Algorithmes et structures de données

avancées

Cours 1+2+3 Patrick Reutermaître de conférences

http://www.labri.fr/~preuter

Déroulement

• CM mardi 8h30 – 9h30

• TD/TP en alternance mardi de 10h00–11h30

Motivation

• Niklaus Wirth, ETH Zuerich, 1976« Algorithms + Data Structures = Programs »

Motivation

Structure de donnée:

p.ex. fantôme- couleur - position- direction- aggressif ou pas ?

Algorithmes:

p.ex. mettre a jour lemeilleur score

Motivation

Structure de donnée:

- tableau a 2 dimension

Algorithmes:

- surtout I.A.

Motivation

Structure de donnée :

Pile

LIFO(Last In First Out)

Motivation

Structure de donnée :

File

FIFO(First In First Out)

Aussi: File à priorité

Motivation

8.168.684.336 pages

Comment ça marche ?

01

m-1

JOEASM

SAM

h

AC

… …

Table de hachage

Fonction de hachage

Adressage indirecteh(c) pas forcément injective

Adressage directeh(c) injective

Résolution des collisions par adressage ouvert

Résolution des collisions par chaînage externe

sondage linéaire hi(c) = (h(c) + i)

mod m

Sondage quadratiquehi(c) = (h(c) + a*i + b*i2)

mod m

ASDA

• Nouvelles structures de données– Arbres– Graphes

• Preuves

• Récursivité/Récurrence

• Théorie de la complexité

• …

Motivation

Structure de donnée :

Arbre(pour l’éliminationdes parties cachées)

Motivation

Structure de donnée :

Graphe(pour plannifier destrajets)

Rappel sur la récurrence

Factoriel

• 0! = 1• 1! = 1• 2! = 1*2• 3! = 1*2*3• 4! = 1*2*3*4• 5! = 1*2*3*4*5• 6! = 1*2*3*4*5*6• n! = 1*2*3*4*5*6* .. * (n-1) * n

Factoriel

• Deux manières de faire :– Itératif– Récursif

Itératiffonction factorielBoucle(n : integer): integer;var i,res : integer;début

res := 1;i := 1;tant que i<=n faire

res := res * i;i := i + 1;

fin tant queresult := res;

fin

Rappel

Fonction définie par récurrence

Une fonction définie par récurrence se caractérise par deux propriétes :

• La fonction est définie par elle-meme, c-à-d. la fonction appelle elle-meme dans le corps de la fonction

• L’appel (ou les appels) de la fonction par elle-meme est isolé par une condition, la condition d’arret, pour éviter les appels infinis.

Sondage

function factoriel(n : integer) : integer;var resultat : integer;

begin

if (n = 0) OR (n = 1) thenresultat := 1

else resultat := n * factoriel(n-1);result := resultat;

end;

Sondage

function factoriel(n : integer) : integer;var resultat : integer;

begin

if (n = 0) OR (n = 1) thenresultat := 1

else resultat := n * factoriel(n-1);result := resultat;

end;

Sondage

function factoriel(n : integer) : integer;var resultat : integer;

begin

if (n = 0) OR (n = 1) thenresultat := 1

else resultat := n * factoriel(n-1);result := resultat;

end;

Condition d’arrêt : la fonction n’est plus appelé par elle-même

Sondage

function factoriel(n : integer) : integer;var resultat : integer;

begin

if (n = 0) OR (n = 1) thenresultat := 1

else resultat := n * factoriel(n-1);result := resultat;

end;

Condition d’arrêt : la fonction n’est plus appelé par elle-même

Appel de la fonction par elle-même

Sondage

function factoriel(n : integer) : integer;var resultat : integer;beginWriteLn(‘debut de fonction : n = ‘,n);if (n = 0) OR (n = 1) then

resultat := 1else resultat := n * factoriel(n-1);WriteLn(‘fin de fonction : resultat = ‘,resultat);result := resultat;

end

• Appel de fonction :  factoriel(5);

• factoriel := 5 * factoriel(5 - 1);

• factoriel := 5 * (4 * factoriel(4 - 1));

• factoriel := 5 * (4 * (3 * factoriel(3 - 1)));

• factoriel := 5 * (4 * (3 * (2 * factoriel(2 - 1))));

• factoriel := 5 * (4 * (3 * (2 * (1 ))));

Rappel : Listes

suivant

cle

nomannee

premier

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee …

typep_t_liste_simple = ^t_liste_simple;

t_liste_simple = recordcle : integer;nom : string;annee : integer;...

suivant : p_t_liste_simple;end;

Afficher tous les éléments

• Itératif

• Récursif

Itératif{ Afficher les éléments de la liste }

temp := premier;

while (NOT (temp = NIL)) do

begin

WriteLn(temp^.annee);

temp := temp^.suivant;

fin;

suivant

cle

nomannee

premier

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee …

temp

{ Afficher les éléments de la liste }

temp := premier;

while (NOT (temp = NIL)) do

begin

WriteLn(temp^.annee);

temp := temp^.suivant;

fin;

Itératif

suivant

cle

nomannee

premier

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee …

temp

Afficher tous les éléments :Récursif

procedure afficherListe(temp : p_t_liste_simple);

suivant

cle

nomannee

premier

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee

suivant

cle

nomannee …

temp

Afficher tous les éléments

procedure afficherListe(temp : p_t_liste_simple);begin if (temp <> NIL) then begin WriteLn('Element annee : ', temp^.annee); afficherListe(temp^.suivant); end;end;

Sondage …

• Recherche linéare dans un tableau non-trié– O(n)

• Recherche linéare dans une liste non-trié– O(n)

• Recherche dans un tableau trié – O(log n) (par dichotomie)

• Recherche dans une liste triée – O(n)

• Table de Hachage HT– Suivant la fonction de hachage h(t), au mieux O(1),

au pire O(n)

Complexité asymptotique

Chercher Ajouter Enlever

Tableau non trié: O(n) O(n) O(n)

Liste non triée: O(n) O(1) O(1)

Tableau trié: O(lg n) O(n) O(n)

Liste trié : O(n) O(1) O(1)

Arbre binaire:

Arbres binaires

Parcours en profondeur : 1 2 4 5 7 8 3 6 9 Parcours en largeur : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Arbres binaires- structure de données qui peut se représenter sous la forme d'une hiérarchie

- chaque élément est appelé nœud

- le nœud initial est appelé racine.

- chaque nœud possède au plus deux éléments fils au niveau inférieur, habituellement appelés fils gauche et fils droit.

- l'élément d’un nœud fils au niveau supérieur est appelé père.

- au niveau le plus élevé, il y a donc un nœud racine.

- un nœud n'ayant aucun fils est appelé feuille.

- les nœuds ayant au moins un fils sont appelés nœuds internes.

- le nombre de niveaux total, autrement dit la distance entre la feuille la plus éloignée et la racine est appelé profondeur ou hauteur de l'arbre.

- Autrement dit : La hauteur d'un arbre est la longueur du plus grand chemin de la racine à une feuille.

Arbres binaires

Un arbre binaire est un graphe connexe acyclique, tel que le degré de chaque nœud soit au plus 3, et celui de la racine au plus 2.

HAUTEUR : 3

Arbres binaires

• Arbre binaire entier est un arbre dont tous les nœuds possèdent zéro ou deux fils.

• Arbre binaire parfait (complet) est un arbre binaire entier dans lequel toutes les feuilles sont à la même distance de la racine.

– Un arbre binaire complet de hauteur h contient donc 2h+1-1 nœuds, – et son nombre de feuilles est : Fh = 2h.

• Arbre binaire dégénéré est un arbre binaire dans lequel tous ses noeuds n'ont qu'un seul descendant.

Arbres binaires

• Stockage dans un tableau

+

* 6

2 3

1

2 3

4 5

1 + 2 3

2 * 4 5

3 6 0 0

4 2 0 0

5 3 0 0

No contenu gauche droite

Arbres binaires

+3

racine^

racine

+gauche droitecontenu

+3

*gauche droitecontenu

+3

2gauche droitecontenu

+3

3gauche droitecontenu

+3

6gauche droitecontenu

type p_t_noeud = ^t_nœud; t_noeud = RECORD

cle : integer;contenu : char;gauche : p_t_noeud;droite : p_t_noeud;

END;

Arbres binaires

Méthode d'itération des arbres binaires

• Préfixe,

• Postfixe,

• Infixe

Arbres binaires

• Préfixe,

+

* 6

2 3

Arbres binaires

• Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6) (avec parcours en profondeur)

• Postfixe,

+

* 6

2 3

Arbres binaires

• Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6)

• Postfixe, ((2), (3) *),( 6) +

• Infixe :+

* 6

2 3

Arbres binaires

• Préfixe, + (* (2),( 3)),( 6)

• Postfixe, ((2), (3) *),( 6) +

• Infixe : ((2)*(3)) + (6) +

* 6

2 3

Arbres binaires

• Infixe

procedure parcourir( nœud : p_t_noeud )début

si NOT(nœud^.gauche = NIL)alorsparcourir(nœud^.gauche)

WriteLn(nœud.contenu);

si NOT(nœud^.droite = NIL)alorsparcourir(nœud^.droite)

finfin

+

* 6

2 3

Arbre binaire de recherche

Arbre binaire de recherche

• un arbre binaire dans lequel – chaque nœud possède une clé, – telle que chaque nœud du sous-arbre gauche ait une

clé inférieure ou égale à celle du nœud considéré, – et que chaque nœud du sous-arbre droit possède

une clé supérieure ou égale à celle-ci– Les nœuds que l'on ajoute deviennent des feuilles de

l'arbre. – on pourra interdire ou non des clés de valeur égale.

Complexité asymptotique

Arbre balancé AVL Arbre non balancé

Trouver: O(lg n) O(n)

Insérer: O(lg n) O(n)

Enlever: O(lg n) O(n)

Arbre binaire balancé

• Arbre balancé AVL – nommé selon ses auteurs

– [Andelson-Velskii et Landis, 1962]

– Pour chaque nœud, la hauteur du sous-arbre gauche (SAG) et du sous-arbe droite (SAD) diffèrent au plus de un

Enigme

Peut-on commencer une promenade sur une île ou une rive, terminer la promenade sur n'importe quelle autre (ou la même) île ou rive en passant exactement une fois sur chacun des ponts?