Algébre TD (Partie 2)
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7/28/2019 Algbre TD (Partie 2)
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MATHEMATIQUES (Semestre 4 )
ALGEBRE II
Travaux Dirigs -TD-
Professeur : M.REDOUABY
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7/28/2019 Algbre TD (Partie 2)
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Srie dexercices
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Partie 2
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Exercice 1
= 54
21
A
1. Pour le premier polynme, on a :
7I3AAAf2
)( +=-
-
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5/24
+
=10
01
754
21
354
21
A
2
)(f
Cest--dire :
+
+
=
7015121724
=
912
63
-
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Exercice 1
Pour le deuxime polynme, on a :
13I6AAAf2
)( +=-
2
+=
1013
546
54A)(
+
+
=
10
01
3024
126
1724
127
-
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On obtient :
=
00
00
)(AfMatrice
nulle
A est une racine du polynme f : 0Af )( =
-
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2. Pour le polynme caractristique :
Exercice 1
54+=
=
-
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3. Thorme de Cayley-Hamilton :
Exercice 1
0A)(P =Remarque : ce rsultat a t vrifi la question 1polynme caractristique
013I6AA =+-
I6IA13I6AA )(A1312 = =-
1-A
-
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On obtient ainsi :
A)(6IA1311- =
11
2101-
13
5410
=
14
25-
13
11A
-
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Exercice 2
=
15
32A
17315
32)(
2+=
=
P
-
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Thorme de Cayley-Hamilton :
Exercice 2
0A)(P =
=+-
I3IA17I3AA A)(1712 = =-
1-A
-
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On obtient ainsi :
)(17
11A
=
15
32
10
013
-
=
25
31-
17
11
A
-
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Exercice 3
=
430023
261
A
Le polynme caractristique de la matrice A :
=
430
023
261
)(P
-
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+
=
43
26
343
02
)1()(P
On peut dvelopper suivantla premire colonne :
++=
62823
= )(P
-
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Thorme de Cayley-Hamilton :
0A)(P =
062I8AAA23
=+++
62I8I)AA(A
2=++
I8IAAA )(2
621 =++
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On obtient ainsi :
)( 8IAA21-
62
1A ++=
)(1A
++
=
800
080
430
023
1669
6149
62
1
2A A 8I
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Finalement
= 6412
4188
11A
Vrification : IAA1-=
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Exercice 4
=
6820
4321
A
4000
Matrice triangulaire suprieure les termes non nul sont dans la partie suprieure
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Exercice 4
=6820
4321
)(P
4000
)4)(3)(2)(1( =)(P
-
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Exercice 4
=4641
9752
A
matrice A1 matrice carre
3200
Matrice triangulaire par blocs
Matrice nulle matrice A2 matrice carre
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Les blocs diagonaux sont :
=
41
52
A1
=
32
56
A2-
et
Thorme
Soit A est une matrice triangulaire par blocs.Alors son polynme caractristique est leproduit des polynmes caractristiques deses blocs diagonaux
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Cest--dire :
,
)()()(2
A1
AAPPP =
3652 2
+=
=P 41
1
,2893256)( 2 +=
=
2
AP
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Finalement
)289)(36()(22
++= AP