Algebre1 cf correction-2012

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cour d'algebre faculte de science juridique economique et social s3

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Page 1: Algebre1 cf correction-2012

Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,

Économiques et sociales RABAT

http://www.fsjesr.ac.ma

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Filière de Sciences Économiques et de Gestion

Semestre : S3 Module : M 12 (Méthodes Quantitatives III) Matière : ALGEBRE I Session : Automne-hiver, 2012-2013 Sections : C et D Responsable de la matière : Salma DASSER

Contrôle final

Durée : 2h Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel.

Toute réponse doit être justifiée.La présentation de la copie est notée sur 2 points.

Professeure Salma DASSER 1/4 Session automne-hiver 2013

Exercice 1 (6 points) ♦ Soit � l’ensemble des matrices � de ��2� qui sont de la forme : � � � � � �� ; �, � � ��

1) Montrer que toute matrice � de � peut s’écrire sous la forme � � � ��, où les matrices � et � sont à déterminer. 1 pt

� � � � � �� � �1 01 1� � �1 10 1� ; � � �1 01 1� �� � � �1 10 1�

2) En déduire que � est un sous espace vectoriel de ��2� dont on donnera une base. 1 pt � � ��, ��, ��, �� ��� ��� ��� �� �

3) Les matrices � �1 00 1�, ! � � 0 1"1 0�, # � �0 "11 0 � et $ � �2 11 2� sont-elles dans �? 2 pts

� � �1 00 1� % �: 0 0 ' 1; ! � � 0 1"1 0� � � ( � "1 �� � � 1

� # � �0 "11 0 � � � ( � 1 �� � � "1 ; $ � �2 11 2� � � ( � 1 �� � � 1

4) Les matrices ! et # forment-elles une base de �? 1 pt

�!, #� est lié, ce n'est donc pas une base: ! � � 0 1"1 0� � " �0 "11 0 � � "#

5) Les matrices ! et $ forment-elles une base de �? 1 pt

�!, $�est libre donc une base �dim � � 2� ( :! ;$ � �0 00 0� < = 2; : ;": ; 2; > � �0 00 0� < : � ; � 0

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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] Correction du Contrôle final

Professeure Salma DASSER 2/4 Session automne-hiver 2013

Exercice 2 (14 points) (Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment)

I. Dans �? muni de sa base canonique #@ � ��A, �B, �?�, on considère les vecteurs : �A � �1,1,0�; �B � �1, "1,1�; �? � �0,1,1� 1) Vérifier que # � ��A, �B, �?� est une base de �?. 0,5 pt

# � ��A, �B, �?� est une base car det ��#/#@� ' 0 ( D1 1 01 "1 10 1 1D ' 0

2) Ecrire la matrice de passage EFGF et déterminer la matrice de passage EFFG. 1,5 pts

EFGF � ��#/#@� � H1 1 01 "1 10 1 1I et EFFG � JEFGFKLA � 13 H 2 1 "11 "1 1"1 1 2 I

II. Dans ��3�, on donne la matrice !N � H1 " O 1 "11 1 " O 1"1 1 1 " OI, IRm ∈

1) Calculer le rang des matrices !B�O � 2� et !LA�O � "1�. 2 pts

!B � H"1 1 "11 "1 1"1 1 "1I : PQ�!B� � 1 puisque : Sdet !B � 0 �$A � $B� < PQ�!B� T 2PQ�!B� � PQ�U�, V�W U � �$A, $B, $?� PQ�U� � 1 ( $A � $? � "$BX

!LA � H 2 1 "11 2 1"1 1 2 I : PQ�!LA� � 2 puisque : Y det !LA � 0 �$A $? � $B� < PQ�!LA� T 2et Z2 11 2Z ' 0 X

2) Montrer que la matrice !N est inversible si et seulement si O % �"1,2�. 2 pts

!N est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 et O ' "1 :

D1 " O 1 "11 1 " O 1"1 1 1 " OD \? ] \? \B^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^ D1 " O 1 "11 1 " O 10 2 " O 2 " OD $? ] $? " $B^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^̂ ^ D1 " O 1 "21 1 " O O0 2 " O 0 D

D1 " O 1 "21 1 " O O0 2 " O 0 D � "�2 " O� Z1 " O "21 O Z � "�2 " O��O�1 " O� 2� � "�O " 2�B�O 1�

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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] Correction du Contrôle final

Professeure Salma DASSER 3/4 Session automne-hiver 2013

III. Soit _ l'endomorphisme de �? défini par : `�a, b, c� � �?: _N�a, b, c� � J�1 " O�a b " c, a �1 " O�b c, "a b �1 " O�cK

1) Ecrire la matrice ��_N/ #@ , #@�, #@ étant la base canonique de �?. 1 pt

��_N/ #@ , #@� � H1 " O 1 "11 1 " O 1"1 1 1 " OI � !N

2) Déterminer la matrice $N � ��_N/ #, #� par un calcul direct. 1 pt # � ��A; �B; �?� étant la base donnée en I : �A � �1,1,0�; �B � �1, "1,1�; �? � �0,1,1�

S�A � �1,1,0��B � �1, "1,1��? � �0,1,1� X : e_N��A� � J�1 " O� 1,1 �1 " O�, "1 1K � �2 " O��A_N��B� � J�1 " O� " 1 " 1,1 " �1 " O� 1, "1 " 1 �1 " O�K � "�1 O��B_N��?� � J1 " 1, �1 " O�1 1,1 �1 " O�K � �2 " O��?X

< $N � ��_N/ #, #� � H2 " O 0 00 "1 " O 00 0 2 " OI

3) Pour quelles valeurs du paramètre O, l’endomorphisme _N est-il bijectif ? 1 pt

_N est bijectif ssi !N � ��_N/ #@ , #@� est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 �� O ' "1 �voir II‐2� _N est bijectif ssi $N � ��_N/ #, #� est inversible ssi det $N ' 0 ssi O ' 2 �� O ' "1 �voir III‐2�

4) Pour O � "1, déterminer une base de ��P�_LA� et en déduire PQ�_LA�. 1,5 pt _LA�a, b, c� � �2a b " c, a 2b c, "a b 2c� :

�a, b, c� � ��P�_LA� ssi _LA�a, b, c� � �0,0,0� ssi Y2a b " c � 0a 2b c � 0"a b 2c X �1��2��3� Y 2a b " c � 0a 2b c � 0"a b 2c � 0X j �1� �2��2��3� Y 3a 3b � 0c � "a " 2b"a b 2c � 0X j k b � "ac � a"a " a 2a � 0X j Y a � �b � "ac � a X

��P�_LA� � ��1, "1,1�� PQ�_LA� � 2 ( PQ�_LA� dim ��P�_LA� � dim �?

5) Pour O � 2, déterminer une base de O�_B� et en déduire PQ�_B�. 1,5 pt

_B�a, b, c� � �"a b " c, a " b c, "a b " c� : O�_B� � �_B��A�, _B��B�, _B��?�� ( SVA � _B��A� � �"1,1, "1�VB � _B��B� � �1, "1,1�V? � _B��?� � �"1,1, "1�X �� dim O�_B� � PQ��VA, VB, V?��

PQ��VA, VB, V?�� � 1 ( VA � V? � "VB < dim O�_B� � 1 �� �VA� est une base de O�_B� � �VA� PQ�_B� � 1 ( PQ�_LA� l dim O�_B�

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[Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I] Correction du Contrôle final

Professeure Salma DASSER 4/4 Session automne-hiver 2013

6) Pour O � 1 et # � ��A; �B; �?� la base donnée en I : �A � �1,1,0�; �B � �1, "1,1�; �? � �0,1,1�

a. Déterminer la matrice ��_A/ #, #� par un calcul direct. 1 pt _A�a, b, c� � �b " c, a c, "a b� :

S�A � �1,1,0��B � �1, "1,1��? � �0,1,1� X ( S_A��A� � �1,1,0� � �A_A��B� � �"2, 2, "2� � �"2��B_A��?� � �0,1,1� � �?X < ��_A/ #, #� � H1 0 00 "2 00 0 1I

b. Retrouver ��_A/ #, #� en utilisant la formule de changement de bases. 1 pt _A�a, b, c� � �b " c, a c, "a b� :

��_A/ #@ , #@� � H 0 1 "11 0 1"1 1 0 I , EFGF H1 1 01 "1 10 1 1I et EFFG � 13 H 2 1 "11 "1 1"1 1 2 I ��_A/ #, #� � EFFG m ��_A/ #@ , #@� m EFGF après calculoppppppq ��_A/ #, #� � H1 0 00 "2 00 0 1I