Álgebra Matricial - Estructuras 3
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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOFACULTAD DE INGENIERIAE.P. DE INGENIERIA CIVIL
CURSO : INGENIERA ESTRUCTURAL III
TEMA : ALGEBRA MATRICIAL
CICLO : VII
DOCENTE :
ALUMNO :
FECHA : 24, de Mayo de 2013
Trujillo Per
2013
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1. LGEBRA MATRICIAL
1.1 INTRODUCCIN:
En muchos anlisis se supone que las variables que intervienen estn relacionadas mediante un conjunto
de ecuaciones lineales. El lgebra matricial proporciona una notacin concisa y clara para la formulacin
y resolucin de tales problemas, muchos de los cuales seran casi imposibles de plantear con la notacin
algebraica ordinaria.
A continuacin, se definen los vectores y las matrices, as como las operaciones correspondientes. Se
consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matri, las matrices subdivididas y el
determinante de una matri. !ambi"n se tratan y aplican a la resolucin de ecuaciones lineales
simultneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matri. As
mismo, se define e ilustra la diferenciacin vectorial.
1.2 DEFINICIN DE MATRIZ:
#na matri es una disposicin $o %arreglo&' rectangular de n(meros en la forma
A =
a11
a12
L a1n
a21
a22
L a2n
M M M M
am1 am 2 L amn
o A =
a11
a12
L a1n
a21
a22
L a2n
M M M M
am1 am 2 L amn
)as letras ai j representan n(meros reales, que son los elementos de la matri. *tese que ai j designa al
elemento en la i+"sima fila y la j+"sima columna de la matri A la matri Ase denota tambi"n a veces por
$
ai j ' o por -
ai j . #na matri que tiene m filas y n columnas se dice que es una matri m / n $%m por
n&', o bien, una matri de orden m / n. Si m 0 n, se e/presa que la matri es cuadrada. 1uando han de
realiarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subndices, por ejemplo,
A mn , o bien, ai j( )mn .
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EJEMPLO
1 0 2 6
4 8 3 9
6 6 3
3 8 21 0 0
5 8 2
12 10 1
13 9 32 7 6
6 4 10
1 1
1 1
es una matriz2 4 es una matriz33 (cuadrada) es una matriz5 3 es una matriz2 2 (cuadrada)
Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes
son tambi"n iguales, es decir, si las matrices son id"nticas. 2bservemos que, por definicin, las matrices
que son de diferente orden no pueden ser iguales.
EJEMPLO
Si
A= 2 2
2 2
B=
2 2 2
2 2 2
C=
2 2
2 2
D =
2 2
2 2
A=D, pero A B, AC, BC, BD, y CD.
DEFINICIN DE VECTOR (EN LGEBRA MATRICIAL)
#na matri que consta de una sola columna, es decir, una matri m / l se conoce como vector columna, y
se e/presa como
u =
u1
u2
M
um
o bien u =
u1
u2
M
um
)as letras u i son n(meros reales3 los componentes del vector u i es el i+"simo componente del vector u.
#n vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m+dimensional.
Anlogamente, una matri que contiene una sola fila, es decir, una matri 4 / n, se dice que es un vector
fila y se e/presa como3
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v0 v1, v2, ..., vn( ) o bien v0 v1, v2, ..., vn[ ]
)as letras vj son n(meros reales3 los componentes del vector vj es el j+"simo componente del vector
v. #n vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n+dimensional.
EJEMPLO
1
1
,es una matri 5 / 4, o sea, un vector columna de 5 dimensiones $o bidimensional'
0
0
3
0
2
,es una matri 6 / 4, o sea, un vector columna de 6 dimensiones $o pentadimensional'
0, 3, 0[ ] ,es una matri 4 / 7, o sea, un vector fila de 7 dimensiones $o tridimensional'
1, 1, 5, 1[ ] ,es una matri 4 / 8, o sea, un vector fila de 8 dimensiones $o tetradimensional'
9os vectores fila que tienen el mismo n(mero de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo
n(mero de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son tambi"n
iguales, es decir, si los vectores son id"nticos.
EJEMPLO
u01,
3
[ ] v01
3
w01,
3
[ ] 03,
1
[ ]u0 w, pero u: v, u: , y v: w, v: , y w: .
*2!A3 1on frecuencia es (til considerar a una matri como compuesta de una serie de vectores fila o de
vectores columna por ejemplo, la matri
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1 6
2 2
3 4
se puede considerar constituida por los dos vectores columna
1
2
3
y
6
2
4
o bien, compuesta de los tres vectores fila 1, 6[ ] 2, 2[ ] y 3, 4[ ]
1.! OPERACIONE" CON MATRICE":
2peraciones anlogas a las de adicin. Sustraccin, multiplicacin y divisin de n(meros reales se
pueden definir para las matrices. ;uesto que una matri es una disposicin de n(meros reales, en lugar de
un solo n(mero real, algunas propiedades de las operaciones para los n(meros reales no tienen
equivalencia en las operaciones anlogas con matrices ejemplos especficos se dan en las siguientes
secciones. En esta seccin se definen e ilustran la adicin y la sustraccin de matrices, la multiplicacin
de una matri por un escalar, y la multiplicacin de matrices entre s.
ADICIN # "U"TRACCIN DE MATRICE".
)as matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. )a suma o la diferencia de dos
matrices m / n es otra matri m / n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos
correspondientes de las matrices originales de modo que si
A =a
11L a
1n
M M
am1 L amn
B =b
11L b
1n
M M
bm1 L bmn
entonces A < = 0 1
en donde
C=
a11b
11L a
1n b1nM M
am1 bm1 L amn bmn
=
c11
L c1n
M M
cm1 L cmn
es decir, ai j( )+ bi j( )= ci j( ), en donde ci j =ai j + bi j para toda i y toda j.
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EJEMPLO
a( )3 2 4
5 6 8
3 0 0
+
0 3 8
5 6 2
0 0 4
=
3 5 4
0 0 10
3 0 4
b( ) 3 10
11 25
6 4
22 21
=
9 6
33 46
c( ) 4, 6, 12[ ]+ 3, 2, 12[ ]= 1, 8, 0[ ]
(d)
1
1
2
4
1
1
1
2
4
1
=
0
0
0
0
0
(e)2 3
6 4
+
1 1
1 2
0 0
6 4
=
3 4
1 2
( f )
1
1
1
+
3
2
4
6
8
10
+
0
1
0
=
2
4
5
(g) 2, 1[ ]+ 3, 4[ ]+ 6, 7[ ] 11, 12[ ]= 0, 0[ ]
(h)
1 4
2 6
3 8
0 5
7 9
11 12
10 13
20 0
1 0
=
9 14
25
3
9 4
PROBLEMA"
2btener la matri que resulta de cada una de las siguientes operaciones3
1.
2 3 6
5 4 5
0 1 9
1 3 4
0 2 5
1 0 1
2.6 1 04 2 1
+
5 0 2
0 1 3
+
2 1 34 1 1
3.
1
3
4
2
0
2
+
3
1
2
4.2 1
1 2
+
1 0
0 1
2 2
2 2
5. 1, 3, +1, 2[ ] 0, 1, 2, 3[ ] 6. 1, 2[ ] 3, 4[ ]+ 1, 2[ ] 6, 5[ ]
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R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+
1.
1 0 2
5 6 0
1 1 8
3.
2
4
0
5. 1, 2, 1, 1[ ]
MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN E"CALAR
#n solo n(mero real $que equivale a una matri 4 / 4' se denomina escalar en las operaciones del lgebramatricial. 1uando una matri se multiplica por un escalar, cada elemento de la matri queda multiplicado
por ese escalar $que es una constante' por lo tanto, si
A =
a11
L a1n
M M
am1 L amn
y > es cualquier escalar $o constante'
entonces
kAmn =kAmn =
ka11
L ka1n
M M
kam1 L kamn
=k ai j( )mn
= kai j( )mn
EJEMPLO
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a( ) 34 3
8 2
1 0
=
12 9
24 6
3 0
b( ) 50
1
0
=
0
5
0
c( ) 1 6, 2, 3[ ]= 6, 2, 3[ ] d( ) a5 6 2 4
3 1 0 6
=
5a 6a 2a 4a
3a a 0 6a
e( ) b
0
2
3
1
5
=
0
2b
3b
b
5b
f( ) c 0, 0, 0, 0, 16[ ]= 0, 0, 0, 0, 16c[ ]
MULTIPLICACIN DE MATRICE"
9os matrices se pueden multiplicar entre s slo si el n(mero de columnas en una de ellas es igual aln(mero de filas en la otra. En particular, la matri producto ABest definida solamente si el n(mero de
columnas en Aes el mismo que el n(mero de filas en B en este caso se dice que las matrices Ay Bson
compatibles ante la multiplicacin, y la matri producto tiene el mismo n(mero de filas que Ay el mismo
n(mero de columnas que B. As, una matri m / n se puede multiplicar con una matri n / p para obtener
una matri m / p.
9E?@*@1@*3 1uando un vector fila 4 / n multiplica a un vector columna n / 4, el resultado es un
escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productosde los componentes de los vectores. ;or lo tanto si
u0 u1, L , un[ ] y v0v
1
M
vn
entonces u4/nvn/40 B $un escalar', en donde w =u1v1 + u2v2 +L + unvn = uivii=1
n
.
1uando se multiplican dos matrices, el elemento en la i+"sima fila y en la j+"sima columna de la matri
producto, es el producto interior del i+"simo vector fila de la primera matri con el j+"simo vector
columna de la segunda. 9e acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede e/presarse como
una matri de sus productos interiores3 Si A = ai j( )mn y B = bi j( )np , entonces AB0 C, en donde
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C= ci k( )mp
=
a1jbj1
j=1
n
L a1jbjmj=1
n
M M
amjbj1j=1
n
L amjbjnj=1
n
es decir, ci k= ai jbj kj=1
n
.
EJEMPLO
a( )
1 3 1
2 0 0
0 1 6
33
1 0
1 2
1 3
32
=
3 3
2 0
7 16
32
en donde
1( )1( )+ 3( )1( )+ 1( )1( )=3
2( )1( )+ 0( )1( )+ 0( )1( )= 2
0( )1( )+ 1( )1( )+ 6( )1( )= 7
1( )0( )+ 3( )2( )+ 1( ) 3( )= 3
2( )0( )+ 0( )2( )+ 0( ) 3( )= 0
0( )0( )+ 1( )2( )+ 6( ) 3( )=16
b( ) 1, 0, 6, 3, 2[ ]15
3 0
4 0
2 3
1 8
0 2
52
= 12, 38[ ]12
en donde
1( ) 3( )+ 0( ) 4( )+ 6( )2( )+ 3( )1( )+ 2( )0( )= 12
1( )0( )+ 0( ) 0( )+ 6( ) 3( )+ 3( )8( )+ 2( )2( )= 38
En la multiplicacin de matrices, el orden $o sucesin' seg(n el cual se efect(a la multiplicacin es muy
importante. Si Aes m / n y Bes n / m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA sin
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embargo, en general AB : BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o
alternativamente, que Bposmultiplica a A. 1omo, en general, la premultiplicacin y la posmultiplicacin
dan resultados diferentes, aun cuando ambos estn definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden
apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaucin no es necesaria en la multiplicacin
de n(meros, como se recordar.
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EJEMPLO
$a' Si
A = 4 6 1 3
0 1 2 1
y
B=
1 2
1 1
1 6
2 3
entonces
AB= 4 6 1 3
0 1 2 1
24
1 2
1 1
1 6
2 3
42
= 3 17
5 14
22
BA=
1 2
1 1
1 6
2 3
42
4 6 1 3
0 1 2 1
24
=
4 4 3 5
4 7 3 2
4 0 11 9
8 9 4 9
44
$b' Si
A =
5 6
1 0
0 3
y
B=1 8 3
0 10 4
entonces
AB=
5 6
1 0
0 3
32
1 8 30 10 4
23
=
5 20 9
1 8 3
0 30 12
33
BA =1 8 3
0 10 4
23
5 6
1 0
0 3
32
=13 3
10 12
22
$c' Si
A =
1 3 1
2 0 2
0 4 5
y
B=
0 2 3
8 1 9
2 0 5
entonces
-
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AB=
1 3 1
2 0 2
0 4 5
33
0 2 3
8 1 9
2 0 5
33
=
22 5 29
4 4 4
22 4 61
33
BA=
0 2 3
8 1 9
2 0 5
33
1 3 1
2 0 2
0 4 5
33
=
4 12 11
10 60 55
2 14 23
33
*2!A31uando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es
decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. 1uando un
vector columna n / 4 premultiplica a un vector fila 4 / n, el resultado es una matri cuadrada n / n cuyos
elementos son los productos interiores de los vectores dados por tanto, si
u0 u1, L , un[ ] y v0v
1
M
vn
entonces, como se indic anteriormente, u4/nvn/40 B $un escalar', en donde w = uivii=1
n
, y vn/4u4/n0
n/n$una matri cuadrada', siendo xi j =viuj .
EJEMPLO
a( ) 1, 3, 6[ ]2
4
1
= 2 +12 6 = 4
2
4
1
1, 3, 6[ ]=2 6 12
4 12 24
1 3 6
-
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b( ) 1, 0, 0, 2, 3[ ]
0
1
4
3
2
= 0 +0 +0 6 +6 = 0
0
1
4
3
2
1, 0, 0, 2, 3[ ]=
0 0 0 0 0
1 0 0 2 3
4 0 0 8 12
3 0 0 6 9
2 0 0 4 6
Aunque el orden seg(n el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se
multiplican tres o ms matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de
las operaciones, Es decir,
Am/nBn/pCp/q0 Am/n$Bn/pCp/q' 0 $Am/nBn/p'Cp/q
#na propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicacin de n(meros. En resumen, la
adicin de matrices es conmutativa, o sea, AC B0 BC A, y tanto la adicin como la sustraccin son
asociativas, es decir, A< B < C0 A< $B< C' 0 $A< B' < C la multiplicacin de dos matrices no es
conmutativa $es decir, AB: BA' pero la de tres o ms es asociativa, es decir ABC0 A$BC' 0 $AB'C.
!ratndose de n(meros, la adicin, la sustraccin y la multiplicacin son asociativas y conmutativas.
EJEMPLO"A.
A B C = A BC = ABC
1 1 0
2 3 4
0 0 1
33
3
1
1
31
0, 2, 1[ ]13
=
1 1 0
2 3 4
0 0 1
33
0 6 3
0 2 1
0 2 1
33
=
0 4 2
0 2 1
0 2 1
33
2 por asociatividad,
A B C =AB C = ABC
1 1 0
2 3 4
0 0 1
33
3
1
1
31
0, 2, 1[ ]13
=
2
1
1
31
0, 2, 1[ ]13
=
0 4 2
0 2 1
0 2 1
33
B.
-
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A B C = A BC = ABC
1 1
6 10
22
5 2 3
8 0 6
23
1
0
4
31
= 1 1
6 10
22
17
16
21
=1
262
21
2 bien por asociatividad,
A B C = AB C = ABC
1 1
6 10
22
5 2 3
8 0 6
23
1
0
4
31
= 13 2 3
50 12 78
23
1
0
4
31
=1
262
21
C.
A B C = A BC = ABC
3 4
4 3
22
0 1
1 0
22
6 8 10
5 5 4
23
= 3 4
4 3
22
5 5 4
6 8 10
23
= 9 47 28
2 44 14
23
2 por asociatividad,
A B C = AB C = ABC
3 44 3
22
0 11 0
22
6 8 105 5 4
23
= 4 33 4
22
6 8 105 5 4
23
= 9 47 282 44 14
23
D.
A B C = A BC = ABC
1, 1, 4, 2[ ]14
0
2
1
0
41
1, 0, 6[ ]13
= 1, 1, 4, 2[ ]14
0 0 0
2 0 12
1 0 6
0 0 0
43
= 6, 0, 36[ ]1
Alternativamente, por asociatividad,
-
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A B C =AB C = ABC
1, 1, 4, 2[ ]14
0
2
1
0
41
1, 0, 6[ ]13
= 6 1, 0, 6[ ]13
= 6, 0, 36[ ]13
PROBLEMA"
2btener la matri resultante de cada una de las siguientes operaciones3
1. 3
+1 2 3 4
0 1 1 2
1 2 0 3
2.
2 1
1 0
3 3
2 1
1 0
3. 1, 1, 0, 2[ ]
2 1
1 3
1 0
0 2
4. 1, 2, 0[ ]1 13 0
2 1
2
1
5.
1 1
1 1
2 0
0 2
1 1 1
1 1 1
6. 1, 1, 1[ ]
2 0
0 2
2 2
1 0
0 1
R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+
1.
3 6 9 12
0 3 3 6
3 6 0 9
3. 1, 2
[ ] 5.
0 0 0
0 0 0
1.0 TIPO" E"PECIALE" DE MATRICE":
-
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En esta seccin se estudiarn tres tipos especiales de matrices3 las matrices diagonales, las matrices
identidad y las matrices nulas.
MATRICE" DIAGONALE":
#na matri diagonal es una matri cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, e/cepto los que
pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del e/tremo superior iquierdo al e/tremo inferior
derecho as pues,
A =
a11
L a1n
M M
am1 L amn
= ai j( )nn
es una matri diagonal si y slo si
ai j = 0 para i : j
ai j 0 si al menos i 0 j $cuando todos los elementos de una matri son ceros, se trata de una
matri nula, la cual se describir ms adelante'
#na matri diagonal n / n puede indicarse por la notacin
A =
a11
0
O
0 ann
o
a1
0
O
0 an
o bien, por
Dn =
d1
0
O
0 dn
EJEMPLO
-
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1 0 0
0 3 0
0 0 10
y
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 7
son matrices diagonales.
MATRICE" IDENTIDAD:
#na matri identidad es una matri diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al
n(mero uno. ;or consiguiente,
A =
a11
L a1n
M Mam1 L amn
= ai j( )nn
es una matri identidad si y slo si
ai j = 0 para i : j
ai j =1 para i 0 j
o en forma equivalente, una matri diagonal Dnes una matri identidad si y slo si
di =1 para i 0 4, 5, D, n
#na matri identidad n / n se representa por In.
EJEMPLO
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
18/31
I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
y I6=
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
son las matrices identidad 7 / 7 y / .
*tese que al premultiplicar o posmultiplicar una matri por la matri identidad del tamaFo $u orden'
apropiado, no cambia la matri dada es decir,
Am/n0 @mAm/n0 Am/n@n 0 Am/n
EJEMPLO"
A.
A24 I2 A24 A24 I4
2 3 6 4
1 1 0 3
24
= 1 0
0 1
22
2 3 6 4
1 1 0 3
24
= 2 3 6 4
1 1 0 3
24
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4
B.
A33 I3 A33 A33 I3 A33
3 0 0
0 2 0
0 0 6
33
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
33
3 0 0
0 2 0
0 0 6
33
=
3 0 0
0 2 0
0 0 6
33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
33
=
3 0 0
0 2 0
0 0 6
33
MATRICE" NULA":
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
19/31
#na matri nula es una matri m / n cuyos elementos son todos iguales a cero se simbolia con O.
1uando una matri nula del orden $o tamaFo' apropiado se suma o se resta de otra matri, esta (ltima no
cambia es decir,
Am/n< Om/n0 Am/n
;remultiplicar o posmultiplicar una matri nula de orden apropiado da lugar a otra matri nula es decir,
O>/mAm/n0 O>/n y Am/nOn/40 Om/4
EJEMPLO"
A.
A23 O23 = A23
0 1 0
10 0 3
23
0 0 0
0 0 0
23
= 0 1 0
10 0 3
23
B.
O33 A24 O34
0 0
0 0
0 0
32
1 6 4 10
1 20 13 11
24
=0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
34
A24 O41 O21
1 6 4 10
1 20 13 11
24
0
0
0
0
41
= 0
0
21
1. TRAN"PUE"TA DE UNA MATRIZ:
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
20/31
En muchos anlisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matri.
En esta seccin se define la transpuesta de una matri, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un
producto de matrices.
)a transpuesta de una matri Ade orden m / n es una matri de orden n / m, denotada por A, cuyas
filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. ;or tanto, si
Amn =
a11
L a1n
M M
am1 L amn
= ai j( )mn
Entonces la transpuesta de Aes
Anm =
a11
L a1n
M M
am1 L amn
=
a11
L a1n
M M
am1 L amn
= ai j( )nm
= ai j( )mn
*tese que la transpuesta de un vector fila n+dimensional es un vector columna tambi"n n+dimensional, y
anlogamente, la transpuesta de un vector columna de n+dimensiones es un vector fila de n+dimensiones
tambi"n. )a transpuesta de una matri diagonal es la misma matri diagonal.
EJEMPLO
Si A = 3 2 0
6 0 1
23
, entonces A =
3 6
2 0
0 1
32
Si A = 6, 2, 1, 0, 5[ ]15 , entonces A =
6
2
1
0
5
51
-
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Si A =
6 8 10
2 0 7
30 40 0
33
, entonces A =
6 2 30
8 0 40
10 7 0
33
Si A =
3
0
1
4
41
, entonces A = 3, 0, 1, 4[ ]14
Si A =
1 5 3
5 0 4
3 4 9
33
, entonces A =
1 5 3
5 0 4
3 4 9
33
Si A =
6 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
44
, entonces A =
6 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 5
44
Si una matri $cuadrada' y su transpuesta son iguales, es decir, ai j =a j i para toda i y toda j, entonces la
matri se denomina sim"trica $con respecto a su diagonal principal'. En los dos (ltimos ejemplos citados,
las matrices son sim"tricas.
#na matri sim"trica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice que es idempotente. ;or tanto,
Aes idempotente slo si
A0 A y AA0 A
EJEMPLO"
A.
#na matri identidad $de cualquier orden' es idempotente, puesto que
I30 I3 y I3I30 I3
B.
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
22/31
)a matri
1
5
2
5
2
5
4
5
es idempotente, puesto que
1
5
2
5
2
5
4
5
=1
5
2
5
2
5
4
5
y
1
5
2
5
2
5
4
5
1
5
2
5
2
5
4
5
=
1
5
2
5
2
5
4
5
TRAN"PUE"TA DE UNA "UMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICE"
)a transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de
las matrices por consiguiente,
(Am/n< Bm/n
-
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entonces HA+ BC CIG 04 10
10 11
=
4 10
10 11
o, alternativamente, A+ BC CG 02 0
1 1
6 10
8 12
+
0 0
1 0
=
4 10
10 11
TRAN"PUE"TA DE UN PRODUCTO DE MATRICE"
)a transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas
en orden inverso por tanto,
4Am/nBn/pCp/q5G0 CGq/pBp/nAn/m
EJEMPLO"
A.
Si
A = 3 0
4 1
B=
3 5 7
0 1 8
C=
6
1
0
entonces
ABC= 9 15 21
12 19 20
6
1
0
= 39
53
ABC[ ] =
39
53
= 39, 53[ ]
o en forma alternativa,
ABC[ ] = CBA = 6, 1, 0[ ]3 0
5 1
7 8
3 4
0 1
= 1 3, 1[ ]
3 4
0 1
= 39, 53[ ]
B.
Si
A = 3, 1, 0[ ] B =6 0
7 2
0 3
C= 0
1
entoncesJABC 0 26 2[ ] 0
1
= 2 y asimismo HABCIG0 +5 $la transpuesta de un escalar es el mismo
escalar', o de otra manera,
*N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que slo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el
escalar 2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.
-
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4ABC5 0 CBA0
0, 1[ ] 6 7 0
0 2 3
3
1
0
= 0 2 3[ ]3
1
0
= 2
PROBLEMA"
2btenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices
1.2 6
5 3
2.
36
5
2
3.7 5 6
8 10 3
4.
1 6 31 4 8
0 5 7
5. 3, 2, 4, 9[ ] 6.1 3
2 1
4 2
7. Si A = 1 2
2 1
, B=
2 3
4 0
, C=
0 1
2 3
; encuentre :
a. A+B[ ] b. B+C[ ] c. AB[ ] d. ABC[ ]
8. Si A=
2 1
1 2
0 1
32
, B= 3
1
21
, C= 3 0 2
1 2 4
23
y D =3 0 2
1 2 4
23
, encuentre:
a. AB[ ] b. C+D[ ] c. D C[ ] d. A+ D + C
R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+
1.2 5
6 3
3.
7 8
5 10
6 3
5.
3
2
4
9
7. a.1 6
5 1
b.
2 6
2 3
c.
6 0
3 6
d.
6 12
3 18
1.6 MATRICE" "UBDIVIDIDA":
1on frecuencia es conveniente subdividir $o particionar' una matri descomponi"ndola en sub+matrices.
Kstas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matri original. )a particin o
subdivisin de una matri se indica mediante lneas punteadas horiontales o verticales traadas entre
filas o columnas.
;or ejemplo, la matri Ade orden m n se pueden subdividir como sigue3
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
25/31
A = A1
A2( )
en donde A1es de orden m n1, A2es de orden m n2 , y n1 +n2 =n . )a transpuesta de una matri
subdividida se puede escribir en t"rminos de las transpuestas de sus submatrices. As pues,
A = A1
A2
EJEMPLO
Si
A=
A1 A2[ ]=
4 3 5 0
2 1 1 6
8 2 3 7
entonces
A
= A1
A2
4 2 8
3 1 2
5 1 3
0 6 7
Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si
una matri Ade orden m n se subdivide como A = A1 A2[ ], en donde A1es
m n1, A2es m n2 ,
y n1+n
2=n y si una matri B de orden m n se particiona como B= B1 B2[ ], en donde B1 es
m n1, B2es m n2 , y n1 +n2 =n , entonces
AB= A1B
1 A
2B
2[ ]
9e igual modo, si
A = A
1
A2
en donde Aes m n , A1es m1 n , A2es m2 n , y m1+ m2 = m y
B= B
1
B2
en donde Bes m n , B1es m1 n , B2es m2 n y m1+ m2 = m , entonces
AB= A
1B
1
A1B
2
-
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EJEMPLO
Si
A =
3 4 2 0
1 0 5 6
7 3 3 2
y
B=
3 0 2 4
1 1 2 5
5 4 3 1
entonces
A +B = A1
A2( )+ B1 B2( )=
3 4 2 0
1 0 5 6
7 3 3 2
+
3 0 2 4
1 1 2 5
5 4 3 1
=
0 4 0 4
2 1 3 11
12 7 6 3
= A1+B
1 A[
o bien,
A +B= A
1
A2
+
B1
B2
=
3 4 2 0
1 0 5 6
7 3 3 2
+
3 0 2 4
1 1 2 5
5 4 3 1
=
0 4 0 4
2 1 3 1 1
12 7 6 3
= A
1+B
1
A2+B
2
2tras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado.
;articionar o subdividir una matri es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han
de ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisin de matrices se utilian
principalmente en la multiplicacin y en otras operaciones ms complicadas. )as matrices deben
subdividirse en forma compatible para la multiplicacin. Si una matri Ade orden m n se subdivide
como A = A1 A2[ ], en donde A1es m n1, A2es m n2 , y n1 +n2 =n y una matri Bde ordenn p se subdivide como
B= B
1
B2
en donde B1es n1 p y B2es n2 p , entonces
AB= A1
A2[ ]
B1
B2
=A1B1 +A2B2
-
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27/31
EJEMPLO
Si
A =
3 0 1
2 4 1
1 1 2
y B=
2 1
1 3
1 1
entonces
AB=
3 0 1
2 4 1
1 1 2
2 1
1 3
1 1
=
3 0
2 4
1 1
2 1
1 3
+
1
1
2
1, 1[ ]=6 3
0 10
1 2
+
1 1
1 1
2 2
=
7 2
1 11
1 0
lo que puede verificarse por multiplicacin matricial directa.
)as matrices se pueden subdividir en ms de dos submatrices. 9e hecho, es posible particionar una matri
m n en un m/imo de mn submatrices observemos que la particin m/ima equivale a no subdividir
en absoluto la matri, puesto que cada elemento se trata como una matri escalar. A menos que se tenga
una particin lgica en t"rminos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para
facilitar los clculo esto implica un compromiso raonable entre minimiar el n(mero de submatrices y
minimiar su tamaFo m/imo.
)as matrices se particionan ya sea horiontalmente o verticalmente. ;or tanto, la matri A de orden
m n se puede subdividir en la forma
A = A
11 A
12
A21
A22
en donde A11es m1 n1 , A12es m1 n2 , A21es m2 n1 , A22es m2 n2 , y asimismo, m1 m2 = m ,
n1 n
2= n . Entonces
A = A
11 A
12
A21
A22
=
A11
A12
A21
A22
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
28/31
Si la matri B de orden n p se particiona como
B= B
11 B
12
B21
B22
en donde B11 es n1 p1 , B12 es n1 p2 , B21 es n2 p1 , B22 es n2 p2 , y asimismo, n1 n2 = n ,
p1 p
2= p , entonces Ay B estn particionadas en forma compatible para la multiplicacin y
AB= A
11 A
12
A21
A22
B11
B12
B21
B22
=
A11
B11+A
12B
21 A
11B
12+A
12B
22
A21
B11+A
22B
21 A
21B
12+A
22B
22
EJEMPLO
Si A =
1 3 1
1 0 1
2 1 4
0 2 3
y B=
3 2 1 0 1
5 1 4 3 2
3 2 0 1 1
entonces
AB = A
11 A
12
A21
A22
B11
B12
B21
B22
=
1 3 1
1 0 1
2 1 4
0 2 3
3 2 1 0 1
5 1 4 3 2
3 2 0 1 1
y
A11B
11+A
12B
21=
1 3
1 0
2 1
3 2
5 1
+
1
1
4
3, 2[ ]=18 5
3 2
1 3
+
3 2
3 2
12 8
=
21 7
0 0
13 11
A11B
12+A
12B
22=
1 3
1 0
2 1
1 0 1
4 3 2
+
1
1
4
0, 1, 1[ ]=13 9 5
1 0 1
2 3 4
+
0 1 1
0 1 1
0 4 4
=
13
1
2
A21B
11+A
22B
21= 0, 2[ ]
3 2
5 1
+ 3[ ] 3, 2[ ]= 10, 2[ ]+ 9, 6[ ]= 1, 4[ ]
A21B
12+A
22B
22= 0, 2[ ]
1 0 1
4 3 2
+ 3[ ] 0, 1, 1[ ]= 8, 6, 4[ ]+ 0, 3, 3[ ]= 8, 9, [
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
29/31
En consecuencia,
AB = A
11B
11+A
12B
21 A
11B
12+A
12B
22
A21
B11+A
22B
21 A
21B
12+A
22B
22
=
21 7 13 8 4
0 0 1 1 0
13 11 2 7 8
1 4 8 9 7
lo cual se puede verificar por multiplicacin matricial directa.
PROBLEMA"
1.1alcule lo siguiente3
a. 2
6 1
0 3
1 2
3
4 2
0 1
5 1
b.6 0 1
1 3 2
4 2
0 1
5 1
Emplee matrices subdivididas para verificar los resultados.
2.Si U= 1, 1, 4[ ], X= 0, 1, 2[ ], V=5
0
1
y Y=
1
1
2
, obtenga
a. UV+XY b. 5UV+10 X 2VY( )[ ]
!.Si Aes 2 3 , Bes 4 3 , Ces 3 3 , y D es 3 2 , determine la disposicin u orden de
a. AC b. DA c. AD d. BC e. DAC f . BCDA
0.Si
A =
1 2 3
0 1 1
2 3 0
B=
3 1 0
1 1 2
0 2 1
eval(e 2ABBA( )y emplee matrices subdivididas para verificar el resultado.
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
30/31
.Si
A =
1 2 2
1 2 1
1 1 0
B =
3 6 2
2 4 1
2 3 0
C=
5 8 0
3 5 0
1 2 1
demuestre que
a. A2 =B2 = C2 =I b. AB=BA = C c. BC = CB=A d. AC = CA =B
Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.
6.Si
A =
5 4 2
4 5 2
2 2 2
demuestre que A2 11A+10I=O. #tilice matrices particionadas para verificar el resultado.
7.Si
A = 1 0
1 0
B=
0 0
1 1
C=
2 2
2 2
D =
2 3
4 25
eval(e
a. AB2CD b. A2 c. BC ( )2
8.Si
U= 1, 0, 1[ ] V=1
2
3
X=
4 2 1
1 3 0
0 1 1
Y=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
encuentre
a. UV b. VU +X c. XY
Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.
9.Si
U=
2 2 4
1 3 4
1 2 3
V=
1 2 4
1 2 4
1 2 4
-
7/23/2019 lgebra Matricial - Estructuras 3
31/31
demuestre que
a. U2 =U y V2 =V b. UV =VU= O c. U +V=I
#tilice matrices subdivididas para comprobar los resultados.
1.Si
X=
1 2 3
1 2 3
1 2 3
demuestre que X2 = O . #tilice matrices con subdivisin para comprobar el resultado.
11.Si
A =
1 2 1
2 1 35 2 3
X=
2 5 1 7
2 1 3 43 2 1 2
Y=
3 6 0 6
1 2 4 54 3 2 3
demuestre que AXAY$aunque X Y' y emplee matrices particionadas para verificar el resultado.
12.Si
A =
1 2
0 3
2 1
B = 0 2 3
0 1 3
C=
2
3
3
D =
=1
1
2
determine ABCD .
R$%&u$%'% *% P+*,$-% $ N/-$+* I-&+
1. a.
0 4
0 9
13 7
b.29 13
6 3
3. a. 23 b. 33 c. 22 d. 43 e. 33 f . 43
7. a.24 32
24 32
b.
1 0
1 0
c.
0 0
16 16