Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos
-
Upload
juliana-felix -
Category
Documents
-
view
1.167 -
download
2
description
Transcript of Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos
![Page 1: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/1.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao e AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
28 de agosto de 2014
![Page 2: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/2.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
1 Motivacao
2 Algoritmos de Aproximacao
3 Algoritmos ProbabilısticosIntroducaoClasse BPPCLasse RP e co-RPCLasse ZPP
![Page 3: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/3.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
1 Motivacao
2 Algoritmos de Aproximacao
3 Algoritmos ProbabilısticosIntroducaoClasse BPPCLasse RP e co-RPCLasse ZPP
![Page 4: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/4.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
O Problema
![Page 5: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/5.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
O Problema
Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-difıcilimplicaria que P=NP;
![Page 6: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/6.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
O Problema
Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-difıcilimplicaria que P=NP;
Na pratica, algoritmos otimos podem nao ser necessarios,e pode-se buscar algoritmos aproximativos ouprobabilısticos.
![Page 7: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/7.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
O Problema
Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-difıcilimplicaria que P=NP;
Na pratica, algoritmos otimos podem nao ser necessarios,e pode-se buscar algoritmos aproximativos ouprobabilısticos.
Uma solucao quase otima e suficientemente boa quando emais facil de ser encontrada.
![Page 8: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/8.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
1 Motivacao
2 Algoritmos de Aproximacao
3 Algoritmos ProbabilısticosIntroducaoClasse BPPCLasse RP e co-RPCLasse ZPP
![Page 9: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/9.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
![Page 10: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/10.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Um algoritmo de aproximacao e desenvolvido paraencontrar solucoes aproximadamente otimas;
![Page 11: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/11.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Um algoritmo de aproximacao e desenvolvido paraencontrar solucoes aproximadamente otimas;
Exemplo COB-VERT -MIN
Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produzuma cobertura de vertices de G que nunca e mais queduas vezes maior que uma menor cobertura de vertices.
![Page 12: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/12.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Um algoritmo de aproximacao e desenvolvido paraencontrar solucoes aproximadamente otimas;
Exemplo COB-VERT -MIN
Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produzuma cobertura de vertices de G que nunca e mais queduas vezes maior que uma menor cobertura de vertices.
![Page 13: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/13.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
A resolve aproximadamente COB-VERT -MIN em tempopolinomial
A =”Sobre a entrada < G >, onde G e um grafonao-direcionado:
1 Repita o seguinte ate que todas as arestas em G toquemuma aresta marcada:
2 Encontre uma aresta em G nao tocada por nenhumaaresta marcada.
3 Marque essa aresta.
4 De como saıda todos os nos que sao extremidade dearestas marcadas.”
![Page 14: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/14.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova
![Page 15: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/15.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova
A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado comosaıda pelo algoritmo e uma cobertura, pois H (conjunto dearestas marcadas) contem (ou toca) todas as arestas emG . Logo, X toca todas em G .
![Page 16: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/16.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova
A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado comosaıda pelo algoritmo e uma cobertura, pois H (conjunto dearestas marcadas) contem (ou toca) todas as arestas emG . Logo, X toca todas em G .
X e duas vezes tao grande quanto H, e Y (uma dasmenores coberturas em G ) e no mınimo tao grandequanto H.
![Page 17: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/17.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova (cont.)
![Page 18: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/18.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova (cont.)
Y e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um noem Y , e nenhum no de Y toca duas arestas em H, pois asmesmas nao se tocam.
![Page 19: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/19.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Algoritmos de Aproximacao
Prova (cont.)
Y e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um noem Y , e nenhum no de Y toca duas arestas em H, pois asmesmas nao se tocam.
Portanto, Y e no mınimo tao grande quanto H, pois Ypossui um no diferente que toca toda aresta em H. Porfim, X e no maximo duas vezes maior que Y .
![Page 20: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/20.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
1 Motivacao
2 Algoritmos de Aproximacao
3 Algoritmos ProbabilısticosIntroducaoClasse BPPCLasse RP e co-RPCLasse ZPP
![Page 21: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/21.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Introducao
Um algoritmo probabilıstico e um algoritmo concebidopara usar o resultado de um processo aleatorio.
![Page 22: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/22.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Introducao
Um algoritmo probabilıstico e um algoritmo concebidopara usar o resultado de um processo aleatorio.
Problemas
![Page 23: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/23.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Introducao
Um algoritmo probabilıstico e um algoritmo concebidopara usar o resultado de um processo aleatorio.
Problemas
Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo,enquanto estimar o resultado pode ser suficiente;
![Page 24: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/24.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Introducao
Um algoritmo probabilıstico e um algoritmo concebidopara usar o resultado de um processo aleatorio.
Problemas
Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo,enquanto estimar o resultado pode ser suficiente;
Estimar o resultado pode resultar (espera-se que combaixa probabilidade) em solucoes erroneas.
![Page 25: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/25.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Definicao
Definicao
Uma maquina de Turing probabilıstica(MTP) M e um tipode maquina de Turing nao-determinıstica na qual cada passonao-determinıstico e chamado de passo de
arremesso-de-moeda e tem dois movimentos seguinteslegıtimos.
![Page 26: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/26.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Definicao
Definicao (cont.)
Atribuımos uma probabilidade a cada ramo b da computacaode M sobre a entrada w da seguinte forma. Defina aprobabilidade do ramo b como
Pr [b] = 2−k
onde k e o numero de passos de arremesso-de-moeda queocorrem no ramo b. Defina a probabilidade de que M aceita wcomo
Pr [M aceita w ] =∑
b e um ramo de aceitacao
Pr [b]
![Page 27: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/27.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Reconhecimento em MTP
Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n,onde n e a entrada.
![Page 28: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/28.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Reconhecimento em MTP
Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n,onde n e a entrada.
Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) e de:
![Page 29: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/29.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Reconhecimento em MTP
Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n,onde n e a entrada.
Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) e de:
1 w ∈ A implica Pr [M aceita w ] ≥ 1− ε, e
![Page 30: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/30.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Reconhecimento em MTP
Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n,onde n e a entrada.
Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) e de:
1 w ∈ A implica Pr [M aceita w ] ≥ 1− ε, e
2 w /∈ A implica Pr [M rejeita w ] ≥ 1− ε.
![Page 31: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/31.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe BPP (Bounded-error probabilisticpolynomial)
Definicao
BPP e a classe de linguagens reconhecidas por maquinas deTuring probabilısticas de tempo polinomial com umaprobabilidade de erro de 1
3 .Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP sao chamadosde Atlantic city.
![Page 32: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/32.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe BPP (Bounded-error probabilisticpolynomial)
Definicao
BPP e a classe de linguagens reconhecidas por maquinas deTuring probabilısticas de tempo polinomial com umaprobabilidade de erro de 1
3 .Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP sao chamadosde Atlantic city.
Uma definicao semelhante poderia ser feita para umaprobabilidade de erro entre 0 e 1
2 , em virtude do lema da
amplificacao que oferece uma maneira simples de tornara probabilidade de erro exponencialmente pequena.
![Page 33: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/33.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Lema
Seja ε uma constante fixa estritamente entre 0 e 12 . Entao,
para qualquer polinomio poly(n), uma maquina de Turingprobabilıstica de tempo polinomial M1 que opera comprobabilidade de erro ε tem uma maquina de Turingprobabilıstica de tempo polinomial equivalente M2 que operacom uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
![Page 34: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/34.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Ideia da Prova
M2 simula M1 rodando-a um numero polinomial de vezes etomando o voto da maioria dos resultados. A probabilidade deerro decresce exponencialmente com o numero de execucoes deM1 realizadas.
![Page 35: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/35.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com umaprobabilidade de erro ǫ < 1
2 e um polinomio poly(n),construımos uma MT M2 que reconhece a mesmalinguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
![Page 36: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/36.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com umaprobabilidade de erro ǫ < 1
2 e um polinomio poly(n),construımos uma MT M2 que reconhece a mesmalinguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Prova
M2 = ”Sobre a entrada w :
![Page 37: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/37.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com umaprobabilidade de erro ǫ < 1
2 e um polinomio poly(n),construımos uma MT M2 que reconhece a mesmalinguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Prova
M2 = ”Sobre a entrada w :
Calcule k
![Page 38: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/38.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com umaprobabilidade de erro ǫ < 1
2 e um polinomio poly(n),construımos uma MT M2 que reconhece a mesmalinguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Prova
M2 = ”Sobre a entrada w :
Calcule k
Rode 2k simulacoes independentes de M1 sobre a entradaw .
![Page 39: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/39.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com umaprobabilidade de erro ǫ < 1
2 e um polinomio poly(n),construımos uma MT M2 que reconhece a mesmalinguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Prova
M2 = ”Sobre a entrada w :
Calcule k
Rode 2k simulacoes independentes de M1 sobre a entradaw .
Se a maioria das execucoes de M1 aceita, entao aceite;caso contrario, rejeite.”
![Page 40: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/40.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
![Page 41: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/41.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
O estagio 2 da uma sequencia de 2k resultados dasimulacao de M1.
![Page 42: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/42.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
O estagio 2 da uma sequencia de 2k resultados dasimulacao de M1.
Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
![Page 43: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/43.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
O estagio 2 da uma sequencia de 2k resultados dasimulacao de M1.
Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
S a sequencia de resultados obtidos no estagio 2.
![Page 44: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/44.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
O estagio 2 da uma sequencia de 2k resultados dasimulacao de M1.
Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
S a sequencia de resultados obtidos no estagio 2.
S contem 2k resultados, onde 2k = c + e.
![Page 45: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/45.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
O estagio 2 da uma sequencia de 2k resultados dasimulacao de M1.
Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
S a sequencia de resultados obtidos no estagio 2.
S contem 2k resultados, onde 2k = c + e.
Se c ≤ e entao M2 da uma resposta incorreta (S edenominada uma sequencia ruim).
![Page 46: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/46.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
Se S e uma sequencia ruim, entao PS ≤ ǫe(1− ǫ)c
![Page 47: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/47.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
Se S e uma sequencia ruim, entao PS ≤ ǫe(1− ǫ)c
ǫe(1− ǫ)c = ǫk(1− ǫ)k , porque k ≤ e e ǫ < 1− ǫ.
![Page 48: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/48.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
Se S e uma sequencia ruim, entao PS ≤ ǫe(1− ǫ)c
ǫe(1− ǫ)c = ǫk(1− ǫ)k , porque k ≤ e e ǫ < 1− ǫ.
A somatoria de todas as sequencias ruins da aprobabilidade de que M2 gere uma saıda incorreta:
![Page 49: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/49.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
Se S e uma sequencia ruim, entao PS ≤ ǫe(1− ǫ)c
ǫe(1− ǫ)c = ǫk(1− ǫ)k , porque k ≤ e e ǫ < 1− ǫ.
A somatoria de todas as sequencias ruins da aprobabilidade de que M2 gere uma saıda incorreta:
∑
S ruim
PS ≤ 22k .ǫk(1− ǫ)k = (4ǫ(1− ǫ))k
![Page 50: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/50.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Lema da Amplificacao
Prova (cont.)
Se S e uma sequencia ruim, entao PS ≤ ǫe(1− ǫ)c
ǫe(1− ǫ)c = ǫk(1− ǫ)k , porque k ≤ e e ǫ < 1− ǫ.
A somatoria de todas as sequencias ruins da aprobabilidade de que M2 gere uma saıda incorreta:
∑
S ruim
PS ≤ 22k .ǫk(1− ǫ)k = (4ǫ(1− ǫ))k
Como ǫ < 12 , portanto 4ǫ(1− ǫ) < 1 e, consequentemente,
a probabilidade anterior decresce exponencialmente em k.
![Page 51: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/51.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Teorema (pequeno teorema de Fermat)
Se p e primo e a ∈ Z+p , entao ap−1 ≡ 1 (mod p)
Teste de Primalidade
![Page 52: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/52.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Teorema (pequeno teorema de Fermat)
Se p e primo e a ∈ Z+p , entao ap−1 ≡ 1 (mod p)
Teste de Primalidade
2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7)
![Page 53: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/53.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Teorema (pequeno teorema de Fermat)
Se p e primo e a ∈ Z+p , entao ap−1 ≡ 1 (mod p)
Teste de Primalidade
2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7)
2(6−1) = 25 = 32 ≡ 2 (mod 6)
![Page 54: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/54.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Erros do Teste de Primalidade
2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
![Page 55: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/55.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Erros do Teste de Primalidade
2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
11 ∗ 31 = 341.
![Page 56: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/56.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Erros do Teste de Primalidade
2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
11 ∗ 31 = 341.
Numeros pseudoprimos sao aqueles que passam no testede Fermat para todo a menor que ele, e primo em relacaoa ele.
![Page 57: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/57.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Erros do Teste de Primalidade
2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
11 ∗ 31 = 341.
Numeros pseudoprimos sao aqueles que passam no testede Fermat para todo a menor que ele, e primo em relacaoa ele.
Numeros de Carmichael: numeros compostos que aindaassim passam no teste de Fermat.
![Page 58: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/58.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
PSEUDOPRIMO = ”Sobre a entrada p, faca:
1 Selecione a1, ...., ak aleatoriamente em Z+p .
2 Compute ap−1i mod p para cada i .
3 Se todos os valores computados forem 1, aceite. Casocontrario, rejeite.
![Page 59: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/59.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmoaceita com certeza.
![Page 60: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/60.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmoaceita com certeza.
Se p nao for pseudoprimo, ele passa em, no maximo,metade de todos os testes.
![Page 61: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/61.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmoaceita com certeza.
Se p nao for pseudoprimo, ele passa em, no maximo,metade de todos os testes.
Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade deno maximo 1
2 e, portanto, a probabilidade de que ele passeem todos os k testes aleatoriamente selecionados e, nomaximo, 2−k .
![Page 62: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/62.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Primalidade
Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmoaceita com certeza.
Se p nao for pseudoprimo, ele passa em, no maximo,metade de todos os testes.
Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade deno maximo 1
2 e, portanto, a probabilidade de que ele passeem todos os k testes aleatoriamente selecionados e, nomaximo, 2−k .
O algoritmo opera em tempo polinomial porque aexponenciacao modular e computavel em tempopolinomial (cap. 7).
![Page 63: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/63.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe RP (Randomized Polynomial time)
Definicao
RP e a classe de linguagens que sao reconhecidas por maquinasde Turing probabilısticas de tempo polinomial em que entradasna linguagem sao aceitas com uma probabilidade de, nomınimo, 1
2 e entradas que nao estao na linguagem saorejeitadas com uma probabilidade de 1.
![Page 64: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/64.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe RP (Randomized Polynomial time)
Simplificando
![Page 65: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/65.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe RP (Randomized Polynomial time)
Simplificando
Se a resposta correta e:
![Page 66: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/66.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe RP (Randomized Polynomial time)
Simplificando
Se a resposta correta e:
nao, sempre retorna nao.
![Page 67: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/67.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe RP (Randomized Polynomial time)
Simplificando
Se a resposta correta e:
nao, sempre retorna nao.sim, retorna sim com probabilidade de erro de 1
2
![Page 68: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/68.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe co-RP
Classe co-RP
Se a resposta correta e:
![Page 69: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/69.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe co-RP
Classe co-RP
Se a resposta correta e:
sim, sempre retorna sim.nao, retorna nao com probabilidade de erro 1
2 .
![Page 70: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/70.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe co-RP
Classe co-RP
Se a resposta correta e:
sim, sempre retorna sim.nao, retorna nao com probabilidade de erro 1
2 .
Algoritmos que reconhecem linguagens em RP , ou co-RPsao conhecidos como Monte-Carlo.
![Page 71: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/71.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Definicao
ZPP e a classe de linguagens que uma MTP para em tempopolinomial, sem falsas aceitacoes ou rejeicoes, mas as vezes daum nao sei como resposta. ZPP e = a RP ∩ co-RP .Conhecido como algoritmo de Las Vegas.
![Page 72: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/72.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Simplificando
![Page 73: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/73.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Simplificando
Sempre retorna uma resposta sim ou nao.
![Page 74: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/74.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Simplificando
Sempre retorna uma resposta sim ou nao.
Pode retornar um nao sei como resposta.
![Page 75: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/75.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Prova: RP ∩ co-RP ⊆ ZPP
Seja L uma linguagem, T seu decisor em RP e B o decisor emco-RP . A seguinte MT M decide L em ZPP .M = ”Sobre a entrada w , faca:
1 Rode T sobre w . Se T aceita, aceite.
2 Rode B sobre w . Se T rejeita, rejeite.
3 Em outros casos, de como saıda ”Nao sei. E melhor rodara entrada novamente”.”
![Page 76: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/76.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Prova
Como T e B rodam em tempo polinomial, M tambemroda em tempo polinomial. Pelas definicoes de RP eco-RP , temos que:
![Page 77: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/77.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Prova
Como T e B rodam em tempo polinomial, M tambemroda em tempo polinomial. Pelas definicoes de RP eco-RP , temos que:
Se T aceita w , entao w ∈ L.
Se B rejeita w , entao w /∈ L.
![Page 78: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/78.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Prova
Como T e B rodam em tempo polinomial, M tambemroda em tempo polinomial. Pelas definicoes de RP eco-RP , temos que:
Se T aceita w , entao w ∈ L.
Se B rejeita w , entao w /∈ L.
M pode ser executado por um numero k de vezes, econforme k aumenta, a probabilidade de M responder naosei diminui.
![Page 79: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/79.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial)
Prova: ZPP ⊆ RP
Seja C um algoritmo de Las Vegas.
Rode C sobre w . Se C da uma resposta, de essa resposta.
Se C responde nao sei, entao rejeite.
ZPP ⊆ co-RP e feita de forma similar, trocando nao seipor aceite.
ZPP ⊆ RP ∩ co-RP e RP ∩ co-RP ⊆ ZPP
ZPP = RP ∩ co-RP
![Page 80: Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052223/5597a04d1a28aba2098b45b3/html5/thumbnails/80.jpg)
Algoritmos deAproximacaoe AlgoritmosProbabilısticos
Juliana Felix
Motivacao
Algoritmos deAproximacao
AlgoritmosProbabilısticos
Introducao
Classe BPP
CLasse RP eco-RP
CLasse ZPP
Bibliografia
Referencia Bibliografica
Sipser, Michael(2006). Introduction To Theory ofComputation. Thompson Course Technology.