Lluís Mora

Alícia en el País de les Matemàtiques

Charles Dogson, també conegut com “LEWIS CARROLL” va imaginar l'any 1865, i va dedicar a la filla d'uns amics seus, Alicia Liddell, una de les aventures més excitants de la història. Un somni, que es confon amb la realitat, on apareixen representades moltes de les convencions socials existents a l'època. I també, molts d'aquells elements que Dodgson utilitza en la seva feina: professor de matemàtiques. Poca broma, un dels llibres més famosos de la literatura infantil ha estat escrit per un professor de matemàtiques. En aquest llibret, suposarem que Alícia, abans de travessar l'espill, torna per segona vegada al país de les meravelles, però ara aquest s'ha transformat en el país de les matemàtiques.

Autor: Lluís Mora Cañellas

Dibuixos: John Tenniel

© Lluís Mora. Aquesta obra esta subjecta a una llicència CREATIVE COMMONS. És permet la seva reproducció total o parcial per a usos no comercials i citant-ne la procedència.

1

Lluís Mora

I Alícia va tornar al País de les Meravelles. I va trobar que algunes coses no havien canviat, i altres no les recordava d'aquella manera, eren diferents. Segurament el motiu era que ella era molt més experta i es fixava més en tot el que l'envoltava. I va veure que no només era el país de les meravelles, sinó que també era el país de les matemàtiques. Així que, Alícia va entrar al

PAÍS DE LES MATEMÀTIQUES

Capítol

Primera Jornada 1.- Llodriguera avall

2.- El bassal de llàgrimes

3.- Una cursa política i una història que porta cua

Segona Jornada 4.- Un encàrrec del conill blanc

5.- El consell de l’erugot

6.- Porc i pebre

Tercera Jornada 7.- Una festa de folls prenent el te

8.- El camp de croquet de la reina

9.- La història de la tortuga d’imitació

Quarta Jornada 10.- La contradansa de les llagostes

11.- Qui va robar els pastissos?

12.- La declaració d’Alícia

2

Lluís Mora

PRIMERA JORNADA

Activitat

1.- Llodriguera avall Els volums de l'Enciclopèdia

El gerro trencat

Les llànties màgiques

L'acompanyant de la Mabel

Els flascons

2.- El bassal de llàgrimes Moltes criatures diferents

3.- Una cursa política i una història que porta cua Una història que porta cua

La piscina

L'edat de la Lorie

SOLUCIONS

3

Lluís Mora

Els volums de l'enciclopèdiaEl trajecte més divertit de la tornada al País de les Meravelles era la caiguda pel pou amb

final. Com ara l’Alícia ja tenia més pràctica podia fixar-se més en totes les coses que veia al seu voltant. Aquesta vegada va tenir temps d'observar una pila de llibres col ｷ locats ordenadament dins una prestatgeria del pou. - Caram! - va dir, quan va observar que els 9 volums d'una enciclopèdia, sense dibuixos ni diàlegs, estaven ordenats de la següent manera: * En el primer pis hi havia els llibres 1,3,4,5 i 8. I en el pis inferior els volums 6,7,2 i 9. Exactament en aquest ordre. Què va observar Alícia que la va fer exclamar: "Caram!" ?

Alícia es va dir a si mateixa: el nombre del pis superior es dues vegades, el doble, el número del pis inferior.

134586729

=2

Doncs en el seu trajecte cap al fons del pou amb final, Alícia va tenir temps de, movent mentalment aquestes nou volums, ordenar-los de manera que :

1) Va aparèixer una altra solució diferent de l'anterior que també donava 2

2) Una manera tal que el nombre del pis superior era el triple de l'inferior.

1 4 982

=3

3) Un altre valor tal que el nombre del pis superior era el quàdruple de l'inferior.

5 63 4

=4

I així fins que el número de dalt va ser nou vegades el número de baix.

Com va fer-ho?

4

Lluís Mora

El gerro trencatEncara no havia arribat al final del pou quan va donar el problema per irresoluble. Per no

avorrir-se mentre continuava caient es va entretenir agafant els objectes que hi havia a les prestatgeries de les parets i els anava canviant de lloc. Però ai, encara no en tenia prou d'habilitat i va passar el pitjor: un gerro se li va escapolir de les mans, va caure a terra, i es va trencar.

- Quina trencadissa!- va dir quan va arribar a baix. I de seguida Alícia va observar que:

¬Quan agrupava els trossos de dos en dos en sobrava 1.

¬Si els agrupava de tres en tres, també en sobrava 1.

¬I el que es més curiós, el mateix passava si els agrupava de quatre en quatre i de cinc en cinc.

Sabríeu dir-me quin és el nombre de trossos en què es podria haver trencat el gerro?

5

Lluís Mora

Les llànties màgiquesCal reconèixer que havia millorat des de l'última vegada

que havia estat al país de les meravelles - va pensar Alícia- ara ja intentava i aconseguia resoldre les bogeries amb que es trobava. Amb això va aparèixer el conill blanc:

¬Escolta Alícia, hem d'anar apagant aquesta filera de llànties que hi ha al sostre de l'habitació.

¬Bé, això sembla fàcil - va dir Alícia, que ja no mostrava cap mena de sorpresa pel fet que els habitants d'aquest país apareguessin i desapareguessin de sobte.

¬No ho sé, la Duquessa m'ha dit que primer apagui les que estiguin en llocs parells. Quan acabi, que comenci amb les que estiguin en llocs múltiples de 3, i "Si d'aquestes en trobés una que estigui apagada, l’encens" m'ha dit, després repeteixes el procediment fins arribar a la llàntia número 100 - i es va quedar pensatiu.

¬Però hi haurà algunes llànties que no podrem apagar - va exclamar Alícia.

¬Ah! La Duquessa m'ha dit que li digui quines seran les llànties que es quedaran enceses. Es veu que es un encàrrec de la Reina de Cors. Potser els vol tallar el cap... - i es va tornar a quedar pensatiu el Conill Blanc.

Quantes i quines llànties queden enceses?

6

Lluís Mora

L'acompanyant de la Mabel Segur que la Mabel hauria sabut resoldre la qüestió de les llànties. Era molt llesta la Mabel, la seva amiga. Alícia hauria volgut ser la Mabel, a vegades. De fet, quan era allà no tenia clar si ella era la Mabel o l'Ada, la seva altra amiga. O ella mateixa. "Vés a saber"-pensava. Recordava que un dia es van trobar totes tres per anar a passejar amb uns amics al marge del riu, vigilats de lluny per la Dinah. La Mabel vestia de blau, de vermell l'Ada i de verd l'Alícia. Els seus amics vestien amb els mateixos tons, un vermell, l'altre verd i l'últim blau.

De sobte, quan estaven agafats de la mà, el noi que anava de vermell li va dir a l'Alícia quan passava pel seu costat: "T'has fixat que en cap de les parelles, el noi i la noia vesteixen del mateix color"

Sou capaços de deduir amb aquesta informació de quin color anava vestit l'acompanyant de l'Ada.

7

Lluís Mora

Els flasconsPer poder travessar la petita porta que portava al

meravellós jardí, Alícia s'havia de fer molt petita. Justament en aquell moment va veure dos flascons sobre una petita taula de vidre. En atansar-s'hi va veure una petita nota al costat dels flascons. Deia:

Els flascons poden contenir:

a) un líquid que et pot fer créixer, llavors el rètol que porta serà cert b) o un líquid que et farà disminuir de mida, en aquest cas el rètol és fals.

Alícia va mirar el primer flascó i amb desencís va veure que la tinta del rètol s'havia borrat. Va mirar el segon

flascó i en aquest sí que era llegible, i hi deia:

"Almenys un de nosaltres fa minvar"

Quin flascó hauria d'escollir Alícia per fer-se petita i poder travessar la porta que porta al

fantàstic jardí?

8

Lluís Mora

Quants animalons es van reunir?

Alícia va escollir un flascó i va començar a créixer... i a plorar; ràpidament va fer un glop del segon flascó; i va tornar a la seva mida. Però les llàgrimes havien inundat tota la zona, i va

haver de començar a nedar.

Desprès d'un cert temps a l'aigua, Alícia va arribar a la platja. On va trobar el ratolí. Aquest continuava amb la seva dissertació sobre Guillem el Conqueridor, tot i això la va veure de seguida.

- Benvolguda Alícia, feia temps que no et veia, em pots dir què hi fas per aquí?

- Què fas per aquí?- va contestar Alícia que no havia sentit bé la pregunta.

- Doncs mira, m'agrada que em facis aquesta pregunta, hi ha una cosa que ens té molt preocupats a tots des de la primera vegada que vas venir. Recordes que en aquesta platja ens vàrem reunir una colla ben estranya: ocells amb les plomes molles i animals amb el pelatge enganxat al cos. Un garbuix del tot impresentable. Llavors el conill blanc, per ordre de la Duquessa segurament, em va encarregar la missió d'esbrinar quants animals de cada espècie ens havíem reunit en aquell moment entre ocells i animals. -va explicar el ratolí

- I?- replicà Alícia

- Mira, no tenim ni idea dels animals i ocells que hi havia, perquè l'encarregat de fer-ho, l'Ocell Babau, es va dedicar a comptar ulls i potes, 40 ulls i 56 potes. Ves! Per què volem nosaltres els ulls i les potes quan és clar que el que hem de comptar són els animals que hi havia?

Teniu prou informació, per saber sense utilitzar àlgebra, el número d'animals(4 potes) i ocells(2 potes) que es van reunir a la platja? Si la teniu feu-ho.

9

Lluís Mora

La Piscina

Alícia no va intentar saber els animals i els ocells que hi havia. Va seguir el seu viatge amb l'esperança de no trobar-se amb més preguntes inquietants. Encara no havia fet 100 passes quan va trobar l'ocell babau assegut a terra.

- Què fas Ocell Babau?- va preguntar Alícia.

- Penso. - va contestar l'ocell.

- En què penses? - tornar a preguntar Alícia.

- En pensaments, és clar -va dir l'ocell evidentment malhumorat

- En quins pensaments?- va preguntar, més ben dit, va ordenar Alícia i amb un to més aviat elevat..

- Mira, vàrem construir una piscina quadrada per guardar les llàgrimes de l'última vegada que vas venir. Però amb les d'ara, ja ens ha quedat petita. Ara voldríem doblar la seva superfície, però no sabem com fer-ho, perquè hi ha quatre arbres que no voldríem tallar, col?locats al costat de la piscina.-va dir l'ocell tot ensenyant-li els plànols de la piscina.

Com doblar la superfície de la piscina sense haver de tallar els arbres que estan col·locats en els vèrtexs de

la piscina?

10

Lluís Mora

L'edat de la Lorie, la germana de l'Alícia

Alícia va veure que arribava el Lloro de les Bermudes, i després del primer viatge, li havia quedat el dubte de la seva edat. Va deixar amb els seus pensament l'ocell babau i es va dirigir cap al Lloro.

- Escolta'm Lloro de les Bermudes, quina edat tens?

- Mira nena, fa quatre anys la meva edat era el menor número que pots escriure utilitzant només tres dosos (sense utilitzar cap símbol d'operació matemàtica).

Quants anys té ara el Lloro de les Bermudes?

- Vas bé si penses que el Lloro et dirà la seva edat. - va dir el ratolí que acabava d'aparèixer per allí. Si vols jo puc continuar la meva història, la que portava cua.

- NO - va dir Alícia - no vull sentir més bajanades per avui.

11

Lluís Mora

Solucions

Els volums de l'enciclopèdiaSOLUCIÓ:

Hi ha problemes on el que hem de fer es agafar llapis i paper. Aquest es un d'ells. Aquí van les solucions:

El gerro trencatSOLUCIÓ:

El nombre que busquem es un nombre que li sobra 1 si el dividim entre 2, li sobra 1 si el dividim entre 3, li sobra 1 si el dividim entre quatre, i el mateix passa si ho fem entre 5, i 6. Per tant una unitat menys d'aquest nombre serà divisible per tots aquests nombres. La manera de trobar-ho es aplicar el mcm (mínim comú múltiple dels 5 nombres a la vegada.

El mcm de 2, 3, 4, 5 i 6 és 60. Llavors el menor número que compleix les condicions del problema es 61.

Altra manera de fer-ho, més llarga però igual d'efectiva.

1) Si no es divisible entre dos es senar.

2) Si en sobra 1 quan el dividim per 5 ha d'acabar en 6 o en 1. El primer descartat ja que sabem que es senar, per tant ha d'acabar en 1.

3) Volem múltiples de 3 que acabin en 0( el nombre buscat acaba en 1)

30, 60, 90... per tant el nombre seria el 31, 61, 91 ...

Única possibilitat vàlida 61.

12

Lluís Mora

Les llànties màgiquesSOLUCIÓ

Podem començar pel mètode llarg, però sense escriure els 100 nombres corresponents a les 100 llànties. Comencem doncs, amb 25 llànties:

La a vol dir apagada i la e vol dir encesa. m2 vol dir múltiples de 2 etc.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

m2 e a a a a a a

m3 a e a e

m4 e e a

m5 a e

m6 a e

m7 a

m8 a

m9 e

Seria recomanable arribar fins la llàntia 16. Podríem seguir fins al final però sempre es recomanable aturar-se a pensar una mica. Per ara, fins els múltiples de 9, només queden enceses les llànties 1, 4 i 9. Podem veure doncs dues coses:

a) la primera es que aquests nombres tenen un nombre parell de divisors(si exceptuem l'1): els divisors de 4 són 2 i 4; i els de 9 són 3 i 9. Per tant, podem buscar nombres que tinguin un nombre parell de divisors.

b) i la segona es que 1, 4, 9 són els tres primers nombres de la successió dels quadrats perfectes.

Aquesta successió es formada per 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 i 100. Podem comprovar que aquests nombres compleixen les condicions esmentades i per tant, seran les llànties que romandran enceses.

L'acompanyant de la MabelSOLUCIÓ: Les combinacions possibles són:

Ada (Vermell) amb Blau i Verd

Alícia (Verd) amb Vermell i Blau

Mabel (Blau) amb Vermell i Verd

13

Lluís Mora

Com el que parla amb Alícia es el noi que va de Vermell, l'acompanyant d'Alícia ha d'anar de color blau, de vermell el que va amb la Mabel i l'acompanyant de l'Ada ha d'anar necessàriament de color verd.

Els flasconsSi el rètol del flascó fos fals, el seu contrari es cert: Cap dels dos fa minvar. Per tant tots

dos farien créixer. Si els dos fan créixer, els seus rètols haurien de ser certs: Això està en contradicció amb el començament del raonament.

Si el rètol és cert, es dedueix que el flascó amb rètol llegible fa créixer i, per tant, l'altre fa minvar. Alícia hauria d'agafar el flascó sense rètol.

Quants animalons es van reunir?SOLUCIÓ

Evidentment que tenim prou informació per resoldre el problema. La informació que tenim es que es van reunir 40 ulls i 56 potes.

Pels ulls sabem que hi havia 20 animals. Cada animal té dos ulls.

Si els 20 animals tinguessin dues potes faria un total de 40 potes. Evidentment no quadra amb les dades que tenim.. A partir d'ara es fàcil fer una taula per trobar el resultat final. Però podem fer-ho de manera més fàcil. Falten 16 potes per arribar a 56, la qual cosa ens indica que hi ha 8 animals de 4 potes. (16 dividit entre 2) i per tant, 12 animals de dues potes.

SOLUCIÓ: 8 ANIMALS I 12 OCELLS

La PiscinaEn la figura següent podem observar la solució del problema. Es tracta de construir un quadrat que tingui els puntsmitjans del seus costats en contacte amb els vèrtexs del quadrat inicial. ?s fàcil demostrar ara que l'àrea de la piscina s'ha doblat. I no s'han tocat els arbres.

14

Lluís Mora

L'edat de la Lorie, la germana de l'AlíciaSOLUCIÓ.

Edat que tenia fa quatre anys = 16 anys. El nombre més petit que podem escriure utilitzant tres dosos és 222

,

L'edat actual seria de 16 + 4 =20anys .

15

Lluís Mora

Segona jornada

Activitat

4.- Un encàrrec del conill blanc Els bidons

Com convertir una moneda en diners

L'hivernacle reconstruït

L'acompanyant de la Mabel

Els flascons

5.- El consell de l’erugot L'alçada de l'erugot sense comptar la pipa

Creixement i decreixement

En quina volta s'estira el gos?

Els nombres capicues

6.- Porc i pebre

SOLUCIONS

16

Lluís Mora

Els bidons

El conill blanc estava esperant Alícia a casa seva. Recordava que havia perdut els guants blancs i el ventall per culpa seva i sobretot, com havia quedat la casa i els hivernacles de cogombres desprès de la gran crescuda de l'Alícia.

- Mira Alícia - va dir- Com que no vull que tornis a créixer dins de casa meva, i si pot ser a cap altre lloc, t'he preparat aquestes tres begudes, que et permetran créixer o minvar de manera controlada. Fixa’t bé. Són tres bidons, un vermell, un de verd i l'altre blau. Un fa créixer, un altre fa minvar i l'altre no fa res. Els rètols que porten t'indicaran el que hagis de saber.

- Bé, la cosa sembla fàcil - comentar Alícia. - Hi ha un problema. En Guillem, recordes que li vas donar una puntada de peu, ha tocat els rètols, i només et puc dir que com a molt un és veritat.

Pots saber quin dels tres bidons fa créixer sense tastar-los?

17

Lluís Mora

COM CONVERTIR UNA MONEDA EN DINERS?

No us ho creureu, però Alícia va beure del bidó equivocat dins la casa del conill blanc. I va tornar a créixer fins al sostre. Com que ara era més gran, havia crescut més i ocupava la totalitat de la casa: El genoll davant la porta, el nas enganxat a la finestra.... Allò que no volia el conill blanc havia passat, Alícia havia tornat a créixer. " Sort que ja sé que haig de fer per tornar a ser petita, els diré que em tirin pedres i les convertiré en un pastís, que em reduirà a la meva mida normal" pensava.

¬ Tireu pedretes, d'aquelles de l'altra vegada, - va dir cridant i trencant al mateix temps tots els vidres de la casa. Conseqüències de la seva mida.

¬Guillem, tira tu les pedretes - va ordenar el Conill Blanc amagat darrere d'un arbre.

Però en Guillem, que encarà recordava la puntada de peu, li va llençar una moneda. - Si converteixes la MONEDA en DINERS, podràs tornar a la teva mida normal, si recordes el que era -i dit això en Guillem va marxar corrents. - Com puc convertir l'única i miserable moneda que he vist en el País de les Meravelles, en diners, això no es pot fer - va dir Alícia cridant i posant-se a plorar. - Escolta -va dir el Conill Blanc obrint el paraigua- en el nostre país, això és un

joc de paraules, has de passar de la paraula MONEDA a la paraula DINERS, canviant una lletra cada vegada. Per exemple, es pot passar de poma a casi fent :

poma pota sota cota cosa cosí casi

I Alícia es va posar a pensar. Com s'ho va fer Alícia per convertir MONEDA en DINERS, canviant una sola lletra cada vegada?

18

Lluís Mora

L'HIVERNACLE RECONSTRUÏT

Per fi va recuperar la seva mida. Ara es trobava davant la casa de G.Conill. Quines aventures va passar en aquella casa, i el pobre Guillem, tot i les que va passar, va tenir temps de reparar l'hivernacle de cogombres. Era un llangardaix força espavilat. El va trobar assegut al costat de l'hivernacle. Hola Guillem! - va dir-li- què estàs fent?El meu amo, el conill blanc, m'ha encarregat una tasca molt complicada. T'explico:Vaig decidir reparar l'hivernacle, i ho vaig fer donant-li forma triangular. Fixa't la forma que té la paret del darrera:

Si t'hi fixes veuràs que hi ha 26 triangles.- va explicar el llangardaix.Vols dir Guillem?, em sembla que t'equivoques, jo només en compto 16 -va replicar Alícia.

Qui dels dos té raó, en Guillem o l'Alícia, o potser cap dels dos? Sereu capaços d'esbrinar-ho

De fet, aquest no era el meu problema, Alícia - va dir en Guillem tornant-se pensatiu.El meu problema és que el patró m'ha demanat que faci 6 pisos més a l'hivernacle, i que vol saber quants triangles hi haurà en total. I aquí estic embolicat en el càlcul, perquè voldria saber-ho sense necessitat de construir-lo.

Si l'hivernacle tingués 10 files de triangles, quants triangles hi hauria?

Massa difícil per a mi, potser li hauria de preguntar a la meva germana, ella es més gran i segur que ho sap això. No deixa de ser curiós, sempre que em trobo amb en Guillem tinc problemes.- va pensar Alícia- Millor que desaparegui silenciosament.

19

Lluís Mora

L'alçada de l'erugot

- Hola Alícia. M'alegro que hagis tornat al país de les Meravelles.- Va sentir Alícia. Es va girar en direcció a la veu, i en aquell moment, una bafarada de fum li va venir a la cara.

Era l'erugot, que continuava fumant amb pipa.

¬ Ostres, - va dir Alícia- Has crescut força des de l'última vegada que ens vam veure.

¬ Bé, si una mica, suposo que m'he transformat.

¬ I quina és la teva alçada ara? - va preguntar Alícia.

¬ Mira ara mateix, la meva alçada es de tres polzades més la meitat de la meva pròpia alçada.

¬ Per què tothom en aquest país ha de contestar una pregunta amb una altra pregunta?- Va remugar Alícia i va marxar tot rondinant.

Quina és l'alçada de l'erugot, sense comptar la pipa?

20

Lluís Mora

Alícia creix i es fa petita

Va continuar caminant, i en arribar a un grup d'arbres va trobar el gat de Cheshire assegut a dalt d'una branca. Bé, en realitat va trobar el seu somriure. El gat era invisible en aquell moment.

¬ Escolta Gat de Cheshire. Vols dir-me per què tothom en aquest país contesta una pregunta amb una altra pregunta?

¬ Quina mena de gent hi viu per aquí? - va dir el gatet.

¬ Bojos - contestà Alícia

¬ Doncs aquí tens la resposta a la teva pregunta - replicà el gat.- Segur que l'erugot t'ha plantejat un problema sobre la seva alçada. Des que ha crescut ho fa a tothom. De fet és normal que t'ho faci a tu, en el teu primer viatge no vas parar de créixer i de minvar. Recordes les vegades que vas canviar de mida?

Alícia es va posar a recordar,

En la primera vegada que va anar al País de les meravelles, quantes vegades havia minvat i quantes vegades havia crescut abans que trobés el gat de

Cheshire?

- Escolta'm - va dir el gat- He sentit a dir que hi ha països on les alçades no es mesuren en peus o en polzades, utilitzen els cm i els m.

Quin és el valor de les teves alçades expressades en cm?

- Hauria de saber quants cm són una polzada i quants cm té un peu. I no recordo la lliçó de classe de Matemàtiques on van explicar això. Estic farta de respondre preguntes d'aquest estil cada vegada que trobo algú, per tant, me'n vaig -va dir amb contundència Alícia.

21

Lluís Mora

En quina volta s'estira el gos?

I Alícia va fer mutis tant silenciosament com va poder. Ella sí, però un gos va aparèixer lladrant amb un pal a la boca.

Oh no!! - va exclamar Alícia. Ara apareixes tu, en quin moment!.

Aquell cadellet havia crescut , ara era un gos enorme.

Geu, -va cridar Alícia, per evitar que l'animal se li tirés a sobre.

Obedient, l'animal va començar a fer voltes, totes aquelles voltes que fan els gossos abans d'estirar-se, fins que ho va fer.

Sabríeu dir-me, després de quina volta es va estirar l'animal?

22

Lluís Mora

Solucions

Els bidonsEl flascó vermell és fals, igual que el verd i l'únic que és cert és el blau. Amb això deduïm que el flascó blau fa minvar, el verd fa créixer i el vermell no fa res.

Si plantegeu que el vermell és cert, arribareu a una contradicció: els rètols dels flascons vermell i verd són certs.

Això no pot ser ja que com a molt un és veritat.

Com convertir una moneda en diners? Una possible solució al problema plantejat és la següent:

MONEDA

MONADA

MANADA

MINARÀ

DINARÀ

DINARS

DINERS

Com a mínim existeix una altra solució. I ja que estem en això de convertir una paraula en una altra canviant una lletra cada vegada, hi hauria algú capaç de convertir la paraula PEDRES en la paraula PASTIS.

L'hivernacle reconstruïtTé raó en Guillem. Alícia només està comptant els triangles petits que hi ha a la figura. D'aquests, diguem-ne de base 1, n'hi ha 16. Però n'hi ha de base 2 , de base 3 i de base 4. En total surten 27 triangles.

Si l'hivernacle tingués 10 files de triangles, quants triangles hi hauria?

SOLUCIÓ:

Si seguim el patró de l'activitat anterior, veurem que hi ha un total de 315 triangles de diferents mides. ?s interessant començar a calcular amb casos senzills, 2 files de triangles, 3 files de triangles (particularitzar) per intentar deduïr quants triangles hi ha en les 10 files que demana el G.Conill. Per cert, què voldrà dir la G. de "G.Conill".

23

Lluís Mora

En quina volta s'estira el gos?SOLUCIÓ:

Els gossos sempre s'estiren desprès de la darrera volta.

L'alçada de l'erugotSOLUCIÓ:

L'alçada de l'erugot és de 3cm més la meitat de la seva alçada. Si anomenem x la seva alçada, veurem que x= x/2 +3. Resolent aquesta equació de primer grau trobarem que x=6 polzades. Quants cm són?

Alícia creix i es fa petitaSOLUCIÓ:

Alícia creix i minva un total de 5 vegades.

1)La primera vegada quan beu de l'ampolla que diu "BEU-ME". La seva alçada després de beure és de 10 polzades, que traduïdes a cm són 25,4 cm.

2)Amb la galeta que diu "MENJA'M" creix fins a una alçada de més de 9 peus. Traduït a cm serien aproximadament 274cm.

3)Quan es venta amb el ventall torna a minvar fins a 2 peus d'alçada, un total de aproximadament 60cm.

4)Dins la casa del conill blanc torna a créixer, però en Lewis Carroll no precisa l'alçada que té. Per cert. algú podria aventurar que vol dir la "G" de G. Conill.

5)Quan li llencen les pedres que es converteixen en pastissets minva a una alçada de 3 polzades. No ho diu en aquest capítol, però quan es troba amb l'erugot en el capítol següent diu que tenen més o menys la mateixa alçada. Tres polzades són aproximadament 7,62cm.

24

Lluís Mora

Tercera jornada:

Activitat

7.- Una festa de folls prenent el te Diferents maneres de seure

Cal sortir del pou

8.- El camp de croquet de la reina Suma de lletres

Els llumins fan molts quadrats

9.- La història de la tortuga d’imitació

SOLUCIONS

25

Lluís Mora

Anem a seure

Alícia va arribar a casa de la Llebre de Març. La taula estava parada per a 8 persones, i la Llebre, el Barreter i el Liró estaven asseguts en un extrem de la taula rectangular.

- No seguis Alícia, no tenim lloc. -va bramar la Llebre de Març.

- Com que no? Hi ha lloc de sobres, tots quatre podríem seure en aquesta taula de moltes maneres diferents. A que no sabríeu dir-me quantes?

La llebre, el Barreter i el Liró, que es va despertar de cop, es van quedar mirant Alícia amb una cara molt estranyada. Alícia feia una pregunta

De quantes maneres diferents poden seure els quatre personatges en els vuit llocs de què disposa la taula?

26

Lluís Mora

Sortir del pou

Tan sorpresos van quedar, que durant uns minuts en aquella taula ningú va badar boca ni va prendre el te. Però l’efecte va passar ràpidament i, com aquell que no vol la cosa, ja estaven cridant, trepitjant-se, tirant-se el te per sobre...

-Escolta Liró - va dir el Barreter - perquè no acabes la història d’aquelles tres germanes que vas començar a explicar fa molt de temps?.

- Quines germanes? - va preguntar el Liró badallant al mateix temps.

- Oh sí! Ja recordo - va dir Alícia - la Elsie, la Laci i la Tillie, que vivien en un pou de Melassa.

- Molt bé - va dir el Liró i va reprendre la història.

“Un dia la Laci va voler sortir del pou, però va pensar que seria molt cansat ja que el pou tenia 30 metres de profunditat. Per tant va decidir agafar-s’ho amb molta calma. “Aniré pujant i quan em cansi pararé a dormir” va pensar. I així ho va fer.

El primer dia va aconseguir pujar 3m, i va quedar tan cansada que es va adormir. I mentre dormia va descendir 2m. I el mateix va passar l’endemà, i l’altre, i l’altre.

I el Liró es va quedar adormit. Estava molt cansat de tan pujar pel pou.

- Escolta Liró, - va preguntar Alícia- quants dies va trigar en sortir del pou la Laci?

-?s inútil - va dir el Barreter - aquest ja dorm com un liró.

Quants dies va trigar la Laci a sortir del pou?

27

Lluís Mora

Suma equivocada

Alícia va marxar. Està vist que mai sabria com acabava la història de les tres germanes. Va veure l’arbre que conduïa cap al jardí. I va entrar-hi. Els tres jardiners: DOS, CINC I SET, que feia temps que havien acabat de pintar les roses de color vermell, escoltaven molt atentament una altra carta, el VUIT. Donava tota la sensació que aquest últim estava donant ordres.

- Hola nois. Com va la feina? - va saludar Alícia.

- Desesperant. Quan havíem acabat de pintar les roses de color vermell a la Reina li ha donat pel color groc. I ara hem de tornar a pintar-les, però de color groc - va contestar SET que semblava ser el seu portanveu.

- I VUIT no us ajuda? - va preguntat Alícia innocentment.

- VUIT és el nostre cap. - van dir tots tres a la vegada.

- I com se sap això? - va preguntar Alícia intrigada.

- No veus que DOS + CINC + SET = VUIT -van dir tots tres com una sola carta

- No - Alícia no entenia res- Cinc + dos + set són catorze.

- Si, -va començar a explicar SET- això és així amb l’aritmètica de l’escola. Aquí cada lletra representa un número del 0 al 9. Si substitueixes cada lletra pel número correcte veuràs que la suma està bé. Per cert, si les lletres són iguals els hi correspon

el mateix nombre.

I van continuar pintant les roses de color groc.

Quin valor han de tenir les lletres per que la suma sigui correcta?

28

Lluís Mora

Els llumins fan molts quadratsAlícia no va veure la utilitat de no creure el que deien, "No tinc ganes de començar

a fer sumes amb nombres que són lletres o ... seria a l'inrevés, lletres que són nombres" va pensar en veu alta.

- Perdona, has dit sues? - va preguntar una veu arrossegant les esses.

- No. He dit sumes -va contestar Alícia, girant-se per veure que era la tortuga d'imitació qui feia la pregunta.

- Jo quan anava a escola se'm donava molt bé la regla de suar, i la de rascar, i la de mortificar i dimitir..- va afegir sense escoltar el que havia dit Alícia. Un dels problemes que més m'agradava era aquest: Per fer un quadrat es necessiten 4 llumins, tal com t'ensenyo en el dibuix.

- Series capaç de construir 6 quadrats ? -va preguntar la tortuga d'imitació

- ?s clar que sí -va dir Alícia. Hi va començar a agafar llumins per fer els quadrats.

- Escolta tortura, aquí només hi ha 12 llumins -va afirmar Alícia contrariada.

- Aquí és on està el problema. I sóc tortuga -va concloure

Sabríeu construir 6 quadrats utilitzant només 12 llumins.

Escolta Tortuga, del meu primer viatge m'ha quedat un dubte. Si el primer dia feu 10 hores de classe i cada dia que passa feu una hora menys de classe, està clar que el dia onzè feu vacances.

Però què feu el dia dotzè?

La Tortuga no va contestar, va sospirar profundament i es va quedar quieta com una estàtua. I com que el gat va dir: "Tots els camins porten a algun lloc", Alícia va decidir seguir el seu camí.

29

Lluís Mora

Solucions

Anem a seureSOLUCIÓ:

El primer convidat pot escollir entre 8 llocs per a seure, el segon entre 7 ja que un ja ha estat triat, 6 llocs queden per al tercer i l'últim només en té cinc per escollir. Si multipliquem aquests valors entre ells obtindrem el nombre de maneres diferents en què poden seure els quatre convidats en els 8 llocs.

8?7?6?5= 1680 maneres diferents

Sortir del pouSOLUCIÓ:

Cada dia puja 3m i en baixa 2 quan dorm. Per tant podríem pensar que ascendeix 1m diàri, i llavors tardarà 30dies en arribar a dalt del pou. Però així no tenim en compte el següent: El dia 27 està a 27m d'alçada, quan es desperta l'endemà puja 3 metres, assoleix els 30m d'alçada i surt del pou. Per tant Laci tarda 28 dies a sortir del pou. El dia 28é surt del pou i dorm fora, per tant no cau els dos metres de cada nit

Suma equivocadaSOLUCIÓ:

1 8 6 1 + 9 4 5 + 2 7 9 = 3 0 8 5

Existeix com a mínim, una altra solució al problema. M'imagino que si heu trobat l'anterior no us serà difícil trobar la següent

Els llumins fan molts quadratsSOLUCIÓ: Construir 12 quadrats amb 6 llumins es impossible si ens movem sobre el paper, en el pla. Però si en lloc d'estar en el pla ens movem en el món en tres dimensions, veurem que hi ha una figura geomètrica sòlida que compleix perfectament les condicions:EL CUB. Un cub té 12 arestes(llumins) i 6 cares(quadrats).

30

Lluís Mora

Quarta jornada

Activitat

10.- La contradansa de les llagostes

11.- Qui va robar els pastissos On va el llumí?

Quants peixets van robar?

12.- La declaració de l'Alícia Alícia parla malament

La frase més curta possible

SOLUCIONS

31

Lluís Mora

On va el llumí?- Han tornat a robar pastissos! -va cridar el Grifó mentre sortia corrents.

La Tortuga d'imitació va obrir els ulls immediatament i com si fos la Llebre de Març va sortir disparada cap a la sala del judici. I Alícia darrera d'ella.

- Jo, això no m'ho perdo -deia Alícia mentre corria.

El Jurat estava assegut. Els dotze membres estaven molt atrafegats escrivint en les pissarres. Tots menys un. En Guillem, amb el seu guix que carrisquejava, estava dibuixant a la seva pissarra i Alícia ho va veure:

Hi havia dibuixats tres llumins. Què estàs fent Guillem?- va preguntar encuriosida Alícia.

- Mira, en aquesta pissarra hi ha tres llumins fixos, no es poden moure. Ara haig de dibuixar un quart llumí, de manera que la figura resultant formi un quadrat perfecte.-va explicar el Llangardaix.

- Això és molt fàcil -va dir Alícia amb veu de satisfacció. Espera, espera. -va afegir en Guillem. I va fer el següent dibuix.

I van quedar tots dos pensatius.

On ha d'anar el quart llumí per tal que la figura resultant sigui un quadrat perfecte?

32

Lluís Mora

Quants peixets va robar?En aquestes que el conill blanc va fer els seus tres tocs de trompeta, per anunciar

el motiu del judici.

La reina de cors tenia uns peixets,

Una tarda d'estiu:

El lacai Peix va robar la meitat dels peixets més mig peixet,

El lacai Granota va robar la meitat dels que quedaven més mig peixet:

I només van deixar 2 peixets.

?s un fet delictiu.

Però, quants peixets van robar a la Reina de Cors.-va preguntar Alícia.

Quants peixets van robar en total els dos Lacais?

33

Lluís Mora

Alícia parla malament?Dins la sala del judici Alícia feia companyia al Liró,

- Escolta Alícia -va dir el Liró- Explica'm que està passat.

- Esta bé, escolta: Amb una gran galeria els ocellets i altres bestioles estan entrant a la sala del judici. Tots ocupen els seus colls, els que tenen assenyalats en unes targetes que els han donat a l'entrada. Això és organització. També el calia Granota i el calia Peix estan ocupant les seves cadires. Totes les catres estan perfectament ordenades. Ara la sota de rocs entra a la sala per llegir l'acta del sac dels pastissets. En aquest moment el rei sabre el front de la reina.

En aquest moment el Liró li va tocar el front. "Em sembla Alícia que tens una mica de febre, perquè no acabo d'entendre que estàs dient.

- Ja no sé el que em dic. He substituït algunes de les paraules per altres paraules que tenen les mateixes lletres però escrites en ordre diferent.

- D'això se'n diuen Anagrames -va dir la Tortuga d'imitació. Després va sospirar.

- Quines paraules has canviat? -va preguntar el Liró a Alícia.

– No ho sé -i es va quedar mirant el Liró i l a Tortuga.

Sabríeu trobar quines són les paraules del paràgraf anterior que Alícia ha canviat? I a quines paraules han substituït?

34

Lluís Mora

La frase més curta possibleEn aquell moment el conill blanc va treure un pergamí i va començar a llegir:

Alícia acaba de fer anagrames

d'unes quantes paraules.

Alícia va quedar tan sorpresa al sentir això que va començar a ventar-se amb un ventall, i al mateix temps va començar a créixer.

El conill blanc va continuar:

Amb aquestes paraules

haureu de construir tots una frase,

frase que ha de ser el més curta possible,

però amb la necessitat

que tingui un significat.

Alícia ja era molt gran, però va poder veure com tothom agafava les pissarres, i amb guixos que carrisquejaven, començaven a intentar complir l'ordre que els havia donat el conill.

Amb les paraules canviades de l'Alícia, heu de construir una frase amb significat, però el més curta possible.

35

Lluís Mora

Solucions

On va el llumí?

SOLUCIÓ:

Un quadrat perfecte no és un quadrat. Per això el llangardaix estableix la impossibilitat de col?locar el quart llumí en l'anterior posició. Un quadrat perfecte és un nombre que té l'arrel quadrada exacte. Per tant el lloc on col?locar el llumí és el següent:

El quadrat perfecte és el número 4.

Quants peixets van robar?SOLUCIÓ: No penseu que el lacai Peix i el lacai Granota van tallar un peix per la meitat per tal de poder robar la meitat dels peixos que hi havia i mig peix.

Anem a veure la solució: El lacai Granota va deixar 2 peixos, això vol dir que 2'5 és la meitat dels peixos que és va trobar. Per tant el lacai Peix va deixar 5 peixos després de cometre el robatori. Si fem servir el mateix raonament, veurem que en total hi havia 11 peixos. Per tant els lacais van robar un total de 9 peixos.

36

Lluís Mora

Alícia parla malamentSOLUCI?:

Amb una gran galeria els ocellets i altres bestioles estan entrant a la sala del judici. Tots ocupen els seus colls, els que tenen assenyalats en unes targetes que els han donat a l'entrada. Això és organització. També el calia Granota i el calia Peix estan ocupant les seves cadires. Totes les catres estan perfectament ordenades. Ara la sota de rocs entra a la sala per llegir l'acta del sac dels pastissets. En aquest moment el rei sabre el front de la reina.

galeria alegria

colls llocs

calia lacai

catres cartes

sac cas

rocs cors

sabre besar

37

Lluís Mora

I VA ARRIBAR EL FINAL!

Amb tot l'enrenou que es va formar les cartes van volar i van començar a caure sobre l'Alícia. Alícia va començar a moure les mans per tal de treure's les cartes de sobre.

- Prou Alícia, prou - va dir la seva germana.

- Oh, tot ha tornat a ser un somni -va sospirar Alícia. I tancant els ulls va intentar recordar tot el que li havia passat. Fins la propera País de les Meravelles.

38