ALJABAR MATRIKSpertemuan 3

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Persamaan Linear Homogen

Misalkan kita mempunyai persamaan linear homogen sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

….

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

Kemungkinan jawaban dari persamaan linier homogen adalah :

1. 0

2. tunggal

3. banyak

Persamaan Linear Homogen

Contoh :

Carilah jawaban dari susunan persamaan :

4x + 5y + z = 0

x = x

y = y

z = -4x – 5y

Jawab :

Misal x = a dan y = b maka z = -4a – 5b

x = a x = a + 0b

y = b y = 0a + b

z = -4a – 5b z = -4a – 5b

(x, y, z) = λ(1, 0, -4) + μ(0, 1, -5) → Jawaban umum.

(x, y, z) = (1, -1, 1) → Jawaban khusus.

Persamaan Linear NonHomogen

Misalkan kita mempunyai persamaan linear nonhomogen sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

….

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn

Kemungkinan jawaban dari persamaan linier nonhomogen adalah :

1. tidak ada

2. tunggal

3. banyak

Persamaan Linear NonHomogen

Contoh :

Carilah apakah persamaan berikut punya jawaban ?

3x + 4y = 7 …1) → 3x + 4y = 7 │x2 → 6x + 8y = 14

2x + 3y = 8 …2) 2x + 3y = 8 │x3 6x + 9y = 24 –

y = 10

x = -11

Jawab tunggal x = -11, y = 10

2x + 3y = 5 …1) → 2x + 3y = 5 │x1 2x + 3y = 5

x + y = 3 …2) x + y = 3 │x2 2x + 2y = 6 –

4x + 2y = 7 …3) y = -1

x = 4

x = 4, y = -1 → tidak memenuhi persamaan 3

maka persamaan linier nonhomogen diatas tidak punya jawab.

Persamaan Linear NonHomogen ( aturan Cramer)

Misal :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1.

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2.

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3.333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

A

A

aab

aab

aab

xdet

33323

23222

13121

1 A

aba

aba

aba

xdet

33331

23221

13111

2 A

baa

baa

baa

xdet

33231

22221

11211

3

Persamaan Linear NonHomogen ( aturan Cramer)

Contoh :

Carilah x1 , x2 dan x3 dari :

2x1 + x2 + x3 = 4 …1)

x1 – x2 – x3 = -4 …2)

x1 + x2 + 2x3 = 4 …3)

3

211

111

112

det A

3

214

114

114

1

x3

241

141

142

2

x3

411

411

412

3

x

Latihan

Carilah jawaban untuk setiap persamaan linier berikut (eliminasi gauss) !

a. x1 + 3x2 – 2x3 = 0

x1 – 8x2 + 8x3 = 0

3x1 – 2x2 + 4x3 = 0

b. x + 3y – 2z = 0

2x – 3y + z = 0

x – 2y + 2z = 0

c. x + 5y – 3z = 8

3x – y + 2z = 3

2x + 2y + z = 7

d. 3x + 3y – 2z + w = 3

2x – y + 4z + 2w = 3

4x + 2y + z – w = 8

3x + 2y + 2z + w = 6

Matriks Partisi

Suatu matriks dapat dipartisikan menjadi sub-matriks, dengan cara mengikutkan hanya

beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya. Masing-masing garis partisi harus

memotong semua baris/kolom dari matriks aslinya.

Contoh :

Aturan – aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan

mengoperasikan matriks biasa

232221

131211

363534333231

262524232221

161514131211

AAA

AAA

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

A

Matriks Partisi (lanjutan)

Contoh :

2221

1211

4310

264

135

AA

AAA

2

1

23

42

51

B

BB

2.221.21

2.121.11

2

1

2221

1211.

BABA

BABA

B

B

AA

AABA

Matriks Partisi (lanjutan)

Jadi ,

8122342.22

621642

513101.21

46

2323

2

12.12

4416

3711

42

51

64

351.11

BA

BA

BA

BA

7028

4822

3914

.BA

Latihan

Carilah jawaban untuk setiap persamaan linier berikut (free method) !

x + 5y – 3z = 8

3x – y + 2z = 3

2x + 2y + z = 7

Tentukan nilai dari determinan , x , y , z dan w

3x + 3y – 2z + w = 3

2x – y + 4z + 2w = 3

4x + 2y + z – w = 8

3x + 2y + 2z + w = 6