üslü say›s›n›n de¤erini kendisi ile tekrarl› çarp›m›n› yaparak bulunuz.

• Buldu¤unuz her iki sonucu karfl›laflt›r›n›z.� Bu iki sonuç aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Ayn› ifllemleri

� Yapt›¤›n›z ifllemlerdeki bulgular›n›z› dikkate alarak rasyonel say›lar›n kuvvetini farkl› biçimde nas›lgösterirsiniz?

ç › › .ile ve ile i in yap n z53

53

43

34–3

3

3 4

4

4c cm m

'in52

52 3

c m

52

3

3

14

15

• Her bir model aras›ndaki iliflkiyi belirleyiniz:• 1. flekildeki mavi bölgenin belirtti¤i ondal›k kesrin kendisiyle tekrarl› çarp›m›ndan yararlanarak 2.

flekildeki sar› bölgeyi ondal›k kesir cinsinden ifade ediniz.• 1. flekildeki mavi bölgenin belirtti¤i ondal›k kesrin kendisiyle tekrarl› çarp›m›ndan yararlanarak 3.

flekildeki siyah bölgeyi ondal›k kesir cinsinden ifade ediniz.� Tam say›lar›n üslü gösteriminden yararlanarak 2. modeldeki sar› bölge ve 3. modeldeki siyah böl-

genin ifade etti¤i ondal›k kesirleri üslü biçimde nas›l gösterirsiniz? Aç›klay›n›z.

Örnek: Afla¤›da verilen üslü say›lar› inceleyelim:

: : :

: :

: : :

: :

(– , ) ( , )

( , )

(– , ) – –

(– , ) – – – – –

•

•

•

•

0 6 0 6106

106

106

106

106

0 4104

410

410

410

410 1000

0 9109

910

910

910

910

910

910

910

0 8108

810

810

810

810

810

810

64–

–

––

––

4 44

4

33 3

44 4 4

4

4

33 3 3

3

3

= = =

= = = =

= = = = =

= = = = =

c c

c c c

c c c c c c

m m

m m m

m m m m m m

Bir üslü say› paydan paydaya veya paydadan paya al›nd›¤›nda üssün iflareti de¤iflir.

› › › ¤ › ≠ ≠ , , Q olmak üzere; .,n s f rdan farkl do al say a ve b a bba

ab olur0 0

–n n! =c bm l

Örne¤i inceledi¤imizde ondal›k kesirlerin tekrarl› çarp›m› yap›l›rken rasyonel say›lar›n tek-rarl› çarp›m›ndan yararlan›ld›¤› görülmektedir.

• fiekilde verilen efl büyüklükteki bütünlerin boyal› k›s›mlar›n›n bütünün kaçta kaç› oldu¤unu ondal›kkesir cinsinden gösteriniz.

Ondal›k Kesirlerin Kendisi ile Tekrarl› Çarp›m›

Araç ve gereç: Milimetrik kâ¤›t, kareli kâ¤›t

Örnek: Afla¤›da verilen ondal›k kesirleri üslü biçimde yaz›p de¤erlerini bulal›m:

: : : : : :

: : : :

: : : :

: : : : : :

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

(– , ) (– , ) (– , ) (– , ) –( , ) – – – ,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

(– , ) (– , ) (– , ) (– , ) (– , ) ( , ) ,

•

•

•

•

0 3 0 3 0 3 0 3 0 3103

103

103

103

103

10 00081 0 0081

0 5 0 5 0 5 0 5 0 5105

105

105

1000125 0 125

0 7 0 7 0 7 0 7107

107

107

107

1000343 0 343

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2102

102

102

102

10 00016 0 0016

44

3 3

33

4 4

= = = = =

= = = = =

= = = = =

= = = = =

c c c c c

c c c

c

c c c c

m m m m m

m m m

m

m m m m

16

23 : 24 = 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 = 23+4 = 27

3 tane 2 4 tane 232 : 33 = 3 : 3 : 3 : 3 : 3 = 32+3 = 35

2 tane 3 3 tane 3

7 tane 26447448

123 14243

5 tane 36447448

123 14243

e

e

e: : :

: : : : : :

: :5 5 5

•

tan

55

5 5 5 5

5 5 5 55 5 5 5 5

4 5

–

tan

tan4

77 4 3

7 5

3 5= = = =

6 7 84444 4444

1 2 344 44\

:

: : : : :

: : :•1010

10 10

10 10 10 10 10 1010 10 10 10 10 10–

tan

tan

tane

e

e2

66 2 4

2 10

6 10

4 10= = = =

6 7 844444 44444

1 2 3444 444\

: : : : : :

: :

: : :7 7 7 7 7 7 7

7 7 77 7 7 7

7 7•77 1

71 – –

an

an

ant e

t e

t e7

3

43 7 4

7 7

3 7

4 7

= = = = =

H

1 2 34444 4444 1 2 344 44

Örnek: Afla¤›da verilen modellerdeki karesel bölgelerin alanlar›n›, üslü say›larla çarpma ifllemindenyararlanarak bulal›m:

23

24 33

32

Örnek: Afla¤›daki ifllemleri inceleyelim:

Ayn› tabanl› üslü say›lar›n çarp›m›ndataban aynen al›n›r. Üsler toplan›p tabanaüs olarak yaz›l›r.

an . am = an+m

Ayn› tabanl› üslü say›lar›nbölümünde taban aynen al›n›r.Pay›n üssünden paydan›n üssüç›kar›l›p tabana üs olarak yaz›l›r.

aa am

nn m= -

e e

e: : : : : : : :•

tan tan5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

3 5 5 5

tan3 5 3 5 8

8 5= = =+6 7 844444 44444

1 2 344 44\

• 32 . 33 çarpma iflleminde çarpanlar›n her birini, 3’ün kendisiyle tekrarl› çarp›m› biçiminde yaz›n›z.• 35 üslü say›s›n›, 3’ün kendisiyle tekrarl› çarp›m› biçiminde yaz›n›z.• Yapt›¤›n›z her iki ifllemde 3’ün kendisiyle kaç kez çarp›ld›¤›n› karfl›laflt›r›n›z.• 32 . 33 ifllemini, 3’ün kuvveti biçiminde yaz›n›z.• Ayn› flekilde 25 . 24 çarpma ifllemindeki çarpanlar›n her birini, 2’nin kendisiyle tekrarl› çarpma biçi-

minde yazn›z. Ayr›ca bu çarp›m› 2’nin kuvveti biçiminde yaz›n›z.� Tabanlar› ayn› olan üslü say›lar›n çarp›m›nda, sonucun üssü ile çarpanlar›n üsleri aras›nda nas›l

bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• iflleminde pay ve payday› 3’ün kendisiyle tekrarl› çarp›m› biçiminde yaz›p yerlerine koyunuz.33

2

4

• iflleminin pay ve payda aras›nda gerekli sadelefltirmeyi yap›p sonucu üslü biçimde yaz›n›z.33

2

4

• Ayn› aflamalar› ifllemi için de yaparak sonucu üslü biçiminde yaz›n›z.22

5

7

� Yapt›¤›n›z ifllemdeki bulgular›n›z› dikkate alarak tabanlar› ayn› olan üslü say›larda bölme ifllemiyap›l›rken sonucun üssü ile pay ve paydan›n üssü aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• (32)3 üslü say›s›n›, 32nin kendisiyle tekrarl› çarp›m›ndan yararlanarak yaz›n›z.• Elde etti¤iniz üslü say›lar›n çarp›m›n› 3’ün kuvveti biçiminde yaz›n›z.• 3’ün buldu¤unuz kuvvetini (32)3 üslü say›s›ndaki üslerden yararlanarak bulmaya çal›fl›n›z.• Ayn› flekilde (24)2 ifadesini 2’nin kuvveti biçiminde yazmaya çal›fl›n›z.� Üslü say›lar›n kuvvetlerini nas›l bulursunuz? Aç›klay›n›z.

Üslü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri


17

Örne¤i inceledi¤imizde birim kare say›s›n›n, kareninbir kenar uzunlu¤unun karesi veya kenar uzunluklar›n›n çar-p›m› fleklinde yaz›ld›¤› görülmektedir.


Örnek: Afla¤›da verilen ifllemleri en sade flekilde yazal›m:

veya

:

: :

:

: :: :

16 2 16 2 2

16 2 2

4 2 4 2 216 25

16 25 42 5

2 5 2 2 5 2 5

4 25 100

25 5 25 5 5

25 5 5

4 4 4 4 16

5 4 5 20

2 3 2 3 65 2

4 3 3

20 4

16 6 616 6 20 6 4 2 2

2 3 2 3 6

2 2 2 4

&

& &

&

:

= = =

= =

= = = = = =

= =

= = =

= =

+ - -

^

^

^

] ^

] ^

h

h

h

g h

g h

:

:

: : : :

: : : : : :

:

:

:: :

:

: :

: : : : : :

: : : : : : : : : : : :

:

5 75 7 5 5 7

5 7 355 75 7 5 7 5 7 35

16 2516 25 4

16

25 4 4 4 25 425 4 100

•

•

veya5 5 5 7 7

5 5 7 7

16 16 16 16 25 25

16 16 16 16 25 25

16

4 4

–3 2

4 3

3 2

4 34 3 3 2

5 2

4 3 3

= = = = = =

= = = =

-

:

: :

:

: :

:

: :2•

32 1664 8 2

2 2

2 2 22 2

2 2 22

222

21

21

––

5

2 2

5 5 4

6 2 3 2

25 4

12 6

25 4

12 6 1

29

19

29 19 1010= = = = = = =

+

+ +

] ^

^ ^

g h

h h

: :

: : :

: :

: : :

: :

: : :

2•16 5 49

8 125 7 2

2 5 7

2 5 7 2

2 5 7

2 5 7 23 3

4 2 4

4 3 3 2

3 4 3 2 2 2

12 3 2

12 3 2 44= = =

^ ]

^ ^

h g

h h

Örnek: Modelde verilen birim kare say›s›n› üslü say›larla gösterelim:

23

23

: : : :

: : :

:

:

•

•

4 4 4 4 4 4 4 4 4

10 10 10 10 10 10 10 10

3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 15

5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 20

= = = =

= = = =

+ + + +

+ + +

^

^

h

h

Bir üslü say›n›n üssü al›n›rken üsler çarp›l›r, çarp›m ayn› tabana üs olarak yaz›l›r.

:, ü ;a Q a ave n m Z olmak zere n n m! ! =m

^ h

14

44

42

44

44

3

:: :

64 264 2 2 2 2 2

3 2

3 3 3 3 2 3 3 2== = = =+

^ h

12

3

:223 2 3 2=^ h

18

Örnek: Afla¤›da verilen ifllemleri bir say›n›n üssü biçiminde gösterelim:

: : :

: : :

) .

) .

a elde edilir

b elde edilir

3264 4

2

2 22

2 2 2 2

25

125 5

5

5 55

5 5 5 5

–

–

3

2 6

5 3

6 2 2 6

15

12 1212 12 15 9

9

4 3

2 9

3 4 3

18

12 312 3 18 3

= = = =

= = = =

+

+ -

] ^

^ ^

]

]

^

^

g h

h h

g

g

h

h

• Yanda verilen tabloyu inceleyiniz. Tablodaki dö-nüflümleri yaparak noktal› yerleri Zonguldak - Mani-sa örne¤indeki gibi doldurunuz.

• Zonguldak - Manisa aras›ndaki uzakl›¤›n afla¤›-da, farkl› birimler cinsinden yaz›l›fllar›n› inceleyiniz.

621 km = 6210 hm = 621 : 10 hm= 62 100 dam = 621 : 100 dam= 621 000 m = 621 : 1000 m= 6 210 000 dm = 621 : 10 000 dm

� Bu say›lar›n hangi çarpanlar›, bir say›n›n kuvveti biçiminde yaz›labilir?� Çok büyük say›lar›n yaz›m›n› kolaylaflt›rmak için sizce nas›l bir gösterimden yararlan›labilir?� Buldu¤unuz gösterim biçimi ile çok küçük say›lar da yaz›labilir mi? Aç›klay›n›z.


11 : 101 = 11 : 10 = 11011 : 102 = 11 : 100 = 110011 : 103 = 11 : 1000 = 11 00011 : 104 = 11 : 10 000 = 110 000

Örnekte de görüldü¤ü gibi bir tam say›y›, 10’un pozitifkuvvetiyle çarpmak için say›n›n sa¤›na 10’un kuvveti kadars›f›r (0) yaz›l›r.

7 : 10–1 = 7 : (0,1) = 0,77 : 10–2 = 7 : (0,01) = 0,077 : 10–3 = 7 : (0,001) = 0,0077 : 10–4 = 7 : (0,0001) = 0,0007187 : 10–1 = 187 : (0,1) = 18,7187 : 10–2 = 187 : (0,01) = 1,87

Bir tam say›y›, 10’un negatif kuvvetiyle çarpmak içinsay›n›n soluna 10’un kuvveti kadar s›f›r (0) yaz›l›r ve say›-da sa¤dan sola do¤ru 10’un kuvveti kadar virgül kayd›r›l›r.


125 000 000=12 500 000 :101=1 250 000 :102=125 000 :103=12 500 :104=1250 :105=125 :106=12,5 :107=1,25 :108

0,0000021 = 0,000021 :10–1 = 0,00021 :10–2 = 0,0021 :10–3 = 0,021 :10–4 = 0,21 :10–5 = 2,1 :10–6

:)a

3264 4

3

2 6

] g

:

)b25

125 59

4 3

]

]

g

g

‹ller Aralar›ndakimesafe

Farkl› birimleifadesi

Edirne - Hakkâri 2042 km .. . . . . . . . . . . . . . m

Sivas - ‹zmir 1020 km .. . . . . . . . . . . . . . cm

Zonguldak - Manisa 621 km 6 210 000 dm

Osmaniye - Adana 85 km .. . . . . . . . . . . . . . mm

Ankara - ‹stanbul 453 km .. . . . . . . . . . . . . . m

Mersin - Adana 69 km .. . . . . . . . . . . . . . cm

a) biçimindeki say›lar, n’nin pozitif tam say› de¤eri için çok büyük pozitif say›lar, n’nin ne-gatif tam say› de¤eri için çok küçük pozitif say›lard›r.

b) 1 ≤ a < 10 olmak üzere a : (n∈Z) biçimindeki gösterim çok büyük ve çok küçük say›-lar›n bilimsel gösterimidir.

10n

10n

Çok Büyük ve Çok Küçük Say›lar


19

5. Afla¤›da verilen çok büyük ve çok küçük say›lar› bilimsel göste-rimle ifade ediniz.

a) 1 molde bulunan atom say›s›

602 000 000 000 000 000 000 000’dur.

b) ‹nsan vücudundaki k›rm›z› kan hücrele-rinin say›s› yaklafl›k olarak 29 000 000 000 000’dur.

c) Türkiye’de her y›l yaklafl›k olarak 1 600 000 kifli YGS’ye girmek-tedir.

6. Afla¤›da verilen ifllemlerin sonucunu bulunuz.

a) 0,00003 : 25 = m : 10–6 ⇒ m = ?

b) 731 000 000 = 73,1 : 10n ⇒ n = ?

1. 49 say›s›n› sürekli olarak 7’ye bölüp bir örüntü oluflturunuz. Örüntünün elemanlar›n› 7’nin kuvvetleri cinsinden yaz›n›z.

2. say›s›n› sürekli olarak 5 ile çarp›p bir örüntü oluflturunuz. Oluflturdu¤unuz örüntünün ele-

manlar›n› üslü biçimde gösteriniz.

3. Afla¤›da verilen say›lar› üslü biçimde yaz›p say›lar›n de¤erlerini bulunuz.

a) b)

c) ç)


:: : :

:

:) 2 3 ) ) ç

3 9243 81)a b c

6 72

72 1

52 1

52 1

52

–

– – – –

4

4 4 28 28 2

7 5

3+ + +c c c c cm m m m m

: : : :, , , , ,0 4 0 4 0 4 0 4 0 4^ ^ ^ ^ ^h h h h h: : : :– , – , – , – , – ,0 2 0 2 0 2 0 2 0 2^ ^ ^ ^ ^h h h h h

: : : :– – – – –106

106

106

106

106

c c c c cm m m m m: : :

54

54

54

54

6251

Örnek: Günefl’in Dünya’ya uzakl›¤› yaklafl›k 150 000 000 km, 1 ›fl›k y›l› yaklafl›k 95 000 : 108 dir. Protonun kütlesi yaklafl›k1673 : 10–27 g, elektronun kütlesi 9109 : 10–31 g ve nötronun küt-lesi yaklafl›k 1675 : 10–27 g’d›r.

Verilen bu çok büyük ve çok küçük say›lar› bilimsel gösterim-le ifade edelim:

Say› Bilimsel gösterimi

150 000 000 1,5 : 108

95 000 : 108 9,5 : 1012

1673 : 10–27 1,673 : 10–30

9109 : 10–31 9,109 : 10–34

1675 : 10–27 1,675 : 10–30


ÖÇK s. 10, 11,12, 13, 14, 15, 16

20

• Noktal› kâ¤›t üzerinde alanlar›; 1 br2, 4 br2, 9 br2, 16 br2, 25 br2, 36 br2 ve 81 br2 olan karesel böl-geler oluflturunuz.

• Karesi 1, 4, 9, 16, 25, 36 ve 81 olan say›lar› belirleyiniz.

� Buldu¤unuz say›lardan hangileri bu karesel bölgelerinkenar uzunluklar› olabilir? Aç›klay›n›z.

• Alan› 9 br2 ve 16 br2 olan karesel bölgeleri makasla ke-sip ç›kar›n›z.

• Alan› 9 br2 olan karesel bölgeyi, alan› 16 br2 olan kare-sel bölge üzerine ikifler kenar› üst üste gelecek flekilde ko-yunuz.

• Oluflturdu¤unuz modelde karesel bölgeler aras›ndaki fark› belirleyi-niz.

� Alan› 10 br2, 11 br2 ve 13 br2 olan karesel bölgeleri, önceki ad›mlar-da üst üste koyarak belirledi¤iniz karesel bölgeler yard›m›yla nas›l olufltu-rursunuz?

� Kenar uzunluklar› 3 br ve 4 br olan karesel bölgeler yard›m›yla ala-n› 10 br2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤unu yaklafl›k olarak nas›lbulabilirsiniz?

2. BÖLÜM KAREKÖKLÜ SAYILAR

Yanda verilen kare fleklindeki arsa22,5 dönüm (22 500 m2)dür. Bu arsan›nçevresi çitle çevriliyor.

� Yap›lan çitin kaç metre uzunlu¤un-da oldu¤unu nas›l bulabilirsiniz?

Kareköklü Say›lar› Keflfetme

Araç ve gereç: Noktal› kâ¤›t, makas, boya kalemleri

21

Örnek: Noktal› kâ¤›t üzerinde alan› 4 br2, 9 br2 ve 16 br2 olan karesel bölgeler çizip kenar uzunluk-lar›n› bulal›m:

Örnek: Kareleri 36 cm2, 64 cm2 ve 121 cm2 olan karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n› bulal›m:

Örnek: 144 ve 196 say›lar›n›n kareköklerini asal çarpanlar›na ay›rarak bulal›m:

4 br2

Karesi 16 br2 olan say›lar 4 : 4 = 16 ve (–4) : (–4) = 16oldu¤undan 4 ve –4’tür.

Karesel bölgenin kenaruzunlu¤u negatif olamayaca¤›n-dan 4 br olarak al›n›r.

Bu ifllem, bi-

çiminde gösterilir. Ancak negatifkarekök al›nd›¤›nda –4 elde edi-lir.

– – –16 4 42= =

16 4 42= =

16 br29 br2

x2 say›s›nda x’in pozitif de¤erini bulma ifllemi, karekök alma ifllemidir. “ ” iflareti pozitif ka-

rekök sembolü, “– ” iflareti ise negatif karekök sembolüdür. ifadesi, “karekök x kare” diye

okunur.

x2

Karekökleri tam say› olan say›lar, tam kare say›lard›r.

196 2 196 = 22 : 72

98 249 7

7 71

: : :2 7196 2 7 2 7 142 2 2= = ==] g

Karesi 4 br2 olan say›lar 2 : 2 = 4 ve (–2) : (–2) = 4 oldu¤undan 2 ve –2’dir.

Karesel bölgenin kenaruzunlu¤u negatif olamayaca-¤›ndan 2 br olarak al›n›r.

Bu ifllem,

biçiminde gösterilir. Ancaknegatif karekök al›nd›¤›nda–2 elde edilir.

– – –4 2 22= =

4 2 22= =

Karesi 9 br2 olan say›lar 3 : 3 = 9 ve (–3) : (–3) = 9 oldu¤undan 3 ve –3’tür.

Karesel bölgenin kenaruzunlu¤u negatif olamayaca-¤›ndan 3 br olarak al›n›r.

Bu ifllem,

biçiminde gösterilir. Ancak ne-gatif karekök al›nd›¤›nda –3elde edilir.

– – –9 3 32= =

9 3 32= =

636 62= =

864 82= =

11121 112= =

36 cm2

64 cm2

121 cm2

Örne¤i inceledi¤imizde tam kare say›lar›n asal çarpanlar›n›n karelerinin çarp›m› fleklindeyaz›l›p karekök d›fl›na ç›kar›ld›¤› görülmektedir.

144 2 144 = 24 : 32

72 2 = 22 : 22 : 32

36 218 2

9 33 31

: : : : : :2 2 3144 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2= = = =] g

x pozitif bir rasyonel say› olmak üzere olur.x x2

=^ h

22

1 br2

225 br2

64 br2

49 br2

324 br2

196 br2

81 br2

100 br2

16 br2

Örnek

Yanda verilen dikdörtgensel bölge fark-l› büyüklükteki karesel bölgelere ayr›lm›fl-t›r. Her bir karesel bölgenin içindeki say› obölgenin alan›n› belirtmektedir. Buna göreher bir karesel bölgenin kenar uzunlu¤unuinceleyelim:

Siyah bölgenin bir kenar uzunlu¤u,

br olarak bulunur.1 1 12= =

Sar› bölgenin bir kenar uzunlu¤u,


Turuncu bölgenin bir kenaruzunlu¤u,

br olarak

bulunur.

49 7 72= =

1 br2

16 br2

49 br2

64 br281 br2

Mor bölgenin bir kenar uzunlu¤u,


Yeflil bölgenin bir kenar uzunlu¤u,


Beyaz bölgenin bir kenaruzunlu¤u,

br olarakbulunur.

100 10 102= =196 br2

225 br2

324 br2

Gri bölgenin bir kenar uzunlu¤u,

= =

= = = 18 br olarak bulunur.182• •2 3 3 2] g

• •2 3 32 2 2• • • • •2 2 3 3 3 3324

Mavi bölgenin bir kenar uzunlu¤u,

= =

= = = 15 br olarak bulunur.152•3 5 2] g

•3 52 2• • •3 3 5 5225

Örnek: Bir kenar uzunlu¤u br olan karenin alan›n› bulal›m:

bulunur..5 5 5 52

= =^ h

5

K›rm›z› bölgenin bir kenaruzunlu¤u,

=

= =

= = 14 br olarak bulunur.142

•2 7 2] g•2 72 2

• • •2 2 7 7196100 br2

23

En soldaki 2’ye en yak›n tam kare olan say› 1’dir. 1’in karekökünüçizginin üstüne, tam kare olan 1 say›s›n› 2’nin alt›na yazar›z.

2’den 1’i ç›kar›p kalan 1 say›s›n›n yan›na yukar›daki 10 say›s›n› aynengetirip çizginin üzerindeki 1 say›s›n› da 2 ile çarparak çizginin alt›na yazar›z.

2’nin yan›ndaki ve alt›ndaki karelere öyle bir rakam yazmal›y›z kielde edilen iki çarpan›n çarp›m› 110 veya 110’dan küçük en yak›n say›olsun. Bu say› 4’tür. 4’ü çizginin üzerindeki 1’in yan›na da yazar›z. Çar-p›m› da 110’un alt›na yaz›p ç›karma ifllemini yapar›z. 25’i kalan say›n›nyan›na getiririz.

�2 10 251

110

� 2 10 25 1 : 2 = 21

110

1

� 2 10 25 1 : 2 = 21

1109614

1 4

96x

44

14’ü çizginin alt›na yaz›p 2 ile çarpar›z. 28’in yan›nave alt›na 5 rakam›n› yaz›p çarpt›¤›m›zda 1425’i elde ede-riz. Bulunan 5 rakam›n› 14 say›s›n›n yan›na yazar›z. Böy-lece 21 025 say›s›n›n karekökünü 145 olarak buluruz.

‹fllemin do¤ru olup olmad›-¤›n› anlamak için hesap makine-siyle 21 025’in karekökünü

buluruz.

O hâlde yap›lan ifllem do¤ru-dur.

21025 145=

23 say›s›na en yak›n tam kare say›lar 16 ve 25’tir.

16 < 23 < 25 oldu¤undan bu say›lar›n karekökleri aras›nda-

ki s›ralama biçimindedir. 23’ün

karekökü 4’ten büyük, 5’ten küçük bir say› olmal›d›r. Ancak 23 sa-

y›s› 25’e daha yak›n oldu¤undan , 5’e daha yak›n bir say›d›r.23

16 23 25 4 23 5< < < <"

� 2 10 25 1 : 2 = 21

11096142514250000

14 5

96x

1425x

44

55

14x2 = 28

210 25 Say›y› karekök içine al›p sa¤dan sola do¤ru ikiflerli basamaklara ay›r›n›z. En sol-daki say› tek kalabilir.

Örnek: 21 025 say›s›n›n karekökünü bulal›m:

21 025 145 21025

23 say›s›n›n 16 ve 25 say›lar›na uzakl›klar›n› inceleyelim:

23 – 16 = 7, 25 – 23 = 2 oldu¤undan 23 say›s› 25’e 16 say›s›ndan daha yak›nd›r. 23 say›s› 25’e

daha yak›n oldu¤undan say›s›, 5’e yak›n bir de¤erdir. say›s›n›n hesap makinesi ile bulu-

nan de¤eri, 4,79... ç›kmaktad›r.

2323

1

Örnek: Karesi 23 olan say›y› tahmin edelim. Tahminimizi hesap makinesi ile kontrol edelim:

24

Tahminimiz ifllem sonucuna yak›nd›r.

Tahminimiz ifllem sonucuna yak›nd›r.

23 4,795831523

Tahminimizi hesap makinesiyle ifllem yaparak kontrol edelim:

Örnek: 127 say›s›n›n karekökünü en yak›n onda birli¤ine kadar tahmin edelim. Tahminimizi hesapmakinesi ile ifllem yaparak kontrol edelim:

127 say›s›na en yak›n tam kare say›lar 121 ve 144’tür.

121<127<144 oldu¤undan bu say›lar›n karekökleri aras›ndaki s›ralama

127 say›s›n›n 121 ve 144 say›lar›na uzakl›klar›n› inceleyelim:

127 – 121 = 6, 144 – 127 = 17 oldu¤undan 127 say›s› 121 say›s›na 144 say›s›ndan da-

ha yak›nd›r. O hâlde , 11’e daha yak›nd›r.127

biçimindedir. Ancak 127

say›s› 121’e daha yak›n oldu¤undan , 11’e daha yak›n bir say›d›r.127

121 127 144 11 127 12< < < <"

1 27 1x2=210 27

2106

�21

x

11 �1 27 1x2=2 2

10 27

21600444156

2 1 444xx

11

22

11x2=22 ,127 11 2.

127 11,269427127

Tahminimizi hesap makinesiyle ifllem yaparak kontrol edelim.

Hesap makinesinde “ ” tuflu karekök alma tufludur.

I. Yol

II. Yol11 11,2

25

1. Afla¤›da verilen say›lar›n kareköklerini çarpanlara ay›rma yöntemiyle bulunuz.

a) 81 b) 169 c) 289 ç) 361

2. Afla¤›da verilen say›lar›n kareköklerini karekök alma ifllemiyle bulunuz.

a) 3136 b) 2025 c) 5625 ç) 9025

3. Alan› 256 br2 olan kare biçiminde bahçenin bir kenar uzunlu¤unu bulunuz.

4. Afla¤›da verilen say›lar›n kareköklerini en yak›n onda birli¤ine kadar tahmin ediniz. Tahmininizihesap makinesiyle ifllem yaparak kontrol ediniz.

a)19 b) 37 c) 77 ç)114 d) 221 e) 285

5. 405 say›s›n›n karekökünü bulmak için afla¤›daki say›lardan hangisinin yaklafl›k de¤eri bilinirsesonuç kolayl›kla bulunabilir?

A. B. C. D. 15753

6. Afla¤›daki kareköklü say›lardan kaç tanesi tam kare say›d›r?

I. II. III. IV.

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

92– 3627121

7.

Yandaki flekilde iç içe kareler bulunmaktad›r. fiekil-de verilen renkli bölgelerin alan bilgilerine göre her birkarenin kenar uzunlu¤unu bulunuz.


ÖÇK s. 17, 18, 19

11 br2

7 br2

8 br2

9 br2

1 br2

Rasyonel Say›lar›n Ondal›k Aç›l›m› ve ‹rrasyonel Say›lar

Araç ve gereç: Hesap makinesi

26

• 0,3; 1,21; 0,0007; 32,18 ondal›k aç›l›mlar›n› rasyonel say› olarak gösteri-niz.

• rasyonel say›lar›n›, hesap makinesi ile ondal›k

aç›l›m olarak gösteriniz.

�

gibi devirli ondal›k aç›l›mlara karfl›l›k gelen rasyo-

� Her rasyonel say›n›n bir ondal›k aç›l›m› var m›d›r?� Her devirli ondal›k aç›l›ma karfl›l›k gelen bir rasyonel say› var m›d›r?• 0,2020020002... ; 3,12435307... ; 43,423568901... devirli olmayan ondal›k

aç›l›mlar› ve gibi tam kare olmayan köklü say›lar› rasyonel say› biçimin-

de yazmaya çal›fl›n›z.� Rasyonel say› biçiminde yazamad›¤›n›z bu say›lar› kapsayan bir say› kü-

mesine ihtiyaç var m›d›r? Neden?� Bu etkinlik içerisinde verilen tüm say›lar›n say› do¤rusu üzerinde bir yeri

var m›d›r?

� 1, –4, vb. say›lar› kapsayan farkl› bir say› kümesine ihtiyaç var m›d›r? Neden?

� Bu say› kümesi sizce hangi farkl› say› kümelerinden oluflmufltur? Tart›fl›n›z.

, , 2, ,27 0 7 6

,3 2

0,83333... 0,8

,349999... 0,34

,353535... 1,

3

0 9

1 35

=

=

=

, , , , ,53

107

910

5 420

8177

3. BÖLÜM GERÇEK SAYILAR

14

24

3

3/5

20/4

Her ondal›k kesrin devirli ondal›k aç›l›m› vard›r.

Matematik, çok eski bir bilim dal›d›r. ‹nsano¤lu saymaya her za-man ihtiyaç duymufltur. Bilim adamlar› araflt›rmalar› ile matematikhakk›nda bizlere bilgi vermektedir. Bunlardan bir tanesi de 1960 y›l›n-da bulunan ishango kemi¤idir. Bu kemi¤in üzerindeki çentiklerden ozamanda (MÖ 25 000) 10’lu say› sisteminin kullan›ld›¤› düflünülmek-tedir. Çünkü kemik üzerinde 9 say›s› 10 – 1, 11 say›s› ise 10 + 1 an-lam›na gelecek flekilde 10 tane çentik dizilerek gösterilmifltir.

Matematikçiler zamanla 10’luk say› sistemi içerisinde do¤al say›-lar, tam say›lar ve rasyonel say›lar gibi say› kümelerine ihtiyaç duy-mufllar ve bu say› kümelerini aralar›nda bir iliflki belirleyerek bulmufllard›r. Mesela 5 say›s› hemdo¤al say› hem tam say› hem de rasyonel say›d›r.

� ; 3,14159265... gibi say›lar› yukar›da verilen say› kümeleri ile gösterebilir miyiz? Siz-

ce bu say›lar› içine alan yeni bir say› kümesine ihtiyaç var m›d›r? Aç›klay›n›z.

3

Örnek: Afla¤›da verilen rasyonel say›lar›n ondal›k aç›l›mlar›n› yazal›m:

)a52 )b

257 ) –c

83 ç)

510 )d

65 )e

4516

) , , ... , ) , , ... ,

) – – – , – , ... – , ç) , ... ,

a b

c

52

104 0 4 0 4000 0 40

257

10028 0 28 0 28000 0 280

83

1000375 0 375 0 375000 0 3750

510 2 2 000 2 0

( ) ( )

( )

2 4

125

= = = = = = = =

= = = = = = =

nel say›lar› nas›l bulursunuz?

27

d) 50 648 0,833...020

1802018

2•

•

•

, ... ,65 0 8333 0 83= =

e) 160 45135 0,355...0250

2250250225

25•

•

•

, ... ,4516 0 355 0 35= =

, ...

–

x

xx

63100 63 6363

99

999963

9963

&

=

= =

, , ...x 0 0 6363= =

, ...x 0 6363=

, , ..., ...

–

xx

x

x

x

1 123 1 1231231000 1123 123123

999

999999

1122

9991122

= ==

=

=

=

, ...1 123123

Her rasyonel say›n›n devirli ondal›k aç›l›m› vard›r.

Örnek: Afla¤›da verilen devirli ondal›k aç›l›mlara karfl›l›k gelen rasyonel say›lar› bulal›m:

a) x = 0,63 = 0,63333. ... ondal›k aç›l›m›nda;

Eflitli¤in her iki yan›, devretmeyen say›n›n basamak say›s› kadar 10’nun kuvveti ile çarp›-l›r. Devretmeyen k›s›m (6) bir basamakl› oldu¤undan eflitli¤in her iki yan›n› 10 ile çarpar›z (10 x = 6,333...).

Buldu¤umuz de¤erleri taraf tarafa ç›kar›r›z.

Eflitli¤in her iki yan›, virgülden sonra gelen say›n›n basamak say›s› kadar 10’nun kuvvetiile çarp›l›r. Virgülden sonra gelen say› (63) iki basamakl› oldu¤undan eflitli¤in her iki yan›n› 100ile çarpar›z (100 x = 63,333...).

100 x = 63,333...

– 10 x = 6,333...

bulunur.x

x90

909057

9057

&= =â , ' › .O h lde d r0 639057=

b) c) , , ..., ...

– , ...

xx

x

x

x

3 412 3 412121000 3412 1212

10 34 1212

990

9909903378

9903378

= ==

=

=

=

ç)

Her devirli ondal›k aç›l›ma, bir rasyonel say› karfl›l›k gelir.

) ,a 0 63 ) ,63b 0 ) ,123c 0 ç) ,3 412

28

c) Karesi 2 olan say›y› yazal›m:

x2 = 2 dersek 12 = 1 ve 22 = 4 oldu¤undan ,

(1,4)2 = 1,96 ve (1,5)2 = 2,25 oldu¤undan ,

(1,41)2 = 1,9881 ve (1,42)2 = 2,0164 oldu¤undan

Bu ifllemi sürdürürsek karesi 2 olan x say›s›n›n de¤erine çok yak›n de¤erler bulabiliriz.

Say› do¤rusunda

say›s› 1 ile 2 aras›ndad›r (1 < < 2).

say›s› 1,4 ile 1,5 aras›ndad›r (1,4 < < 1,5).

‹fllemi bu flekilde sürdürürsek say› do¤rusu üzerinde ’ye karfl›l›k gelen yeri buldu¤umuzda bu

say›n›n biçiminde yaz›lamayaca¤›n› görürüz.ba

2

22

22

' › .nin yerini bulal m2

, ., olur1 41 2 1 42< <

, < < ,1 4 2 1 5

< <1 2 2

2

26

42

48

64

24

8

Örnek: Afla¤›da verilen say›lar› inceleyelim:

Verilen say›lar› inceledi¤imizde sürekli olarak tekrar eden rakamgrubu bulunmad›¤›ndan bu say›lar devirli ondal›k aç›l›m veya rasyonelsay› olarak yaz›lamazlar.

1 2

1 21,4 1,5

O hâlde,

gibi say›lar irrasyonel say›lard›r.

Devirli olmayan on-dal›k aç›l›mlar›n göster-di¤i say›lara irrasyonelsay›lar denir. ‹rrasyonelsay›lar kümesi “I” veyaQ’ ile gösterilir. ‹rrasyo-

nel say›lar biçimin-

de gösterilemezler.

ba

0,010010001... ; 3,44123576...

, , , ,2 3 5 7

a) 0,010010001... b) 3,44123576... c) 2

E 1,41421356 br E 1,73205081... E 2,23606798... E 2,64575131...

Hesap makinesinde bu say›lar›n kareköklerini ald›¤›m›zda ondal›k k›s›mda ayn› say›lar›ntekrar etmedi¤ini görürüz. Say›n›n devam eden k›sm›n›n hesap makinesinin ekran›nda görülme-di¤ini E sembolü ile anlar›z.

a) 0,010010001...

b) 3,44123576...

29

Örnek: Say› do¤rusu üzerinde 1 ve 2 tam say›lar› aras›ndaki say›lar›n yo¤unlu¤unu inceleyelim:

1 ile 2 aras›na bir rasyonel say› yazal›m. 2

1 223+

=

1 ile 2 aras›na 3 tane rasyonel say› yazal›m.

Önce 1 ile aras›na bir rasyonel say› yazal›m. Sonra ile 2 aras›na bir rasyonel say›

daha yazal›m.

,2

23 2

227

47 1

45

23

47 2< < < >

+= =, < < < ,

2

123

225

45 1

45

23 2

+= =

23

23

‹flleme ayn› flekilde devam edersek 1 ile 2 aras›na istedi¤imiz kadar rasyonel say› yazabiliriz.Say› do¤rusunda 1 ile 2 tam say›lar› aras›nda herhangi bir tam say› bulunmad›¤› hâlde, 1 ile 2 tamsay›lar› aras›nda istedi¤imiz kadar rasyonel say› oldu¤unu görürüz. O hâlde rasyonel say›lar kü-mesi, tam say›lar kümesine göre daha yo¤undur.

• Say› do¤rusunda 1 ve 3 aras›ndaki tam say›lar› belirle-yiniz.

� Say› do¤rusu tam say›lar ile doldurulabilir mi? Neden?

• 2 ve 3 aras›nda bir rasyonel say› belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz rasyonel say› ile 2 aras›nda bir rasyonelsay› daha belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz her yeni rasyonel say› ile 2 aras›nda yenibir rasyonel say› belirleyiniz.

� ‹flleme bu flekilde devam etti¤inizde 2 ile 3 aras›ndakaç tane rasyonel say› yazd›¤›n›z› bulabilir misiniz?

� Herhangi iki rasyonel say› aras›ndaki say›lar hakk›ndane söyleyebilirsiniz?

� Yukar›daki ifllemlerden yararlanarak tam say›lar ilerasyonel say›lar›n yo¤unlu¤unu (s›kl›¤›) karfl›laflt›r›n›z. Han-gisi daha yo¤undur? Neden?

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak say› do¤rusununrasyonel say›larla doldurulup doldurulamayaca¤› hakk›ndane söyleyebilirsiniz?

145

23

47 2

1 223

Rasyonel Say›lar›n Yo¤unlu¤u (S›kl›¤›)


30

Herhangi iki rasyonel say› aras›na istenildi¤i kadar rasyonel say› yaz›labildi¤i hâlde rasyonelsay›lar tek bafl›na say› do¤rusunu dolduramazlar.

oldu¤u için say› do¤rusunda say›s›na herhangi bir rasyonel say› karfl›l›k gel-

mez. Bu nedenle rasyonel say›lar kümesi ile irrasyonel say›lar kümesinin birleflimi say› do¤rusu-nu tam olarak doldururlar.

2< <1 2 2

Q

R

R

Q

144444444244444443

Z

Z

N

I

1. Afla¤›daki devirli ondal›k aç›l›mlara karfl›l›k gelen rasyonel say›lar› bulunuz.

a) 1,23–

b) 0,12—

c) 2,314—

ç) 0,123—–

d) 0,7–

e) 2,103—

2. Afla¤›da verilen rasyonel say›lara karfl›l›k gelen devirli ondal›k aç›l›mlar› bulunuz.

a) b) c) ç) d) e)

3. rasyonel say›lar› aras›na 5 tane rasyonel say› yerlefltiriniz.

4. Ondal›k say›lar› say› do¤rusu üzerinde rasyonel say› olarak gösterebilir miyiz? Nedenini aç›klay›-n›z.

ile53

54

342

1491

73

2473

121

61

Örnek: Say› kümeleri aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim:

–3 –2 –1 0 1 2 3

–3 –2 –1 0 1 2 3–2 5

–8 5

–12 5

1 5

8 5

12 5

–3 –2 –1 0 1 2 3–2 5

–8 5

–12 5

1 5

8 5

12 5

14444444444244444444443

1444444444444444444444424444444444444444444443

1444444444444444444444424444444444444444444443

1444444444444444444444424444444444444444444443

N

2 5

Say› kümeleri aras›ndaki iliflkininoldu¤u görülür.N Z Q R1 1 1

Rasyonel say›lar kümesi ile irrasyonel say›-lar kümesinin birleflimi gerçek (reel) say›lar kü-mesini oluflturur. Gerçek (reel) say›lar kümesi Rile gösterilir (R = QUI). Say› do¤rusunda her birnoktaya karfl›l›k gelen gerçek say› vard›r.

AALLIIfifiTTIIRRMMAALLAARRÖÇK s. 20, 21,22

31

Karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤u a br olsun.

: : : .a br bulunur80 4 4 5 4 5 4 52= = = =

’nin kat say›s›d›r.desin:, IR ve y 0 olmak üzere; ,x y x y x y ifade x y2! $ =

80 br2

a

a

a a

• Kâ¤›d›n›zdan dik kenar uzunluklar› 2 br olan 4 tane dik üçgen kesiniz. Bunlar›, dikkenarlar›ndan birlefltirerek alan› 8 br2 olan karesel bölge elde ediniz.

� Bu karenin bir kenar uzunlu¤unu biçiminde gösterebilir miyiz?

• Oluflturdu¤unuz karesel bölgeyi flekildeki gibi dört efl parçaya bölerek alan› 2 br2 olankaresel bölgeler elde ediniz.

• Elde etti¤iniz her bir karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤unu irrasyonel say› olarakgösteriniz.

� Bu karelerin alanlar› eflit oldu¤undan kenar uzunluklar› da eflittir. Buradan

sonucuna ulaflabilir miyiz? Aç›klay›n›z.

• ifllemini cebirsel ifadelerde toplama iflleminden yararlanarak

fleklinde yaz›n›z.

� Buradan sonucuna ulaflabilir miyiz? Aç›klay›n›z.

• 8 say›s›n› çarpanlar›na ay›rarak tam kare olan say›y›, kök d›fl›na ç›kar›n›z.

� Buldu¤unuz sonucu, yukar›daki sonucu ile karfl›laflt›r›n›z.

� say›s›n›n say›s›na eflit olmas› için ’nin kök d›fl›ndaki 2 çarpa-

n›n›, kök içine hangi çarpan olarak yazabilirsiniz?

• Benzer ifllemi say›s›nda 3’ü karekök içine alarak yap›n›z.

� Karekök d›fl›ndaki say›lar, karekök içine nas›l bir çarpan olarak yaz›l›yor? Aç›klay›n›z.• Alan› 2 br2 olan karesel bölgelerden 9 tanesiyle alan› 18 br2 olan bir karesel bölge oluflturunuz.• Oluflturdu¤unuz karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤unu ayn› yöntemle bulunuz.• Alan› 8 br2 ve 18 br2 olan karesel bölgelerin birer kenar›n›n uzunluklar› toplam›n› bulunuz.• Alan› 8 br2 ve 18 br2 olan karesel bölgelerin kenar uzunluklar› fark›n› bulunuz.� Alan› 8 br2 ve 18 br2 olan karesel bölgelerin alanlar›n›n karekökleri toplam› veya fark› bulundu-

¤unda bu karesel bölgelerin kenar uzunluklar› toplam› veya fark›n› elde edebilir miyiz?� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak karekök içi ayn› olan kareköklü say›lar aras›nda toplama ve

ç›karma ifllemini yapmak için nas›l bir yol izlersiniz? Aç›klay›n›z.

3 2

2 282 2

2 2

8 2 2=

2 22 2+

8 2 2= +

8

4. BÖLÜM KAREKÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLER

2 br2 2 br2

2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2

2 br2 2 br2 2 br2

Cadde ve sokaklarda yayalar›n rahat yürüyebilmesi için kald›r›mlara karo tafllar› döflenir. Çe-flitli geometrik flekillerde olan bu karo tafllar› genellikle kare biçimindedir.

� 2. resimdeki karesel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar› çarp›m› ile bulabilir miyiz?� 3. resimdeki dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklar›n›n kaçar santimetre oldu¤unu nas›l

bulabiliriz?

Kareköklü Say›lar› fieklinde Yazma, Kareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemleri

Araç ve gereç: Kâ¤›t, makas, cetvel

a b

250 cm2

510

510

2br

2br

2br

2

2

2br

Örnek: Alan› 80 br2 olan karesel bölgeyi inceleyelim:

32

Örnek: Afla¤›da alanlar› verilen karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n› bulal›m:

Örnek: Afla¤›daki modellerden yararlanarak verilen ifadelerde kök d›fl›ndaki say›y› kök içine alal›m:

: :

:

2 2 3

2 3

x

x

x

xx br

12

12

2 3

2

2

=

=

=

==

: : :

:

2 2 2 3

2 6

x

x

x

xx br

24

24

2 6

2

2

=

=

=

==

: :

:

3 3 3

3 3

x

x

x

xx br

27

27

3 3

2

2

=

=

=

==

: : : :

: :

:

:

x

x

x

x

xx

x br

32

32

2 2 2 2 2

2 2 2

2 22 2 2

4 2

2

2 2

2

=

=

=

=

==

=

: 2] g

12 br224 br2

27 br232 br2

48 br2

x x x x x

Tam kare olmayan say›lar, karekök d›fl›na ç›kar›l›rken say›lardan biri tam kare olacak biçimdeçarpanlar›na ayr›l›r. Tam kare olan say›n›n karekökü bulunur. Bulunan karekök, kök içinde kalansay›ya kat say› olarak yaz›l›r.

5 5 5

5 5 5

5 5 5

45

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

50

2

5 5

5 520

2 2 2 2 2 5 2

2

2

2

2

2

5 2

: :2 5 4 52 5 202= = =

: :5 2 25 25 2 502= = =

3 5

3 5

: :3 5 9 53 5 452= = =

7 7 7

7 7 7

7 7 7

63

7 7 7

7

7

7

3 7

3 7

: :3 7 9 73 7 632= = =

Kareköklü bir ifadenin kat say›s› karekök içine al›n›rken kat say›n›n karesi al›n›r, karekök için-

deki say› ile çarp›l›r ( ).., IR ve y 0 olmak üzere; .x y x y x y olur2! $ =

olarak bulunur.

: : : :

: :

:

:

x

x

x

x

xx

x br

48

48

2 2 2 2 3

2 2 3

2 22 2 3

4 3

2

2 2

2

=

=

=

=

==

=

: 3] g

5 5

5

5

5 5 5

5

5

5

5

2 5

33

Örnek: Afla¤›da verilen dikdörtgensel bölgele-rin çevre uzunlu¤unu bulal›m:

3

Çevre = br3 3 4 3 4 3 10 3+ + + =

4 3

2

Çevre = br2 2 2 3 2 3 2 2 4 3+ + + = +

2 3

3 br2

Örnek: Alan› 45 br2 olan bir karesel bölgeyi, 9 efl karesel bölgeye ay›rarak efl karesel bölgelerin ke-nar uzunluklar› ile alan› 45 br2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤unu karfl›laflt›ral›m:


Örnek: Afla¤›daki modelden yararlanarak z’nin de¤erini bulal›m:

:4 3y

x

z x y

12 2 3

3

3 2 3 3 3

= = =

=

= + = + =

Efl karesel bölgelerden her birinin alan›

dir. Efl karesel bölgelerin bir kenar

uzunlu¤u, br bulunur.5

br945 5 2=

Efl karelerden her birinin alan›

dir. Efl karesel bölgelerin bir kenar uzunlu¤u,

bulunur.:2 2 br8 2 22= =

br972 8 2=

Verilen karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n› eflitledi¤i-

mizde elde edilir.3 5 5 5 5= + +

Kareköklü say›larda toplama ve ç›karmaiflleminin yap›labilmesi için karekök içlerininayn› olmas› gerekir.

Kareköklü say›larla toplama ve ç›karmaifllemi yap›l›rken kareköklü say›n›n kat say›la-r› aras›nda toplama ve ç›karma ifllemi yap›l›r.Ç›kan sonuç kareköklü say›n›n kat say›s› ola-rak yaz›l›r.

, , , IR

– –

ü ;

.

x y z t ve y

x y z y t y x z t y

olmak zere

olur

0! $

+ = +] g

45 br2

: : br45 9 5 3 5 3 52= = =

Verilen karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n› eflitledi¤imizde

elde edilir.

6 2 2 22 2 2 2= + +

72 br2

8 br2 8 br2 8 br2

8 br2 8 br2 8 br2

8 br2 8 br2 8 br2

y

x

z1442443

12 br2

Örnek: Afla¤›da yap›lan ifllemi inceleyelim:

– – – –

– –

12 7 1 9 12 7 1 3 12 7 4 12 7 2

12 9 12 3 9 3

+ + = + + = + = +

= = = =

:72 36 2 6 2= =

5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2

5 br2 5 br2 5 br2

34

Kareköklü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleri

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem, makas, pipet, bant

• Alan› 2 br2 olan 6 tane karesel bölgeyi, dik kenar uzunluklar› 1 br olan dik üç-genlerden yararlanarak haz›rlay›n›z.

• Haz›rlad›¤›n›z karesel bölgelerin bir kenar uzunlu¤unu belirleyiniz.• Alan› 2 br2 olan karesel bölgelerin 4 tanesi ile bir karesel bölge oluflturunuz ve

bu karesel bölgenin bir kenar uzunlu¤unu belirleyiniz.• Elde etti¤iniz karesel bölgenin alan›n› küçük karesel bölgelerin alanlar› topla-

m›ndan bulunuz.• Yine bu karesel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar›n›n çarp›m› fleklinde yaz›n›z.• Toplama ve çarpma ifllemleriyle elde etti¤iniz alanlar› eflitleyiniz. Elde etti¤iniz

eflitlikten yararlanarak iflleminin sonucu hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

• Alan› 2 br2 olan karesel bölgelerin 6 tanesi ile bir dikdörtgensel bölge oluflturu-nuz ve bu dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklar›n› belirleyiniz.

• Dikdörtgensel bölgenin alan›n›, küçük karesel bölgelerin alanlar› toplam›ndan yararlanarak bulunuz.• Bu dikdörtgensel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar›n›n çarp›m› fleklinde yaz›n›z.• Elde etti¤iniz alanlar› birbirine eflitleyiniz.� Elde etti¤iniz eflitliklerden yararlanarak kareköklü say›lar›n çarp›m›n›n nas›l yap›ld›¤›n› belirleye-

bilir misiniz?• Pipetten yaklafl›k olarak cm uzunlu¤u kesiniz.

• Kareköklü say›lar›n toplam›ndan yararlanarak kesti¤iniz pipet parças›n› 6 eflparçaya bölünüz.

• Elde etti¤iniz her bir parçan›n uzunlu¤unu yaklafl›k olarak belirleyiniz.• Her bir parçan›n pipetin kaçta kaç› oldu¤unu belirleyiniz.• Kesti¤iniz alt› parçay› bant yard›m›yla ikifler ikifler yap›flt›r›n›z.• Oluflan uzunlu¤u belirleyiniz.• Her bir parçan›n pipetin kaçta kaç› oldu¤unu bulunuz.• Pipetten yaklafl›k cm uzunlu¤u kesiniz.

• Kesti¤iniz bu uzunlu¤un bantla yap›flt›rd›¤›n›z parçan›n kaçta kaç› oldu¤unuyaklafl›k olarak bulunuz.

3

6 6

•2 2

Örnek: Afla¤›da verilen toplama ve ç›karma ifllemlerini yapal›m:

Örnek: Afla¤›da verilenlere göre a ve b uzunluklar›n› bulal›m:

320 2160 2

80 240 220 210 2

5 51

320 = 82 : 5

: : : : : :

: : :

– –

– – –– –

• •

•

•

5 3 3 3 4 3 5 3 4 3 6 3 7 2 5 2 8 2 7 5 8 2 20 2

80 45 125 16 5 9 5 25 5 4 5 3 5 5 54 5 3 5 5 5 4 3 5 5

6 5

24 54 96 4 6 9 6 16 6

2 6 3 6 4 6 2 3 4 6 9 6

2 2 2

+ = + = + + = + + =

+ = + = += + = +

=

+ + = + +

= + + = + + =

] ]

]

]

g g

g

g

628

62

8

64248

6442448

64

42

44

8

64

24

8

a

br320

br45

br175

br343

b

br bulunur.: :– – – –a 343 175 7 7 5 7 7 7 5 7 7 5 7 2 72 2= = = = =] g

343 749 7

7 71

343 = 72 : 7

175 535 5

7 71

175 = 52 : 7

45 315 35 51

45 = 32 : 5

2 br2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

br olur.: :8 5 3 5b 320 45 8 5 3 5 8 3 5 11 52 2= + = + = + = + =] g

2

2

2

35

Örnek: Bir kenar uzunlu¤u br olan ( ) 12 karesel bölgeyle oluflturulmufl afla¤›daki

dikdörtgensel bölgenin alan›n› inceleyelim:

2

Dikdörtgensel bölgenin alan› = 12 : 2 = 24 br2dir.

K›sa kenar uzunlu¤u = ,

uzun kenar uzunlu¤u = ' .br dir2 2 2 2 4 2+ + + =

br2 2 2 3 2++ =

Dikdörtgensel bölgenin alan› = (k›sa kenar uzunlu¤u) : (uzun kenar uzunlu¤u)

:

: : :

: : :

: :

: :24 3 4 2 24 24 .bulunur

24 3 2 4 2

24 3 4 2 2

24 3 4 2 2

24 3 4 22

&

=

=

=

== =

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

Örnek: Bir kenar uzunlu¤u br olan karesel bölgelerden 9 tanesini kullanarak bir karesel bölge

olufltural›m. Oluflturdu¤umuz karesel bölgenin alan›n› küçük karesel bölgelerin kenar uzunluklar› yard›-m›yla bulal›m:

3

Küçük karesel bölgelerin her birinin alan› = = 3 br2 dir.:3 3

3 →

3

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3

3

3

3

3 3

Büyük karesel bölgenin alan›, küçük karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n›n toplanmas›yla

= 9 : 3 = 27 br2 bulunur.

: : : : : : : : :3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3

+ + + + + + + +^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h h h1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44

3 3 3 3 3 3 3 3 3

Büyük karesel bölgenin alan› = 9 : 3 = 27 br2 dir.

Bir kenar uzunlu¤u = br

veya biçiminde bulunur.br3 3 3 3 3+ + =

:3 327 3 32= =

Kareköklü say›lar aras›nda çarpma ifllemi yap›l›rken karekök içindeki say›lar tek karekök için-de çarp›l›r, kat say›lar ise kendi aralar›nda çarp›l›p kareköklü say›ya kat say› olarak yaz›l›r.

: : :

: : :

, , IR ve b 0 olmak üzere; .

, , , IR ve b 0, d 0 olmak üzere; .

a b c a b c b a c b b olur

a b c d a b c d a c b d olur

! $

! $ $

=

=

• Bantla yap›flt›rd›¤›n›z parçan›n uzunlu¤unu belirten kareköklü ifadede kareköklü ifadeyi paydadaki

’e bölünüz. Bu ifllemi, kareköklü iki say›y› ayn› karekök içinde yazarak yap›n›z. Buldu¤unuz sonuca

ilk ifadenin çarpan›n› da çarpan olarak ekleyiniz.• Yukar›da yaklafl›k olarak buldu¤unuz sonuçla bu sonucu karfl›laflt›r›n›z.� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak kareköklü say›larda bölme ifllemini nas›l gösterirsiniz? Aç›klay›n›z.

3

•

•

•

• • • •

53

35

1549

53

35

1549

153 3 5 5 1 49

153 5 7

1515

15225 15+ + = + + = + + = + + = = =

:

:

:

::

2 34 6

2 3

4 64 3

16 61296

12

968 2 2 2 2

2

22

1

8

= = = = = = =

2 54 15

24

515 2

515 2 3= = =

: :

veya26

23 2

2

3 23

26

26 3

1

1

= = = = =

36

Örnek: Afla¤›da verilen dikdörtgensel bölgelerin alanlar›n› inceleyelim:


•

veya

•

veya

biçiminde gösterilir.: : : : : : : : : :9 7 4 5 3 7 2 5 3 2 3 2 7 5 663 20 7 5 352 2= = = = =

: : : : : : : : : :63 20 63 20 9 7 4 5 3 7 2 5 3 2 7 5 6 352 2= = = = =

: : : : : : : :25 3 25 2 5 5 5 5 3 2 2575 50 3 2 6= = = =

: : : : : : : : :75 50 25 3 25 2 5 5 6 5 5 2575 50 6 62 2= = = = =

a)

c) ç)

b)

2 3

2 32 2

2 5

4 3

3 24 2

3 5

: : : : : :2 4 2 4 3 3 8 8 3 243 3 32= = = =

: : : : :2 3 3 2 2 3 3 2 6 6= = : : : :4 2 4 2 2 2 8 8 2 162 2 22= = = =

: : : : : :3 2 3 2 5 5 6 6 5 305 5 52= = = =

3 2

24 2

Örnek: K›sa kenar uzunlu¤u br ve alan› br2 olan dikdörtgensel bölgenin uzun kenar

uzunlu¤unu bulal›m:

2243 2

Dikdörtgensel bölgenin alan›n› k›sa kenar uzunlu¤una böldü¤ümüzdeuzun kenar uzunlu¤unu buluruz.

Uzun kenar uzunlu¤u bulunur.: : :24

br3 224 2

3 22 8

22 8 1 8

8

= = = = =

Örnek: Afla¤›daki ifllemleri inceleyelim:Kareköklü say›lar ara-

s›nda bölme ifllemi yap›l›r-ken karekök içindeki say›lartek karekök içinde birbirinebölünür, kat say›lar kendiaralar›nda birbirine bölünüpkareköklü say›ya kat say›olarak yaz›l›r.

≥ ,ba

ba a b0 0>=

3^ h 5^ h 1] g

37

K›rm›z› bölge: (0,3) : (0,3) = (0,3)2 = (0,09) =

Alan›n karekökünü al›p bir kenar uzunlu¤unu buluruz.

, ,0 09100

9100

9

10

3103 0 3

2

2= = = = =

1009


•

•

•

•:

: :

: :

: : : : :

:

: :

: :

: : :– – –3 3

–12 5 3 70

20 45 5 804 3 5 3 70

4 5 9 5 5 16 52 3 5 3 70

2 5 3 5 5 4 52 5 70

2 3 5 5 4 5 5+

=+

=+

=+

8

8

3 5 5 53 7 5 7

3 5 5

3 5 7

5

7

57

57

+

+=

+

+= = =

]

]

g

g

:

: :– – – – ––

205 45 125

5

5 3 5 5 52 5

5 3 5 5 52 5

1 3 5 5

2 5

521

2

2 2

2

+ = + = + =+

= =] g

: :

2

2

8 28 32

8 22 2 4 2

8 22 2 4 2

8 22 4 2

8

643

3 12 2

41

+ = + = + = + = =] g

:

:

:

: :– – –

10 3 70

6 5 4 510 3 706 5 4 5

30 7030 20

10010

101

2

2 2=

+=

+=

+= =

Lacivert bölge: (0,4) : (0,4) = (0,4)2 = 0,16 =

Alan›n karekökünü alarak bir kenar uzunlu¤unu buluruz.

, ,0 16 4104 0 4

10016

10016

10

2

2= == = =

10016

Örnek: Yanda yüzlük kartta verilen boyal› karesel bölgelerin alan-lar›n› ondal›k kesir olarak bulal›m:

Ondal›k kesirlerin ka-rekökleri bulunurken kare-köklü say›larda bölme iflle-minden yararlan›l›r.

Siyah bölge: (0,6) : (0,6) = (0,6)2 = 0,36 =

Alan›n karekökünü alarak bir kenar uzunlu¤unu buluruz.

, ,0 3610036

10036

10

6106 0 6

2

2= = = = =

10036

Ondal›k Kesirlerin Karekökleri

Araç ve gereç: Yüzlük kart, boya kalemleri

• Ayr› ayr› 3 tane yüzlük kart üzerinde flekildeki gibi kareselbölgeler oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz karesel bölgelerin kenar uzunluklar›n› onda-l›k kesir olarak ifade ediniz.

• Oluflturdu¤unuz karesel bölgelerin alanlar›n› ondal›k kesir olarak bulunuz.• Karesel bölgelerin ondal›k kesir olarak yazd›¤›n›z alanlar›n› karekök içine al›n›z.• Karekök içine ald›¤›n›z ondal›k kesirleri rasyonel say› biçiminde yaz›n›z.• Elde etti¤iniz rasyonel say›lar›n pay ve paydalar›n›n ayr› ayr› kareköklerini al›n›z.• Pay ve paydalar›n kareköklerinden oluflan yeni rasyonel say›lar› belirleyiniz.• Elde etti¤iniz rasyonel say›lar› ondal›k kesirlere çeviriniz.• Buldu¤unuz say›larla karesel bölgelerin daha önce ondal›k kesir olarak ifade etti¤iniz kenar uzun-

luklar›n› karfl›laflt›r›n›z.

� Ondal›k kesirlerin kareköklerini al›rken kareköklü say›larla yap›lan ifllemlerden nas›l yararlan›rs›-n›z? Aç›klay›n›z.

38


Örnek: iflleminin sonucunu bulal›m:

– – – – – 0102

1025

1014

1013

102 25 14 13

1027 27

100= + = + = = =

, – , – , – – – –,0 04 6 25 1 96 1 69100

4100625

100196

100169

102

1025

1014

1013

2

2

2

2

2

2

2

2+ = + = +

, , – , – ,0 04 6 25 1 96 1 69+

Örnek: x = , y = ise kareköklü say›s›n› x ve y cinsinden yazal›m:

x y= =

. . . .

. .2 2 5 5100 2 5

2 5

2 2

2 2 2 2

= =

^ ^h h

10052

•

•

•

• , , ,0 16 2 2510016

100225

104

1015

104

1015

104 15

1019 1 9

2

2

2

2+ = + = + = + = + = =

, ,8 0 8 0 2 8 1 8 1 9 3= + + = + = + = =

, , , , ,8 0 8 0 04 8 0 8100

4 8 0 8102 8 0 8

102

2

2+ + = + + + + = + +=

: :, , ,0 27 0 48

10027

10048

103 3

104 3

103 3

104 3

103 3 4 3

107 3 0 7 3

2

2

2

2+ = + = + = + = + = = ^ h

– – – ,10036

1004

106

102

106

102

104 0 4

2

2

2

2= = = = =

: ::

:, , – , – –0 4 0 9 0 04

104

109

1004

10 104 9

1004= =

3. Karesel bölgelerle oluflturulan yandaki fleklin çevre uzunlu¤unu bulunuz.

49 br2

81 br2 100 br2

121 br2

1. Afla¤›da verilen kareköklü say›larda kat say›lar› karekök içine al›n›z.

a) b) c) ç) 10 22 105 63 7

2. Afla¤›da verilen toplama ve ç›karma ifllemlerinin sonucunu bulunuz.

a) b)

c) ç) 7 28 63 175+ + +–54 6 96+

– –10 3 2 5 7 3 3 5+–32 8 4 18+

5. Afla¤›daki çarpma ve bölme ifllemlerinin sonucunu bulunuz.

a) b) c)

ç) d) e) : :

197 7 12 3+

981

1040

:

–3 5

6 3 2 32 3 6+–

12 4 375 147 300

+

+: : :5 5 5 5

4. Afla¤›daki ifllemleri yap›n›z.

a) b)

c) ç) ,

,

, – ,

, ,

1 21

0 16

1 44 0 01

0 25 1 69

+

+ +–

52

25

109

+

5 11 25+ +, – , – ,0 0625 0 64 0 0009

6. kareköklü say›s›n› a ve b cinsinden yaz›n›z., ,a b ise2 3 0 0006= =

7. kareköklü say›lar›, küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z., ,,6 5 35 6 7 8 12

AALLIIfifiTTIIRRMMAALLAARRÖÇK s. 23, 24,25, 26, 27, 28

x123

y123

39

1. Afla¤›da verilen ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.

(...) Negatif bir say›n›n üssü çift ise sonuç pozitiftir.

(...) S›f›rdan farkl› olan bir rasyonel say›n›n s›f›r›nc› kuvveti birdir.

(...) Rasyonel say›lar kümesi say› do¤rusunu tam olarak doldurur.

(...) Üslü rasyonel say›n›n pay ve paydas›n› yer de¤ifltirdi¤imizde üssün iflareti de de¤iflir.

2. Afla¤›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

3. Afla¤›da verilen ifllemleri üslü biçimde gösteriniz.

4. iflleminin sonucunu tek bir say›n›n üssü olarak yaz›n›z.

5. Afla¤›daki ifadelerde verilen çok büyük ve çok küçük say›lar› bilimsel gösterimle yaz›n›z.

a) Satürn gezegeninin Günefl’e olan

ortalama uzakl›¤› 1 430 000 000 km’dir.

b) K›talar›n kayma hareketi flu anki

yönde sürerse 150 milyon y›l sonra Ak-

deniz ortadan kalkm›fl olacak (Dünya At-

las›, 2006).

6. Afla¤›da verilen boflluklara “⊂” ve

“⊄” sembollerinden uygun olanlar› yaz›n›z.

a) N ... Z b) Z ... Q c) I ... Q ç) I ... R d) Q ... R

7. ’ün yaklafl›k de¤erini bilen biri afla¤›dakilerin hangisinin yaklafl›k de¤erini bulabilir?

A. B. C. D.

8. Afla¤›da verilen say›lar›n kareköklerini bulunuz.

)e 1600)d 900ç) 576)c 441)b 324)a 289

224384525300

3

:

: :

81 2439 3 27

4

4 2 2

: : : : :ç – – – – – –)43

43

43

43

43

43

c c c c c cm m m m m m: : : : :)c61

61

61

61

61

61

: : : : : :– , – , – , – , – , – , – ,)b 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7^ ^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h h: : :, , , ,)a 0 2 0 2 0 2 0 2^ ^ ^ ^h h h h

.IV71 7–3

3=: : : :. – – – – – 3III 3 3 3 3 3 5=] ] ] ] ]g g g g g. ,II n n n R1 d=.I43

34 –5 5

=c cm m


40

9. Afla¤›da verilen say›lar› biçiminde gösteriniz.

10. Afla¤›daki ifadelerden hangisi bir tam say›d›r?

A. B. C. D.

11. Afla¤›da verilen say›lar›n kareköklerini en yak›n onda birlik basama¤›na kadar tahmin ediniz.

a) 29 b) 33 c) 41 ç) 47 d) 51 e) 59

12. Afla¤›da verilen devirli ondal›k aç›l›mlara karfl›l›k gelen rasyonel say›lar› bulunuz.

a) b) c) ç) d) e)

13. say›s›n›n a, b, c cinsinden yaz›l›fl› afla¤›dakilerden

hangisinde do¤ru olarak verilmifltir?

A. a . b . c B. 2 . a . b . c C. 5 . a . b . c D. 10 . a . b . c


15. kareköklü say›lar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

16. 129 000 000 000 say›s› m : 1011 olarak gösterildi¤ine göre m say›s› afla¤›dakilerden hangisidir?

A. 129 B. 12,9 C. 1,29 D. 0,129

17. iflleminin sonucunu bulunuz.

18. iflleminin sonucu kaçt›r?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

19. Afla¤›dakilerden hangisi en küçüktür?

A. 0 B. C. D. –5 3–3 5– 21

5

225 8 62

2 2++

,

–

,0 64

1167

0 36

1169

+

+ +

, , , ,3 9 4 3 5 2 8 2 4 6

:ç –)

36350 6 192

, – ,

– ,)c

8 1 0 4

30 2 7

) , , ,b 0 04 1 69 0 25+ +: :

–)a

25 169 624 6 72 18

++

a b c ise3 5 2 3000= = =

,13 13,3 347,75 7,7 75,11 12,0 718

257512 12+:3 2 50–125 75

)d 432ç) 300)c 294242)a 450

a b

ÖÇK s. 29, 30

41

Kaynak:Bilim TeknikNisan 2006Haziran 2006

PROJE

Projenin ad› : Matematikle ‹lgili Bilmece, Bulmaca ve Matematikçileri Tan›tanYaz›lar

Projenin amac› : Matemati¤in e¤lenceli yanlar›na dikkat çekmeProjenin süresi : 14 haftaProjenin aflamalar›


1. Matematik kitaplar›n›n araflt›r›l›p incelenmesi

2. Matematikle ilgili bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin araflt›r›lmas›

3. Bilmece ve bulmacalarda yer alacak matematik konular›n›n belirlenmesi (Üslü say›-lar, kareköklü say›lar, cebir, say› örüntüleri vb.)

4. Yaflam› ilginizi çeken matematikçinin belirlenmesi

Uygulama Aşaması

1. ‹lginç bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin kitaplar, ‹nternet siteleri, gazeteve dergilerden bulunmas›

2. ‹lginizi çeken matematikçinin hayat›n›n araflt›r›lmas› veya k›sa bir an›s›n›n bulunmas›

3. Derlenen bilmece, bulmaca, saymaca ve tekerlemelerin üslü say›lar, kareköklü say›-lar, cebir, say› örüntüleri gibi alanlara göre grupland›r›lmas›

4. Bunlarla ilgili yorum ve aç›klamalar›n yap›lmas›

5. ‹çeri¤i destekleyecek görsel, iflitsel vb. materyalin haz›rlanmas›

6. Çal›flmalar›n sunuya dönüfltürülmesi ve çal›flma raporunun düzenlenmesi

Projenin Sunulması

1. Projede haz›rlanan çal›flman›n s›n›f arkadafllar›na sunulmas›

2. Çal›flman›n sonucunun de¤erlendirilmesi

3. Sununun bir örne¤inin ve çal›flma raporunun ders ö¤retmenine teslim edilmesi

43

Özel Say› Örüntüleri

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, makas

Fibonacci (Fibonaçi) flöyle bir soru sormufltur:“Kapal› bir mekânda bir çift yavru tavflan (bir erkek,bir difli) var. Bir ay sonra bu yavrular erginlefliyor. Er-ginleflen her difli tavflan, bir ay sonra bir çift yavrudo¤uruyor. Hiçbir tavflan›n ölmedi¤i ve her difli tav-flan›n bir erkek, bir difli yavru do¤urdu¤unu varsaya-l›m. Bir y›l sonra kaç tane tavflan olur?

� Fibonacci’nin sordu¤u sorunun cevab›n› bul-mak için tavflan çiftleri say›s› aras›nda nas›l bir örün-tü oluflturabilirsiniz?

� Fibonacci’nin sordu¤u soruda bafllang›çta ikiçift tavflan olsayd› örüntü nas›l oluflurdu?

1. BÖLÜM ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER

• Kareli kâ¤›ttan kenar uzunluklar› 1 br, 1 br, 2 br, 3 br, 5 br, 8 br ... olan kareselbölgeler kesiniz.

• Kesti¤iniz karesel bölgeleri farkl› renklereboyay›n›z.

• Boyad›¤›n›z karesel bölgelerin kenar uzun-luklar› aras›ndaki örüntüyü oluflturunuz.

• Karesel bölgeleri flekildeki gibi birlefltiriniz.

� Her bir karesel bölgenin kenar uzunlu¤u ile kendisinden öncekiiki karesel bölgenin kenar uzunluklar› toplam› aras›nda nas›l bir iliflkivard›r? Aç›klay›n›z.

� Bu ifllemlerden yararlanarak karesel bölgelerin kenar uzunluk-lar› aras›ndaki örüntünün elemanlar› aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?Aç›klay›n›z.

• Birlefltirdi¤iniz karesel bölgelerin her birinden geçen çeyrek çem-berler çiziniz.

� Çeyrek çemberlerle oluflturdu¤unuz spiralleri do¤ada bulunancanl›lar›n hangilerinde görebilirsiniz? Araflt›r›n›z.

44

Örnek: Afla¤›da modeller üzerinden oluflturulan say›larla örüntüler oluflturup örüntülerin kurallar›n›inceleyelim:

Tablo: Örüntüdeki Birim Kare Say›s› ve Örüntünün Kural›

Tablo: Örüntüdeki Üçgensel Bölgelerin Kenar Uzunluklar› ve Alanlar›

Örüntüyü inceledi¤imizde s›ra say›-s› ile kullan›lan birim kare say›s›n›n ayn›oldu¤unu görürüz.

Örüntüyü inceledi¤imizde her bir s›rada kullan›lan üçgensel bölgenin alan›n›n, s›ra say›s›ile s›ra say›s›n›n bir fazlas›n›n çarp›m›n›n yar›s›na eflit oldu¤unu görürüz.

S›ra say›s› 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6Birim kare say›s›

S›ra say›s› Birim kare say›s› Örüntünün kural›1 1 12 2 23 3 34 4 45 5 56 6 6•••

•••

•••

...

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15S›ra say›s›Kaplad›¤› alan

S›ra say›s›Dik kenar uzunluklar›

Örüntünün kural›

1 1 2 1 : (1 + 1) / 2

2 2 3 2 : (2 + 1) / 2

3 3 4 3 : (3 + 1) / 2

4 4 5 4 : (4 + 1) / 2

5 5 6 5 : (5 + 1) / 2

•••

•••

•••

•••

K›sa kenar Uzun kenar

45

. . .

S›ra say›s›Birim kare say›s›

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

Tablo: Örüntüde Kullan›lan Birim Kare Say›s› ve Örüntünün Kural›

Örüntüyü inceledi¤imizde kullan›lanbirim kare say›s›n›n s›ra say›s›n›n karesi-ne eflit oldu¤unu görürüz.

S›ra say›s› Birim kare say›s› Örüntünün kural›1 1 1 = 1 : 1 = 12

2 4 4 = 2 : 2 = 22

3 9 9 = 3 : 3 = 32

4 16 16 = 4 : 4 = 42

5 25 25 = 5 : 5 = 52

6 36 36 = 6 : 6 = 62

•••

•••

•••

Örüntüdeki 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . sa-y›lar› karesel say›lard›r.

Örnek

Ayfle Ö¤retmen s›n›fta 1, 3, 6, 10, 15, ... say›lar›n›n üç-gensel say›lar oldu¤unu söyledikten sonra bu say›lar›n nas›lelde edilece¤ini anlatmak için ö¤rencileri afla¤›daki gibi yön-lendirmifltir:

Defterinizde bir nokta belirleyiniz. Her seferinde ayn›sat›rdaki nokta say›s›n› bir art›rarak üçgenler oluflturunuz.‹fllemi 5 s›ra ilerletiniz.

Daha sonra Ayfle Ö¤retmen s›n›fa flu sorular› sormufltur:

a) 6. s›rada kaç nokta kullan›l›r?

b) 100. s›rada kaç nokta kullan›l›r?

1. s›ra 2. s›ra 3. s›ra 4. s›ra 5. s›ra

• •

•

• •

• •

•

• •

•

•

••

•

•

• • • •

•

• •

•

• • ••

•

•• • • • • . . .

46

a) Ö¤renciler, ö¤retmenlerinin yönlendirmesi do¤rultusunda;

b) Ö¤rencilerin 100. s›radaki nokta say›s›n› bulabilmeleri için örüntünün kural›n› belirlemeleri gerekir.Bunun için afla¤›da verilen tabloyu inceleyelim:

•

••

••

•

••

••

•

••

••

••

••

• •

Tablo: Örüntüdeki Birim Kare Say›s› ve Örüntünün Kural›

1, 3, 6, 10, 15, ... say›lar›üçgensel say›lard›r.

Örüntüyü inceledi¤imizdeher s›rada kullan›lan nokta say›-s›n›n, s›ra say›s› ile s›ra say›s›-n›n bir fazlas›n›n çarp›m›n›n ya-r›s›na eflit oldu¤unu görürüz.

Buna göre 100. s›rada

tane nokta kullan›lmal›d›r.

::

2100 101 50 10 50501= =

Yanda say›larla oluflturulan üç-gende her sat›rdaki say›lar bir üst sa-t›rdaki say›lar›n ikiflerli toplam›ndanve en sa¤ ile en sola yaz›lan 1 say›-lar›n›n toplam›ndan oluflmaktad›r. Buflekilde oluflturulan üçgen, Pascal(Paskal) Üçgeni olarak adland›r›l›r.

Pascal Üçgeni üzerindeki çizgile-rin geçti¤i say›lar›n oluflturdu¤uörüntüleri uygun modellerle incele-yelim:

Yeflil çizgi üzerindeki say›lar›n oluflturdu¤u örüntü, ard›fl›k pozitif say›lardan oluflmaktad›r.Örüntüyü 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... biçiminde gösteririz.

Mavi çizgi üzerindeki say›lar›n oluflturdu¤u örüntü üçgensel say›lardan oluflmaktad›r. Örün-tüyü 1, 3, 6, 10, 15, ... biçiminde gösteririz.

1

1 16

5

11

1

1

1

1

1

1

15

11

23

5

8

13

212

1

3

4

5

6 15

10

6

3

1

1

4

10

20

1

S›ra say›s› Kullan›lan nokta say›s› Örüntünün kural›

1 1:

21 1 11+ =] g

2 3:2

22 1 3+ =] g

3 6:3

23 1

6+

=] g

4 10:4

24 1 10+ =] g

5 15:5

25 1

15+

=] g

6 21:6

26 1

21+

=] g

•••

•••

•••

Örnek

Oluflturduklar› üçgende 21 tane noktan›n kullan›ld›¤›n› söyleyebi-lirler.

Fibonacci dizisinde bir say›y›kendinden önceki say›ya böldü¤ü-müzde birbirine çok yak›n say›larelde ederiz. 13. s›rada yer alan sa-y›dan sonra say›lar neredeyse sa-bitlenir. ‹flte bu say› alt›n oran ola-rak adland›r›l›r. Alt›n orana birçokbitkide (ayçiçe¤i, çam kozala¤›,papatya, tütün bitkisi vb.), insan-larda (insan kafas›, insan vücudu),hayvanlarda (salyangoz, deniz ka-bu¤u, ar› vb.), mimari yap›larda(M›s›r Piramitleri, Süleymaniye veSelimiye Camileri vb.) ve sanateserlerinde (Mona Lisa, Aziz Jere-me tablolar› vb.) rastlan›r.

47

Örüntüyü inceledi¤imizde üçgensel say›lar›nard›fl›k ikiflerli toplamlar›n›n, karesel say›lar› 1, 4, 9, 16, 25, ... ve farklar›n›n ard›fl›k say›lar› 1, 2, 3, 4, 5, ... verdi¤i görülmektedir.

Örüntüdeki ard›fl›k terimlerin ikiflerli toplam›n›nbir sonraki terimi verdi¤ini görürüz.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... dizisi Fibonacci dizisi olarakadland›r›l›r. Fibonacci dizisinde her terim kendindenönceki ilk iki terimin toplam›na eflittir.

1,

1 2+

1,

3+

2,

5+

3,

8+

5,

13+

8,

21+

13, ...

...

2

1 3

3

6

4

10

5

15

–1 – – –

...

...

1+ + + +4 9 16 25

K›rm›z› çizgi ile çizdi¤imiz say› örüntüsünü inceledi¤imizde;

Do¤ada birçok canl› ve nesne üzerinde Fibonacci dizisini görmek mümkündür. Bunlardan baz›lar›afla¤›dad›r:

DNA düfley do¤rultuda iç içeaç›lm›fl iki sarmaldan oluflur. Busarmallardan her birinin bütün yu-varla¤› içindeki uzunlu¤u 34 angs-tröm, geniflli¤i ise 21 angströmdur.

1 angström, santimetrenin yüzmilyonda biridir. 21 ve 34 art ardagelen iki Fibonacci say›s›d›r.

48

• Kareli kâ¤›t üzerinde 2 br kareden oluflan bir dikdört-gensel bölge oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz dikdörtgensel bölgeye her seferinde1 br kare ekleyerek flekildeki gibi yeni dikdörtgensel böl-geler oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz dikdörtgensel bölgelerdeki birim ka-re say›lar›ndan meydana gelen bir örüntü oluflturunuz.

� Örüntünün terimleri aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?Aç›klay›n›z.

� Örüntüde ard›fl›k terimler aras›ndaki fark hakk›ndane söyleyebilirsiniz?

• Örüntünün 3, 5 ve 8. s›radaki terimlerini 1. terim, ar-d›fl›k terimler aras›ndaki fark ve s›ra say›s› yard›m›yla gös-teriniz.

• fiimdi de kareli kâ¤›d›n›za 1 br’lik karesel bölge çizi-niz.

• Çizdi¤iniz karesel bölgenin 3 kat›ndan oluflan dikdört-gensel bölge oluflturunuz.

• Her seferinde dikdörtgensel bölgedeki birim kare say›s›n›n 3 kat›ndan oluflan yeni dikdörtgenselbölgeler oluflturunuz.

• Oluflan dikdörtgensel bölgelerdeki birim kare say›lar›ndan meydana gelen bir örüntü oluflturunuz.

� Örüntünün ard›fl›k terimlerinin oranlar› hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

Örnek Yar›çap› r br olan çembere her seferinde ayn› yar›çapl› 2 çember ekleyerek çem-ber say›lar›ndan bir örüntü olufltural›m:

r

Çembersay›s›

1

Terims›ras›

1. terim

1 + 2 = 1 + 1 : 2 = 3

2. terim

678r r r r

1 + 2 + 2 = 1 + 2 : 2 = 5678 678

3. terim

4. terim 5. terim

1 + 2 + 2 + 2678 678 678= 1 + 3 : 2 = 7 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + 4 : 2 = 9

. . .

678 678 678 678

Terim s›ras› 1 2 3 4 5 • • •

Çember say›s› 1 1 + 1 : 2 = 3 1 + 2 : 2 = 5 1 + 3 : 2 = 7 1 + 4 : 2 = 9 • • •

Aritmetik ve Geometrik Diziler

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, boya kalemi

49

Örnek: 3 say›s›na art arda say›s›n›n eklenmesiyle oluflturulan aritmetik diziyi inceleyelim:32

-

1. terim

3

3

• • •

• • •

2. terim

:

–

3 1 –

–

332

32

2 1

+

+

c

c

m

m

3. terim

:

– –

3 2

–

332

32

32

3 1

+ +

+ -

c c

c

m m

m

Örüntüde ard›fl›k terimlerde kullan›lan çemberler aras›ndaki fark 2’dir. Dizideki her bir terim-deki çember say›s›, ilk terime, terim s›ra say›s›n›n bir eksi¤inin ard›fl›k terimler aras›ndaki farklaçarp›lmas›yla bulunan say›n›n eklenmesiyle bulunur.

Bir say›ya art arda ayn› say›n›n eklenmesi veya ç›kar›lmas›yla oluflturulan say› örüntüsününoluflturdu¤u dizi bir aritmetik dizidir. Aritmetik dizide ard›fl›k iki terimin fark› ard›fl›k eklenen / ç›ka-r›lan say›d›r. Bu say›ya “dizinin ortak fark›” denir.

4. terim

:

– – –

–

–

332

32

32

3 332

4 1

+ + +

+

c c c

c

m m m

m

Örnek: –3 say›s›na art arda 2 say›s›n›n eklenmesiyle oluflturulan aritmetik dizinin 21 ve 49. terim-lerini bulal›m:

–3 –3 +1 : 2 –3 + 2 : 2 –3 + 3 : 2 –3 + 4 : 2 . . .

1. terim 2. terim 3. terim 4. terim 5. terim . . .

Örnek: Uzunlu¤u 2 br olan fleridin her seferinde 3 kat›n› alarak iki yeni flerit olufltural›m.

Bu fleritlerin uzunluklar›ndan oluflan diziyi inceleyelim:

. . .

1. terim

2 br 3 : 2 = 31: 2 = 6 br

2–1

2. terim 3. terim

9 : 2 = 32 : 2 = 18 br

3–1

Dizide ard›fl›k iki terimin oran› 3’tür. Dizideki her bir fleridin uzunlu¤unun; ilk terimin, ard›fl›k ikiterimin oran›n›n, terim s›ra say›s›n›n bir eksi¤i kadar kuvveti ile çarp›lmas› sonucunda elde edildi¤inigörebiliriz.

2 br

21. terim = –3 + (21 – 1) : 2 = –3 + 20 : 2 = –3 + 40 = 37

49. terim = –3 + (49 – 1) : 2 = –3 + 48 : 2 = –3 + 96 = 93 elde edilir.

50

Örnek: 3 say›s›n› art arda say›s› ile çarparak elde edilen geometrik diziyi inceleyelim:21

Bir say›y›, ard›fl›k olarak ayn› say› ile çarparak veya bölerek elde edilen say› örüntüsününoluflturdu¤u dizi “geometrik dizi”dir. Geometrik dizide ard›fl›k terimin oran› ard›fl›k çarp›lan/bölü-nen say›d›r. Bu say›ya “dizinin ortak çarpan›” denir.

1. terim

3

3

• • •

• • •

2. terim

:321

21

T

.321

2 1

1

-

c m

3. terim

: :321

21

21

[

.321

3 1

2

-

c m

4. terim

: : :321

21

21

21

1 2 344 44

.321

4 1

3

-

c m

5. terim

: : : :321

21

21

21

21

1 2 3444 444

.321

5 1

4

-

c m

Örnek: 64 say›s›n› ile ard›fl›k çarparak elde edilen geometrik dizinin 11 ve 17. terimleri bulal›m:21

11. terim:

17. terim: bulunur.: :64 2 2 2 221 –

– – –17 1

6 16 6 16 10= = =c m

: : :64 2 2 2 2 221

21–

– – –11 1

610

6 10 6 10 4= = = =c cm m

1. terim 2. terim 3. terim 4. terim

5. terim • • •

64 :

:

64

64

21

21 1

c

c

m

m

: :

:

64

64

21

21

21 2

c c

c

m m

m

: : :

:

64

64

21

21

21

21 3

c c c

c

m m m

m

: : : :

:

64

64

21

21

21

21

21 4

c c c c

c

m m m m

m

• • •

• • •

1 tane 2 tane 3 tane 4 tane

51

1.

6. Afla¤›da verilen ifadelerde do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.

(. . .) Aritmetik dizide ard›fl›k terimler aras›ndaki fark, ard›fl›k bölünen say›d›r.

(. . .) Geometrik dizide ortak çarpan, ard›fl›k terimlerinin çarp›m›na/bölümüne eflittir.

(. . .) Aritmetik dizi ayn› zamanda geometrik dizidir.

(. . .) Aritmetik dizide ard›fl›k terimlerin birbirlerine oran› eflittir.

5. Yandaki örüntüyü inceleyiniz.Örüntüdeki nokta say›lar› aras›n-daki iliflkiyi belirleyiniz.

. . .

1

1

2

1

3

4

6

5

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

4

5

6

6

10

15

10

20 15

2. Fibonacci dizisinin 7 ve 11. terimlerinin toplam› afla¤›dakilerden hangisidir?

A. 55 B. 89 C. 102 D. 121

3. 8 say›s›na 5 say›s›n›n ard›fl›k olarak eklenmesiyle oluflturulan aritmetik dizinin 7. terimini bulunuz.

4. 81 say›s›n› ard›fl›k olarak ile çarparak oluflturulan geometrik dizinin 12. terimini bulunuz.31

-c m

Pascal Üçgeni’nde 4 tane farkl›örüntü oluflturunuz.


7. 3, 7, 11, 15, 19, ... aritmetik dizisinde 17 ve 21. terimlerin de¤erini bulunuz.

8. 3, 6, 12, 24, ... geometrik dizisinde ifadesinin de¤erini bulunuz... –

.

.terimterim

terimterim

4041

7879

ÖÇK s. 32, 33,34

52

• Tabloda verilen eflitliklerde x yerine de¤erler ve-rerek x’in alabilece¤i de¤erleri belirleyiniz.

• Buldu¤unuz de¤erleri tablonun ikinci sütununayaz›n›z.

� Hangi eflitlikler x’in sadece bir de¤eri için sa¤-lanmaktad›r?

� x’in tüm gerçek say›lar için sa¤land›¤› eflitliklerhangileridir? Bu eflitliklerin di¤er eflitliklere göre fark›ne olabilir?

• Cebir karolar› ile afla¤›da belirtilen modelleri oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz modellerin alanlar›n› belirleyiniz.

• Oluflturdu¤unuz modellerin alanlar›n›, kenar uzunluklar›n›n çarp›m› cinsinden bulunuz.

• Belirledi¤iniz alanlar› birbirine eflitleyiniz.

• Belirledi¤iniz eflitliklerde x’e farkl› de¤erler veriniz.

� x’e verdi¤iniz de¤erlere göre eflitli¤in hangi say›lar için sa¤land›¤›n› söyleyebilirsiniz?

� Yukar›daki modellerden yararlanarak 3 . (x + 2) = 3x + 6 ifadesini nas›l modelleyebilirsiniz? Aç›k-lay›n›z.

2. BÖLÜM CEBİRSEL İFADELER

Bildi¤imiz gibi su ›s›t›-l›rsa yavafl yavafl buhar-lafl›r. Sonra buharlaflmah›zlan›r ve su kaynama-ya bafllar. Buharlaflmasuyun yüzeyinde olurkenkaynama suyun her ta-raf›nda olur.

� Buharlaflman›nsuyun yüzeyinde olmas›-n›, bir eflitli¤in bilinmeye-nin sadece bir de¤eri içinsa¤land›¤› gibi düflünelim. Buna göre suyun her yerde kaynamas›n› bir eflitli¤in bilinmeyenin kaçde¤eri için sa¤land›¤›n› söyleyebilir misiniz?

Denklem ile Özdefllik Aras›ndaki ‹liflki ve Özdefllikleri Modellerle Aç›klama

Araç ve gereç: Cebir karolar›

EflitlikEflitli¤i sa¤layan x

de¤eri

x + 7 = 9

2(x – 2) = 2x – 4

5x + 4 = 4x

8x + 3 = (3x + 3) + 5x

5 – x = 4x

x . (1 + x) = x + x2

2

x

x x

x

1 1 11

11

1

12

3

53

Örnek: Afla¤›da verilen eflitlikleri çözerek x’in alaca¤› de¤erleri inceleyelim:

Örnekleri inceledi¤imizde eflitliklerde x de¤iflkenliklerinin tek de¤er ald›¤›n› görürüz.

–

x

x

x

x

4 5 9

4 9 5

4

4

4

4

1

+ =

=

=

=

–x

x

x

5 4

4 5

9

=

= +

=

–x

x

x

x

2 1 4

2 4 1

2

225

25

=

= +

=

=

‹çindeki bilinmeyenin baz› de¤er ya da de¤erleri için sa¤lanan ifadelere “denklem” denir.

x = 2 için, 4 : 2 – 3 : 2 = 28 – 6 = 2

2 = 2 do¤ru,

x = 0 için, 4 : 0 – 3 : 0 = 00 – 0 = 0

0 = 0 do¤ru,

x = –1 için, 4 : (–1) – 3 : (–1) = – 1– 4 + 3 = –1

– 1 = –1 do¤ru,

: :ç , –

–

–

¤ .

x i in

do rudur

21 4

21 3

21

21

24

23

21

24 3

21

21

21

= =

=

=

=

Toplama veya ç›karma ifllemi yap›l›rken benzerterimli ifadelerin kat say›lar› toplan›r ya da ç›kar›l›r.

O hâlde,4x – 3x = x(4 – 3)x = x

1 : x = xx = x bulunur.

x = 1 için, 4 : 1 – 3 : 1 = 14 – 3 = 1

1 = 1 do¤ru,

Örne¤i inceledi¤imizde I. yolda x’in alaca¤›her de¤er için verilen eflitli¤in sa¤land›¤› görül-mektedir.

II. yolda da eflitli¤in her iki yan› ayn› oldu-¤undan eflitlik, bütün gerçek say›lar için sa¤la-n›r.

a) 4x + 5 = 9 b) x – 5 = 4 c) 2x – 1 = 4

Örnek: Afla¤›da verilen eflitliklerde x’in alaca¤› de¤erleri inceleyelim:

a) 4x – 3x = x b) x : (x + 1) = x2 + x

I. Yol II. Yol

a) b) c)

–x x x4 3 =a)

54

Örnek

10 – 4

10 + 4

(10 + 4) : (10 – 4)102 – 42 =

102 – 42 =

144444424444443

14

44

24

44

3

10 – 4

10 + 4

(10 + 4) : (10 – 4)

144444424444443

14

44

24

44

3

fiekillerde verilen boyal› bölgelerin alanla-r›n› farkl› flekillerde bulal›m:

Çarpman›n toplama ifllemi üzerine da¤›lma özel-li¤ini uygulayal›m:

x . (x+1) = x2 + xx2 + x = x2 + x

Görüldü¤ü gibi eflitli¤in her iki yan› ayn› ifa-delerden oluflmufltur. Dolay›s›yla eflitlik bütüngerçek say›lar için sa¤lan›r.

‹çindeki de¤iflkenin her de¤eri için sa¤lananeflitliklere özdefllik denir.

II. YolI. Yol

x = 1 için1 : (1 + 1) = 12 + 1

1 : 2 = 1 + 12 = 2 do¤ru,

x = 2 için2 : (2 + 1) = 22 + 2

2 : 3 = 4 + 26 = 6 do¤ru,

x = 0 için0 : (0 + 1) = 02 + 0

0 : 1 = 0 + 00 = 0 do¤ru,

x = – 1 için– 1 : (–1 + 1) = (–1)2 + (–1)

– 1 : 0 = 1 + (–1)0 = 0 do¤rudur.

b) x : (x + 1) = x2 + x

55

y

y

y

yx

14444424444443

14

44

44

42

44

44

43

x

A = x2 – y2 x2 – y2 = (x – y) . (x + y) özdeflli¤i iki kare fark› olarak adland›r›l›r.

y

y

yx

14444442444443

14

44

44

42

44

44

43

y

x – y

14

44

44

42

44

44

43

x y

x – y

A = (x + y) . (x – y)

x

Örnek: (x – 1) : (x + 1) = x2 – 1 oldu¤unu modelle gösterelim:

Örnek: 10012 – 9992 iflleminin sonucunu bulal›m:x2 – y2 = (x + y) . (x – y) oldu¤undan;10012 – 9992 = (1001 + 999) . (1001 – 999)

= 2000 . 2= 4000 bulunur.

D

A

C

B14444244443x br

E (x –1)

x br

14

44

42

44

44

3

GF

x –1

1 br1 br

x – 1

x 1

K E

K CB A

F

D

A

C

B

1

1

xx2 – 1

x

D

A

C

B

F

1

x

x

E

x–1

x2 – 1 = (x – 1) : (x + 1) elde edilir.

1 x

x 114444244443

(x – 1) : (x + 1)

G

Taral› alan:

x–1F

E

G

F

A

C

E

Örnek: Afla¤›da verilen karesel bölgenin alan›n› farkl› parçalara ay›rarak oluflan flekilleri inceleyelim:

67

8678

678 678

4

67

8

4

67

8

4

4

678

41

678

1

67

8

4

678

1

678

678

1

1

1

(4 + 1)2 42 + 2 : (4 : 1) + 12=

56

Örnek

Örnek: Bir kenar uzunlu¤u 8 br olan karesel bölgenin içinde sar› renkle boyal› olarak verilen kare-sel bölgenin alan›n› bulal›m:

Örnek: x = 0,4 ve y = 1,6 oldu¤una göre x2 + 2xy + y2 ifadesinin de¤erini bulal›m.x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (0,4 + 1,6)2 = 22 = 4 bulunur.

C

x

LA

D

FM

B

x K

E

2

2Yandaki modeli inceleyip ABCD karesel bölgesinin alan›n›

bulal›m:

(8 – 2)2 = 82 – 2 : (2 : 6) – 22

(8 – 2)2 = 64 – 24 – 4(8 – 2)2 = 36

A (ABCD) = A (ALMF) + A (LBEM) + A (MECK) + A (FMKD)

(x + 2) : (x + 2) = x : x + x : 2 + 2 : 2 + x : 2

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4 elde edilir.

8 – 2

8 – 2

2 . 6

2 : 6

2 : 2 2

2

67

8

678 67

8678

(a + b)2 = a2 + 2 (a : b) + b2 özdeflli¤i, iki terim top-lam›n›n karesi olarak adland›r›l›r.

a

a

a : bb

a

b

aa : b

b

b

b2

a2

ÖrnekD K b

b

E

K b

b

EL

F

a

a

M

C

A B

64

74

8

a

64

74

8

64748

a

64748

D a – b

b2b . (a – b)

(a – b) . (a – b)a – b

b .

(a –

b)

F

M

C

A B

fiekil I fiekil II

Yandaki I. flekilde bir ke-nar uzunlu¤u a birim olankaresel bölge biçimindeki birkâ¤›t; önce [EF], sonra [KM]boyunca katlanarak II. flekilelde edilmifltir.

ABCD karesel bölgesininalan›n› farkl› flekillerde yaza-rak oluflan özdeflli¤i incele-yelim:

L

57

Örnek:

Örnek:

A (AFLM) = A (ABCD) – [A(MBEL) + A (LECK) + A (FLKD)]

(a – b) (a – b) = a2 – [b : (a – b) + b2 + b : (a – b)]

(a – b)2 = a2 – [ab – b2 + b2 + ab – b2]

(a – b)2 = a2 – [2ab – b2]

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 bulunur.

x – y = 6 ve x : y = 72 ise x2 + y2 ifadesinin de¤erini bulal›m.

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 özdeflli¤inden verilen de¤erleri yerlerine yazal›m.

62 = x2 + y2 – 2 : 72 → 36 = x2 + y2 – 144 → x2 + y2 = 36 + 144 → x2 + y2 = 180 bulunur.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 özdeflli¤i, iki terimin fark›n›n karesi olarak adland›r›l›r.

• Cebir karolar›ndan alan› x2 br2 olanlardan 1 tane, x br2

olanlardan 3 tane ve 1 br2 olanlardan 2 tanesini kullanarakbir dikdörtgensel bölge oluflturunuz.

• Bu dikdörtgensel bölgenin alan›n› kenar uzunluklar›n›nçarp›m› fleklinde yaz›n›z.

• Bu dikdörtgensel bölgenin alan›n› cebir karolar›n›nalanlar› toplam›ndan yararlanarak yaz›p bir önceki ad›mdabuldu¤unuz alanla karfl›laflt›r›n›z.

• x2 + 3x + 2 ifadesinin 1 ve 3. terimlerini (x2 = x : x ve 2 = 2 : 1)fleklinde yaz›n›z.

• ‹fadeyi biçiminde gösterip 1 ve 3. terimlerinin

çarpanlar›n› çapraz olarak çarp›p toplay›n›z.

� Elde etti¤iniz sonuç ile ifadedeki 2. terim (3x) aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Elde etti¤iniz sonuç ile x2 + 3x + 2 ifadesini karfl›laflt›r›n›z.

� ‹ki ifade aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Ayn› ifllemi 2x2 + 8x + 6 ifadesi için de yap›n›z.

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R) ifadesini çarpanlar›na ay›rmak için

nas›l bir yol izlersiniz? Aç›klay›n›z.

x

xx

x3 2

21

2

. .

+ +

x

xx

x3 2

21

2

. .

+ +

3x + 2y = 11 ve x : y = 3 ise 9x2 + 4y2 ifadesinin de¤erini bulal›m.

(3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 özdeflli¤inde verilenleri yerlerine yazal›m.

112 = 9x2 + 4y2 +12 : 3 → 121 = 9x2 + 4y2 + 36 → 9x2 + 4y2 = 121 – 36

= 9x2 + 4y2 = 85 bulunur.

•

Cebirsel ‹fadeleri Çarpanlar›na Ay›rma

Araç ve gereç: Cebir karolar›

biçiminde yazd›¤›n›z ifadedeki çarpanlar› karfl›l›kl› toplay›p çarpma iflleminintoplama ifllemi üzerine da¤›lma özelli¤inden yararlanarak çarp›n›z.

x2 br2

xbr2 1br2

58

Örnek: Afla¤›da verilen cebirsel ifadeleri çarpanlar›na ay›ral›m:

Cebir karolar›ndan alan› x2 br2 olanlardan 3, x br2 olanlardan 4, 1 br2 olanlar-dan 1 tane dikdörtgensel bölge olufltural›m.

Cebir karolar›n›n alanlar› toplam› ile oluflturulan dikdörtgenin alan› birbirlerine eflitolaca¤›ndan 3x2 + 4x + 1 = (x + 1) : (3x + 1) elde edilir.

Elde edilen dikdörtgensel bölgenin alan›,(x + 1) : (3x + 1)’dir.

Cebir karolar›n›n alanlar› toplam›, 3x2 + 4x + 1’dir.

144444444442444444444443

xx

xx xx xx 11

xxxx xxxx22

11

11

1111

ifadesinde önce 1 ve 3. terimleri örnekteki gibi çarpanlar›na ay›ral›m.

1 ve 3. terimlerin çarpanlar›n› oklarla gösterildi¤i gibi çapraz olarak çarp›p toplayal›m.

3x : 1 + x : 1 = 3x + x = 4x bulunur. Toplam ortadaki terim (4x)i verir.

Çarpanlar› karfl›l›kl› olarak toplay›p çarpma iflleminin toplama ifllemi üzerine da¤›lma özel-li¤inden yararlanarak çarpal›m.

(3x + 1) : (x + 1) = 3x2 + 3x + x + 1 = 3x2 + 4x + 1 bulunur.

3x2 + 4x + 1 ifadesinin çarpanlar›na ayr›lm›fl hâli (3x + 1) : (x + 1) biçimindedir.

2x2 + 3x + 1 (2x + 1) (x + 1)

1444444444424444444444431444444442444444443

ax2 + bx + c cebirsel (üç terimli) ifadesi çarpanlar›na ayr›l›rken afla¤›daki yol izlenir:

Birinci terim (a : x2) ve üçüncü terim (c) çarpanlar›na ayr›l›r.

ax

a xa x

bx c

cc

2

1

2

1

2

. .

+ + çarpanlar biçiminde çapraz çarp›l›p toplan›r. Toplam ikinci

terimi (bx) veriyorsa cebirsel ifadenin çarpanlar›na ayr›lm›fl hâli çarpanlar›nkarfl›l›kl› toplamlar›n›n çarp›m›na eflittir.

: :a x c a x c1 2 2 1+

x x3 4 12 + +. .V T

b) Cebir karolar›ndan alan› x2 br2 olanlardan 2, x br2 olanlardan 3, 1 br2 olanlardan 1 tane kullanarakdikdörtgensel bölge olufltural›m.

xx

xxxx22 xx

11

1111

xx xx 11

xx

11

a) 3x2 + 4x + 1 b) 2x2 + 3x + 1

3x 1

x 1

I. Yol

II. Yol

a)

59

Elde edilen karesel bölgenin alan›,

(x + 1) : (x + 1)’dir.Cebir karolar›n›n alanlar› toplam›,

x2 + 2x + 1’dir.

xx 11

xx

11xx

xx xx22 xx

11

11

11

1444444442444444443

a)

Elde edilen dikdörtgensel bölgenin alan›,

(x + 2) : (2x + 2)’dir.

Elde edilen dikdörtgensel bölgenin alan›,

(x + 3) : (3x + 1)’dir.

3x2 + 10x + 3 = (x + 3) : (3x + 1)’dir.

2x2 + 6x + 4 = (x + 2) : (2x + 2)’dir.

Cebir karolar›n›nalanlar› toplam›,

2x2 + 6x + 4’tür.

Cebir karolar›n›nalanlar› toplam›,

3x2 + 10x + 3’tür.

xx

xx

xx

xx22

xx

xx xx22

xx

1111

xx

xx xxxx

111111

11

xx

xx

11

xx

11

11 11

11

11

1111

b)

c)

2x2+ 6x +42x 2x 2(2x : 2) +2 : x = 6x

3x2+ 10x +33x 3x 1 3x+3x = 6x

6x ≠ 10xyanl›fl

3x2+ 10x +33x 1x 3 (3x : 3)+x = 10x

x2+ 2x + 1x 1x 1 x+x = 2x x2 + 2x + 1 = (x + 1) : (x + 1) = (x + 1)2

Örnek: Afla¤›da verilen cebirsel ifadeleri çarpanlar›na ay›ral›m:

a) x2 + 2x + 1 b) 2x2 + 6x + 4 c) 3x2 + 10x + 3

Rasyonel Cebirsel ‹fadelerle ‹fllem Yapma

Araç ve gereç: Cebir karolar›, kâ¤›t, kalem

60

• ifllemini, rasyonel say›larda bölme ifllemi kural›n›

uygulayarak çarpma ifllemine çeviriniz.• Pay ve paydada ayn› cebirsel ifadeler varsa sadelefltiriniz.� Rasyonel cebirsel ifadelerle ifllemler ve rasyonel say›larla ifllem-

ler aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• ifadesinde pay ve payday› cebir karolar› ile modelle-

yerek çarpanlar›na ay›r›n›z.• Pay ve paydadaki ortak cebirsel ifadeleri sadelefltiriniz.� Pay ve paydada kalan cebirsel ifadeler hakk›nda ne düflünüyorsunuz? Aç›klay›n›z.� Pay ve paydas›nda ortak cebirsel ifade olmayan rasyonel cebirsel ifadelerde sadelefltirme yapa-

bilir misiniz? Neden?

• rasyonel cebirsel ifadelerin paydalar›n› eflitleyerek toplay›p tek bir rasyonel cebirsel ifade

biçiminde yaz›n›z.• Pay ve paydadaki cebirsel ifadeleri kendi aralar›nda çarpanlar›na ay›r›n›z.• Çarpanlar›na ay›rd›¤›n›z cebirsel ifadeler içinde, ortak cebirsel ifadeler varsa sadelefltiriniz.� Pay ve paydada ortak cebirsel ifade olmayan, rasyonel cebirsel ifadeler sadelefltirilebilir mi? Ne-

den? Aç›klay›n›z.� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak rasyonel cebirsel ifadeleri sadelefltirmek için nas›l bir yol iz-

lersiniz? Aç›klay›n›z.

x xx1 22

+

x xx x

52 1

42

2

+ ++ +

:x x

x6

56

4 7+ +

+

a) rasyonel cebirsel ifadesinin pay ve paydas›n› çarpanlar›na ay›ral›m:

x2 – 9 = x2 – 32 = (x – 3) . (x + 3)

xxx

x

x x x

8 153

3 5 85

2 + +++

+ =

–x x

x8 15

92

2

+ +

– – .x x

xxx bulunur

8 159

53

2

2&

+ +=

+

:– –

x xx

x x

x x

8 159

3 5

3 32

2

+ +=

+ +

+

] ]

] ]

g g

g g

c) x +1x +3↑ ↑x2 + 4x + 3x2 + 3x + 2↓ ↓x +2x +1

bulunur.:

:

x x

x xxx

2 1

3 123=

+ +

+ +=

++

] ]

] ]

g g

g g

Örnek: Afla¤›da verilen rasyonel cebirsel ifadelerin pay ve paydas›n› çarpanlar›na ay›rarak sadelefl-tirelim:

)x xx xc

3 24 3

2

2

+ ++ +) –b

xx

242

+) –a

x xx

8 159

2

2

+ +

b) :– –

–xx

x

x xx

24

2

2 22

2

+=

+

+=

] ]g g

Pay ve paydada ortak cebirsel ifade bulunmad›¤›ndan rasyonel cebirsel ifade sadelefltirilemez.

61

:

:

: : :

: : : :

)ax y

x y

x y y

x x yyx

10

40

10

4 10 42

2

= =

)cx xx x

4 9 23 27

2

2

+ ++ +) –b

x xx

7 1025

2

2

+ +:

:

)10

ax y

x y402

2

.

x 2

.

:

:

x x

x

x xx x

x x

xx

4 9 2

4 1

3 7 24 1 2

3 1 2

4 13 1

2

2

+ ++ + =

+ +

+ +=

++

x3 1- -

)c x 2

] _

] _

g i

g i

1. Afla¤›da verilen denklemleri çözerek x bilinmeyeninin alaca¤› de¤erleri bulunuz.

a) 3x + 5 = 7 b) 2x + 11 = 19 c) 3x – 5 = x – 3 ç) 4x – 1 = 7

2. Afla¤›da verilen eflitliklerden hangileri özdeflliktir?

a) x2 – 3x = x : (x – 3) b) 3x + 1 = x + 2

c) 2x + 1 = x – 1 ç) x – 3x + 7x = 5x

3. Afla¤›da verilen cebirsel ifadeleri cebir karolar› ile modelleyerek çarpanlar›na ay›r›n›z.

a) 3x2 + 4x + 1 b) x2 + 5x + 6 c) 2x2 + 3x + 1 ç) x2 + 4x + 4

4. Afla¤›da verilen rasyonel cebirsel ifadeleri sadelefltiriniz.

a) b) c)

5. x + y = 6, x : y = 8 oldu¤una göre x2 + y2 ifadesinin de¤erini bulunuz.

6. x = 1,3 ve y = 2,7 oldu¤una göre x2 + 2xy + y2 ifadesinin de¤erini bulunuz.

7. 2012 – 1992 iflleminin sonucunu bulunuz.

8. x : y ifadesinde her bir çarpan 2 azalt›l›rsa çarp›m›n sonucu afla¤›dakilerden hangisi olur?

A. x : y – 2 (x + y) + 4 B. x : y + 2 (x + y) + 4

C. x : y – 2 (x + y) – 4 D. x : y + 2 (x + y) – 4

9. ifadesinin en sade hâli afla¤›dakilerden hangisidir?

A. B. C. D. –xx

13 2

+xx

13 2

++

––

xx

13 2

–xx

13 2+

––

x xx

3 29 42

2

+

:x

xx

x2

325 2

+ ++

x xx8 15

32 + +

+

3 2–

x xx 1

2

2

+ +

.

.) – – –b

x xx

x x

x xxx

7 1025

5 2

5 525

2

2

+ +=

+ +

+=

+] ]

] ]

g g

g g

Örnek: Afla¤›da verilen rasyonel cebirsel ifadeleri çarpanlar›na ay›r›p sadelefltirelim:


↓ ↓x +5x +2

++

++

ÖÇK s. 35, 36,37, 38, 39

62

3. BÖLÜM DENKLEMLER

• Barda¤›n yaklafl›k 1/3’ünü su ile doldurunuz.

• Bardak içindeki suyu dereceli kaba boflalt›p barda¤abarda¤›n yar›s› kadar su doldurunuz.

• Bardak içindeki suyu dereceli kab›n içerisindeki suyunüzerine boflalt›n›z.

� Dereceli kab›n içerisindeki su miktar› barda¤›n kaçta ka-ç›d›r?

• Ölçekli kap içerisinde kaç ml su oldu¤unu belirleyiniz.

• Barda¤›n tamam›n›n kaç l su alaca¤›-n› bulabilmek için belirledi¤iniz de¤erlerlebir denklem kurunuz.

• Buldu¤unuz denklemi payda eflitlemeyönteminden yararlanarak çözünüz.

• Barda¤›n tamam›n› doldurup bu suyudereceli kab›n içerisine boflaltarak buldu-¤unuz de¤eri kontrol ediniz.

Kumbara para biriktirmek için kullan›lan, metal, seramik, porselen, plastik vb. maddelerdenyap›lan, üzerinde para at›lacak bir aç›kl›¤› ve alt›nda içini boflaltmak için kullan›lan ço¤u zamankilitli kapa¤› bulunan, de¤iflik biçimlerde üretilmifl küçük kutucuktur. Günümüz teknolojisi baz›kumbaralar› içine at›lan para miktar›n› hesaplar hâle getirmifltir. Özellikle küçük yafllarda bire-ye tasarruf ve ekonomi bilincinin afl›lanmas› için bir araç olarak kullan›lmaktad›r. Kumbaralar ta-sarruf sembolü olarak da de¤erlendirilir.

� Ahmet’in kumbaras›ndaki paran›n yar›s› ile ’ünün toplam› 60 TL’dir. Ahmet’in kumba-

ras›ndaki para miktar›n› nas›l bir ifllem yaparak bulabilirsiniz?

� Selim’in kumbaras›nda 50 Kr ve 1 TL’lerden oluflan 100 tane madenî para vard›r. Selim’inkumbaras›nda 75 TL paras› oldu¤una göre kumbaras›ndaki 50 Kr’lar›n kaç tane oldu¤unu bul-mak için nas›l bir yol izleyebiliriz?

31

Rasyonel Denklemlerin Çözümü

Araç ve gereç: Bardak, su, dereceli kap

63

Örnek: Afla¤›daki 1. dikdörtgenin çevre uzunlu¤u 8 br, 2. dikdörtgenin uzun kenar uzunlu¤u 15 br’dir.fiekillerdeki x de¤erlerini bulal›m:

: :Ç x x x x xx br2

53

52

54

58 8

8

8

8

405

5

& &= + = = = = =c m

x x x x x xx br

3 215

62

63 15

65 15

5

5

5

9018

2 3

18

& & & &+ = + = = = =] ]g g

x3

x2

144244315

x53

x5

Örnek: Afla¤›da verilen rasyonel denklemlere uygun problemler kurup çözelim:

c) – –x x x xx

x2

343

21

42 6

43

21

42 9

21 2 9

24 2

2

227

27

2 1

& & & & &+ + = + + = + = + = = = =] ]g g

ç) – – –xx x x x x

xx

73

111 11 33 7 11 7 33

10

10

10

404

4

& & & &+

= = + = + = =

a) b) x x32

23 4-

-=

x x5 8

9- =

a) aras›ndaki fark› 9 olan say›y› bulunuz.

– – –x x x x x x x xx

5 89

408

405 9

408 5 9

403 9

3

3

3

360120

( ) ( )8 5

& & & & &= = = = = =120

' 'i ile i51

81

b) Bir say›n›n ’ünün 2 kat› ile 3 eksi¤inin yar›s›n›n fark› 4’tür. Bu say›y› bulunuz.

– – – – – ( – )– –x x x x x x

x x x x32

23 4

64

63 9 4

64 3 9

4 4 3 9 24 24 9 15( ) ( )2 3

& & & & &= = = + = = =

31

Rasyonel denklemlerde bilinmeyenin de¤eri, payday› s›f›r yaparsa çözüm olarak al›nmaz.Payday› s›f›r yapan de¤erlerde, rasyonel cebirsel ifadeler tan›ms›z olur.

Örnek: Afla¤›da verilen denklemleri çözüp x bilinmeyeninin de¤erini bulal›m:

a) b) c) ç) –xx

73

111

+=x

23

43

21+

+ =––

xx1

1 3=–x x

11

2 0+ =

a): : :– –

––

– ––x x x x

xx x

xx xx x x

xx1

12 0

11

12 0

11 2 0 3 1 0

3

331

31

–x x1

& & & & &+ = + = + = = = =] ] ]

] ]g g g

g g

a)

b)

b) bulunur.

x = 1 de¤eri, ifadesinde payday› s›f›r yapaca¤›ndan x = 1 de¤erini alamaz.x

x1

1--

.–– – – – –

xx x x x x x x x x1

1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 3 4 4 1& & & & &= = = + = + = =] g

Rasyonel denklemlerin çözümünde, rasyonel ifadeler toplan›r veya ç›kar›l›rken önce paydaeflitlenir.

64

Do¤rusal Denklem Sistemlerini Yerine Koyma Metodu ile Çözme

Araç ve gereç: Terazi

• Yandaki flekilde verilen terazilerin dengedurumlar›n› inceleyiniz.

• Terazilerin denge durumlar›n› cebirsel ifa-delerin eflitli¤inden yararlanarak matematikselolarak yaz›n›z.

• 1. teraziden y’nin x cinsinden alaca¤› de¤e-ri bulunuz.

• 2. terazide y yerine 1. terazide belirledi¤inizde¤eri koyunuz.

• 2. terazideki denge durumunu belirten denk-lemi yaz›n›z.

� Elde etti¤iniz denklemde kaç bilinmeyenvard›r?

� Bu denklemin çeflidi için ne söyleyebilirsiniz? Aç›klay›n›z.

• Elde etti¤iniz denklemi çözerek x de¤erini bulunuz.

• Buldu¤unuz x de¤erini denklemlerin birinde x yerine yazarak y de¤erini bulup (x, y) ikililerini belir-leyiniz.

� Ayn› sonucu 1. denklemde x de¤erini y cinsinden bularak nas›l yapabilirsiniz?

� Buldu¤unuz (x, y) ikilisi yazd›¤›n›z her iki denklemi de sa¤lar m›? Neden?

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak do¤rusal denklem sisteminin çözüm kümesini nas›l bulabilir-siniz? Aç›klay›n›z.

14444444244444443

10 br

2x + 2y = 101444442444443

7 br

2x + y = 7x y yx x yx

x 7 – 2xx 7 – 2x14444444244444443

10 br

14444424444437 br

2 y2

Örnek: Afla¤›da verilen fleritlerin uzunluklar›ndan yararlanarak x ve y uzunluklar›n› bulal›m:

2. fleritte y de¤erini x cinsinden bulal›m: y + 2x = 7 ⇒ y = 7 – 2x bu de¤eri, 1. fleritte y yerine yazal›m:

Buldu¤umuz bu de¤eri 2. fleritte yerine yaz›p y de¤erini bulal›m:

– –

– –

x x x x

x x

xx

7 2 7 2 10

14 2 10 14 10 2

2

4

2

22

1

2

&

&

+ + + =

= =

= =

2 : 2 + y = 7 ⇒ 4 + y = 7 ⇒ y = 7 – 4 ⇒ bulunur.y 3=

x x y

5 kg 5 kg

5 kg 5 kgy x x

65

Örnek: Türker, manavdan 3 kg elma ile 2 kgmandalina alarak 11 TL, Bar›fl ise 2 kg elma ile2 kg mandalina alarak 10 TL ödediklerine göreelma ve mandalinan›n 1 kg fiyat›n› bulal›m:

1 kg elman›n fiyat› → x TL,

1 kg mandalinan›n fiyat› → y TL olsun.

Türker’in ald›¤› meyvelerin fiyat› 3x + y = 11,

Bar›fl’›n ald›¤› meyvelerin fiyat› 2x + 2y = 10olarak yaz›l›r.

Örnek: x – 2y = 22x + y = 14 denklem sistemini çözelim:

x – 2y = 2 ⇒ x = 2 + 2y de¤erini 2x + y = 14 denkleminde yerine yazal›m.

2x + y = 14 ⇒ 2 : (2 + 2y) + y = 14 ⇒ 4 + 4y + y = 14 ⇒ 5y = 14 – 4

bulunur.y

y5

5

5

102

1

1

1

2

= = =

Bu de¤eri x – 2y = 2 denkleminde yerine yazal›m.

x – 2 : 2 = 2 ⇒ x – 4 = 2 ⇒ x = 2 + 4 ⇒ x = 6 bulunur.

(x, y) ikilisi (6, 2) olarak elde edilir.

Verilen denklem sisteminin çözümü, yerine koyma metodu ile yap›l›r. Sistemdeki denklem-lerden uygun olan›ndan bilinmeyenlerden birinin de¤eri di¤eri cinsinden bulunur. Bu de¤er di¤erdenklemde yerine koyularak, bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Elde edilen denklem çözülerekbilinmeyenin de¤eri bulunur. Bulunan bu de¤er denklemlerden birinde yerine yaz›larak di¤er bilin-meyenin de¤eri bulunur.

3x + y = 11 denkleminde y’nin de¤erini x cinsinden bulup di¤er denklemde yerine yazal›m.

x = 3 de¤erini 3x + y = 11 denkleminde yerine yazal›m.

3 : 3 + y = 11 ⇒ 9 + y = 11 ⇒ y = 11 – 9 ⇒ y = 2 TL bulunur.

1 kg elman›n fiyat› 3 TL, 1 kg mandalinan›n fiyat› 2 TL’dir.

:– ( – )

– – –

–

–

–

–

x y y x x x

x x x

xx TL

3 11 11 3 2 2 11 3 10

2 22 6 10 4 10 22

4

4

4

123

1

1

1

3

& &

& &

& &

+ = = + =

+ = =

= =

66

Örnek: 3x + y = 5x + 2y = 5 denklem sisteminin çözümünü inceleyelim:

x bilinmeyenlerini yok edelim.

y de¤erini 3x + y = 5 denkleminde yerine yaza-l›m.

.xx

x bulunur3 2 53

3

3

31

1

1

1

1

& &+ = = =

–

––

–

–

x y

x y

x y

y

x y

3 5

2 5

3 5

5

55

10

3 6 15

3

+ =

+ =

+ =

=

+ =

y bilinmeyenlerini yok edelim.

x+2y = 5 denkleminde yerine yazal›m.

.yy

y bulunur1 2 52

224 2& &+ = = =

–

x y

x

x y

6 2 10

5

555

2 5

+ =

=

+ =

3 5

2 5

x y

x y

2 + =

+ =

• Kâ¤›d›n›zdan uzunlu¤u 18 birim ve 8 birim olan iki flerit kesiniz.

• 18 birimlik fleridi, flekildeki gibi üç efl parçaya ve bir parça artacak flekilde katlayarak kat yerlerin-den kesiniz.

• 8 birimlik fleridi 18 birimlik fleritteki x ve y de¤erleri ile ayn› olacak flekilde katlayarak kat yerlerin-den kesiniz.

• Modellerin uzunluklar›n›n matematik cümlelerini yaz›n›z.

• ‹lk modelden ikinci modelin x ve y parçalar›n› ç›kar›n›z.

• Kalan parçalar› cebirsel olarak ifade edip denklemini yaz›n›z. Denklemi yazarken eflitli¤in di¤er ta-raf›ndaki say›lar› birbirinden ç›kar›n›z.

• Denklemi çözerek x de¤erini bulunuz.

• Buldu¤unuz x de¤erini denklemlerden birinde yerine yazarak y de¤erini bulunuz.

� Do¤rusal denklem sistemlerini yok etmek metoduyla çözümünde sizce nas›l bir yol izlenmekte-dir? Aç›klay›n›z.

⇒ y = 2 bulunur.

⇒ x = 1 de¤erini

x’lerin kat say›lar›n› eflitle-mek için 2. denklemi 3 ileçarpal›m.

x = 1, y = 2 elde edilir.

x = 1, y = 2 elde edilir.

y’lerin kat say›lar›n› eflitle-mek için 1. denklemi 2 ileçarpal›m.

Do¤rusal Denklem Sistemlerini Yok Etme Metodu ile Çözme

Araç ve gereç: Cetvel, kâ¤›t, makas

II. YolI. Yol

x x x y

x y

67

Denklem sisteminin çözümünü yok etme metodu ile yapmak için bilinmeyenlerden birinin katsay›s› iki denklemde de eflitlenerek taraf tarafa ç›kar›l›p kat say›lar› eflit olan bilinmeyen yok edi-lir (Ayn› ifllem; denklemlerin, bilinmeyenlerden birinin kat say›lar› birbirinin toplama ifllemine göretersi olacak flekilde düzenlenip taraf tarafa toplanmas›yla da yap›labilir.). Elde edilen 1. derece-den denklem çözülerek di¤er bilinmeyenin de¤eri bulunur. Bulunan bu de¤er, denklemlerden bi-rinde yerine yaz›l›r ve ikinci bilinmeyen bulunur.

Örnek: 4x + 3y = 113x + 4y = 10 denklem sistemini çözelim:

– –

x y

y

x y

2 30

3

3327

3

+ =

=

=

⇒ y = 9 bulunur.

x’in kat say›lar› eflittir. Taraftarafa ç›karal›m.

y de¤erini x – y = 3 denkleminde yerineyazal›m.

x – 9 = 3 ⇒ x = 3 + 9 ⇒ x = 12 elde edi-lir.

Örnek: x + 2y = 30x – y = 3 denklem sisteminin çözümünü inceleyelim:

–

x y

x y

x y

x y

4 3 11

12 9 33

12 16 40

3 4 10

3

4

+ =

+ =

+ =

+ =

–

––– 1

yy

7

777&= =

:

–

.

x x

x

x

x elde edilir

3 4 1 10 3 4 10

3 10 4

3

336

2

&

&

&

&

+ = + =

=

=

=

bulunur.

y de¤erini 3x + 4y = 10 denkle-minde yerine yazal›m.

x’in kat say›lar›n› eflitlemek için1. denklemi 3 ile 2. denklemi 4ile çarpal›m.

Örnek: Burak’la babas›n›n yafllar› toplam› 55’tir. Yafllar› fark› ise31’dir. Buna göre Burak’la babas›n›n yafllar›n› bulal›m:

Örnek: x + y = 4x + y = 3 denklem sistemini çözelim:

Örnek: 2x + y = 54x + 2y = 10 denklem sistemini çözelim:

oldu¤undan denklem sisteminin çözüm kümesi bofl kümedir.

denklemi x ve y’nin tüm reel say› de¤erleri için sa¤land›¤›ndan budenklem sisteminin çözüm kümesi reel say›lard›r.

x’in kat say›lar›n› eflitlemek için 1. denklemi 2 ile çarpal›m.

x + y = 4x + y = 3

0x + 0y = 10 ≠ 1

Bu de¤eri x + y = 55 denkleminde yerine yazal›m.

43 + y = 55 ⇒ y = 55 – 43 ⇒ y = 12 bulunur.

Burak’›n yafl› → y

Babas›n›n yafl› → x olsun.–

x y

x

x y

55

2

22

86

31

+ =

=

+ =

⇒ x = 43 babas›n›n yafl›

2x + y = 54x + 2y = 104x + 2y = 104x + 2y = 100x + 0y = 0

2

68

Örnek: x + y = 22x – y = 4 denklem sisteminin çözüm kümesini grafik çizerek gösterelim:

Örnek: x ekseni, y ekseni, x – y = 3 ve x + y = 5 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› bölgenin alan›n› bulal›m:

Önce verilen denklemlerin grafiklerini çizelim. x + y = 2 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar,x = 0 için, 0 + y = 2 ⇒ y = 2 (0, 2)y = 0 için, x + 0 = 2 ⇒ x = 2 (2, 0)’dir.2x – y = 4 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar,

Do¤rular›n kesim noktas› (2, 0) oldu¤undan denklem siste-minin çözüm kümesi, Ç = {(2, 0)} olur.

:

:

ç , – – – , –

ç , – , ' .

x i in y y y

y i in xx

x dir

0 2 0 4 4 4 0 4

0 2 0 42

2

2

42 2 0

2

& &

& &

= = = =

= = = =

^

^

h

h

x + y = 2 54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0

2x – y = 4

1

x + 2y = 754

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0

2x – y = 4

6 7

(3, 2)

1

Örnek: 2x – y = 4x + 2y = 7 denklem sisteminin çözümünü grafikle göstererek çözelim. Önce her iki denkle-

mi sa¤layan baz› noktalar› bulal›m:

2x – y = 4 ve x + 2y = 7 denklemlerini sa¤-layan noktalar›n kesiflimi (3, 2) noktas›d›r.

x + 2y = 7 denkleminin grafi¤i ile 2x – y = 4denkleminin grafi¤inin kesim noktas› (3, 2)’dir.

2x – y = 4x . . . 1 2 3 4 5 . . .

y . . . –2 0 2 4 6 . . .

x + 2y = 7

x . . . 1 2 3 4 5 . . .

y . . . 3 25

2 23

1 . . .

Denklemlerinin grafi¤inin kesim nok-tas› denklem sisteminin çözüm kümesi-dir. Çözüm kümesi Ç= {(3, 2)} biçimindegösterilir.

–

ç , – –

ç , –

ç ,

ç , .

x y

x i in y y

y i in x x

x y

x i in y y

y i in x x bulunur

3

0 0 3 3

0 0 3 3

5

0 0 5 5

0 0 5 5

&

&

&

&

=

= = =

= = =

+ =

= + = =

= + = =

x – y = 3 ve x + y = 5 do¤rular›n›n eksenleri,

• Kareli kâ¤›t üzerine koordinat sistemi çiziniz.• 7. s›n›fta ö¤rendi¤iniz do¤ru denklemi grafiklerinin çiziminden yararla-

narak afla¤›daki do¤rular›n grafiklerini belirtildi¤i gibi çiziniz.• x + y = 2 do¤rusunun grafi¤ini 1. flekildeki gibi çiziniz.• x – y = 2 do¤rusunun grafi¤ini 2. flekildeki gibi çiziniz.• Koordinat düzleminde grafi¤ini çizdi¤iniz do¤rular›n kesim noktalar›n›

belirleyiniz.� Belirledi¤iniz noktan›n koordinatlar› her iki do¤ru denklemini sa¤lar

m›? Aç›klay›n›z.� Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünü grafikle nas›l yapars›n›z?

-5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5

1234

-1-2-3-4

y

x0

-5 -4 -3-2 -1 1 2 3 4 5

1234

-1-2-3-4

y

x0

Do¤rusal Denklem Sistemlerinin Grafikle Çözümü

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, makas, cetvel

69

Do¤rular›n kesim noktas›n›n (4,1) noktas›oldu¤u görülür.

‹stenen bölgenin alan› d›r.

BCD üçgeni taban uzunlu¤u 2 cm ve yüksekli¤i1 cm olan üçgensel bölgedir.

O hâlde,‹stenen bölgenin alan› =

olarak elde edilir.

: :–

– br

25 5

22 1

225 2

223 2

=

= =

–A ABO A BCD_ _i i& &

–A ABO A BCD= _ _i i& &

x + y = 5 54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0

x – y = 3

(4, 1)D

A

C B1

Örnek: x ekseni, y ekseni, x = 3 ve 4x + 6y = 24 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› yamuksal bölgenin alan›n› bulal›m:

x = 3 ve 4x + 6y = 24 do¤rular›n›n grafiklerini çizerek kesim noktas›n› bulal›m:

4x + 6y = 2454

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0

x = 3

6 7

(3, 2)

1

4x + 6y = 24

:

ç ,x i in

y

y

y

0

4 0 6 24

6

66

24

4

=

+ =

=

=

: :

: .

Alan

cm bulunur

24 2 3

2

6 3

3 3 9 21

3

= + =

= =

] g4 cm

2 cm

3 cm

y = 0 için,: :

.

x

x

x bulunur

4 6 0 24

4

44

24

6

+ =

=

=

‹stenen bölge afla¤›da verilen yamuksal bölgedir.

1. Afla¤›da verilen denklemleri gerçek say›lar kümesinde çözünüz.

a) b) c) ç)

2. Afla¤›da verilen denklem sistemlerini çözerek x ve y de¤erlerini bulunuz.

–x y

x y

12 7 5

5 2 7

=

+ =–

x y

x y

2 3 11

3 2 0

+ =

=

x y

x y

23

2 2 9

+ =

+ =

–x y

x y

5

3 23

=

+ =

x x6

15+ =–x

x 17 23=–

xx

21 1 3

++ =–x x

21 3+

=

54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

6

–6

–6Yandaki flekilde yavrusunu kaybeden bir aslan x + y = 6 do¤-

rusu boyunca hareket ederek yavrusunu aramaktad›r.

Yavrusu ise x – y = 4 do¤rusu boyunca hareket ederek annesi-ni aramaktad›r.

Anne ile yavru aslan›n bulufltuklar› noktay› bulunuz.


a) b)

c) ç)

3.

ÖÇK s. 40, 41,42, 43, 44

70

• Alper, Ak›n, Ayfle ve Suna ayn› s›n›fta okuyan ve s›navlara ha-z›rlanan dört arkadaflt›r. Aralar›nda geçen konuflmalar› inceleyiniz.

Alper: “Akflam tam 5 saat ders çal›flmam gerekir.”

Ak›n: “Bana 5 saat yetmez. 5 saatten daha fazla çal›flmam ge-rekir.”

Ayfle: “Ben akflam en fazla 5 saat ders çal›flabilirim.”

Suna: “Babam s›navda baflar›l› olmam için en az 5 saat ders ça-l›flmam gerekti¤ini söylüyor.”

� Hangi ö¤rencinin ders çal›flma süresi kesin olarak bellidir? Bu durumun matematik cümlesi eflit-lik kullan›larak m›, kullan›lmadan m› belirtilir?

� Her bir ö¤rencinin ders çal›flma süresine bilinmeyen vererek verilen ifadelerin matematik cümle-lerini yaz›n›z.

� Verilen ifadeleri matematiksel olarak gösterirken “=, <, > , ≤ ve ≥” sembollerinden nas›l yararlan-d›n›z? Aç›klay›n›z.

� Ak›n, 7 saat çal›fl›yorsa Alper’in Ak›n’la ayn› süre çal›flmas› için kaç saat daha çal›flmas› gerekir?

� Eflitlik kulland›¤›n›z ve kullanmad›¤›n›z durumlar aras›nda nas›l bir iliflki olabilir?

� En fazla ile fazla, en az ile az aras›nda nas›l bir fark vard›r? Aç›klay›n›z.

� Tahterevallinin zevkle oynanabilmesi için tahtan›n her iki ucundaki kütleler nas›l olmal›d›r?

4. BÖLÜM EŞİTSİZLİKLER

Örnek: Afla¤›da verilen terazilerdeki denge durumlar›n› inceleyelim:

Terazinin dengede olma durumu,eflitlik olarak ifade edilir.

Terazinin dengede olmama durumu,eflitsizlik olarak ifade edilir.

Eflitlik ve Eflitsizlik Aras›ndaki ‹liflkiyi Belirleme

Araç ve gereç: Terazi, kâ¤›t, kalem

Oyun parklar›n›n vazgeçilmez oyuncaklar›ndan biridirtahterevalli. Sal›ncaklar›n, kayd›raklar›n, atl›kar›ncalar›n vedaha pek çok gösteriflli oyunca¤›n biraz uza¤›nda yer al›r.Yaln›zd›r ilk bak›flta. Ama o yaln›zl›¤› sevmez. Arkadafl can-l›s› ve paylafl›mc›d›r. ‹ki kifliliktir tahterevalli. Yaln›z bafl›naiseniz oynatmaz, e¤lendirmez sizi. Birlikte ve anlaflarak ha-reket etmelisiniz onun üzerindeyken. Bir yukar›, bir afla¤›...Sen yüksekte, ben yerde; s›rayla ve paylaflarak...

Kald›raç esas›na dayan›yor bu oyunca¤›n temeli. Uzunbir tahta ya da metalin iki ucunda oturmaya yarayan bölüm-ler ve tam ortada dengeyi sa¤layan bir düzenekten ibaret.

� Farkl› kütleye sahip iki çocu¤un tahterevallinin iki ucunda oturmalar›, tahterevallinin den-

ge durumunu nas›l etkiler?

71

• Terazinin sa¤ kefesine 4 tane 500 g’l›k ve 4 tane 100 g’l›k kütle, sol kefesine 8 tane 100 g’l›k küt-le ile kütlesi 400 g’dan az olan 4 tane defter koyunuz.

• Terazinin kefelerine koydu¤unuz defterleri x kütle düflü-nerek kütlelere göre terazideki durumu matematiksel olarakifade ediniz.

• Her iki kefeden ikifler tane 100 g’l›k kütle ç›kar›n›z.

� Kulland›¤›n›z eflitsizli¤in yönü de¤iflti mi? Neden?

• Her iki kefeye birer tane 100 g’l›k kütle koyunuz.

� Kulland›¤›n›z eflitsizli¤in yönü de¤iflti mi? Neden?

Örnek: Afla¤›da verilen ifadelere uygun matematiksel ifadeleri yazal›m:

a) 2 kat›n›n 3 fazlas› 7’den büyük olan say›lar.

b) Ali Bey 100 m daha yürüseydi en çok 600 m yürümüfl olacakt›.

c) Havuzun derinli¤i 180 cm’den daha azd›r.

ç) Matematik s›nav›nda en az 8 soru yapabilirim.

a) Say› x olsun. 2x + 3 > 7 x + 100 = 600 veya x + 100 < 600

oldu¤undan x + 100 ≤ 600’dür.

b)

Havuzun derinli¤i x cm olsun. x < 180

c)

S›navda yap›lan soru say›s› x olsun. x > 8 veya x = 8oldu¤undan x ≥ 8’dir.

ç)

Örnek

Yukar›daki resimde Ahmet’in A noktas›na uzakl›¤› x metre oldu¤una göre Fatma, Ahmet ve Erkan’›nA noktas›na olan uzakl›klar›n› matematiksel olarak ifade edelim:

Fatma Ahmet ErkanA

Ahmet A noktas›na x metre uzakl›ktad›r. O hâlde, Ahmet’in uzakl›¤› = x metre,Fatma A noktas›na x metreden daha yak›nd›r. O hâlde, Fatma’n›n uzakl›¤› < x metre,Erkan A noktas›na x metreden daha uzakt›r. O hâlde, Erkan’›n uzakl›¤› > x metre olur.

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b > 0 ax + b ≥ 0ax + b < 0 ax + b ≤ 0 biçiminde yaz›labilen cebirsel ifadelere, birinci dereceden bir bilinme-

yenli eflitsizlik denir.

“>: büyük, ≥: büyük veya eflit, <: küçük, ≤: küçük veya eflit” anlam›ndad›r.

Eflitsizliklerin Çözümü

Araç ve gereç: Terazi, kütle tak›m›, defter

500g

500g

500g 500

g

100g 100

g100g

100g

100g

100g

100g 100

g

100g100

g100g

100g

72

0–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

Tavflan›n havucu alabilece¤i durumlar›n› inceleyelim:

–1–2–3–4–5

Örnek: Say› do¤rusu üzerinde 0 (s›f›r) noktas›nda bulunan bir tavflan›n, x metre yürüyerek havucualmas› gerekmektedir.

Tavflan›n havucu almas› için 3 m’den fazla yürümesi gerekir. O hâlde, x > 3’tür.Çözüm kümesi, tam say›larla Ç= {4, 5, 6, ....} veya Ç= {3’ten büyük tam say›lar}, gerçek (reel)

say›larla Ç= {3’ten büyük gerçek say›lar} biçiminde gösterilir.

• Her iki kefeye koydu¤unuz kütlelerin ve defterlerin yar›s›n› al›n›z.� Kulland›¤›n›z eflitsizli¤in yönü de¤iflti mi? Neden?� Bir eflitsizli¤in her iki yan›na ayn› say› eklenir ya da ç›kar›l›rsa eflitsizli¤in durumu de¤iflir mi? Ne-

den? Aç›klay›n›z.� Bir eflitsizli¤in her iki yan›n› ayn› pozitif say› ile çarpar ya da bölerseniz eflitsizli¤in durumu de¤i-

flir mi? Aç›klay›n›z.� Defterlerin kütlesinin alabilece¤i de¤erleri say› do¤rusunda gösteriniz.• 5 > 1 eflitsizli¤inin her iki yan›n› (–1) ile çarp›n›z.� Oluflan eflitsizli¤in yönü ile ilgili ne söyleyebilirsiniz?� Bir eflitsizli¤in her iki yan›n› ayn› negatif say› ile çarpar ya da bölerseniz eflitsizli¤in durumu de¤i-

flir mi? Aç›klay›n›z.

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

Tavflan›n havucu almas› için sola do¤ru 4 m’den fazla yürümesi laz›md›r. O hâlde, x < –4’tür.Çözüm kümesi, tam say›larla Ç= {...–7, –6, –5} veya Ç= {–4’ten küçük tam say›lar},gerçek say›larla Ç= {–4’ten küçük gerçek say›lar} biçiminde gösterilir.

Tavflan›n havucu almas› için en az 4 m sa¤a gitmesi gerekir.O hâlde, x = 4 veya x > 4 oldu¤undan x ≥ 4’tür.Çözüm kümesi, tam say›larla Ç= {4, 5, 6, 7,...} veya Ç= {4 veya 4’ten büyük tam say›lar},gerçek say›larla Ç= {4 veya 4’ten büyük gerçek say›lar} biçiminde gösterilir.

73

x < 17’dir.Her iki s›n›fa dörder s›ra konursa yine B s›n›f›nda daha

fazla s›ra olacakt›r.x + 4 < 17 + 4 ⇒ x + 4 < 21 olur.fiimdi de her iki s›n›fa götürdü¤ümüz s›ralardan ikifler

s›ra alal›m. Yine B s›n›f›nda daha fazla s›ra kalacakt›r. x + 4 – 2 < 21 – 2 ⇒ x + 2 < 19 bulunur.S›n›flar›n ilk durumlar›ndaki hâlinde her s›raya ikifler

ö¤renci oturdu¤unu düflünelim. Bu durumda da B s›n›f›nda-ki ö¤renci say›s› A s›n›f›ndaki ö¤renci say›s›ndan daha faz-la olaca¤›ndan 2 : x < 2 : 17 ⇒ 2x < 34 olur.

Bir eflitsizli¤in her iki yan›na ayn› say› eklenir veya ç›kar›l›rsa eflitsizli¤in durumu de¤iflmez. Bireflitsizli¤in her iki yan› pozitif bir say› ile çarp›l›r veya bölünürse eflitsizlik yön de¤ifltirmez.

Bir eflitsizli¤in her iki yan› negatif bir say› ile çarp›l›r veya bölünürse eflitsizlik yön de¤ifltirir.


• 4 < 5 eflitsizli¤inin her iki yan›n› –3 ile çarpal›m.

• 6<8 eflitsizli¤inin her iki yan›n› –2’ye bölelim.

–

–– >– ¤ < > .oldu undan olur

26 3

28 4

3 4 6 82

62

8&

-=

-=

- -

_

`

a

bb

bb

:

:

: :– –

– –– – ¤ – – .oldu undan olur

4 3 12

5 3 1515 12 4 5 3 4 3 5< >< &

=

=

]

]] ]

g

gg g3

Tavflan›n havucu almas› için en az 4 m sola gitmesi gerekir.O hâlde, x = –4 veya x < –4 oldu¤undan x ≤ –4’tür.Çözüm kümesi, tam say›larla Ç= {...,–7, –6, –5, –4} veya Ç= {–4 veya –4’ten küçük tam say›lar},gerçek say›larla Ç= {–4 veya –4’ten küçük gerçek say›lar} biçiminde gösterilir.

Örnek: A s›n›f›nda x tane, B s›n›f›nda 17 tane s›ra vard›r. As›n›f›ndaki s›ra say›s›n›n B s›n›f›ndaki s›ra say›s›ndan daha azoldu¤u bilindi¤ine göre afla¤›daki durumlar› inceleyelim:

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

74

Eflitsizli¤in çözüm kümesini say› do¤rusunda gösterirken “≤ veya ≥” sembollerinde bafllang›çnoktas›n›n içi dolu, “< veya >” sembollerinde bafllang›ç noktas› çözüm kümesine dâhil olmad›¤›n-dan içi bofl olur.

Örnek: Afla¤›da verilen eflitsizliklerin çözüm kümelerini gerçek say›lar kümesinde bulup say›do¤rusunda gösterelim:

a) 4x – 1 < 15 b) –2x + 3 ≥ 5

Ç= {4’ten küçük gerçek say›lar} Ç= {–1 ve –1’den küçük gerçek say›lar}

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

) – ≥ – – ≥ –

≥–

≤–

–

–

b x x

x

x

2 3 5 2 3 3 5 3

2

2

2

2

1

&

&

+ +) – –a x x

x

x

4 1 15 4 1 1 15 1

4

4

4

16

4

< <

<

<

4

& + +

• x + y ≤ 5 ve 3y – 1 > x eflitsizliklerini sa¤la-yan noktalar kümesini belirlemek için afla¤›daistenenleri uygulay›n›z.

• 7. s›n›fta ö¤rendi¤iniz do¤ru denklemleriningrafi¤ini çizmeye yönelik bilgilerinizden yararlanarak x + y = 5 ve 3y – 1 = x do¤rular›n›n grafiklerini fark-l› koordinat düzlemlerinde çiziniz.

• Her bir koordinat düzleminde do¤ru grafiklerinin farkl› taraflar›nda birer (x, y) noktas› belirleyiniz.• Belirledi¤iniz noktalar› ait oldu¤u eflitsizliklerde yerlerine koyunuz.• Hangi noktalar›n eflitsizli¤i sa¤lad›¤›n› belirleyiniz.

� Eflitsizli¤i sa¤layan noktalar›n bulundu¤u bölgedeki tüm noktalar eflitsizlikleri sa¤lar m›?• Do¤ru grafikleri üzerinde birer nokta belirleyiniz.

� Belirledi¤iniz noktalardan hangisi, ait oldu¤u eflitsizli¤i sa¤lar?

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak iki bilinmeyenli do¤rusal eflitsizliklerin grafikleri hakk›nda ne-ler söyleyebilirsiniz?

Önce x = 2 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x = 2 do¤rusu, düzlemi iki bölgeye ay›r›r. Bu bölgeler-den biri x < 2 eflitsizli¤inin çözüm kümesidir. Apsisi 2’denküçük olan noktalar k›rm›z› ile taral› bölgeyi, apsisi 2 olannoktalar ise x = 2 do¤rusunu sa¤lar.

Bizden sadece apsisi 2’den küçük olan noktalar›n kü-mesi istendi¤inde x < 2 eflitsizli¤inin çözüm kümesi flekil-de k›rm›z› çizgilerle taranan bölgedir. x = 2 do¤rusu üze-rindeki noktalar kümeye ait olmad›¤›ndan do¤ru, kesik ke-sik çizilir.

2

1

–1

–2

1 2–1–2

y

x0 3

3

–3

–3

x = 2

y

x < 2

Örnek: x < 2 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar kümesini koordinat düzleminde gösterelim:

‹ki Bilinmeyenli Eflitsizliklerin

Grafikleri

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, kâ¤›t,

cetvel, kalem

75

Önce x + y = 4 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x = 0 için 0 + y = 4 ⇒ y = 4 (0, 4)

y = 0 için x + 0 = 4 ⇒ x = 4 (4, 0)

fiimdi x + y < 4 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar› be-

lirleyelim. x + y = 4 do¤rusu düzlemi iki bölgeye ay›r-

d›¤›ndan bu bölgelerden biri x + y < 4 eflitsizli¤inin

çözüm kümesidir. Bu bölgeyi belirleyelim.

Bunun için her iki bölgeden dörder nokta alal›m.

(0, 0) için 0 + 0 < 4 ⇒ 0 < 4 sa¤lar.

(–1, –1) için (–1) + (–1) < 4 ⇒ –2 < 4 sa¤lar.

(–3, 1) için (–3) + 1 < 4 ⇒ –2 < 4 sa¤lar.

(–5, –11) için (–5) + (–11) < 4 ⇒ –16 < 4 sa¤lar.

(5, 1) için 5 + 1 < 4 ⇒

(4, 2) için 4 + 2 < 4 ⇒

(3, 4) için 3 + 4 < 4 ⇒

(4, 4) için 4 + 4 < 4 ⇒

x + y = 4 do¤rusu üzerinde (4, 0)noktas›n› alal›m.

4 + 0 < 4 ⇒ sa¤lamad›¤›ndan

do¤ru, kesikli çizgilerle çizilmifltir.

4 4<

54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

6

–6

–6

x + y = 4

54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

6

–6

–6

x + y = 4

x + y < 4

(–1, –1)

(–3, 1)Eflitsizli¤i sa¤layan noktalar›n bulundu¤u

bölgeyi tarad›¤›m›zda yandaki grafi¤i elde ede-

riz.

2

1

–1

–2

1 2–1–2

y

x0 3

3

–3

–3

x = 3

x ≥ 3

Örnek: x ≥ 3 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar kümesini koordinat düzleminde gösterelim:

Önce x = 3 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x = 3 do¤rusu düzlemi iki bölgeye ay›r›r. Bu bölge-

lerden biri ile x = 3 do¤rusu üzerindeki noktalar x ≥ 3

eflitsizli¤inin çözüm kümesidir. Apsisi 3’ten büyük

olan noktalar flekildeki k›rm›z› bölgede, apsisi 3 olan

noktalar x = 3 do¤rusu üzerindedir. Bizden apsisi 3 ve

3’ten büyük noktalar istendi¤inde x ≥ 3 eflitsizli¤inin

çözümü flekildeki k›rm›z› bölgelerdeki noktalard›r.

Do¤ru üzerindeki noktalar eflitsizli¤i sa¤lad›¤›ndan

do¤ru, düz çizgi ile çizilir.

¤ .

¤ .

¤ .

¤ .

sa lamaz

sa lamaz

sa lamaz

sa lamaz

6 4

6 4

7 4

8 4

<

<

<

<

Örnek: x + y < 4 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar kümesini bulup grafi¤ini çizelim:

76

Örnek: x – y ≥ 3 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar› belirleyip grafi¤ini çizelim.Önce x – y = 3 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.x = 0 için 0 – y = 3 ⇒ y = –3 (0, –3)y = 0 için x – 0 = 3 ⇒ x = 3 (3, 0)

(3, 0) noktas›, 3 – 0 ≥ 3 ⇒ 3 ≥ 3 oldu¤undan do¤ru

üzerindedir.Do¤ru üzerindeki noktalar eflitsizli¤i sa¤-

lar.

(4, 0) için 4 – 0 ≥ 3

(2, –2) için 2 – (–2) ≥ 3

(5, 1) için 5 – 1 ≥ 3

(3, –3) için 3 – (–3) ≥ 3

(3, 3) için 3 – 3 ≥ 3

(4, 2) için 4 – 2 ≥ 3

(5, 5) için 5 – 5 ≥ 3

(–4, 3) için –4 – 3 ≥ 3

x – y = 3 do¤rusu düzlemi iki bölgeye ay›r›r. Bubölgelerden biri ile x – y = 3 do¤rusu, x – y ≥ 3 eflit-sizli¤inin çözüm kümesidir.

Bu bölgeyi belirleyelim.

Eflitsizli¤i sa¤layan noktalar›n bulundu¤u böl-geyi tarayarak grafi¤ini çizelim.

4

32

1–1–2

–3–4

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

–6

x – y = 3

4

32

1–1–2

–3–4

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

–6

x – y ≥ 3

x – y = 3

(2, –2)(3, –3)

(4,0)(5,1)

≥ ¤ .

≥ ¤ .

≥ ¤ .

≥ ¤ .

≥ ¤ .

≥ ¤ .

≥ ¤ .

– ≥ ¤ .

sa lar

sa lar

sa lar

sa lar

sa lamaz

sa lamaz

sa lamaz

sa lamaz

4 3

4 3

4 3

6 3

0 3

2 3

0 3

7 3

&

&

&

&

&

&

&

&

ax + by + c > 0 a ≠ 0ax + by + c ≥ 0 b ≠ 0ax + by + c < 0ax + by + c ≤ 0 ifadelerinden her biri, iki bilmeyenli eflitsizliklerdir.

Bu eflitsizliklerin grafikleri çizilirken ax + by + c = 0 do¤rusunun grafi¤i çizilir.Bu grafi¤in düzlemde ay›rd›¤› bölgelerde noktalar seçilir. Seçilen noktalardan eflitsizli¤i sa¤-

layan noktalar›n bulundu¤u bölge, eflitsizli¤in çözüm kümesi olarak taran›r.

≤ veya ≥ sembollerinin yer ald›¤› eflitsizliklerde do¤ru, çözüm kümesine dâhildir. Bu durumdado¤ru, kesiksiz çizilir. < veya > sembollerinin yer ald›¤› eflitsizliklerde do¤ru, çözüm kümesine dâ-hil de¤ildir. Bu durumda do¤ruyu kesik kesik çizeriz.

77

2x – 3y = 6

(1, 1)

54

32

1–1–2

–3–4

–5

2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x0 6

1

6

–6

–6

2x – 3y < 6

Örnek: 2x – 3y > 6 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar kümesini bulal›m:

Önce 2x – 3y = 6 do¤rusunun grafi¤ini çizelim.

x = 0 için 2 : 0 – 3 y = 6 ⇒ –3y = 6 ⇒ y = –2 (0, –2)y = 0 için 2 : x –3 : 0 = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 (3, 0)

Verilen eflitsizlikte > sembolü bulundu-¤undan do¤ru, çözüm kümesine ait de¤ildir.Bu yüzden kesik kesik çizilmifltir.

2x – 3y = 6 do¤rusunun ay›rd›¤› bölge-lerden birinde bir nokta seçip bu noktan›n2x – 3y > 6 eflitsizli¤ini sa¤lay›p sa¤lamad›-¤›na bakal›m. (1, 1) noktas›n› seçip koordi-natlar›n› eflitsizlikte yerlerine yazal›m.

2 : 1 – 3 : 1 > 6 ⇒ 2 – 3 > 6 ⇒ –1 > 6oldu¤undan seçilen nokta, eflitsizli¤i sa¤la-maz.

Bu durumda seçilen noktan›n bulunma-d›¤› bölge eflitsizli¤in çözümüdür.

1. Afla¤›da verilenlere uygun matematiksel ifadeleri yaz›n›z.

a) 3 kat›n›n 2 eksi¤i 11’den büyük olan say›lar

b) 9’dan küçük olan say›lar

c) Yar›s›n›n 3 fazlas› 8’den büyük olan say›lar

2. Afla¤›da verilen eflitsizliklerin çözüm kümelerini gerçek say›larda bulup say› do¤rusunda gös-teriniz.

a) 2x – 5 < 7 b) 3x – 11 ≤ 7 c) ç)

3. 3x–y≥3 eflitsizli¤ini sa¤layan noktalar kümesi afla¤›dakilerden hangisinde do¤ru olarak verilmifltir?

≥x2

9 1 14+>x2

7 2 8+

y

1

–3

x0

y

1

–3

x0

y

1

3

x0

y

1

–3x

0


A. B. C. D.

ÖÇK s. 45, 46,47, 48, 49

78

1. Erkek ve difli ar›lar›n ço¤alma yöntemlerifarkl›d›r. Bir erkek ar›n›n bir annesi varken bir di-fli ar›n›n bir anne ve bir babas› vard›r. Yani bir er-kek ar›n›n bir annesi, iki tane de büyük ebeveyni(annenin bir annesi, bir babas›) vard›r. Buna gö-re bir erkek ar›n›n;

a) 10. kufla¤a kadarki atalar›n›n say›lar›ndanoluflan örüntüyü belirleyiniz.

b) 10 kufla¤a kadarki atalar›n›n toplam say›s›-n› bulunuz.

2. Bir deprem bilimci, deprem sonras› oluflantsunami dalgas›n›n ilk yüksekli¤ini 2 m olarak be-lirliyor. Dalgan›n k›y›ya yaklaflt›kça birer dakikaaral›klarla ortalama 1 m yükseldi¤ini tespit ediyor.

a) Tsunami dalgalar›n›n yüksekliklerindenoluflan aritmetik dizinin ilk 7 terimini yaz›n›z.

b) Dalgan›n 15. dakikada ulaflt›¤› ortalamayüksekli¤ini bulunuz.

3. Afla¤›da verilen ifadelerden hangileri özdeflliktir?

I. 3x2 + 5x = x : (3x + 5) II. 2x – 17x = x + 11III. a + a + a + a = 4a + 1 IV. (x + 7)2 = x2 + 14x + 49

A. I, IV B. I, II C. II, III D. III, IV

4. iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

A. B. C. 10 D. 3

5. x = 1,718, y = 1,282 ise x2 + 2x y + y2 ifadesinin de¤eri kaçt›r?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

6. Afla¤›da verilen özdefllikleri modelleyiniz.

a) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 b) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

7. Afla¤›da verilen ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.

a) 3x2 – 2x –1 b) x2 + 3x + 2 c) 6x2 + 5x + 1 ç) x2 + 5x + 4

310

310 2

––

70 61181 81

2 2

2 2

8. Afla¤›da verilen ifadeleri sadelefltiriniz.

9. x + y = 9

x – y = 8 do¤rusal denklem sistemi ile ilgili bir problem kurup çözünüz.

: :

–

– ––

– –––

xx x

xx x

yxy y

xx xy

xx x

xx

13 2

912 27

3 66

34

2

2

2

2 2 2

++ + + +] g

a) b) c) ç)


79

10. Lazer ›fl›nlar›yla oluflturulan afla¤›daki düzenekte verilen ›fl›nlar›n denklemlerinden yararlanarakA, B, C, D, E noktalar›n›n koordinatlar›n› belirleyiniz.


(. . . ) 2 + 7 = 10 bir cebirsel ifadedir.

(. . . ) 3x + 11 = 20 ifadesi bir eflitliktir.

(. . . ) x + x + x > 2x + 1 ifadesi bir eflitsizliktir.

(. . . ) Bir eflitsizli¤in her iki yan› negatif say› ile çarp›l›rsaeflitsizli¤in yönü de¤iflmez.

12. Ahmet 20 cm’den daha k›sa olan bir tel ile kenaruzunluklar› tam say› olan kareler oluflturmak istiyor. Ahmet,bu flekilde kaç farkl› kare oluflturabilir?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

13. 3x – 5y ≥ 11 do¤rusal eflitsizli¤ini afla¤›daki noktalar-dan hangisi sa¤lamaz?

A. (7, 1) B. (3, –1) C. (–1, 4) D. (4, –4)

14. Bir s›n›ftaki ö¤renciler s›ralara ikifler ikifler otururlarsa 2 kifli ayakta kal›yor. Üçer üçer otururlar-sa 5 s›ra bofl kal›yor. Buna göre s›n›ftaki s›ra ve ö¤renci say›s›n› bulunuz.

y = 9

x + y = 5

E A

B

C

2x – y = 8

D

y

x

x = 3

15. denkleminin çözüm kümesi afla¤›dakilerden hangisidir?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

– –x x3

2 23

3 3 5+ =

16. Annesi ile Burak’›n yafllar› toplam› 51’dir. Annenin yafl› Burak’›n yafl›n›n 3 kat›ndan 3 fazlaoldu¤una göre Burak bugün kaç yafl›ndad›r?

A. 13 B. 12 C. 10 D. 8

80

17. 11 – 3x > x – 5 eflitsizli¤inin çözüm kümesi afla¤›da hangi seçenekte do¤ru verilmifltir?

18. 1 – 7 – 21 – 35 – ? – 21 – 7 – 1

Yukar›da Paskal Üçgeni’nin 7. sat›r› verilmifltir. Soru iflareti yerine afla¤›dakilerden hangisi gelme-lidir?

A. 21 B. 27 C. 30 D. 35

19. oldu¤una göre nin de¤eri kaçt›r?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

–x xy y22 2+– , –x y2 5 3 5 3= =

20. Toplamlar› 17, kareleri fark› 17 olan iki say›n›n fark› kaçt›r?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 64

21. x : y = 4, x + y = 5 oldu¤una göre x2 + y2 de¤eri kaçt›r?

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

22. Bir kümesteki tavuklarla tavflanlar›n say›s› 32’dir. Ayaklar›n toplam say›s› 72 oldu¤una görekümesteki tavflan say›s› kaçt›r?

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

24. Bir kesrin pay ve paydas›n›n toplam› 25’tir. Pay ve paydas›na 1 eklendi¤inde pay, paydas›n›n 2kat› oldu¤una göre kesrin pay ve paydas›n›n fark› kaçt›r?

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

25. a ve b tam say›lard›r. 3 < a < 7, 5 ≤ b ≤ 11 oldu¤una göre 4b – 3a ifadesinin alabilece¤i en büyüktam say› de¤eri kaçt›r?

A. 32 B. 30 C. 28 D. 26

23. denkleminde x de¤eri kaçt›r?

A. B. C. D. 49

94

95

96

–x

232

2 32

=

A.40

B.40

C.

D.

0–4

0–4

ÖÇK s. 50, 51

82

• Geometri fleritlerini, iki delik aras› 1 br olmak üze-re 8 br ve 4 br’lik olmak üzere uç uca birlefltiriniz.

• Birlefltirdi¤iniz geometri fleritlerinin di¤er uçlar›n› 1 br, 2 br, 3 br, 5 br, 6 br ve 7 br fleritlerle flekildeki gi-bi birlefltirerek üçgenler oluflturmaya çal›fl›n›z.

� Hangi uzunluklar› kullanarak üçgen oluflturabildi-niz?

• Oluflturdu¤unuz üçgenlerin kenar uzunluklar›n›belirleyiniz.

1. BÖLÜM ÜÇGENDE KENAR AÇI İLİŞKİSİ

ATATÜRK’ÜN GEOMETRİYE KATKILARI

Atatürk, matemati¤i iyi bildi¤i ve sevdi¤i için terim devrimine matematiklebafllam›flt›r. Bilimsel terimlerin Türkçelefltirilmesinde Atatürk’ün 1936 y›l›ndayazd›¤› geometri kitab› önemli bir rol oynam›flt›r. Kitap 1937’de Millî E¤itim Ba-kanl›¤› taraf›ndan yazar ad› konmadan yay›nlanm›fl ve okullarda geometri ö¤re-timinde kullan›lm›flt›r. Kitab›n ikinci bir bask›s› 1971 y›l›nda Türk Dil Kurumu ta-raf›ndan yap›lm›flt›r. Bugün kulland›¤›m›z matematik terimlerinin büyük bir ço-¤unlu¤u Atatürk taraf›ndan türetilmifltir. Eskiden kullan›lan “muvazi, zaviye, mü-selles, imsiy, ökül ve yüre” gibi matematik terimleri yerine “paralel, aç›, üçgen,benzerlik, tüm / bütün ve küre” gibi terimler getirilmifltir.

� Sizce Atatürk neden geometri kitab› yazma ihtiyac› duymufltur?

Üçgenlerin Kenarlar› Aras›ndaki ‹liflkiler

Araç ve gereç: Geometri fleritleri

• Osmanl›ca-Türkçe ve Arapça-Türkçe sözlükleri s›n›f›n›za getiriniz. Bu sözlüklerden yararlanarakafla¤›daki terimlerin Türkçe karfl›l›klar›n› bulunuz. Bu sözlüklere ulaflamazsan›z ‹nternet’ten daha ön-ceden bu terimlerin Türkçe karfl›l›klar›n› araflt›r›n›z.

• buud • kaide • mustatil • hat • kutur • ufki• muhammes • re’s • kavis • flakuli • nispet • murabba• zaviye • amud • tenasüb • veter

• Türkçe olarak karfl›l›¤›n› buldu¤unuz terimlerin hangi dilde oldu¤unu belirleyiniz.� Eski dilde kullan›lan bu terimler günümüzde kullan›lsayd› ne gibi sorunlar yaflan›rd›? Aç›klay›n›z.

Eski Terimler

Araç ve gereç: ‹nternet, Osmanl›ca-Türkçe ve Arapça-Türkçe sözlük

Örnek: Afla¤›da verilen terimleri Türkçe karfl›l›klar› ile efllefltirelim.zaviye = aç› kutur = çap müselles = üçgen

n›f-› kutur yüzey

zâviyetân-› mütevâf›katân eflkenar üçgen

müselles-i mütesâviyü’l-adla yöndefl aç›lar

sat›h yar›çap

fiimdi “n›f-› kutur” terimini alal›m: Terimde “kutur” oldu¤undan Türkçe karfl›l›¤›nda içinde “çap” ifade-sini bar›nd›ran kelimeyi arar›z. Bu da verilenler aras›nda yar›çap ifadesidir. Benzer biçimde di¤er terim-leri efllefltirebiliriz. Ancak “sat›h” teriminin anlam›n› bilmedi¤imizden belli bir aç›klama yaparak Türkçekarfl›l›¤›n› bulamay›z. Ancak Türkçe kelimeler aras›nda aç›kta kalan “yüzey” kelimesidir. Dolay›s›yla iki-sini efllefltiririz.

Verilen terimler aras›nda “re’sen mütekabil zaviyeler” ile Türkçe karfl›l›¤› “ters aç›lar” terimleri veril-seydi bu efllefltirmeleri yapamazd›k.

83

• Oluflturdu¤unuz üçgenlerin her bir kenar uzunlu¤unu di¤er kenar-lar›n uzunluklar› toplam› ile karfl›laflt›r›n›z.

� Aralar›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Oluflturdu¤unuz üçgenlerin her bir kenar uzunlu¤unu di¤er iki ke-nar uzunlu¤u fark›n›n mutlak de¤eri ile karfl›laflt›r›n›z.


• Üçgen oluflturamad›¤›n›z uzunluklar› belirleyiniz.

• Her bir uzunlu¤u di¤er uzunluklar›n toplam›yla karfl›laflt›r›n›z.


• Her bir uzunlu¤u, di¤er uzunluklar›n fark›n›n mutlak de¤eri ile karfl›laflt›r›n›z.


� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak üçgenin kenarlar› aras›nda nas›l bir ilifl-ki vard›r? Aç›klay›n›z.

Herhangi iki pipetin uzunluklar› toplam›n› ve farklar›n›n mutlak de¤erini di¤erpipetin uzunlu¤u ile karfl›laflt›ral›m:

3 + 4 > 6 |4 – 3| < 6

3 + 6 > 4 ve |6 – 4| < 3

4 + 6 > 3 |6 – 3| < 4

Pipetlerden herhangi birinin uzunlu¤u di-¤er iki pipetin uzunluklar› toplam›ndan küçük-tür. Pipetlerin herhangi birinin uzunlu¤u di¤eriki pipetin uzunluklar› fark›n›n mutlak de¤erin-den büyüktür.

Bir üçgenin kenarlar› aras›nda;

a + b > c |a – b| < c |a – b| < c < a + ba + c > b ve |a – c| < b ⇒ |a – c| < b < a + c

b + c > a |b – c| < a |b – c| < a < b + c ba¤›nt›s› vard›r.

Bu ba¤›nt›, “Bir üçgende herhangi bir kenar›n uzunlu¤u di¤er iki ke-nar›n uzunluklar› toplam›ndan küçük ve farklar›n›n mutlak de¤erindenbüyüktür.” biçiminde ifade edilir. Bir üçgende iki kenar uzunlu¤ununtoplam›n›n üçüncü kenar›n uzunlu¤undan büyük olmas› ba¤›nt›s›na“üçgen eflitsizli¤i” denir.

A

B a

c b

C

Örnek: 3 cm, 4 cm, 5 cm ve 6 cm uzunlu¤unda pipetler keserek üçgenlerolufltural›m:

3+4>5 |4–3|=|3–4|<5

3+5>4 ve |5–4|=|4–5|<3

4+5>3 |5–3|=|3–5|<4

3 cm

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

5 cm

5 cm

6 cm

6 cm

Herhangi iki pipetin uzunluklar› toplam›n› ve farklar›n›nmutlak de¤erini di¤er pipetin uzunlu¤u ile karfl›laflt›ral›m:

Herhangi iki pipetin uzunlu¤u di¤er ikipipetin uzunluklar› toplam›ndan küçük ve uzun-luklar› fark›n›n mutlak de¤erinden büyüktür.

84

Örnek: 2 cm, 4 cm ve 6 cm uzunlu¤undaki pipetlerle üçgen oluflturmaya çal›flal›m:

Herhangi iki pipetin uzunluklar› toplam›, her zaman di¤er pipe-tin uzunlu¤undan büyük de¤il ve uzunluklar› fark›n›n mutlak de-¤eri di¤er pipetin uzunlu¤undan küçük de¤ildir.

Bu yüzden 2 cm, 4 cm ve 6 cm uzunlu¤undaki pipetlerle üç-gen oluflturulamaz.

2 + 4 = 6 |4 – 2| < 6

2 + 6 > 4 ve |6 – 2| = 4

4 + 6 > 2 |6 – 4| = 2

Herhangi iki pipetin uzunluklar› toplam› ve uzunluklar› fark›n›n mutlak de¤eri ile di¤er pipetin uzun-lu¤unu karfl›laflt›ral›m:

2 cm4 cm

6 cm

Örnek: Yanda 6 m uzakl›kta A ve B noktalar›nda bulunan ikikar›ncan›n [AB] d›fl›ndaki bir noktada tam say› olarak yol al›p bu-luflabilmelerini inceleyelim: 144444444424444444443A

6 mB

2 m

3 mC

D

A B

3 m 3 m

C D

144444444424444444443A6 m

B

4 m 3 m

C

144444444424444444443A6 m

B

A noktas›ndaki kar›nca 2 m, B noktas›ndaki kar›nca3 m ilerlemifl ve buluflama-m›fllard›r. 3 + 2 < 6

Her iki kar›nca 3 m iler-lemifl buluflamam›fllard›r.3 + 3 = 6

A noktas›ndaki kar›nca 4 m, Bnoktas›ndaki kar›nca 3 m ilerlemiflve bir noktada buluflmufllard›r.

3 + 4 > 6 ve | – |

| – |

6 3 4

6 4 3

<

<

5 m 2 m

C

144444444424444444443A6 m

B

8 m4 m

C

144444444424444444443A6 m

B 144444444424444444443A6 m

B

8 m

2 m

C

A noktas›ndaki kar›nca 5 m, B noktas›ndaki kar›nca 2 m yol ald›¤›ndan buluflabilir-ler.

2 + 5 > 6 ve | – |

| – |

6 2 5

6 5 2

<

<

A noktas›ndaki kar›nca 8 m,B noktas›ndaki kar›nca 4 m yolalm›fl oldu¤undan buluflabilirler.

8 + 4 > 6 ve | – |

| – |

8 6 4

6 4 8

<

<

A noktas›ndaki kar›nca 8 m, B noktas›ndaki 2 m yolald›¤›ndan buluflamazlar.

8 + 2 > 6 ve | – |

| – |

8 6 2

6 2 8<

=

Örnek: Afla¤›da ikifler kenar uzunluklar› belirtilen üçgenlerde verilmeyen kenar uzunluklar›n›n alabi-lece¤i tam say› de¤erlerini inceleyelim:

a) |AB| = 3 br

|BC| = 7 br

|AC| = ?

b) |DE| = 4 br

|EF| = 8 br

|DF| = ?

85

• Defterinize genifl aç›l› bir üçgen çiziniz.

� Çizdi¤iniz genifl aç›l› üçgenin kenarlar› aras›nda büyükten küçü¤e do¤ru bir s›ralama yaparsan›zen büyük kenar hangi aç›n›n karfl›s›nda bulunur? Nedeniyle aç›klay›n›z.

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak bir üçgenin iç aç›lar› ile bu aç›lar›n karfl›lar›nda bulunan ke-narlar aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Defterinize çeflitkenar bir üçgen çiziniz.

• Çizdi¤iniz üçgenin kenar uzunluklar›n› cetvelle ölçünüz.

• Ölçtü¤ünüz kenarlara 1, 2, 3 numaralar›n› vererek büyükten küçü¤edo¤ru s›ralay›n›z.

• Çizdi¤iniz üçgenin iç aç›lar›n›n ölçülerini aç›ölçerle belirleyiniz ve herbir aç›y›, karfl›s›ndaki kenar›n numaras› ile numaraland›r›n›z.

• Ölçtü¤ünüz aç›lar›, aç› ölçülerine göre büyükten küçü¤e do¤ru s›rala-y›n›z.

� Aç›lar aras›ndaki s›ralama ile bu aç›lar›n karfl›lar›ndaki kenarlar ara-s›nda yap›lan s›ralamada nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Defterinize dik aç›l› bir üçgen çiziniz.

� Çizdi¤iniz dik aç›l› üçgende yukar›daki ifllemleri yapt›¤›n›zda en bü-yük kenar hangi aç›n›n karfl›s›nda bulunur?

a)

b)

|7 – 3| < x < 7 + 3

⇒ 4 < x < 10 oldu¤undan x’in alabi-lece¤i tam say› de¤erleri 5, 6, 7, 8 ve9’dur.

|8 – 4| < y < 8 + 4

⇒ 4 < y < 12 oldu-¤undan y’nin alabilece-¤i tam say› de¤erleri 5,6, 7, 8, 9, 10, 11’dir.Üçgende Kenar-Aç› ‹liflkisi

Araç ve gereç: Cetvel, aç›ölçer, defter, kalem

86

Örnek: Afla¤›da verilen üçgenin kenar uzunluklar› ve aç›lar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim:

Önce katlama yaparak kenar uzunluklar›n› karfl›laflt›ral›m.

Yapt›¤›m›z ifllemlerden sonra ’nin kenarlar›n›n uzunluklar› aras›nda flöyle bir karfl›laflt›r-

ma yapabiliriz: |AC| < |AB| < |BC| veya |BC| > |AB| > |AC|

ABCT

’nde kenar uzunluklar› aras›nda |AC| < |AB| < |BC| ve aç›lar› aras›nda

m(B) < m(C) < m(A) s›ralamas› oldu¤undan, küçük aç›n›n karfl›s›nda en k›sa kenar, büyük aç›n›nkarfl›s›nda en uzun kenar›n bulundu¤u görülür.

ABCT

fiimdi de üçgenin köflelerini üst üste çak›flt›ral›m:

|AC| < |BC| |AB| < |BC| |AC| < |AB|veya veya veya

|BC| > |AC| |BC| > |AB| |AB| > |AC|

C

A

B

A

C C C

B B B

A A

A

A

C

C

A

B

123 123

A C

A C B

A, B ve C’n›

m(A) > m(C) > m(B)

biçiminde veya

m(B) < m(C) < m(A)bir s›ralama yapabiliriz.

Üç aç›y› da üst üste çak›flt›ra-rak aralar›ndaki s›ralamay› görelim.

m(A) > m(C) m(C) < m(B)veya;

m(C) < m(A) m(B) < m(C)

Bir üçgende büyük kenar karfl›s›nda büyük aç›, küçük kenar karfl›-s›nda küçük aç› bulunur. Yani kenarlar aras›ndaki s›ralama ile kenar-lar›n karfl›s›ndaki aç›lar aras›ndaki s›ralama ayn›d›r.

a > b > c ise m(A^) > m(B

^) > m(C

^) olur.

A

B a

c b

C

87

Örnek: Afla¤›da aç› ölçüleri ve kenar uzunluklar› verilen üçgenlerin kenarlar› ile aç›lar› aras›ndakiiliflkiyi inceleyelim:

Örnek: Yanda verilen A aç›s›n›n ölçüsü en büyük-

tür. Buna göre |BC| = x de¤erinin alabilece¤i tam say› de¤erleri-ni inceleyelim:

|6–5| < x < |6+5| ⇒ 1 < x < 11’dir.

Ayr›ca;

'ABC ndeT

P

R S3 cm

60°

60° 60°

3 cm 3 cm

K

A R4 cm37°

53°

3 cm5 cm

E F

D

30°30°

120° 2 cm2 cm

Bir dik üçgende birbirini dik kesen kenarlara dik kenarlar, dik aç› karfl›s›ndakikenara hipotenüs denir.

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunlu¤u en büyüktür.Dik

ken

ar

Dik kenar

Hipotenüs

2 3

Örne¤i inceledi¤imizde üçgende efl kenarlar karfl›s›nda efl aç›lar oldu¤u görülmektedir.

CB

D

a

Ae

60°

b

dc

65°

45°

70°50°80°

m(A^

) > m(B^) ve m(A

^) > m(C

^)’dir.

a < b < c ve c < d < e oldu¤undan a < b < c < d < e elde edilir.

Buna göre en uzun kenar |AD| = e kenar› ve en k›sa kenar |AB| = a kenar›d›r.

A^’n›n ölçüsü en büyüktür. En büyük aç› karfl›s›nda en uzun kenar bulunaca¤›ndan

x > 5 cm ve x > 6 cm’dir.

1 < x < 11 ve x > 6 oldu¤undan 6 < x < 11’dir.

x’in alaca¤› tam say› de¤erleri 7, 8, 9, 10 olarak elde edilir.

fiekilde verilenlere göre en uzun ve en k›sa kenarlar› bu-lal›m:

oldu¤undan c > b > a’d›r.

oldu¤undan e > d > c’dir.m C A Dm m> >^ ^ ^_ _ _i i i'ACD nde

T

m B A Cm m> >^ ^ ^_ _ _i i i'ABC nde

T

Örnek

xB C

5 cm

A

6 cm

m(P^) = m(R

^) = m(S

^) m(E

^) = m(F

^) < m(D

^) m(R

^) < m(K

^) < m(A

^)

ve ve ve|RS| = |PS| = |PR|’dur. |DF| = |ED| < |EF|’dur. |AK| < |AR| < |KR|’dur.

88

87°

20°

55°

80°

R

E

Z ‹

8 < 9 < 11 oldu¤undan

m(D^) < m(E

^) < m(A

^)’d›r.

2 < 6 = 6 oldu¤undan

m(C^) < m(B

^) = m(A

^)’d›r.

Buna göre < oldu¤u görülür.ABC%DA E

^

'ABC nde&

'ADE nde&

|6 – 4| < x < 4 + 6 ⇒ 2 < x < 10 bulunur.

|7 – 3| < x < 7 + 3 ⇒ 4 < x < 10 bulunur. Buna göre x’in

alaca¤› de¤erler 4 < x < 10 olarak elde edilir.

'BDC ndeT

'ABC ndeT

Örnek: Kenar uzunluklar› |AB| = 4 br, |BD| = 3 br, |DC| = 7 cm, |AC| = 6 br olan ABDC dörtgenindeBC uzunlu¤unun alabilece¤i de¤erleri inceleyelim:

AB

C

D E

1. Afla¤›da verilen uzunluklardan hangileri bir üçgenin kenar uzunluklar› olabilir?I. 4 cm II. 2,7 cm III. 3 cm IV. 1 cm V. 6,1 cm

3 cm 3,1 cm 6 cm 1 cm 6,2 cm6 cm 5 cm 9 cm 4 cm 6,3 cm

A. I, II, IV B. I, II, III, IV C. I, II, III, V D. II, III, IV, V

2. Resimde verilen geometri fleritleri,hangi uzunluktaki geometri fleritleri ilebirlefltirilirse üçgenler elde edilir?

A

B

DC

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

Örnek: Resimdeki üçgenlerde ile ’n› karfl›laflt›ral›m:ADE%

ABC%

3. Yanda verilenlere göre [AB]’n›n alaca¤› en büyük ve en

küçük tam say› de¤erleri toplam› kaç birimdir?

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

4. Yanda verilenlere göre en uzun kenarhangisidir?

A. [Z‹] B. [ZR] C. [R‹] D. [ER]


A

B

ÖÇK s. 53, 54,55, 56

89

• Uzunlu¤u 7 cm olan bir[AB] çiziniz.

• Pergelinizin ucunu A nok-tas›na bat›r›p yar›çap› 5 cmolan bir yay çiziniz.

• Pergelinizin ucunu B nok-tas›na bat›r›p yar›çap› 4 cmolan ve ilk çizdi¤iniz yay› kesenbir yay çiziniz.

• Yaylar›n kesim noktas›n› Colarak belirleyiniz.

• Yaylar›n kesiflti¤i C nokta-s›n›, A ve B noktalar› ile birlefl-

tirerek

� Sadece iki kenar uzunlu-¤u bilinen bir üçgen çizilebilirmi? Aç›klay›n›z.

� Yaz üçgeninde üç y›ld›-z›n bulundu¤u noktalar› birlefl-tirdi¤imizde üçgen oluflmas›için kenarlar aras›nda sizce na-s›l bir iliflki olabilir? Tart›fl›n›z.

' fl .ABC ni olu turunuz&

2. BÖLÜM ÜÇGEN ÇİZİMİ VE ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR

Kenar Uzunluklar› Verilen Üçgeni Çizme

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem, pergel, cetvel

Yaz üçgeni, tak›my›ld›zlardan Çalg›’n›n Vega, Ku¤u’nunDeneb, Kartal’›n Altair parlak y›ld›zlar›yla oluflan hayalî bir üç-gendir.

Haziran - kas›m aylar› aras›nda akflam gökyüzünde gözle-nir.

Bafl›m›z› kald›rd›¤›m›zda ilk gördü¤ümüz en parlak üç y›l-d›zdan oluflur. Di¤er yaz tak›my›ld›zlar›n› kolayca bulmam›z›sa¤lar.

� Resimde verilenlere göre sizce yaz üçgenini çizmek is-tedi¤imizde üçgenin hangi temel elemanlar›na ihtiyaç vard›r?

1 2

Yaz Üçgeni

Vega

Deneb

Altair

Çalg›

Ku¤u

3 4

5 6

90

Örnek: Foto¤rafta verilen üçgen biçimindeki park›nkenar uzunluklar› 65 m, 49 m ve 33 m’dir.

Park›n oluflturdu¤u üçgeni 1 m’yi 0,1 cm alarak çizelim.

Buna göre oluflan üçgenin kenar uzunluklar›n› 65 m → 6,5 cm, 49 m → 4,9 cm ve 33 m → 3,3 cm olarakal›r›z.

6,5 cm olan kenar uzunlu¤unu çizelim.

A noktas›ndan yar›çap› 4,9 cm ve B noktas›ndan yar›-çap› 3,3 cm olan yaylar› bir C noktas›nda kesiflecek biçim-de çizelim.

A B

A

C

B

A noktas›ndan yar›çap› 2,5 cm olan veT noktas›ndan yar›çap› 3,8 cm olan bireryay çizelim. Yaylar›n kesiflim noktas›n› Kolarak adland›ral›m. K noktas›n›, A ve Tnoktalar› ile birlefltirelim.

Örnek: Yanda dilsiz Türkiye haritas›ndan al›nanbir kesit üzerinde Ankara ve Tokat merkezleri göste-rilmifltir.

Harita kesitinde Ankara–Tokat merkezleri aras›4,6 cm, Ankara–Kastamonu merkezleri aras› 2,5 cmve Tokat–Kastamonu merkezleri aras› 3,8 cm’dir.Kastamonu ilinin merkezini belirleyip köfleleri bu ille-rin merkezi olan üçgeni olufltural›m.

4,6 cmA

T

4,6 cm

3,8 cm2,5 cm

A

K

TElde edilen köfleleri Ankara,

Kastamonu ve Tokat merkezleri olan bir üç-gendir.

,AKTT

‹lleri birer harfle adland›ral›m.

Ankara → A, Tokat → T, Kastamonu → K olsun.

|AT| = 4,6 cm, |TK| = 3,8 cm ve |AK| = 2,5 cm

AnkaraTokat

K A R A D E N ‹ Z

K A R A D E N ‹ Z

K A R A D E N ‹ Z

B

A

C

A, B ve C noktalar›n› birlefl-

tirerek .' fl ›ABC ni olu tural m&

A

C

B

91

Örnek: Dilsiz Türkiye haritas›ndan al›nan bir kesit üzerinde Samsun ve ‹stanbul aras›ndaki uzakl›kdo¤ru parças› ile belirtilmifltir. Bu do¤ru parças›na göre Samsun’dan kalkan bir uçak 26° lik aç› ile, ‹s-tanbul’dan hareketlenen uçak ise 24° lik aç› ile uçtu¤una göre iki uça¤›n birleflti¤i merkezi bulal›m.Köfleleri bu merkezler olan üçgeni çizelim.

Aç›ölçeri ‹ noktas›na koyup do¤ru parças›na göre 24°, S noktas›na koyup 26° yi iflaretleyelim. Son-ra bu aç›lar›n ortak olmayan kenarlar›n›n kesiflim noktas›na A diyelim.

• A ve B aç›lar›n›n ortak olmayan kenarlar›n›n kesiflim noktas›n› C olarak adland›r›n›z.

• C noktas›n› A ve B noktalar› ile birlefltirerek

� Yaln›z üç aç›s›n›n ölçüsü verilen bir üçgen çizilebilir mi? Aç›klay›n›z.

' ç .ABC ni izinizT

• Cetvelinizle |AB| = 5 cm olan [AB] çiziniz.

• Aç›ölçer ile B noktas›nda bir kenar› [AB] olan 60°lik B aç›s›n› çiziniz.

• Aç›ölçer ile A noktas›nda bir kenar› [AB] olan 40°lik A aç›s›n› çiziniz.

11,4 cm‹stanbul Samsun

‹ S

A

‹stanbul → ‹,Samsun → S

24° 26°

Bir Kenar Uzunlu¤u ile ‹ki Aç› Ölçüsü Verilen Üçgeni Çizme

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem, cetvel, aç›ölçer

K A R A D E N ‹ Z

K A R A D E N ‹ Z

MARMARADEN‹Z‹

MARMARADEN‹Z‹

92

A B

C

40° 50°

A B A B

C

40° 50°

Elde etti¤imiz üçgen, bir kenar› 11,4 cm ve iki aç›s› 24° ve 26° olan olur. ‹fllemi hari-

ta üzerinde yapt›¤›m›zda uçaklar›n kesiflim noktalar›n›n Ankara merkezi oldu¤unu görürüz.

O hâlde elde etti¤imiz köfleleri Ankara, ‹stanbul ve Samsun merkezleri olan bir üçgendir.‹A ST

‹A ST

• Aç›ölçer ölçüsü 70° olan B^’n› çiziniz.

• Çizdi¤iniz B^

’n›n kenarlar› üzerinde |AB| = 5 cm ve|BC| = 7 cm olan A ve C noktalar›n› iflaretleyiniz.

• A ve C noktalar›n› birlefltirerek olufl-turunuz.

� B aç›s›n›n ölçüsü bilinmeseydi

oluflturabilir miydiniz? Aç›klay›n›z.

� Önceki etkinliklerdeki yap›lan ifllemlerdende yararlanarak bir üçgeni çizebilmek için hangielemanlar›n verilmesi gerekti¤ini belirtiniz.

'ABC niT

ABCT

Örnek: Afla¤›da ölçüleri verilen üçgenleri çizelim:a) |AB| = 2 cm, |BC| = 4 cm, |AC| = 5 cm Önce |AC| = 5 cm çizelim:

A noktas›ndan 2 cm, C noktas›ndan 4 cm uzakl›kta kesiflen yaylar çizelim. Kesiflim noktas›na B di-

yelim. B noktas›n› A ve C noktalar› ile birlefltirip olufltural›m.'ABC niT

A C A C

B

A C

B

Aç›ölçeri s›ras›yla A ve Bnoktalar›na koyarak 40° ve50°lik aç›lar olufltural›m.

Aç›lar›n ortak olmayan ke-narlar›n› kesifltirip, kesim noktas›-

na C diyelim ve çizelim.'ABC niT

Elde edilen , C aç›s› 90° olan bir dik üçgendir.ABCT

Kenar uzunluklar› |AB| = 2 cm, |AC| = 5 cm ve |BC| = 4 cm olan elde ederiz.

b) |AB| = 5 cm, m(A^) = 40°, m(B

^) = 50°

'ABC niT

‹ki Kenar Uzunlu¤u ile Bu Kenarlar Aras›nda-

ki Aç›s› Verilen Üçgeni Çizme

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem, aç›ölçer, cetvel

5 cm uzunlu¤undaki[AB]’n› çizelim.

93

• Kâ¤›d›n›za dik aç›l› bir üçgen çiziniz.

• Gönye ile üçgenin her bir köflesinden karfl› kenar› dik kesen do¤ru parçalar› çiziniz.� Dar aç›lar›n bulundu¤u köfleler-

den çizilen dik do¤ru parçalar› ile dikkenarlar aras›nda nas›l bir iliflki vard›r?Aç›klay›n›z.

� Kenarlar› dik kesen do¤ru parça-lar›n›n ortak noktas› var m›d›r? Varsahangi noktad›r?

70°

A

70°

A

T fi

3 cm 5 cm

70°

A

T fi

3 cm 5 cm

c) |TA| = 3 cm, |Afi| = 5 cm ve m(A) = 70°

Elde edilen üçgen, kenar uzunluklar› 3 cm, 5 cm ve bu kenarlar aras›ndaki aç›n›n ölçüsü 70° olanbir üçgendir.

Ölçüsü 70° olan bir Aaç›s› çizelim.

A aç›s›n›n kenarlar›üzerinde |TA| = 3 cm ve|Afi| = 5 cm olan T ve finoktalar›n› iflaretleyelim.

T ve fi noktalar›n› bir-

lefltirip ’ni olufltural›m.fiTAT

Üçgende Yükseklik

Araç ve gereç: Kâ¤›t, kalem, pergel, cetvel, aç›ölçer, gönye

• Kâ¤›d›n›za dar aç›l› çeflitkenar bir çiziniz.

• Gönye ile üçgenin her bir köflesinden karfl› kenar› dik kesen do¤ru parçalar› çiziniz.

� Kenarlar› dik kesen do¤ru parçalar›n›n ortak noktas› var m›d›r? Varsa bu nokta üçgenin hangi böl-gesindedir? Belirleyiniz.

ABCT

• Kâ¤›d›n›za genifl aç›l› bir üçgen çiziniz.

• Gönye ile üçgenin her bir köflesinden karfl› kenar› veya kenar›n uzant›s›n› dik kesen do¤ru parça-lar› çiziniz.

� Kenarlar› veya kenarlar›n uzant›lar›n› dik kesen do¤rular›n ortak noktas› var m›d›r? Varsa bu nok-ta, üçgenin hangi bölgesinde bulunur?

94

Örnek: Geometri fleritleriyle oluflturulan üçgenlerde kenarlara aityükseklikleri inceleyelim:

Üçgende yükseklik, köflelerin karfl›lar›ndaki kenara olan uzakl›¤› veya köflelerden karfl›kenara indirilen dikme (do¤ru parças›) olarak adland›r›l›r.

Dar aç›l› üçgende yük-seklikler üçgenin iç bölgesin-deki bir noktada kesiflir.

Dik aç›l› üçgende yük-seklikler dik aç›n›n bulun-

du¤u köflede kesiflir.

Paralel do¤rular efl uzak-l›kl› do¤rular oldu¤undan, köfle-den geçen ve karfl› kenara pa-ralel olan do¤ru üzerindeki her-hangi bir noktadan, karfl› kenaraçizilen dikme de yüksekliktir.

Bu yüzden genifl aç›l›üçgenlerde yüksekliklerdenikisi üçgenin d›fl›nda kal›r.

Genifl aç›l› üçgenlerdeyüksekliklerin uzant›lar› üçge-nin d›fl bölgesinde bir noktadakesiflir.

• Kâ¤›d›n›za her bir kenar› 2 cm’den uzun olan bir üçgen çiziniz.

• Üçgenin herhangi bir köflesini belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz köfleden geçen kenarlar üzerinde köfleden 2 bruzakl›kta birer nokta belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz noktalardan üçgenin iç bölgesine pergelle eflit ya-r›çapl› birer yay çiziniz.

• Bu yaylar›n kesiflim noktas›n› belirleyiniz.

• Cetvelle belirledi¤iniz bu nokta ve belirledi¤iniz köfleden geçenbir do¤ru çiziniz.

• Köflede oluflan aç›lar›n ölçülerini belirleyiniz.

� Bu aç›lar›n her birinin ölçüsü ile köfledeki aç›n›n ölçüsü aras›n-da nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Ayn› ifllemi üçgenin di¤er köfleleri için de uygulay›n›z.

• Elde etti¤iniz do¤rular›n kesim noktas›n› belirleyiniz.

� Bu nokta üçgenin hangi bölgesindedir?

� Bu noktan›n üçgenin kenarlar›na olan dik uzakl›klar› hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

Üçgende Aç›ortay

Araç ve gereç: Kâ¤›t, pergel, aç›ölçer, cetvel

95

K

L M50° 60°

70°

R

P

K

L M50° 60°

70°

R

P

S

K

L M50° 30°

70°

R

P

S 30°

V

K

L M60°

70°

D

E

50°

K

L M60°

70°

D

E

F50°

E

K

L M

25°60°

70°

D

F25°

Y

Bir üçgende bir iç aç›y› iki efl parçaya ay›ran aç›n›n bulundu¤u köfleyi karfl›s›ndaki kenarlabirlefltiren do¤ru parças›, aç›n›n aç›ortay› olarak adland›r›l›r.

Örnek: Yanda verilen köflelerindeki aç›lar› iki efl

parçaya bölen do¤ru parçalar›n› çizelim:

'KLM ninT

Oluflan aç›lar›n ölçülerini ölçtü¤ümüzde m(AK^C) = m(CK

^B) = 35° oldu¤u görülür.

K

L M50° 60°

70°A B

K

L M50° 60°

70°

C

A B

K

L M50° 60°

35°35°

C

N

A B

K

L M50° 60°

70°

E ve D noktalar›nda üç-genin iç bölgesine efl yar›-çapl› yaylar çizip, yaylar›nkesim noktas›na F diyelim.

Oluflan aç›lar›n ölçülerini ölçtü¤ümüzde m(EL^F) = m(FL

^D) = 25° oldu¤u görülür.

|MP| = |MR| olacak bi-çimde P ve R noktalar›n›alal›m.

[MS]’n› çizelim. [MS]’n›n[KL]’n› kesti¤i noktaya V diye-lim. [MV] aç›ortayd›r.

Oluflan aç›lar›n ölçülerini ölçtü¤ümüzde m(PM^S) = m(SM

^R) = 30° oldu¤u görülür.

P ve R noktalar›nda eflyar›çapl› yaylar çizip yaylar›nkesim noktas›na S diyelim.

[LF]’n› çizelim. [LF]’n›[KM]’n›n kesti¤i noktaya Y diyelim. [LY] aç›ortayd›r.

|LD| = |LE| olacak biçim-de E ve D noktalar›n› belirle-yelim.

|AK| = |KB| olacak bi-çimde A ve B noktalar›n› be-lirleyelim.

A ve B noktalar›ndan üç-genin iç bölgesine efl yar›çapl›yaylar çizelim. Yaylar›n kesi-flim noktas›na C diyelim.

[KC]’n› çizelim.[KC]’n›n [LM]’n› kesti¤i nok-taya N diyelim. Elde edilen[KN] aç›ortayd›r.

96

Yap›lan ifllemleri tek üçgen üzerinde inceleyelim: K

L M25° 30°

35°

T 30°25°

35°Y

N

VBir üçgende üç iç aç›ortay, noktadaflt›r. Yani ayn›noktadan geçerler.

Aç›ortay üzerinde al›nan bir noktadan,aç›n›n kollar›na çizilen dik uzakl›klar birbirleri-ne eflittir.

Örnek: fiekildeki geometri fleritleri ile oluflturu-

lan ’nde A noktas›na eflit uzakl›ktaki noktalar-

dan [AC] ve [BC] kenar›na dikmeler ç›kal›m.

BA CT

A köflesinden [BC] kenar›na E, K, V nokta-lar›ndan geçen do¤ru parças› çizdi¤imizde A aç›-s›n›n aç›ortay›n› elde ederiz.

fiekli inceledi¤imizde;

|GE| = |EF| = 3 br,

|KM| = |KL| = 5 br ve

|VZ| = |VY|= 7 br oldu¤u görülür.

A

A

B

B

C

C

E

K

LM

V

YZ

FG

• Geometri fleritleri ile çeflitkenar bir üçgen oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz üçgeni flekildeki gibi geometri fleritlerinin iç k›sm›ndankâ¤›d›n›za çiziniz.

• Oluflturdu¤unuz üçgenin kenarlar›n›n orta noktalar› ile karfl›s›ndaki köfleleri geometri fleritleri ilebirlefltiriniz. Geometri fleritlerinin oluflturdu¤u do¤ru parçalar›n› çiziniz.

� Bu do¤ru parçalar› üçgenin hangi bölgesinde kalmaktad›r?

� Bu do¤ru parçalar›n›n kesiflim noktas›, üçgenin hangi bölgesindedir?• Geometri fleritleri ile yeni bir üçgen oluflturunuz.• Oluflturdu¤unuz üçgenin kenarlar›n›n orta noktalar›nda geometri fleritleri ile dikmeler oluflturunuz.

� Bu dikmeler karfl› köfleden geçmek zorunda m›d›r? Aç›klay›n›z.

� Bu dikmeler ile kenarlar›n orta noktalar›n› köflelerle birlefltiren do¤ru parçalar› aras›ndaki fark ne-dir? Aç›klay›n›z.

• Ayn› ifllemleri ikizkenar ve eflke-nar üçgenler için de yap›n›z.

� Hangi üçgenlerde kenarlar›n or-ta noktas›ndan çizilen dikme ile kenar-lar›n orta noktas›-n› karfl› köfleyebirlefltiren do¤ruparçalar› ayn›d›r?Aç›klay›n›z.

Üçgende Kenarortay ve Kenar Orta Dikme


97

Örnek: Afla¤›da verilen kenarlar›n›n orta noktalar›n› karfl›lar›ndaki köflelerle birlefltirelim: 'ABC ninT

A

B C

ED

F

A

B C

ED

F

A

B C

ED

F

A

B C

ED

F

M

K L

|AE| = |EC| ve |BE| = Vb

|BF| = |FC| ve |AF| = Va

|BD| = |DA| ve |CD| = Vc d›r.

[MF] ⊥ [BC], [KE] ⊥ [AC], [DL] ⊥ [AB]

Kenarlar›n orta noktalar›n›belirleyelim:

kenarlar›n›n orta

noktalar›n› belirleyip, bu nok-talardan kenarlara dikmelerçizelim.

'ABC ninT

[AF], [BE] ve [CD]’n› çizelim.

Bir üçgende bir köfleyi karfl› kenar›n orta noktas› ile birlefltiren do¤ru parças›, o kenara ait ke-narortayd›r. Kenarortaylar üçgenin iç bölgesinde noktadaflt›rlar.

Örnek: kenarlar›n orta noktalar›ndan kenarlara çizilen dikmeleri inceleyelim:'ABC ndeT

Bir üçgende kenarlar›n orta noktalar›ndan kenarlara çizilen dikme, kenar orta dikme olarakadland›r›l›r.

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

D

E

F

D

E

F

D

E

F

D

E

F

M N

Örnek: Afla¤›da verilen ikizkenar üçgenin, aç›ortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikmeleri-ni gösterelim:

m AB m CBF

m BAE m CAE

m BCD m ACD

F^ ^

^ ^

^ ^

=

=

=

_ _

_ _

_ _

i i

i i

i i

|AF| = |FC|

|AD| = |DB|

|BE| = |EC|

AC

A

BC AE

BF

B CD=

=

=5 5

5 5

5 5

? ?

? ?

? ?

AC F

A

C

M

B ND

B AE

=

=

=

5 5

5 5

5 5

? ?

? ?

? ?

98

|AB| = |AC| oldu¤u için , ikizkenar üçgendir. ‹kizkenar üçgende tabana ait yükseklik,

aç›ortay, kenarortay ve kenar orta dikme, ayn› do¤ru parças›d›r.

ABCT

1. Afla¤›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?• Üç kenar uzunlu¤u verilen bir üçgen çizilebilir.• Üç iç aç› ölçüsü verilen bir üçgen çizilebilir.• ‹ki kenar uzunlu¤u ve bu kenarlar aras›ndaki aç›n›n ölçüsü verilen üçgen çizilebilir.• ‹ki aç›s›n›n ölçüsü ve bu aç›lar›n ortak kenar uzunlu¤u bilinen üçgen çizilebilir.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. Afla¤›da elemanlar› verilen üçgenleri çiziniz.

a) a = 3 cm b) a = 5 cm c) m(A^) = 55° ç) a = 5 cm d) a = 3 cm

b = 4 cm b = 7 cm m(B) = 65° b = 5 cm b = 4 cm

c = 2 cm m(C^) = 70° |AB| = 8 cm c = 5 cm m(C

^) = 90°

3. Afla¤›da verilen ifadelerde do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.

(.....) Bir üçgende kenarortaylar üçgenin iç bölgesinde noktadaflt›r.

(.....) Bir üçgende yükseklikler üçgenin iç bölgesinde noktadaflt›r.

(.....) Bir üçgende aç›ortaylar›n uzunluklar› birbirlerine eflittir.

4. Afla¤›da verilen üçgenlerin aç›ortaylar›n›, kenarortaylar›n›, yüksekliklerini ve kenar orta dikmeleri-ni çiziniz.

D

a)

CB

D

b)

FE

Kc)

ML

Pç)

SE

Eflkenar üçgende her kenara ait kenarortay, aç›ortay, yükseklik ve kenar orta dikmelerayn› do¤ru parçalar›d›r.

L M

K

60°

60° 60°

30°30°

30°30°

30°30°

L M

K

Z Y

V L M

K

E

F

V

L M

K

C

B

A

Örnek: Afla¤›da verilen eflkenar üçgende aç›ortay, kenarortay, yükseklik ve kenar orta dikmeleriinceleyelim.

Aç›ortaylar Kenarortaylar Yükseklikler Kenar orta dikmeler


ÖÇK s. 57, 58,59

99

3. BÖLÜM ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

Örnek: Afla¤›da geometri fleritleriyle oluflturulan üçgenlerin eflli¤ini inceleyelim:

|KA| = |F‹| = 7 br → [KA] ≅ [F‹]

|AR| = |‹fi| = 5 br → [AR] ≅ [‹fi]

IRKI = |fiF| = 6 br → [RK] ≅ [fiF]

oldu¤undan, üçgenleri efl kenarlar› üstüste gelecek biçimde çak›flt›rd›¤›m›z› dü-flünelim.

A

F

A

CB

F

E

D

K‹ fi

R

Üçgenlerde Efllik

Araç ve gereç: Geometri fleritleri, aç›ölçer

Ölçek:

Yeryüzünün tamam›n›nveya bir bölümünün tam te-peden görüntüsünün, bir öl-çekle düzleme aktar›lmas›naharita denir. Bir çizimin veyafleklin harita özelli¤i tafl›ya-bilmesi için flu özelliklerin bu-lunmas› gerekir:

• Gösterilecek yerin belirlibir ölçekle küçültülmüfl olmas›,

• Kufl bak›fl› görünüfl sa¤-lam›fl olmas›,

• Bir düzleme aktar›lm›flolmas›.

Haritalar›n ölçekleri büyüdükçe ayr›nt›lar› göstermeözelli¤i de artmaktad›r.

Mesela 1/7 700 000 ölçekli haritada görülebilen detaylar1/16 500 000 ölçekli haritada görülemeyecektir.

�‹ki farkl› ölçekli Türkiye haritas›nda Ankara–Eskifle-

hir–Bolu il merkezlerini birlefltirerek üçgen oluflturunuz. Olufl-

turdu¤unuz üçgenlerde ne gibi efllik ve benzerlikler vard›r?

• Geometri fleritleriyle yanda foto¤raflar› verilen üçgen modellerinioluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz üçgen modellerini resimlerdeki gibi isimlendiriniz.

• Oluflan üçgenlerin kenar uzunluklar›n› karfl›laflt›r›n›z.

• Üçgenlerin iç aç›lar›n›n ölçülerini belirleyiniz.

• Resimdeki üçgenler aras›ndaki eflli¤i olarak yaz›n›z.

• Yaz›lan bu efllikte üçgenlerin kenar uzunluklar›ndan ve aç› ölçüle-rinden nas›l yararlan›lm›fl olabilir?

• Efl olan kenarlar› birbirine oranlayarak bir orant› oluflturunuz.

� Oluflturdu¤unuz orant›y›, üçgenlerin benzerli¤inden yararlanarakk›sa yoldan nas›l yazabilirsiniz?

ABC DEF,9 9

1—————7 700 000

Ölçek: 1

—————16 500 000

100

biçiminde bire bir eflleme yapabiliriz.

K^

≅ F^, A

^≅ ‹

^R^

≅ fi^

Üçgenlerin köfleleri aras›nda

,

O hâlde bu üçgenler efl üçgenlerdir. Bu eflli¤i eflaç›lar ve efl kenarlar aras›ndaki bire bir eflleme

yard›m›yla biçiminde yapabiliriz.‹fiKAR F,T T

^ ^ ^

‹ki üçgen verildi¤inde, bu üçgenlerin elemanlar› aras›nda yap›lan bire bir efllemede karfl›l›k-l› kenar uzunluklar› eflit ve karfl›l›kl› aç›lar› efl ise bu üçgenler efl üçgenlerdir. Efl üçgenlerin ya-z›l›fl› s›ras›nda efl aç›lar›n ve efl kenarlar›n yaz›l›fl s›ras› önemlidir.

Kenar-Aç›-Kenar (KAK) Efllik fiart›

Araç ve gereç: Kâ¤›t, makas, aç›ölçer, cetvel

Örnek: Afla¤›da geometri fleritleriyle oluflturulan KLMN paralelkenar›n› NL köflegeni boyunca ay›-rarak oluflan üçgensel bölgelerin eflli¤ini inceleyelim:

[ ] [ ] , , [ ] [ ]KN ML L N K M K M KL MN N L" * " * " *, , ,T T

|KN| = |ML| = 4 br oldu¤undan [KN] = [ML]

|KL| = |MN| = 3 br oldu¤undan [KL] = [MN]

oldu¤undan K^

≅ M^

’d›r.°m NKL LMNm 60= =_ _i i% %

‹ki üçgenin, ikifler kenar uzunluklar› ve bu kenarlar›n dâhil ettikleri aç›lar›n ölçüleri eflit isebu üçgenler efl üçgenlerdir. Bu eflli¤e kenar aç› kenar (KAK) efllik flart› denir.

biçiminde olur.¤ üç › fl fl › ( )oldu undan genler aras ndaki e lik art LKN NML KAK,T T

M

NN

LL

KK

M

Bu efllikler yard›m›yla üçgenlerin ölçüleri bili-nen elemanlar› aras›nda bire bir eflleme yapal›m:

• Kâ¤›da, kenar uzunluklar› 7 cm ve 5 cm olan ve kenarlar› aras›ndaki aç›-s›n›n ölçüsü 70° olan bir paralelkenar oluflturunuz.

• Bu paralelkenar› isimlendiriniz.

• ‹simlendirdi¤iniz paralelkenar› ölçmedi¤iniz aç› ölçüsünün bulundu¤u kö-fleler boyunca kesip iki üçgensel bölge oluflturunuz.

• Oluflan üçgensel bölgeleri üst üste getirip çak›flt›r›n›z.

• Çak›flt›rd›¤›n›z üçgenlerin eflli¤ini verilen kenarlar ve aç› ölçüsünden ya-rarlanarak yaz›n›z.

� Bu eflli¤i üçgenlerin hangi kenarlar›ndan ve hangi aç› ölçüsünden ya-rarlanarak yazd›n›z? Aç›klay›n›z.

101

• Resimde verilen üçgeni inceleyiniz.• Üçgenin hangi uzunlu¤unun verildi¤ini belirleyiniz.• Üçgenin hangi kenarlar› aras›ndaki aç›lar›n›n ölçülerinin verildi-

¤ini belirleyiniz.• Geometri fleritlerinden resimdeki gibi bir üçgen oluflturunuz.• fieritlerden oluflturdu¤unuz üçgene efl üçgenler oluflturmaya ça-

l›fl›n›z.• Efl üçgenler olufltururken nas›l bir sonuçla karfl›laflt›¤›n›z› aç›k-

lay›n›z.• Verilen ölçüleri de¤ifltirmeden efl üçgenler oluflturabildiniz mi?• Buna göre oluflturdu¤unuz bu üçgenlerin efllik flart›n› nas›l aç›klayabilirsiniz?� Bu üçgenlerin eflli¤ini, hangi kenar ve hangi aç› ölçülerinden yararlanarak gösterebilirsiniz? Bu-

na göre nas›l bir sonuç ç›karabilirsiniz?

Örnek: 5 cm uzunlu¤unda iki fleridin birer uçlar›ndan 40°lik, di¤er uçlar›ndan 70°lik aç›lar çizerekoluflturulan üçgenlerin eflli¤ini inceleyelim:

Üçgenlerin ölçüleri bilinen elemanlar› aras›nda yap›lan bire bir eflleme yard›m›yla aralar›ndaki eflli¤i

biçiminde yazabiliriz.ACB DFE,O O

( ) ( ) ° ¤

| | | | ¤ [ ] [ ]

( ) ( ) ° ¤

' .

m A m D oldu undan

A D A DAB DE oldu undan AB DE

m B m E oldu undan

B E B E dir

40

70

^ ^

^ ^

^ ^

^ ^

" *

" *

,

,

,

= =

=

= =

‹ki üçgenin, karfl›l›kl› ikifler aç›lar› ve bu aç›lar›n ortak kenarlar› efl ise bu üçgenler efl üçgen-lerdir. Bu eflli¤e aç› kenar aç› (AKA) eflli¤i denir.

• 3 br, 5 br ve 7 br uzunlu¤undaki geometri fleritleri ile bir üçgen oluflturunuz.

• Üçgen oluflturdu¤unuz geometri fleritlerine efl geometri fleritleri ile farkl› bir üçgen daha oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz üçgenleri uygun köflelerinden üst üste çak›flt›r›n›z.

� Üst üste çak›flt›rd›¤›n›z üçgenlerin temel elemanlar›n›n bilinen ölçülerinden yararlanarak efl oldukla-r›n› söyleyebilir misiniz? Nedenini aç›klay›n›z.

A

B

C F

5 br

D

E

Aç›-Kenar-Aç› (AKA) Efllik fiart›

Araç ve gereç: Geometri fleritleri, aç›ölçeler

Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eflli¤i


102

Örnek: Afla¤›da geometri fleritleriyle oluflturulan ve aras›ndaki eflli¤i inceleyelim:‹TDT

ZAKT

| | | ‹ | ¤ [ ] [‹ ]

| | | | ¤ [ ] [ ] ‹

| | | ‹ | ¤ [ ] [ ‹] .

AK T br oldu undan AK T Z

KZ T br oldu undan KZ TD A

ZA br oldu undan ZA K T olur

D

D

D D

7

5

4

" *

" *

" *

,

,

,

= =

= =

= =

Örnek

Yukar›daki flekilde verilen ABCD dikdörtgeninin kenarlar›n›n orta noktalar› E, F, G, H’dir.

Buna göre,

aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim:GC ileF EAHT T

|FC| = |HA| (F ile H k›sa kenarlar›n orta noktas›) oldu¤undan [FC] ≅ [HA] → G ↔ E

|GC| = |EA| (E ile G uzun kenarlar›n orta noktas›) oldu¤undan [GC] ≅ [EA] → F ↔ H

oldu¤undan C ↔ A’d›r.

O hâlde, ( ) .GCF EAH KAK olur,T T

°m C Am 90^ ^

= =_ _i i

Karfl›l›kl› köfleler aras›nda yap›lan bu bire

bir efllemeden elde edilir.‹ZAK TD,T T

‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar› birbirine efl ise bu üçgenler efl üçgenlerdir. Bu eflli¤e kenarkenar kenar (KKK) eflli¤i denir.

A B

CD

A EE

F

G

H F

G

H

B

CD

K‹ T

DZ

A

103

• Kâ¤›d›n›z› ikiye katlay›n›z.

• Katlad›¤›n›z kâ¤›d›n üzerine bir üçgen çi-ziniz.

• Üçgeni kenarlar›ndan keserek ç›kar›n›z.

• Elde etti¤iniz iki üçgenden birinin ikikenar uzunlu¤unun orta noktalar›n› belirle-yiniz.

• Belirledi¤iniz orta noktalar› birlefltiriniz.

• Üçgeni, belirledi¤iniz orta noktalar› bir-lefltiren do¤ru parças› boyunca kesiniz. Yenielde etti¤iniz üçgenin iç bölgesini boyay›n›z.

• Küçük üçgeni büyük üçgen üzerine bi-rer efl aç›lar› üst üste gelecek biçimde koyu-nuz.

• Ayn› ifllemi üçgenlerin di¤er efl aç›lar›üst üste gelecek flekilde de yaparak üçgen-lerin efl aç›lar›n› belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz efl aç›lar›n karfl›lar›ndaki kenar uzunluklar›n› belirleyiporanlay›n›z.

� Karfl›l›kl› kenar uzunluklar›n›n oranlar› hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

� Belirledi¤iniz efl aç›lar ve üçgenlerin kenar uzunluklar›n›n oranlar›n-dan yararlanarak bu iki üçgen hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

Örnek: fiekildeki ABC üçgeni ve DEF üçgeni, benzer üçgenler oldu-¤una göre bu üçgenlerin aç›lar› ve kenarlar› aras›ndaki iliflkiyi inceleyelim:

‹ki üçgenin aç›lar› aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda;

¤ ö ü ü .

,

,

m A m D

m B m E

m C m F oldu u g r l r

=

=

=

^ ^

^ ^

^ ^

h h

h h

h h

W WV VW V

Efl aç›lar›n karfl›lar›ndaki kenar uzunluklar› oranland›¤›nda,

dolay›s›yla oldu¤u görülür.ABC DEFcTT

DEAB

EFBC AC

DF= =

A

B C

D

E F

‹ki üçgende, karfl›l›kl› aç›lar efl ve efl aç›lar›n karfl›lar›ndaki kenarlar›n uzunluklar› orant›l› isebu üçgenler benzer üçgenlerdir. Benzerlik “≈” veya “~” sembolleri ile gösterilir.

benzer üçgenler ise bu benzerlik veya biçiminde

gösterilir.

ABC DEF+T T

ABC DEFcT T

ABC ile DEFT T

Üçgenlerin Benzerli¤i

Araç ve gereç: Geometri fleritleri,

cetvel, makas, noktal› kâ¤›t

104

• Geometri fleritleri ile kenar uzunluklar› 6 br, 6 br, 8 brve 3 br, 3 br, 4 br olan iki üçgen oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz üçgenleri adland›r›n›z.

• Oluflturdu¤unuz üçgenleri üst üste koyarak birbirineefl olan aç›lar›n› belirleyiniz.

• Birbirine efl olan aç›lar›n karfl›lar›ndaki kenaruzunluklar›n› birbirine oranlay›n›z. Kenar uzunluk-lar› aras›ndaki oran› belirleyiniz.

• Efl aç›lar›ndan ve orant›l› olan kenarlardan ya-rarlanarak üçgenlerin benzerli¤ini sembolle göste-riniz.

� Belirledi¤iniz benzerli¤i, üç-genlerin hangi temel elemanlar›n-dan yararlanarak buldunuz?

• Kâ¤›d›n›za aç› ölçüleri 50°, 60° ve 70° olan birüçgen çiziniz.

• Ayn› flekilde aç› ölçüleri 50°, 60° ve 70° olan bir üçgen daha çiziniz.

• Çizdi¤iniz üçgenleri kenarlar›ndan keserek ç›kar›n›z.

• Elde etti¤iniz üçgenleri üst üste çak›flt›rarak benzerli¤ini belirleyiniz.

� Belirledi¤iniz benzerli¤i üçgenlerin hangi temel elemanlar›ndan yarar-lanarak buldunuz?

• Noktal› kâ¤›d›n›za k›sa kenar› 12 br, uzun kenar› 20 br olan bir dikdört-gen çiziniz.

• Çizdi¤iniz dikdörtgenin ard›fl›k iki kenar›n›n orta noktalar›n› belirleyiniz.

• Çizdi¤iniz dikdörtgeni, belirledi¤iniz orta noktalar› birlefltiren do¤ru par-ças› ve bu do¤ru parças›na paralel olan köflegeni boyunca kesiniz.

• Elde etti¤iniz üçgenleri uygun flekilde çak›flt›rarak benzerliklerini incele-yiniz.

� Belirledi¤iniz benzerli¤i üçgenlerin hangi temel elemanlar›ndan yarar-lanarak buldunuz?

E

T ‹8 cm

5 cm

60°

P

2,5 cm

A S4 cm60°

| || |

,‹

( ) ( ) °

| || ‹ | fl

› › ‹ .

PAET S

m T m A T A

AST E P bire bir e lemesi

yard m yla ET PAS elde edilir

2 55 2

60

48 2

^ ^

& *

& *

& *

.

= =

= =

= =

T T

‹ki üçgenin karfl›l›kl› ikifler kenar uzunluklar› orant›l› ve bukenarlar›n dâhil etti¤i aç›lar efl ise bu üçgenler benzer üçgenler-dir. Bu benzerli¤e kenar aç› kenar (KAK) benzerlik flart› denir.

Örnek: Afla¤›da verilen üçgenlerin benzerli¤ini inceleyelim:

Üçgenlerde Benzerlik fiartlar›

Araç ve gereç: Geometri fleritleri, aç›ölçer, makas, noktal› kâ¤›t

A

B C

D

E F

D

E C

D

B C

A

F

A

B

105

Üçgenlerin efl aç›lar›n›n karfl›lar›ndaki kenar uzunluklar›-n›n oranlar›n›n birbirine eflit oldu¤u görülür. O hâlde bu üçgen-

ler benzer üçgenlerdir. Bu benzerli¤i biçiminde

gösteririz.

BAC EDFcT T

Örnek: ‹ki farkl› ölçekteki dilsiz harita kesiti üzerinde köfleleri Ankara, Sivas ve Konya flehir merkez-leri olan üçgenleri çizip benzerliklerini inceleyelim:

| || |

C F

ABDE

C F

63

21

^^

*

,

= =| || |

A D

BCEF

A D

84

21

^ ^

*

,

= =| || |

B E

ACDF

B E

105

21

^ ^

*

,

= =

B

B

F

C

AD

E

E

F D‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenar uzunluklar› orant›l› ise bu üç-

genler benzer üçgenlerdir. Bu benzerlik flart›na kenar kenarkenar (KKK) benzerlik flart› denir.

A

K

S30°99°

51°

Örnek: Afla¤›daki 3 br, 4 br, 5 br ve 6 br, 8 br, 10 br uzunlu¤unda geometri fleritleriyle oluflturulandik üçgenleri uygun köflelerinden çak›flt›rarak aralar›ndaki iliflkiyi inceleyelim:

C

FD

DF

E

AA

E

C

B

106

30°

51°bire bir efllemesi yard›m›yla

.AKS A K S bulunur11 1.T T

( ) ( ) °

( ) ( ) °

( ) ( ) °

m A m A A A

m K m K K K

m S m S S S

99

51

30

^ ^

^ ^

^ ^

1 1

1 1

1 1

& *

& *

& *

= =

= =

= =

Karfl›l›kl› ikifler aç›s› eflolan üçgenler benzer üçgenler-dir. Bu benzerli¤e aç› aç› (AA)benzerlik flart› denir.

A1

K1

S1

Yanda verilen üçgenlerin;Örnek

L b M

K

3 cm 5 cm

37°

T

a

37°

P R

8 cm10 cm

a) a ve b de¤erlerini,

b) Üçgenlerin çevre uzunluklar›n›,

c) Üçgenlerin alanlar›n›,

ç) Üçgenlerin çevrelerinin oranlar›n›,

d) Üçgenlerin alanlar›n›n oranlar›n› bulal›m.

Benzer üçgenlerde karfl›l›kl› kenarlar orant›l› olaca¤›ndan,

: :

:

: :

)| || |

| || |

| || | ,

.

aMKTR

LKPR

LMPT a

ba a

aa cm

bb

bb cm bulunur

510

38

510

310 3 5

5

30

5

56

510 8 10 8 5

10

10

10

404

1

6

1

4

& & & & &

& & &

= = = = = = = =

= = = =

m(P^

) = m(L^

) = 90° ve m(T^

) = m(M) = 37° oldu¤undan aç› aç› (AA) benzerlik flart›ndan dolay› bu

üçgenler benzer üçgenlerdir .PTR LMKcT T

` j

¤ › ' .oldu undan benzerlik oran dir5

1048 6 2 2

3= = =

b)

L 4 cm M

K

3 cm 5 cm

37°

T

6 cm

37°

P R

8 cm10 cm

Ç ( )

Ç ( )

PTR cm

LMK cm

8 6 10 24

3 4 5 12

= + + =

= + + =

T

T

:

:

( )

( ).

Ç ( )

Ç ( )

( )

( )

A PTR cm

A LMK cm

LMK

PTRcm

A LMK

A PTRcm

2

8 624

2

3 46

12

242

6

244 2 2 2

2

2

2

4

1

2

2

4

= =

= =

= =

= = = =

T

T

T

T

T

T

c)

ç)

d)

99°

107

Benzer üçgenlerin çevrelerinin oran› karfl›l›kl› kenar uzunluklar› aras›ndaki benzerlik oran›na,alanlar›n›n oran› karfl›l›kl› kenar uzunluklar› aras›ndaki benzerlik oran›n›n karesine eflittir.

Örnek: Afla¤›da verilen ara-

s›nda benzerli¤i vard›r.

oldu¤una göre x + y de¤erini bulal›m:

ABFD

2=ABC FDEcT T

ABC ve FDET T

ve oldu¤undan

› › .FDAB AC

EBC

yaz l rFE D

2= = =

ABFD

2=ABC FDEcT T

A

B CD E

F

8 cm

x 6 cm5 cm

y

Problem: Okul bahçesindeki bayrak dire¤inin yan›nda duran Alikendi gölgesini 2 m, bayrak dire¤inin gölgesini 14 m ölçmüfltür.Ali’nin boyu 150 cm oldu¤una göre Ali, bayrak dire¤inin uzunlu¤u-nu kaç metre olarak bulmufltur?

Problemi Anlayal›m: Ali’nin kendi gölgesinin uzunlu¤u 2 m,bayrak dire¤inin gölgesinin uzunlu¤u 14 m’dir. Ali’nin boyu 150 cm’dir. Resimdeki bayrak dire¤inin uzunlu¤unu bulaca¤›z.

Çözüm Stratejisi: fiekilde verilen üçgenlerin benzerli¤inden ya-rarlanarak BE uzunlu¤unu bulaca¤›z.

BBEENNZZEERRLL‹‹KKLLEE ‹‹LLGG‹‹LL‹‹ PPRROOBBLLEEMMLLEERR

m(B^) = m(B

^) = 90° (ortak aç›)

m(A^) = m(E

^) (Günefl ›fl›nlar› Ali ve bay-

rak dire¤ine ayn› aç›yla gelir.)

O hâlde (AA benzerli¤i)ABC EBD+T T

Strateji Uygulamas›:

B 2 m C

A

150 cm

2 m = 200 cm

E

B 14 m D

x

14 m 14 m = 1400 cm

O hâlde, .xy olur

58 2= =

Bayrak dire¤inin uzunlu¤u x = 1050 cm ⇒ x = 10,5 m olarak bulunur.

| || |

| || | .ABC EBD

EBAB

BDBC

x x x

x cm

1501400

200 15071 150 7

10507

1

& & & &

&

+ = = = =

=

T T

:

:

.

.

Buradan x x cm ve

yy

y elde edilir

x y bulunur

52 5 2 10

8 22

228 4

10 4 14

&

& &

= = =

= = =

+ = + =

108

Kontrol Edelim: Üçgenlerin benzerli¤inden

bulunur. Yap›lan ifllem do¤rudur.| || |

| || |

EBAB

BDBC

1050

150

1400

200

105

15

14

271

71

7

1

7

1

& & &= = = =

( )ABC EBDcT T

Problemi Anlayal›m: Topa kafa vuran oyuncu topu Bnoktas›nda yere çarpt›rd›¤›na göre B noktas›n›n kaleyeolan uzakl›¤›n› bulaca¤›z.

Çözüm Stratejisi: Oyuncu topa C noktas›nda vurdu-¤unda top B noktas›nda yere çarp›p yükselerek D nokta-s›nda kaleye girdi¤ine göre üçgenlerin benzerli¤inden ya-rarlanarak EB uzunlu¤unu bulaca¤›z.

Strateji Uygulamas›: m(A^) = m(E

^) = 90° (dik aç›) ve (Soruda verilmifltir.)

O hâlde,

( ¤ )CBA DBE AA benzerli i+T T

( ) ( )m CBA m DBE^ ^

a= =

|AC| = Oyuncunun s›çrad›¤› yükseklik + oyuncunun boy uzunlu¤u = 70 + 180 = 250 cm

O hâlde topun yere çarpt›¤› noktan›n kaleye olan uzakl›¤› x = 80 cm’dir.

.

| || |

| || | .

BEBA

DECA

xx

x cm bulunur200100

250

25

25

25

200 1080

5

240

1

& & &= = = =

Problem: Bir futbol maç›nda rakip kale sahas›na orta-lanan topa 70 cm s›çrayarak kafa vuran bir oyuncu, topu2 m ileride yere çarpt›rd›¤›nda top yere de¤ifl aç›s›yla ka-leye do¤ru yönelmifltir.

Top 1 m yükseklikten sonra kaleye girmifltir. Topa vu-ran oyuncunun boyu 180 cm oldu¤una göre top kaleye nekadar uzakl›kta yere çarpm›flt›r?

Kontrol Edelim: Üçgenlerin benzerli¤inden topun kaleye girdi¤i noktan›n yerden yüksekli¤ini kontroledelim:

100 cm = 1 m’dir. Yapt›¤›m›z ifllem do¤rudur.

| || |

| || |

.: :

DECA

BEBA

y

yy cm bulunur

25080

200

20

20

20

250 8100

2

25 4

1

& &

&

= =

= =¤CBA DBE oldu undan+

T T

BE

C

A

C

ABE

D

F70 cm

180

cmD

αα

αα

2 m

2 m

250 cm1 m

1 m

109

D

E F

3

4

x

N P

M

8

12y

1. Afla¤›daki ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.(.....) Karfl›l›kl› ikifler kenar› efl olan üçgenler, efl üçgenlerdir.(.....) Karfl›l›kl› ikifler aç›s›n›n ölçüsü eflit olan üçgenler efl üçgenlerdir.(.....) Karfl›l›kl› ikifler kenar› efl ve bu kenarlar aras›ndaki aç›s› efl olan üçgenler, efl üçgenlerdir.(.....) Bütün eflkenar üçgenler efl üçgenlerdir.

T S

P R

‹smail’inarsas›Ahmet’in

arsas›Ayd›n’›narsas›

90 m185 m100 m

42. SOKAK

41. SOKAK

A

B C12 cm

5 cm4 cm

D Em

6 cm n

D C

A B

18 cm

F

6 cm

Yanda verilen flekilde |TP| = |SR| ve m(TP^

R) = m(SR^

P) oldu¤unagöre afla¤›dakilerden hangisi do¤rudur?

TPR SRP TRP SRP TPR SPR PTR PRS, , , ,T T T T T T T T

‹ki üçgen aras›nda oldu¤u bilindi¤ine göre x + y

de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

DEF MNP+T T

Ahmet, Ayd›n ve ‹smail adl› üç arkadafl›n yan yana olanarsalar› flekildeki gibidir. Arsalar›n›n 42. sokak taraf›ndakikenar uzunluklar› s›ras›yla 100 m, 185 m ve 90 m, 41. so-kak taraf›ndaki kenar uzunluklar›n›n toplam› 750 m’dir. Bu-na göre her bir arkadafl›n arsas›n›n 41. sokak taraf›ndakikenar uzunlu¤unu bulunuz.

Yandaki flekilde [DE] // [BC], |AD| = 4 cm,

|DB| = 6 cm, |AE| = 5 cm ve |BC| = 12 cm oldu¤unagöre m ve n de¤erlerini bulunuz.

Yandaki flekil bir yamuktur.

|AB| = 6 cm, |DC| = 18 cm |DB| = 16 cm,

|AC| = 24 cm’dir.

[AF], [BF], [DF] ve [FC]’n›n uzunluklar›n› bulunuz.

2.

3.

4.

5.

6.

A. B. C. D.


ÖÇK s. 60, 61,62, 63, 64, 65

fiekilde ABCD bir yamuktur. IADI = 2 cm, IBCI = 6 cm,IBDI = 12 cm oldu¤una göre IBEI ve IEDI’nu bulal›m.

IDEI = x dersek IBEI = 12 – x olur.ABCD yamuk oldu¤undan [AD] // [BC]’dir.

(iç ters aç›lar), (iç ters aç›lar),

(ters aç›lar) Buradan; (AA benzerlik flart›) elde edilir.

⇒ ⇒ 12–x = 3x ⇒ ⇒ 3 cm = x

IDEI = x = 3 cmIBEI = 12 – x = 12 – 3 = 9 cm’dir.

x4

1244=

6

2–CB

ADBD

xx

EE

123

1

&= =CEAE

CA

BD

EBED

= =

AED EC B.99

m A m CED EB=/ /

` `j j

m E m EDA BC=/ /

` `j jm ADE m ECB=//

` `j j

B C

A D

6 cm

E

2 cm

B C

A D

6 cm

E

2 cm

Örnek

110

• Karton fleritlerden uzunluklar› 3 cm, 4 cm, 5 cm,6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm, 13 cm ve 5 cm olan flerit-ler kesiniz.

• Kesti¤iniz fleritlerden üçgenler oluflturunuz.

• Bu üçgenlerden dik üçgen olanlar› belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz her bir dik üçgenin kenar uzunlukla-r›n›n karelerini bulunuz.

• Belirledi¤iniz kenar uzunluklar›n›n karelerini kulla-narak afla¤›daki tabloyu doldurunuz.

Tablo: Oluflturulan Dik Üçgenlerin Kenar Uzunluklar› ve Kareleri

Dik kenaruzunlu¤u

KaresiDik kenaruzunlu¤u

KaresiDik kenar

uzunluklar›n›nkareleri toplam›

Dik aç›n›nkarfl›s›ndaki

kenar›n

uzunlu¤u

Karesi

4. BÖLÜM PİSAGOR BAĞINTISI

� Tablodan yararlanarak dik üçgende dik kenarlar›n uzunluklar›n›n kareleri toplam› ile dik aç›n›nkarfl›s›ndaki kenar›n uzunlu¤unun karesi aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

� Ünlü Pisagor Teoremi’nin ne oldu¤unu biliyor musunuz?

Pisagor Ba¤›nt›s›

Araç ve gereç: Karton fleritler, makas, cetvel

Ünlü Yunan filozofu olan Pythagoras (Pisa-gor) yaklafl›k olarak MÖ 580 – MÖ 500 tarihle-ri aras›nda yaflam›flt›r. Antik ça¤›n en ünlü ad-lar›ndan biri olan Pisagor, çok yönlü kiflili¤ininyan›nda matematikçi s›fat›n› lay›k›yla hak et-mifltir. Bu eski Yunan filozofu ve bilim adam›-n›n günümüzde dahi geçerli ve tüm zamanlariçin de geçerlili¤ini koruyaca¤› anlafl›lan ünlüteoremi bu sav› do¤rulamak için yeterlidir.

‹yi yetiflmifl ve gençli¤inde iyi bir e¤itim al-m›fl olan Pisagor, birçok seyahat yapm›flt›r.Babil ve M›s›r’da geçirdi¤i uzun y›llar onun bi-limsel yaflam›na olumlu katk›lar sa¤lam›flt›r.

� Verilen üçgende Pisagor Ba¤›nt›s› uygulanm›flt›r. fiekilde verilenlere göre sizce PisagorBa¤›nt›s›’n›n kural› ne olabilir?

b

A

C Ba

c a b2 2= +

111

Örnek: Afla¤›da yer alan üçgenlerin verilmeyen uzunluklar›n› bulal›m:

b)

LK

M

15 cm9 cm

y

a)

A

B

x

8 cm

6 cm

C

c)

N L

M

13 cmt

5 cm

ç)

R S

P

z

15 cm

8 cm

x2 = 62 + 82

⇒ x2 = 36 + 64

⇒ x2 =100 ⇒ x =10 cm

92 + y2 = 152

⇒ 81 + y2 = 225

⇒ y2 = 225 – 81

⇒ y2 =144 ⇒ y =12 cm

t2 + 52 = 132

⇒ t2 + 25 = 169

⇒ t2 = 169 – 25

⇒ t2 = 144 ⇒ t = 12 cm

z2 = 152 + 82

⇒ z2 = 225 + 64

⇒ z2 =289 ⇒ z =17 cm

Örnek: Yanda verilen flekilde DEC üçgensel bölgeninalan›n›, ABCD yamuksal bölgenin alan› ve DAE ve EBCüçgensel bölgelerinin alanlar› cinsinden bulal›m: D

A B

C

E

m

m n

n tt

D

A B

C

E

m

m n

n tt

α + θ = 90° oldu¤undan m(DE^C) = 90° olur.

: : : :

: :

( ) ( ) –

–

– –

.

– –

A DEC A ABCD A DAE A EBCt t m n m n n m n m

t m mn n m n m n

t m mn n mn mn

t m n t m n bulunur

2 2 2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

&

&

& &

= +

= + + +

= + +

=+ +

= + = +

T T T` `

] ]

j j

g g

9

;

C

E

'DAE ndeT

fi ( . . ) ' .

( ) ( ) ( ) ( )

ekilde EBC DAE K A K dir

m C m DEA ve m CEB m D ve^ ^ ^ ^

,

= =

T T

Dik üçgenin dik kenar uzunluklar›n›n kareleri toplam›, hipotenüs (bir diküçgende dik aç›n›n karfl›s›nda bulunan kenar) uzunlu¤unun karesine eflittir.fiekildeki dik üçgendeki a2 = b 2 + c2 ba¤›nt›s› Pisagor Ba¤›nt›s›’d›r.

C

A Bc

b a

112

Örnek: fiekilde bir kenar uzunlu¤u 17 cm olan karesel bölgenin içindeki dörtgensel bölgenin birkenar uzunlu¤unu ve alan›n› bulal›m:

= α

ve = θ

olur.

m ALK M N Km B L m C M m D N^ ^ ^ ^

= = =_ _ _ _i i i i

m AKL L M Nm B M m C N m D K^ ^ ^ ^

= = =_ _ _ _i i i i

( . . ) fl ¤KAL LBM MCN NDK K A K e li i, , ,T T T T

Ayr›ca; α + θ = 90° oldu¤unda

m(KLM) = m(LMN) = m(MNK) = m(NKL)= 90°ve |KL| = |LM| = |MN| = |NK|= a bulunur.

'ALK ndeT

D

12 cm

C

A BL

M

K

N

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

12 cm

12 cm

12 cm D

12 cm

C

A BL

M

K

N

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

12 cm

12 cm

12 cm

a

a

a

a

K

A L5 cm

12 c

m a

K

13 cm

N

L M

13 cm

13 cm13 cm

A(KLMN) = 132

= 169 cm2

1 cm

1 cm

a)a

45°

45°45°

45°

b)

2 cm

2 cm

b45°

45°

45°45°

Örnek: Afla¤›da kenar uzunluklar› verilen karesel bölgelerin köflegen uzunluklar›n› bulal›m:

a2 = 12 + 12

a2 = 2

a cm2=

b2 = 22 + 22

b2 = 4 + 4

b2 = 8

b cm2 2=

bulunur veya

:

:

:

17 – 4 ( )

289 – 45

–

a A KAL

a

a

a a cm

2

12

289 120 169

169 13

2 2

2

2

2

1

6

&

&

& &

=

=

= =

= =

T

( ) ( ) – ( ) ( ) ( ) ( )A KLMN A ABCD A KAL A LBM A MCN A NDK= + + +T T T T

9 C

a2 = 122 + 52

a2 = 144 + 25

a2 = 169

a = 13 cm

Bir kenar uzunlu¤u a br olan bir karesel bölgenin köflegen

uzunlu¤u kenar uzunlu¤unun kat›na eflittir (b = : a). 22b

a

a

Dik kenar uzunlu¤u a olan ikizkenar dik üçgende (45°, 45°, 90° üçgeni) hi-

potenüs uzunlu¤u, dik kenarlardan birinin kat›na eflittir (|AC| = . a). 22

B a C

a

A

. a2

’dir.

113

A

B C3 br

3 br3 br

V Y

T

4 br

4 br4 br

Z

5 br

5 br5 br

T

P A6 br

6 br6 br

M N

A

B C

3 br3 br

V Y

T

4 br

2 br4 br

Z

5 br

5 br

T

P A3 br

6 br6 br

M N

2 brH

60°

60°30°30°

60°

60° 30°

30°

60°60°

30°30°

3 brH

H60°60°

30°30°

3–– br 2 3–– br 2

5–– br 2

5–– br 2

H

A

C

3 br

V Y4 br

5 br

T

P 3 br

6 br

M N

2 brH

60°30°60° 30°

60°

30°

H

H60°

30°

3–– br 2

5–– br 2

H

Bir kenar uzunlu¤u a br olan eflkenar üçgenin yüksekli¤inin uzunlu¤u

kenar uzunlu¤unun kat›na eflittir (|AH| = a . br).23

23

A

B C60°

H60°

30°

30°

a a

a––2

a––2

30°, 60°, 90° aç›lar› bulunan dik üçgende hipotenüs uzunlu¤u, 30°lik aç›-n›n karfl›s›ndaki kenar uzunlu¤unun 2 kat›na eflittir. 60°lik aç›n›n karfl›s›nda-

ki kenar uzunlu¤u 30° lik aç›n›n karfl›s›ndaki kenar›n uzunlu¤unun kat›-

na eflittir.

3

A

B C60°

2a

30°

a

a3

Örnek: Afla¤›daki izometrik zemini çizilmifl eflkenar üçgenlerin yüksekliklerinin uzunluklar›n› bulal›m:

–

AH

AH

AH

AH

AH br

23 3

49 9

9 9

427

23 3

22

2

2

2

4 141

+ =

+ =

=

=

=

c

] ]

m

g g

–

MH

MH

MH

MHMH

2 4

4 16

16 4

122 3

2 2 2

2

2

2

+ =

+ =

=

== –

–

YH

YH

YH

YH

YH

YH br

25 5

425 25

25 25

4100 25

475

25 3

2 2

2

2

2

2

4 141

+ =

+ =

=

=

=

=

c

] ]

m

g g

.

–

TH

TH

TH

TH

TH br

3 6

9 36

36 9

27

3 326 3 6

23

2 2 2

2

2

2

+ =

+ =

=

=

= = =

114

Problemi Anlayal›m: Dikdörtgen bi-çimindeki arsan›n çevresinin uzunlu¤unubelirleyece¤iz. 4 s›ra dikenli tel ile çevri-lece¤ine göre dikdörtgenin çevresini 4 ileçarparak kaç metre tele ihtiyaç oldu¤unubulaca¤›z.

41 m

D C

A B

9 m

Çözüm Stratejisi: fiekildeki dikdörtgenin [AC] köflegeni ile [BC] kenarlar›n›n uzunlu¤unu biliyoruz.Dik üçgende Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan yararlanarak [AB]’n›n uzunlu¤unu bulaca¤›z.

40 cm

C

A B

9 m

‹fllemi tersten yaparak kontrol edelim.392 : 4 = 98 m olarak dikdörtgenin çev-

resinin uzunlu¤unu buluruz.ABC dik üçgeninde,

O hâlde yap›lan ifllem do¤rudur.

.ACAC m bulunur

40 9 1600 81 16811681 41

2 2 2= + = + == =

41 m

C

A B

9 m

D C

A B

9 m

40 m

40 mÇ (ABCD) = 2(40 + 9) 2 : 49 = 98 m olur. 4 s›ra dikenli tel gerek-ti¤inden,4 : 98 = 392 m dikenlitel kullan›l›r.

Strateji Uygulamas›

Kontrol Edelim

–

.

AB BC AC

AB

AB

AB

AB

AB

AB m bulunur

9 41

81 1681

1681 81

1600

1600

40

2 2 2

2 2 2

2

2

2

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

Problem: Ayhan Bey, köflegen uzunlu¤u 41 m ve k›sakenar uzunlu¤u 9 m olan dikdörtgen biçimindeki arsan›nçevresini 4 s›ra dikenli tel ile çevirmek istedi¤ine göre AyhanBey’in kaç metre dikenli tele ihtiyac› vard›r?

Örnek: Afla¤›da kenar uzunluklar› verilen dikdörtgenlerin köflegen uzunluklar›n› bulal›m:

x2 = 72 + 32

x2 = 49 + 9 = 58x = 58

y2 = 82 + 62

y2 = 64 + 36 = 100y2 = 100 ⇒ y = 10

a)A

D

B

C

x

7

3

b)

y

E

H

F

G8

6

115

Çözüm Stratejisi: fiekilde görüldü¤ü gibi [DG] ⊥ [DB] oldu¤undan GDB dik üçgenini oluflturaca¤›z.[DB] taban köflegeninin uzunlu¤u ABCD karesi yard›m›yla [GB]’n›n uzunlu¤unu da GDB dik üçgeni yar-d›m›yla bulaca¤›z.


DAB dik üçgeninde,

’dir.

AD A

DB

DB

DB

B DB

DB m

2 2

4 4

8 2 2

2 2

2 2

2

2

2

2&

=

+ =

+ =

=

+

=

GDB dik üçgeninde,

' .

GB

GB

GB m dir

2 2 2

4 8 12

2 3

2 2 2

2

= +

= + =

=

^ h

C

2 m

G

D

F

A B

E

2 m

D

G

B

2 m

C

2 m

G

D

F

A B

E

2 m

D

G

B

2 m

Kontrol Edelim: ‹fllemi tersten yaparak küpbiçimli kutunun bir kenar uzunlu¤unu bulal›m:

Yap›lan ifllem do¤rudur.

–

.

DG

DG

DG

DG

DG m bulunur

8 12

12 8 4

4

2 2 2 3

4 2

2

2

2

2 2 2

+ =

= =

=

+ =

= =

^ ^h h

m2 2

m2 3

m2 2

Problem: Bir kenar uzunlu¤u 2 m olan küp biçiminde bir ku-tunun içinde bulunan bir örümcek, D noktas›ndan bafllayarak ön-ce G noktas›na, G noktas›ndan B noktas›na ve B noktas›ndantekrar D noktas›na düz bir flekilde a¤ örerek gitti¤ine göre örüm-ce¤in ald›¤› toplam yolu bulal›m:

G

D

A B

E

F

2 m

C

fiekildeki üçgeninin çevresinin uzunlu¤unu bularak

örümce¤in ald›¤› toplam yolu bulaca¤›z.

DGB

G

D B

Problemi Anlayal›m

O hâlde örümce¤in ald›¤› toplam yol m’dir.2 2 2 2 3+ +^ h

116

A D

B C

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u a birim olan küpün birbirine en uzakiki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›na küpün cisim köflegenidenir. Küpün cisim köflegeninin uzunlu¤u bir ayr›t›n›n uzunlu-

¤unun kat›na eflittir (f = a br).33

e a a f e a

e a f a a

e a

f

a br f a

a br

2 2

2

3

2 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

= + = +

= = +

=

=

= =

1. Afla¤›da verilen dik üçgenlerde verilmeyen uzunluklar› bulunuz.

a) b) c)

P

R S

z5 cm

11 cm

K

L My

4 cm

A

B C

x

12 cm

5 cm

cm25

2. Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 7 cm olan küpün cisim köflegen uzunlu¤unu bulunuz.

5.

3. fiekilde verilenlere göre |ED|’nu bulunuz. E

2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

D

C

BA

Yanda verilen ABCD karesinin bir kenar uzunlu¤u 9 br’dir. fiekildeki her bir karenin köfleleri, içinde bulun-

du¤u karenin kenarlar›n›n ’ünün oldu¤u nokta oldu-

¤una göre yeflil renkle gösterilen üçgensel bölgenin ala-n›n› bulunuz.

31


ÖÇK s. 66, 67,68, 69, 70

C

H

D

G

A B

F

e f

a br

a br

a br

4. Köflegen uzunlu¤u 113 m ve bir kenar uzunlu¤u 15 m olan dikdörtgen biçiminde bir bahçenin et-raf›nda 5 tur koflan çocu¤un kaç metre yol ald›¤›n› bulunuz.

117

• Dik kenar uzunluklar› 3 cm ve4 cm olan bir dik üçgen oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz dik üçgeninhipotenüs uzunlu¤unu bulunuz.

• Oluflturdu¤unuz dik üçgenindar aç›lar›n›n ölçülerini aç›ölçerleölçünüz.

• ‹ki dar aç›ya göre afla¤›daki oranlar› belirleyip hesap makinesi ile de¤erlerini hesaplay›n›z.

karfl› dik kenar uzunlu¤u, komflu dik kenar uzunlu¤u, karfl› dik kenar uzunlu¤u, komflu dik kenar uz.hipotenüs uzunlu¤u hipotenüs uzunlu¤u komflu dik kenar uz. karfl› dik kenar uz.� ‹ki dar aç›n›n hangi oranlar›n›n birbirine eflit oldu¤unu ve bu iki aç› aras›nda nas›l bir iliflki olabi-

lece¤ini aç›klay›n›z.• Yukar›daki üçgen ile ayn› aç›lara sahip fakat kenar uzunluklar› farkl› olan iki üçgen daha olufltura-

rak yukar›daki oranlar› bu üçgenler için de belirleyiniz.• Belirledi¤iniz oranlar› karfl›laflt›r›n›z.� Ayn› aç› ölçülerine sahip fakat kenar uzunluklar› farkl› üçgenlerde bu oranlar de¤ifliyor mu? Aç›k-

lay›n›z.� Bu oranlar›n özel bir ad› oldu¤unu biliyor musunuz?De¤iflmeyen bu oranlar, dik üçgende dar aç› ölçülerinin trigonometrik de¤erleridir. Yukar›da belirtilen

oranlar s›ras›yla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant olarak adland›r›l›r.

Dar Aç›lar›n Trigonometrik Oranlar›

Araç ve gereç: Hesap makinesi, trigonometri cetveli, aç›ölçer

5. BÖLÜM DİK ÜÇGENDEKİ DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

‹tfaiyecilerin iç içe geçmifl parçalardan olufllan bir mer-divenleri vard›r. Bu merdiven binaya uzat›ld›¤›nda iç içegeçmifl parçalar aç›larak uzun bir merdiven ortaya ç›kar.

‹tfaiyeciler, binadan 15 metre uzakl›kta 4 metre yüksek-likten merdiveni 53°lik aç›yla binan›n çat›s›na yasl›yor.

� Merdivenin uzunlu¤unu ve merdivenin bulundu¤ubinan›n yüksekli¤ini, ABC üçgeninin 53°lik aç›s›na ba¤l›olarak hangi kenarlar›n›n oranlar›n› bilirsek bulabiliriz? 15 metre

4 metre

A 53°

C

B

A

B 8 cm C

6 br10 br

37°

A

B 8 cm C

6 br10 br53°

A

B 8 cm C

6 br10 br

37°

53°

a)

A

B 8 cm C

6 br10 br

Örnek Yanda geometri fleritleri ile oluflturulan dik üçgende, a) α ve θ aç›lar›n›n ölçülerini aç›ölçerle ölçelim.b) α ve θ aç›lar› için trigonometrik oranlar›n› inceleyelim.c) Hangi aç›lar›n, hangi trigonometrik oranlar›n›n de¤erlerinin

birbirine eflit oldu¤unu belirleyelim.

Aç›ölçer yard›m›yla α = 37°, θ = 53° bulunur.

ABC dik üçgeninde A aç›s›na göre;

oran›na A aç›s›n›n ölçüsünün sinüsü denir ve m(A^) = α olmak

üzere sin α ile gösterilir.

ü ¤fl› ¤

αsinba

hipoten s uzunlu ukar dik kenar uzunlu u

= =

ba

Tümler aç› ölçülerindenbirinin sinüs de¤eri di¤erininkosinüs de¤erine, birinintanjant de¤eri di¤erinin ko-tanjant de¤erine eflittir.

A

a

c

α

θ

b

CB

Bu de¤erler dik üçgende dar aç› ölçülerinin trigonometrik de-¤erlerdir.

oran›na A aç›s›n›n ölçüsünün cosinüsü denir ve cos α ile gös-terilir.

oran›na A aç›s›n›n ölçüsünün tanjant› denir ve tan α ilegösterilir.

α θ

θ α

sin cos

tan cot

= =

= =

üç ;

α θ

θ α

tan cot

sin cos

ABC dik geninde

ba

ca

bc

ac

= =

= =

,

,

,

’dir.oran›na A aç›s›n›n ölçüsünün kotanjant› denir ve cot α ile gös-

terilir.

ü ¤fl ¤

αcosbc

hipoten s uzunlu ukom u dik kenar uzunlu u

= =

fl ¤fl› ¤

αtan ca

kom u dik kenar uzunlu ukar dik kenar uzunlu u

= =

fl› ¤fl ¤

αcot ac

kar dik kenar uzunlu ukom u dik kenar uzunlu u

= =

bc

ca

ca

118

b) αα aç›s›na göre;

sin α =

cos α =

cot α =

tan α =

c) θθ aç›s›na göre;

sin θ =

cos θ =

tan θ =

cot θ = fl› ¤fl ¤

, ° ,cotkar dik kenar uzunlu u

kom u dik kenar uzunlu u86 0 75 53 0 75* .= =

fl ¤fl› ¤

, ° , ,tankom u dik kenar uzunlu ukar dik kenar uzunlu u

68 1 33 53 1 33* .= =

ü ¤fl ¤

, ° , ,coshipoten s uzunlu u


ü ¤fl› ¤

, ° , ,sinhipoten s uzunlu u

kar dik kenar uzunlu u108 0 80 53 0 80* .= =

fl ¤fl› ¤

, ° ,tankom u dik kenar uzunlu ukar dik kenar uzunlu u

86 0 75 37 0 75* .= =

fl› ¤fl ¤

, ° , ,cotkar dik kenar uzunlu u


ü ¤fl ¤

, ° , ,coshipoten s uzunlu u


ü ¤fl› ¤

, ° , ,sinhipoten s uzunlu u

kar dik kenar uzunlu u106 0 6 37 0 60* .= =

14

44

44

44

44

44

42

44

44

44

44

44

44

3

sin 53° = cos 37°sin 37° = cos 53°tan 37° = cot 53°tan 53° = cot 37°

’tir.

’tir.

119

Örnek: Afla¤›da verilen dik üçgende D aç›s› için

› ¤ , › ¤ fl› fl › › :α ααα αα

cossin tan

sincos cotoran ile de erini oran ile de erini kar la t ral m

:

: .

α α α α

αα α

αα α

sin cos tan cot

cossin tan

sincos cot bulunur

1312

135

512

125

135

1312

1312

513

512

1312135

135

1213

125

= = = =

= = = =

= = = =

, , ,D

E

α

12 cm

5 cm

13 cm

F

Örnek: Eflkenar ve ikizkenar üçgenden yararlanarak 30°, 45°, 60° lik aç› ölçülerinin trigonometrikoranlar›n› bulal›m:

ABC dik üçgeninde;

α αα α

ααtan cos

sin cotsincos= =,

A

B C

60° 60°

2 cm

2 cm

A

B 1 cm C

2 cm

60° 60°

1 cmH

30°30°

2 cm

A

C

60°

1 cmH

30°

2 cm

2 cm

60°

A

B a

c b

C

–

AH

AHAH

1 2

4 1 33

2 2 2

2+ =

= ==

AHC dik üçgeninde;

° , °

° , ° .

sin cos

tan cot bulunur

452 2

2

21

22 45

2 2

2

21

22

4522 1 45

22 1

1 1

= = = = = =

= = = =

30° 30° 30° 30°

60° 60° 60° , 60°

sin cos tan cot

sin cos tan cot

21

23

31

13 3

23

21

13 3

31

= = = = =

= = = = =

, , ,

, ,

2 cm

T

E Z

45°

45°

2 cm

cm2 22 2

4 4 8

TZ

TZTZ 2 2

2 2 2

2= +

= + ==

3

’dir.

’d›r.α

120

Örnek: 00 < x < 90° olmak üzere sin x = a ise sin x : tan x – de¤erini bulal›m:

sin x = a oldu¤una göre bir dar aç›s› x olan ABC dik üçgenini çizelim.

: :

–

– –

–

– ––

–– –

––

–

–

–

– –

– – .

sin tan cos

sin tan cos

x a aACAB

xa

a x a a

BC a

BC a

BC a x x xa

a

a

a a

a

a

a

a

a

a

a bulunur

1 1 11 1

1

1

1 11 1 1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

2

22

2 2 2

2 2

2 22 2 2

2

2

2

2

2

2

2

= = = = = =

+ =

=

= = =

= =

=

,

^ h

cosx1

a 1

B C

A

x

Örnek: Afla¤›da verilen ifadelerin en sade hâllerini bulal›m:

° °° °

sin cossin cos

33 3357 57

++

Örnek: 0 < x < 90° olmak üzere ise cos x, tan x ve cot x de¤erlerini bulal›m:

Önce bir dar aç›s› x olan ABC dik üçgenini olufltural›m:

¤ üç ,

, › .

–

. .

sin

cos

tan

cot

xACAB

oldu undan ABC dik geninde

AB AC alal m xACBC

BC xBCAB

BC

BC br olur xABBC

bulunur

71

1 77

4 3

1 74 3

1

49 1 48

4 31

4 3 4 3

2 2 2

2

&

= =

= = = =

+ = = =

= =

= = = =

sinx71

=

A

B C

1 br 7 br

x

sin 30° = cos 60°= sin 60° = cos 30°= tan 30° = cot 60°= tan 60° = cot 30°=

sin 45° = cos 45°= ’dir.° °tan cotve22

21 45 45 1= = =

,331 ,

23 ,

21 ,

4 3

° ° ° ¤ ° ° ° ° .sin cos cos sinoldu undan olur57 33 90 57 33 57 33+ = = =

: :

:

: :

:

:

:

° ° ° ° ° .

° °° – °

3 19° 2 19°° – °

5 °

°.

sin cos

cos sinsin cos

cos coscos cos

cos

cos

olur

bulunur

71 19 90 71 19

3 19 2 715 71 19 5 19 19

19

4 1954

+ = =

+=

+= =

â ,

° °° °

° °° ° .

sin cossin cos

cos sinsin cos

O h lde

bulunur33 3357 57

57 5757 57 1

++ =

++ =

° °. °– °cos sin

sin cos3 19 2 715 71 19

+ °° °

cottan cot

3 492 41 49+

b)

a)

a) b) c)

c)

:

:

:

:

° ° ° ¤ ° ° .

°2 41° 49°

°° °

°

49°.

tan cot

cottan cot

cotcot cot

cot

cot

oldu undan olur

bulunur

41 49 90 41 49

3 49 3 492 49 49

3 49

31

+ = =

+ = + = =

121

Problem: Selim, yanda görülen nehrin K ve M nok-talar› aras›ndaki uzakl›¤› ölçmek istiyor. Bunun için diküçgen oluflturacak flekilde K, L, M noktalar›n› seçip[KL]’n›n uzunlu¤unu ve M aç›s›n›n ölçüsünü buluyor.

|KL| = 21 m ve m(M) = 60° oldu¤una göre K ve Mnoktalar› aras›ndaki uzakl›¤› bulal›m:

Problemi Anlayal›m: [KM]’n›n uzunlu¤unu bulaca¤›z.

Çözüm Stratejisi: fiekildeki KLM dik üçgeninde M aç›s›n›n trigonometrik de¤erini trigonometri cet-velinden veya hesap makinesi yard›m›yla bulup M dar aç›s›n›n trigonometrik oran› yard›m›yla [KM]’n›nuzunlu¤unu buluruz.

Strateji Uygulamas›: Trigonometri cetvelinden sin 60° ≈ 0,86 bulunur.

60°,

,24,4 .sin

KM KMKM m olarak elde edilir21 0 86 21

0 8621

1& & .= =

K

L

21 m

M

60°

Problem: Resimdeki kulenin yüksekli¤ini ölçmek isteyenAhmet, kuleden 17 m uzaklaflarak yatayla 50° lik aç› ölçü-süyle kulenin tepesini görebilmektedir. Ahmet’in gözününyerden yüksekli¤i 180 cm oldu¤una göre kulenin yüksekli¤i-ni bulal›m:

Çözüm Stratejisi: fiekildeki gibi PRS dik üçgenini olufltu-ruruz. Trigonometri cetvelinden tan 50° de¤erini buluruz.PRS dik üçgeninde tan 50° de¤eri yard›m›yla [SR]’n›n uzun-lu¤unu buluruz. Buldu¤umuz uzakl›¤› 180 cm ile toplay›p ku-lenin yüksekli¤ini buluruz.

K

LM

Kontrol Edelim: bulunur. O hâlde ifllem do¤rudur.° ,,

sinKMKL

6024 421 0 86.= =

Problemi Anlayal›m: Resimdeki kulenin yüksekli¤ini bulmam›z beklenmektedir.

50°

17 m

PR

180

cm

S

17 m

122

47°

A

P S

23

53°

E M750 km

G

1. Afla¤›da verilen ifadelerden hangileri do¤rudur?

I. Her aç›n›n ölçüsünün sinüs ve cosinüs de¤erleri birbirlerine eflittir.

II. Bir x dar aç›s› için oran› x aç›s›n›n tanjant de¤erine eflittir.

III. Bir ABC dik üçgeninde bir dar aç› için karfl› dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›o dar aç›n›n sinüs de¤erine eflittir.

A. I ve II B. I ve III C. I, II ve III D. II ve III

2. 0°< x < 90° ve

3. Trigonometri cetvelinden yararlanarak afla¤›da istenen ifadelerin de¤erlerini bulunuz.

a) 3 .sin 67° – 2.cos 20° b) tan 54° + cos 17° c) 3 .cos 48° – cot 78° ç) 2 .sin 45° + cot 45°

:2 ¤ .tansin tan

cos sinx isex x

x x de erini bulunuz34=

++

cossin

xx

APS dik üçgeninde verilenlere göre trigonometri cetvelinden yararlanarak

|PS| ve |AS|’nun yaklafl›k de¤erlerini bulunuz.

4.

Denizin ortas›ndaki G noktas›nda bulunan bir ge-minin kaptan›, E ve M noktalar›nda bulunan liman-lardan, bulundu¤u yere yak›n olan›na varmak istiyor.Kaptan harita üzerinde m(G) = 90°, m(E) = 53° ölç-tü¤üne ve |EM|=750 km oldu¤unu bildi¤ine göregeminin E ve M limanlar›na olan uzakl›¤›n› bulunuz.

5.

Strateji Uygulamas›: Trigonometri cetvelindentan 50° ≈ 1,191 bulunur.

PRS dik üçgeninden;

:

°,

17 1,191 20,24 .

tanPRSR SR

SR cm elde edilir

501 191

171&

& .

=

=

Kontrol Edelim: °,

tanPRSR

5017

20 24= =

⇒ tan 50° ≈ 1,191bulunur.

Kulenin yaklafl›k yüksekli¤i = 1,80 + 20,24 ≈ 22 m olarak bulunur.

O hâlde yap›lan ifllem do¤rudur.

20,24 1,19120,24÷17


50°R

S

P

ÖÇK s. 71, 72,73, 74, 75, 76

123

1°2°3°4°5°6°7°8°9°10°11°12°13°14°15°16°17°18°19°20°21°22°23°24°25°26°27°28°29°30°31°32°33°34°35°36°37°38°39°40°41°42°43°44°45°

0,01750,03490,05230,06980,08720,10450,12190,13920,15640,17360,19080,20790,22500,24190,25880,27560,29240,30900,32560,34200,35840,37460,39070,40670,42260,43840,45400,46950,48480,50000,51500,52990,54460,55920,57360,58780,60180,61570,62930,64280,65610,66910,68200,69470,7071cos

0,01750,03490,05240,06990,08750,10510,12280,14050,15840,17630,19440,21260,23090,24930,26790,28670,30570,32490,34430,36400,38390,40400,42450,44520,46630,48770,50950,53170,55430,57740,60090,62490,64940,67450,70020,72650,75360,78130,80980,83910,86930,90040,93250,96571,0000cot

57,290028,636219,081114,30071 1,43009,51448,14437,11546,31385,67135,14464,70464,33154,01083,73213,48743,27093,07772,90422,74752,60512,47512,35592,24602,14452,05031,96261,88071,80401,73211,66431,60031,53991,48261,42811,37641,32701,27991,23491,19181,15041,11061,07241,03551,0000tan

0,99980,99940,99860,99760,99620,99450,99250,99030,98770,98480,98160,97810,97440,97030,96590,96130,95630,95110,94550,93970,93360,92720,92050,91350,90630,89880,89100,88290,87460,86600,85720,84800,83870,82900,81920,80900,79860,78800,77710,76600,75470,74310,73140,71930,7071sin

Aç› (Derece)

sin tan cot cos

“Trigonometri Tablosu” dar aç›lar›n trigonometrik oranlar›n› bulmak için kullan›l›r. Ölçüleri 1°den 45°yekadar olan aç› ölçüleri yukar›dan afla¤›ya do¤ru, 45° den 90° ye kadar olan aç› ölçüleri ise afla¤›danyukar›ya do¤ru gösterilmifltir.

1° ile 45° aras›ndaki aç› ölçülerinin trigonometrik de¤erleri üstte verilen trigonometrik ifadelerin sütun-lar› ile aç› ölçüsünün sat›r›n›n kesiflti¤i de¤erlerdir. 45° ile 90° aras›ndaki aç› ölçülerinin trigonometrik de-¤erleri altta verilen trigonometrik ifadelerin sütunlar› ile aç› ölçüsünün sat›r›n›n kesiflti¤i de¤erlerdir.

89°88°87°86°85°84°83°82°81°80°79°78°77°76°75°74°73°72°71°70°69°68°67°66°65°64°63°62°61°60°59°58°57°56°55°54°53°52°51°50°49°48°47°46°45°Aç› (Derece)

TTRR‹‹GGOONNOOMMEETTRR‹‹ TTAABBLLOOSSUU

124

• Masan›z›n üzerine 3 birim küpü üst üste koyunuz.

• Cetvelinizin bir ucunu flekildeki gibi üst üste koydu¤unuz birim küplerin üstüne di¤er ucu s›raya ge-lecek flekilde koyunuz.

6. BÖLÜM EĞİM

� Paran›n kayma h›z›yla cetvelin s›rayla yapt›¤› aç› aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

� E¤imi yüksek olan yerlerde niçin tar›m elveriflli flekilde yap›lamamaktad›r? Tart›fl›n›z.

Do¤runun E¤imi

Araç ve gereç: Cetvel, birim küpler, madenî para

Türkiye’de belli s›ralar hâlindeuzanan da¤lar, çeflitli yükseltidekiplatolar, çay ve akarsu a¤›zlar›ndaoluflan vadiler ülkemizin yüzey flekil-lerine çeflitlilik katmaktad›r.

Bu kadar farkl› yüzey flekillerinesahip olan arazi e¤imi, topra¤›n, da-¤›n ve ovan›n ayr›lmaz bir özelli¤idir.Ülkemizde e¤imi % 12’den fazla olantopraklarda tar›m yap›lamamaktad›r.Ayr›ca e¤imin dikli¤i, artt›kça toprakerozyonu da ço¤almaktad›r.

� Yukar›da verilenlere göre e¤im kelimesi size neyi ça¤r›flt›r›yor? Bir yerin e¤imi sizce nas›l bu-lunabilir?

• Cetvelin s›raya de¤en ucunun birim küplere olan yatay uzakl›¤› ile birim küplerin yüksekli¤ini ölçünüz.

• Birim küplerin yüksekli¤ini cetvelin birim küplere olan yatay uzakl›¤›na oranlay›n›z.

• Cetvelin s›raya de¤en ucunun s›ra ile yapt›¤› aç›y› ölçünüz.

• Ölçtü¤ünüz aç›n›n tanjant de¤erini trigonometri cetvelinden bulunuz.

• Aç›n›n de¤eri ile uzakl›klar›n oranlad›¤›n›z de¤erini karfl›laflt›r›n›z.

• Her seferinde birim küp say›s›n› bir art›rarak ayn› ifllemleri tekrarlay›n›z.

� Birim küplerin say›s› artt›kça cetvelin s›raya de¤en ucunun birim küplere olan uzakl›¤›nda nas›l bir de-¤iflim olufltu? Aç›klay›n›z.

� Birim küplerin yüksekli¤i ile cetvelin s›rayla yapt›¤› aç› aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Her seferinde cetvelin birim küplerin üzerine koydu¤unuz ucuna madenî paray› koyarak afla¤›ya do¤-ru kayd›rmaya çal›fl›n›z.

125

DEF dik üçgeninde;

tan θ =,

, % .DEEF

bulunur569 6

0 17 17, ,=

Ali ile Ayfle farkl› noktalardaki ölçülere göre ifllemleri yapmalar›na ra¤men yolun yer düzle-mi ile yapt›¤› aç›n›n tanjant de¤erini ayn› bulmufllard›r.

Örnek

Örnek: Engelliler için yap›lan resimdeki yolun e¤imini bulal›m:

Resimde verilen rampan›n e¤imini bulal›m. fiekildeki gibiABC dik üçgenini olufltural›m:

tan θ = bulunur.

Rampan›n e¤imi % 80’dir.

, %1512 0 8 80= =

Bir yolun, bir yamac›n, bir çat›n›n vb.nin e¤imi dikey mesafenin yatay mesafeye oran›naeflittir. E¤im, “m” ile yüzde cinsinden veya ondal›k kesirle gösterilir.

Örnek: fiekilde verilen binaya girifl yolunun e¤imini bulal›m:

Verilen uzunluklara göre ENG dik üçgenini oluflturarak yo-lun e¤imini bulal›m:

tan α bulunur.

Yolun e¤imi % 37’dir.

, %3212 0 37 37.= =

Örnek: Resimde verilen tren yolunun yer düzlemi ileyapt›¤› aç›n›n tanjant de¤erini farkl› yollardan bulal›m: Ayfleresimde görüldü¤ü gibi ABC dik üçgeni yard›m›yla, Ali iseDEF dik üçgeni yard›m›yla bulmaya çal›fl›yor.

Ayfle, |AB|= 35 m, |BC| = 6 m ölçtü¤üne göre Ali, |DE| = 56 m, |EF| = 9,6 m ölçtü¤üne göre

ABC üçgenini olufltural›m.

O hâlde yolun e¤imi, % ' .veya tir10075 75

0,75 % 75 .αtan bulunur86= = =

αE

N

G

12 cm

6 cm

8 cm

32 cm

A

B

Cα

αα θθ

θθ

A

A D E

F

B

B

C

C

15 m

12 m

6 m

35 m 56 m

9,6 m

ABC dik üçgeninde;

tan α = , % .ABBC

bulunur356 0 17 17, ,=

126

• Karton üzerinde çeyrek daire oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz çeyrek daireyi makasla kesip ç›kar›n›z.

• Aç›ölçerle 0°den 90°ye kadar yay ölçülerini belirleyiniz. ‹pin birucuna çekülü ba¤lay›n›z.

• Çekülün ba¤l› oldu¤u ipin di¤er ucunu çeyrek dairenin merke-zinden geçirerek tutturunuz.

• Sert bir kartondan bir sap yaparak oluflturdu¤unuz çeyrek da-ireyi sapa yap›flt›r›c› ile yap›flt›r›n›z.

• S›n›f tahtas›ndan 6 m uzaklaflarak klinometreyi, s›n›f tahtas›n›nüst kenar›n› görebilece¤iniz flekilde hizalay›n›z. Çekülün ba¤l› oldu-¤u ipin kaç dereceyi gösterdi¤ini belirleyiniz.

• Bir arkadafl›n›z klinometrenin hizas›ndan tahtan›n üst noktas›n›lazerle göstersin.

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak lazerle oluflturdu¤unuzdo¤ru parças›n›n e¤imini nas›l belirlersiniz?

Örnek

Trigonometri cetvelinden yararlanarak tanjant de¤eri yaklafl›k olarak 0,78 olan aç›n›n 38°likaç› oldu¤unu görürüz. O hâlde, Mustafa Bey, bulundu¤u yerden 38°lik bir aç› ölçüsü ile çat›n›nen üst tepe noktas›n› görebilmektedir.

Mustafa Bey’in omzunun yerden yüksekli¤i 1,52 m’dir.9,32 m = 932 cm |AD| = 932 cm

10 m = 1000 cm |BD| = 152 cm ⇒1,52 m = 152 cm

|AB| = |AD| – |BD| = 932 – 152 = 780 cm olur.ABC dik üçgeninde,

tan α= , % .BCAB

bulunur1000780 0 78 78= = =

A

7,8 m

α

152 cmD CB

Mustafa Bey’in evinin çat›s›n›n uç noktas›n›n yere uzakl›¤› 9,32 m’dir.Mustafa Bey, evden 10 m uzaklaflarak klinometreyi göz hizas›nda çat›-n›n tepesine do¤ru tuttu¤unda çat›n›n en uç noktas›n› görebiliyor. Mus-tafa Bey’in omuzunun yerden yüksekli¤i 1,52 m oldu¤una göre çat›n›nen uç noktas›n› kaç derecelik aç› ölçüsü ile gördü¤ünü bulal›m:

Klinometre Yapal›m

Araç ve gereç: Makas, karton, aç›ölçer, ip, çekül, yap›fl-

t›r›c›, lazer

127

• Kareli kâ¤›t üzerinde dik koordinat sistemi oluflturunuz.

• do¤rular›n›n ek-

senleri kesti¤i noktalar› bularak koordinat düzleminde çiziniz.

• Köfleleri bafllang›ç noktas› ve do¤rular›n eksenleri kes-ti¤i noktalar olan üçgenler oluflturunuz.

• α, θ ve β aç›lar›n›n tanjant de¤erlerini, ait olduklar› diküçgenler yard›m›yla bulunuz.

• tan α de¤erini d1 do¤rusu-

nun denkleminde, tan θ de¤e-rini d2 do¤rusunun denklemin-

de ve tan β de¤erini d3 do¤ru-

sunun denkleminde x’in katsa-y›lar› ile karfl›laflt›r›n›z.

� Yapt›¤›n›z ifllemlerdenyararlanarak y = mx + n biçi-mindeki bir do¤runun e¤imi ilex’in kat say›s› aras›nda nas›lbir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• AOB ve DOC dik üçgenle-rinin benzer olduklar›n› göste-rerek [AB] // [DC] oldu¤unu bu-lunuz.

• Grafikte kesiflen ve kesifl-meyen do¤rular› belirleyiniz.

� Kesiflmeyen (paralel)do¤rular›n e¤imleri aras›nda na-s›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

, – ,y x y x y x52 2 2 4 2 4= + = = +

y

x

O–1–2–3–4–5 1 2 3 4 5

–1

–2

–3

–4

–5

1

2

3

4

5

y = 2x + 4

d1

y

x

d2

y = 2x – 4

d3

B

A

C

D

OA

B

–3 –2 –1

1

2

345

6

1 2 3–1–2

y

x

y = 2x + 6

A 3 cm O

B

6 cm

y = ax + b denkleminde do¤runun e¤imi x’in kat say›s›naeflittir (m = a).

x = 0 için y = 2 . 0 + 6 = 6

y = 6

y = 0 için 0 = 2x + 6

2 x = –6

x = –3 bulunur.

Do¤runun E¤imi ile Denklemi Aras›ndaki ‹liflki

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, kalem

α

α

Örnek: y = 2x + 6 do¤rusunun grafi¤ini çizip e¤imini bulal›m: E¤imi ile x’in kat say›s› aras›ndaki ilifl-kiyi inceleyelim:

Do¤runun eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m. Grafi¤i çizip do¤runun e¤imini bulal›m.

y x52 2= +

α θβ

AOB dik üçgeninde

tan α = =y x2 6

2= +

36 2= tan α olur.

Örnek: y = x – 1, y = 3x + 3 ve y = 3x – 6 do¤rular›n›n grafiklerini çizerek e¤imlerini inceleyelim:Do¤rular›n eksenleri kesti¤i noktalar› bulal›m:

Örnek: 4y = 2x + 5 do¤rusunun e¤imini grafik çizmeden bulal›m:4y = 2x + 5 denklemini y = ax + b fleklinde yazal›m.

4y = 2x + 5 ⇒ ⇒ E¤im x’in kat say›s› olaca¤›ndan m = bulunur.21y x

2 45= +

Örnek: A(2, 0) ve B(3, 4) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imini bulal›m:Do¤runun grafi¤ini çizelim.

ABC dik üçgenini çizerek e¤imini bulal›m.

MAC = tan α = = 4 bulunur.14

Örnek: y = 5x + 4 ve 2y = ax + b do¤rular› paraleldir. a de¤erini bulal›m:

2y = ax + b ⇒ 2y = ax + b ⇒ y = ⇒ y = 5x + 4 ve y = do¤rular› paralel oldu¤undan

e¤imleri eflittir. O hâlde 5 = ⇒ a = 10 bulunur.a2

a x b2 2

+a x b2 2

+

:ç – –

ç –

' .

x i in y

y i in x

x x dir

0 3 0 6 6

0 0 3 6

3 6 2&

= = =

= =

= =

Z

[

\

]]

]]

:ç

ç

– –

x i in y

y i in x

x x

0 3 0 3 3

0 0 3 3

3 3 1&

= = + =

= = +

= =

Z

[

\

]]

]]

y = x – 1 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar›, y = 3x + 3 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar›,

y = 3x –6 do¤rusunun eksenleri kesti¤i noktalar›,

ÖÇK s. 77, 78,79, 80, 81

4 4

2 2

ç – –

ç –

x i in y

y i in x x

0 0 1 1

0 0 1 1&

= = =

= = =*

Do¤rular›n grafikleri, eksenleri kesti¤i noktalar yard›m›yla çizilir.

FOE, OAB ve COD dik üçgenlerini oluflturarak do¤ru-lar›n e¤imlerini bulal›m:

tan θ = 3 = tan β oldu¤undan θ = β elde edilir.O hâlde EF ile DC do¤rular›, paralel do¤rulard›r.tan θ = tan β oldu¤undan y = 3x + 3 ve y = 3x – 6 do¤rular›n›n e¤imleri birbirlerine eflittir.

F

E

A

D

y = 3x + 3

y = 3x – 6

C

B

y

x

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6 O

y = x – 1

E

OF 1 cm

3 cm

Paralel do¤rular›n e¤imleri birbirine eflittir.

x’in kat say›s› 3’tür.

tanm

y x13 3

3 3

FE = = =

= +

θ

denkleminde

O A1 cm

1 cm

B

x’in kat say›s› 1’dir.

–

tanm

y x11 1

1

AB = = =

=

α

denkleminde

O D2 cm

6 cm

C

x’in kat say›s› 3’tür.

–

tanm

y x26 3

3 6

CD = = =

= denkleminde

β

0

1234

1 2 3x

y

A

C

B A

C

B1

4

128

129

1. Afla¤›da verilen do¤rular›n grafiklerini çizerek e¤imlerini bulunuz.

– –y x y x y x y x3 53

532 5 4

87= = + = = +


3. fiekilde verilen üst geçidin e¤imini bulunuz.

4. Verilen uzunluklara göre çocuklar›n kayd›klar› yo-lun e¤imini bulunuz.

Verilenlere göre trigonometri cetvelinden yararla-narak flekildeki römorkun kasas›n›n uzunlu¤unu bu-lunuz.

6. fiekilde verilen d1, d2, d3 do¤rular›n›n e¤imleri s›ras›yla m1, m2, m3

oldu¤una göre do¤rular›n e¤imlerini küçükten büyü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

d3

d1

d2

y

x

Yanda koordinat düzleminde verilen dörtgenin kenarlar›n-dan ve bir köflegeninden oluflan do¤ru parçalar›n›n e¤imlerinibüyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.

D

A

B

C

5.

7.

2. Afla¤›da verilen ifadelerden hangisi ya da hangileri do¤rudur?I. Denklemi y = ax + b olan do¤runun e¤imi m = 6’d›r.

II. E¤im, dikey uzakl›¤›n yatay uzakl›¤a oran›na eflittir.III. Durgun bir suda e¤im % 5’tir.

A. I B. II C. III D. I, II ve III

13 m

18 m

26 m

3 m

50°

7 m

a) b) c) ç)

130

Yanda verilenlere göre a, b, c, d, e, f, guzunluklar›n› küçükten büyü¤e do¤ru s›rala-y›n›z.

5.

C

B

A b g E

D

58 50

6040d

c

8057

6560

70

ef

a

4. Afla¤›daki ifadelerden do¤ru olanlar›n bafl›na D, yanl›fl olanlar›n bafl›na Y yaz›n›z.

(. . . ) Yaln›z üç iç aç›s› verilen üçgen çizilebilir.

(. . . ) Kenarortay uzunluklar› verilen üçgenler çizilebilir.

(. . . ) Genifl aç›l› üçgende kenartoylar üçgenin d›fl bölgesinde bir noktada kesiflir.

(. . . ) Bütün üçgenlerde yükseklikler, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesiflir.

1. Afla¤›da verilen uzunluklardan hangileri ile bir üçgen çizilemez?

2. Afla¤›da verilenlere göre x’in alabilece¤i tam say› de¤erlerini bulunuz.

a) a = 5 cm b) a = 4 cm c) a = 1 cm ç) a = 6 cm

b = 4 cm b = 4 cm b = 2 cm b = 8 cm

c = 7 cm c = 4 cm c = 4 cm c = 11 cm

3. Afla¤›da elemanlar› verilen üçgenleri çizip çizimi anlat›n›z.

a) a = 7 cm b) a = 5 cm c) b = 3 cm ç) a = 11 cm

b = 6 cm

c = 8 cm c = 4 cm ( ) 7 °m C 5=W( ) 0°m C 8=W( ) °m B 55=V( ) °m A 06=W( ) °m B 70=V

A

B C

7 cm

x cm

4 cm

a) b)

C

3 cm

3 cm5 cm

A

D

B

A

B C

10 cm 11 cm

x cm

D

c)

9 cm

x cm 9 cm7 cm

Yanda verilen ABCD ikizkenar yamu¤unda,

a) oldu¤unu

gösteriniz.

b) Üçgenlerin hangi efllik kural›na göre efl ol-duklar›n› nedenleriyle söyleyiniz.

ABC AB DCDCB ve D A, ,T T TT

6. A D

B C


131

7. aras›nda oldu¤una göre üçgenlerin efl aç›lar›n› ve efl kenarlar›n›

yaz›n›z.

ABC DEF,TT

ABC ve DEFTT

Verilenlere göre iki üçgen aras›n-daki benzerlik flart›n› yazarak x de-¤erini bulunuz.

Ç( ) ' .DEF cm dir33=T

8.

B

A

C

4 cm 3 cm

x

E

12

F

D

Yandaki flekilde [DE] // [BC]’d›r.

Verilenlere göre [AC]’n›n uzunlu¤u kaç santime-tredir?

9. A

B C

D E

20 cm

4 cm

6 cm

A. 5 B. C. D.35

25

310

Yandaki flekilde

[EF] // [BC] ve [FG] // [CD]’d›r.

Verilenlere göre x + y + t de¤erini bulunuz.

10. A

2 cm

3 cm 4 cm5 cm

F

G

E

B Cx

t8 cm

Dy

11. oldu¤una göre tan x + cot x de¤eri kaçt›r?° ° sin oscx ve x x0 902 5

< < =

A. 5 B. C. D.35

2910

1029

12. ifadesinin de¤eri kaçt›r?°°° °

°° – °

sincos cos

cossin sinsin 30

4050 30

4050 60$ +

A. 1 B. C. D.23

21

31

ABCD bir kare, [AC] köflegen ve B, C, E do¤ru-sal noktalard›r.

oldu¤una göre

’nin çevre uzunlu¤unu bulunuz.DCET

( ) °m E ve AC60 5 2= =V

13. D

C

A

B EÖÇK s. 82, 83

132

Ali, bir a¤ac›n yüksekli¤ini ölçmek için 15 m uzaklafl›p yere bir sopadikti¤inde sopan›n topra¤›n d›fl›nda kalan k›sm›n›n 2 m oldu¤unu ölçü-yor. Sopadan 3 m uzaklafl›p yere koydu¤u aynaya bakt›¤›nda sopa ilea¤ac›n boyunu ayn› hizada görüyor. Buna göre Ali, a¤ac›n boyunu kaçmetre olarak ölçmüfltür?

15.

fiekilde verilenlere göre a + b’nin de¤erinibulunuz.

16. A

D

B

E

4 cm

2 cm

3 cmC

b

12 cm

a

Bir geminin kaptan› deniz fenerini gördü¤ündedeniz seviyesi ile fenerin tepesi aras›ndaki aç›n›n21 derece oldu¤unu belirliyor. Fenerin yüksekli¤i20 m oldu¤una göre geminin fenere uzakl›¤›n› yak-lafl›k olarak bulunuz.

17.

Ayfle, günün belli bir saatinde okulun gölgesininuzunlu¤unu 20 m olarak ölçüyor. Günefl ›fl›nlar›n›nyatayla 40°lik aç› yapt›¤› bilindi¤ine göre Ayfle, oku-lun yüksekli¤ini yaklafl›k olarak kaç metre bulmufl-tur?

18.

Verilenlere göre [AB]’n›n uzunlu¤unu bulunuz.

14. A

11 cm

C 7 cm

B

FE

4 cm

9 cm

6 cm

133

PROJE

Projenin ad› : Site Maketi Yap›yoruz

Projenin amac› : Bu projede kartondan, kibrit kutular›ndan ve kibrit çöplerinden

prizma, piramit, koni modelleri haz›rlayarak bir site yerleflim

maketi yapacaks›n›z.

Projenin süresi : 14 hafta

Projenin aflamalar›


1. Site plan›n›n yap›lmas›nda ne kadar alan üzerine kaçar metre karelik binalar›n diki-

lece¤ine yönelik bilgilerin toplanmas›

2. Yap›lm›fl maket modellerinin incelenmesi

3. Bu konuda uzman kiflilerden yard›m al›nmas›

Uygulama Aşaması

1. Modellerin haz›rlanmas› ve maketin oluflturulmas›

2. Maketin süslenmesi

3. Maketin farkl› görünümlerinin perspektif çizimlerinin haz›rlanmas›

4. Proje sürecinde yap›lan çal›flmalar›n raporlaflt›r›lmas›

Projenin Sunulması

1. Proje plan›n›n tan›t›lmas›

2. Maketin perspektif çizimleri ile tan›t›lmas›

• Pinpon toplar›ndan 3 tane alarak her birinin üzerine a, b, c harflerini ya-z›n›z. Her topa farkl› bir harf yazmal›s›n›z.

• Bu pinpon toplar›ndan iki tanesini yan yana kaç farkl› fleklide dizebile-ce¤inizi permütasyon yard›m›yla bulunuz.

• Bu diziliflleri yaz›n›z.

• Pinpon toplar›ndan iki tanesini kaç farkl› flekilde seçebilirsiniz? Tüm ola-s› sonuçlar› yaz›n›z.

� Yapt›¤›n›z seçimlerde toplar›n seçilifl s›ras›n›n önemi var m›d›r? Aç›k-lay›n›z.

� Yazd›¤›n›z dizilifllerle seçimlerinizi karfl›laflt›r›n›z. Aradaki fark› aç›kla-y›n›z.

• Ayn› pinpon toplar›ndan 3 tanesini yan yana kaç farkl› fle-kilde dizebilece¤inizi bulunuz.

• Bu diziliflleri yaz›n›z.

• Pinpon toplar›ndan 3 tanesini kaç farkl› flekilde seçebilirsi-niz? Yaz›n›z.

� Permütasyonla bu seçimleri karfl›laflt›r›n›z.

� Bu seçimler, permütasyon say›s›na ba¤l› olarak sizce nas›l ifade edilebilir? Aç›klay›n›z.

135

1. BÖLÜM KOMBİNASYON VE PERMÜTASYON

Örnek: Ayd›n Bey, bir okulda matematikö¤retmeni olarak görev yapmaktad›r. Dersinegirdi¤i 8/A s›n›f›nda matematik dersi çok iyiolan Ali, Ayfle, Fatma, Yeliz ve Ahmet adl› 5ö¤rencisinden 2 tanesini bir yar›flmaya gön-dermek istemektedir.

Ayd›n Bey, bu seçimi kaç farkl› biçimdeyapabilir?

Bir Kümenin Kombinasyonlar›n› Belirleme

Araç ve gereç: Pinpon toplar›

Türk halk oyunlar›, Türk folklorunun önemli bileflenle-rinden biridir. Türk folklorunun temelini halk oluflturmakta-d›r. Bu yüzden de asl›nda “halk bilimi” anlam›na gelenfolklor sözcü¤ü, halk aras›nda halk oyunlar› anlam›ndakullan›lmaktad›r. Ülkemizde hemen hemen her yöremizeait de¤iflik halk oyunlar› vard›r.

� “8 kiflilik bir halk oyunlar› ekibinden 6 kifli kaç farkl›flekilde seçilebilir?”

� “8 kiflilik bir halk oyunlar› ekibinden 6 kifli yan yana kaç farkl› flekilde dizilebilir?”

Yukar›daki iki soru aras›nda herhangi bir fark var m›d›r? Hangisinin sonucunun daha fazlaç›kaca¤›n› düflünürsünüz?

136

: :

: : :

: : :

:

– ! !!

! !!

.olur

44 2 2

42 2

4

1 2 1 2

1 2 3 43 2

6

2

2= =

= =

=

a]

kg

Ayd›n Bey, bu seçimi; resimlerde görüldü¤ü gibi 10 farkl› biçimde yapabilir.

Örnek: A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin iki elemanl› alt kümelerini yaz›p 2 elemanl› alt küme say›s›n›belirleyelim:

A kümesinin 2 elemanl› alt kümeleri;{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} olmak üzere 10 tanedir.

r ≤ n; r, n∈N olmak üzere n elemanl› bir kümenin r elemanl› alt kümelerinin her birinekümenin r’li kombinasyonu denir. Bu kombinasyon

Örnek: A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanl› alt küme say›s›n› (2’li kombinasyonlar›n›) ve 3 elemanl›alt küme say›s›n› (3’lü kombinasyonlar›n›) bulal›m:

ba¤›nt›s›yla hesaplan›r.C = =öde g sterili .rmin ., ç ,– ! !

!C n r veya r bi i n r r n r rnn n^ _ ^ _

]h i h i

g

Yukar›daki her iki örne¤i inceledi¤imizde 5 kifli aras›ndan 2 kiflinin seçilme say›s› ile 5 ele-manl› bir kümenin 2 elemanl› alt küme say›s›n›n ayn› oldu¤unu görürüz. Ayr›ca her iki örnektede s›ralaman›n önemli olmad›¤›n› söyleyebiliriz.

3’lü kobinasyonlar›n say›s› r = 3’tür.

: :

: : :

: : :

– ! !!

! !!

.olur

44 3 3

41 3

4

1 1 2 3

4 3 2 14

3= =

= =

a]

kg

2’li kombinasyonlar›n say›s›,r = 2’dir.

s(A) = 4 oldu¤undan n = 4’tür. O hâlde,

137

Örnek: 10 tane hemflire aras›ndan 5 kiflilik bir sa¤l›k ekibi kaçfarkl› biçimde oluflturulabilir? ‹nceleyelim:

10 tane hemflire aras›ndan 5 kiflilik bir ekibin oluflturulmasay›s›yla 10’un 5’li kombinasyonlar›n›n say›s› ayn›d›r. O hâlde 5kiflilik ekip,

Yanda verilenlere göre köfle-leri bu noktalar olan kaç farkl› üç-gen çizilebilece¤ini inceleyelim:

Oluflturulabilecek üçgenlerin köflesi d1 do¤rusu üzerinde ise taban› d2 do¤rusu üzerinde olur. Bu durum-

da 4 noktadan bir noktay› ve 5 noktadan 2 noktay›

farkl› flekilde seçilebilece¤imizden çarpma kural›na göre farkl› üçgen oluflturabiliriz.: :4 5 4 10 401 2

= =a ak k

: : : :

: : :

– ! !!

! !!

! 1

3 !5

5 2 25

3 25

3 2

5 410

2

2= = = =a]

kg

4 41

=a k

d2

d1

AB

CD

E F G H I

d2

d1

AB

CD

E F G H I

. . .

A B C D

E F G H I d2

d1

. . .

Örnek: Yandaki flekilde verilen bir çember üzerindeki 6 farkl› nok-tadan en fazla;

a) Kaç farkl› do¤ru geçebilece¤ini,b) Kaç farkl› üçgen oluflturulabilece¤ini inceleyelim:

a) ‹ki noktadan bir do¤ru geçece¤inden 6 farkl› noktadan,

do¤ru geçer.

b) Üç farkl› noktadan bir üçgen olufltu¤una göre 6 farkl› noktadan,

farkl› üçgen oluflur.: : : : : : :

: : : : :

:

– ! !!

! !!6

6 3 36

3 36

1 2 3 1 2 3

1 2 3 4 5 64 5 20

3= = = = =a]

kg

: : : : : : :

: : : : :

:

– ! !!

! !!6

6 2 26

4 26

1 2 3 4 1 2

1 2 3 4 65 3 15

5 3

2= = = = =a]

kg

A B

F C

DE

: : : : : : :

: : : : :

: : :

– ! !!

! !!

1 2 3 4 5 5!

7 6 !

› ç ç .farkl bi imde se ilebilir

1010 5 5

105 510 10 9 8 5

2 3 7 6 2522 3 2

5= = = = =a]

kg

Üçgenlerin taban› d1 do¤rusu üzerinde, köflesi d2 do¤rusu üze-

rinde ise bu durumda 4 noktadan 2 noktay›

ve 5 noktadan 1 noktay›

farkl› flekilde seçebilece¤imizden farkl›

üçgen oluflturabiliriz. O hâlde toplam 30 + 40 = 70 tane farkl› üçgen oluflturabiliriz.

:4 52 1

:6 5 30= =a ak k5 51

=a k

: : : :

: :

– ! !!

! !!

1 2 2!

!44 2 2

42 2

4 4 3 26

2

2 = = = =a]

kg

Örnek

138

Örnek: Burak, Ali, Cemil ve Ferhat adl› 4 arkadafl lu-naparka giderek çarp›flan arabalara binmek istemekte-dir. Çarp›flan arabalara 2 kifli birlikte binebilmektedir.Buna göre;

a) 4 arkadafl›n çarp›flan arabalara binmek için kaçfarkl› grup oluflturabilece¤ini,

b) Çarp›flan arabaya biri sürücü di¤eri yan›nda otu-ran olmak üzere kaç farkl› flekilde binebileceklerini ince-leyelim:

a) Bu 4 arkadafl ikiflerli gruplar oluflturacaklar›na gö-re 4’ün 2’li kombinasyonlar›n› bulmal›y›z.

O hâlde,

Bu gruplar, resimlerde görüldü¤ü gibi oluflabilir. Görüldü¤ü gibi gruplar› olufltururken s›ralamaönemli de¤ildir.

b) fiimdi bu gruplar›n çarp›flan arabalara kaç de¤iflik biçimde binebileceklerini inceleyelim.Kimin sürücü, kimin yan›nda oturan olaca¤› önemli oldu¤undan bir s›ralama söz konusudur.

• 5 elemanl› bir A kümesi belirleyiniz.

• A kümesinin 3’lü permütasyonlar›n›n say›s›n› bulunuz.

• A kümesinin 3’lü kombinasyonlar›n›n say›s›n› bulunuz.

� A kümesinin 3’lü kombinasyonlar›n›n say›s› ile 3’lü permütasyonlar›n›n say›s› aras›nda nas›l biriliflki vard›r? Belirleyiniz.

• Ayn› ifllemleri A kümesinin 4’lü ve 2’li permütasyon ve kombinasyon say›lar› için de yap›n›z.

� Hangi ifllemde s›ralama, hangi ifllemde seçme yap›lm›flt›r? Aç›klay›n›z.

• A kümesinin 3’lü permütasyonlar›n›n say›s›n› 3’lü kombinasyonlar›n›n say›s›na bölünüz. Yine ayn›kümenin 2’li ve 4’lü permütasyonlar› ile kombinasyonlar› için de ayn› ifllemleri yap›n›z.

� Bu bölme ifllemleri sonucunda hangi ortak say› elde edilmifltir? Aç›klay›n›z.

• Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak permütasyon ile kombinasyon aras›ndaki fark› aç›klay›n›z. Birkümenin r’li permütasyonlar›n›, kümenin r’li kombinasyonlar› cinsinden nas›l ifade edilebilece¤ini gös-teriniz.

grup oluflturabilirler.: : : :

: :

– ! !!

! !!

!

!4

4 2 24

2 24

2 1 2

4 3 26

2

2= = = =a]

kg

Permütasyon ve Kombinasyon Aras›ndaki Fark


139

Sürücü Yan›nda oturan

veya

4’ün 2’li permütasyonlar›n›n say›s›n›, 2’li kombinasyonlar›n say›s›na bölelim:

Buradan P(4, 2) = 2! C(4, 2) elde edilir.

:

::

– ! !

!

– !

!

!!

!! ! ! .

,

,

CP

olur

n r

4 24 2

4 2 2

4

4 2

4

24

42 2 2

r

. .

= = =.]

]

_

_

g

g

i

i

: :

– !!

!!

!

!.,P olur4 2

4 24

24

2

4 3 212= = = =]

]g

g

n elemanl› bir kümenin r elemanl› permütasyon ve kombinasyonlar› aras›nda,

! fl › .C P r C ili kisi vard r&= =

:: : :

:

– !!

– ! !!

–!

! !

– ! !!

, ,

, , ,

!P n r

n rn C n r

n r rn

n rn

rP n r

r

n rn r r

n n r n r

1 1&= = = =]

]]

] ]]

]]

] ]

gg

gg g

g

gg

g g

Örnek: P(n, r) = 6 : C(n, r) eflitli¤inde r de¤erini bulal›m:

Örnek: 4 ö¤retmen ve 8 ö¤renci aras›ndan 4 kiflilik bir ekip seçilecektir.Bu ekip,

a) Kaç farkl› biçimde seçilebilir?b) 1 ö¤retmen, 3 ö¤renci olmak flart›yla kaç farkl› biçimde seçilebilir?c) Hepsi ö¤renci olmak flart›yla kaç farkl› biçimde seçilebilir?

rn

⇒

:

– !!

– ! !!

,

,

P n rn rn

n rn r r

n

=

C =

]]

]]

gg

gg

Bu durumda afla¤›daki gibi birs›ralama olur:

Çarp›flan arabalara her grupkendi aras›nda yandaki gibi 2 fark-l› biçimde, dört arkadafl da top-lamda 6 : 2 = 12 farkl› biçimde bi-nebilir.

Di¤er yandan arabalarda kiminsürücü olaca¤› önemli oldu¤undans›ralama söz konusuydu. O hâldebu ifllemi 4’ün 2’li permütasyonla-r›n› bularak da elde edebiliriz.

Sürücü Yan›nda oturan

Örnek: 11 kiflilik basketbol tak›m›ndan 5 kiflilik bir ekip ve bu ekip içinde biri 1. kaptan, biri 2. kap-tan olmak üzere 2 kiflinin kaç de¤iflik biçimde seçilece¤ini bulal›m.

Bunu, farkl› biçimde seçebiliriz.

Seçilen bu 5 kifliden kimin 1. kaptan kimin 2. kaptan olaca¤›önemlidir.

Bunun için bu ifllemi 5’in 2’li permütasyonlar›n› bularak eldeederiz.

Çarpma kural› gere¤ince ekibimizi, 462 . 20 = 9240 farkl›biçimde seçebiliriz.

: :

– !!

!!

!

!.,P olur5 2

5 25

35

3

5 4 320= = = =]

]g

g

: : : : :

: : : : :

: : :

– ! 5!!

! !!

!

!11

11 511

6 511

6 5 4 3 2

11 10 9 8 7 611 2 3 7 462

2 3

5= = = = =a]

kg

:

:

:– !

!

– ! !

!!

! .

, ,P n r C n r

n r

n

n r r

nr

r r bulunur

6

6 1 6 6 31

& & &

=

= = = =

] ]

] ]

g g

g g

Permütasyonda s›ra önemlidir. Kom-binasyonda s›ra önemli de¤ildir.

Kombinasyon bir seçme ifllemidir.

140

a) Grupta 4 ö¤retmen + 8 ö¤renci = 12 kifli vard›r.

12 kifli aras›ndan 4 kifli farkl› biçimde seçilebilir.

b) 4 ö¤retmen aras›ndan 1 ö¤retmen farkl› biçimde ve 8 ö¤renci aras›nda 3 ö¤renci

farkl› biçimde seçilece¤inden çarp›m kural› gere¤ince

4 : 56 = 224 farkl› biçimde seçilebilir.c) Hepsi ö¤renci olaca¤›na göre 8 ö¤renci aras›ndan 4 ö¤renci seçebiliriz.Bunu da,

farkl› biçimde seçebiliriz.: : : : :

: : : :

: :

– ! !!

!

!88 4 4

84 1 2 3 4

8 7 6 5 42 7 5 70

2

4 = = = =a]

kg

: : : :

: : :

– ! !!

! 1

!88 3 3

85 3 2

8 7 6 5563 = = =a

]k

g

41 4=a k

: : : : :

: : : :

– ! !!

! 1

!1212 4 4

128 2 3 4

12 11 10 9 8495

5

4 = = =a]

kg


) , ) , ) ç) )

) , ) , ) , ) , ›) ,

a C b C c d

e P f P g P h P P

7 5 11 11 11 11 13

7 5 11 11 11 0 11 1 9 81 0 5

^ ^ a a a

^ ^ ^ ^ ^

h h k k k

h h h h h

3.10 soruluk bir s›navda ilk 6 sorudan en az 3 tanesi seçilmek koflu-luyla 6 soru kaç farkl› flekilde seçilebilir?

6.

4. Kombinasyon yard›m›yla düzgün ongenin kaç köflegeni oldu¤unubulunuz?

5. Bir özel okul, okula baflvuran 20 matematik, 15 Türkçe ö¤retmeniaras›ndan bir matematik bir de Türkçe ö¤retmenini kaç farkl› biçimde se-çebilir?

Bir otelde 3 yatakl› 1 oda ve 2 yatakl› 2 oda bofltur. 7 kifli bu odalara kaçfarkl› biçimde yerleflebilir?

A. 110 B. 160 C. 210 D. 260

7. Düzlemde bulunan 8 do¤ru, en fazla kaç noktada kesiflir?

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

8. Birbirine paralel 5 do¤ru ile yine birbirlerine paralel 7 do¤ru kesifltiriliyor.

a) Kenarlar› bu do¤rular›n üzerinde bulunan en fazla kaç tane paralelkenar elde edilir?b) Do¤rular nas›l kesifltirilirse dikdörtgen elde edilir?c) Oluflacak dikdörtgenlerle paralelkenarlar›n say›lar› eflit olur mu? Neden?


2. Herhangi üçü bir do¤ru üzerinde olmayan 5 farkl› nokta ile en fazla kaç üçgen çizilebilir?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

ÖÇK s. 85, 86,87

141

• Bir torbaya 5 beyaz, 4 mavi, 3 sar› bilye at›n›z.

• Torbadan bir bilye çekip rengini belirleyiniz.

• Torbadan çekti¤iniz bu bilyeyi torbaya atmadan ikinci bir bilyeçekti¤inizde bu bilyenin elinizdeki bilyeyle ayn› renkte olma olas›l›¤›-n› bulunuz.

• Torbadan çekti¤iniz bilyeyi torbaya geri atarak ikinci bir bilyeçekmek isteseniz bu bilyenin elinizdeki bilyeyle ayn› renkte olma ola-s›l›¤›n› bulunuz.

� Hangi durumda, belirledi¤iniz renkte ikinci bilye çekme flans›-n›z daha yüksektir? Aç›klay›n›z.

• Bir madenî paray› havaya at›p örnek uzay› belirleyiniz.

� Paran›n üste gelen yüzünün yaz› olmas› ile torbadan çekilenbir bilyenin mavi bilye olmas› olaylar›, birbirlerini etkiler mi? Neden?

� Yap›lan ifllemlerden yararlanarak birbirlerinin gerçekleflmesinietkileyen veya etkilemeyen olaylar hakk›nda neler söyleyebilirsiniz?

2. BÖLÜM OLAY VE OLASILIK ÇEŞİTLERİ

Örnek: A flehrinde yaflayan Ahmet Bey, 25 litrelik damacana ile su al›yor. 20 litrelik damacanan›nfiyat› 4,5 TL’dir. Fakat Ahmet Bey’in efli Ayfle Han›m bunun yerine 150 TL’ye bir su ar›tma cihaz› al›pmetre küp fiyat› 2,5 TL olan musluk suyunu ar›tarak içmenin daha tasarruflu bir ifl oldu¤unu düflünmek-tedir. Ahmet Bey’inailesi 4 kifliliktir ve 1haftada 20 litrelik ikidamacana su tüket-mektedir. Hangisininaile bütçesine dahafazla katk› sa¤laya-ca¤›n› araflt›ral›m.

Ba¤›ml› ve Ba¤›ms›z Olaylar

Araç ve gereç: Torba, renkli bilyeler, madenî para

Toprak kaymas›, toprak örtüsünün bir yerden koparak biryamaç boyunca kaymas› ve afla¤›da bir yerde birikmesidir.Toprak kaymas› ülkemizde s›kça karfl›lafl›lan bir durumdur.

Ya¤mur ve kar sular›, yamaçlar› kaplayan topra¤›n içines›zar. Suyu geçirmeyen bir tabakaya rastlay›nca buradakaygan bir zemin oluflturarak toprak kaymas›na neden olur.Toprak kaymas› bazen bir çamur biçiminde bazen de topraktabakas› olarak h›zla kaymaya bafllar.

� Metne göre birbirine ba¤l› olan iki olay› yazabilirmisiniz?

142

Ahmet Bey’in harcamalar›1 damacana fiyat› = 4,5 TL1 haftada 2 damacana al›nd›¤›nda;1 haftada 2 x 4,5 = 9 TL1 y›l = 52 hafta1 y›lda 9 x 52 = 468 TL olur.

Bu durumda Ayfle Han›m 1 y›lda Ahmet Bey’e göre 468 – 155 = 313 TL tasarruf sa¤lam›flolacakt›r. Üstelik sonraki y›llar için de su ar›tma cihaz› paras› ödemeyecekleri için Ayfle Han›m’›ndüflündükleri aile bütçesine katk› sa¤layacakt›r.

Örnek: 9. s›n›fta okuyan Ata matematik, fizik ve kim-ya derslerinin y›l sonu ortalamas› 3,5 oldu¤u takdirde 10.s›n›fta bu derslerle ilgili istedi¤i alan› seçebilecektir. Ata,ayr›ca ilgi duydu¤u için resim dersini de seçmek istemek-tedir.

Ata’n›n fizik, kimya ve matematik derslerinin y›l sonuortalamas› ile seçmek istedi¤i alan birbirleriyle ba¤lant›l›-d›r. Ayr›ca ilgi duydu¤u için seçmek istedi¤i seçmeli dersde bu alanla ba¤lant›l›d›r. Fakat derslerinin y›l sonu ortalamas› ile 10. s›n›fta seçece¤i seçmeli ders ara-s›nda bir iliflki bulunmamaktad›r. Bu nedenle bu iki olay birbirinden tamamen ba¤›ms›zd›r.

Ayfle Han›m’›n harcamalar›1 y›l = 52 hafta1 y›lda = 40 x 52 = 2080 litre su harcan›r.1m3 = 1000 litre oldu¤una göre harcanan su yakla-

fl›k olarak 2 m3 olacakt›r. Bu suyun fiyat› da 2 x 2,5 = 5 TL olacakt›r.O hâlde, Ayfle Han›m’›n 1 y›lda yapt›¤› harcama,150 + 5 = 155 TL olacakt›r.

‹ki olaydan birinin gerçekleflmesi di¤erini etkiliyorsabu olaylara ba¤›ml› olaylar, etkilemiyorsa ba¤›ms›zolaylar denir.

Bir y›lda her ikisinin yapaca¤› harcamalar› bulup karfl›laflt›ral›m:

Örnek: Ankara’da bir ilaç fabrikas›nda çal›flan Taner Beypiyasaya yeni ç›kacak bir ilac›n tan›t›m›n› yapmak üzere kuraile ‹stanbul, ‹zmir ve Kayseri illerinden birine yine kura ile karayolu, hava yolu ve demir yollar›ndan biri ile gidecektir.

Bu tan›t›m için Taner Bey’in ‹stanbul’a hava yolu ile gitmeolas›l›¤›n› inceleyelim:

Taner Bey’in ‹stanbul’a gitme olay›na A olay›, ‹stan-bul’a hava yolu ile gitme olay›na da B olay› diyelim. Ku-rada Taner Bey’e ‹stanbul ilinin ç›kmas› ‹stanbul’a havayolu ile gitmesi koflulunu gerektirmedi¤i için A ve B olay-lar› ba¤›ms›z olaylard›r.

143

Örnek: Bir torbada ayn› büyüklükte 5 k›rm›z› ve 6 siyah bilye vard›r. Çekilen bilye torbaya geri kon-mak koflulu ile torbadan iki bilye çekilirse;

a) ‹ki bilyenin de k›rm›z› gelme olas›l›klar›n›,b) Birincinin k›rm›z›, ikincinin siyah gelme olas›l›klar›n›,c) Birinin k›rm›z›, birinin siyah gelme olas›l›klar›n› bulal›m.Çekilen bilye geri at›ld›¤›nda olaylar ba¤›ms›z olaylard›r. Buna göre,

a) 1. çekiliflte k›rm›z› gelme olas›l›¤› ’dir.

2. çekiliflte k›rm›z› gelme olas›l›¤› ’dir. Her iki çekiliflte k›rm›z› gelme olas›l›¤› ’dir.

b) Birincinin k›rm›z› gelme olas›l›¤› ve ikincinin siyah gelme olas›l›¤› oldu¤undan birincinin

k›rm›z›, ikincinin siyah gelme olas›l›¤› ’dir.:

115

116

12130=

116

115

:

115

115

12125=

115

115

511

611

1. çekilifl 511

611

511

611

511

511

=. 25121

a

511

611

=. 30121

b

611

511

=. 30121

611

611

=. 36121

c

1424

3

2. çekilifl

c) Çekiliflte gelebilecek renk s›ras›, k›rm›z› siyah veya siyah k›rm›z› olaca¤›ndan birinin k›rm›z› birinin

siyah olma olas›l›¤›, : : :2! 2 .bulunur115

116

12130

12160= =

Bu ifllemleri afla¤›daki gibi a¤aç flemas› ile gösterelim:

A ve B ba¤›ms›z olaylar ise A ve B’nin birlikte gerçekleflme olas›l›¤› bu olaylar›n olas›l›klar›çarp›m›na eflittir.

O(A ∩ B) = O(A) . O(B)’dir.

fiimdi bu olaylar›n olma olas›l›klar›n› inceleyelim:Taner Bey ‹stanbul, ‹zmir ve Kayseri’den birine gidece¤inden kurada ‹stan-

bul’un ç›kmas› olas›l›¤› ’tür. Yine hava yolu, kara yolu ve demir yolundan

biriyle gidece¤i için bu yollardan hava yolunu kullanma olas›l›¤› da ’tür.

O hâlde

fiimdi de A ve B olaylar›n›n birlikte gerçekleflme olas›l›klar›n› inceleyelim:Taner Bey’in afla¤›da gösterilen seçeneklerden birini seçmesi olas›l›¤› (‹s-

tanbul-hava yolu, ‹stanbul-kara yolu, ‹stanbul-demir yolu; ‹zmir-hava yolu, ‹z-mir-kara yolu, ‹zmir-demir yolu; Kayseri-hava yolu, Kayseri-kara yolu, Kayseri-

demir yolu), ’dur.

A ve B olaylar›n›n (ba¤›ms›z olaylar›n) birlikte gerçekleflmesi olas›l›¤› A veB olaylar›n›n olas›l›klar› çarp›m›na eflittir.

O hâlde, : : .O A B O A O B bulunur31

31

91

+ = = =] ] ]g g g

: ¤ ,oldu undan91

31

31=

91

.A ve B olurO O31

31= =] ]g g

31

31

144

Örnek: Bir s›n›fta 15 erkek, 17 k›z ö¤renci vard›r. Her ö¤rencinin ad›ayn› büyüklükte kartlara yaz›l›p kartlar›n hepsi bir torbaya at›l›yor. Çekilenkart torbaya geri konulmamak flart› ile torbadan art arda iki kart çekiliyor.Buna göre;

a) Her iki kartta da erkek ö¤renci ad› ç›kma olas›l›¤›n›,b) Her iki kartta da k›z ö¤renci ad› ç›kma olas›l›¤›n› bulal›m.

Çekilen kartlar torbaya geri konulmad›¤›ndan olaylar ba¤›ml› olaylard›r.

a) Birinci çekiliflte erkek ad› ç›kma olas›l›¤› ’dir .

2. çekiliflte erkek ad› ç›kma olas›l›¤› (toplamda ve erkek say›s›nda 1 azalaca¤›ndan) ’dir.

O hâlde her iki çekiliflte de erkek ad› ç›kma olas›l›¤› ’d›r.

b) 1. çekiliflte k›z ö¤renci ad› ç›kma olas›l›¤› ve ikinci çekiliflte k›z ö¤renci ad› ç›kma olas›l›¤›

oldu¤undan her iki çekiliflte de k›z ö¤renci ad› ç›kma olas›l›¤› ’tür.:

32

161731 64

17

2=

3116

3217

15:

32 3114

496105

16

7

=

3114

3215

Örnek: K›fl›n havan›n bulutlu oldu¤u bir günde, Ali, Elif ve Burçak kar ya¤mas› ile ilgili afla¤›daki tah-minleri yap›yorlar.

Görüldü¤ü gibi kar ya¤ma olas›l›klar› Elif, Ali ve Burçak’a göre de¤iflmektedir.

(Oyun zar›n›n 6 yüzü vard›r ve yüzlerinde 1’den 6’ya kadar rakamlar yaz›l›d›r.)

• Bir zar havaya at›ld›¤›nda üste gelen yüzünde 3 olma olas›l›¤›n› ifllem yapa-rak belirleyiniz.

• Zar› üst üste 7 kez havaya atarak üste gelen yüzünde 3 gelme say›s›n› deneyerek belirleyiniz.• Zar›n 7 kez at›lmas›nda üste gelen yüzünde 3 olmas› olas›l›¤›n› bulunuz.• Ayn› ifllemi s›ras›yla zar› 10 kez, 15 kez ve 25 kez havaya atarak yap›n›z.� Zar› kaç kez att›¤›n›zda buldu¤unuz olas›l›k, ilk durumda buldu¤unuz olas›l›k de¤erine daha yak›n-

d›r? Aç›klay›n›z.� Arkadafllar›n›zdan, s›n›f›n›z›n sene sonunda okulun en baflar›l› s›n›f› olma olas›l›¤›n› yüzde ile ifade

etmelerini isteyiniz.� Arkadafllar›n›z›n söyledi¤i yüzdeler ayn› m›d›r? Nedenini aç›klay›n›z.� Sizce etkinlikte kaç türlü olas›l›ktan söz ediliyor?� Buldu¤unuz olas›l›klar›n birbirlerinden farklar› nelerdir? Aç›klay›n›z.

Bir olay›n gerçekleflme olas›l›¤›n›n ölçme ve ifllem yapmadan kiflinin beklenti ve deneyimleri-ne göre gerçekleflmesi öznel olas›l›kt›r.

Olas›l›k Çeflitleri

Araç ve gereç: Oyun zar›

Babam “Havaçok sert ise karya¤maz.” derdi.Onun için bencekar ya¤ma olas›l›-¤› % 60’t›r.

Benim tahmi-nime göre karya¤ma ihtimali% 90’d›r.

Bence bu-gün % 80 karya¤acak.

EL‹F AL‹ BURÇAK

145

Örnek: Bilal, Hacer ve Kader bir hedef tahtas›na s›ras›yla onar at›fl yapm›fllar; att›klar› okun, hangirenkteki bölgeye geldi¤ini afla¤›daki tabloya not etmifllerdir.

Tablo: Hedef Tahtas›ndaki At›fllar

Tablodaki verileri kullanarak Hacer, Kader ve Bilal’in yapt›¤› at›fl say›lar›na göre k›rm›z› bölgeyivurma olas›l›klar›n› hesaplayal›m:

HacerK›rm›z› bölgeyi vurma say›s›: 6Toplam at›fl say›s› : 10K›rm›z› bölgeyi vurma olas›l›¤› :

106

53=

KaderK›rm›z› bölgeyi vurma say›s› : 4Toplam at›fl say›s› : 10K›rm›z› bölgeyi vurmaolas›l›¤› :

104

52=

BilalK›rm›z› bölgeyi vurma say›s›: 3Toplam at›fl say›s› : 10K›rm›z› bölgeyi vurmaolas›l›¤› :

103

Her birinin k›rm›z› bölgeyi vurma olas›l›¤›yap›lan denemeler sonucuna göre de¤iflmektedir.

At›fl s›ras›

1.at›fl

2. at›fl

3.at›fl

4.at›fl

5.at›fl

6.at›fl

7.at›fl

8.at›fl

9.at›fl

10.at›fl

Hacer’inat›fllar›

K K B K S S M K K K

Kader’inat›fllar›

K B B K S M M M K K

Bilal’inat›fllar›

K K K B S B S M M B

Bir deneyde istenen ç›kt› say›s›n›n tümç›kt›lar›n say›s›na bölümünden elde edilenolas›l›k, deneysel olas›l›kt›r.

Örnek: Bir zar havaya at›ld›¤›nda üste gelen yüzünde 4 gelme olas›l›¤› ’d›r.

Bir madenî para havaya at›ld›¤›nda üste gelen yüzünde tura olma olas›l›¤› ’dir.21

61 Bir olay›n ma-

tematiksel olas›l›¤›teorik olas›l›kt›r.

Örnek: Afla¤›da verilen resimdeki çark›n yüzü 4 efl bölgeye ayr›larak farkl› renklere boyanm›flt›r.Çark 1000 kez döndürüldü¤ünde ibre 247 kez sar›, 251 kez yeflil, 250 kez siyah, 252 kez de beyaz böl-geyi göstermifltir. Buna göre çarkta sar› bölge gelme olas›l›¤› için teorik ve deneysel olas›l›¤› bulal›m:

Teorik olas›l›k: Çark›n yüzü 4 efl bölgeye ayr›ld›¤› için ibrenin her

bölgeyi gösterme olas›l›¤› eflittir. O hâlde teorik olas›l›k olur.

Çark 1000 kez döndü¤ünde ibre 247 kez sar› bölgeyi gösterdi¤inde

deneysel olas›l›k bulunur. Bu de¤er 0,25 de¤erine (teo-

rik olas›l›k de¤eri) yak›n bir de¤erdir.

,1000247 0 247=

,41 0 25=

Deneme say›s› artt›kça deneysel olas›l›k de¤eri teorik olas›l›k de¤erine yaklafl›r.

sar›

yeflil beyaz

siyah

a) Bir zar ve bir pa-ran›n birlikte at›lmas›n-da paran›n tura, zar›n 5gelmesi

146

3. Bir torbada A, T, Y harfleri yaz›l› üç top vard›r. Bu toplar torbaya at›lmamak flart›yla art arda çeki-liyor. Çekilifl s›ras›na göre toplar›n üzerindeki harfler bir kâ¤›da yaz›l›yor. Harflerden oluflan kelimeninTAY olma olas›l›¤›n› bulunuz.

4. Bir kutuda bulunan 24 kalemden, 7 tanesi k›r›kt›r. Kutudan rastgele bir kalem çekildi¤inde çekilenkalemin sa¤lam olma olas›l›¤›n› bulunuz.

5. Rastgele bir insan seçildi¤inde bu insan›n bayan, A kan grubunda ve may›s ay›nda do¤mufl olmaolas›l›¤›n› bulunuz (‹nsanlar›n % 45’inin kan grubu “A”d›r.).

6. Afla¤›daki olas›l›k çeflitlerini yaz›n›z.

a) Ahmet Bey’e göre bu k›fl % 80 so¤uk geçecektir.

b) Girdi¤i 500 davadan 5’ini kaybeden bir avukat›n ald›¤› son davay› kazanma olas›l›¤› ’dir.

c) Bir zar at›ld›¤›nda zar›n üste gelen yüzünde asal say› gelme olas›l›¤› ’d›r.63

5049

7. Bir torbada özdefl 4 k›rm›z›, 3 sar› ve 6 mavi bilye bulunmaktad›r. Torbadan s›ra ile çekilecek 2 bilyeden birincinin mavi, ikincinin sar› olma olas›l›¤›n› bulunuz.

8. Bir torbaya 1’den 10’a kadar numaraland›r›lm›fl fifller konuluyor. Torbadan çekilen bir fiflin asalveya 3 ile bölünebilen bir say› olmas› olas›l›¤› kaçt›r?

A. C. D. D. 54

53

52

51

9. Bir küpün 3 yüzü beyaz, 2 yüzü k›rm›z› ve 1 yüzü sar›d›r. Bu küp 4 kez havayaat›ld›¤›nda dördünde de beyaz gelme olas›l›¤›n› bulunuz.

10. Bir kutudaki k›rm›z› kalemlerin say›s›, siyah kalemlerin say›s›n›n yar›s› ka-

dard›r. Kutudan art arda çekilen iki kalemin de siyah olma olas›l›¤› oldu¤una

göre kutudaki siyah kalem say›s›n› bulunuz.

167


ç) Doktor olan bir ba-ban›n çocu¤unun avu-katl›k mesle¤ini seçmesi

b) Bir bölgenin co¤rafikonumu ile ekilen ürününtürü

c) Sürücülerin bilinçlenmesi ile kazalar›n azalmas›

2. A ve B ba¤›ms›z olaylard›r.

ve ise O(A) de¤erini bulunuz.O A B31

+ =] gO B53=] g

1. Afla¤›da verilen olaylardan ba¤›ml› ve ba¤›ms›z olanlar› belirleyiniz. ÖÇK s. 88, 89,90, 91, 92, 93, 94

147

• Ders Kitab›’n›n 3 ve 4. sayfas›ndaki ‹stik-lâl Marfl› ve Atatürk’ün Gençli¤e Hitabesi’nikaçar saniyede okudu¤unuzu belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz süreleri defterinize yaz›n›z.

• Yazd›¤›n›z süreleri küçükten büyü¤edo¤ru s›ralay›n›z.

• S›ralad›¤›n›z verilerin en büyük ve en kü-çük de¤erlerini bulunuz.

• Bu verilerin aç›kl›¤›n› bulunuz.

• Birbirine yak›n veriler ayn› grupta olacakflekilde verileri grupland›r›n›z. Her grubun altve üst s›n›r aral›¤› (grup geniflli¤i)n›n eflit ol-mas›na dikkat ediniz.

• Verilerin aç›kl›¤›n› grup say›s›na bölünüz.

• Hangi verilerin hangi grupta oldu¤unubelirten çetele ve s›kl›k tablosunu yap›n›z.

• Yatay eksende okuma süresinin, dikeyeksende ö¤renci say›s›n›n gösterildi¤i grafik-ler çiziniz.

• Çizdi¤iniz grafikte verileri eflit genifllikteki sütunlarla gösteriniz.

• Oluflturdu¤unuz grafi¤i adland›r›n›z.

� Çizdi¤iniz grafik daha önceki grafiklerden farkl› m›d›r? Neden?

� Çizdi¤iniz grafi¤e bakarak arkadafllar›n›z›n okuma h›zlar› hakk›nda nas›l bir yorum yapars›n›z?Aç›klay›n›z.

3. BÖLÜM MERKEZÎ EĞİLİM VE YAYILMA ÖLÇÜLERİ İLE

İSTATİSTİKSEL TEMSİL BİÇİMLERİ

Histogram Oluflturma

Araç ve gereç: Kitap, kâ¤›t, kalem, kronometre

Çekti¤iniz foto¤raf acaba ne kadar iyi? Bunun enh›zl› cevab›n› histogram grafi¤inden bulabilirsiniz.Histogram, foto¤raftaki ›fl›k da¤›l›m›n› gösteren gra-fiktir.

Histogram grafi¤ini 3 bölüme ay›rabiliriz. Sol k›-s›m karanl›k, orta k›s›m normal, sa¤ k›s›m ise çokayd›nl›k piksellerin (tüm say›sal görüntülerin en kü-çük parças› olan noktac›klar) da¤›l›m›n› gösterir. His-togram grafi¤i bir çan e¤risine benzemelidir. E¤erçekti¤iniz foto¤raf›n histogram grafi¤inde çan e¤risisola kaym›fl ise foto¤raf›n›z karanl›k yani az pozlanm›fl demektir.

� Yukar›daki bilgilere göre histogram grafi¤inde çan e¤risinin sa¤a kaym›fl olmas› ne de-mektir? Tart›fl›n›z.

148

Birbirine yak›n olan notlar› ayn› grupta toplayacak flekilde veriler gruplan›r. Grup say›s›n› 10 olarakald›¤›m›z› düflünelim.

Grup geniflli¤i = oldu¤undan grup geniflli¤i 9 olarak al›n›r. Buna göre çetele

ve s›kl›k tablosunu olufltural›m:

› ›ç› ›

,grup say sa kl k

1089 8 9= =

Verileri gruplamak için grup geniflli¤i belirlenir. Grup geniflli¤ini belirlemek için veri grubununaç›kl›¤›, seçilen grup say›s›na bölünür.

< Grup geniflli¤i eflitsizli¤i göz önüne al›narak bulunan bölümden bir sonraki

do¤al say›, grup geniflli¤i olarak seçilir.

Aç›kl›kGrup say›s›

Al›nan notlar Kifli say›s› Kifli say›s›

11 – 19 IIII II 7

20 – 28 IIII IIII 10

29 – 37 IIII I 6

38 – 46 IIII I 6

47 – 55 IIII II 7

56 – 64 IIII IIII III 13

65 – 73 IIII IIII I 11

74 – 82 IIII IIII II 12

83 – 91 IIII I 6

92 – 100 IIII 5

Örnek: ‹lkö¤retim 8. s›n›f ö¤rencisi

olan Esra, bir lisede matematik ö¤retme-

ni olan babas›n›n not defterine bakm›fl,

9A ve 9B flubelerindeki matematik dersi-

nin 1. yaz›l›s›ndan al›nan notlar›n afla¤›-

daki gibi oldu¤unu görmüfltür:

80, 80, 50, 11, 20, 15, 17, 28, 93, 98,

56, 54, 61, 63, 100, 87, 95, 43, 34, 27,

67, 75, 77, 80, 60, 55, 45, 17, 38, 23, 20,

15, 21, 29, 36, 81, 87, 90, 94, 61, 57, 57,

60, 70, 73, 77, 19, 25, 27, 30, 70, 41, 38,

37, 73, 49, 56, 63, 66, 69, 72, 81, 88, 48,

57, 63, 80, 88, 89, 70, 71, 75, 74, 19, 26, 25, 37, 45, 48, 55, 61, 67, 77.

Verileri grafik üzerinde göstermek için önce verilerin aç›kl›¤› bulunur.

Aç›kl›k = En büyük de¤er – en küçük de¤er

= 100 –11 = 89

Tablo: 9A ve 9B S›n›flar›n›n Matematik S›nav›nda Ald›¤› Puanlara Ait Çetele ve S›kl›k Tablosu

149

0

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

11–1

9

20–2

8

29–3

7

38–4

6

47–5

5

56–6

4

65–7

3

74–8

2

83–9

1

92–1

00Al›nan notlar (puan)

Kifli say›s›

Tablodaki bu verileri uygun grafik üzerinde gösterelim:

Grafik: 9A ve 9B Ö¤rencilerinin Matematik S›nav›ndan Alm›fl Olduklar› Notlar

Yatay eksende 1–11 aral›¤›nda hiç veri olmad›¤›ndan yanl›fl anlafl›lmalara yol açmamak için“zikzak” kullan›lm›flt›r.

Grafi¤i inceledi¤imizde 54 kiflinin 47 ve üzeri puan ald›¤›n› görürüz. 9A ve 9B ö¤rencilerinin

’inin baflar›l› oldu¤unu ve dolay›s›yla ö¤rencilerin dersi iyi anlad›¤›n› söyleye-

biliriz.

≈ , %835 0 6 64 5 5=

Histogramlar, say›sal birresim içerisinde her renk de-¤erinden kaç adet oldu¤unugösteren grafiklerdir. Histog-ram kullan›m› grupland›rma-da zaman aral›¤› bulundu-¤unda yarar sa¤lar.

Histogram yeni nesil diji-tal foto¤raf makinelerin birço¤unda bulunan önemli bir özelliktir. Kusursuz bir foto¤raf çekmekiçin makinelerde bu özelliklerin bulunmas› neredeyse bir zorunluluk hâline gelmifltir.

Bir veri dizisindeki de¤iflikliklerin s›n›fland›r›lmas› ve bunlar›n çubuklarla gösterilmesi his-togram olarak adland›r›l›r. Bu çubuklar›n (dikdörtgenlerin) genifllikleri eflit olmal›d›r.

150

Örnek: Süper ligde oynayan futbol tak›mlar›ndan Manisaspor, Bursaspor ve Gençlerbirli¤i oyuncu-lar›n›n ilk yar› top kazanma say›lar› afla¤›daki tabloda verilmifltir. Verilere ait histogram› olufltural›m:

Tablo: Futbolcular›n 2007-2008 Sezonu ‹lk Yar› Karfl›laflmalar›nda Kazand›klar› Top Say›lar›

www.tff.org.tr

Futbolcu Tak›mKazand›¤› top say›s›

Filip Holosko Manisaspor 68

Metin Akan Manisaspor 109

Selçuk ‹nan Manisaspor 166

fiener Akflaro¤lu Manisaspor 214

U¤ur ‹nceman Manisaspor 235

H. Kadir Balta Manisaspor 48

Josef Dvornik Manisaspor 219

Oumar Kalabase Manisaspor 402

Rafet E. Manisaspor 37

Ümit Bozkurt Manisaspor 309

Borbiconi Manisaspor 293

An›l Karaer Manisaspor 4

Bülent Ataman Manisaspor 165

Ferhat Öztorun Manisaspor 196

Güven Varol Manisaspor 37

Lukas Zelenka Manisaspor 11

Nizamettin Manisaspor 88

O¤uz Sabankay Manisaspor 20

Okan Koç Manisaspor 40

Sezer Öztürk Manisaspor 11

Sinan Özkan Manisaspor 6

Ufuk Ceylan Manisaspor 67

Herve Tum Bursaspor 86

Sinan Kalo¤lu Bursaspor 60

Mustafa Sarp Bursaspor 190

Sumilikovski Bursaspor 241

Volkan fien Bursaspor 70

Cihan Haspolatl› Bursaspor 177

Sercan Y›ld›r›m Bursaspor 11

Veli Acar Bursaspor 101

Yenal Tuncer Bursaspor 79

Bekir Ozanhas Bursaspor 81

Collin Mbesuma Bursaspor 6

Daniel Pancu Bursaspor 63

Futbolcu Tak›mKazand›¤›top say›s›

Egemen Korkmaz Bursaspor 278

Esen Ya¤mur Bursaspor 12

‹brahim Do¤aflan Bursaspor 3

‹smail Güldüren Bursaspor 199

Vandelanoite Bursaspor 142

Koray Öztürk Bursaspor 32

Cisse Bursaspor 10

Orhan Alemdar Bursaspor 3

Ömer Erdo¤an Bursaspor 397

Ö. Aysan Bar›fl Bursaspor 65

Vicente Vepa Bursaspor 96

Volkan Bekiro¤lu Bursaspor 37

Yavuz Erayd›n Bursaspor 75

Mehmet Çak›r Gençlerbirli¤i 167

Okan Öztürk Gençlerbirli¤i 32

Burhan Efler Gençlerbirli¤i 55

Floresta Kahe Gençlerbirli¤i 33

Isaac Promise Gençlerbirli¤i 56

Engin Baytar Gençlerbirli¤i 71

Erhan Güven Gençlerbirli¤i 154

Kerem fieraz Gençlerbirli¤i 245

Nicholes Carle Gençlerbirli¤i 113

Tuna Üzümcü Gençlerbirli¤i 245

Eren Ayd›n Gençlerbirli¤i 263

Erkan Özbey Gençlerbirli¤i 184

Ferhat Kiraz Gençlerbirli¤i 5

Gökhan Tokgöz Gençlerbirli¤i 169

Lamine Traore Gençlerbirli¤i 133

Marko Zoriç Gençlerbirli¤i 91

Mehmet Nas Gençlerbirli¤i 273

Nikola Petkoviç Gençlerbirli¤i 83

Tolga Do¤antez Gençlerbirli¤i 325

Sedat Yeflilkaya Gençlerbirli¤i 126

151

0

2019

1817

1615

14

13

1211

1098

76

5432

1Kazan›lan top say›s›

3-42

43–8

2

83-1

22

123-

162

163-

202

203-

242

243-

282

283-

322

323-

362

363-

402

Futbolcu say›s›

Kazan›lan top say›s› aral›¤› Futbolcu say›s› Futbolcu say›s›

3 – 42 IIII IIII IIII IIII 19

43 – 82 IIII IIII III 13

83 – 122 IIII III 8

123 – 162 IIII 4

163 – 202 IIII IIII 9

203 – 242 IIII 4

243 – 282 IIII 5

283 – 322 II 2

323 – 362 I 1

363 – 402 II 2

Çetele ve s›kl›k tablosundan yararlanarak verilere ait histogram› olufltural›m:

Grafik: Futbolcular›n 2007-2008 Sezonu ‹lk Yar› Kazand›¤› Top Say›lar›

Histogram› inceledi¤imizde en fazla top kazan-man›n 3-82 aral›¤›nda oldu¤unu görürüz. Daha yük-sek seviyede top çalan oyuncunun azl›¤›, bu tak›m-larda çok fazla üst düzey oyuncunun olmad›¤›n›gösterir.

Tabloya bakt›¤›m›zda verilerin en büyük de¤eri (üst s›n›r) 402, en küçük de¤eri (alt s›n›r) 3 oldu¤ugörülür. O hâlde, Aç›kl›k = 402 – 3 = 399 olur.

Grup say›s›n› 10 olarak belirleyelim.

Grup geniflli¤ini 40 olarak al›r›z. Buna göre verilereait çetele ve s›kl›k tablosunu oluflturabiliriz.

Aç›kl›kGrup say›s›

39910

= = 39,9 olur.

Tablo: Futbolcular›n 2007-2008 Sezonu ‹lk Yar› Kazand›¤› Top Say›lar›na Ait Çetele ve S›kl›kTablosu

Son 7 y›lda her iki liseden mezun olanlar›n ÖSS’de baflar›l› olan ö¤renci say›lar›n›n aritme-tik ortalamas› eflittir. Bu nedenle Ferhat, aritmetik ortalamaya bakarak bir yorum yapamaz. Do-lay›s›yla Ferhat’›n seçimi için baflka bir yay›lma ölçüsüne ihtiyac› vard›r.

Ferhat’›n, verilerin ortalama etraf›ndaki da¤›l›m› hakk›nda bilgi veren bir ölçü olan, standartsapmay› bilmesi gerekir.

152

• A, B ve C liselerinin son 5 y›lda ÖSS’de baflar›l› olan ö¤renci sa-y›lar› afla¤›daki gibidir (Her üç okulun son s›n›f›nda okuyan ö¤rencisay›s› ayn›d›r.):

A okulu: 13 25 17 15 30B okulu: 20 25 21 20 14C okulu: 17 15 23 20 25• Her üç okula ait verilerin aritmetik ortalamas›n› bulunuz.� Aritmetik ortalamalara bakarak hangi okulun daha baflar›l› oldu¤u-

nu söyleyebilir misiniz? Nedenini aç›klay›n›z.• Her üç okula ait aç›kl›k ve çeyrekler aç›kl›¤› de¤erlerini bulunuz.� Hangi okulun veri grubu yay›l›m› daha fazlad›r? Aç›klay›n›z.• Her okula ait verilerin, aritmetik ortalamadan fark›n› bulunuz.• Buldu¤unuz bu farklar›n karelerini al›p toplay›n›z.• Bu toplam›, veri say›s›n›n bir eksi¤ine bölünüz.• Ç›kan sonucun karekökünü belirleyiniz.• Belirledi¤iniz karekök de¤erlerini ait olduklar› veri gruplar›n›n yay›l›m› ile karfl›laflt›r›n›z.� Aralar›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak yeni bir yay›lma ölçüsüne ihtiyaç var m›d›r? Neden?

Örnek: ‹lkö¤retim 8. s›n›f ö¤rencisi olan Ferhat, SBS’de baflar›l› olamaz ise evlerine en yak›n A veB liselerinden birisine gitmek istiyor. Bunun için son 7 y›lda ortalama yüzer ö¤renci mezun olan bu okul-lardan ÖSS’ye giren ö¤renci say›lar›n› afla¤›daki gibi tespit etti¤ine göre Ferhat’›n hangi liseyi seçmesigerekti¤ini araflt›ral›m.

A lisesi: 4 7 8 18 16 7 3B lisesi: 8 10 9 8 7 11 10

Her iki liseye ait verilerin aritmetik ortalamalar›n› bulal›m:

Standart sapma, verilerin ortalama etraf›ndaki yay›lmas›n› ölçen bir yay›lma ölçüsüdür. Arit-metik ortalama için yap›lan yorumlarda kullan›l›r. Veriler aritmetik ortalamaya ne kadar yak›n isestandart sapma da o kadar küçük ç›kar.

A lisesi:

B lisesi: .bulunur7

8 10 9 8 7 11 107

639

1

9+ + + + + + = =

7

637

4 7 8 18 16 7 3 99

+ + + + + + = =

Standart sapma afla¤›daki gibi bulunur:Verilerin aritmetik ortalamas› bulunur. Her bir verinin aritmetik ortalamadan fark› bulunup ka-

releri al›n›r. Al›nan kareler toplan›p veri say›s›n›n bir eksi¤ine bölünür. Ç›kan sonucun karekökübulunur. Elde edilen de¤er, verilerin standart sapmas›d›r.

Standart sapma = –

– – ... –n

P ORT P ORT P ORT1

n12

22 2+ + +^ ^ ^h h h

Standart Sapma


153

–≈ ,

–≈ ,

7 1200

6200 5 8

7 112

612 2 1 45= = =

1. oyuncu:

2. oyuncu: 7

847

7 10 21 11 7 13 15 1212

+ + + + + + = =

7

847

15 13 5 8 19 8 16 1212

+ + + + + + = =

A lisesine ait standart sapma, B lisesine ait verilerin standart sapmas›ndan daha büyüktür.Dolay›s›yla B lisesinde ÖSS’yi kazanan ö¤renci say›lar› y›llara göre birbirlerine daha yak›nd›r.

B lisesi, A lisesine göre daha istikrarl› bir baflar› göstermifltir ve Ferhat’›n B lisesini seçmesidaha uygundur.

A lisesi Aritmetik ortalama = 9

–

–

–

– –

– –

–

–200

9 4 5 25

9 7 2 4

9 8 1 1

9 18 9 81

9 16 7 49

9 7 2 4

9 3 6 36

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

= =

= =

= =

= =

= =

= =

+ = =

]

]

]

] ]

] ]

]

]

g

g

g

g g

g g

g

g

B lisesi Aritmetik ortalama = 9

–

– –

–

–

–

– –

–12

9 8 1 1

9 10 1 1

9 9 0 0

9 8 1 1

9 7 2 4

9 11 2 4

9 10 1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

= =

= =

= =

= =

= =

= =

+ = =

]

] ]

]

]

]

] ]

]

g

g g

g

g

g

g g

g

Aritmetik ortalamada oldu¤u gibi standart sapma da uç de¤erlerden etkilenir. Tüm veriler bir-birine eflit ise standart sapma s›f›rd›r. Bir veri grubunda standart sapma ne kadar büyük olursao veri grubunda risk o kadar büyüktür.

Örnek: Bir futbol kulübü bir golcü oyuncu almak için tespit etti¤i iki futbolcu aras›nda bir tercih yap-mak istiyor. Transfer ücretleri ayn› olan iki futbolcunun son 9 sezonluk gol say›lar› afla¤›daki gibidir:

1. oyuncu: 15 13 5 8 19 8 162. oyuncu: 7 10 21 11 7 13 15

Verilerin standart sapmas›n› bulal›m:

Her iki oyuncunun y›ll›k gol ortalamas› ayn›d›r. Bu du-rumda hangi oyuncunun daha baflar›l› oldu¤unu söyleye-meyiz.

Hangi oyuncunun al›nmas›n›n daha avantajl› olaca¤›n› tespit etmek için öncelikle att›klar› golsay›lar›n›n aritmetik ortalamalar›n› bulal›m:

154

• S›n›ftaki her bir arkadafl›n›z›n evindeki hane halk› say›s›n› belir-leyiniz.

• Belirledi¤iniz verileri tablo ile gösterip çizgi ve sütun grafikleriniçiziniz.

• Verilere ait histogram› oluflturunuz.

� Bu verilere ait sonuçlar› hangi grafikle daha iyi yorumlars›n›z?

• Verilere ait aritmetik ortalama, ortanca ve tepe de¤erini bulu-nuz.

• Verilerin standart sapmas›n› bulunuz.

� S›n›ftaki ö¤rencilere ait hane halk› ile bir grup yapmak isterse-niz merkezî e¤ilim ölçülerinin hangisinden yararlan›rs›n›z? Neden?

1. oyuncu

5 8 8 13 15 16 19

↓ ↓

alt çeyrek üst çeyrek

Aç›kl›k: 19 – 5 = 14

Her iki oyuncuya ait aç›kl›k ayn›d›r.

Çeyrekler aç›kl›¤›na bakal›m:

I. oyuncu II. oyuncu16 – 8 = 8 15 – 7 = 8Her iki oyuncuya ait çeyrekler aç›kl›¤› da ayn›d›r. O hâlde bu oyuncular›n performans›n› karfl›laflt›r-

mak için her iki oyuncuya ait veri gruplar›n›n standart sapmas›n› bulal›m:

2. oyuncu

7 7 10 11 13 15 21

↓ ↓

alt çeyrek üst çeyrek

Aç›kl›k: 21 – 7 = 14

–≈ ,

–≈ , .bulunur

7 1156

6156 26 5 1

7 1146

6146 4 9= = =

2. oyuncuya ait verilerin standart sapmas›, 1. oyuncunun standart sapmas›na göre daha kü-çük oldu¤undan 2. oyuncunun daha istikrarl› bir grafik çizdi¤ini söyleyebiliriz. Elde etti¤imiz veri-lere göre kulübün 2. oyuncuyu tercih etmesi menfaatleri için daha avantajl›d›r, diyebiliriz.

1. oyuncu

Aritmetik ortalama : 12

–

–

–

– –

– –

– –

– –156

12 5 7 49

12 8 4 16

12 8 4 16

12 13 1 1

12 15 3 9

12 16 4 16

12 19 7 49

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =+

]

]

]

] ]

] ]

] ]

] ]

g

g

g

g g

g g

g g

g g

2. oyuncu

Aritmetik ortalama : 12

–

–

–

–

– –

– –

– –146

12 7 5 25

12 7 5 25

12 10 2 4

12 11 1 1

12 13 1 1

12 15 3 9

12 21 9 81

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =+

]

]

]

]

] ]

] ]

] ]

g

g

g

g

g g

g g

g g

ortanca ortanca

Her iki oyuncuya ait verilerin aç›kl›k ve çeyrekler aç›kl›¤›n› bulal›m:

Aç›kl›k, çeyrekler aç›kl›¤›ve standart sapma merkezîyay›lma ölçüleridir.

‹statistiksel Temsil Biçimleri


155

Örnek: Bir ilkö¤retim okulu, 1. s›n›fa yeni kaydolan180 ö¤rencinin anne ve babas›na yönelik bir e¤itim prog-ram› düzenlemifltir. 90 çocu¤un anne veya babas› dü-zenlenen programa kat›lm›flt›r. Okul yönetimi y›l sonun-da ö¤rencilerin okumaya bafllama zamanlar›yla ilgili ista-tistiki bilgileri afla¤›daki gibi bir tabloda göstermifltir:

Okumaya bafllad›¤› ayVelisi programa kat›lan

ö¤renci say›s›Velisi programa kat›lmayan

ö¤renci say›s›

Kas›m 10 10

Aral›k 25 15

Ocak 25 17

fiubat 16 15

Mart 10 10

Nisan 3 10

May›s 1 13

Grafik: Bir ‹lkö¤retim Okulundaki 1. S›n›fÖ¤rencilerin Okumaya Bafllama Zamanlar›

Grafik: Bir ‹lkö¤retim Okulundaki 1. S›n›fÖ¤rencilerin Okumaya Bafllama Zamanlar›

Verilere ait çizgi ve sütun grafikleri olufltural›m:

30

25

20

15

10

5

0

Ö¤renci say›s›

Zaman

Kas

›m

Ara

l›k

Oca

k

fiub

at

Mar

t

Nis

an

May

›s

Velisi programakat›lanlar

Velisi programakat›lmayanlar

30

25

20

15

10

5

0

Ö¤renci say›s›

Zaman

Velisi programakat›lanlar

Velisi programakat›lmayanlar

Kas

›m

Ara

l›k

Oca

k

fiub

at

Mar

t

Nis

an

May

›s

Tablo: Bir ‹lkö¤retim Okulunun 1. S›n›f›nda Okuyan Ö¤rencilerin Okumaya Bafllama Zamanlar›

156

Tablolar; çizgi, sütun, daire grafikleri ve histogram istatistiksel temsil biçimleridir.

Verileri inceledi¤imizde Ercan’›n ev ile okul aras›nda geçirdi¤i süre, Elif’in geçirdi¤i süre-den daha fazlad›r.

Ercan34 35 35 38 42

mod : 35medyan : 35(ortanca)Aritmetik ortalama :

,5

34 35 35 38 425

184 36 8+ + + + = =

Elif30 30 32 37 40

mod : 30medyan : 32(ortanca)Aritmetik ortalama :

,5

30 30 32 37 405

169 33 8+ + + + = =

Her iki arkadafla ait mod, medyan ve aritmetik ortalamay› bulal›m:

Tablodaki verileri daire grafikleri ile gösterelim:

Velisi programa kat›lan ö¤renci yüzdeleri

Kas›m ve mart :

Aral›k ve ocak :

fiubat :

Nisan :

May›s : .

% %90

1 100 1.

.% %

903 100 3.

.% %

9016 100 18.

.% %

9025 100 28.

.% %

9010 100 11.

Velisi programa kat›lmayan ö¤renci yüzdeleri

Kas›m, mart ve nisan :

Aral›k ve flubat :

Ocak :

May›s : .

% %90

13 100 14.

.% %

9017 100 19.

.% %

9015 100 17.

.% %

9010 100 11.

Örnek: Elif ve Ercan ayn› sitede oturan ve ayn› okulun8A s›n›f›nda okuyan iki ö¤rencisidir. Ercan okula otobüsleElif ise servisle gitmektedir. Her iki arkadafl 5 gün boyun-ca evden ç›k›fl ve okula var›fl aras›nda geçen zaman› (dk.olarak) afla¤›daki gibi tespit etmifllerdir:

Ercan : 35, 35, 34, 42, 38Elif : 30, 32, 30, 37, 40

Grafik: Velisi Programa Kat›lan Ö¤rencilerinOkumaya Bafllama Zamanlar›

Grafik: Velisi Programa Kat›lmayan Ö¤rencilerinOkumaya Bafllama Zamanlar›

Aral›k% 28

Kas›m% 11

Ocak% 28

fiubat% 18

Mart% 11

May›s % 1

Nisan % 3

Kas›m% 11Aral›k

% 17

Ocak% 19

fiubat% 17

Mart% 11

Nisan% 11

May›s% 14

Tablo ve grafikleri inceledi¤imizde okulun açm›fl oldu¤u e¤itim program›na kat›lan ailelerinçocuklar›n›n, programa kat›lmayan ailelerin çocuklar›na göre daha erken okumaya bafllad›¤›n›görürüz. Bu da çocu¤un e¤itiminde ailenin ne kadar önemli oldu¤unun aç›k bir göstergesidir.

157

1. Bir okuldaki ö¤rencilerin belirli bir günde derse geç kalmalar› (dk. olarak) ileilgili veriler afla¤›daki gibidir. Bu verilere ait histogram› oluflturup, yorumlay›n›z.

1, 7, 3, 11, 27, 40, 33, 15, 13, 21, 27, 30, 37, 38, 31, 16, 17, 11, 7, 4, 3, 5, 11, 5, 4, 7, 111, 17, 19,21, 23, 28, 29, 24, 38, 32, 14, 13, 6, 4, 2, 6, 8, 18, 9, 17, 12, 11, 14, 15, 26, 16, 20, 30, 22, 32, 31, 23,25, 32, 34, 8, 35, 36, 39, 1, 1, 5, 11, 13, 18, 7.

2. Bir s›n›ftaki 11 ö¤rencinin kütlelerine iliflkin veriler afla¤›da yer almaktad›r. Bu verilerin;

a) Modunu b) Medyan›n› c) Aritmetik ortalamas›n›

ç) Standart sapmas›n› d) Çeyrekler aç›kl›¤›n› e) Aç›kl›¤›n› bulunuz.

55, 70, 59, 70, 70, 84, 58, 58, 82, 81, 83

3. S›n›f›n›zdaki ö¤rencilerin matematik dersindeki 1. dönem not ortalamalar›na ait tablo oluflturunuz.Bu ortalamalar› çizgi ve sütun grafi¤i ile gösteriniz.

4. Atatürk’ün Gençli¤e Hitabesi’nde kullan›lan sözcüklerdeki harf say›lar›n›n;

a) S›kl›k ve çetele tablosunu,

b) Histogram›n›,

c) Çizgi ve sütun grafi¤ini oluflturunuz.

Aritmetik ortalama, mod (tepe de¤eri) ve medyan (ortanca) merkezî e¤ilim ölçüleridir.

6. Bir dil kursuna 2000-2005 y›llar›nda s›ras›yla 200, 400, 600, 400,600 ve 800 kifli devam etmifltir. Bu kursa devam eden ö¤rencisay›lar›yla ilgili tablo yap›p çizgi ve sütun grafikleri ile gösteriniz.

5. Yandaki grafik bir ö¤rencinin bir hafta içinde çözdü¤ü soru say›-s›n›n günlük da¤›l›m›n› göstermektedir. Buna göre bu ö¤renci bir haf-ta boyunca günde ortalama kaç soru çözmüfltür?

40

30

20

10

Paz

arte

siS

al›

Çar

flam

baP

erfle

mbe

Cum

aC

umar

tesi

Paz

ar

Günler

Soru say›s›

0


ÖÇK s. 95, 96, 97, 98,99, 100, 101, 102, 103

Örnek: Bir müteahhitlik firmas› orta gelir seviyesinin üstünde olan bir kesime hitap edebilecek evleryapmak istiyor.

Yap›lacak evlerle ilgili özellikleri belirlemek amac›yla seçilecek örneklem grubuna yöneltilebilecekaraflt›rma sorular› üretelim:

•• Evlerin ›s›nma sistemi nas›l olmal›d›r?•• Her an s›cak suyun bulunmas›n› ister misiniz?•• Binada görüntülü kap› sistemi bulunmas› gerekir

mi?•• Site içinde havuz olmas›n› ister misiniz?•• Site girifl kap›lar› uzaktan kumandal› m› olmal›d›r?•• Sitenizde güvenlik görevlisi bulunmal› m›d›r?•• Sitenin flehir merkezine uzakl›¤› ne kadar olmal›-

d›r?•• Müteahhit firman›n güvenirlili¤i önemli mi?•• Evlerin depreme dayan›kl›¤› konusunda duyarl› m›s›n›z?

158

1. • Kombinasyonda s›ralama önemlidir.

• Permütasyon, seçme iflidir.

• Deneyler sonucuna dayanan olas›l›k, öznel olas›l›kt›r.

• Histogram ve tablolar istatistiksel temsil biçimleridir.

• Aritmetik ortalama, merkezî e¤ilim ölçüsüdür.

• Standart sapma ve aç›kl›k, merkezî yay›l›m ölçüsüdür.

Yukar›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 7 elemanl› bir kümenin 5 elemanl› kombinasyonlar›n›n say›s›n› bulunuz.

3. 8 erkek, 7 k›z aras›nda 3 k›z, 4 erkekten oluflan bir grup kaç de¤iflik biçimde seçilebilir?

4. Afla¤›da verilen eflitliklerde bilinmeyenleri bulunuz.

a) b)

c) ç)

5. Bir zar ve bir madenî para birlikte at›ld›¤›nda paran›n yaz›, zar›n asal say› gelmesi olaylar›n› ya-z›n›z. Bu olaylar ba¤›ms›z m›d›r? Nedenini belirtiniz.

6. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar› ile 3 basamakl› oluflturulan tüm say›lar efl büyüklükte kart-lara yaz›l›p bir torbaya at›l›yor. Sonra torbadan bir kart çekiliyor. Çekilen kart›n tek say› ç›kma olas›l›¤›-n› bulunuz.

7. Afla¤›da verilen olas›l›klar›n çeflitlerini belirleyiniz.

“Kad›nlar›n afl›r› derecede parfüm s›kmalar› depresyon belirtisi olabilir.” (Milliyet gazetesi, 06.01.2008)

“Ece bu y›l SBS’de % 95 baflar›l› olur.”

“Bir para atma deneyinde yaz› gelme olas›l›¤› 1/2’dir.”

8. Ekin, yaflad›¤› ilçenin daha güzel ve yaflanabilir bir yer olmas› için yeni seçilen ilçe belediye bafl-kan›ndan randevu al›p baflkana afla¤›daki sorular› yöneltmifltir:

• Yeflil alanlar›n ço¤alt›lmas› için projeleriniz nelerdir?

• fiehir merkezinde otopark ve trafik sorununu çözmek için yapaca¤›n›z çal›flmalar nelerdir?

• “En güzel bahçe kimin?” biçiminde yar›flmalar düzenleyecek misiniz?

• Okullara gerekli deste¤i sa¤l›yacak m›s›n›z?

• Düflkünler ve yafll›lar için projeleriniz var m›?

• Mahallelerde sosyal aktivitelerin yap›labilmesi için projeleriniz var m›d›r?

• ‹lçemizde üniversitede okuyan ö¤rencilere maddi yard›m yapmay› düflünüyor musunuz?

Siz Ekin’in yerinde olsayd›n›z belediye baflkan›na baflka ne tür sorular yöneltirdiniz?

, , ?C n P n n2 2 45 &+ = =^ ^h h:, , ?C n P n n n n2 2 1 &+ = + =^ ^ ]h h g

:, , ?P n C n n3 4 4 &= =^ ^h h. – , , ?C n P n n3 1 3 2 &= =^ ^h h


159

9. Ecem bulundu¤u flehrin trafik sorunuyla ilgili olarak 200 kad›n, 200 erkek sürücüye baz› sorularsormufl ve tabloda belirtildi¤i gibi veriler toplam›flt›r.

Sizce verilere göre bayanlar m› yoksa erkekler mi trafik konusunda daha duyarl› davranm›flt›r? Aç›k-lay›n›z.

10. Örneklemi çocuklar ve ebeveynler olan bir araflt›rma konusu belirleyip örneklem gruplar›n› kar-fl›laflt›ran sorular üretiniz.

11. Bir ayakkab› firmas›n›n sahibi olsayd›n›z ç›karaca¤›n›z bir spor ayakkab› modeli için örneklemolarak kimleri seçerdiniz? Seçece¤iniz örneklem gruba uygulamak üzere sorular üretiniz.

12. Bir ifl yerinde çal›flan 80 kifli, bir y›l içinde afla¤›da be-lirtilen sürelerde (gün) izin kullanm›flt›r. Bu ifl yerinde çal›flan-lar›n kulland›klar› izin sürelerine ait histogram› grup say›s›n› 9alarak oluflturunuz.

3, 11, 25, 37, 33, 30, 30, 3, 11, 9, 7, 21, 23, 9, 5, 4, 7,11, 13, 17, 19, 4, 12, 5, 12, 27, 25, 23, 24, 3, 33, 34, 5, 7,8, 8, 8, 18, 20, 28, 29, 31, 32, 36, 8, 9, 9, 7, 7, 6, 6, 6, 10,10, 13, 13, 14, 14, 16, 16, 26, 26, 15, 15, 18, 18, 22, 30, 30,32, 32, 32, 34, 34, 36, 28, 28, 27, 30, 6.

13. 2007-2008 ö¤retim y›l›nda bir okulun 9. s›n›ftaki 11 flubesine kay›t yapt›ran k›z ve erkek ö¤ren-cilerin say›s› afla¤›daki tabloda verilmifltir. Bu verilerin modunu, medyan›n›, aç›kl›¤›n› ve çeyrekler aç›k-l›¤›n› bulunuz.

Trafikle ilgili sorulan sorular Erkeklerin verdi¤i cevaplar Kad›nlar›n verdi¤i cevaplar

Genelde trafik kurallar›nauyar m›s›n›z?

Evet Hay›r Evet Hay›r

180 20 200 —

H›z yapmay› sever misiniz? 130 70 40 160

Özellikle karl› ve buzlu gün-lerde arac›n›za zincir takma-dan trafi¤e ç›kar m›s›n›z?

100 100 100 100

Küçük bir trafik kazas›ndakarfl› tarafla anlaflmay› m›, poli-si aramay› m› tercih edersiniz?

130 70 10 190

Tablo: Bir Okulun 9. S›n›f›na Kay›t Yapt›ran Ö¤renci Say›s›

9A 9B 9C 9D 9E 9F 9G 9H

K E K E K E K E K E K E K E K E

23 7 16 13 16 13 16 13 16 13 14 15 14 14 15 14

14. S›navlara haz›rlanan Bar›fl ve Burak’›n bir hafta boyunca çözdü¤ü test say›lar› afla¤›da verilmifl-tir. Bu verilerin standart sapmas›n› bularak sonucu yorumlay›n›z.

Bar›fl’›n çözdü¤ü test say›s› : 1 5 5 7 1 7 2

Burak’›n çözdü¤ü test say›s›: 3 4 4 3 4 5 5

Tablo: Ecem’in Trafik Sorunuyla ‹lgili Olarak Sordu¤u Sorular

ÖÇK s. 104, 105

161

• Örüntü bloklar›ndan eflkenar üçgensel bölge modellerinden2 tane, dikdörtgensel bölge modellerinden 3 tane al›n›z.

• Dikdörtgensel bölgeleri bir eflkenar üçgensel bölge kenarla-r›na dik olacak flekilde bantlay›n›z.

• Oluflan modelin üst bofllu¤unu da di¤er eflkenar üçgenselbölge ile kapat›n›z.

� Dikdörtgensel bölge modelinin uzun kenar› oluflturdu¤u-nuz prizma modelinde prizman›n hangi eleman›na karfl›l›k gelir?

� Oluflturdu¤unuz modelin birbirine paralel olan yüzleri (ta-banlar›) ve yan yüzleri hangi çokgensel bölgelerdir?

• Ayn› flekilde; örüntü bloklar›ndan 2 tane karesel bölge ve 4tane dikdörtgensel bölge ile bir prizma modeli, örüntü bloklar›n-dan 6 tane dikdörtgensel bölge ile baflka bir prizma modeli olufl-turunuz.

• Oluflturdu¤unuz prizma modellerinin taban, yan yüz, köfleve ayr›tlar›n› belirleyerek bunlar›n say›lar› aras›ndaki iliflkiyi be-lirleyiniz.

• Tabanlar›n yan yüzlere göre konumunu belirleyiniz.� Tabanlar aras›ndaki uzakl›k, prizman›n hangi temel ele-

man›d›r? Aç›klay›n›z.• Prizma modellerinden yararlanarak prizmalar›n aç›n›mlar›-

n› kâ¤›da çiziniz.� Çizdi¤iniz prizma aç›n›mlar›n› göz önünde bulundurarak

prizmalar›n ayr›tlar› aras›ndaki iliflki hakk›nda neler söyleyebilir-siniz? Aç›klay›n›z.

� Aç›n›mlardan yararlanarak prizmalar›n ayr›tlar› ve yüzleriaras›ndaki iliflkiyi nas›l gösterirsiniz? Aç›klay›n›z.

� Çal›flman›zdan yararlanarak prizmalar›n temel elemanla-r›n›n neler oldu¤unu söyleyebilir misiniz?

1. BÖLÜM PRİZMALAR

Prizma ‹nfla Etme ve Aç›n›m›n› Çizme

Araç ve gereç: Örüntü bloklar›, kâ¤›t, kalem, selobant

Hurkan Köprüsü, Van ili Çatak ilçesi ya-k›nlar›nda Narl›-Çatak yolu ayr›m›nda, Ça-tak suyu üzerinde bulunan bir köprüdür. Buköprünün ne zaman ve kimler taraf›ndanyapt›r›ld›¤› bilinmemekle beraber Osmanl›döneminde yap›ld›¤› tahmin edilmektedir.Üçgen prizma fleklinde olan bu köprü, 1988y›l›nda onar›larak köprünün günümüze ka-dar ayakta kalabilmesi sa¤lanm›flt›r.

� Köprünün flekli hakk›nda ne söyleye-bilirsiniz? Köprünün alan›n› ve hacmini he-saplamak için sizce hangi bilgilere ihtiyaçvard›r?

162

HK

L

Z Y

L

H

LL

V

Mh

Örnek: Afla¤›da verilen prizmalar› inceleyelim:

Prizman›n aç›n›m›n› çizelim.

S

R P S R

ABC

B

A

SP

R

A

BC

Tabanlar aras› uzakl›k veya tabanlardan birinin bir noktas›ndan di¤er tabana inilen dikme,prizman›n yüksekli¤idir. Prizmalarda yanal ayr›tlar birbirlerine efltir.

ABC ve RSP üçgensel bölgeleri birbirine paralel ve efltir. ABC ve RSP üçgensel bölgeleriprizman›n tabanlar›d›r.

CBSP, BARS, ACPR dikdörtgensel bölgeleri prizman›n yan yüzleridir. Yan yüzlerinin birlefli-minden elde edilen yüzey, prizman›n yanal yüzeyidir.

[AC], [AB], [BC], [SP], [RS], [RP] prizman›n taban ayr›tlar›; [CP], [BS] ve [AR] prizman›n ya-nal ayr›tlar›d›r. Yanal ayr›tlar tabana dik oldu¤undan prizma dik prizmad›r. Dik prizmada yanalayr›tlar ayn› zamanda prizman›n yüksekli¤idir.

KLM ve VYZ üçgensel bölgeleri birbirine paralel ve efltir. KLM veVYZ üçgensel bölgeleri prizman›n tabanlar›d›r.

MKVZ, KLYV ve LMZY paralelkenarsal bölgeleri, prizman›n yan yüz-leridir. Yan yüzlerinin birlefliminden elde edilen yüzey, prizman›n yanalyüzeyidir.

[KM], [ML], [KL], [VY], [ZY] ve [VZ] prizman›n taban ayr›tlar›; [MZ],[KV] ve [LY] prizman›n yanal ayr›tlar›d›r. Yanal ayr›tlar tabana dik olma-d›¤›ndan prizma e¤ik prizmad›r. E¤ik prizmada yanal ayr›tlar prizman›nyüksekli¤ini vermezler.

Örnek: Prizma modellerini inceleyip aç›n›mlar›n› çizelim:

Tabanlar: D‹KÖ ve GNRT dikdörtgensel bölgeleriYan yüzler: N‹KR, TRKÖ, TÖDG, GN‹D dikdörtgensel bölgeleriTaban ayr›tlar: [D‹], [‹K], [KÖ], [ÖD], [NR], [RT], [TG] ve [GN]Yanal ayr›tlar: [GD], [N‹], [RK] ve [TÖ]’d›r.

G

RT

N

D

KÖ

‹

G N

D ‹

T

Ö

RT

R

K

T

Ö

‹ D

E G

A IL T

R ‹

P ZN M

E G

A I

L T

R ‹ Z M N P

I G E A L

R

N

M Z

‹

163

Dik veya e¤ik prizmalar karfl›l›kl› paralelyüz çiftlerine (tabanlar›na) göre adland›r›l›r.

B N

GE fi

M Z

‹P

R

E

P

fi

R

G

‹

N

Z

B

M

E

P

G

N

B

Z

‹

R

Tabanlar: ALTIGE ve PR‹ZMN alt›gensel bölgeleriYan yüzler: TIZ‹, IZMG, GMNE, ENPA, APRL ve LR‹T dörtgensel bölgeleriTaban ayr›tlar: [AL], [LT], [TI], [IG], [GE], [EA], [PR], [R‹], [‹Z], [ZM], [MN] ve [NP]Yanal ayr›tlar: [T‹], [IZ], [GM], [EN], [AP] ve [LR]’d›r.

Verilen prizmalar› tabanlar›na göre s›ras›yladikdörtgenler prizmas›, beflgen prizma ve alt›genprizma biçiminde adland›r›r›z.

Örnek: Resimdeki eflkenar üçgen dik prizman›n bir taban›n›n köfleleri A, B, C harfleriyle isimlendi-rilmifltir. Prizman›n ekseni etraf›ndaki dönme hareketlerini inceleyiniz.

A A A A

B

C

30°

C

C

B

B BC

C A

B

30°

120°

30° 30°

Eflkenar üçgen prizman›n tabanlar›n›n merkezinden geçen do¤ru, prizman›n eksenidir. Efl-kenar üçgen prizman›n ekseni etraf›ndaki dönme hareketini inceledi¤imizde 120° lik dönmeler-de de¤iflmez kald›¤›n› yani ilk hâlini ald›¤›n› görürüz. O hâlde eflkenar üçgen prizma dönme si-metrisine sahiptir.

Tabanlar: BEfiGN ve PR‹ZM beflgensel bölgeleriYan yüzler: fiR‹G, G‹ZN, NZMB, BMPE, EPRfi dörtgensel bölgeleriTaban ayr›tlar: [BE], [Efi], [fiG], [GN], [NB], [R‹], [‹Z], [ZM], [MP] ve [PR]Yanal ayr›tlar: [fiR], [G‹], [NZ], [BM] ve [EP]’d›r.

164

• Oyun hamuruyla dik üçgen prizma, kare dik prizma ve dikdörtgenler prizmas› modelleri oluflturunuz.

• Her bir prizmay› kaplad›¤›n›z kâ¤›d›n yüzey alan›n› bulunuz.

• Prizmalar›n yüksekliklerini belirleyiniz.

• Her bir prizman›n taban çevresini ve taban alan›n› bulunuz.

• Her bir prizman›n taban çevresi ile yüksekli¤ini çarp›n›z.

• Buldu¤unuz sonucu ait oldu¤u prizman›n iki taban alan› ile top-lay›n›z.

• Buldu¤unuz toplam› prizmay› kaplad›¤›n›z kâ¤›tlar›n alan› ile kar-fl›laflt›r›n›z.


• Oluflturdu¤unuz prizmalar› tabanlar›ndaki çokgensel bölgeleryard›m›yla isimlendiriniz.

� Hangi prizman›n bütün yüzleri dikdörtgensel bölgelerden olufl-mufltur? Aç›klay›n›z.

• Kare prizmay› alarak taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›ndan prizman›n hacmini bulunuz.

• Kare dik prizmay› taban›n köflegeni boyunca ikiye bölerek üçgen dik prizmalar elde ediniz.

• Kare dik prizman›n hacminden yararlanarak bir üçgen dik prizman›n hacmini bulunuz.

• Elde etti¤iniz dik üçgen prizmalardan birinin taban alan›n› ve yüksekli¤ini belirleyiniz.

• Belirledi¤iniz yükseklik ile taban alan›n› çarp›n›z.

• Elde etti¤iniz sonucu üçgen dik prizman›n hacmi ile karfl›laflt›r›n›z.


� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak dik prizmalar›n hacim ve yüzey alan ba¤›nt›lar›n› nas›l olufl-turursunuz? Aç›klay›n›z.

• Oluflturdu¤unuz prizmalar› renkli kâ¤›tlarla kaplay›n›z.

Dik Prizmalar›n Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›lar›

Araç ve gereç: Oyun hamuru, cetvel, renkli kâ¤›t, bant, makas, maket b›ça¤›

165

Örnek: Yanda tabanlar› efl üçgensel bölgeler olan ve yükseklikleri birbirineeflit üçgen dik prizmalar verilmifltir. Taban ayr›t uzunluklar› 2 cm, 3 cm, 3 cm veyükseklikleri 8 cm olan prizmalar›n yüzey alanlar›n›n toplam›n› bulal›m.

5 cm

TA Taban alan›YA Yanal alan›TA = 5 : 5 = 25 cm2

YA = 4 : (5 : 5) = 4 : 25 = 100 cm2

Yüzey alan› = 2 : TA + YA = 2 : 25+100 = 50 + 100 = 150 cm2


YA = 2 : (10 : 20 + 5 : 20) = 2 : (200+100) = 600 cm2

Yüzey Alan› = 2 : TA + YA = 2 : 50 + 600 = 700 cm2

Küpün yüzeyalan› = 6a2

Kare prizman›nyüzey

alan› = 2a2 + 4 : ab

a b

c Dikdörtgenlerprizmas›n›n yüzey

alan› = 2(ab + ac + bc)

b


YA = 4 : (50 : 100) = 4 : 5000 = 20 000 cm2

Yüzey alan› = 2 : TA + YA = 2 : 2500 + 20 000 = 25 000 cm2

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

50 cm

1 m 20 c

m

5 cm

10 cm

5 cm 10 cm

20 c

m

10 cm

5 cm

aa

a

aa

b

50 cm 50 cm 50 cm

50 c

m

50 cm

a

Örnek: Afla¤›da verilen prizma modellerinin aç›n›mlar›n› çizerek yüzey alanlar›n› bulal›m:

5 cm 5 cm

1 m

20 c

m

fiekildeki prizma mo-delinin bütün yüzleri birbi-rine efl karesel bölge oldu-¤undan küptür.

fiekildeki prizma mo-delinin bütün yüzleri dik-dörtgensel bölge oldu¤un-dan dikdörtgenler prizma-s›d›r.

fiekildeki prizma mo-delinin taban› karesel böl-ge, yan yüzleri dikdörtgen-sel bölge oldu¤undan kareprizmad›r.

114422443311

4422

4433

1144224433

114444442244444433

1144

4444

2244

4444

33

1144

4444

2244

4444

33

50 cm

10 cm

166

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 oldu¤undan bu prizmalar›n tabanlar› dik üç-gensel bölgelerdir.

.( ) ( ) ( ) ( ).

.

ABC DEF PRS VYZ

A ABC A DEF A PRS A VYZ br dir2

3 43 2 6 2

1

2

, , ,

= = = = = =

T T T T

T T T T

Efl prizmalardan birinin yüzey aç›n›m›n› çizelim ve yüzey alan›n› bulal›m:

Taban alan›,

h2 +12=32

⇒ h2 = 9 – 1 = 8

Yanal alan›,

:

TA cm2

2 2 22 2 2= =

h cm2 2& =

D E

F

A C

B

3 cm

3 cm

2 cm

8 cm

F D

F

E

B A

F

C B

B

8 cm

3 cm3 cm

3 cm2 cm

2 cm

5 cm3 cm

4 cm

B

A

C

A

B C

h

3 cm1 cm

1 cm 3 cm

YA = A(ABFD) + A(ACED) + A(CBFE)= 2 : 8+3 : 8+3 : 8 = 16+24+24 = 64 cm2

YA = 8.(2 + 3 + 3) = 8 . 8 = 64 cm2 dir.

O hâlde,

Yüzey alan› = 2 : TA + YA

= (2 : 2 + 64) = bulunur.cm4 2 64 2+2

Resimde verilen tabanlar› efl üçgensel bölgelerden olu-flan ve yükseklikleri s›ras›yla 8 br, 12 br, 16 br ve 20 br olandik üçgen prizmalar›n yüzey alanlar›n› bulal›m:

Prizmalar›n taban ayr›t uzunluklar› 3 br, 4 br ve 5 br’dir.

Prizmalar›n taban alanlar›n› bulal›m:

Yanal alanlar›;1. prizmada yanal alan = 8 . (3 + 4 + 5) = 8 : 12 = 96 br2,2. prizmada yanal alan = 12 . (3 + 4 + 5) = 12 : 12 = 144 br2,3. prizmada yanal alan = 16 . (3 + 4 + 5) = 16 : 12 = 192 br2,4. prizmada yanal alan = 20 . (3 + 4 + 5) = 20 : 12 = 240 br2 bulunur.

Örnek

a b

c

Üçgen prizman›nyüzey alan› = 2 : TA + YAYA = (Taban çevresi) : h = (a + b + c) : h

6 tane efl prizman›n yüzey alanlar›n›n toplam› bulunaca¤› için

toplam yüzey alan› = 6 : bulunur.cm4 2 64 2 38424 2+ = +^ ^h h

I. Yol

II. Yol

Prizmalar›n yüzey alanlar›n› bulal›m:1. prizmada yüzey alan = 2 . TA + YA = 2 : 6 + 96 = 12 + 96 = 108 br2,2. prizmada yüzey alan = 2 . TA + YA = 2 : 6 +144 = 12 +144 = 156 br2,3. prizmada yüzey alan = 2 . TA + YA = 2 : 6 +192 = 12 +192 = 204 br 2,4. prizmada yüzey alan = 2 . TA + YA = 2 : 6 + 240 = 12 + 240 = 252 br2 elde edilir.

A

B CD

EFP

RSV

Y Z

Taban› ve bütün yüzleri dik-dörtgensel bölge oldu¤undanverilen prizma modeli dikdört-genler prizmas›d›r.

1 m0,5 m

2,5

m

167

Örnek: Afla¤›da resimleri verilen prizma modellerini inceleyip hacimlerini bulal›m:

Taban› karesel bölge oldu-¤undan verilen prizma modelikare dik prizmad›r.

1 m

Taban alan› = TA = 1,5 : 1,5 = 2,25 m2

V = h : TA = 2 : 2,25 = 4,50 m3 bulunur.

1,5 m

1,5 m

Taban alan› = TA = 1 . (0,5) = 0,5 m2

V = TA h : = 2,5 : 0,5 = 1,25 m3 bulunur.

0,5 m

1 m

A

B

C D

E

F

K

L M

N

A B

CD

Taban› düzgün alt›genselbölge oldu¤undan verilen prizmamodeli düzgün alt›gen dik priz-mad›r.

1 m1,5 m

1,5 m1

m

2 m

Örnek: Afla¤›daki resimde tafltan yontularak yap›lm›fl, bir ayr›t uzunlu¤u 80 cm olan küp biçiminde-ki yap›, taban›n›n köflegeni boyunca kesilerek üçgen dik prizma elde edilmifltir. Küp ve üçgen dik priz-man›n hacimlerini bulal›m:

80 cm

80 cm

80 cm

80 cm

112233

1144

4422

4444

33

1144

4422

4444

33

11444422444433

Küpün hacmi; V = a3 = 803 = 512 000 cm3 elde edilir.

Üçgen dik prizman›n hacmi, küpün hacminin yar›s›oldu¤una göre

Buldu¤umuz bu de¤er ile üçgen dik prizman›n tabanalan› ve yüksekli¤ini çarparak bulaca¤›m›z de¤eri karfl›-laflt›ral›m.

O hâlde Vüçgen prizma = TA : h olur.

:

: :3200 80 256 000 .

TA cm

TA h cm bulunur2

80 803200 2

3

40

= =

= =

.V cm bulunur2

512 000256 000 3

1

256

= =

Üçgen dik prizmada

hacim;

V = TA : h olur.h

Taban alan› = düzgün alt›gensel bölgenin alan›=

:

: : .

m

Hacmi V h TA m bulunur

64

1 34

6 32

3 3

12

3 32

3 3

22

3

2

3

= = =

= = = =

:6 a4

32

168

Taban

20 cm

20 cm

30 cmh

15 cm

15 cm

14

44

24

44

3 h2 + 152 = 202

h2 + 225 = 400

⇒ h2 = 400 – 225 = 175

⇒ h = cm5 7

V= h : TA

= 30 :

= 2250 cm3 olur.7

75 7

. 5TA

cm2

30 7

75 7 2

15

=

=


(....) Prizmalar tabanlar›na göre isimlendirilir.

(....) Üçgen dik prizmalar dönme simetrisine sahiptir.

(....) Dik prizmada yanal ayr›tlar ayn› zamanda prizman›n yüksekli¤idir.

(....) Üçgen prizman›n yanal yüzleri dikdörtgensel bölgelerden oluflur.

4. Taban ayr›t uzunluklar› ve yükseklikleri eflit eflkenar üçgen dik prizma ile kare dik prizman›n ha-cimleri oran›n› bulunuz.

5. Hacmi, say›ca yüzey alan›na eflit olan bir küpün bir ayr›t›n›n uzunlu¤unu bulunuz.

2. fiekilde verilen taban ayr›t uzunlu¤u 3 cm ve yüksekli¤i 13 cm olan düzgünalt›gen dik prizman›n bütün yüzleri kâ¤›tla kaplanmak istendi¤inde kaç santimetrekare kâ¤›t kullan›laca¤›n› bulunuz.

3. 64 m3 su alacak küp fleklinde bir su deposunun içinin kaplamas›nda kaç met-re kare sac kullan›laca¤›n› bulunuz.


ÖÇK s. 107,108, 109, 110,111, 112, 113

:

: :

5

30 25

.

TA cm

V h TA

V cm bulunur

2

10 1525 15

15

750 15

2

3

5

= =

= =

=

h2 + 52 = 202

h2 + 25 = 400

h2 = 400 – 25

h2 = 375

h = cm155

h

Taban

10 cm

20 cm

20 cm1

23

Örnek: Resimlerde verilen üçgen dik prizmalar›n hacimlerini bulal›m:

30 cm

h = 30 cm

20 cm

20 cm30 cm

20 cm

10 cm20 cm

169

2. BÖLÜM PİRAMİTLER

Tablo: Piramitlerin Köfle, Yüz ve Ayr›t Say›lar›

� Tablodan yararlanarak piramitlerin köfle, ayr›t ve yüz say›lar› aras›nda nas›l bir iliflki oldu¤unuaç›klay›n›z.

• Piramitleri ayr›tlar›ndan keserek aç›n›mlar›n› elde ediniz.

� Üçgen piramidin aç›n›m› ile kare piramidin aç›n›m›ndaki benzerlikler ve farklar nelerdir? Belirtiniz.

Piramidin taban› Yüz say›s› Köfle say›s› Ayr›t say›s›

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Piramit ‹nfla Etme ve Aç›n›m›n› Çizme

Araç ve gereç: Karton, bak›r tel, pipet, fleffaf kaplama kâ¤›d›

• Kartondan üçgensel, karesel bölgeler oluflturunuz.• Kartondan oluflturdu¤unuz çokgensel bölgelerin köflelerini deliniz.• Önce eflit uzunlukta teller keserek tellerin birer ucunu kartonlar›n (pira-

mitlerin taban›) deldi¤iniz köflelerine, di¤er uçlar›n› da birbirlerine ba¤lay›n›z.• Ayn› ifllemi farkl› uzunlukta teller keserek yap›n›z.• Tellerin birbirine ba¤lad›¤›n›z uçlar›ndan tabana (çokgensel bölgele-

re) dik olacak biçimde pipetler yerlefltiriniz.• Oluflturdu¤unuz modellerin yüzlerini ve tabanlar›n› fleffaf cilt ile kap-

layarak piramit modelini tamamlay›n›z.

� Hangi piramitlerde tabana dik olarak yerlefltirdi¤iniz pipetler (pirami-din yüksekli¤i), taban›n merkezinden (a¤›rl›k merkezi) geçer? Aç›klay›n›z.

� Piramitlerin yan yüzleri hangi çokgensel bölge modellerine benze-mektedir? Aç›klay›n›z.

• Ayn› ifllemleri kesti¤iniz karesel bölgeler için de yap›n›z.• Piramitlerin köfle, ayr›t ve yüz say›lar› için afla¤›daki tabloyu dolduru-

nuz.

M›s›r piramitlerinin s›rr› hâlâ çözülememifltir. Birçok özel-li¤inin yan›nda baz› matematiksel özellikleri de vard›r:

• Keops Piramiti, dünyan›n kara kitlesinin merkezinde yeralmaktad›r.

• Gize’deki üç piramit aralar›nda bir Pisagor üçgeni olacakflekilde düzenlenmifltir. Bu üçgenin kenarlar›n›n birbirlerineoran› 3:4:5’tir. Yani 3,4,5 dik üçgenidir.

• Büyük piramidin taban yüzeyi, yüksekli¤inin iki kat›na bölündü¤ünde π ≈ 3,14 say›s› elde edilir.• Büyük piramidin dört yüzeyinin toplam yüz ölçümü, piramit yüksekli¤inin karesine eflittir.

� Piramitler ile üçgen prizma aras›nda nas›l farkl›l›k vard›r? Piramitlerin alan ve hacmini he-saplamak için hangi bilgilere ihtiyaç vard›r? Tart›fl›n›z.

170

Örnek: Afla¤›daki verilen piramitleri inceleyelim. Aç›n›mlar›n› çizerek temel elemanlar›n› belirleyelim:

Verilen piramitlerin temel elemanlar›n› inceleyiniz.

Yanalayr›tlar

Taban ayr›tlar›

A

T Tepenoktas›

Cisimyüksekli¤i

Yanal yüzyüksekli¤i

h

C

BE

H

A B

E

C

T

E

DDh

H

T

DA

BK

h

C

EF

H

T

DC

A B

HM

Piramitler tabanlar›na göre isimlendirilir.

T

C

B

T

DA

B C

EF

D

T

C

A B

DC

DC

DC

A B

C

T

DD

Taban› üçgen-sel bölge oldu¤u içinüçgen piramittir.

Taban› kare-sel bölge oldu¤un-dan kare piramittir.

Taban› düzgün alt›-gensel bölge oldu¤u içindüzgün alt›gen piramittir.

Verilen piramit modelleri incelendi¤indeilk üç piramidin yüksekliklerinin taban merkezi-ne indi¤i, son piramidin yüksekli¤inin ise tabanmerkezine inmedi¤i görülmektedir.

Taban› dörtgen-sel bölge oldu¤undandörtgen piramittir.

Yükseklik

Taban Taban

Yan yüz yüksekli¤i

Tepe noktas›

Yükseklik

Yan yüzyüksekli¤i

171

a TT

T

a

a a

aa

Taban

H

B CG

F E

Piramitlerde tepe noktas›ndan taban düzlemine inilen dikme veya tepe noktas›ndan inendo¤ru parças›n›n uzunlu¤u piramidin yüksekli¤i (cisim yüksekli¤i)dir.

Tepe noktas›n› taban merkezi (a¤›rl›k merkezi) ile birlefltiren do¤ru parças›, tabana dik ise pi-ramide “dik piramit”, e¤ik ise “e¤ik piramit” denir.

Eflkenar üçgen dik piramidin aç›n›m›nda;

[HC], [BC], [HB] taban ayr›tlar›,

[HT], [TC], [BT] yanal ayr›tlar›,

BHC üçgensel bölgesi taban›,

BTH, HCT ve BTC üçgensel bölgeleri yanal yüzleri,

B, H, C, T köfleleri,

[TG], [TE], [TF] yan yüz yüksekli¤idir.

Piramitlerin aç›n›mlar›n› çizelim:

Kare dik piramidin aç›n›m› Düzgün alt›gen dik piramidin aç›n›m›

Taban

T

T

TT

A B

D C

b b

b b

b

b

b

b

T

c c

c ccc

c c

c

c

c

c

T

T

T

T

T

B C

D

EF

A Taban

Piramidin temel elemanlar› “tepe noktas›, taban, yan yüzleri, ayr›tlar› ve yüksekli¤i”dir.

Piramitlerde yanal yüzler üçgensel bölgelerdir.

Taban› düzgün çokgensel bölge olan dik piramitte, yanal yüzler birbirlerine efl üçgenselbölgelerden oluflturur ve yanal yüz yükseklikleri birbirine eflittir.

Tüm piramitlerde taban ayr›t say›lar›, yanal ayr›t say›lar› ve yanal yüz say›lar› birbirineeflittir.

172

• Hacimler tak›m›ndan eflkenar üçgen, dik piramit ve kare dik piramitmodelini al›n›z.

• Bu piramitlerin tüm yüzlerini renkli kâ¤›tla kaplay›n›z.

• Kaplad›¤›n›z renkli kâ¤›tlar yard›m›yla aç›n›mlar›n› yap›n›z.

• Aç›n›mdan elde etti¤iniz tüm yüzlerin alanlar›n› bulup toplay›n›z.

• Cetvelle yan yüzlerin yüksekli¤ini belirleyiniz.

� Yan yüzlerin yükseklikleri aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Piramitlerin taban çevresi ile yan yüz yüksekli¤ini çarp›p 2’ye bölünüz.

• Elde etti¤iniz sonucu taban alan› ile toplay›n›z.

• Elde etti¤iniz toplam›, piramitlerin tüm yüzlerinin alanlar› toplam› ilekarfl›laflt›r›n›z.


• Piramitlerin yüksekliklerini belirleyiniz.

• Piramitlerin aç›n›m›n›n verildi¤i modelleri inceleyiniz. Bu modelleri kul-lanarak piramitleri oluflturunuz.

• Piramitlerin taban alanlar› ve yüksekliklerini karfl›laflt›r›n›z.

• Hacimler tak›m›ndaki eflkenar üçgen dik prizma ve kare dik prizman›nhacimlerini bulunuz.

• Prizmalar›n hacimlerinden yararlanarak piramitlerin hacimlerini bulu-nuz.

• Piramitlerin taban alan›n› yükseklikleri ile çarp›n›z.

• Elde etti¤iniz sonuçlar› piramitlerin hacimleri ile karfl›laflt›r›n›z.


� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak dik piramitlerin yüzey alan vehacim ba¤›nt›lar›n› nas›l oluflturursunuz? Aç›klay›n›z.

Örnek: Eflkenar üçgen dik piramidi, tabana paralel olmayan bir düzlemle keselim. Oluflan parçalar›inceleyelim:

Eflkenar üçgen dik piramit E¤ik piramit

fiekilde dik piramit tabana paralel olmayan, taban› kesmeyen ve tepe noktas›ndan geçme-yen düzlemle kesilmifltir. Bunun sonucunda elde edilen iki parçadan tepe noktas›n›n bulundu¤uparçan›n e¤ik piramit oldu¤u görülmektedir.

Piramitlerin Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›lar›

Araç ve gereç: Hacimler tak›m›, renkli kâ¤›t, cetvel, makas, selobant

173

Yanal alanlar› toplam›n› bulal›m:

Kare dik piramitte yan yüzler birbirine eflüçgensel bölgelerden olufltu¤undan,

Örnek: fiekilde verilen kare dik piramit biçimli süs eflyas›n›n yüzey alan›n› bulal›m:

12 cm 12 cm

12 cm 12 cm

12 cm

12 cm

12 cm

12 cm8 cm

8 cm

8 cm8 cm

Taban alan›n› bulal›m:

TA = 8 : 8 = 64 cm2

8 cm

Taban

Verilenlere göre fleklin aç›n›m›n› çizelim:

:

:

:

:

:

:

:

–

4 ( ( ) 4 128

( ç ) ( )4 32

h h

h

h h

YA A ABC cm

YA hTaban evresi

cm

4 12 16 144

144 16 128

64 2 8 2

2

8 8 22

2 2

8 2 8 8 8 82

128 2

2 2 2 2

2

2

2

2

4

4

&

&

+ = + =

= =

= =

= = =

= =+ + +

=

=

T9 C

12 cm 12 cm

8 cm

A

B C

h

4 cm 4 cm

Yüzey alan = TA + YA = bulunur.cm64 128 2 64 1 2 2 2+ = +^ h

Aç›n›ma bakt›-¤›m›zda piramidin yü-zey alan›n›n, tabanalan› ile yanal yüzle-rinin alanlar›n›n top-lam›na eflit oldu¤unugörürüz.

A 12 cm

12 c

m

12 cm

B

C

A

12 c

m

T10 cm

10 cm

C

h 6 cm

6 cm

:

›Taban alan cm4

12 34

144 336 3

22

1

36

= = =

h2 + 62 = 102

h2 = 100 – 36 = 64

h = 8

Yüzey alan› = TA+YA = bulunur.cm36 3 144 2+^ h

:. ( ç ) ( . )h Taban evresicmYA

2 2

8 3 12144 2

4

= = =

:

: :› ( )Yanal alan A TAC cm3 32

8 12144 2

1

6

= = =T

A 12 cm

12 c

m

12 cm

TT

T

10 cm 10 cm

10 cm 10 cm

10 cm10 cm

B

C

Taban› düzgün çok-gensel bölge olan dik pi-ramitlerde yanal alan,yan yüz yüksekli¤inin ta-ban çevresiyle çarp›m›-n›n yar›s›na eflittir.

Örnek: Taban ayr›tlar› 12 cm, yan ayr›tlar› 10 cm olan eflkenar üçgen dik piramidin yüzey alan›n›bulal›m:

Tüm piramitlerde yüzey alan›, taban alan› ile yanal alan›n topla-m›na eflittir (Yüzey alan› = TA + YA).

8 cm8 cm

12 cm

12 c

m

1144

4444

4422

4444

4433

1144

4444

2244

4444

33

11444444442244444433 11444422444433

174

A

B C

1 m 1 m

1 m

Yan yüzleri

A

C D

1 m 1 m

1/2 m1/4m 1/4m

h

T

A B

CD

a = 10

h = 12ha

H E

Örnek: Taban›n›n bir kenar uzunlu¤u 10 cm olan kare dik piramidin yüksekli¤i 12 cm’dir. Piramidinyan yüz yüksekli¤ini ve bütün alan›n› (yüzey alan›n›) bulal›m:

Örnek: Taban›n›n bir kenar› 10 cm, yan yüzlerinden birinin alan› 75 cm2 olan düzgün alt›gen dik pi-ramidin yüzey alan›n› bulal›m:

TA = . 6 = 150 cm2

YA = 75 . 6 = 450 cm2

Yüzey alan› = (450 + 150 ) cm23

34

10 32

Örnek: Birbirine efl büyüklükte, taban› aç›k olan dikdörtgen dik pira-mit biçimindeki trafik levhalar›n›n üretimi için kaç metre kare teneke sackullan›ld›¤›n› bulal›m:

Öncelikle bir levhada kaç metre kare sac kullan›ld›¤› bulunur.

Taban› aç›k oldu¤u için sadece yanal alanlar›n› bulmam›z gerekir.

Levhalar için kullan›lacak toplam sac miktar› = 4 . 15 .m dir23

815 3

22 2+ = +d dn n

THE dik üçgeninde

h2 + |HE|2 =

122 + 52 =

= 13 cm bulunur.ha

ha2

ha2

Yüzey alan› = TA + YA = 100 + 260 = 360 cm2 bulunur.

( )A ABC m4

1 3432

2= =T

:

( )h A ACD

h m

h

h m

41 1

2415

21

161 1

1615

1615

415

22

2

2 2

2

+ = =

+ = =

=

=

Tc m

:

:

:

:

( ç )YA

h Taban evresi

cm

TA cm

2

132

4 1013 20 260

10 100

a

2

2 2

1

2

=

= = =

= =

: :

:

( ) ( )YA A ABC A ACD

m

2 2

243 2

1615

23

815 2

2 8

= +

= + = +

T T

d n

A

B 1 m

1 m

1/2 m

1 m

C

D

Örnek: Üçgen ve kare prizmadan yararlanarak üçgen ve kare piramidin hacim ba¤›nt›s›n› olufltural›m:

Resmi inceledi¤imizde kare prizmay› suyla tamamen doldurmak için kare piramidin 3 kezkullan›ld›¤› görülmektedir.O hâlde kare dik prizman›n hacmi, bu prizmayla ayn› taban ve yük-sekli¤e sahip kare dik piramidin hacminin 3 kat›na eflittir.

Kare dik piramidin hacmi

Bu ba¤›nt› ayn› taban ve yüksekli¤e sahip üçgen dik prizma ile üçgen dik piramit aras›ndada vard›r.

’tür.›n hacmiman :Kare dik priz TA h

3 3= =

175

T

H C

THC dik üçgeninde

h1

5 cm

194 cm

T

R H

13 cm

TRH dik üçgeninde

h

5 cm

Örnek: Afla¤›daki resimde a¤açtan yontularak yap›lan kare dik piramit görülmektedir. Bu kare dikpiramidi yapabilmek için kaç santimetre küp a¤aç kullan›ld›¤›n› bulal›m:

TA = 102 = 100 cm2 h12 + 52 =

h12 + 25 = 194

h12 = 169

h1 = 13

1942

^ h h2 + 52 = 132

h2 + 25 = 169h2 = 144h = 12

a¤aç kullan›lm›flt›r.: :

:100 4 400V TA h cm3 3

100 12 3

1

4

= = = =

Tüm piramitlerde hacim için :

¤› › › › .V TA h ba nt s vard r3

=

T

A

B

R

h

h1

10 cm

cm194

C

14

42

44

3

H

A B

CD

Örnek: Camdan yap›lm›fl dik piramit biçimindeki yap›n›n taban›dikdörtgensel bölgedir. Taban›n›n kenar uzunluklar› 8 ve 5 m, yüksekli-¤i 6 m oldu¤una göre bu piramidin hacmini bulal›m:

TA = 8 . 5 = 40 m2

.:

.V TA h m olur3 3

64080 3

1

2

= = =

Örnek : Taban ayr›t› 2 cm ve yüksekli¤i 5 cm olan düzgün alt›gen dik piramitlerin,taban tabana çak›flt›r›lmas›yla elde edilen yap›n›n hacmini bulal›m:

Yap› ayn› tabanl› iki piramitten oluflmufltur.

: :

:

:

: :

›

› › 23

2 5 2 20

Piramitlerin taban alan

Yap n n hacmi cm

64

2 3 64

4 36 3

5 6 33 3

2

3

1

2

= = =

= = =f p

A B

E

C

T

B

E

h

H

ha

a2

a

D

Örnek: Bir kare dik piramidin taban çevresi 48 cm ve yanal yüz yüksekli¤i 10 cm’dir. Bu piramidinhacmini hesaplayal›m:

: ::

:

Ç ( ) ,

üç

–

.

evre ABCDa

a cm

THE dik geninde h a h

h

h h h

V TA h cm olur

4

48

4

412

26 10

36 100 100 36 64 8

3 312 8

3

144 848 8 384

22

2

2 2 2

2 2

23

12

48

&

& &

= = =

+ =

+ =

+ = = = =

= = = = =

ac m

cm’dir.

Örnek: Taban›n›n bir kenar› 12 cm, bu kenara ait yüksekli¤i 8 cm, cisim yüksekli¤i 15 cm olan pa-ralelkenar dik piramidin hacmini bulal›m:

V = = 480 cm3 olur.• • •12TA h

3 3

8 15

1

5

=

176

A

B

C D

E

FG

HI

aa

h

aL M

K

H

h

Örnek Taban ayr›t uzunluklar› ve yükseklikleri birbirine eflit olandüzgün alt›gen piramit ile eflkenar üçgen dik piramidin hacimle-rinin oran›n› bulal›m:

:

:

:

ü .

.

a br

TA ha h

a h br t r

a h

a ha h

a hbulunur

43

3 343

123

1232

3

2

3

3

126

22

2

23

2

22

2

6

=

= = =

= = =

1. Afla¤›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?• Piramidin temel elemanlar› tepe noktas› ve taban›d›r.• Dik piramitte yükseklik, taban merkezden geçer.• Piramitte tüm yüzeyler üçgensel bölgelerden oluflur.• Dik piramitte, yanal ayr›t uzunluklar› birbirine eflittir.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. fiekilde verilen bir ayr›t uzunlu¤u 40 cm olan küpten en büyük hacimli birpiramit elde edilirse piramidin hacmi ne olur?

Her iki piramidin taban ayr›t› a ve yükseklikleri h olsun.

Düzgün alt›gen dik piramidin taban alan›,

:

:

:

ü .

•

•

a a br

TA ha h a h a h br t r

64

32

3 3

3 32

3 3

2 3

3 32

3

2 22

22 2

3

3

2=

= = = =

3. Yanal ayr›t uzunlu¤u 15 cm ve taban ayr›t uzunlu¤u 18 cm olan kare dikpiramidin yüzey alan›n› ve hacmini hesaplay›n›z.

4. Bir eflkenar üçgen dik piramidin taban ayr›t› 3 cm ve yüksekli¤i 6 cm oldu¤una göre hacminibulunuz.

fiekilde kare dik piramit biçimindeki hediye paketinin ta-ban ayr›t› 4 cm, yüksekli¤i 10 cm oldu¤una göre hediye pa-ketininin yüzeyini kaplamak için kaç santimetre kare jelatinkullan›ld›¤›n› bulunuz.

5


Düzgün alt›gen dik piramidin hacmi,

Eflkenar üçgen dik piramidin taban alan›

Eflkenar üçgen dik piramidin hacmi

Düzgün alt›gen dik piramidin hacmi

Eflkenar üçgen dik piramidin hacmi

ÖÇK s. 114, 115,116, 117, 118, 119,120

177

• Kartondan iki tane daire kesiniz.

• Kesti¤iniz dairelerin (koninin taban›) merkezlerini ve çemberlerinin üzerinde farkl› noktalar iflaretleyiniz.

• Eflit uzunlukta bak›r teller keserek birer uçlar›n› çemberlerin iflaretledi¤iniz noktalar›na, di¤er uçlar›n›birbirlerine ba¤lay›n›z (Oyun hamuru kullanabilirsiniz.).

• Ayn› ifllemi farkl› uzunlukta teller keserek yap›n›z.

• Oluflturdu¤unuz modellerin tabanlar›n› ve yan yüzlerini fleffafkaplama kâ¤›d›yla kaplayarak koni modelini tamamlay›n›z.

• Telleri birbirlerine ba¤lad›¤›n›z nokta (tepe noktas›) ve tabanmerkezi aras›ndaki uzakl›¤a eflit uzunlukta birer tel (koninin ekseni)kesip yerlefltiriniz.

� Hangi konide eksen, taban düzlemine diktir? Belirleyiniz.

� Hangi konide yükseklik (tepe noktas›ndan taban düzlemineolan dik uzakl›k), eksene eflittir? Belirleyiniz.

• Dik koninin (ekseni tabana dik olan koni) tepe noktas›n› tabançemberine birlefltiren bir do¤ru çiziniz.

• Koni modelini bu do¤ru (ana do¤ru veya do¤uran) ve taban çem-beri boyunca keserek koninin aç›n›m›n› elde ediniz.

� Koninin temel elemanlar› nelerdir? Belirtiniz.

• Dik koninin taban›n›n yar›çap›n›, alan›n› ve çevresini belirleyiniz.

• Aç›n›m›ndan elde etti¤iniz yanal yüzün (daire diliminin) merkezaç›s›n› ve yar›çap›n› (ana do¤ru) belirleyiniz.

� Dik koninin merkez aç›s›, taban yar›çap› ve ana do¤rusu aras›nda nas›l bir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• Koninin aç›n›m›ndan elde etti¤iniz daire diliminin alan›ndan yararlanarak koninin yanal alan›n› bulu-nuz.

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden hareketle dik koninin yüzey alan ba¤›nt›s›n› nas›l belirlersiniz? Aç›klay›n›z.

3. BÖLÜM KONİ

Koni ‹nfla Etme ve Yüzey Alan Ba¤›nt›s›n› Oluflturma

Araç ve gereç: Karton, bak›r tel, fleffaf kaplama kâ¤›d›, aç›ölçer, cetvel, makas

Dondurma külah›, ilk kez Amerika’da, New Jersey’de bir ‹tal-

yan göçmeni olan Italo Marchioni (‹talo Markioni) taraf›ndan ya-

p›lm›flt›r. 13 Aral›k 1903’te Dondurma Marchioni ad›na tescil edil-

mifltir. Bu bulufl ilk zamanlarda pek ra¤bet görmez.

Ertesi y›l Amerika’da düzenlenen bir fuarda dondurma sat›c›-

s›n›n kâ¤›t tabaklar› bitti¤inde tezgâh›ndaki dondurmalar› nas›l

sataca¤›n› düflünürken yan›ndaki tezgâhtan gözleme alarak içi-

ne dondurma koyup satmay› dener. Böylece o y›l fuar›n gözdesi

olan dondurma külah› gündelik hayat›m›za girer.

� Dondurma külah›n›n özellikleri nelerdir?

178

Tepe noktas›

EksenAna do¤rular

Taban

Tabanyar›çap›

Örnek: Afla¤›da verilen dik ve e¤ik konileri inceleyelim:

Örnek: Afla¤›da verilen dik koni modelinden yararlanarak dik koninin yüksekli¤i, ana do¤rusu ve ta-ban yar›çap› aras›ndaki iliflkiyi bulal›m:

THB dik üçgeninde Pisagor Ba¤›nt›s›’ndan hareketle h2+r2 = a2 bulunur.

T

H rA B

aa

h

h

A

T

BH

h

K L

M

H

Koninin temel elemanlar›; taban (daire), tepe noktas›, eksen (tepe noktas›n› taban merkeziile birlefltiren do¤ru parças›), ana do¤ru ya da do¤uran (tepe noktas›n› taban çemberi ile birlefl-tiren do¤ru parças›) ve yanal yüzeydir.

Ekseni tabana dik oldu¤undan dik (dönel) konidir.

Dik konilerde eksen, ayn› zamanda koninin yüksekli¤idir.

IATI = ITBI oldu¤undan dik konilerde ana do¤rular›n uzunluk-lar› birbirlerine eflittir.

Dik konilerde ana do¤runun uzunlu¤unun karesi, koninin yüksek-li¤i ile taban yar›çap›n›n karesinin uzunlu¤unun toplam›na eflittir.

Ekseni tabana dik olmad›¤›ndan e¤ik konidir.

IKMI ≠ IMLI oldu¤undan e¤ik konilerde ana do¤rular›n uzun-luklar› birbirine eflit de¤ildir.

179

Örnek: Afla¤›da verilen koniyi ekseni etraf›nda döndürelim:

Örnek: fiekildeki renkli kartonla yap›lan koninin yüzey alan›n› bulal›m:

AB yay›n›n uzunlu¤u O merkezli dairenin (koninin taban›) yay uzunlu¤una eflit oldu¤undan,

| | 12π 12π 2ππ

π

π

π6 .⇒ ⇒ ⇒AB r

rr cm bulunur

2

12

2

26

= = = =7

: : : :

› › ¤ | |°

2π°

π °πAB yay n n uzunlu u AB cma

360 360

2 18 12012

3

6

= = =7

Görüldü¤ü gibi dik koni ekseni etraf›ndaki her dönmede de¤iflmez kal›yor. O hâlde dik koni dönmesimetrisine sahiptir.

120°

A B

or

T

Dik dairesel konide daire diliminin merkez aç›s›, ana do¤ru ve taban ya-

r›çap› aras›nda, : : :

: ::

| |°

ππ ° ¤› › › › .AB

ar a

r ba nt s vard r360

22 360

&= = =7

A B

r

a

Dik koninin yüzey alan› = TA + YA = 36π + 48π

= 84π cm2 bulunur.

aa aa aa

r

a a

r

Yüzey alan = TA + YA

:: :

:

: :

: : : : :

π π π°

π°

π π π ( ) ' › .

r a r

aa

r

r a r r r a d r

360 360

360

22

2

2

2

= + = +

= + = +

αα

α

α

TA = Taban alan› = π . r2 = π . 62 = 36π cm2

YA = Yanal alan= Daire diliminin alan›

: : : ::

°π 120°

°

π ° ππa cm

360 360

12 120

3

14448

2 22

3

48

= = = =

α = 120°a = 18 cm

180

A

6 cmC C

a

B

8 cm

Üçgen [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürüldü¤ünde afla¤›daki gibi bir dik koni oluflur.

ABC dik üçgeninde Koninin yüzey alan› = TA + YA

82+62 = a2 = π : r2 + π : a : r

64+36 = a2 = π : 62 + π :10 : 6

100 = a2 = 36π + 60π

a = 10 cm olur. = 96π cm2 bulunur.

Örnek: fiekilde taban yar›çap› 15 cm ve ana do¤rusunun uzunlu¤u 40 cmolan koni biçimli deri çanta için kaç santimetre kare deri kullan›ld›¤›n› bulal›m:

Çantan›n a¤z› (koninin taban›) aç›k oldu¤undan sadece yanal alan›n› bulal›m(π = 3 alal›m.).

Yanal alan = π : a : r = 3 : 40 : 15 = 1800 cm2 deri kullan›lm›flt›r.

r=7 cmA B

T

a=15 cm

14

44

24

44

3

Örnek

Koninin yüzey alan› = TA + YA

= π : r2 + π : a : r

= 3 : 72 + 3.15.7

= 3 : 49 + 45 : 7 = 147 + 315

= 462 cm2 bulunur.

A

B C6 cm

8 cm

fiekilde verilen ABC dik üçgeni [AB] kenar› etraf›nda 360° dön-dürüldü¤ünde oluflan cismi çizip yüzey alan›n› bulal›m:

Örnek: Yandaki parça tahtalar kullan›larak yap›lan ve taban yar›çapuzunlu¤u 7 cm, ana do¤rusunun uzunlu¤u 15 cm olan koninin yüzey ala-n›n› renkli kâ¤›tla kaplamak için kaç santimetre kare renkli kâ¤›t kullan›-laca¤›n› bulal›m (π = 3 alal›m.):

181

Örnek

Yandaki resimde sac kullan›larak yap›lan ve ta-ban› aç›k dik koniler görülmektedir. Dik konilerin ta-ban çap› 6 cm ve yüksekli¤i 4 cm oldu¤una göredik konilerin tamam› için toplam kaç santimetre ka-re sac kullan›ld›¤›n› bulal›m (π = 3 alal›m.):

A

r=3 cmB C

a

O

4 cm

Bir koninin yanal alan›n› bulal›m:

AOC dik üçgeninde, YA = πra Kullan›lan toplam sac miktar›;

42 + 32 = a2 = 3 : 3 : 5 6 : 45 = 270 cm2 dir.

16 + 9 = a2 = 45 cm2

25 = a2

⇒ a = 5 cm olur.

‹flaret levhalar› dik koni biçiminde ve ta-ban› aç›k oldu¤undan bir dik koninin yüzeyalan›n›n iki kat› kadar plastik madde kullan›l-m›flt›r.

YA = π : r : a = 3 : 25 : 100 = 7500 cm2

bulunur.

Kullan›lan plastik madde = 2 : 7500 = 15 000 cm2 olur.

Örnek: Resimde taban yar›çap› 25 cm ve ana do¤rusununuzunlu¤u 100 cm olan trafik levhalar› için kaç santimetre kareplastik madde kullan›ld›¤›n› bulal›m (π = 3 alal›m.):

r=25 cm

100 cm

• Hacimler tak›m›ndaki dik koni ve silindir modellerinin yükseklikleri-ni ve taban yar›çaplar›n› cetvelle ölçerek belirleyiniz.

• Hacimler tak›m›ndaki dik koni modelinin içerisini toz flekerle doldu-runuz.

• Dik koninin içindeki toz flekeri dik silindirin içerisine boflalt›n›z.

• Ayn› iflleme dik silindir modeli tamamen dolana kadar devam edi-niz.

� Silindir modeli dik koni modelinin içerisindeki toz fleker yard›m›y-la kaç kerede dolmufltur?

� Dik silindir modelinin hacim ba¤›nt›s›ndan yararlanarak dik koni-nin hacim ba¤›nt›s› nas›l bulunabilir? Aç›klay›n›z.

Dik Koninin Hacmi

Araç ve gereç: Hacimler tak›m›, cetvel, toz fleker

182

–

h

h

h

h

h cm

5 15

25 225

225 25

200

10 2

2 2 2

2

2

2

+ =

+ =

=

=

=

Örnek: Resimde verilen dik koni biçimli pizzan›n taban yar›çap› 6 cm ve yüksek-li¤i 12 cm oldu¤una göre pizza için kaç santimetre küp malzeme kullan›ld›¤›n› bulal›m(π = 3,14 alal›m.):

Kullan›lan malzeme miktar› = Koninin hacmi: : :

: :

: :

π

( , )

( , )

,

TA h r h

cm

3 3

3

3 14 6 12

3 14 36 4

452 16

2

2

3

4

= =

=

=

=

r=5 m

h a=15 m

O

Örnek: Resimde görülen tafl parçalar›yla yap›lan dik koni biçimli yap›n›n taban çap› 10 m, ana do¤-rusunun uzunlu¤u 15 m oldu¤una göre hacmini bulal›m:

:

: :

: :

fl › ›

π

π 5 10

π .

Olu turulan yap n n hacmi

TA h

r h

m bulunur

3

3

32

3250 2

2

2

3

=

=

=

=

Örnek: Hacimler tak›m›ndan taban yar›çaplar› ile yükseklikleri birbirine efl dik koni ve dik silindirmodelleri yard›m›yla dik koninin hacim ba¤›nt›s›n› olufltural›m:

2r = 10r = 5 m

Yüksekliklerine h ve taban yar›çaplar›na r diyelim. Foto¤raflarda görüldü¤ü gibi dik silindirmodeli dik koni modeli yard›m›yla tamamen üç kerede dolmufltur. O hâlde dik koninin hacmi dik

silindirin hacminin ’üne eflittir.31

Dik koninin hacmi = . Dik silindirin hacmi = . TA . h = π . r2 . h olur.31

31

31

malzeme kullan›lm›flt›r.

183

A

B C

12 13

5

Yanda dik kenarlar›n›n uzunluklar› cm olan ABC ikizkenar dik üçgeni,

[BC] kenar› etraf›nda 360° döndürüldü¤ünde oluflan cismin hacmini bulal›m:

3 2

fiekilde [AO] ABC ikizkenar dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliktir.

Cismin hacmi = elde edilir.::

:: : : :

23

32 π 2 π 3

18πTA h r h cm3 3

2 23= = =c m

–

.

r

r

r

r bulunur

3 3 2

9 18

18 9 9

3

2 2 2

2

2

+ =

+ =

= =

=

^ h

Pisagor Ba¤›nt›s›’nda

.

BC

BCBC cm bulunur

3 2 3 2

18 18 366

2 2 2

2= +

= + ==

^ ^h h

A

B

C

A

B

C

r3

3

O

A

B

C

Aor

3 cm

r

3 cm

Örnek

cm3 2

cm3 2cm3 2 cm3 2

cm3 2

cm3 2

3 3

cm3 2

fiekil [BC] kenar› etraf›nda döndürül-dü¤ünde flekildeki gibi ortak tabanl› iki dikkoni elde edilir.

1. Koni için afla¤›da verilen ifadelerden hangisi ya da hangileri do¤rudur?

I. Koni, ekseni etraf›ndaki dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.

II. Ekseni tabana dik olan koniye, dik koni denir.

III. Koninin temel elemanlar› tepe noktas›, taban› ve yanal yüzeyidir.

A. I B. II C. II ve III D. I, II ve III

2. Kâ¤›ttan, merkez aç›s›n›n ölçüsü 150° ve yar›çap› 12 cm olan bir koni oluflturup aç›n›m›n› çiziniz.

3. Taban yar›çap› 4 cm ve yüksekli¤i 3 cm olan koninin yüzey alan›n› bulunuz.

4. fiekildeki ABC dik üçgeni, [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürüldü¤ünde olu-flan cismi çizip yüzey alan›n› ve hacmini hesaplay›n›z.

6. Resimde taban yar›çap›10 cm ve yüksekli¤i 60 cm olantrafik iflaret levhas› için kaçsantimetre kare plastik maddekullan›ld›¤›n› bulunuz.

5. fiekilde verilen koninin tabanyar›çap› 4 cm, yüksekli¤i 12 cm’dir.Koninin yanal yüzeyini boyamak içinkaç santimetre karelik alan boyan-m›flt›r?


ÖÇK s. 121, 122,123, 124, 125

O hâlde oluflan cismin taban yar›çap› r = 3 cm’dir.

184

• Hacimler tak›m›ndaki küre modelini ikiye ay›r›p iki yar›m küre modelininiçini oyun hamuru ile doldurunuz.

• Yar›m kürelerdeki oyun hamurlar›n› ç›kar›p her bir yar›m kürenin tabanyar›çap›n› ve merkezlerini belirleyiniz.

• Yar›m küreleri birlefltirip tam küre elde ediniz.• Tam küre modelini merkezden geçecek flekilde farkl› bir yerden kesiniz.• Elde etti¤iniz yar›m kürelerin taban yar›çaplar›n› belirleyip ilk oluflturdu-

¤unuz yar›m küre modellerinin taban yar›çaplar› ile karfl›laflt›r›n›z.• Elde etti¤iniz yar›m küreleri tabanlar›na paralel olacak flekilde farkl› yer-

lerden kesiniz.• Kesti¤iniz yerlerden oluflan dairelerin yar›çaplar›n› belirleyip ölçünüz.� Buna göre kürenin yar›çap› ve merkezi hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?• Elde etti¤iniz parçalar› birlefltirerek bir küre modeli elde ediniz.• Küre modelini uygun flekilde keserek iki efl yar›m küre modeli oluflturu-

nuz.• En büyük daire (küre ile ayn› merkeze sahip, s›n›r› küre üzerinde olan

daire) üzerine bir kâ¤›t koyup kâ¤›d› daire büyüklü¤ünde kesiniz ve kesti¤i-niz dairenin alan›n› bulunuz.

• Kâ¤›ttan elde etti¤iniz daireye efl daireler oluflturunuz.• Elde etti¤iniz efl daireleri 6, 8, 12 vb. say›dan herhangi biri kadar efl daire dilimlerine ay›rarak kü-

re modelinin yüzeyini tamamen kaplay›n›z.� Küreyi kaplad›¤›n›z daire dilimleri yard›m›yla kürenin yüzey alan ba¤›nt›s›n› nas›l oluflturursunuz?

Aç›klay›n›z.• Hacimler tak›m›ndaki küre modelinin içerisine toz fleker doldurunuz.• Doldurdu¤unuz toz flekeri silindir modelinin içerisine boflalt›n›z.• Silindir modelinin yüksekli¤ini ölçünüz.� Silindir modelinin kaçta kaç› toz fleker ile dolmufltur?

� Silindirin hacminden yararlanarak yar›çap› r br olan bir kürenin hacim ba¤›nt›s›n› nas›l oluflturur-sunuz? Aç›klay›n›z.

4. BÖLÜM KÜRE

Küre ‹nfla Etme, Yüzey Alan ve Hacim Ba¤›nt›s›n› Oluflturma

Araç ve gereç: Hacimler tak›m›, oyun hamuru, maket b›ça¤›, cetvel, toz fleker, kâ¤›t

Futbol, tüm dünyada ilgi gören bir spor dal›d›r. Bu spor, iki futboltak›m› aras›nda bir topla oynan›r. Bir futbol topunun hangi özellikle-re sahip olmas› gerekti¤ini biliyor musunuz?

Ulusal ve uluslararas› maçlarda oynanan futbol toplar›n›n FIFA(Federation Internationale Football Association) Türkçe anlam›yla“Uluslararas› Futbol Federasyonlar› Birli¤i” onayl› olmas› gerekiyor.Futbol talimatlar›nda yer alan kurallara göre bir futbol topunun yuvar-lak olmas›, en büyük çemberinin çevresi 70 cm’den çok, 68 cm’denaz olmamas› gerekiyor. Maç bafllad›¤›nda topun kütlesi en çok 450 g, en az 410 g olmal›.

� Çevresini bildi¤imiz futbol topunun yüzey alan›n› bulabilir miyiz? Tart›fl›n›z.

185

fiekildeki efl kürdanlarla oluflturulan cismi inceleyelim:Örnek

Örnek: Afla¤›da verilen resmi inceleyelim:

Kürenin merkezinin bir düzlemle kesifliminden elde edilen dairenin küre yüzeyi ile ara kesitin-de elde edilen çemberler kürenin en büyük çemberidir. Bu çemberlerin merkezi ayn› zamandakürenin merkezidir.

Örnek: Küre biçiminde bir elmay›, bir düzlemle çeflitli biçimlerde kesip inceleyelim:

Elmay› iki efl parçaya ay›r›p yar›m elmay› tabana paralel bir flekilde düzlemle keselim.

Her seferde elman›n (kürenin) düzlemle kesiflimi bir dairesel bölgedir.

Bu dairesel bölgelerden en büyü¤ü elman›n merkezinden geçen düzlemin kesifliminden oluflan da-iresel bölgedir. Bu dairenin merkezi, ayn› zamanda kürenin merkezidir.

Bu daireye kürenin en büyük dairesi denir. En büyük dairenin çap›, kürenin çap›d›r.

Merkezden uzaklaflt›kça küre ile düzlemin kesifliminden oluflan dairelerin yar›çaplar› küçülür.

� Sizce kürenin en büyük çemberleri say›labilir çoklukta m›d›r? Neden?

Cisimleri inceledi¤imizde bir küre modeli olufltu¤ugörülür. Hamurun oldu¤u yer kürenin merkezidir. Kür-danlar›n uç noktalar›n› kaplarsak kürenin d›fl yüzeyinielde ederiz. Kürdanlar›n boylar› eflittir ve yüzeyin mer-keze uzakl›¤›n› temsil ederler. Kürdanlar›n her biri kü-renin çap›d›r.

fiekildeki cismin içi dolduruldu¤unda bir küre elde edilir. Çem-berlerin içi dolduruldu¤unda kürenin daireleri elde edilir. Bu daire-lerden merkezleri kürenin merkezi ve s›n›r› küre üzerinde olanlarkürenin en büyük daireleridir. O hâlde, kürenin en büyük çemberi,bu en büyük dairelerin küre yüzeyi ile kesifliminden elde edilir.

Kürenin temel elemanlar› merkezi, yar›çap› ve yüzeyidir. Uzayda sabit bir noktaya eflit uzak-l›kta bulunan noktalar›n kümesi kürenin yüzeyi, eflit uzakl›klar kürenin yar›çap›, sabit nokta isekürenin merkezi olarak isimlendirilir.

Merkezi O ve yar›çap› r olan bir küre K (O, r) biçiminde gösterilir.

186

Örnek: Küre biçiminde bir portakal yard›m›yla kürenin yüzey alanba¤›nt›s›n› olufltural›m:

Portakal› iki efl parçaya bölüp yar›m portakal›n taban›ndan oluflandairesel bölgeyi kâ¤›tla kaplayal›m. Ka¤›d› daire büyüklü¤ünde kesipç›karal›m ve bu dairesel bölgeye efl dairesel bölgeler olufltural›m:

Yar›çap› r olan bir kürenin yüzey alan›, kürenin en büyük dairesinin alan›n›n 4kat›na eflittir.

Kürenin yüzey alan› = : :4 π 4π .r r dir2 2=^ h

fiekilde verilen küre modelinin yar›çap› 2 m’dir.

Kürenin yüzey alan› renkli kâ¤›tlarla kaplanmak isteniyor. Kaç metrekare renkli kâ¤›t gerekti¤ini bulal›m:

Kullan›lan renkli kâ¤›t miktar› = Kürenin yüzey alan›

= 4π : r2 = 4π : 22

= 16π m2 renkli kâ¤›t kullan›l›r.

Örnek

Resimde yar›çap› 10 cm olan kürenin yüzeyi cam parçalar›yla kaplanm›flt›r.Kaç santimetre kare cam kullan›ld›¤›n› bulal›m:

Kürenin yüzey alan› = 4π : r2

= 4π : 102

= 400π cm2 oldu¤undan toplam 400π cm2 cam kullan›l-m›flt›r.

Örnek

Çeyrek portakal›n kabu¤unu yukar›daki flekilde gösterildi¤i gibi kesip ç›karal›m ve eldeetti¤imiz dairesel bölgeleri portakal kabuklar›yla kaplayal›m.

Çeyrek portakal›n kabu¤uyla bir dairesel bölgenin kapland›¤› görülür.

O hâlde tam portakal›n kabu¤u ile merkezden geçen dört efl dairesel bölge kaplan›r.

Portakal, küre biçiminde oldu¤undan merkezden geçen daire kürenin büyük dairesidir. Budairenin yar›çap› kürenin yar›çap›d›r.

Buna göre kürenin yüzey alan›n›n kürenin en büyük dairesinin alan›n›n 4 kat›na eflit oldu¤ugörülür.

187

fiekilde yar›çap› 3 cm olanküreyi taban yar›çap› 3 cm veyüksekli¤i 6 cm olan dik silin-dirin içine yerlefltirelim.

Örnek

Örnek: Yar›çaplar› oran› olan iki kürenin yüzey alanlar› oran›n› bulal›m:

:›ç › . 6 .

ü ü ü ü ›üçü ü ü ›

π

π

π

π

36.

Yar aplar r ve r olsun rr

r r bulunur

B y k k renin y zey alanK k k renin y zey alan

r

r

r

r

r

relde edilir

61

4

4

4 6

4361

2

1 22

12 1

2212

12

12

12

1

&= =

= = = =] g

16

Top, küre biçiminde oldu¤undan

kullan›lan deri miktar› = Kürenin yüzeyalan›

⇒

⇒ r2 = 121

r = 11 cm bulunur.

: :

:

1519,76 4 π

,

,

,

,

r

r

12 56

1519 76

12 56

12 56

2

2121

=

=

Örnek: Bir voleybol topu yapmak için yaklafl›k olarak 1519,76 cm2 deri kullan›ld›¤›na göre topunyar›çap›n› bulal›m (π ≈ 3,14.):

Kürenin yüzey alan› = 4πr2 = 432

O hâlde kürenin yar›çap› r = 6 cm’dir.

. .

.

r

r

r r cm

4 3 432

12

12

12

432

36 6

2

2

2

36

& &

=

=

= =

Örnek: fiekildeki kürenin yap›m›nda yüzeyi için 432 cm2 kâ¤›t kullan›ld›¤›na göre kürenin yar›çap›-n› bulal›m (π = 3 alal›m.).

Örnek: Yar›çap› 12 cm olan kürenin;a) En büyük dairesinin alan›n›,b) Yüzey alan›n› bulal›m.

a) En büyük dairesinin yar›çap› kürenin yar›çap›na eflit oldu¤undan; πr2 = π : 122 = 144π cm2 dir.

b) Kürenin yüzey alan› = 4 : πr2 oldu¤undan;4 : π :122 = 4 : 144π = 576 π cm2 bulunur.

4x3, 14 12,56

1211519,76:12,56

Silindir ve kürenin (oyun hamurunun) hacmini hesaplayal›m:

Kürenin yar›çap› 3 cm idi. Bu yar›çap› r ile gösterelim.

Silindirde r = 3 cm ve h = 2r = 6 cm olur.

Oyun hamurunun yüksekli¤i (h1 = 4 cm)ni r cinsinden bulal›m:

O hâlde oyun hamurunun hacmi, silindirin yar›çap› (r) cinsinden,

: :π π π .V r h r r r bulunur34

34

hamur2

12 3= = =

: : :

: : :

π π π π

π π π π .

V r h cm

V Oyun hamurunun hacmi r h cm bulunur

3 6 9 6 54

3 4 9 4 36ü

silindir

k re

2 2

21

2

3

3

= = = =

= = = = =

188

Silindir içindeki oyun hamurunun yüksekli¤i,

h1 = 4 cm’dir.

Kürenin hacim ba¤›nt›s›n› olufltural›m:

Küre yap›m›nda kullan›lan oyun hamurunu, silindirin içine bofllukkalmayacak flekilde yerlefltirip hamurun yüksekli¤ini ölçelim.

Çanakkale Savafllar›nda Mehmetçi¤in sald›r›s›n› önsafta izleyip yöneten Mustafa Kemal Atatürk’ün gö¤sünebir flarapnel parças› isabet eder. Gö¤sündeki saat saye-sinde hayat› kurtulur. Olay›n gerçekleflti¤i yerin belirlen-mesi için buraya 65 cm çap›nda 3 adet betondan küre ko-nulmufltur. Konulan beton küreler için kaç santimetre küpbeton kullan›ld›¤›n› bulal›m:

Kürelerin çap› 65 cm oldu¤undan yar›çap›

küreler için yaklafl›k olarak 183083,32 π cm3 beton kullan›lm›flt›r.

:

:

ü π π , π ,

ü , π 183083,32 π m oldu¤undan

Bir k renin hacmi r cm

k renin hacmi34

34

265 45770 83

4 4 45770 83 3

33

3.

.

= =

=

c m

.cm olur2

65

Örnek

Yar›çap› r olan

kürenin hacmi: π ü .V r t r34 3=

r

Örnek: Resimdeki kürenin çap› 20 cm’dir. Kürenin hacmini bulal›m:

ü ç › : ›ç › .

ü : π π π

π .

K renin ap cm ise yar ap cm olur

K renin hacmi V r

cm bulunur

202

20 10

34

34 10

34 1000

34000

ük re3 3

3

=

= =

=

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒hh

4

623

1 2

3

= =hh

23

1= h h2 3

3 3

1= h h

32

1 =:

.h r r cm elde edilir3

2 234

1 = =

189

1. Afla¤›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?• Kürenin büyük çemberlerinin say›s› 10’dur.• Kürenin temel elemanlar› merkez ve yar›çap›d›r.• Kürenin yüzey alan› büyük dairesinin alan›n›n 4 kat›na eflittir.• Kürenin hacmini bulmak için yar›çap uzunlu¤unun bilinmesi yeterlidir.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. En büyük dairelerinden birinin alan› 54 cm2 olan kürenin yüzey alan›n› bulunuz (π = 3 al›n›z.).3. Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan küpün içine yerlefltirilebilecek en büyük yar›çapl› kürenin yüzey

alan›n› ve hacmini bulunuz.

4. Yar›çaplar› oran› olan iki kürenin hacimleri oran›n› ve yüzey alanlar› oran›n› bulunuz.43

Örnek: Yar›çaplar› oran› olan iki kürenin hacimleri oran›n› bulal›m:

Küçük kürenin yar›çap› r ise büyük kürenin yar›çap› 3r olur.

:

π π π π

π

π.

V r V r r r

VV

r

rbulunur

34

34 3

34 27 36

36

34

3634

34

361

271

1

üçü ü ü ü ü

ü ü ü

üçü ü

k k k re b y k k re

b y k k re

k k k re

3 3 3 3

3

3

1

1

9

9= = = =

= = = =

] g

31

Örnek: fiekildeki silindirin içine, yüzeyi silindirin yüzeylerine te¤et olan birküre yerlefltiriliyor. Yerlefltirilen küreden kalan bofllu¤un hacmini bulal›m:

Kürenin yüzeyi, silindirin yüzeyine te¤et oldu¤undan küreyle silindirin yar›çapuzunluklar› eflittir.

Vsilindir – Vküre = π . 92 . 20 – . π . 93

= 1620π – 972π = 648π cm3 bulunur.

34

6. Bir futbol topu yapmak için 615,44 cm2 deri kullan›ld›¤›na göre fut-bol topunun hacmini bulunuz (π = 3,14 al›n›z.).

5. Resimde verilen küre biçiminde dünya modelinin yar›çap› 7 cm ol-du¤una göre kürenin yüzey alan›n› ve hacmini bulunuz.


ÖÇK s. 126, 127,128, 129, 130

h = 20 cm

r = 3 cm

Örnek: Küre fleklindeki içi bofl bir metal topun d›fl yar›çap› 12,5 cm’dir. Metalin kal›nl›¤› 0,5 cm oldu¤una göre kürenin iç hacmini bulal›m:

Kürenin d›fl yar›çap› 12,5 cm ve metalin kal›nl›¤› 0,5 cm oldu¤una göre kürenin iç yar›çap› 12,5 – 0,5 = 12 cm bulunur.

Kürenin iç hacmi = elde edilir.: : :π π 12 π 4 π 576 2304 πr cm34

34

34 17283 3 3576= = = =

190

Resimde balonun alt›nda bulunan kiflinin boyu 180 cm oldu¤unagöre balonun içindeki havan›n hacmini tahmin edelim.

Balonun yüksekli¤i yaklafl›k olarak adam›n boyunun 7 kat› ve taban çap› yaklafl›k olarak adam›n bo-yunun 5 kat›d›r. Balon koni biçiminde oldu¤undan koninin hacim ba¤›nt›s› yard›m›yla balon içindeki ha-van›n hacmini tahmin edebiliriz.

Balonun (koninin) yüksekli¤i = 7 : adam›n boyu

= 7 : 180 = 1260 cm ≈12 m

Balonun taban yar›çap› =

O hâlde balonun içindeki havan›n hacmini yaklafl›k olarak

tahmin edebiliriz.: : : : :π π , 12 π 20,25

πr h m3 3

4 53

1281

2 2 43= = =

^ h

:. ›, .

dam n boyucm m bulunur

a2

52

5 1802

900450 4 5

450

= = = =

Örnek

Resimde verilen dik koni biçimindeki balonun taban çap› 9 mve taban›n yerden yüksekli¤i 13,80 m’dir. Balonun alt›nda bulunanadam›n boyunun uzunlu¤u 180 cm oldu¤una göre balon içindekihavan›n hacmini bulal›m:

Problem

Problemi Anlayal›m: fiekilde verilen balonun içindeki havan›nhacmini bulaca¤›z.

5. BÖLÜM GEOMETRİK CİSİMLERİN HACİMLERİ VE YÜZEY ALANLARINI

TAHMİN ETME, BUNLARLA İLGİLİ PROBLEM ÇÖZME VE KURMA

191

Çözüm Stratejisi: Balonun taban›n›n yere olan uzakl›¤›ndan ba-lonun alt›nda bulunan adam›n boyunun uzunlu¤unu ç›kararak balo-nun (koninin) yüksekli¤ini bulaca¤›z. Çap›n› ikiye bölüp taban yarça-p›n›n uzunlu¤unu bulaca¤›z. Koninin taban alan›ndan ve yüksekli-¤inden yararlanarak havan›n hacmini bulaca¤›z.

Strateji Uygulamas›: Koninin (balonun) taban›n›n yerden yük-sekli¤i 13,80 m ve adam›n boyu 180 cm = 1,8 m oldu¤una göre ko-ninin yüksekli¤i, 13,80 – 1,80 = 12 m’dir.

: : :π π ,π .V r h m olarak elde edilir

3 3

4 5 1281koni

2 23

4

= = =^ h

4,5 m

12 m

Kontrol Edelim: Koninin hacmini yüksekli¤ine bölüp 3 ile çarpal›m.

20,25π = (4,5)2 π = r2 π oldu¤undan yap›lan ifllemler do¤rudur.

:π π 20,25 π › › .taban alan n buluruz3

12

814

81

4

27

= =

Resimde duvar› yontulup düzeltilmifl ve yükseklikleri eflit tafllarla örülmüfl,çat›s› sac ile kapl› köy evinin bir duvar› görülmektedir. Duvar›n kad›n›n yaslan-d›¤› yüzünün geniflli¤i 4 m’dir.

Yaslanan kad›n›n, bel hizas›ndan yukar› yüksekli¤i 80 cm oldu¤una görekad›n›n yasland›¤› duvar betonla yap›lmak istenseydi yaklafl›k kaç santimetreküp beton kullan›l›rd›? Tahminde bulunal›m.

Örnek

192

4 m 0,5 m

280 cm = 2,8 m

D E

BC

B

A

C4 mH

M

PN 0,8 m0,5 m

Çözüm Stratejisi:

Prizmalar›n hacimleri = taban alan› x yükseklik kural›n› uygulayarak dik prizmalar›n hacimlerinibulup toplayaca¤›z.

Problemi Anlayal›m: Ayr›tlar› 4 m, 2,8 m ve 0,5 m olan dikdörtgenler priz-mas› ile yüksekli¤i 0,5 m ve taban hipotenüs uzunlu¤u 4 m, hipotenüse ait yük-sekli¤i 0,8 m olan ikizkenar dik üçgen dik prizman›n hacimlerinin toplam›n›bulaca¤›z.

Oturan kad›n›n belden yukar›s› yaklafl›k olarak 3 tafl yüksekli¤ine efl oldu¤ugörülmektedir. Duvar› örmek için k›rm›z› çizgiye kadar 10 s›ra tafl döflenmifl ol-du¤undan duvar›n k›rm›z› çizgiye kadar olan yüksekli¤ini yaklafl›k olarak

olarak alabiliriz.

Duvar›n geniflli¤ini de yaklafl›k olarak 40 cm olarak alabiliriz. Duvar k›rm›z›çizgiye kadar dikdörtgenler prizmas›, k›rm›z› çizgiden yukar› ikizkenar dik üç-gen dik prizma biçimindedir. Dik prizmalar›n hacimlerini tahmin edip toplayarak

kullan›lacak beton miktar›n› bulabiliriz.

. ≈ cm3

10 80 270

4 m 0,4 m

270 cm = 2,7 m

D E

BC

B

A

C4 mH

M

PN 0,8 m0,4 m

Resimde Karadeniz yayla evinin bir duvar› görülmektedir. fiekilde kad›n›nyasland›¤› duvar›n k›rm›z› çizgiye kadar olan yüksekli¤i 2,8 m, k›rm›z› çizgininüst taraf›ndaki yüksekli¤i 0,8 m’dir. Duvar›n eni 4 m, geniflli¤i 0,5 m oldu¤unagöre duvar betonla yap›lmak istendi¤inde kaç metre küp beton kullan›laca¤›n›bulal›m:

Problem

Dikdörtgenler prizmas›n›n hacmini, yaklafl›k olarak

4 . (2,7) . (0,4) ≈ 4 . (2,5) . (0,5) = 5 m3 olarak buluruz.

[AH] yüksekli¤ini yaklafl›k olarak 80 cm tahmin edebiliriz. 80 cm = 0,8 m

Üçgen prizman›n hacmini,

olarak buluruz.: :, ,

≈ , m2

0 4 4 0 80 6 3

2^ h

Buna göre duvar için tahminen 5 + 0,6 = 5,6 m3 beton kullan›labilir.

K›rm›z› çizgiden yukar› k›s›m

K›rm›z› çizgiye kadar olan k›s›m

193

Kontrol Edelim: 0,5 m kal›nl›k her iki prizmada ortak oldu¤undan bu uzunlu¤u prizmalar›n ortak

yükseklikleri kabul edip sonucu 0,5 ile bölelim: prizmalar›n taban alanlar› toplam›

(duvar›n yüzey alan›)n› buluruz.Duvar›n yüzü bir dikdörgtensel bölge ve üçgensel bölgeden olufltu¤undan bu bölgelerin alanlar›

toplam›n› bulal›m:

,,

, m0 56 4

12 8 2=

Duvar›n yüzey alan› =

= 11,2 + 1,6= 12,8 m2 elde edilir.

Bu sonuçla yukar›da buldu¤umuz sonuç birbir-lerine eflit oldu¤undan yap›lan ifllemler do¤rudur.

::

4 2,84 0,8

2+

O hâlde duvar için toplam 5,6 + 0,8 = 6,4 m3 beton kullan›lacakt›r.

V = 4 : 0,5 : 2,8 = 2 : 2,8 = 5,6 m3

V = 4 : 0,8 : 0,5 2 = 1,6 : 0,5 = 0,8 m3

4 m

2,8 m

4 m

0,8 m


3 m

2 m3 m 4 m

8 mr=7m

5 m5 m

5 m

Yanda verilen geometrik cisim-lerle ilgili problem kurup çözünüz.

1.

2. Yanda verilen geometrik ci-simlerin yüzey alanlar›n› ve ha-cimlerini tahmin edip tahmin stra-tejinizi aç›klay›n›z.

Uygun ifllemler yaparak tah-mininizi kontrol ediniz.

3. Bir sac plakadan yar›çap› 20 cm ve merkez aç›s›n›n ölçüsü 150° olan bir daire dilimi kesilerek dikkoni biçiminde süzgeç yap›lmak isteniyor (Sac›n kal›nl›¤› dikkate al›nmayacakt›r.). Her 4 cm3te 1 delikolaca¤›na göre,

a) Süzgeç yüzeyinde kaç delik bulunur?

b) Süzgecin iç hacmini bulunuz.

B

A

C4 mH

M

PN 0,8 m0,5 m

4 m 0,5 m

280 cm = 2,8 m

D E

BC


ÖÇK s. 131, 132,133, 134, 135, 136

194


(...) Dik prizmalar›n yanal alanlar› toplam›, taban alanlar›ndan büyüktür.

(...) Sadece cisim köflegeni bilinen bir küpün hacmi bulunabilir.

(...) Üçgen dik piramidin bütün yüzleri üçgensel bölgelerden oluflur.

(...) Taban› düzgün çokgen bölge olan dik piramitlerin yan yüzleri ikizkenar üçgensel bölgelerdir.

(...) Dik koninin yüksekli¤i taban›n merkezinden geçer.

(...) Bütün prizmalar dönme simetrisine sahiptir.

(...) Kürenin bir düzlemle kesiflmesinde ara kesit bölgesi, üçgensel bölge olabilir.

2. Taban ayr›t uzunluklar› 3, 4, 5 cm ve yüksekli¤i 7 cm olan üçgen dik prizman›n hacmini bulunuz.

Yanda görülen küp fleklinde bir su deposunun içinde 72 litre su bu-

lunmaktad›r. Deponun ’ü dolu oldu¤una göre su deposunun yüzey

alan› kaç metre karedir?

A. 196 B. 206 C. 216 D. 226

31

3.

T

P RH

fiekilde verilen dik koninin yanal alan› 8π cm2 ve |TP| = |PR| isekoninin hacmi kaç santimetre küptür (Çemberin çevresi ve yay uzunlu¤ubilgilerinizden yararlan›n›z.)?

A. 8π B. C. D. π2 3π833π38

4.

RA

C

D E fiekilde yar›çap› 10 cm olan yar›m kürenin merkezine yar›çap› 8 cmolan bir dik koni yerlefltiriliyor. Buna göre koninin hacmini bulunuz.

5.


195

B C

A

4 cm

3 cm

5 cm

ABC dik üçgensel bölgesi [AB] kenar› etraf›nda 360° döndürülürseoluflan cismi çizip cismin yüzey alan›n› ve hacmini hesaplay›n›z.

9.

Bir ayr›t uzunlu¤u 10 cm olan bir küp içerisine yerlefltirilebilecek enbüyük hacimli kürenin hacmini ve yüzey alan›n› bulunuz.

11.

a) fiekilde verilen geometrik cisimlerin ayr›tuzunluklar›n›, gerçe¤e uygun say›larla yaklafl›k ola-rak belirleyip yüzey alanlar›n› ve hacimlerini tahminediniz.

b) Tahmininizi uygun problemler kurup çözerekkontrol ediniz.

12.

6. Boyu 4 m ve çap› cm olan dik silindir biçimindeki a¤aç, yontularak taban ayr›t uzunlu¤u

80 cm ve yüksekli¤i 4 m olan dik kare piramit elde edilmek istendi¤ine göre kaç desimetre küp a¤açyontulmal›d›r?

80 2

7. Hacmi 144π cm3 ve yüksekli¤i 9 cm olan dik koninin taban yar›çap› kaç santimetredir?

A. B. C. D.

8. Bir dik koninin taban yar›çap› sabit tutularak yüksekli¤i iki kat›na ç›kar›l›rsa hacmi kaç kat›na ç›kar?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7 36 315 24 3

10. Bütün ayr›t uzunluklar› birbirine eflit bir kare dik piramit ile yar›çap› piramidin bir ayr›t uzunlu¤unaeflit olan kürenin hacimleri oran›n› bulunuz (π = 3 al›n›z.).

13. Hacminin say›sal de¤eri yüzey alan›n›n say›sal de¤erine eflit olan kürenin yar›çap›n› bulunuz.

14. Yar›çaplar› oran› olan iki kürenin alanlar› ve hacimleri oran›n› bulunuz.52

ÖÇK s. 137, 138

196

T

A B

r

Aç›n›m› verilen dik koninin yüzey alan›n›n bulunabilmesi içinafla¤›dakilerden hangileri verilmelidir?

A. α ve |TB| B. r ve α C. α ve |TB| D. αAB ve7

15.

10 m2 lik duvar› boyamak için 4 kg boya kullan›lmaktad›r. 40 kg boyakullan›lan dikdörtgenler prizmas› biçiminde bir duvar›n taban ayr›t uzun-luklar› 1 m ve 20 m oldu¤una göre duvar›n yüksekli¤ini bulunuz.

16.

A

B

|AB| = 12 cm

Silindir biçiminde bir a¤aç, her iki ucundan yar›m küre biçiminde yon-tuluyor. Tahtan›n ilk hâlinin yar›çap› 4 cm ve yüksekli¤i 12 cm oldu¤unagöre yontulduktan sonra ortaya ç›kan cismin hacmini bulunuz.

17.

18. Kenar uzunlu¤u 5 cm olan küplerden kaç tane kullan›larak hacmi 8000 cm3 olan bir küp oluflturu-labilir?

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

19. ‹çi su ile dolu ve taban›n›n yar›çap› 8 cm olan bir dik silindirin içine yar›çap› 4 cm olan bir küre

yerlefltiriliyor. Silindir içindeki suyun ’u tafl›p döküldü¤üne göre silindirin yüksekli¤i kaç cm’dir?

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9

91

BA

E

H G

CD

F

fiekilde verilen küpte EGB aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?

A. 80° B. 60° C. 45° D. 30°

20.

198

• Kartondan makasla 20 x 20 cm2 boyutunda bir parça kesiniz.

• Yanda verilen flekildekine benzer biçimde örüntü bloklar›n-dan eflkenar dörtgen modellerini kullanarak kartonun yüzeyinikaplay›n›z. Çal›flma sonunda kartonun yüzeyinde hiç boflluk kal-mamal›d›r.

• Kartondan bir kenar uzunlu¤u 20 cm olan bir eflkenar üçgen-sel bölge modeli oluflturunuz.

• Üçgensel bölge modelinin kenarlar›n›n orta noktalar›n› belir-leyiniz.

• Belirledi¤iniz orta noktalar› ikifler ikifler birlefltirip birbirine eflüçgensel bölgeler oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz üçgensel bölgelerden ortadakini, kulland›¤›-n›z kartondan farkl› renkte bir renkli kâ¤›tla kaplay›n›z.

• Kalan üçgensel bölgelerinin kenarlar›n›n orta noktalar›n› bir-lefltirerek ayn› ifllemi tekrarlay›n›z.

• Bu ifllemi art arda üç kez tekrarlayarak bir örüntü oluflturunuz.

� Elde etti¤iniz iki örüntü aras›nda nas›l bir fark vard›r? Aç›klay›n›z.

1. BÖLÜM ÖRÜNTÜLER

Örnek: Eflkenar üçgensel bölge modellerinden yararlanarak örüntüler olufltural›m.

Örüntüyü inceledi¤imizde örüntünün birbirine efl, eflkenar üç-gensel bölgelerden olufltu¤unu görürüz.

Öyle bir flekil düflünelim ki hanginoktas›n› büyütüp bakarsak yinebafllang›çtaki flekli görelim. Bu ifllemine kadar sürdürürsek sürdürelimayn› flekil tekrarlan›r. ‹flte bu kendinebenzerlik kavram› “fraktal”d›r.

Asl›nda fraktallar matematikseldenklemlerin sonucunda bilgisayartaraf›ndan çizilen muhteflem görün-tülerdir. Bir fraktalda tüm flekillerinkenar uzunlu¤unu hesaplayamazs›-n›z. Çünkü flekiller sonsuzdur. Buflekillerin en önemli özelli¤i, ne kadar büyütürseniz büyütün görüntünün her küçük ayr›nt›s›n›nbütünü ile t›pat›p ayn› olmas›d›r.

� Sizce fraktallar bir örüntü müdür? Tart›fl›n›z.

Fraktal Oluflturma

Araç ve gereç: Kalem, renkli kâ¤›t, karton, makas, örüntü bloklar›ndaki eflkenar dörtgen modeli

199

Örnek: fiekilde verilen karesel bölgenin karfl›l›kl› kenarlar›n›norta noktalar›n› birlefltirelim. Elde etti¤imiz birbirine efl 4 karesel böl-geden karfl›l›kl› iki köflede bulunan karesel bölgelerin karfl›l›kl› ke-narlar›n›n orta noktalar›n› birlefltirelim. Di¤er ikisini renkli kalemleboyayal›m. Ayn› ifllemi 3 kez ilerletelim. Elde edilen örüntüyü ince-leyelim:

Örnek: Bir do¤ru parças›n›n uç noktas›na, bu do¤ru parças›n›n uzunlu¤unun uzunlu¤unda 5

do¤ru parças› çizelim.Ayn› ifllemi çizdi¤imiz do¤ru parçalar› için de yap›p örüntüyü 2 ad›m ilerletelim:

'ü31

Örüntüyü inceledi¤imizde her seferde elde edilen karesel bölgeler bir önceki karesel bölge-

nin ’üne eflit oldu¤unu görürüz. Yani oluflan karesel bölgeler bir önceki karesel bölgenin bel-

li oranda küçültülmesinden elde edilmifltir.

41

Bir fleklin belli oranda küçültülmüflü veya büyütülmüflü biçimindeki örüntüler fraktal olarakadland›r›l›r.

I. ad›m

200

Çizdi¤imiz flekiller orant›l› olarak küçüldü-¤ünden bu örüntü bir fraktald›r.

I. ad›m II. ad›m III. ad›m

II. ad›m

Örüntüdeki karesel bölgeler birbirine efl oldu¤undan elde etti¤imiz örüntü fraktal de¤ildir.

Örnek

fiekildeki ABC eflkenar üç-geninin [CB] ve [AC] kenarlar›-n› 10, [BC] kenar›n› 20 efl par-çaya bölelim.

A

B C

Oluflan örüntüyü inceledi¤imizde flekillerin birbirleriyle orant›l› olmad›klar› görülmektedir. Ohâlde bu örüntü bir fraktal belirtmez. fiekildeki örüntü “Ya¤mur Damlas›” modeli olarak adland›-r›l›r.

Örnek: Bir çember içine, köfleleri bu çember üzerinde olan karesel bölgeler çizerek örüntü olufltu-ral›m. Oluflturdu¤umuz örüntünün fraktal olup olmad›¤›n› inceleyelim:

201

Örnek

fiekilde verilen düzgün beflgenin köflegenlerini çizelim. Köfle-genlerinin kesim noktalar›n›n oluflturdu¤u beflgenin köflegenleriiçin ayn› ifli tekrarlayal›m. Bu ifllemi 4 kez ilerleterek elde edilenörüntünün bir fraktal olup olmad›¤›n› inceleyelim:

Örüntüyü inceledi¤imizde her bir beflgen ve içinde oluflturulan her bir y›ld›z›n bir öncekifleklin belli oranda küçültülmüflü oldu¤unu görürüz. O hâlde bu örüntü bir fraktald›r.

I. ad›m II. ad›m III. ad›mIV. ad›m

1. Kenar uzunlu¤u 20 cm olan karesel bölgenin kenarlar›n›n orta noktalar›n› bir-lefltirerek yeni bir karesel bölge oluflturunuz. ‹fllemi 6 kez ilerleterek bir fraktal olufl-turunuz. Oluflturdu¤unuz fraktalda son oluflturdu¤unuz karesel bölgenin alan›n› bu-lunuz.

2. Bir çember içine eflkenar üçgenler çizerek bir örüntü oluflturunuz. Örüntünün fraktal olupolmad›¤›n› aç›klay›n›z.

3. Uzunlu¤u 16 cm olan do¤ru parças› çiziniz. Bu do¤ru parças›n›n sa¤›na ve soluna, uzunlu¤unun

’ü kadar olan uzunlukta birer do¤ru parças› daha çiziniz. Ayn› iflleme devam ederek örüntü oluflturu-

nuz. Oluflturdu¤unuz örüntünün fraktal olup olmad›¤›n› aç›klay›n›z.

41

4. Afla¤›da verilen örüntünün bir fraktal oluflturup oluflturmad›¤›n› belirleyiniz.

. . .


ÖÇK s. 140, 141

202

2. BÖLÜM YANSIMA, ÖTELEME VE DÖNME HAREKETLERİ

• Kareli kâ¤›da bir koordinat düzlemi çiziniz. • Koordinat düzleminin 1. bölgesine örüntü blokla-

r›ndan dikdörtgen modelini yerlefltiriniz.• Yerlefltirdi¤iniz modelin köflelerinin koordinatlar›-

n› belirleyiniz.• Bu dikdörtgen modelinin s›ras›yla x ve y eksen-

lerine göre simetri¤inin bulundu¤u yerlere yine dik-dörtgen modelleri yerlefltirip bu modellerin köfle nok-talar›n›n koordinatlar›n› belirleyiniz.

� Dikdörtgenlerin flekli ve büyüklükleri hakk›ndane söyleyebilirsiniz?

• ‹lk yerlefltirdi¤iniz dikdörtgen modelinin orijinegöre simetri¤ini al›p köfle noktalar›n›n koordinatlar›n›belirleyiniz.

� 180°lik dönme sonucu elde edilen dikdörtgenile orijine göre simetri¤inden elde edilen dikdörtgen aras›nda nas›lbir iliflki vard›r? Aç›klay›n›z.

• 1. bölgedeki dikdörtgeni 8 birim sola öteleyerek yeni bir dik-dörtgen oluflturunuz.

• 1. bölgedeki dikdörtgeni 7 birim afla¤›ya öteleyerek yeni bir dik-dörtgen oluflturunuz.

� Oluflan dikdörtgenlerin flekli ve büyüklüklerihakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

• Dikdörtgenin x eksenine göre simetri¤ini al›n›z.• Simetri¤inin her köflesini yedi birim sola öteleye-

rek yeni bir dikdörtgen daha oluflturunuz.• Dikdörtgenin köflelerini yedi birim sa¤a öteleye-

rek yeni bir dikdörtgen oluflturunuz.• Oluflturdu¤unuz dikdörtgenin tekrar x eksenine

göre simetri¤ini al›n›z.

� Elde etti¤iniz son iki dikdörtgen hakk›nda neler söyleyebilirsiniz?

Koordinat Düzleminde Yans›ma, Dönme ve Öteleme

Araç ve gereç: Kareli kâ¤›t, kalem, örüntü bloklar›ndan dikdörtgen modeli

Radar, uzaktaki hedefleri mikrodalga yan-s›tma metodu ile tespit eden bir cihazd›r. Ra-dar›n çal›flma prensibi, ses dalgas› yans›maprensibine çok benzer. Sesin bir yere veya birnesneye çarp›p geri dönmesiyle duyulan seseyank› denir. E¤er sesin havada yay›lma h›z›biliniyorsa nesnenin mesafesi hesaplanabilir.

Dönüfl yank›s› için geçecek süre, ses h›z›biliniyorsa kabaca hesaplanabilir.

� Sesin yans›mas› ile bir fleklin do¤ruyagöre yans›mas› aras›nda nas›l bir farkl›l›k ola-bilir?

203

Örnek

Yanda koordinat düzleminin 1. bölgesinde veri-len ABCD paralelkenar›n›n;

a) x eksenine göre,

b) y eksenine göre,

c) Orijine göre simetriklerini alal›m ve oluflanflekillerin köfle noktalar›n›n koordinatlar›n› belirle-yelim:

ABCD paralelkenar›n›n x eksenine göre simetri¤i

A’ B’ C’ D’ paralelkenar›d›r.

a) (2, 2) → A’ (2, –2)

b) (4, 2) → B’ (4, –2)

c) (5, 4) → C’ (5, –4)

d) (3, 4) → D’ (3, –4)

(x, y) → (x, –y)

x

y

1 2 3 4 5

1

23

4

A (2, 2)

D (3, 4) C (5, 4)

B (4, 2)

0

a) ABCD paralelkenar›n›n x eksenine göre simetri¤ini inceleyelim.

ABCD ve A’ B’ C’ D’ paralelkenarlar› efl flekillerdir. Noktalar›n apsisleri ayn›, ordinatlar› tersiflaretlidir.

1 2 3 4 5

1

23

4

–1

–2

–3–4

A (2, 2)

D (3, 4) C (5, 4)

B (4, 2)

A’ (2, –2)

D’ (3, –4) C’ (5, –4)

B’ (4, –2)

0x

y

(x, y) noktas›n›n x eksenine göre simetri¤i (x, –y) noktas›d›r.

ABCD paralelkenar›n›n y eksenine göre simetri¤i

A’’ B’’ C’’ D’’ paralelkenar›d›r.

a) (2, 2) → A’’ (–2, 2)

b) (4, 2) → B’’ (–4, 2)

c) (5, 4) → C’’ (–5, 4)

d) (3, 4) → D’’ (–3, 4)

(x, y) → (–x, y)

b) ABCD paralelkenar›n›n y eksenine göre simetri¤ini inceleyelim.

1 2 3 4 5

1

234

–1–2–3–4

A (2, 2)

D (3, 4) C (5, 4)

B (4, 2)B’’ (–4, 2)

–5

A’’ (–2, 2)

C’’ (–5, 4) D’’ (–3, 4)

0x

y

204

c) ABCD paralelkenar›n›n orijine göre simetri¤ini inceleyelim:

ABCD ve A’’ B’’ C’’ D’’ paralelkenarlar› efl flekillerdir. Noktalar›n apsisleri ters iflaretli, ordi-natlar› ise ayn› iflaretlidir.

1 2 3 4 5

1

234

–1–2–3–4–5

C’’’ (–5, –4) D’’’ (–3, –4)

–1–2–3

–4

–5

5D C

A B

B’’’ (–4, 2) A’’’ (–2, –2)

0x

y ABCD paralelkenar›n›n orijine göre simetri¤i

A’’’ B’’’ C’’’ D’’’ paralelkenar›d›r.

Bir çokgenin simetri¤i ile kendisi efl çokgenlerdir. Çokgenlerin büyüklükleri ve flekilleri de¤ifl-mez, sadece konumlar› de¤iflir.

a) (2, 2) → A’’’ (–2, –2)

b) (4, 2) → B’’’ (–4, –2)

c) (5, 4) → C’’’ (–5, –4)

d) (3, 4) → D’’’ (–3, –4)

(x, y) → (–x, –y)

(x, y) noktas›n›n y eksenine göre simetri¤i (–x, y) noktas›d›r.

(x, y) noktas›n›n orijine göre simetri¤i (–x, –y) noktas›d›r.

Örnek

ABCD ve A’’’ B’’’ C’’’ D’’’ paralelkenarlar› efl çokgenlerdir. Noktalar›n hem apsisleri hem ordi-

natlar› iflaret de¤ifltirmifltir.

Yanda verilen üçgensel bölgesinin orijin etraf›n-

daki dönme hareketlerini inceleyelim:

ABC1

23

2 31x

C (1, 4)

B (4, 3)

y

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

A (0, 0)

0

205

’nin 90°lik 180°lik 270°lik

dönmede dönmede dönmede

B(4,3) köflesinin B’ (–3,4) B’’ (–4,–3) B’’’(3, –4) koordinatlar›

C (1,4) köflesinin C’ (–4,1) C’’ (–1, –4) C’’ (4, –1)koordinatlar›

ABCT

Koordinat düzleminde ’nin orijine göre

dönme hareketini inceledi¤imizde fleklin de¤iflmedi-¤i görülür. Buna göre (x, y) noktas›n›n 90°, 180° ve270°lik dönme sonucunda koordinatlar›,

ABCT

ABC üçgeninin orijine göre simetri¤i ile orijinetraf›ndaki 180°lik dönme sonucunda elde edilengörüntüsü ayn›d›r.

0

1

2

3

2 31x

y

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3

–2

–190°

90°270° 180°

90°180°

A

C (1, 4)

B (4, 3)

B”’ (–4, –3)

C”’ (–1, –4)

0x

y

1

23

2 31

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1fieklin 180°lik dönme sonucunda elde edilen

görüntüsü orijine göre simetri¤idir.

x

y

1

23

2 31

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

A

B

C

D

0

Örnek: Yanda koordinat düzleminde verilen ABCDdörtgenini;

a) x eksenine göre 4 br afla¤›ya,

b) y eksenine göre 3 br sola,

c) x eksenine göre 2 br afla¤›ya, y eksenine göre 4br sola öteleyelim:

’nin belirtilen B,C köflelerinin koordinatlar› yukar›-

daki çizelgede gösterilmifltir.

ABCT

ABC üçgeninin orijine göre simetri¤ini inceleyelim:

180°

270°

biçimin-

de elde edilir.

, – , – , – , –x y y x x y y x°90^ ^ ^ ^h h h h

206

a) ABCD dörtgeni x eksenine göre 4 br afla¤›ya ötelenirken köflelerinin koordinatlar›;

b) ABCD dörtgeni y eksenine göre 3 br sola ötelenirken köflelerinin koordinatlar›;

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

0

y

x1

23

2 31

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

A

B

C

D

A’’

B’’

C’’D’’

y

x0

1

23

2 31

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

A (1, 2) → A’ (1, –2) = A’ ((1, 2 + (–4)),

B (3, 1) → B’ (3, –3) = B’ ((3, 1 + (–4)),

C (4, 4) → C’ (4, –1) = C’ ((4, 3 + (–4)),

D (2, 4) → D’ (2, 0) = D’ ((2, 4 + (–4)) olur.

Bir çokgen x eksenine göre a br afla¤›ya ötele-nirken çokgenin bütün noktalar›n›n ordinatlar› a brkadar küçülür, yukar›ya do¤ru ötelenirken bütünnoktalar›n›n ordinatlar› a br kadar büyür. Apsislerin-de bir de¤ifliklik olmaz.

A (1, 2) → A’’ (–2, 2) = A’’ ((1 + (–3), 2),

B (3, 1) → B’’ (0, 1) = B’’ ((3 + (–3), 1),

C (4, 3) → C’’ (1, 3) = C’’ ((4 + (–3), 3),

D (2, 4) → D’’ (–1, 4) = D’’ ((2 + (–3), 4) olur.

Bir çokgen y eksenine göre a br sa¤a ötelenir-se çokgenin bütün noktalar›n›n apsisleri a br bü-yür, a br sola ötelenirse çokgenin bütün noktalar›-n›n apsisleri a br küçülür. Ordinatlar›nda bir de¤i-fliklik olmaz.

c) ABCD dörtgeni x eksenine göre 2 br afla¤›ya ve y eksenine göre 4 br sola ötelenirken köflelerininkoordinatlar›;

AB

C

D

D’’’

A’’’

B’’’

C’’’

0x

y

1

23

2 31

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

Do¤ruya göre öteleme yap›l›rken x ve yeksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilenbirim kadar, bütün noktalar paralel olarak ötelenir.

A (1, 2) → A’’’ (–3, 0) = A’’’ ((1 + (–4), 2 + (–2),

B (3, 1) → B’’’ (–1, –1) = B’’’ ((3 + (–4), 1 + (–2),

C (4, 3) → C’’’ (0, 1) = C’’’ ((4 + (–4), 3 + (–2),

D (2, 4) → D’’’ (–2, 2) = D’’’ ((2 + (–4), 4 + (–2)olur.

207

Yanda koordinat düzleminde verilen ’ni,

a) Önce sa¤a do¤ru 3 br öteleyip üçgenin ötelenmiflhâlinin x eksenine göre simetri¤ini bulal›m.

b) Önce x eksenine göre simetri¤ini al›p simetri¤inisa¤a do¤ru 3 br öteleyelim.

c) a ve b fl›klar›nda elde edilen sonuçlar› karfl›laflt›r›psonucu yorumlayal›m:

fiKAT

K (1, 2) → K’ (4, 2) → K’’ (4, –2)

A (4, 4) → A’ (7, 4) → A’’ (7, –4)

fi (3, 1) → fi’ (6, 1) → fi’’ (6, –1)

K (1, 2) → K1 (1, –2) → K2 (4, –2)

A (4, 4) → A1 (4, –4) → A2 (7, –4)

fi (3, 1) → fi1 (3, –1) → fi2 (6, –1)

1

23

2 31x

y

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

K

fi

A

0

–3 –2–4 –1

1

23

4

–4

–3–2

–1 2 31 4 5 6 7x

y

K

fi

A

K’

fi’

A’

0–3 –2–4 –1

1

23

4

–4

–3–2

–1 2 31 4 5 7x

y

K’

fi’

A’

K’’fi’’

A’’

60

a)

1

23

2 31x

y

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–1

K

fi

A

0

K1

fi1

A1

1

23

2 31x

y

4

4–3 –2–4 –1

–4

–3–2

–10

K2

fi2

A2

5 6

K1

fi1

A1

b)

Örnek

208

c) Önce öteleyip sonra simetri¤ini ald›¤›m›z ile önce simetri¤ini al›p öteledi¤imiz

’nin ayn› üçgen oldu¤unu görürüz.fiK A2 2 2T

fiK A" " "T

Bir fleklin bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonrayans›mas› ayn›d›r.

Örnek

d

d

d

d

Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta ve yans›ma do¤rusundan baflka hiçbir do¤ru sabit kalmaz.

Yukar›daki iki gösterimi karfl›laflt›rd›¤›m›zda afla¤›daki gösterimi elde ederiz.

209

1. Yanda koordinat düzleminde verilen ’nin;



c) Orijine göre simetri¤ini al›p köfle noktalar›n›n koordi-natlar›n› belirleyiniz.

PAST

2. Yanda koordinat düzleminde verilen flekli x ekseni-ne göre 3 br afla¤›ya, y eksenine göre 4 br sa¤a öteleyi-niz.

4. Afla¤›da verilen ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?

• Simetrik flekiller efltirler.• Bir fleklin bir do¤ru boyunca yans›mas›ndan sonra ötelenmesi ile ötelemesinden sonra yans›-

mas› ayn›d›r.• Bir fleklin 180° lik dönme sonucu elde edilen görüntüsü fleklin orijine göre simetri¤idir.• Bir fleklin x ve y eksenlerine göre simetrileri efltir.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

P

SA

O

y

x

O

y

x

3. Yanda verilen fleklin d do¤rusuna göre ötelemeliyans›mas›n› yap›n›z.d


ÖÇK s. 142, 143,144, 145, 146

210

• Cisimlerin kaç derecelik dönmelerde de¤iflmez kald›klar›n› belirleyiniz.

• Dairesel silindir modelinin eksenine tel bat›r›p çeviriniz.

� Dairesel silindir kaç derecelik dönmede de¤iflmez kal›r? Aç›klay›n›z.

� Dairesel silindir neresinden geçen düzlemlere göre simetriktir? Aç›klay›n›z.

� Elde etti¤iniz cisimler kesti¤iniz yerden geçen düzlemlere göre simetrik midir? Aç›klay›n›z.

• Küp ve dikdörtgenler prizmas› modellerinin karfl›l›kl› yüzlerinin merkezlerinden geçecek flekildeteller bat›r›p çeviriniz.

3. BÖLÜM GEOMETRİK CİSİMLERİN ARA KESİTLERİ VE SİMETRİLERİ

• Oyun hamurundan küp, dikdörtgenler prizmas›, dairesel silindir, dönelkoni, küre ve eflkenar üçgen piramit modelleri oluflturunuz.

• Küp ve dikdörtgenler prizmas› modellerini önce kenarlar›n›n orta dik-melerinden, daha sonra karfl›l›kl› yüzlerinin paralel olan köflegenlerindenkesiniz.

Geometrik Cisimlerin Simetrileri ve Ara Kesitleri

Araç ve gereç: Oyun hamuru, maket b›ça¤›, tel

Dünya’n›n en büyük mimarlar›ndan olan Mimar Sinan,Osmanl›n›n en güçlü ça¤›nda yaflayan Kanuni Sultan Sü-leyman, II. Selim ve III. Murat olmak üzere birçok padiflahdöneminde mimarbafl›l›k yapm›flt›r. Say›s›z ve de¤erli eser-leri olan Mimar Sinan’›n en önemli özelliklerinden biri yap›t-lar›nda simetriyi uygulamas›d›r.

Edirne’de yapt›¤› Selimiye Camisi’nin dört minaresininde Edirne flehrine girerken tek minare gibi görülmesi mü-kemmel simetri ile yap›lmas›ndan kaynaklanmaktad›r.

� Çevremizde veya günlük hayatta simetri örnekleri nerelerde kullan›lm›flt›r? Araflt›r›n›z.

211

Örnek: Küp ve kare prizmay› bir düzlemle uygun flekildekesip ara kesitlerini, simetrilerini ve eksenleri etraf›ndakidönmelerini inceleyelim:

fiekilde görüldü¤ü gibi küp, ekseni etraf›ndaki 90°lik dönmelerde de¤iflmez kal›r.

• Dönel koni, küre ve piramit modellerini uygun biçimde düzlemlerle simetrik parçalara ay›r›n›z.

� Bu düzlemler koni, küre ve piramit modellerinin neresinden geçmelidir?

� Yapt›¤›n›z ifllemlerden yararlanarak bir düzlemle geometrik cisimlerin ara kesitleri hangigeometrik flekillerden oluflmaktad›r? Aç›klay›n›z.

• Dönel koni, küre ve piramit modellerinin hangi do¤rular etraf›nda kaç derecelik dönmelerle de¤ifl-mez kald›klar›n› belirleyiniz.

� Hangi cisim, ekseni etraf›ndaki her dönmede de¤iflmez kal›r? Aç›klay›n›z.

Küpü karfl›l›kl› iki yüzlerinin paralel olan iki kenar›n›n orta dikmelerinden ve karfl›l›kl› yüz köflegen-lerinden geçen düzlemlere göre inceleyelim:

fiekilde görül-dü¤ü gibi küp, kar-fl›l›kl› iki yüzününparalel olan iki ke-nar orta dikmelerin-den ve karfl›l›kl› yüzköflegenler indengeçen düzlemleregöre simetriktir.

fiekilde görüldü¤ü gibi küpün karfl›l›kl› iki yüzünün paralel olan iki kenar›n›n orta dikmele-rinden geçen düzleme göre ara kesiti karesel bölgedir. Karfl›l›kl› yüz köflegenlerinden geçendüzleme göre ara kesiti dikdörtgensel bölgedir.

212

Örnek: Dik dairesel koni ve dik silindiri bir düzlemle uygun flekilde kesip ara kesitlerini, simetrilerinive eksenleri etraf›ndaki dönmelerini inceleyelim:

fiekilde görüldü¤ü gibi dikdörtgenler prizmas› ekseni etraf›ndaki 180° lik dönmelerde de-¤iflmez kal›r.

fiekilde görüldü¤ü gibi kare prizma karfl›l›kl› iki yüzünün paralel olan iki kenar›n›n orta dik-melerinden ve karfl›l›kl› yüz köflegenlerinden geçen düzlemlere göre simetriktir.

fiekilde görüldü¤ü gibi kare prizma karfl›l›kl› iki yüzünün paralel olan iki kenar›n›n orta dik-melerinden geçen düzleme göre ara kesitleri karesel ve dikdörtgensel bölgelerdir. Karfl›l›kl› yüzköflegenlerinden geçen düzleme göre ara kesiti ise dikdörtgensel bölgedir.

213

fiekilde görüldü¤ü gibi silindirin tabana dik ekseninden geçen düzlemle kesildi¤inde oluflanparçalar›n ara kesiti dikdörtgensel bölge; eksene dik, tabana paralel olan düzlemle kesildi¤indeoluflan parçalar›n ara kesiti dairedir.

fiekilde görüldü¤ü gibidik dairesel silindir, eksenietraf›nda her dönmede de-¤iflmez kal›r.

fiekilde görüldü¤ü gibi dik dairesel koni tabana dik ekseninden geçen bir düzlemle kesildi-¤inde oluflan parçalar birbirlerine göre simetriktir. Koninin ekseninden geçen tabana dik bir düz-lemle kesildi¤inde oluflan parçalar›n ara kesiti üçgensel bölgedir.

fiekilde görüldü¤ü gibi silindir; tabana dik eksenden geçen düzlemle ve ekseninin tam orta-s›ndan geçecek flekilde eksene dik, tabana paralel düzlemle kesildi¤inde oluflan cisimler birbir-lerine göre simetriktir.

214

fiekilde görüldü¤ü gibi dik dairesel koni, taban›na paralel bir düzlemle kesildi¤inde oluflanparçalar birbirlerine göre simetrik de¤ildir.

fiekilde görüldü¤ü gibi dik dairesel koni, taban›na paralel bir düzlemle kesildi¤inde oluflanparçalar›n ara kesiti dairedir.

fiekilde görüldü¤ü gibidik dairesel koni, ekseni et-raf›nda her dönmede de¤ifl-mez kal›r.

Örnek: Eflkenar üçgen piramit ve eflkenarüçgen prizmay› bir düzlemle uygun flekilde ke-sip ara kesitlerini, simetrilerini ve eksenleri et-raf›ndaki dönmelerini inceleyelim:

fiekilde görüldü¤ü gibi eflkenar üçgen piramit tabana dik ekseninden geçen düzlemle kesil-di¤inde oluflan parçalar› simetriktir. Eflkenar üçgen piramit, tabana dik bir düzlemle kesildi¤indeoluflan parçalar›n ara kesiti üçgensel bölgedir.

215

fiekilde görüldü¤ü gibieflkenar üçgen piramit, ek-seni etraf›nda 120°lik dön-mede de¤iflmez kal›r.

fiekilde görüldü¤ü gibi eflkenar üçgen piramidin ekseninden geçen, taban›na paralel olan birdüzlemle kesildi¤inde oluflan parçalar› birbirine göre simetrik de¤ildir. Eflkenar üçgen piramit düz-lemle taban›na paralel kesildi¤inde oluflan ara kesiti üçgensel bölgedir.

120°60°

fiekillerde görüldü¤ü gibi eflkenar üçgen dik prizman›n, ekseninden geçen ve taban›na dik olanbir düzlemle kesildi¤inde oluflan parçalar› birbirine göre simetriktir ve oluflan ara kesiti dikdörtgenselbölgedir. Ayn› cismin, ekseninin tam ortas›ndan tabana paralel düzlemle kesildi¤inde oluflan parça-lar› da birbirine göre simetriktir ancak bu kez oluflan ara kesiti eflkenar üçgensel bölgedir.

216

Örnek: Yanda verilen küre modelinin bir düzlemle ara kesitini, simetrik parça-lar›n› ve ekseni etraf›ndaki dönme hareketini inceleyelim:

Örnek

Görüldü¤ü gibi dikdörtgensel bölgenin AB kenar› etraf›nda döndürülmesiyle taban yar›çap› 2 cm,yüksekli¤i 6 cm olan bir silindir elde edilir. Dik üçgensel bölgenin AB kenar› etraf›nda döndürülmesiyletaban yar›çap› 3 cm, yüksekli¤i 4 cm olan dik koni elde edilir.

fiekilde verilen dikdörtgensel bölge ve dik üçgensel bölgenin AB kenarlar› etraf›nda döndürülmeleriile oluflacak cisimleri inceleyelim:

fiekildeki gibi eflkenar üçgenprizma, ekseni etraf›nda 120°lik dön-mede de¤iflmez kal›r.

120°60°

Eflkenar üçgen dik prizma dön-me simetrisine sahiptir.

fiekilde görüldü¤ü gibi kürenin merkezinden geçen tüm düzlemlerle kesildi¤inde oluflan par-çalar› simetriktir. Kürenin merkezinden geçen bu düzlemlerle kesildi¤inde oluflan ara kesiti dairedir.

fiekildeki gibi küre,ekseni etraf›ndaki herdönmede de¤iflmez kal›r.

D

A

C

B

2 cm

6 cm

D

A

C

B

2 cm

6 cm

D C

C

A B

3 cm

4 cm

C

A B

3 cm

4 cm

C

217

1. Afla¤›daki ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?

• Bütün geometrik cisimler dönme simetrisine sahiptir.

• Küre, merkezi etraf›ndaki her dönmede de¤iflmez kal›r.

• Silindirin, bir düzlemle kesiflimi dairedir.

• Küpün bir düzlemle her türlü kesifliminden simetrik cisimler elde edilir.

• Eflkenar üçgen piramit, taban yüksekli¤inden ve ekseninden geçen düzleme göre simetriktir.

• Dikdörtgenler prizmas› karfl›l›kl› yüzlerinin paralel olan orta dikmelerinden geçen düzleme göresimetriktir.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2.

3.

fiekildeki silindir, taban merkezinden geçen ve tabanlara dikbir düzlemle kesildi¤inde oluflan ara kesit afla¤›dakilerden han-gisi olur?

A.

Yukar›daki cisimlerden hangileri bir düzlemle kesildi¤inde ara kesiti her zaman bir dairedir?

A. Küre B. Küre, silindir, küp C. Küre, koni D. Küre, silindir, koni

Yanda bir zar›n farkl› konumlar-daki görüntüsü verilmifltir. Zar›n yüz-lerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlar› bu-lundu¤una göre bu rakamlardanhangileri birbirinin karfl›s›nda de¤il-dir?

A. 1,6 B. 3,4 C. 2,5 D. 2,6

4.

B. C. D.


ÖÇK s. 147, 148,149, 150

218

4. BÖLÜM ÇOK YÜZLÜLER, YAPILARIN GÖRÜNÜMLERİ VE İZ DÜŞÜMÜ

• Afla¤›da aç›n›mlar› verilen flekilleri kartona cetvel yard›m› ile çizip kenarlar›ndan kesiniz.

• Elde etti¤iniz flekillerdeki üçgensel, karesel ve beflgensel bölgeleri kenarlar›ndan katlay›p birleflti-rerek geometrik cisimler elde ediniz.

• Elde etti¤iniz geometrik cisimlerin köfle, ayr›t ve yüz say›lar›n› belirleyiniz.

• fiimdi de afla¤›da aç›n›mlar› verilen flekiller için ayn› ifllemi yap›n›z.

� Elde etti¤iniz geometrik cisimlerin hangileri yüzleri efl düzgün çokgensel bölgelerden oluflmak-tad›r?

� Elde etti¤iniz geometrik cisimleri adland›rmak isterseniz geometrik cisimlerin hangi temel ele-man›ndan yararlan›rs›n›z?

Çok Yüzlüler Oluflturma

Araç ve gereç: Karton, makas, cetvel, kalem, selobant

Resim, grafik, heykel, mimarl›k gibi sanat dallar›ndave foto¤rafta; derinli¤in, bütünlü¤ün, devaml›l›¤›n renk,biçim ve çizgilerle ya da foto¤raf makinesi arac›l›¤›ylabilimsel olarak elde edilmesinde izlenilen yöntemler var-d›r. K›saca üç boyutlu cisimleri, iki boyutlu bir düzlemüzerinde göstermek için kullan›lan araç perspektiftir.

Çizilecek bir konunun üç boyutlulu¤u düflünülerek,bu konu ile ilgili boflluk ve kitle sorunlar›n› görsel olarakçizmek için perspektif yöntemlerinden faydalan›l›r.

� Okulunuzun ya da evinizin sa¤dan, soldan, karfl›dan görünümünü nas›l çizersiniz?

219

Köfle say›s› : 8Ayr›t say›s› : 12Yüz say›s› : 6

Elde edilen geometrik cisimlerin yüzleri birer çokgensel bölge, ayr›t ve köfleleri ise bu çok-gensel bölgelerin kenarlar› ve köfleleridir. Bu flekildeki geometrik cisimler çok yüzlüler olarak ad-land›r›l›r. Çok yüzlülerin adland›r›lmas› yüz say›lar›na göre yap›l›r.





Örnek: fiekilde verilen dikdörtgenler prizmas› modelinin bir düzlemle kesilip ayr›lm›fl kesiklerini in-celeyelim:

Elde edilen çok yüzlüler s›ras› ile alt› yüzlü, yedi yüzlü, sekiz yüzlü, dokuz yüzlü ve on yüzlüolarak adland›r›l›r.

220

Herhangi iki noktas›n› birlefltiren do¤ru parças›n›n tamam›, çok yüzlünün yüzünde (bir yü-zünde) veya içinde kal›yorsa d›flbükey, aksi hâlde iç bükeydir.

Bir çok yüzlünün yüzeyi, yüzleri ile ayr›tlar›n›n birlefliminden oluflmaktad›r.

fiekildeki geometrik cismin yüzeyi, yüzlerive ayr›tlar›n›n birlefliminden olufltu¤undan çokyüzlüdür. Çok yüzlünün yüzleri dikkate al›nd›-¤›nda iki yüzünün içbükey, di¤er yüzlerinin ised›flbükey oldu¤u görülmektedir.

Örnek: Çok küplülerle oluflturulan çok yüzlüleri inceleyelim:



Elde edilen geometrik cisim 10 yüzlüolarak adland›r›l›r.

Elde edilen geometrik cisim 6 yüzlüolarak adland›r›l›r.

fiekildeki geometrik cismin yüzeyi, yüzle-ri ve ayr›tlar›n›n birlefliminden olufltu¤undançok yüzlüdür. Çok yüzlünün yüzleri dikkate al›n-d›¤›nda bütün yüzlerinin d›flbükey oldu¤u görül-mektedir.

Örnek: Resimde verilen üçgensel, karesel ve beflgensel bölgelerin eflleri ile oluflturulan çok yüzlü-leri inceleyelim:

221

Bütün yüzleri ve ayr›tlar› efl olan çok yüzlülere, “düzgün çok yüzlü” ad› verilir. Düzgün çok yüz-lüler Platonic (Platonik) geometrik cisimler olarak da adland›r›l›r.

Oluflan cismin bütünyüzleri eflkenar üçgenselbölgelerden oluflmaktad›r.

Yüz say›s› 4’tür.

Oluflan cismin bütünyüzleri karesel bölgelerdenoluflmaktad›r.

Yüz say›s› 6’d›r.


Yüz say›s› 8’dir.

DL

Z

1

2

3

V

� Oluflturdu¤unuz yap›lar› nas›l kodlars›n›z? Aç›klay›n›z.

Oluflan cismin bütünyüzleri beflgensel bölgeler-den oluflmaktad›r.




Yap›lar›n Görünümleri

Araç ve gereç: Çok küplüler tak›m›, izometrik kâ¤›t, kalem, bant

• Çok küplüler tak›m›ndan, yanda kodlar› verilen çok küplülerikullanarak çeflitli yap›lar oluflturunuz.

• Oluflturdu¤unuz yap›lar›n görünümlerini izometrik kâ¤›daçiziniz.

• Afla¤›da çizimleri verilen yap›lar›, çok küplüleri kullanarakoluflturunuz.

222

Örnek: Afla¤›da çizimleri verilen yap›lar› çok küplerle olufltural›m. Yap›lar›n kodlar›n› belirleyelim.

Örnek: Kodu DLV3 ve DLV olan yap›lar olufltural›m ve bu yap›lar›n görünümlerini çizelim.

Çizimi verilen yap›-n›n kodu LL’dir.

Çizimi verilen yap›-n›n kodu LZ2’dir.

• Dikdörtgenler prizmas› biçimindeki kutuyu ö¤retmenmasas›n›n üzerine yerlefltiriniz.

� Cismin ön yüzü için hangi geometrik flekli çizmekgerekir?

• Cismin ön yüzü için çizdi¤iniz geometrik fleklin üst ta-raf›nda fleklin üst taban›na paralel yatay bir do¤ru çiziniz.

a) Kutuya tam karfl›dan bakanlar do¤ru üzerinde geo-metrik fleklin taban›n›n tam ortas›n›n hizas›nda bir noktaiflaretlesinler.

b) Kutuya sa¤ üstten bakanlar do¤runun sa¤ taraf›n-da, sol üstten bakanlar do¤runun sol taraf›nda bir noktaiflaretlesinler.

• fieklin köflelerini belirledi¤iniz nokta ile birlefltirecekflekilde do¤rular çiziniz.

• Kutunun arkada tabana paralel olan ayr›t›n› olufltur-mak için yatay do¤ruya paralel ve di¤er do¤rular› kese-cek biçimde bir do¤ru parças› çiziniz.

• Çizdi¤iniz do¤ru parças›n›n uç noktalar›n› geomet-rik fleklin üst ayr›t›n›n köfle noktalar› ile birlefltiren do¤ruparçalar› çiziniz. Do¤ru parças›n›n sa¤ uç noktas›n› geo-metrik fleklin sa¤ uç noktas› ile sol uç noktas›n› geomet-rik fleklin sol uç noktas› ile birlefltiriniz.

• Kutunun arkada kalan ayr›tlar› için dikey ve yatay do¤ru parçalar› (iç çizgileri) çiziniz.• ‹lk çizdi¤iniz yatay do¤ruyu ve di¤er fazlal›klar› silerek kutunun çizimini tamamlay›n›z.• Yapt›¤›n›z çizimi arkadafllar›n›z›n çizimi ile karfl›laflt›r›n›z.� Çizimlerin aras›ndaki fark neden kaynaklanm›flt›r? Aç›klay›n›z.

Perspektif Çizimi

Araç ve gereç: Dikdörtgenler prizmas› biçiminde bir kutu, kâ¤›t, kalem

223

Örnek: Afla¤›daki resimleri inceleyelim:

Tren yolu raylar›n›n ve yolun kesifliyormufl gibi olduklar› nokta “kaybolunan nokta”, raylar›nkendileri ve yolun kenarlar›ndaki kesikli çizgi modelleri “kaybolunan do¤ru” kavramlar›na birer ör-nektir. Kaybolunan do¤rular ismini, cismin kaybolunan noktaya do¤ru küçülmesinden al›r.

Cisim küp fleklindedir.Cismin ön yüzü ile üst tabanyüzeyi hariç di¤er hiçbir yü-zü görülmemektedir. Bununanlam› cismin ön yüzününçizimin yap›ld›¤› kâ¤›d›ndüzlemine paralel olmas›-d›r.

Örnek: Foto¤rafta verilen efl küplerle oluflturulmufl yap›n›n perspektif çizimini yapal›m.

d d

2. ad›mKarenin köflelerinden

kaybolan noktaya kaybolu-nan do¤rular çizilir.

Yolun kenarlar›ndaki kesikli çizgiler aras›n-daki mesafe hiçbir yerde de¤iflmemektedir. An-cak ufka do¤ru bak›ld›¤›nda kesikli çizgiler ara-s›ndaki mesafenin giderek darald›¤› ve ilerdebir noktada birlefliyormufl gibi oldu¤u görülmek-tedir.

Trenin geniflli¤i ve raylar›n aras›ndakimesafe de¤iflmez. Ancak ufka do¤ru bak›l-d›¤›nda raylar ileride bir noktada kesifliyor-mufl gibi gözükmektedir. Trenin boyutlar›n›nise gittikçe küçüldü¤ü görülür.

1. ad›mKüp fleklindeki cismin ön

yüzü için bir kare çizilir. Bukarenin üst taraf›nda tabanaparalel bir yatay do¤ru çiziliptaban›n›n tam ortas›n›n hi-zas›nda bir nokta seçilir. Bunokta kaybolunan noktad›r.

1 2

224

1. ad›mCismin ön yüzü için bir

dikdörtgenin üst taraf›nda ta-banlar›na paralel bir yataydo¤ru çizilip, bu do¤ru üze-rinde do¤runun sa¤ taraf›ndabir kaybolunan nokta iflaret-lenir.

d

2. ad›mDikdörtgenin köflelerin-

den kaybolunan noktayakaybolunan do¤rularçizilir.

d

3. ad›mCismin arkada tabana

paralel olan ayr›t›n› olufltur-mak için yatay do¤ruya pa-ralel ve kaybolunan do¤ru-lar› kesecek biçimde birdo¤ru parças› çizilir.

d

Küp veya prizma modeli kutusunun ön yüzü, resmin (çizginin) düzlemine paralel olan pers-pektif çiziminin tipine “bir nokta perspektifi” denir. Çizim düzlemine paralel olan yatay ve dikeydo¤rular, kaybolunan noktaya çizilmez.

Örnek: Yanda verilen dikdörtgenler prizmas› fleklinde-ki cihaz›n perspektif çizimini yapal›m.

d d

4. ad›mArkada sakl› duran di¤er

dikey ve yatay do¤ru parça-lar› da çizilir.

5. ad›mYatay d do¤rusu ve kay-

bolunan do¤rular›n fazlal›k-lar› silinerek çizim tamamla-n›r.

3. ad›mKüpün arkas›nda tabana

paralel olan ayr›t›n› olufltur-mak için yatay do¤ruya pa-ralel ve kaybolunan do¤rula-r› kesecek biçimde bir do¤ruparças› çizilir.

Bu foto¤rafta verilen görünümde cisme sa¤ üst-ten bak›lmaktad›r. Sa¤ üstten bak›lan cismin ön yü-zü, tabanlar›ndan biri ve bak›lan taraftaki yüzündenbaflka yüzü görünmez.

3 4 5

1 2 3

225

1. ad›mCihaz›n önde görünen

ayr›t› için dikey bir do¤ruparças› çizilir. Bu do¤ru par-ças›n›n yukar›s›nda bir ya-tay do¤ru çizilip üzerinde ikikaybolunan nokta seçilir.

d

2. ad›mDikey do¤ru parças›n›n

uçlar›, her iki kaybolunannoktaya kaybolunan do¤ru-lar ile birlefltirilir.

d

3. ad›mKutunun geniflli¤i ve

uzunlu¤u için çizilen kaybo-lunan do¤rular aras›na di-key do¤ru parçalar› çizilir.

d

Çizim, kutu sa¤dan veya soldan gözlendi¤inde kaybolunan nokta s›ras› ile ufuk çizgisininüzerinde sa¤da ve soldad›r. Bu durum, cisme alttan veya üstten bak›ld›¤›nda de¤iflmez.

Örnek: Afla¤›da foto¤raf› verilen cihaz›n perspektif görünümünü çizelim.

Bu çizimde cismin ön yüzü çizimin düzlemine paralelde¤ildir. Cihaz›n ayn› köfleden kesiflen üç yüzünün (önyüz, sa¤ yan yüz, üst taban yüzü) görünmesi söz konusu-dur. Bu durumda cihaz›n öndeki k›sm› sa¤ ve sol yüzleri-nin kesiflti¤i ayr›t›d›r.

d

4. ad›mCismin arkas›nda sakl›

duran di¤er yatay ve dikeydo¤ru parçalar› da çizilir.

5. ad›mKaybolunan do¤rular›n fazlal›klar› sili-

nerek çizim tamamlan›r. Bu çizimde ku-tuya üstten ve sa¤dan bak›lmaktad›r.Ufuk çizgisi çizimden yüksekte ve kaybo-lunan nokta sa¤dad›r.

4 5

226

Perspektif çizimde iki kaybolunan nokta bulundu¤unda bu tekni¤e “iki nokta perspektifi” denir.

1. Yanda foto¤raflar› verilen vazolar›n perspektif çizim-lerini yap›n›z. Perspektif çizim yaparken hangi tekni¤i kul-land›¤›n›z› nedenleri ile birlikte aç›klay›n›z.

d

4. ad›mKutunun arka taraf›n› be-

lirleyen yok olunan do¤rularçizilir.

5. ad›mGereksiz çizgiler silinerek çizim

tamamlan›r.

2. Alt› tane yüzü olan prizma ve piramit örnekleri verip köfle ve ayr›t say›lar›n› belirleyiniz.

3. Birbirine efl eflkenar üçgensel bölgelerle hangi düzgün çok yüzlüler elde edilebilir?

4. Kodu Z L olan farkl› yap›lar oluflturunuz. Oluflturdu¤unuz yap›n›n kaç yüzlü oldu¤unu belirleyiniz.

5. Afla¤›da verilen yap›lar›n çizimini yap›p kodunu belirleyiniz.

AALLIIfifiTTIIRRMMAALLAARRÖÇK s. 151, 152,153

4 5

227

Yanda verilen fleklin;



c) Orijine göre simetri¤ini çiziniz.

Yukar›da verilen ’ni sa¤a 2 br öteleyerek d do¤rusuna göre ötelemeli yans›mas›n› çiziniz.ABCT

4. Afla¤›daki ifadelerden kaç tanesi do¤rudur?

• Fraktal, bir fleklin ayn› oranda küçültülmüfl veya büyütülmüflü biçimindeki flekillerdir.• Bütün geometrik cisimlerin simetri ekseni vard›r.• Bir fleklin simetrisi ile kendisi efl flekillerdir.• Ötelemeli yans›mada hiçbir nokta sabit de¤ildir.

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

. . .

. . .

y

x

A

B Cd

I. ad›m

A

B

CII. ad›m III. ad›m

A

D

B E

F CIV. ad›m

E

F C

BK

D

A

M

L

I. ad›m II. ad›m III. ad›m IV. ad›m

Yukar›daki örüntülerin birer fraktal olup olmad›¤›n› nedenleriyle aç›klay›n›z.

2.

3.


1. a)

b)

228

5. Bir beflgen piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse ara kesiti afla¤›dakilerden hangisi olur?

A. Dikdörtgen B. Beflgen C. Kare D. Üçgen

6. Afla¤›daki geometrik cisimlerden hangisi bir düzlemle kesildi¤inde her durumda ara kesiti daireolur?

A. Koni B. Küre C. Silindir D. Beflgen prizma

8. Köfle say›s› 12, ayr›t say›s› 18 olan bir çok yüzlünün kaç yüzü vard›r?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

9. Bir kare piramit tabana paralel bir düzlemle kesildi¤inde taban›n bulundu¤u parçan›n kaç yüzüolur?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. Afla¤›da verilen çok yüzlüleri adland›r›n›z.

a) b) c) ç)

A

B C

A

D B

A

E D

A

C E ?

A

E CA

D EA

D B

A

B C

12. Bir koni bir düzlemle kesildi¤inde ara kesiti afla¤›dakilerden hangisi olmaz?

A. Daire

B. Dik üçgensel bölge

C. Karesel bölge

D. Eflkenar üçgensel bölge

10.

Yukar›da verilenlere göre soru iflareti yerine afla¤›dakilerden hangisi gelir?

A. B. C. D.

A. 1, 5 B. 2, 5 C. 3, 5 D. 3, 6

Yandaki flekilde bir küpün aç›n›m› verilmifltir. Bu küpün hangi iki yüzü bir-birine paraleldir?

11. 23145 6

13. Yüz say›s› 5, ayr›t say›s› 9 olan çok yüzlünün kaç köflesi vard›r?

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

14. Köfle say›s› 7, yüz say›s› 7 olan bir çok yüzlünün kaç ayr›t› vard›r?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

229

15. Afla¤›da görünümleri verilen yap›lar› izometrik kâ¤›da çiziniz.

Yanda verilen prizma fleklindeki dolap-lar›n görünümlerini çiziniz.

16.


(. . . . ) Çeflitkenar üçgende simetri ekseni çizilemez.

(. . . . ) Karenin simetri ekseni, dikdörtgenin simetri ekseninden daha fazlad›r.

(. . . . ) Koordinat düzleminin I. bölgesindeki bir noktan›n x eksenine göre simetri¤i III. bölgedir.

(. . . . ) x ekseni üzerindeki bir noktan›n, y eksenine göre simetri¤i yine x ekseni üzerindedir.

ÖÇK s. 154, 155

230

SÖZLÜK

Aanaliz : Çözümleme, tahlil.anket : Herhangi bir konuyla ilgili durum ve tu-

tumu belirlemek için düzenlenmifl ayr›nt›l› ve kap-saml› soru dizisi, sormaca.

ard›fl›k : Birbiri ard›ndan gelen.ay›rma : Bir say›y› veya cebirsel anlat›m›, iki

veya daha çok çarpan›n çarp›m› durumuna getir-me.

ayr›t : ‹ki düzlemin ara kesiti.

Bba¤›ms›z olay : A olay›n›n olas›l›¤›, B olay›n›n

olas›l›¤›n› de¤ifltirmiyorsa B olay› A olay›ndan ba-¤›ms›zd›r.

bakteri : Toprakta, suda, canl›larda bulunan,çürüme, mayalanma veya hastal›klara yol açan,küresel, silindirimsi, k›vr›k biçimde olan, bölüne-rek ço¤alan, klorofilsiz, tek hücreli canl›.

birim : Bir niceli¤i ölçmek için kendi cinsindenörnek seçilen de¤iflmez parça.

bulmaca : Çeflitli biçimlerde düzenlenen vedüflünerek, aratarak buldurmay› amaç edinenoyun.

Ççevre : Düzlem üzerindeki bir flekli s›n›rlayan

çizgi.çözümleme : Bir say›y› onluk ve birliklerine

ay›r›p yazma.

Ddara : Kab›yla birlikte tart›lan bir nesnenin ka-

b›n›n kütlesi.denklem : ‹çinde yer alan baz› niceliklere an-

cak uygun bir de¤er verildi¤i zaman sa¤lanabileneflitlik.

derece : Bir çemberin üç yüz altm›flta birineeflit olan aç› birimi.

Ee¤relti otu : Kumlu yerlerde yetiflen, 150 cm

kadar yükselebilen, t›pta ba¤›rsak kurtlar›n› dü-flürmek için kullan›lan çok y›ll›k ve otsu bir bitki.

ekonomi : ‹nsanlar›n yaflayabilmek için üret-me, ürettiklerini bölüflme biçimlerinin ve bu etkin-liklerden do¤an iliflkilerin bütünü.

efl : Birbirinin ayn› olan veya birbirine çok ben-zeyen iki fleyden her biri.

eflit : Yap›, de¤er, boyut, nicelik ve nitelik ba-k›m›ndan birbirinden ne art›k ne eksik olmayan ikiveya daha çok fley.

etkinlik : Etkin olma durumu, çal›flma, ifl yap-ma gücü, faaliyet.

Ffark : Ç›karma iflleminin sonucu.

Ggözlem : Bir nesnenin, olay›n veya bir gerçe-

¤in niteliklerinin bilinmesi amac›yla, dikkatli veplanl› olarak ele al›n›p incelenmesi.

grup : Ortak özellikleri olan varl›klar, nesnelerbütünü, küme, öbek.

Hhacim : Bir cismin uzayda doldurdu¤u boflluk,

oylum.hassas : Yap›m› ve bak›m› özen isteyen, ak-

samadan çok do¤ru çal›flan, kesin ölçüler gerekti-ren ifllerde kullan›lan (alet).

I›fl›n : Bir noktadan ç›k›p sonsuza giden yar›m

do¤rulardan her biri.

‹iç bölge : Kapal› bir fleklin içinde kalan k›s›m.imkâns›z olay : Olas›l›¤› s›f›r olan olay.ifllem : Say›lar› karfl› karfl›ya getirip belirli bir-

tak›m kurallara uygun olarak birbiri üzerine etki-lendirme yöntemi.

231

Kkarekök : Karesi verilen bir say›ya eflit olan sa-

y›.karesel bölge : Karenin s›n›rlad›¤› düzlemsel

bölge.kontrol : Bir iflin gerçe¤e ve asl›na uygunlu¤u-

na bakma, denetim, denetleme.köflegen : Bir çokgende ard›fl›k olmayan veya

birçok yüzlüde ayn› düzlem üzerinde bulunmayaniki köfle aras›na çekilen çizgi, kutur, diyagonal.

kural : Bir sanata, bir bilime, bir düflünce vedavran›fl sistemine temel olan, yön veren ilke.

Mmetre kare : Kenar› bir metre olan bir karenin

alan›na eflit yüzey ölçüsü birimi (m2).metre küp : Kenar› bir metre olan bir küpün oy-

lumuna eflit, oylum ölçüsü birimi (m3).milimetrik : 1. Milimetre ile ilgili olan. 2. Milimet-

relere bölünmüfl.

Nnesne : Belli bir kütlesi ve hacmi, rengi, madde-

si olan her türlü cans›z varl›k, fley, obje.

Oolas›l›k : Bir fleyin olabilmesi durumu, olabilirlik,

ihtimal.

Öölçüm : 1. Ölçme ifli. 2 Ölçerek elde edilen so-

nuç.örnek olay : Bir deneyde ç›kanlar›n tümünün

oluflturdu¤u küme.öteleme : Bir cismin, bütün noktalar›n›n eflit, pa-

ralel ve yöndefl olarak çizmesiyle beliren hareketi.özdefllik : ‹ki yan› birbirinin ayn› olan veya harf-

lerle verilen say›sal de¤erler ne olursa olsun iki ya-n› da say›ca eflit de¤erler alan eflitlik.

Ppascal (paskal) : Bir elemanl› bir kümeden bafl-

layarak alt kümelerin artan geniflli¤ine göre say› di-zilerinin alt alta sat›rlar hâlinde yaz›lmas›ndan olu-flan çizelge.

permütasyon : Birbirinden farkl› n tane elema-n›n, birbirinden farkl› dizilifllerinden her biri.

perspektif : Eflya ve nesnelerin uzaktan görü-nüflü, nesneleri bir yüzey üzerinde görüldükleri gibiçizme sanat›.

proje : Tasarlanm›fl fley, tasar›.

R

referans : 1. Bir kimsenin yararl›l›¤›n›, yetene¤i-ni gösteren belge. 2. Baflvurulmas› gereken kay-nak. 3. Tavsiye.

Ssembol : Duyularla ifade edilemeyen bir fleyi

belirten somut nesne veya iflaret, rumuz, timsal,simge.

simetri : Eksen olarak al›nan bir do¤rudan ben-zer noktalar› karfl›l›kl› olarak ayn› uzakl›kta bulunaniki benzer parçan›n birbirine göre olan durumu, ba-k›fl›m.

strateji : Önceden belirlenen bir amaca ulafl-mak için tutulan yol.

sunum : Bir bildirinin çeflitli yollarla dinleyenlereaktar›lmas›.

Ttahmin : Yaklafl›k olarak de¤erlendirme, oranla-

ma.

Uuzay : Bütün varl›klar›n içinde bulundu¤u son-

suz boflluk.

Üüçgensel bölge : Üçgenin s›n›rlad›¤› düzlemsel

bölge.

Vveri : Bir problemde bilinen, belirtilmifl anlat›m-

lardan bilinmeyeni bulmaya yarayan fley.

Yyans›ma : Ifl›k dalgalar›n›n yans›t›c› bir yüzeye

çarparak yön de¤ifltirmesi.yükseklik : Geometrik biçimlerde, tabandan

olan uzakl›k.yüzde : Bir say› s›fat› ile kullan›ld›¤›nda yüze

bölünen bir fleyin o kadarl›k parças›n› belirten birsöz.

yüzey : Bir cismi uzaydan ay›ran d›fl ve yayg›nbölüm, yüz, sat›h.

232

1. AYBARS, Ergin; Mehmet ÇA⁄LAR, Ülkü DO⁄ANCIO⁄LU, Matematik Gezegeni 8. S›n›f,ODTÜ Gelifltirme Vakf› Yay›nc›l›k ve ‹letiflim Afi, Ankara, 2004.

2. BOURHIS - LAINE, Françoise, DEBAILLEUL, Annie, Maths Collection Thevenet CM 2, Bordas,Paris, 2004.

3. COXFORD, Arthur SHULTE, Albert. P., The Ideas of Algebra, K-12, NCTM Publications Yearbook,Reston - VA, 1988.

4. CUOCO, Albert A. & CURCIO, Frances R., The Roles of Representation in School Mathematics,NCTM Publications yearbook, Reston - VA, 2001.

5. FRIEL, Susan & HOUSE, Peggy A., Navigating through Algebra in Grades 6-8, NCTM Pub-lications, Reston - VA, 2001.

6. HATFIELD, M. M, EDVARDS N. T, BITTER G. G., Mathematics Methods for the Elemantaryand Middle School, Allyn and Bacon, Amerika Birleflik Devletleri, 1993.

7. IFRAH, Georges, S›f›r›n Gücü, TÜB‹TAK Yay›nlar›, Ankara, 1997.

8. MEB ‹lkö¤retim Matematik Dersi Ö¤retim Program› ve K›lavuzu (6-8 S›n›flar), Talim ve Ter-biye Kurulu Baflkanl›¤›, Ankara, 2005.

9. OLKUN, Sinan; Zülbiye TOLUK, ‹lkö¤retimde Etkinlik Temelli Matematik Ö¤retimi, An› Yay›n-c›l›k, Ankara, 2003.

10. ÖNDER, Alev, Yaflayarak Ö¤renme ‹çin E¤itici Drama, Epsilon Yay›nc›l›k, ‹stanbul, 2003.

11. SELÇUK, Prof. Dr. Ziya; Hüseyin KAYILI, Levent OKUT, Çoklu Zekâ Uygulamalar›, Nobel Yay›nDa¤›t›m, Ankara, 2004.

12. TDK Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yay›nlar›, Ankara, 2005.

13. TDK Yaz›m K›lavuzu, Türk Dil Kurumu Yay›nlar›, Ankara, 2008.

14. VAN DE WALLE, John A., Elemantary and Middle School Mathematics, Addison Wesley Long-man Inc., Amerika Birleflik Devletleri, 2001.

15. YAVUZ, Kudret Eren, E¤itimde-Ö¤retimde Çoklu Zekâ Teorisi ve Uygulamalar›, CeceliYay›nlar›, Ankara, 2003.

16. www.imo.hacettepe.edu.tr, eriflim tarihi: 03.02.2008.

17. http://egitek.meb.gov.tr/medya/mat VCD/matematik,html

18. www.meb.gov.tr, eriflim tarihi: 15.01.2008.

19. www.tuik.gov.tr, eriflim tarihi: 10.02.2008.

KAYNAKÇA

‹LKÖ⁄RET‹M MATEMAT‹K 8 -...

Documents

Transcript of ‹LKÖ⁄RET‹M MATEMAT‹K 8 -...