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Laboratorio # 1 Ecuaciones Cuadráticas I I.-Resolver las ecuaciones dadas por factorización y si no es posible, hacerlo usado formula general.

1) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

2) 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0

3) 3𝑦2 + 2𝑦 − 1 = 0

4) 6𝑧2 + 𝑧 − 2 = 0

II.- Resolver las ecuaciones siguientes usando el método completando un trinomio cuadrado perfecto.

1) 3𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0

2) 𝑧2 − 3𝑧 − 1 = 0

3) 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0

4) 𝑚2 − 4𝑚 + 8 = 0

III.- Resolver las ecuaciones siguientes usando cualquier método.

1) 𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0

2) 3 = 𝑡2 + 7𝑡

3) 1 −3

𝑥=

10

𝑥2

4) 2𝑥2 + 15𝑥 − 8 = 0

5) 2𝑥(𝑥 − 1) = 3(𝑥 + 1)

6) 𝑥2 − 2𝑥 + 9 = 2𝑥 − 4

7) 24

10+𝑚+ 1 =

24

10−𝑚

8) 𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0

9) 1

𝑥+

1

𝑥+3=

1

4

10) 𝑥2 + 2√2 𝑥 − 2 = 0

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Laboratorio # 2 Ecuaciones Cuadráticas II

I.-Calcular el discriminante y determinar la naturaleza, suma y producto de las raíces, sin resolver la ecuación dada.

1) 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0

2) (𝑥 + 1)2 = 𝑥 − 1

3) 𝑥 +1

𝑥= 4

4) 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0

5) 𝑥+1

𝑥−1=

3𝑥−1

𝑥+1

6) 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0

II.- Determinar el valor(s) de K de modo que la ecuación dada tenga raíces iguales.

1) 𝑥2 + 3𝑘 + 1 = (𝑘 + 2)𝑥

2) 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 8 = 𝑘

3) (𝑘 + 4)𝑥2 − 1 = (2𝑘 + 2)𝑥 − 𝑘

4) 𝑥2 − 3𝑘𝑥 + 9 = 0

5) 𝑘𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0

6) (𝑘 − 1)𝑥2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘2 = 0

III.- Hallar la ecuación que tenga las raíces indicadas.

1) 3 , 4

2) 1 + 𝑖 , 1 − 𝑖

3) 5

6 , −

3

2

4) 1 + √5 ,1 − √5

5) √2 , −√2

6) 2 + 3𝑖 , 2 − 3𝑖

IV.- Hallar el valor de 𝑘 para que el producto de las raíces de la ecuación (𝑘 − 2)𝑥2 − 5𝑥 + 2𝑘 = 0 sea 6. V.- Si una de las raíces de la ecuación 2𝑥2 − 4𝑥 + 𝑘2 − 2𝑘 − 3 = 0 es cero, ¿Cuánto vale 𝑘?

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Laboratorio # 3 Formas Cuadráticas

I.-Resolver las ecuaciones dadas como ecuación de forma cuadrática.

1) 𝑥4 − 17𝑥2 + 16 = 0

2) 𝑥 + 𝑥1

2 − 6 = 0

3) 2𝑥1

2 + 2𝑥− 1

2 − 5 = 0

4) (𝑥 + 1

𝑥)

2

+ 4 (𝑥 + 1

𝑥) = 12

5) 2 𝑥2−2

𝑥 −

𝑥

𝑥2−2= 1

6) √

𝑥+3

𝑥−3− 2 √

𝑥−3

𝑥+3= 1

7) 𝑥2 + 2𝑥 + √𝑥2 + 2𝑥 + 10 − 20 = 0

8) 2𝑥2 + 2𝑥 − 3√𝑥2 + 𝑥 + 3 − 3 = 0

9) 1+√1+𝑥2

𝑥+

𝑥

1+√1+𝑥2− 2√2 = 0

10) 2𝑥4 + 17𝑥2 − 9 = 0

11) 𝑥1

2 − 3𝑥1

4 + 2 = 0

12) 𝑥1

3 + 2𝑥−1

3 − 3 = 0

13) 3 (𝑥−1

𝑥)

2

− 4 (𝑥−1

𝑥) = 4

14) √𝑥 − 2 − √5𝑥 + 1 = −3

15) 𝑥2 −1

𝑎2 = 𝑎2 −1

𝑥2

16) 2𝑥2 − 2𝑥 + √𝑥2 − 𝑥 = 3

II.- Resolver la ecuación con radicales y comprobar si aparecen raíces extrañas.

1) √𝑥 + 2 + √𝑥 + 7 = 5

2) √𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 2

3) √1 + √3 + √6𝑥 = 2

4) √2𝑥 − 1 − √3𝑥 + 10 + √𝑥 − 1 = 0

5) √𝑥 + 3 + √2 − 𝑥 − √𝑥 + 8 = 0

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Laboratorio # 4 Sistema de ecuaciones cuadráticas

I.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

1) 2𝑥 − 𝑦 = 6 , 𝑦2 = 𝑥

2) 𝑥 + 𝑦 = 2 , 𝑥2 + 𝑦2 = 4

3) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 , 4𝑦2 − 𝑥2 = 4

4) 𝑥2 − 𝑦2 = 5 , 9𝑥2 + 16𝑦2 = 145

5) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 , 𝑥2 + 𝑦2 = 4

6) 𝑥2 + 𝑦2 = 5 , 𝑥𝑦 = 2

7) 𝑥2 − 𝑦2 = 8 , 𝑥𝑦 = 3

8) 𝑥2 + 𝑦2 = 8 , 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 16

9) 𝑥𝑦 + 4𝑦2 = 8 , 𝑥2 + 3𝑥𝑦 = 28

II.- Encontrar los valores que debe tomar k para que la recta 𝑦 = 𝑥 + 𝑘 sea tangente a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 2𝑦 + 18 = 0. III.- Calcular el valor que debe tomar k para que la recta 𝑥 + 𝑦 = 𝑘 sea tangente a la parábola 𝑦2 = 8𝑥.

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Laboratorio # 5 Inducción Matemática I.- Usar inducción matemática para demostrar las relaciones siguientes (n es un entero positivo).

1) 12 + 32 + 52+ . . . + (2𝑛 − 1)2 =𝑛

3 (4𝑛2 − 1) .

2) 13 + 23 + 33+ . . . + 𝑛3 =𝑛2

4 (𝑛 + 1)2 .

3) (1 + 2 + 3 + . . . + 𝑛)2 =𝑛2

4 (𝑛 + 1)2 .

4) 13 + 33 + 53+ . . . + (2𝑛 − 1)3 = 𝑛2(2𝑛2 − 1) .

5) 1

1 ∙ 2+

1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+ . . . +

1

𝑛(𝑛+1)=

𝑛

𝑛+1 .

6) 1

1 ∙ 3+

1

3 ∙ 5+

1

5 ∙ 7+ . . . +

1

(2𝑛−1)(2𝑛+1)=

𝑛

2𝑛+1 .

7) 1 ∙ 1 + 2 ∙ 32 + 3 ∙ 52 + . . . + 𝑛(2𝑛 − 1)2 =𝑛

6 (𝑛 + 1)(6𝑛2 − 2𝑛 − 1) .

8) 1 ∙ 3 + 3 ∙ 32 + 5 ∙ 33+. . . +(2𝑛 − 1)3𝑛 = (𝑛 − 1)3𝑛+1 + 3 9) 24𝑛 − 1 es divisible entre 15. 10) 22𝑛 + 5 es divisible entre 3.

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Laboratorio # 6 Teorema del Binomio

I.- Usar el teorema del Binomio para efectuar el desarrollo indicado y simplificar cada resultado.

1) (3𝑎 − 𝑏)4 2) (𝑥2 + 𝑥1

2)4

3) (𝑥2 − 𝑦2)4 4) (𝑎2

2+

2

𝑎2)6

5) (𝑎√𝑏 + 𝑏√𝑎)6 6) (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)3

II.- Escribir y simplificar los 4 primeros términos del desarrollo dada.

1) (2𝑎 − 𝑏)7

2) (1 + 𝑥)−1

3) (1 − 𝑥2)1/2

4) (𝑎 −𝑏

3)

9

III.- Obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo correspondiente.

1) Cuarto término de (𝑎 − 2𝑏)9

2) Quinto término de (𝑥 +𝑦

2)

7

3) Término central de (𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥)

8

4) Los dos términos centrales de (𝑥2

2− 𝑦)

9

5) Término en 𝑎7 de ( 𝑎

3+ 9𝑏)10

6) Termino independiente de 𝑥 de (2𝑥

3−

3

2𝑥)

6

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Laboratorio # 7 Introducción a la trigonometría

I.- Halle la coordenada que falta o el radio vector del punto P. 1) (−7,24) 2)(2, 𝑦), 𝑟 = √13 , P en C. IV 3)(𝑥, −3) , 𝑟 = 3√2

II.- Trace los puntos siguientes y junto a cada punto escriba sus coordenadas. Indique cual es el valor de la abscisa, de la ordenada y del radio vector y anote el cuadrante en el que esta cada punto. 1) (3,4) 2) (−5,12) 3) (−7, −24)

4) (−8,6) 5) (1, −1) 6)(2√3, 2)

III.- Trace, en posición normal, los ángulos cuyos lados terminales pasan por el punto dado. Designe por 𝜃 uno de los ángulos positivos y por 𝜑 uno de los negativos así formados. Además determine un par de ángulos coterminales para 𝜃 y 𝜑 .

1) (4,4√3) 2)(1, −√3) 2) (−1, −1)

IV.- Hallar las seis funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto dado.

1) (−1,2) 2) (0, −3) 3) (−2, −2)

4) (1,0) 5)(−4, −4√3) 6)(3√3, −3)

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Laboratorio # 8 Funciones Trigonométricas I I.- Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas:

1)tan(𝜃) =3

4 , 𝜃 𝑒𝑛 𝐶𝐼. 2)cos( 𝜃) =

−5

13

3)𝑐𝑠𝑐( 𝜃) = −𝜋 , 𝜃 𝑒𝑛 𝐶𝐼𝐼𝐼 4)𝑠𝑒𝑐( 𝜃) =

𝜋

2 , 𝜃 𝑒𝑛 𝐶𝐼.

5)𝑠𝑒𝑛( 𝜃) =3

5

6)𝑐𝑜𝑠( 𝜃) =3

5 , 𝜃 𝑒𝑛 𝐶𝐼𝑉.

II.- Compruebe que las siguientes proposiciones son verdaderas.

1) 1 + 𝑐𝑜𝑡2 (𝜋

3) = 𝑐𝑠𝑐2 (

𝜋

3) 2) 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜋

4) ∙ (1 + 𝑡𝑎𝑛2 (

𝜋

4))=1

3) 2 𝑠𝑒𝑛 (60°) cos(60°) = 𝑠𝑒𝑛(120°)

4) 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

3) = √1−𝑐𝑜𝑠(

4𝜋

3)

2

5)𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 60°) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)+√3 cos(𝑥)

2

III.- Halle los valores exactos de las expresiones siguientes.

1)𝑐𝑠𝑐 (𝜋

2) 𝑠𝑒𝑛2 (

𝜋

2) − 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜋

3)

2)𝑐𝑜𝑡(60°) − 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) 𝑠𝑒𝑐 (

𝜋

3)

IV.- Reduzca cada expresión a una sola función trigonométrica 1) 𝑠𝑒𝑛(5 𝜃) cos(2 𝜃) + cos(5 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 (2 𝜃) 2) 𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵) cos(𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)𝑠𝑒𝑛(𝐵)

3) tan (3 𝜃)

1−𝑡𝑎𝑛2(3 𝜃) , 1 − 𝑡𝑎𝑛2(3 𝜃) ≠ 0

4) 1−cos (4𝜃)

𝑠𝑒𝑛(4𝜃) , 𝑠𝑒𝑛(4𝜃) ≠ 0

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Laboratorio # 9 Identidades Trigonométricas I.- Verificar las identidades siguientes.

1) cos(4𝜃)

1+𝑠𝑒𝑛(4𝜃)≡

1−𝑡𝑎𝑛(2𝜃)

1+𝑡𝑎𝑛(2𝜃)

2) 𝑡𝑎𝑛 (𝜃

2) ≡ 𝑐𝑠𝑐(𝜃) − cot(𝜃)

3) 𝑠𝑒𝑛(8𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ≡ 2𝑐𝑜𝑠(5𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

4) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)+𝑠𝑒𝑛(𝑣)

𝑐𝑜𝑠(𝑢)+𝑐𝑜𝑠(𝑣)≡ 𝑡𝑎𝑛 (

1

2(𝑢 + 𝑣))

5) 𝑐𝑜𝑠2(𝑢) (1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝑢)) ≡ 1

6) 𝑠𝑒𝑐2(𝐴) (1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝐴)) ≡ 1

7) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)(1 − 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)) ≡ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)

8)1

1−𝑠𝑒𝑛(𝜃)+

1

1+𝑠𝑒𝑛(𝜃)≡ 2𝑠𝑒𝑐2(𝜃)

9) 2+𝑐𝑠𝑐(𝜃)

𝑠𝑒𝑐(𝜃)− 2 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ≡ cot(𝜃)

10)𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝑐𝑜𝑡2(𝜃) ≡ 𝑐𝑠𝑐2(𝜃)

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Laboratorio # 10 Identidades Trigonométricas I.- Resolver las ecuaciones siguientes para 0° ≤ 𝜃 ≤ 360 ° , 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋 .

1) 2cos (𝜃) + √3 = 0 2) 𝑡𝑎𝑛2(𝑢) − tan(𝑢) = 0 3) 4 sen(𝑢) 𝑐𝑜𝑠2(𝑢) − sen(𝑢) = 0 4) 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 2 sen 𝜃 − 1 = 0 5) 21 𝑠𝑒𝑛2(𝑢) − 5 sen(𝑢) + 6 = 0 6) 6 𝑡𝑎𝑛4(𝜃) + 13 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) + 5 = 0 7) 𝑡𝑎𝑛4(𝜃) − 2 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) − 1 = 0 8) 3 sen(𝑢) − 2 𝑐𝑜𝑠2(𝑢) = 0 9) 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) + 4 tan(𝜃) = 0

10) −√3 sen(𝜃) + cos(𝜃) = 1 11) 5 sen(𝜃) − 12 cos(𝜃) = 13 II.- Construya la gráfica para un ciclo, e indique la amplitud, el periodo y el desfasamiento.

1) 𝑦 = 3 sen(𝑥 +𝜋

3)

2) 𝑦 = 2 cos(𝑥 + 𝜋)

3) y = 2 sen(3𝑥 −𝜋

3)

4) 𝑦 = 2 cos(2𝑥 −𝜋

2)

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Laboratorio # 11 Números Complejos I I.- Calcular los valores reales de 𝑥 y 𝑦 que cumplen con la relación dada.

1) 𝑥 + 𝑦𝑖 = 2 − 3𝑖 2) 3𝑥 − 2𝑦𝑖 = 6 + 4𝑖

3) (𝑥 − 𝑦𝑖)2 = −8 − 6𝑖 4) 𝑥2 − 4𝑦 + (2𝑦 − 𝑥)𝑖 = 2 − 𝑖 ll.- Efectuar las operaciones indicadas y expresar el resultado en la forma canónica.

1) (1 + 𝑖) + (3 − 2𝑖) 2) (2 + √−4) − (3 − √−9)

3) √−4 − √−9 + √−16 4) √−𝑎2 +1

2√−4𝑎2 −

1

3√−9𝑎2

5) (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) 6) (1 + 𝑖)(1 − 2𝑖)(1 + 3𝑖)

7) (√−3 + √−2 − √−1)(√−3 + √−2 + √−1) 8) (√−1 + √−2 − √−3)(√−1 − √−2 + √−3)

9) (−3

2+

3

2√3𝑖)3 10)

1

1−2𝑖

11) 2−𝑖

1+2𝑖 12) (1 − 2𝑖)−2

lll.- Por factorización, obtener las cuatro raíces de la ecuación 𝑥4 − 16 = 0 y demostrar que suma es igual a cero.

IV.-Demostrar que la suma de cualquier número complejo con su negativo es igual a cero.

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Laboratorio # 12 Números Complejos II I.- Efectuar las operaciones indicadas

1) (1 − 𝑖) + (2 + 3𝑖)

2) (3 + 2𝑖) + (−2 − 𝑖)

3) (6 + √−9 ) − (3 − √−4)

4) (8 + 𝑖) + (1 − 3𝑖) − (6 − 2𝑖)

II.- Calcular el modulo, el argumento y hallar la forma polar del número complejo dado.

1) −√3 − 𝑖 2) √2 + √2𝑖 3) −7 4) 3𝑖

III.- Usar el Teorema de De Moivre para calcular la potencia indicada.

1) [2(cos 15° + 𝑖 sen 15°)]3. 2) [2 14⁄ (cos 30° + 𝑖 sen 150°)]

8

3) (−√3

2−

1

2𝑖)

7

4) (−√22⁄ + √2

2𝑖⁄ )

12

IV.- Usar el teorema de De Moivre para obtener las raíces indicadas y representarlas gráficamente.

1) Las tres raíces cúbicas de 8(cos 60° + 𝑖 sen 60°)

2) Las tres raíces cúbicas de −2 + 2𝑖

3) Las cuatro raíces cuartas de 4 − 4√3𝑖 4) Las seis raíces sextas de 27𝑖

5) Las ocho raíces octavas de − 12⁄ − √3

2⁄ 𝑖

6) Las nueves raíces novenas de −𝑖

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Laboratorio # 13 Progresión Aritmética

I.- Hallar 𝑎𝑛 y 𝑠𝑛 en la progresión aritmética dada para el número indicado de términos. 1) 2, 6, 10,…. Hasta 11 términos. 2) 9, 7, 5,… hasta 14 términos.

3) -8, - 13

2, -5,… hasta 16 términos.

4) 3, 8

3 ,

7

3,… hasta 24 términos.

II.- Se dan tres de los cinco elementos de una progresión aritmética. Calcular los otros dos elementos. 1) 𝑎1 = 5 , 𝑑 = −3 , 𝑛 = 8 2) 𝑎1 = 11 , 𝑑 = −2 , 𝑆𝑛 = −28 3) 𝑎1 = 30 , 𝑎𝑛 = −10 , 𝑠𝑛 = 90 4) 𝑎1 = 45 , 𝑑 = −3, 𝑠𝑛 = 357. III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Hallar la suma de todos los múltiplos positivos de 3 que son menores que 20. 2) Calcular la suma de todos los múltiplos positivos de 5 que son menores que 100. 3) Obtener la media aritmética de 7 y -11. 4) Interpolar cinco medios aritméticos entre -4 y 8. 5) El tercer término de una progresión aritmética es -3 y el octavo término es 2. Hallar la diferencia y el sexto término. 6) El cuarto término de una profesión aritmética es 11 y el undécimo término es 21. Calcular el primer término y la suma de los primeros quince términos.

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Laboratorio # 14 Progresión Geométrica

I.- Hallar 𝑎𝑛 y 𝑠𝑛 en la progresión geométrica dada para el número indicado de términos. 1) 2, 4, 8,… hasta 10 términos. 2) 1, 4, 16,… hasta 7 términos. 3) 48, 24, 12,… hasta 6 términos. II.- Se dan tres de los cinco elementos de una progresión geométrica. Calcular los otros dos elementos.

1) 𝑎1=1, 𝑎𝑛= - 32

243, r= -

2

3

2) 𝑎1 = 2, 𝑎6 = 64 , 𝑛 = 6 3) 𝑟 = 2, 𝑠7 = 635 , 𝑛 = 7 III.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Interpolar tres medios geométricos entre 16 y 1

16.

2) La media geométrica de dos números positivos es 4. Hallar los números si uno de ellos es el

cuádruplo del otro.

3) El tercer término de una progresión geométrica es 3, y el séptimo término es 3

16. Calcular la razón

y el primer término.

4) El segundo término de una progresión geométrica es -18, y el quinto término es 16

3. Calcular el

sexto término y la suma de los cinco primeros términos. 5) Una bomba para extracción de aire expulsa en cada movimiento la décima parte del aire de un

tanque. Calcular la fracción del volumen original de aire que queda en el tanque, al final de ocho movimientos.

6) Un recipiente contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan seis litros y se reemplazan con agua. Si

esta operación se efectúa seis veces, calcular la cantidad de alcohol puro que queda en el recipiente.

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Laboratorio # 15 Progresión Geométrica Infinita I.- Calcular la suma de la progresión geométrica infinita dada. 1) 12, 6, 3,…

2) 3, √3, 1,…

5) √5, 1, √5,

5

II.- Escribir la fracción común (simplificada) equivalente al decimal periódico infinito dado. 1) 0.123̅̅ ̅̅ ̅. 2) 3.201̅̅ ̅̅ ̅. 3) 0.4512̅̅̅̅ . 4) 1.037̅̅ ̅̅ ̅. III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Una pelota de hule cae de una altura de 9 metros y cada vez rebota hasta una tercera parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta teóricamente quede en reposos. 2) Una pelota de hule cae de una altura de 10 metros y cada vez rebota hasta una quinta parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta teóricamente quede en reposos.

3) La suma de una progresión geométrica infinita es 2113⁄ . Si el primer término es 16, hallar el

quinto término.

4) La suma de una progresión geométrica infinita es 81. Si la razón es 2 3⁄ , hallar el séptimo

término.

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Laboratorio # 16 Teoría de ecuaciones I I.- Hallar los valores que se piden del polinomio dado usando la división sintética y el teorema de residuo

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3 𝑥2 + 5𝑥 − 7; 𝑓(2), 𝑓(−1)

2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 5𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 8 ; 𝑓(1), 𝑓(−2)

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥4 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 8; 𝑓(3), 𝑓(−1)

II.- Obtener el cociente y el residuo usando la división sintética.

1) (𝑥3 + 4𝑥2 + 7𝑥 − 2) ÷ (𝑥 + 2)

2) (𝑥4 + 2𝑥3 − 10𝑥2 − 11𝑥 − 7) ÷ (𝑥 − 3)

3) 𝑥6 − 𝑥4 + 𝑥2 − 2) ÷ (𝑥 − 1)

III.- Averiguar, usando el teorema del factor y la división sintética, si el binomio dado es factor del polinomio dado.

1) 𝑥 − 1; 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 1

2) 𝑥 + 2; 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 9

3) 𝑥 + 3; 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 4𝑥4 − 7𝑥2 + 5𝑥 − 3 IV.- Averiguar, usando el teorema del factor y la división sintética si la ecuación dada tiene la raíz que se indica

1) 𝑥3 − 9𝑥2 + 26𝑥 − 24 = 0 ; 𝑥 = 2.

2) 𝑥4 + 5𝑥3 + 4𝑥2 − 7𝑥 − 3 = 0 ; 𝑥 = −3.

3) 2𝑥4 + 10𝑥3 + 11𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0 ; 𝑥 = −2.

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Laboratorio # 17 Teoría de Ecuaciones II

I.- Utilizar el teorema del factor y la división sintética para obtener el resultado que se pide. 1) Demostrar que 𝑥 − 3 es un factor de 𝑥3 − 2𝑥2 − 23𝑥 + 60. Hallar los factores restantes. 2) Demostrar que 𝑥 − 1 y 𝑥 + 2 son factores de 𝑥4 + 2𝑥3 − 7𝑥2 − 8𝑥 + 12 , y hallar los factores restantes. II.-Construir la gráfica del polinomio dado y hallar las raíces reales de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0. 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6. 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6. 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 11𝑥2 + 25𝑥 − 12. 4) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 17𝑥2 + 21𝑥 − 34. 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 − 5𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4. 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥4 − 8𝑥3 + 8𝑥2 + 16𝑥 − 16. III.-Tazar la gráfica de 𝑓(𝑥) sin efectuar los productos indicados. 1) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3. 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 3)3(𝑥 − 4)2.

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Laboratorio # 18 Teoría de Ecuaciones III I. -Comprobar que la ecuación dada tiene como raíces los valores de r, y hallar las raíces restantes. 1) 𝑥3 − 7𝑥 − 6 = 0, 𝑟 = 3.

2) 6𝑥4 − 41𝑥3 + 64𝑥2 + 19𝑥 − 12 = 0, 𝑟 = 4, − 12⁄ .

3) 𝑥4 − 4𝑥3 + 𝑥2 + 16𝑥 − 20 = 0, 𝑟 = 1, −5.

4) 3𝑥4 − 11𝑥3 + 34𝑥2 + 46𝑥 − 12 = 0, 𝑟 = 13⁄ , −6.

II.-Se dan unas raíces de la ecuación. Hallar las raíces restantes. 1) 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 6 = 0, 1 − 𝑖.

2) 𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 + 4 = 0, 1 − √2.

4) 𝑥5 − 8𝑥4 + 26𝑥3 − 40𝑥2 + 16𝑥 = 0, 2 + √2, 2 + 2𝑖

5) 𝑥6 − 2𝑥5 − 4𝑥4 − 8𝑥3 − 77𝑥2 + 90𝑥 + 360 = 0, √5, 3𝑖 III.-Hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de la ecuación dada, por

medio de la regla de Descartes 1) 2𝑥4 + 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0.

2) 3𝑥3 + 9𝑥2 − 7𝑥 + 4 = 0. 3) 𝑥5 + 3𝑥3 + 5𝑥 = 0.

4) 𝑥8 − 1 = 0

5)𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥3 − 7𝑥2 = 0. 6)𝑥9 + 4𝑥7 − 6𝑥6 + 4𝑥4 − 8 = 0.

Álgebra Enero 2018

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IV.-Hallar todas las raíces de la ecuación dada. 1) 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 4 = 0. 2) 9𝑥4 + 15𝑥3 − 143𝑥2 + 41𝑥 + 30 = 0. 3) 3𝑥5 + 5𝑥4 + 𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥 = 0. 4) 8𝑥4 − 28𝑥3 + 34𝑥2 − 175𝑥 − 100 = 0.