Algunos Limites de Escala de Grafos Aleatórios

Algunos Limites de Escala de Grafos AleatoriosRed Browniana

Algunos Limites de Escala de Grafos Aleatorios

Leon Alexander Valencia H

SeminarioUniversidad Nacional de Colombia

Sede Medellın

28 de Mayo de 2012

Leon Alexander Valencia H. Algunos Limites de Escala de Grafos Aleatorios

Teorema de Donsker.

Indice

1 Algunos Limites de Escala de Grafos AleatoriosTeorema de Donsker.

2 Red BrownianaCaracterizacionConstruccionConvergencia

Teorema de Donsker.

Grafos Aleatorios

Grafo Aleatorio Simple Simetrico

Teorema de Donsker.

Grafos Aleatorios

Redes de Flujo

Red de Flujo

Teorema de Donsker.

Grafos Aleatorios

Arbol de Poisson Bidimensional

Teorema de Donsker.

Grafos Aleatorios

Los tres grafos aleatorios anteriormente vistos, tienen en comunque bajo la misma escala difusiva, las “caracterısticas” del objetolımite en distribucion son las mismas.

Una de las herramientas basicas usadas para establecer el limiteen distribucion del conjunto de trayectorias aleatorias (o grafoaleatorio) es el Teorema de Donsker.

Teorema de Donsker.

Grafos Aleatorios

Los tres grafos aleatorios anteriormente vistos, tienen en comunque bajo la misma escala difusiva, las “caracterısticas” del objetolımite en distribucion son las mismas.

Una de las herramientas basicas usadas para establecer el limiteen distribucion del conjunto de trayectorias aleatorias (o grafoaleatorio) es el Teorema de Donsker.

Teorema de Donsker.

Teorema de Donsker

Teorema

(Teorema de Donsker). Sean Xi∞i=1 una sucesion de variablesaleatorias independientes e identicamente distribuidas, con E[X1] = 0

y Var [X1] = 1. Para cada i ∈ N, sea Si =∑i

j=1 Xj y

Ln(t , ω) :=1√n

n∑i=1

[Si−1(ω) + n

(t − i − 1

nXi(ω)

)]I( i−1

n , in ](t)

Entonces,

LnD−→

n→∞W en C[0, 1].

donde W denota el movimiento Browniano comenzando desde elorigen con probabilidad 1.

CaracterizacionConstruccionConvergencia

Indice

1 Algunos Limites de Escala de Grafos AleatoriosTeorema de Donsker.

2 Red BrownianaCaracterizacionConstruccionConvergencia

La Red Browniana

A continuacion daremos una breve descripcion de la construccion,caracterizacion y convergencia a la Red Browniana.

Sea(R2, ρ)

la compactificacion de R2 por la metrica ρ, dada por:

ρ ((x1, t1) , (x2, t2)) =

∣∣∣∣ tanh(x1)

1 + |t1|− tanh(x2)

1 + |t2|

∣∣∣∣∨| tanh(t1)−tanh(t2)|.

R2pode ser pensado como a imagem de [−∞,∞]× [−∞,∞] pela

funcao

(x , t) (Φ(x , t),Ψ(t)) ≡(

tanh(x )

1 + |t |, tanh(t)

La Red Browniana

A continuacion daremos una breve descripcion de la construccion,caracterizacion y convergencia a la Red Browniana.

Sea(R2, ρ)

la compactificacion de R2 por la metrica ρ, dada por:

ρ ((x1, t1) , (x2, t2)) =

∣∣∣∣ tanh(x1)

1 + |t1|− tanh(x2)

1 + |t2|

∣∣∣∣∨| tanh(t1)−tanh(t2)|.

R2pode ser pensado como a imagem de [−∞,∞]× [−∞,∞] pela

funcao

(x , t) (Φ(x , t),Ψ(t)) ≡(

tanh(x )

1 + |t |, tanh(t)

La Red Browniana

Para t0 ∈ [−∞,∞] sea C [t0] el conjunto de las funciones f de[t0,∞] a [−∞,∞] tales que Φ(f (t), t) es continua.

Π = ∪t0∈[−∞,∞]C [t0]× t0,

donde (f , t0) ∈ Π representa una trayectoria en R2comenzando

en (f (t0), t0).

Para (f , t0) ∈ Π, denotamos por f la funcion que extiende f atodo [−∞,∞] definiendo f (t) = f (t0) para t < t0. Ası, definimos

d ((f1, t1), (f2, t2)) = supt|Φ(f1(t), t)−Φ(f2(t), t)| ∨ |Ψ(t1)−Ψ(t2)|.

Ası las cosas, (Π, d) es um espacio metrico completo separable.

La Red Browniana

Π = ∪t0∈[−∞,∞]C [t0]× t0,

en (f (t0), t0).

La Red Browniana

Π = ∪t0∈[−∞,∞]C [t0]× t0,

en (f (t0), t0).

La Red Browniana

Π = ∪t0∈[−∞,∞]C [t0]× t0,

en (f (t0), t0).

La Red Browniana

Sea H el conjunto formado por los subconjuntos compactos de(Π, d), con dH la metrica inducida de Hausdorff ,i.e.,

dH(K1,K2) = supg1∈K1

infg2∈K2

d(g1, g2) ∨ supg∈K2

infg1∈K1

d(g1, g2).

Tenemos entonces que (H, dH) es tambien un espacio metricocompleto separable.

La Red Browniana

Sea H el conjunto formado por los subconjuntos compactos de(Π, d), con dH la metrica inducida de Hausdorff ,i.e.,

dH(K1,K2) = supg1∈K1

infg2∈K2

d(g1, g2) ∨ supg∈K2

infg1∈K1

d(g1, g2).

Tenemos entonces que (H, dH) es tambien un espacio metricocompleto separable.

La Red Browniana

Teorema

Existe una variable aleatoria W con valores en (H,FH) cuyadistribuicion esta univocamente determinada por las tres propiedadessiguientes:

1 Para cualquier punto determinıstico (x , t) ∈ R2 existe, conprobabilidad 1, un unico camino Wx ,t comenzando en (x , t).

2 Para cualquier numero determinıstico n e(x1, t1), ..., (xn , tn) ∈ R2 la distribucion conjunta de Wx1,t1 ...,Wxn ,tn es la distribucion de movimentos Brownianos coalescentes(con constante de difusion unitaria).

3 Para cualquier subconjunto denso numerable D de R2, conprobabilidad 1, W es la clausura en (H,FH) deWx ,t : (x , t) ∈ D.

La Red Browniana

Teorema

La Red Browniana

Teorema

La Red Browniana

Sea (Ω,F ,P) el espaco de probabilidad donde esta definida unafamilia independiente e identicamente distribuida (i.i.d.) deMovimentos Brownianos.

Sea D = (xj , tj ), j ≥ 1 un subconjunto denso de R2 y

Wj (t) = xj + Bj (t − tj ), t ≥ tj

un movimiento Browniano comenzando en xj en el instante tj .

Especificando reglas de coalescencia, construimos movimientosBrownianos coalescentes a partir de la familia Wjj≥1. Cuandodos trayectorias se encuentran por primeira vez, coalescen en unatrayectoria, que es aquella del movimento Browniano con elmenor ındice. Las trayectorias coalescentes seran denotadas porWj , j ≥ 1.

La Red Browniana

Wj (t) = xj + Bj (t − tj ), t ≥ tj

La Red Browniana

Wj (t) = xj + Bj (t − tj ), t ≥ tj

La Red Browniana

Formalmente, definimosW1 = W1.

y para j ≥ 2, tomamos Wj la aplicacion de [tj ,∞) en R definida de laseguiente forma. Sea

τj = inft ≥ tj : Wj (t) = Wi(t) para algun 1 ≤ i < j,Ij = min1 ≤ i < j : Wj (τj ) = Wi(τj )

el primer instante qcando Wj encuentra alguna trayectoria Wi coni < j , es la menor etiqueta entre tais caminhos

La Red Browniana

Definimos,

Wj (t) = Wj (t), se tj ≤ t ≤ τj= WIj (t), se t > τj

Sea W(D), el esqueleto de la Red Browniana, comenzando delconjunto D de la seguiente forma:

Wk = Wk (D) = Wj : 1 ≤ j ≤ kW = W(D) = ∪kWk

La Red Browniana

Definicion

Sea W(D) la clausura en (Π, d) de W(D). W(D) es el objeto al cualllamaremos Red Browniana.

W(D) tiene las siguientes propiedades.

Con probabilidad 1, es un subconjunto compacto de (Π, d)

Con probabilidad 1, W(D) = limk→∞ Wk (D), donde el limite estomado en H.

La distribuicion de W(D) no depende de D ni de suordenamiento.

La Red Browniana

Definicion

La Red Browniana

Definicion

La Red Browniana

Definicion

La Red Browniana

Definicion

La Red Browniana

Con probabilidad 1, para todo ε > 0 y para todaθ = (f , t0) ∈ W(D), existe una trayectoria θε = (g , t ′0) en elesqueleto D tal que g(s) = f (s) para todo s ≥ t0 + ε.

Daremos ahora un criterio de convergencia para variables definidas en(H,FH). Tal criterio involucra uma variable aleatoria de conteodefinida a continuacion.

Definicion

Para t > 0, t0, a, b ∈ R, con a < b, sea η(t0, t ; a, b) el numero depuntos diferentes en R× t0 + t alcanzados por trayectorias en Wque tambien cruzan el segmento [a, b]× R.

La Red Browniana

Con probabilidad 1, para todo ε > 0 y para todaθ = (f , t0) ∈ W(D), existe una trayectoria θε = (g , t ′0) en elesqueleto D tal que g(s) = f (s) para todo s ≥ t0 + ε.

Daremos ahora un criterio de convergencia para variables definidas en(H,FH). Tal criterio involucra uma variable aleatoria de conteodefinida a continuacion.

Definicion

Para t > 0, t0, a, b ∈ R, con a < b, sea η(t0, t ; a, b) el numero depuntos diferentes en R× t0 + t alcanzados por trayectorias en Wque tambien cruzan el segmento [a, b]× R.

La Red Browniana

Teorema

Suponga que X1,X2, ... son variables aleatorias con valores en (H,FH)con trayectorias que no se cruzan. Si las condiciones a continuacionson validas, entonces la distribuicion µn de Xn converge a ladistribuicion µW de la Red Browniana.

Para cualquier y1, y2, ..., ym ∈ D determinısticos, en que D es unsubconjunto (determinıstico y arbitrario) denso de R2, existenθy1n , ..., θ

ymn ∈ Xn tales que θy1

n , ..., θymn convergen en distribucion a

movimentos Brownianos coalescentes comenzando eny1, y2, ..., ym .

∀ t > 0, lim supn→∞ sup(a,t0)∈R2 µn(η(t0, t ; a, a + ε) ≥ 2)→ 0quando ε→ 0+;

∀ t > 0, ε−1 lim supn→∞ sup(a,t0)∈R2 µn(η(t0, t ; a, a + ε) ≥ 3)→ 0quando ε→ 0+

La Red Browniana

Teorema

La Red Browniana

Teorema

La Red Browniana

Teorema

La Red Browniana

Observacion

El hecho de que los caminos no se crucen, sumado a condicion I1

garantizan que la sucesion Xkk∈N es rıgida (tight). Luego, cualquiersubsucesion convergente contiene una version de la Red Browniana.Lass condiciones B1,B2 son para asegurar que no contiene nada mas.

Referencias Principales

Fontes & Isopi & Newman & Ravishankar, The brownian web:characterization and convergence, Ann. Probab 32 (2004),2857-2883.

Coletti & Fontes & Dias Scaling limits for a drainage networkmodel , J. Appl. Probab, 2009.

P. Billingsley, Convergence of probability measures, secondedition, Wiley Series In Probability And Statistics, New York.2007.

Richard Durret, Probability: Theory and examples, second ed.,Duxbury Press, 1996.

Stewart N. Ethier & Thomas G. Kurtz, Markov processes:Characterization and convergence, Wiley Series In ProbabilityAnd Statistics, 2005.

Algunos Limites de Escala de Grafos Aleatórios

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