Results in Mathematics Vol. 24 (1993)

0378-6218/93/040288-10$1.50+0.20/0 (c) 1993 Birkhauser Verlag, Basel

Algebraische U nabhangigkeit der Werte gewisser Liickenreihen in nicht-archimedisch bewerteten Korpern

RalfMULLER

Abstract: In 1844 Liouville proved the transcendence of 0' = Eh>l lO-h! over <Q. The number 0' can be considered

as the value ofthe gap power series A( x) = Eh>l xh' at the point fa-'-Since then, the above result has been generalized in this direction by different authors by applying improved "Liouville-estimates". For instance, in 1973 Cijsouw and Tijdeman [2] showed that a gap series with algebraic coefficients takes on transcendental values (over <Q) at non-zero algebraic points under some conditions on the growth of the coefficients and the gaps. In 1988 Bundschuh [1] resp. Zhu [9] proved the algebraic independence (over <Q) of the values of several gap series at different algebraic points. In particular this result includes the algebraic independence of A(O',) , ... , A(O',) for non-zero algebraic numbers 0'1, ... ,0', of distinct absolute values less than 1. Moreover in [1] a set of continuum-many algebraically independent numbers was constructed. In 1978 Geijsel [4] obtained a result analogous to that of Cijsouw and Tijdeman underlying a non-archimedian valued function field over a finite field, and in 1983 Sieburg [7] was concerned with the algebraic independence of "Liouville­series" in non-archimedian valued fields of characteristic zero. In this paper some of the results of [1] resp. [9] will be transfered to the situation of some non-archimedian valued fields. If the characteristic of the field is prime, we have to require stronger conditions as in the "classical case". An example shows that in this case the numbers A(O'l), ... , A(O',) need not to be algebraically independent. But a set of continuum-many algebraically independent numbers still exists. In characteristic zero, results of the same kind will be obtained like in the "classical case". Keywords: algebraic independence, gap power series, non-archimedian valuation Math. Subject Classification: 11 J 81

1 Einige Bezeichnungen

Sei k ein Korper versehen mit einer nichttrivialen, nicht-archimedischen Bewertung I I : k -t JR., d.h. fUr alle a, b E k gilt

lal ~ 0 sowie lal = 0 ¢> a = 0 ,

la . bl = lal . Ibl und la + bl ::; max {Ial, Ibl}·

1m Fallial f:: Ibl ist dann sogar la + bl = max {Ial, Ibl} erfiillt. Es sei zusatzlich R c k ein Hauptidealring, so daB k Quotientenkorper von R ist und ferner lal ~ 1 fUr aile a E R \ {O} gilt. Ais Beispiel laBt sich etwa wie in [7] fUr Rein Polynomring F[t] iiber einem beliebigen Korper F versehen mit der Bewertung If I = exp( deg f) fUr f E F[t] \ {O} wahlen, wobei deg f den Grad des Polynoms f bedeuten solI. Dann ergibt sich k zu F(t). 1m Vergleich mit der "klassischen Situation" entspricht R den ganzrationalen und k den rationalen Zahlen.

Die Bewertung I I induziert auf k eine Topologie, beziiglich derer k La. nicht vollstandig ist. Ferner ist k La. auch nicht algebraisch abgeschlossen. Durch sukzessives Vervoilstandigen, alge­braisches Abschliefien und erneutes Vervoilstandigen gelangt man aber bis auf Isomorphie eindeutig zu einem voilstandigen, algebraisch abgeschlossenen Oberkorper K von k und kann die Bewertung von k auf K fortsetzen. Sie sei im folgenden wieder mit I I bezeichnet.

MUller 289

Fiir iiber k algebraisches a E K (der Zusatz "iiber k" wird im folgenden stets weggelassen) heifit das eindeutig bestimmmte irreduzible Polynom fOt E k[x] \ {O} mit fiihrendem Koeffizienten 1, wel­ches a als Nullstelle besitzt, das Minimalpolynom von a. Zu a existiert dann auch ein irreduzibles Polynom 9 E R[x] \ {O} mit teilerfremden Koeffizienten und g(a) = O. gist bis auf Multiplika­tion mit Einheiten von R eindeutig bestimmt und sei als ein ganzzahliges Minimalpolynom von a bezeichnet. Ein algebraisches a E K nennt man ganzalgebraisch, falls das Minimalpolynom fOt von a bereits in R[x]liegt. Zu jedem algebraischen a E K existiert ein D E R \ {O}, so dafi Da ganzalgebraisch ist. D heifit ein Nenner von a. Fiir ein beliebiges Polynom P E K[xI, ... , x.]\ {O} sei die Rohe von P das Maximum der Bewertun­gen der Koeffizienten von P und werde mit H(P) abgekiirzt. Fiir algebraisches a E K bezeichne H(a) bzw. deg(a) die Hohe bzw. den Grad von a, d.h. Hohe und Grad von einem zugehOrigen ganzzahligen Minimalpolynom, und es sei s(a) = deg(a)+logH(a) gesetzt. Schliefilich sei jaj eine Bezeichnung fiir das Haus von a, d.h. das Maximum der Bewertungen der Konjugierten von a.

2 Ergebnisse

Fiir Jl- E {I, ... , m} sei f" (x) = ~;:o a" h xh eine Potenzreihe mit algebraischen Koeffizienten allh E K und positivem Konvergenzradius Rw Die Potenzreihen mogen den Liickenbedingungen

allh = 0 fiir vrn) < h < A~n+1) , n E IN geniigen. Fiir jedes J1, seien dabei (A~n))n=1,2, ... und

(vrn))n=1,2,oo. zwei Folgen nichtnegativer ganzer Zahlen, die A~n) ::; vrn) < A~n+1) fiir n E IN sowie

A~l) = 0 erfiillen. Dann erhiilt man mit der Festsetzung

00

gerade fll(x) = L p~n)(x) , 1::;J1,::; m. (2.1) n=l

Setze d(n) = [k(alo,oo.,a1 (n),oo.,amo,oo.,a (n»): k], A(n) = max{1,lalol, ... ,~}, und 111 mLlm m£lm

n(n) E R \ {O} bezeichne einen gemeinsamen Nenner fiir al 0, ... , a (n). mVrn

Fiir jedes J1, E {I, ... , m} seien weiterhin alli E K , 1 ::; i ::; til je endlich viele verschiedene, nichtverschwindende algebraische Zahlen mit 0 < lallil < Rw

Satz 1 Es gelte zusiitzlich bei n --t 00

(max{vrn) 11::; J1, ::; m} + 10g(A(n)ID(n)n) d(n) = o(minp~n+1) 11::; J1, ::; m}). (2.2)

Im Fall endlicher Korpercharakteristik moge weiterhin fii.r jedes u E IN und im Fall verschwindender Charakteristik lediglich fii.r den Fall u = 1 die folgende Bedingung erfUllt sein: Fur jedes u und fur jede nichtleere Teilmenge T von S = {(J1" i) I 1 ::; J1, ::; m,1 ::; i ::; til} mogen eine unendliche Teilmenge N von IN und ein (J1,0, io) E T existieren, so daft fur aIle n E N und (J1" i) E T gilt p~n) (alli) =f. 0 sowie

L IP~n)( alli)1 = 0 (IP~~)( allo io)l") (ll,i)ET\{(IlO,io)}

(n E N,n --t 00). (2.3)

Dann ist die Menge UIl(alli) I (J1"i) E S} algebraisch unabhiingig.

Dieser Satz stellt im wesentlichen ein Analogon zum Hauptergebnis von Zhu [9] im "klassischen Fall" dar. Betrachtet man speziell den Fall m = 1, tl = 1 und unterdriickt die Indizierung nach J1" so kann man analog zu [9], Th. 3.1 das folgende Resultat ableiten:

290 MUller

Korollar 1 Es sei wie zu Beginn des Abschnittes eine Potenzreihe mit algebraischen KoeJfizienten und Konvergenzradius R > 0 gegeben durch

00

f(x) = L p(n)(x) n=l

lI(n)

, p(n)(x) = L ah xh, h=>.(n)

die der Bedingung (v(n) + log(A(n)ID(n)l))d(n) = o(,x(n+1») bei n E 1N, n ..... 00 genugt. Dann ist fur algebraisches a E K mit 0 < lal < R der Wert f( a) transzendent genau dann, wenn p(n)(a) # 0 fur unendlich viele n E 1N gilt.

Dieses Ergebnis beinhaltet das bereits oben erwii.hnte Resultat von Geijsel [4], Th. 9.7 sowie eine Ubertragung von Mahlers Ergebnis [5], Th. 1. Ein zum Ergebnis von Zhu iihnliches Resultat erzielte Bundschuh [1], Th. 1. Satz 1 liefert auch dazu ein Analogon:

Satz 2 Es gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen wie zu Beginn des Abschnittes und fur aile n E 1N und p, E {I, ... , m} zusiitzlich ,x~n) = v~n) sowie a >.(n) # 0, d.h. in (2.1) gilt pSn) (x) =

I-' " a >.(n) x>.~n) # O. Die Konvergenzradien RI-' der dadurch gegebenen Potenzreihen seien endlich. Bei

I-' " n E 1N, n ..... 00 sei femer

erfullt. 1m Fall char k # 0 gelte weiterhin tl-' = 1 fur 1 :::; p, :::; m, und bei char k = 0 seien fur jedes p, die Werte lal-'ll, ... , I a I-' t" I siimtlich verschieden. Dann ist die Menge UI-'( al-'i) I 1 :::; p, :::; m,1 :::; i :::; tl-'} algebraisch unabhiingig.

Bemerkung: Die Bedingung tl-' = 1 in Satz 2 besagt, dafi jede Funktion fl-' lediglich an einer Stelle betrachtet wird. Die Notwendigkeit, im Fall der Primzahlcharakteristik des Korpers bei Satz 1 bzw. Satz 2 stiirkere Voraussetzungen als im Fall char k = 0 bzw. im "klassischen Fall" zu fordern, wird beim Beweis eines Kriteriums fiir algebraische Unabhangigkeit (vgl. Abschnitt 3) deutlich, welches das wesentliche Hilfsmittel im Beweis von Satz 1 darstellt. Das dort angegebene Beispiel zeigt, dafi auf diese Voraussetzungen i.a. nicht verzichtet werden kann.

Aus Satz 2 liifit sich bei beliebiger Korpercharakteristik unmittelbar eine kontinuumsmachtige Menge algebraisch unabhiingiger Zahlen konstruieren, indem man fiir T E JR, 0 :::; T < 1 die Potenzreihen fr(x) = l:n~l x[nn+Tj betrachtet (vgl. [1], Cor. 1).

Korollar 2 Sei a E K algebraisch mit 0 < lal < 1. Dann ist die Menge

algebraisch unabhiingig.

MUller 291

3 Hilfsmittel

Lemma 1 Fur die Grade bzw. Hohen zweier Polynome f,g E K[x] \ {O} gilt

deg(J . g) = deg(J) + deg(g) sowie H(J . g) = H(J)· H(g). (3.1)

Sei ferner f(x) = a ITt=1 (x - a(l»), a, a(l), ... , aid) E K die Zerlegung von f in Linearfaktoren. Dann gilt

d

H(J) = lal n max{1, la(l)I}· (3.2) 1=1

Beweis: Die erste Gleichung von (3.1) ist trivial, zur zweiten Gleichung vergleiche etwa [4], L. 9.5, wo der Beweis fiir den Fall k = F(t) gefiihrt ist. (3.2) folgt unmittelbar aus dem zweiten Teil von (3.1).

LeDlDla 2 Sei a E K algebraisch und g(x) = a ITf=l (x - a(l»), a E R, ein zugehoriges ganzzahliges Minimalpolynom, wobei a(1), ... , aid) E K die (nicht notwendig verschiedenen) Konjugierten von a sind. Fur jede nichtleere Teilmenge T von {I, ... ,d} ist dann a ITleT a(l) eine ganzalgebraische Zahl.

Beweis: Der Beweis verHiuft wie im Fall der komplexen Zahlen, der in [6], Hilfssatz 17 dargestellt ist.

Lemma 3 Sei a E K \ {O} algebraisch und D E Rein Nenner fur a. Dann gilt

H( a) ~ (IDI max{1, jai} )deg(<» sowie

Beweis: Der Beweis des ersten Teils geschieht analog zu den Ausfiihrungen in [4], 1. 9.3. Die zweite Ungleichung kann aus [7], S. 19 bzw. [8], S. 6 iibertragen werden.

Als Verscharfung der zweiten Aussage von Lemma 3 erhalt man als Analogon zu dem Ergebnis von Fel'dman (3), 1. 2 im "klassischen Fall":

Lemma 4 ("Liouville-Abschiitzung") Seien a1> •.• ,a. E J( algebraisch und setze d = [k( a1, . .. , a.) : k]. Sei ferner P E R[ xl. ... , x s] ein Polynom mit ganzen Koeffizienten,

N, N,

P(X1,"" xs ) = L '" L Pk" ... ,k,X~' ... x~'. k,=O k,=O

Dann gilt P( a1, ... , a.) = 0 oder

• IP(aI. ... ,as )l2: H(p)l-d n H(a"fael"")N,,.

,,=1

292 MUller

Beweis: Sei P(ot, ... ,o.) ~ 0, L = k(ot, ... ,o.), und es bezeichne weiterhin dsep = [L :k]sep den separablen sowie din = [L : khn den inseparablen Faktor von [L : k]. Ferner sei L c K ein Erweiterungskorper von L, der normal iiber kist. Dann existieren genau dsep verschiedene k­Monomorphismen 'Pj : L --+ L, und die Norm einer Zahl a E L beziiglich der Korpererweiterung Llk ist

(d ) din .ep

N(o) = }] 'Pj(O) .

'PI moge dabei die Inklusionsabbildung L '--> L sein. Damit gilt fiir die Norm von P( Ot, ... a.):

(3.3)

Bezeichnet man fiir (f E {I, ... , s} mit 0~1), ... , o~d) die Zahlen 'PI ( au), ... , 'Pd.ep ( au ), jede jeweils

din-fach wiederholt, so besteht 0~1), ... , o~d) aus dl deg( au) Satzen von (nicht notwendig verschie­denen) Konjugierten von au, d.h. von den Nullstellen des zu au gehorigen Minimalpolynoms mit Vielfachheiten gezahlt. Es gilt also

d Nl N. • k

N = II L ... L Pkl •...• k. II (o~)) u.

1=1 kl =0 k.=O u=1

1st ferner au E R jeweils der fiihrende Koeffizient eines ganzzahligen Minimalpolynoms von au, so stellt D = rr~=1 a:ud/deg(Olu) wegen Lemma 2 einen Nenner fiir N dar, und DN liegt wegen N, aI, ... , a. E k \ {O} in R \ {O}. Somit folgt

• d INI2: II laul-de,(Qu)Nu. (3.4) u=1

Andererseits ergibt sich fiir I E {I, ... , d}

und damit

(3.5)

Wegen (3.2) gilt fiir (f E {I, ... , s}, wenn man 0~1), ... , o~d) wieder in dl deg( au) Satze von Konju­gierten von au aufteilt,

d

II max { 1, 10~)1 (u = (H( au )/laul)de,(Qu)Nu . (3.6) 1=1

Aus (3.3) - (3.6) folgt dann wegen der Annahme iiber 'PI

IP(ot, ... ,o.)ldin 2: d. N 2: H(p)(I-d.ep )din iI H(Ou)-de,(Qu)Nu rrj;~ IP('Pj(OI),"" 'Pj(o.))ldin u=1

und daraus wegen dsep ~ d die Behauptung.

Aus Lemma 4 erhru.t man Iiir den Fall s = 2, P( xl, X2) = Xl - X2 unmittelbar:

MUller 293

Korollar 3 Seien Il, {3 E J( zwei verschiedene algebraische Zahlen. Dann gilt

Aus diesem Resultat kann man analog zu [1], S. 851 ableiten das

Korollar 4 (Kriterium filr Transzendenz) Sei {3 E K, N eine unendliche Teilfolge von 1N und (gn )nEN eine Folge reeller Zahlen mit limn _ oo gn = 00. Es existiere ferner eine Folge ({3n )nEN algebraischer Zahlen aus K, so daft filr aile n E N gilt

(3.7)

Dann ist {3 transzendent.

Beweis: Es sei {3 als algebraisch angenommen. Dann folgt aus Koroilar 3 fiir aile n E N mit einer von n unabhangigen Konstanten CI E lR+

was einen Widerspruch zu (3.7) und der Bedingung an die Folge (gn)nEN bedeutet.

Als Verallgemeinerung dieses Ergebnisses ergibt sich (vgl. [1], S. 850):

Satz 3 (Kriter.ium filr algebraische Unabhiingigkeit) Seien {31, •.• , {3. E K und im Fall char k -I- 0 filr jedes u E 1N bzw. im Fall char k = 0 lediglich filr u = 1 die folgenden Voraussetzungen erfilllt: Filr jedes u und jedes T E {I, ... , s} mogen eine unendliche Teilfolge N von 1N und T Folgen

({3",n)nEN' 1 ::; (J ::; T algebraischer Zahlen aus K sowie eine Folge (gn)nEN reeller Zahlen mit limn ..... oo gn = 00 existieren, so daft filr jedes n E N gilt

(3.8)

Dann sind {3I, ... , {3. algebraisch unabhiingig.

Beweis: Der Beweis wird wie im "klassischen Fail" durch Induktion nach T gefiihrt. 1m Fall T = 1 sind fiir {3I gerade die Bedingungen von Korollar 4 erfiiilt, und somit ist {3I transzen­dent.

Sei nun T E {2, ... , s} und {3IJ .•. , {3or-I als algebraisch unabhiingig angenommen. Falls {3IJ ... ,{3or algebraisch abhiingig sind, so existiert ein Polynom Q E R[XI,""X or ] \ {O} mit mi­nimalem Gesamtgrad und Q({3lJ ... , {3or) = O. Dann liifit sich Q darstellen als

NI N.,. or NI N.,. or

Q(Xl,""X or ) = L '" L q/SI," " /S'" n x~" = L'" L CVI, •• • ,v.,. n(x" -{3"t"· (3.9)

Dabei ist

mit (3.10)

294 MUller

(3.11)

wobei (~;) die iiblichen Binomialkoeffizienten bezeichnen. Wegen Q(f3}, ... , f3,.) = 0 gilt dabei co, ... ,o = 0, und aIle anderen CV1, ••• ,Vr sind der Wert eines Polynoms mit Koeffizienten aus R vom Gesamtgrad kleiner als der Gesamtgrad von Q an der Stelle (f31, ... ,f3,.).

Da f31, ... , f3,.-1 nach Induktionsannahme algebraisch unabhiingig sind, kann Q nicht un­abhiingig von x,. sein, d.h. man hat N,. ~ 1. Es folgt

Sei nun u E 1N minimal mit der Eigenschaft

.6." ~Q(XI, ... ,X,.):j; o. ux~

Da Q von x,. abhiingt, erhiilt man u = 1, falls char k = 0 erfiillt ist. 1m Fall char k = p :j; 0 muB nicht notwendig u = 1 gelten, da die Binomialkoeffizienten in (3.11) Null werden k5nnen (betrachte z.B. Q(x) = xP ).

Wegen (3.10) und der Minimalitiitsbedingung an Q gilt nun co, ... ,o,,, :f 0 sowie co, ... ,O,r = 0 fiir o ~ r < u. Man kann nun

(n -> oo,n EN) (3.12)

zeigen. Dazu schiitzt man auf der rechten Seite von (3.9) jeden Summanden einzeln abo 1m Fall einer Indexkombination 0, ... ,0, v,. mit v,. > u folgt 1f3,.,n - f3,.I Vr = 0 <lf3,.,n - f3,.I") wegen 1f3,.,n - f3,.1 = 0(1) aufgrund der rechten Ungleichung in (3.8). Betrachtet man eine Indexkombination VI, • •. ,V,. mit Vi :j; 0 fiir mindestens ein i E {I, ... , T - I}, so folgt IT;=I lf3u,n - f3ul Va = 0 (1f3,.,n - f3,.I") wegen der linken Seite von (3.8).

Fiir n E N geniigend groB gilt also Q(f31,n, ... , f3,.,n) :j; 0, und man erhiilt mit Hilfe von Lemma 4 mit einer von n unabhiingigen Konstanten C2 E lR+

(3.13)

wobei dn = [k(f3I,n, . .. , f3,.,n) : k] gesetzt ist.

Andererseits ergibt sich aufgrund von (3.12) und der rechten Ungleichung in (3.8) fiir n EN geniigend groB

was im Vergleich mit (3.13) und der Bedingung an (gn)neAf einen Widerspruch liefert. Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Kriterium bewiesen.

Die Notwendigkeit, im Fall char k = p :j; 0 die Voraussetzungen in Satz 3 La. fiir alle u E 1N zu verlangen, wird an folgendem Beispiel deutlich:

MUller 295

Betrachte die Potenzreihe A(x) = Eh>l xh! mit Konvergenzradius 1. Sei a E k mit 0 < lal < 1. Setze fiir festes r E 1N fiir alle n E 1N -

n n

(32 = A(a) , (31 = A(apr ) = (3f sowie (32,n = I>h! pr ~ pr.h!

(31,n = (32,n = ~ a . h=l h=l

Dann sind (31) (32 sicherlich algebraisch abhangig. Mit diesen Werten sind aber fiir alle u E {I, ... ,pT - I} bei geeigneter Wahl von (gn)nEN alle Voraussetzungen in Satz 3 erfiillt, wenn man noch N = 1N wahlt.

Es gilt namlich 1(32 - (32,nl = lal(n+1)! sowie 1(31 - (31,nl = lalpr.(n+1)!. Weiterhin liegt (3u,n fiir alle n E 1N, U E {I, 2} in k, und Lemma 3liefert H((32,n) ~ c~! bzw. H((31,n) ~ cf·n! mit einer von a abhangigen Konstanten C3 E IR mit C3 > 1. . Betrachte nun (3.8) fiir T = 1. Sei u E 1N beliebig. Es geniigt, wenn bei geeigneter Wahl von (gn)nEN fiir alle n E 1N

o < 1(31 - (31,nl u ~ 1(31 - (31,nl = exp(pT . (n + I)!log lal) ~ exp( -gn{1 + pT . n! log C3)) (3.14)

gilt. Fiir den Fall T = 2 liefert die linke Seite von (3.8) fiir u < pT, n E 1N die Bedingung

gnl a lpr .(n+1)! ~ lalu .(n+1)!. (3.15)

Die rechte Ungleichung in (3.8) lafit sich fiir T = 2 und beliebiges u E 1N fiir alle n E 1N erfiiilen, wenn die Folge (gn)nEN

geniigt. Es lafit sich also insgesamt fiir jedes u E {I, ... ,pT - I} eine Folge (gn)nE:N reeller Zahlen finden, die fiir alle n E 1N gleichzeitig (3.14), (3.15), (3.16) sowie die Bedingung limn -+oo gn = 00

erfiillt.

Das soeben angegebene Beispiel zeigt auch die Notwendigkeit, bei Satz 1 bzw. Satz 2 im Fall char k ~ 0 starkere Voraussetzungen zu fordern. Wahlt man namlich in Abschnitt 2 m = 1, II = A sowie t1 = 2 und a12 = a, all = apr, so sind mit diesen Vorgaben II (all) = (31 und lI(a12) = (32 algebraisch abhangig, wobei jedoch die Voraussetzungen (2.2) und (2.4) sowie fiir u E {I, ... ,pT - I} auch (2.3) erfiillt sind.

4 Beweis der Sitze 1 und 2

Beweis von Satz 1: Der Beweis erfolgt mit Hilfe des Kriteriums fiir algebraische Unabhangig-keit. Es bezeichne D E R einen gemeinsamen Nenner fiir al";' (IL, i) E S. Ferner sei A max{I, lal";1 I (IL, i) E S} sowie d = [k( {al"; I (IL, i) E S}) : k] und s = t1 + ... + t m ·

Es soil zunachst iiberlegt werden, dafi fiir alle geniigend grofien n E 1N und alle (IL, i) E S

111"(al";) - L PY)(al"dl = IPSn)(al"dl (4.1) I<n

gilt, falls pSn)(al"i) ~ 0 erfiiilt ist. Dazu geniigt wegen (2.1) fiir aile I > n und (IL, i) E S der Nachweis von

(4.2)

296 MUller

Wendet man Lemma 3 auf die Summe in der rechten Seite von

(n) ,\(n) V"

p(n)(a .) = a ~ "" J.L I·U JH ~

h=,\~n)

an, so erhalt man als untere Abschatzung

h_,\~n) al'h al'i

Wahlt man weiterhin fiir p, E {I, ... , m} die Zahlen PI" £1' E IR.+ derart, daB lal'il < PI' < PI' +£1' < RI' fiir i = 1, ... , tl' gilt, so existiert wegen der Cauchy-Hadamardschen Formel ein ho E IN, so daB fiir aile h ~ ho, p, E {I, ... , m} die Ungleichung lal'hl $ (PI' + £I'th erfiillt ist. Somit erhiilt man fiir aile (p" i) E S und I > ho

(4.3)

Es folgt fiir I > n > ho

und die rechte Seite strebt wegen (2.2) und ).~n) :::; v~n) gegen Null, wornit (4.2) gezeigt ist.

Nun wird Satz 3 angewandt: Es sei eine absteigende Folge von Teilmengen von S definiert durch Ss = S sowie fiir (1 E {l, ... ,s} durch S,,-1 = S" \ {(p,,,,i,,)}. Dabei solI (p,,,,i,,) E S" dem Paar (p,o, io) in (2.3) fiir den Fall T = S" entsprechen. Es ist die algebraische Unabhiingigkeit von {3" = fl'u(al'ui,J, (1 E {I, ... ,s} zu zeigen. Fiir n E IN

und (1 E {I, ... , s} bezeichne {3",n = L:l<n p~2( al'u iJ eine Partialsumme von {3". Sei nun T E {I, ... , s} beliebig, T = ST und je nach Korpercharakteristik u E IN beliebig bzw. u = 1 gewahlt. N sei die gemaB Satz 1 zugehOrige unendliche Teilfolge von IN. Dann ergibt sich wegen (4.1) und (2.3) fiir n E N geniigend graB bei n -+ 00

T-l

L 1{3" - {3",nl = L IP~n)(al'i)1 = 0 (IP~~)(aI'TiTW) = o (I{3T - {3T,nI U).

,,=1 (l',i)ET\{(I'T,iT)}

Somit existiert eine Folge (g~I») reeller Zahlen mit limn->oo g~l) = 00, die der linken Ungleichung nEJV

von (3.8) geniigt.

Andererseits gilt wegen (4.1) und (4.3) mit einer von n unabhangigen Konstanten C4 E IR.+

( 4.4)

bei n E N geniigend graB. Ferner folgt aus Lemma 3

und mit einer von n unabhangigen Konstanten C5 E IR.+ erhalt man

MUller 297

Unter Beachtung von (4.4) ist die rechte Ungleichung von (3.8) erfiillt, falls fUr n EN

c4A~:) ~ g~2)C5d(n-l) (max{v£n-l) I 1 ~ fL ~ m} + 10g(ID(n-I)IA(n-I»))

fUr eine geeignete Folge (g~2») mit limn ..... co g~2) = 00 gewahrt ist. Eine solche Wahl ist nach nEN

der Voraussetzung (2.2) auch moglich. Mit dem Ansatz gn = min {g~l), g~2)} ist eine Folge gefunden, fUr die dann beide Ungleichungen von (3.8) gelten, und Satz 3 liefert die Behauptung von Satz 1.

Beweis von Satz 2: Der Beweis wird mit Hilfe von Satz 1 gefUhrt. Aufgrund von (2.4) ist die Voraussetzung (2.2) von Satz 1 erfUllt. Es bleibt (2.3) zu zeigen. Dazu gelte im Fall char k = 0 o.B.d.A.O < lal'll < ... < lal't .. 1 < RI' fUr fL E {l, ... ,m}. Es sei je nach Korpercharakteristik u E lN beliebig bzw. u = 1 gewahlt. S sei wie in Satz 1 definiert, und T sei eine beliebige nichtleere Teilmenge von S. Wahle (fLo, io) E T maximal beziiglich der lexikographischen Ordnung auf T.

Betrachte nun (fL, i) E T mit fL = fLo und i < io. Diese Situation kann nur bei char k = 0 auftreten, und es ist nur der Fall u = 1 zu untersuchen. Aufgrund der Annahme lal'il < I a 1'0 io I erhli.lt man bei n E lN, n ..... 00

IP~n)(al'i)1 = 0 (IP~~)(al'oio)I).

Sei andererseits (fL, i) E T mit fL < fLo gegeben. Wahle c: E lR+ so, daB c: < R;ol und lal'il(R;I+c:) < 1 fUr alle (fL, i) E S erfiillt ist. Dann existiert nach der Cauchy-Hadamardschen Formel eine unendliche Teilfolge N von lN, so daB fiir alle n E N

I A('l) la A('l)1 ~ (R;o - c:) "0 jJ.o ~o

sowie

gilt. Daraus ergibt sich wegen (2.4) fUr n EN

IP~n)( al';)1 < (\ (n) (1 ((R- I )1 '1) A~~) 1 ((R- I )1 I))) - (1) (n) . u - exp "I' og I' + c: al" - ~u og 1'0 - c: al'o io - 0 .

IPl'o (al'o'o)1 AI'

Insgesamt ist deshalb auch (2.3) von Satz 1 erfiillt, und die Behauptung von Satz 2 folgt aus Satz 1.

Literatur [1] P. Bundschuh: A criterion for algebraic independence with some applications, Osaka J. Math. 25 (1988), 849-858

[2] P.L. Cijsouw und R. Tijdeman: On the transcendence of certain power series of algebraic numbers, Acta Arith. 23 (1973), 301-305

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[4] J.M. Geijsel: Transcendence in fields of positive characteristic, Academisch Proefschrift, Amsterdam, 1978

[5] K. Mahler: Arithmetic properties of lacunary power series with integral coefficients, J. Austr. Math. Soc. 5 (1965), 56-64

[6] Th. Schneider: Einfjjhrung in die transzendenten Zahlen, Springer, Berlin-Giittingen-Heidelberg, 1957

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[8] M. Waldschmidt: Nombres transcendants, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1974

[9] Y.C. Zhu: Arithmetical properties of gap series with algebraic coefficients, Acta Arith. 50 (1988), 295-308

Mathematisches Institu t der U niversitii. t zu Kiiln

Weyertal 86-90 D-50931 Kiiln

Eingegangen am 27. September 1993