Algorithme d’addition #1

Un algorithme de gauche à droite

• La technique qui suit consiste à regrouper d’abord toutes les unités de même ordre (centaines, dizaines, unités,…)

• Par la suite, les nombres obtenus sont transformés, si nécessaire, de gauche à droite afin d’obtenir la somme.

• Excellente technique afin de développer le calcul de gauche à droite, incontournable en calcul mental.

Première étape

L’algorithme d’apprentissage

Le nombre 468 est posé sur les 2 planches à calculer et noté pour l’algorithme.

Le nombre 294 est ajouté.

Les centaines sont additionnées : 4 + 2 = 6.

Les dizaines sont additionnées : 6 + 9 = 15.

Les unités sont additionnées : 8 + 4 = 12.

Dix dizaines sont remplacées par une centaine.

Il y a maintenant 7 centaines : 6 + 1 = 7.

Dix unités sont remplacées par une dizaine.

Il y a maintenant 6 dizaines : 5 + 1 = 6 et il reste 2 unités

Évaluation de cet algorithme d’addition.

• Il faut se rappeler qu’il s’agit d’un algorithme d’apprentissage, lequel deviendra, dans sa version finale, l’algorithme mental le plus efficace et le plus employé.

Un pas vers l’algorithme courant : la méthode des tirets

• Méthode des tirets

Dans cet algorithme, de gauche à droite, les retenues sont remplacées par des tirets.

Cet algorithme peut être vu comme une simplification du précédent ou comme un algorithme original, puisque le tiret pouvait très bien être utilisé directement au départ.

Des étapes de l’algorithme précédent sont fusionnées. On gagne en rapidité.

Le nombre 468 est posé sur les 2 planches à calculer et noté pour l’algorithme.

Le nombre 294 est ajouté.

Les centaines sont additionnées : 4 + 2 = 6.

Les dizaines sont additionnées : 6 + 9 = 15. Le tiret remplace 10 dizaines ou la retenue.

Les unités sont additionnées : 8 + 4 = 12. Le tiret remplace cette fois dix unités, la retenue.

Addition des 6 centaines à la retenue 6 + 1 = 7.

Addition des 5 dizaines à la retenue 5 + 1 = 6. Copie des 2 unités restantes.

Évaluation de cet algorithme

• Très semblable à l’algorithme précédent.

• Les tirets évitent de noter des nombres à deux chiffres aux différentes positions de la somme.

• Moins de confusions sont donc possibles.

• C’est une excellente évolution de l’algorithme précédent.

Algorithme courant en calcul mental

Algorithme en calcul mental

• Au lieu de noter les retenues ou les reports, on les ajoutera mentalement.

• Lorsque la colonne suivante contient plus que 9 unités, la retenue est automatique.

• Lorsque la colonne suivante contient moins que 9 unités, il n’y aura pas de retenue.

• Lorsque la colonne suivante contient 9 unités, elle est «neutre», il faut passer à la colonne qui est à sa droite et appliquer les règles précédentes.

Le nombre 468 est posé sur les 2 planches à calculer et noté pour l’algorithme.

Le nombre 294 est ajouté.

Il est clair que la somme des dizaines dépasse 9. On ajoute une retenue donc 4 + 2 + 1 = 7 aux centaines. À l’étape suivante il faudra retrancher 10 dizaines de la

somme obtenue dans la colonne des dizaines. C’est ce que l’encadré en bleu et le point rouge illustrent.

La somme des unités dépasse 9 donc on ajoute 1 dizaines dans lacolonne des dizaines : 6 + 9 + 1 = 16.

On retranche 10 dizaines qui ont déjà été comptabilisées dans les centaines. Il faudra retrancher

10 unités dans la colonne des unités.

Les unités sont additionnées : 8 + 4 = 12. On retranche 10 unités déjà comptabilisées dans la colonne des

dizaines. Il reste 2 unités.

Évaluation (1 de 2)

• C’est l’algorithme qui couronne les deux algorithmes d’apprentissage précédents.

• Il est plus difficile à expliquer et à illustrer qu’à apprendre et à maîtriser.

• C’est l’algorithme courant des forts en calcul mental, algorithme qu’ils ont souvent développé tellement naturellement qu’ils croient que tout le monde procède de cette façon.

Évaluation (2 de 2)

• C’est l’algorithme le plus performant en calcul mental et en calcul écrit pour additionner deux nombres, quel que soit le nombre de chiffres que chacun contient.

• Pour une addition de plusieurs nombres, le premier nombre est additionné au second et le second au troisième …

• Si les nombres ont plus que trois chiffres, il faudra noter les sommes partielles ou …avoir une mémoire exceptionnelle.

Exemples d’additions avec l’algorithme précédent.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

4 + 2 = 6, mais il est clair que, dans la colonne suivante, 6 + 9 > 9. Il y aura donc une retenue sur la

dernière colonne de gauche.

D’où : 4 + 2 + 1 = 7 que l’on note en tenant compte de cette retenue.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

À droite de 6 + 9 on trouve 8 + 1. Or la colonne suivante, 4 + 3, donne une somme

inférieure à 10, il n’y aura pas de retenue à ajouter à 8 + 1. On aura donc 8 + 1 = 9 et 6 + 9 = 15. On

notera 5, sous 6 + 9, car la retenue a déjà été prise en compte dans la colonne précédente lorsqu’on a

additionné 4 + 2 + 1 = 7.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

8 + 1 = 9 et on notera 9 sous 8 + 1 car, dans la colonne suivante, 4 + 3 < 9 il n’y aura donc

aucune retenue sur 8 + 1.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

4 + 3 = 7, cependant dans la colonne suivante on a 6 + 3 = 9. Or dans la dernière

colonne on a 5 + 8 > 9. La retenue conduira à 6 + 3 + 1 = 10 dans l’avant

dernière colonne, ce qui impliquera une retenue dans la colonne où on a 4 + 3.

Donc, en tenant compte de cette retenue, on effectue 4 + 3 + 1 = 8 et on note 8.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

6 + 3 = 9, mais, à cause de la colonne suivante, dont la somme est clairement plus grande que 9,

il y aura une retenue à ajouter à 6 + 3, d’où 6 + 3 + 1 = 10. On note 0.

La retenue a déjà été prise en compte dans la colonne où figure 4 + 3.

Algorithme d’addition avec retenue anticipée

5 + 8 = 13. On notera 3 sous 5 + 8. La retenue a déjà été prise en compte dans

6 + 3 + 1 = 10.

Algorithme avec retenue anticipée

Algorithme avec retenue anticipée

Additionnons 345 + 284 de gauche à droite :

3 + 2 + 1 = 6 car 4 + 8 > 9

4 + 8 = 12, il reste 2, la retenue a déjà été prise en compte.

5 + 4 = 9.

Donc 629.

Algorithme avec retenue anticipée

À la somme partielle de 629, additionnons 138.

Centaines : 6 + 1 = 7.

Dizaines : 2 + 3 + 1 = 6 Une retenue est additionnée puisque dans la colonne des unités 9 + 8 > 9.

Unités : 9 + 8 = 17. Le 7 est conservé. Les dix autres unités ont déjà été comptabilisées.

629 + 138 = 767.

Algorithme avec retenue anticipée

Ajoutons 456 à la somme partielle 767.

Centaines : 7 + 4 + 1 = 12 car dans la colonne des dizaines 6 + 5 < 9 donc il y aura une retenue.

Dizaines : 6 + 5 + 1 = 12 car, dans la colonne des unités on a 7 + 6 > 9 donc on garde 2 dizaines.

Unités : 7 + 6 = 13, on garde le 3, les dix autres unités sont déjà comptabilisées.

767 + 456 = 1223.

Algorithme avec retenue anticipée

Additionnons enfin 1223 + 578.

Milliers : 1 + 0 = 1.

Centaines : 2 + 5 + 1 = 8 car dans les dizaines 2 + 7 = 9, il faut regarder les unités : 3 + 8 > 9 d’où retenue aux dizaines et aux centaines.

Dizaines : 2 + 7 + 1 = 10, le 0 est conservé.

Unités : 3 + 8 = 11, on conserve le second 1.

1223 + 578 = 1801.