Álgebra Linear Sistemas de equações lineares e matrizesdaniel/7105/aula_3.pdf · Regras para...
Transcript of Álgebra Linear Sistemas de equações lineares e matrizesdaniel/7105/aula_3.pdf · Regras para...
Um sistema de equações pode:
• Não ter solução
• Ter uma única solução
• Ter mais do que uma solução
Chama-se conjunto solução ou
solução geral de um sistema
ao conjunto de todas asao conjunto de todas as
soluções de um sistema
Classificação dos sistemas:
• Sistema impossível(o conjunto solução é vazio)
• Sistema possível e determinado• Sistema possível e determinado(o conjunto solução tem um único elemento)
• Sistema possível e indeterminado(o conjunto solução é infinito)
Sistemas equivalentes:
Dois sistemas de equaçõeslineares dizem-se
equivalentesquando têm o mesmo conjuntosolução
Regras para obter sistemas equivalentes:
• Regra 1: Trocar a ordem de duasequações
• Regra 2: Multiplicar ambos os membrosRegra 2: Multiplicar ambos os membrosde uma equação por uma constante nãonula
• Regra 3: Adicionar a uma equação outramultiplicada por uma constante
5
2010
10532
zyx
zyx
zyx
1011
532
A
x
10
111
1011A
z
yX
5
20B
Matriz dos coeficientes Incógnitas Termo independente
5
204
1022
zyx
zyx
zyx
411
212
A1x
10
5
204
1022
321
321
321
xxx
xxx
xxx
111
411A2
3
x
x
x 20
5
b
A x = b
111
411
212
A
1
2
3
x
x
x
x10
20
5
b
A x = b
Matriz aumentada (ou ampliada)Matriz aumentada (ou ampliada)
5
20
10
111
411
212
Regras para obter sistemas equivalentes:
Usar as regras para obter sistemasequivalentes corresponde a efectuaroperações elementares sobre asoperações elementares sobre aslinhas da matriz aumentada.
5
20
10
111
411
212
5
10
20
111
212
411
30
20
630
411
30
20
630
411
5
30
111
630
25
30
300
630
3/25
10
20
100
210
411
3/25
3/20
20
100
010
411
3/25
3/20
20
100
010
411
3/25
3/20
3/40
100
010
011
3/20
3/20
010
001
3/20
3/20
2
1
x
x
3/25
3/20
100
010
3/25
3/20
3
2
x
x
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
22222121
11212111
m equações com n incógnitas
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
13
02
32
21
21
21
xx
xx
xx
1
0
3
13
12
21
6
3
50
21
6
3
50
21
1050
400
400
650
32
21
21
21
xx
xx
xx
IMPOSSÍVEL
224
03
232
321
321
321
xxx
xxx
xxx
2
0
2
241
311
132
5/2
5/2
110
201
0000
0000
5/20
5/220
321
321
321
xxx
xxx
xxx
32
31
5/2
25/2
xx
xx
0000
5/20
5/220
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Conjunto solução:
3231
3321 5
2,2
5
2:,, xxxxxxxS
321
321
321
3
2023
30
xxx
xxx
xxx
20
30
31
213
111
70
30
520
111
70
30
520
111
30
70
140
520
110
70
900
520
110
70
30
900
520
111
Se:=9 e 110 sistema impossível=9 e 110 sistema impossível=9 e = 110 sistema indeterminado9 sistema determinado
110
70
30
000
520
111
=9 e 110posto(A) = 2 e posto (A|B) = 3
70
30
520
111
=9 e = 110
0
70
000
520
posto(A) = posto (A|B) = 2
110
70
30
000
520
111
=9 e 110posto(A) = 2 e posto (A|B) = 3
=9 e = 110
70
30
520
111=9 e = 110
0
70
000
520
posto(A) = posto (A|B) = 2
110
70
30
900
520
111
9posto(A) = posto (A|B) = 3
Um sistema em que o termo independente é o vector nulo chama-se homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo Um sistema homogéneo tem sempre pelo menos uma solução
Um sistema em que o termo independente é o vector nulo chama-se homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo Um sistema homogéneo tem sempre pelo menos uma solução:
A solução nula
Chama-se núcleo da matriz A ao conjunto das soluções do sistema homogéneo
Ax = O
Ao núcleo de uma matriz pertence sempre o vector nulo.
s é solução do sistema A x = O
A s = O e A u = bA s = O A ( s )= O
u é solução do sistema A x = bIsto é:
A s = O A ( s )= O
A x = bv = u + s é solução de
A (u + s) = O + b = b
0
8
0
3
00000
40000
11200
43211
livre
livre
0
2
1
3
00000
10000
02/1100
02011
livre
livre
00
2
12/1
32
5
43
421
x
xx
xxx
2
2/11
23
5
43
421
x
xx
xxx