algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
-
Upload
andreea-cirty -
Category
Documents
-
view
253 -
download
1
Transcript of algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
1/21
Part I
ALGEBRA LINIARA
Teorie si aplicatii
1 1. MATRICE. SISTEME LINIARE
1.1 TEORIE
1. Notam cu M() multimea matricelor cu linii si coloane avandelementele din inelul ( + ) (de regula = R - corpul numerelor reale, = C - corpul numerelor complexe, ori = Z - corpul claselor de resturimodulo p, unde este un numar prim); despre o asemenea matrice spunemca este o matrice de tip . Matricele cu acelasi numar de linii si decoloane ( = ) se numesc matrice patratice. In exemplele (exercitiile)pe care le vom da, in lipsa altor precizari, inelul este corpul numerelorreale.
2. Daca = ( ) 1 1
2 M() (mai scriem = ( ) = 1 = 1
,
ori, daca nu este pericol de confuzie, = ( )) atunci matricea notata
=
0BB@
11 121 121 222 2
1 2
1CCA
sau
=
2664
11 12 1 121 22 2 2
1 2
3775
se poate exprima prin concatenarea (alaturarea)
coloanelor sale: notand cu
: :=
0BB@
12
1CCA
matricea coloana formata cu elementele coloanei a matricei , atunciconcatenarea matricilor :1,:2,...,: reface matricea :
1
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
2/21
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
3/21
unde 0 = Folosind concatenarea liniilor matricei putem scrie trans-
pusa astfel:= (1:I2:I...I:)
De exemplu:1 23 2
=
1 3
2 2
Proprietati.
-
= ;
- ( + )= + ;
- ()= ;
- Pentru orice scalar , ()= ;
- Daca este o matrice diagonala (elementele care nu sunt pe diagonalaprincipala sunt toate 0) atunci = .
O matrice patratica estesimetricadaca= .
5. Notam cu (sau doar daca nu este pericol de cofuzie) matriceanula, adica o matrice de tip avand toate elementele nule (i.e. el-ementul neutru al grupului (M() +)). Cu (ori doar ) notammatricea unitate de tip :
= (), unde := 0 daca 6=
1 daca = este simbolul lui Kronecker, adica este matricea care are pe diag-onala principala doar 1, iar in rest 0 (i.e. este elementul neutru fatade inmultirea matricelor patrate de tip ). Coloana din matriceaunitate va notata deci
1 =
0BB@
10
0
1CCA 2 =
0BB@
01
0
1CCA =
0BB@
00
1
1CCA
iar prin concatenare:
= (1I2I...I)
Proprietati.- este element neutru fata de adunarea matricelor:
+ = + = ;
- matricea (1) := este elementul simetric al elementului (pentruadunarea matricelor):
+ () = () + = ;
3
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
4/21
- (M() +) este un grup abelian.
3. Matricea permutarii 2 (i.e. este o bijectie avand domeniul sicodomeniulf1 2g; se mai noteaza tabelar astfel: =
1 2 ... (1) (2)()
)
este de tip si este denita prin:
=
()
,
adica matricea are pe linia doar elementul de pe coloana () egal cu1, in rest 0. Deoarece () = daca si numai daca = 1() urmeaza caputem scrie si :
=
1()
astfel ca putem arma ca matricea permutarii se obtine din matriceaunitate schimband liniile in raport cu 1 : linia () din devinelinia din De exemplu, daca
=
1 2 3 42 3 1 4
atunci matricea permutarii este
=
0BB@
0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1
1CCA
Din denitia determinantilor ( daca = () 2 () atuncidet() :=
P2()1(1)2(2) () unde() inseamna signatura permutarii)
urmeaza ca
() = det();
in exemplul de mai sus signatura permutarii (i.e. () = (1)(),unde() este numarul tuturor inversiunilor permutarii) este: () =(1)2 = 1 = det()
Daca =
0BB@
12
1CCA 2 M1(), atunci =
0BB@
(1)(2)
()
1CCA
7. Inmultirea matricelor. Daca = () 2 M() iar = ( ) 2M() produsul matricelor si este o matrice de tip obtinutaprin tehnica inmultirii "linie cu coloana", adica
=
0BB@
11 12121 222
1 2
1CCA
0BB@
11 12 .121 22 2
1 2
1CCA =
4
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
5/21
=
0BBBBBBBB@
P=11 1
P=112
P=11
P=1
2 1P
=122
P=1
2
P
=11
P=1
2P
=1
1CCCCCCCCA=
=(P
=1) = (:1I:2I...I:)
De exemplu
=
+ +
iar6 41 1
33
=
60
In particular, daca
=
0BB@
12
1CCA 2 M1(),
atunci
=
0BB@
111 + 122 + + 1211 + 222 + + 2
11 + 22 + +
1CCA
= 1:1+2:2+...+:
De exemplu
=
+ + + +
si
1 2 30 1 4
24 1 52 23 1
35 =
12 1214 6
Proprietati ale inmultirii matricelor. Fie = () de tip si = () de tip . Atunci:
- () = () (asociativitatea inmultirii matricelor);
- ( + ) = + (distributivitatea la stanga a inmultirii ma-
tricelor fata de adunare);
- ( + ) = + (distributivitatea la dreapta a inmultiriimatricelor fata de adunare);
- pentru orice scalar , () = () = () (asociativitateainmultirii cu scalari si matrice);
- daca = ( :1 j :2j j: ) atunci = ( :1 j :2j j: ) ;
5
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
6/21
- daca 2 atunci = , iar = ;
- daca 2 atunci = (:1I:2I...I:) =
=
()
=
0BB@
(1)1 (1)2(1)(2)1 (2)2(2)
()1 ()2 ()
1CCA
Inversa matricei patratice este o matrice de acelasi tip astfel incat: = = . Inversa matricei se noteaza cu 1 O matrice careadmite inversa se numeste matrice inversabila, sau nesingulara. Omatrice care nu are inversa se numeste matrice singulara.
* Daca 2 atunci
= 1 = 1
Matricea este nesingulara daca si numai dacadet() 6= 0 (det()
inversabil, daca inelul nu este corp).De exemplu
1 23 2
14
14
3818
=
1 00 1
=
14
14
3818
1 23 2
deci:1 23 2
1=
14
14
3818
Daca este matrice patratica, notam
:=
z } | {
De exemplu5 68 7
3=
941 942
1256 1255
si5 68 7
3
=
12552197
9422197
12562197
9412197
Se verica imediat ca (() + ) este un inel, necomutativ, in gen-eral, in care este elementul neutru fata de inmultirea matricelor " ".
8. Un sistem liniar de m ecuatii cu n necunoscute avand coecientii dincorpul (la noi R C ori Z):
111 + 122 + + 1 =
211 + 222 + + 2 = 2 (1)
6
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
7/21
...
11 + 22 + + =
se poate scrie matriceal astfel:
=
adica2664
11 12 13 121 22 23 2
1 2 3
377526664
12...
37775 =
2664
12
3775
unde = ( ) 2 M() este matricea coecientilor sistemului (1)
= 0BB@1
2
1CCA 2 M1()este matricea coloana a necunoscutelor, iar
=
0BB@
12
1CCA 2 M1()
este matricea coloana a termenilor liberi. Un asemenea sistem poate incompatibil, i.e. multimea solutiilor Seste vida (S= ;) compatibil de-terminat, i.e. sistemul are solutie unica, sau compatibil nedeterminati.e.sistemul are mai multe solutii (o innitate in cazul = R sau = C,
daca = Z)
Teorema Kronecker-Capelli. Sistemul (1) este compatibil daca si nu-mai daca
() = (),
unde = ( j) este matricea extinsa a matricei (i.e. matriceabordata (concatenata)cu coloana termenilor liberi ):
=
0BB@
11 12121 222
1 2
12
1CCA
Un sistem de forma
111 + 122 + + 1 = 1
222 + + 2 = 2
...
= ,
7
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
8/21
unde 6= 0 , pentru orice , se rezolva prin metoda substitutiei in-verse
(i.e. obtinem
din ultima ecuatie, apoi
1 din penultima etc.)si are ca matrice o matrice superior triunghiulara, adica = 0 oride cate ori :2664
11 12 10 22 2
0 0 0
3775 ; (2)
daca in plus coecientii au toti valoarea 1 spunem ca matricea estediagonal unitara.
Un sistem in care 6= 0 = 1 de forma
111 = 1
122 + 222 = 2...
11 + 22 + + =
se rezolva prin metoda substitutiei directe iar matricea acestuia esteinferior triunghiulara.
4. Matricea= ( ) 2 () pentru care:
- daca o linie este nula, e.g. : = (0 0 ... 0) atunci toate liniile de subaceasta sunt nule, deci: = (0 0 ... 0) pentru orice ;
- daca primul element nenul de pe o linie: este atunci elementelede pe coloanele precedente inclusiv
; (i.e.
;1
;2
;) aate sub linia
sunt nule (i.e. = 0 pentru orice si ) se numestematricescara pe linii; elementul se numeste pivot .
Matricea (2) este o matrice scara pe linii; de asemenea matricele2664
2 1 1 30 0 2 50 0 0 110 0 0 0
3775
2664
1 2 3 4 50 0 3 5 70 0 0 0 110 0 0 0 0
3775
2664
1 2 0 0 8 90 2 0 4 0 60 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
3775
sunt matrice scara pe linii, iar matricele2
6642 1 1 31 13 2 50 0 3 0
0 0 0 11
3
775
2
6641 2 3 4 50 0 3 5 70 0 0 0 11
0 0 0 0 1
3
775
2
6641 2 0 0 8 90 2 0 4 0 60 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
3
775nu au forma scara.
10. Transformari elementare. Fie sistemul liniar de m ecuatii cu n ne-cunoscute (1) cu multimea solutiilor; notam ecuatia a i-a cu ,adica:
8
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
9/21
: 11 + 22 + + =
Unsistem echivalentcu sistemul(1) este un sistem liniar de m ecuatiicu n necunoscute pentru care multimea solutiilor este tot.
Urmatoarele transformari elementare :
- interschimbarea a doua ecuatii: $ ;
- multiplicarea unei ecuatii cu un element nenul 2 : ! ;
multiplicarea unei ecuatii cu un element 2 si adunarea rezultatuluila alta ecuatie: + ! conduc la un sistem echivalent.
Lor le corespund transformarile elementare efectuate asupra matricei
= () 2 () pe linii:- interschimbarea a doua linii: : $ :; o numimtransformare
de tip 1;
- multiplicarea unei linii cu un element nenul 2 : : !:transformare de tip 2;
- multiplicarea unei linii cu un element 2 si adunarea rezultatuluila alta linie: : + : ! : transformare de tip 3.
Metoda lui Gauss: aplicand succesiv transformari elementare asupramatricei extinse a sistemului(1) pana la forma scara, obtinem multimeasolutiilorS.
Metoda Gauss-Jordan presupune in plus fata de metoda Gauss:
transformarea ecarui pivot in1;
anularea succesiva a tuturor elementelor de pe coloana pivotului.
Matricea astfel obtinuta se numestematrice scara redusa.
Exemplul. 1. Sa se rezolve sistemul:
31+42 + 3 + 24 = 3
61+82 + 23 + 54 = 7
91+122 + 33 + 104 = 13
prin metoda Gauss.Rezolvare. Atasam sistemului matricea sa extinsa
=
0@ 3 4 1 26 8 2 5
9 12 3 10
37
13
1A
9
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
10/21
si efectuam transformari elementare pe linii pentru a obtine o forma scara.
Pentru a forma zerouri pe prima coloana alegem pivotul
11 = 3 si efec-tuam transformarile 21 + 2 ! 2 si 31 + 3 ! 3; obtinem:
0@ 3 4 1 20 0 0 1
0 0 0 4
31
4
1A ;
din ultimile doua linii rezulta ca 4 = 1 iar din prima linie obtinem 3 =1 3142 Deci sistemul nostru este compatibil (dublu) nedeterminat,iar multimea solutiilor sale este:
S= f( 1 3 4 1) j 2 g
Daca luam corpul claselor de resturi modulo 2 atunci avem patru solutii:
S= f(0 0 1 1) (1 0 0 1) (0 1 1 1) (1 1 0 1)g
Exemplul. 2. Sa se rezolve sistemul:
81+ 62+ 53+ 24 =31+ 32+ 23+ 4 =41+ 22+ 33+ 4 =31+ 52+ 3+ 4 =71+ 42+ 53+ 24 =
21108
1518
prin metoda Gauss-Jordan.
Rezolvare. Atasam sistemului matricea sa extinsa:
=
0BBBB@8 6 5 2
3 3 2 14 2 3 13 5 1 17 4 5 2
21
108
1518
1CCCCAsi efectuam transformari elementare pe linii pentru a obtine o forma scararedusa. Pentru a obtine pivotul 1 pe prima linie putem sa inmultim liniaa 5-a cu (1) si sa adunam rezultatul la prima linie, adica sa efectuamtransformarea elementara: 7 + 1 ! 1 :
0BBBB@
1 2 0 03 3 2 14 2 3 13 5 1 17 4 5 2
348
1518
1CCCCA
ceea ce permite crearea de zerouri sub pivotul 1 al primei linii:
31 + 2 ! 2 41 + 3 ! 3 2 + 4 ! 4 71 + 5 ! 5
adica obtinem matricea echivalenta:
10
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
11/21
0BBBB@1 2 0 00 3 2 10 6 3 10 2 1 00 10 5 2
3545
3
1CCCCA
Asemanator procedam cu celelalte coloane: pe coloana a II-a formam unpivot 1 si zerouri in rest, etc. De exemplu:
0BBBB@
1 2 0 00 3 2 10 6 3 10 2 1 00 10 5 2
31
45
3
1CCCCA
4+1!124+2!2
^54+5! 520
2+4!4
34+3! 3
0BBBB@
1 0 1 0
0 1 0 10 0 0 10 0 1 20 0 0 2
2
1111
1722
1CCCCA ^4+1! 1
234$3
+5! 5
0BBBB@
1 0 0 2
0 1 0 10 0 1 20 0 0 10 0 0 0
19
1117110
1CCCCA
^2L4+L1 !L1
-L4+L2 !L2
-2L4+L3 !L3
0BBBB@
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
30
5110
1CCCCA
deci multimea solutiilor este formata dintr-un singur element (sistem com-
patibil determinat):S= f(3 0 1 5 11)g
Proprietati induse de transformari elementare. Fie o matrice, o forma scara a sa, iar 0 forma scara redusa. Atunci:
() = () = numarul de pivoti din;
forma scaranu este, in general, unica, in schimb forma scara redusa0 este unica;
daca este matrice patratica, este matricea unitate de acelasi tipsi efectuam transformari elementare asupra matricei ( j) pana la forma(0 j0) atunci:
daca0 = rezulta ca0
= 1
, iar daca0 6= rezulta ca matricea este singulara.
daca este matrice patratica nesingulara, putem calcula produsul1 efectuand transformari elementare asupra matricei ( j) pana laforma (j) ; astfel = 1;
11
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
12/21
transformarile elementare asupra matricei se exprima matriceal
cu ajutorulmatricelor elementare de tip 1, 2 si 3
(
()
(
),respectiv () inversabile, denite mai jos) astfel:
pentru transformarea de tip 1: : $ : noua matrice este produsul() unde () este matricea transpozitiei ( ) ==
1 2 ... 1 2 ...
;
desigur 1() = () deci inversa unei transformari de tip 1 este o trans-
formare de tip 1 ;
pentru transformarea de tip 2: : ! noua matrice este produsul() unde cu () am notat matricea unitate avand intrarea ( )modicata in (in loc de1); cum (())1 =(1), urmeaza ca inversaunei transformari de tip 2 este o transformare de tip 2;
pentru transformarea de tip 3: : + : ! : noua matrice esteprodusul () unde cu () am notat matricea unitate avand in-trarea ( ) modicata in (in loc de 0); deoarece (())1 = ()rezulta ca inversa unei transformari de tip 3 este o transformare de tip 3
5. Descompunerea a unei matrici patratice. Spunem ca matriceanesingulara
= ( ) 2 M()
admite factorizare (descompunere) daca exista doua matrice 2 M() astfel ca
=
ind o matrice inferior triunghiulara diagonal unitara, iar o matricesuperior trunghiulara, i.e. respectiv sunt de forma:
=
266664
1 0 0 021 1 0 031 32 0 0
1 2 1 1
377775, =
2664
11 12 10 22 2
0 0 0
3775.
Proprietati. Fie o matrice patratica nesingulara de tip .
Daca poate transformata intr-o matrice scarafolosind doarmatrice elementare de tip 3, de forma() cu atunci admitedescompunere De fapt daca
= 11 ,atunci
= 11 1 iar =
Matricea = () admite descompuneredaca si numai dacaminorii principali1 2 sunt nenuli, unde:
12
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
13/21
1 = j11j 2 = 11 1221 22 ... , = det() =
11 12 121 22 2
1 2
Exista doua permutari 2 astfel incat matricea saadmita descompunere; in acest caz =
Exemplu. Sa se descompuna in produs matricea: =
0BB@
2 1 0 13 1 1 10 4 2 35 2 3 0
1CCA
Rezolvare. Incercam sa aplicam doar transformari elementare de tip 3asupra matricei pana la forma scara . Formam zerouri pe primacoloana folosind ca pivot elementul 11 = 2; aceasta inseamna de faptca inmultim, la stanga, matricea succesiv cu matricele elementare:12(
32 ) 12(
52 ) apoi formam zerouri pe a doua coloana folosind ca
pivot elementul 22 = 12 adica inmultim la stanga cu matricele ele-
menare 23(8) si 24(1) si, in sfarsit, cu 34(23 ); obtinem:
=
0BB@
2 1 0 13 1 1 10 4 2 35 2 3 0
1CCA
0BBB@
2 1 0 1
0 - 12 152
0 4 2 30 12 3
52
1CCCA
0BB@
2 1 0 1
0 12 1 520 0 -6 230 0 4 0
1CCA 0BB@
2 1 0 10 12 1
52
0 0 6 230 0 0 463
1CCA =
Deci am obtinut
= 34(23 )24(1)23(8)12(
52 )12(
32 )
sau, echivalent (aplicand formula (())1 = ()),
= (34(23 )24(1)23(8)12(
52 )12(
32 ))
1=
=12(32 )12(
52 )23(8)24(1)34(
23 )
Luand
= 12(32 )12(
52 )23(8)24(1)34(
23 ) =
0BB@1 0 0 0
32 1 0 00 8 1 52 1
23 1
1CCArezulta descompunerea
13
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
14/21
= = 0BB@1 0 0 03
21 0 0
0 8 1 52 1
23 1
1CCA0BB@2 1 0 10 1
2
1 5
20 0 6 230 0 0 463
1CCA
1.2 PROBLEME
1. Concatenati urmatoarele matrice:
(a) 12 10 2
2 10 2,
(b)
12 1 2 10 2 0 2
2 20 1
1
13
,
(c)
0@11
1
1A
0@1 00 1
1 13
1A
0@ 0 0 81 8 1
8 0 0
1A.
Raspunsuri. a.
12 1 2 10 2 0 2
;
b.
12 1 2 1 2 2 10 2 0 2 0 1 13
;c.
0
@1 1 0 0 0 81 0 1 1 8 11 1 13 8 0 0
1
A
2. Fie =
1 2 3 42 3 1 4
si =
1 2 3 41 3 4 2
2 4
(a) Sa se calculeze 1,111 11,()1si ()1
(b) Sa se calculeze numarul inversiunilor () , () , precum si sig-natura permutarilor date.
(c) Sa se determine matricele permutarilor de la punctul a. si determi-nantii acestora.
(d) Sa se calculeze inversele matricelor de la punctul precedent.
(e) Fie =
0BB@1 1 22 1 23 0 12 2 1
1CCA
i. Sa se calculeze produsele 2 si 1
14
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
15/21
ii. Sa se determine toate produsele posibile dintre matricele
determinate la punctulc
si matricea
3. Sa se arate ca
0BB@
5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7
1CCA0BB@
2 2 2 21 5 3 1116 24 8 88 16 0 16
1CCA =
0BB@
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
1CCA
4. Fie () = 3 72 + 13 5 si =
0@5 2 31 3 1
2 2 1
1A Sa se arate ca
() = 0@0 0 00 0 00 0 0
1A
5. Aratati ca:
(a)
0@2 7 33 9 4
1 5 3
1A1
= 13
0@7 6 15 3 1
6 3 3
1A
(b)
0BB@
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1CCA
1
= 14
0BB@
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1CCA
(c)
0BB@
1 1 10 1 1
0 0 1
1CCA1
=
0BBBB@
1 1 0 00 1 1 00 0 1 0
0 0 0 0 1
1CCCCA in M(R)
(d)
0BBBBBB@
1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 10 0 1 2 3 2
0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 1
1CCCCCCA
1
=
=
0BBBBBB@
1 2 1 0 0 00 1 2 1 0 00 0 1 2 0 0
0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 1
1CCCCCCA
15
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
16/21
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
17/21
10. Sa se determine o matrice scara si matricea scara redusa pentru urma-
toarele matrice si sa se precizeze rangul lor:
(a)
0@11 4 3 010 1 2 9
9 2 4 13
1A,
(b)
0BB@
5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7
1CCA,
(c)
0BB@
0 1 9 0 30 1 3 11 20 1 0 13 1
0 1 1 2 0
1CCA
,
(d)
0BBBB@
0 0 0 1 1 1 10 4 4 4 4 4 40 2 3 3 3 3 331 3 2 1 0 1 2
1 2 2 2 2 2 2
1CCCCA.
Raspunsuri. a.
0@1 0 0
53287
0 1 0 7432870 0 1 1185287
1A, 3;
b.
0BB@
1 0 1414
0 1 3878
0 0 0 00 0 0 0
1CCA 2; c.
0BB@
0 1 0 0 00 0 1 0 0
0 0 0 1 00 0 0 0 1
1CCA 4;
d.
0BBBB@
1 0 0 0 0 0 1200 1 0 0 0 0 300 0 1 0 0 0 300 0 0 1 0 1 1520 0 0 0 1 0 151
1CCCCA 5
11. Fie matricea =
0
@2 0 22 2 00 2 2
1
A Sa se calculeze:
(a) 1 si 11 unde =
0@ 2 1 23 0 1
1 2 1
1A.
(b) Sa se calculeze produsele (13) (13)(1) si 2( 12 )(23)(
12 )
(unde cu diversi indici desemneaza matrice elementare)
17
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
18/21
(c) Sa se rezolve sistemul = unde = 0@112 1A
12. Sa se rezolve prin metoda Gauss in R sistemele liniare ale caror matriceextinse sunt:
(a)
0@9 3 5 6 46 2 3 1 5
3 1 3 14 8
1A ;
(b)
0BBBB@
3 2 2 2 22 3 2 5 39 1 4 5 12 2 3 4 5
7 1 6 1 7
1CCCCA
;
(c)
0BB@
1 1 3 2 3 12 2 4 1 3 22 2 8 3 9 13 3 5 2 3 1
1CCA
Raspuns.S=
2 2713 +9
13 1 +3
13 1
13
j 2
S=n
6+87
1137
1567 j2
o S= ;
14*. Sa se descrie in pseudocod algoritmii de rezolvare a unui sistem liniar prinmetoda Gauss, respectiv prin metoda Gauss-Jordan.
13. Fie =
astfel incat 6= 0 Sa se arate ca urmatoarele armatii
sunt echivalente:
(a) exista 6= 0 astfel incat :1 = :2;
(b) exista 6= 0 astfel incat 1: = 2:
16*. Sa se arate ca un sistem liniar cu coecienti reali nu poate sa aiba exactdoua solutii.
17*. Sa se dea un exemplu de sistem liniar care admite exact doua solutii.
18
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
19/21
14. Sa se descompuna in produs matricele:
(a)
0@ 2 2 31 1 0
1 2 1
1A
(b)
0BB@
1 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0
1CCA
(c)
0@ 2 3 54 0 1
1 2 3
1A =
0@1 0 00 1 0
0 0 1
1A0@ 1 0 02 1 0
12 7
12 1
1A0@2 3 50 6 11
0 0 8312
1A
(d) 0@1 2 3
2 3 13 1 2
1A
Raspunsuri. a.
0@ 1 0 01
2 1 0 12
32 1
1A0@2 2 30 2 32
0 0 14
1A
b.
0BB@
1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1
1CCA0BB@
1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA ;
c.0@1 0 02 1 0
12 7
12 11A0@
2 3 50 6 110 0 8312
1A ;
d.
0@1 0 02 1 0
3 5 1
1A0@1 2 30 1 5
0 0 18
1A
15. Sa se descompuna in produs unde este matricea unei permutari,urmatoarele matrice:
(a)
0@7 6 15 3 1
6 3 3
1A ;
(b)0@5 2 31 3 1
2 2 1
1A ;
(c)
0@ 2 0 22 2 0
0 2 2
1A ;
19
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
20/21
(d) 0BB@5 2 2 36 4 3 59 2 3 47 6 4 7
1CCA ;
e.*
0BB@
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1CCA ;
f*.
0BBBB@
3 2 2 2 22 3 2 5 39 1 4 5 12 2 3 4 57 1 6 1 7
1CCCCA
Raspunsuri.a.
0@1 0 00 1 0
0 0 1
1A0@1 0 01
5 1 025
613 1
1A0@5 2 30 135 25
0 0 513
1A;
b.
0@1 0 00 1 0
0 0 1
1A0@1 0 01
5 1 025
613 1
1A0@5 2 30 135 25
0 0 513
1A;
c.
0@ 1 0 00 1 0
0 0 1
1A0@ 1 0 01 1 0
0 1 1
1A0@ 2 0 20 2 2
0 0 4
1A;
d.0BB@1 0 0 0
0 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1CCA0BB@1 0 0 06
5 1 0 095 1 1 075 2 0 1
1CCA0BB@5 2 2 3
0
8
5
3
5
7
50 0 0 00 0 0 0
1CCA;
e.
0BB@
1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1
1CCA0BB@
1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 1 1
1CCA0BB@
1 1 1 10 2 0 20 0 2 20 0 0 4
1CCA;
f.
0BBBB@
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 1
1CCCCA
0BBBB@
1 0 0 0 023 1 0 0 023
25 1 0 0
3 3 0 1 073
115 2 0 1
1CCCCA
0BBBB@
3 2 2 2 20 53
23
113
53
0 0 7565 3
0 0 0 0 00 0 0 0 0
1CCCCA
(matricea
nu este invesabila!).
20*. Fie 2 ( ) astfel incat sa existe 2 1( ) , nenula, pentrucare = 0 si = Daca este matricea obtinuta prin inlocuireacoloanei : cu coloana : sa se arate ca ( 1) + ( 2) + + () = 0
20
-
8/7/2019 algebra_liniara.matrice.sisteme liniare
21/21
(Concurs "Traian Lalescu", 2009, nala)
21