Álgebra elemental
description
Transcript of Álgebra elemental
![Page 1: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/2.jpg)
1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos
![Page 3: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/3.jpg)
2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados
![Page 4: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/5.jpg)
1.Una suma por una diferencia.
2. Binomio al cuadrado.
3. El producto de dos binomios con un término en común.
4. El cuadrado de un multinomio.
![Page 6: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/7.jpg)
a b a b
![Page 8: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/8.jpg)
2 2a b a b a b
![Page 9: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/9.jpg)
5 5s s
![Page 10: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/10.jpg)
2
2
2
55_____5
5 25__________
5
5
5 25
0 2
ss
s
s
s s s
ss
![Page 11: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/11.jpg)
3 2 3 2a b a b
![Page 12: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/12.jpg)
2 2 2
2
2
2
3 2 3 2
3 2 9
3 2 3 4
4
2 9
a b a b
a
a b a b a b
b a b
![Page 13: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/13.jpg)
3 2 3 22 7 2 7h k h k
![Page 14: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/14.jpg)
3 2 3 2
2 23 2
6
3 2 3 2 6
4
42 7 2 7 4
2 7 2
9
7
2 7
4 9
4
4
h k h k
h k
h k
h k h k h k
![Page 15: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/16.jpg)
2a b
![Page 17: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/17.jpg)
2 2 22a b a ab b
![Page 18: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/18.jpg)
24 2r s
![Page 19: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/19.jpg)
2
2
2
2
2 2
2
2
4 2
4 2 4 2 2
16 1
4 2 16
6
16 4
4
r
r s
r r s s
r
s r r
r s
s s
s
![Page 20: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/20.jpg)
2
22
2 2
2 2 2
3
2 3 3
6
3 6 9
9
h k
h h k k
h h
h
k
h
k
k h k k
![Page 21: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/21.jpg)
2a b
![Page 22: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/22.jpg)
2 2 22a b a ab b
![Page 23: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/23.jpg)
23 2
2 23
23 2 6 2 3 2
3
2 2
2
6 2 3 2 2 2
5 3
5 2 5 3 3
5 3 25 30
25 0
9
3 9
a b cd
a b a b cd cd
a b a bcd
a b cd a b a bcd c
c d
d
![Page 24: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/25.jpg)
x a x b
![Page 26: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/26.jpg)
2x a x b x a b x ab
![Page 27: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/27.jpg)
2
2
2
2
7 1 7 2
7 1 2 7 1 2
49 3 7 2
49 21 2
7 1 7 2 49 21 2
i i
i i
i i
i
i
i
i i i
![Page 28: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/28.jpg)
2 3
22 3 2 3
2 2 3 2 3
2 2 3 2 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 4
q p q r
q p r q p r
q p q r q p r
q p q r q p r
![Page 29: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/29.jpg)
2
2 2
2 2
1 13 2 3 6
1 1 1 13 2 6 3 2 6
3 1 1 2 19 6 3 12 9 6 3 12
2 1 19 18 12 9 9 12
m m
m m
m m m m
m m m m
![Page 30: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/31.jpg)
El cuadrado de un multinomio esigual a la suma de los cuadradosde cada término, más la sumaalgebraica del doble producto decada término por cada uno de losque le suceden.
![Page 32: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/32.jpg)
2
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c ab ac bc
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadradosde cada término, más la suma algebraica del doble producto decada término por cada uno de los que le suceden.
![Page 33: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/33.jpg)
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c d
a b c dab ac ad bc bd cd
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadradosde cada término, más la suma algebraica del doble producto decada término por cada uno de los que le suceden.
![Page 34: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/34.jpg)
22
22 3
22
2 3
2 133 4
2 1
x y z w
r s t
a a
![Page 35: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/36.jpg)
1.Las cuatro operaciones fundamentales2.Productos notables y factorización3.Fracciones4.Ecuaciones de primer grado5.Funciones y gráficas6.Ecuaciones simultaneas de primer grado7.Exponentes radicales8.Ecuaciones de segundo grado9.Razones, proporciones y variaciones10.Logaritmos
![Page 37: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/37.jpg)
2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados
![Page 38: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/39.jpg)
Para factorizar un multinomio esnecesario encontrar primero doso más multinomios o un monomioy uno o más multinomios, cuyoproducto sea el multinomio dado.
![Page 40: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/40.jpg)
1. Multinomios que tienen un factor común.
2. La diferencia de dos cuadrados.
3. Trinomios que son cuadrados perfectos.
4. Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos.
![Page 41: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/41.jpg)
Si cada término de un multinomioes divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizardividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en elcapítulo 1.
![Page 42: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/42.jpg)
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2 7 5ax ay az
![Page 43: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/43.jpg)
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2 7 5 1 2 7 5
2 7 52 7 5
2 7 52 7 5
ax ay az ax ay az
a ax ay azax ay az aa a
ax ay aza a x y z
a a a
![Page 44: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/44.jpg)
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2 7 5 2 7 5ax ay az a x y z
![Page 45: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/45.jpg)
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.
3 2 2 3 211 2t s t s t s
![Page 46: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/46.jpg)
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio deacuerdo con el método visto en el capítulo 1.
3 2 2 3 2
2 2
11 2
11 2
t s t s t s
t s ts s
![Page 47: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/47.jpg)
3 2 4 2 4 2r m n s m n t s m n
![Page 48: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/48.jpg)
3 2 4 2 4 2
2 3 4 4
2 3 5 4
r m n s m n t s m n
m n r s t s
m n r s t
![Page 49: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/49.jpg)
3
22 ( ) 4 ( )
3 2 4 2 4 2
xz xy x
z x y z x y
r m n s m n t s m n
![Page 50: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/50.jpg)
2 2a b
![Page 51: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/51.jpg)
Los factores de la diferencia de loscuadrados de dos números son,respectivamente, la suma y ladiferencia de los dos números.
![Page 52: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/52.jpg)
2 2a b a b a b
![Page 53: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/53.jpg)
4 8
2 22 4
2 4 2 4
2 4 2 4
4 8 2 4 2 4
25
5
5 5
5 5
25 5 5
a b
a b
a b a b
a b a
a b a b a
b
b
![Page 54: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/54.jpg)
16 8
2 28
16 8
4
8 4 8
8 4 8 4
4
8 4 8 4
81 2549 36
9 57 6
9 5 9 57 6
81 25 9 5 9 549 36 7
7 6
9 5 9 57 6
6
7
6
6
7
x y
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y
![Page 55: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/55.jpg)
2
2 2
25 3 3 4
5 3 3 4 5 3 3 4
5 3 3
5 3 3 4
5 3 3 4 5 3 4
4 5 3 3 4
3
a b m n
a b m n a b m n
a b m n a b
a b m n
a b m n a b m
m n
n
![Page 56: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/56.jpg)
2 2 2
2 2 2
Los trinomios
2
2
son cuadrados perfectos y en cada caso seobserva que dos de los términos soncuadrados perfectos y positivos y que eltercer término es el doble producto de lara
a b a ab b
a b a ab b
íz cuadrada de los otros dos.
![Page 57: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/57.jpg)
Además, que si el término del doble productoes positivo, el trinomio es el cuadrado de lasuma de las dos raices cuadradas, y que si eltérmino del doble producto es negativo, eltrinomio es el cuadrado de la diferencia delas dos raíces cuadradas.
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a ab b
a b a ab b
![Page 58: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/58.jpg)
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a ab b
a b a ab b
24 12 9s s
![Page 59: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/59.jpg)
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a ab b
a b a ab b
224 12 9 2 3s s s
![Page 60: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/60.jpg)
2
2
2
2
2
2 2
4 4 1
2 2 2 1 1
2 1
4 4
2
1 2 1
1
k k
k k
k k
k k k
![Page 61: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/61.jpg)
22
2
2
2 2
2
2 2
1 1 11
1 116 2
1 124 4
14
6
14
2 4
cc
c c
c c
c c
c cc c
c c
![Page 62: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/63.jpg)
2x a x b x a b x ab
![Page 64: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/64.jpg)
4 ² 4 3 ²x xy y
![Page 65: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/65.jpg)
4 ² 4 3 ²2 3 2x xy yx y x y
![Page 66: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/66.jpg)
² 4 21s s
![Page 67: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/67.jpg)
² 4 21
7 3s ss s
![Page 68: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/68.jpg)
4 43 ² ²3 9
p pq q
![Page 69: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/69.jpg)
4 43 ² ²
3 94 4² 3 ²9 3
2 23
3 3
p pq q
q pq p
q p q p
![Page 70: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/70.jpg)
Para entender este caso, hagamosprimeramente la multiplicaciónde dos binomios:ax by cx dy
![Page 71: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/71.jpg)
2
2
2
2 2
2
_________
________________
ax by
cx dy
acx bcxy
adxy bdy
acx ad b
ax by cx dy acx ad bc xy bd
c xy
y
bdy
ax by cx dy
![Page 72: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/72.jpg)
2 2
2 2
Consideremos un trinomio del tipo
.
Si
entonces, ,
px qxy ry
px qxy ry ax by cx dy
p ac q ad bc r bd
2 2ax by cx dy acx ad bc xy bdy
![Page 73: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/73.jpg)
2 2
2
2
Esto es, si se expresacomo el doble producto de dos binomios,los primeros términos de los binomios deben
ser factores de , los dos segundos términos
deben ser factores de y la suma de
px qxy ry
px
ry
losproductos del primer término de cada binomiopor el segundo término de cada binomio por elsegundo término del otro debe ser .qxy
![Page 74: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/74.jpg)
2 2
2 2
Consideremos un trinomio del tipo .
Si entonces
, ,
px qxy ry
px qxy ry ax by cx dy
p ac q ad bc r bd
A los dos últimos productos
los denominaremos los productos cruzados.qxy
![Page 75: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/75.jpg)
2 214 13 12x xy y
![Page 76: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/76.jpg)
2 214 13 1214 1 14, 2 712 1 12, 2 6, 3 42 3 7 4
x xy y
x y x y
![Page 77: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/77.jpg)
2 224 26 15c cd d
![Page 78: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/78.jpg)
2 224 26 1524 1 24, 2 12, 3 8, 4 615=1 15, 3 52 3 12 5
c cd d
c d c d
![Page 79: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/79.jpg)
5 4 318 6 24x x x
![Page 80: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/80.jpg)
5 4 3
3 2
3
18 6 24
18 6 24
9 12 2 2
x x x
x x x
x x x
![Page 81: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/81.jpg)
2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados
![Page 82: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/82.jpg)
Ahora nos ocuparemos de aquellosfactores cuyos coeficientes sonnúmeros racionales y cuyosexponentes son enteros.
![Page 83: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/83.jpg)
Aquellas expresiones cuyos factoresno llenan estos requisitos se deoniman
.irreductibles
Ahora nos ocuparemos de aquellos factorescuyos coeficientes son números racionalesy cuyos exponentes son enteros.
![Page 84: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/84.jpg)
6 6 12 12
Corrientemente la suma de dos cuadradoscs irreductible, aunque expresiones como
y , que son la suma dedos cubos, pueden ser factorizados porlos métodos que aquí se indican.
x y x y
![Page 85: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/85.jpg)
Los binomios del tipo se pueden dividiren las cuatros clases siguientes:1. La suma o la diferencia de dos cubos
2. Binomios del tipo para mayor que 3y divisible por 2.
3. Binomios del tipo
n n
n n
x y
x y n
para mayor que 3y divisible por 3.
4. Binomios del tipo para mayor que 3y no divisible por 3 ni por 2.
n n
n n
x y n
x y n
![Page 86: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/86.jpg)
3 3x yx y
![Page 87: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/87.jpg)
3 3x y x y
![Page 88: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/88.jpg)
2
3 3x
x y x y
![Page 89: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/89.jpg)
2
3 3
3 2
xx y x y
x x y
![Page 90: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/90.jpg)
2
3 3
3 2
2 3
_____________
0
xx y x y
x x y
x y y
![Page 91: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/91.jpg)
2
3 3
3 2
2 3
_____________
0
x xyx y x y
x x y
x y y
![Page 92: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/92.jpg)
2
3 3
3 2
2 3
2 2
_____________
0
x xyx y x y
x x y
x y y
x y xy
![Page 93: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/93.jpg)
2
3 3
3 2
2 3
2 2
2 3
_____________
0
_______________
0
x xyx y x y
x x y
x y y
x y xy
xy y
![Page 94: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/94.jpg)
2 2
3 3
3 2
2 3
2 2
2 3
_____________
0
_______________
0
x xy yx y x y
x x y
x y y
x y xy
xy y
![Page 95: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/95.jpg)
2 2
3 3
3 2
2 3
2 2
2 3
2 3
_____________
0
_______________
0
_________
x xy yx y x y
x x y
x y y
x y xy
xy y
xy y
0
![Page 96: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/96.jpg)
3 3 2 2x y x y x xy y
![Page 97: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/97.jpg)
El primer factor de la suma de los cubosde los números es la suma de los dos números.El segundo factor es el cuadrado del primernúmero menos el producto del primernúmero por el segundo más el cuadradodel segundo número.
![Page 98: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/98.jpg)
6 3
39
3 12
27
648125 8
s t
ij
m n
![Page 99: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/99.jpg)
3 3x yx y
![Page 100: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/100.jpg)
3 32 2x y x xy y
x y
![Page 101: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/101.jpg)
3 3 2 2x y x y x xy y
![Page 102: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/102.jpg)
El primer factor de la diferencia de los cubosde los números es la diferencia de los dosnúmeros.El segundo factor es el cuadrado del primernúmero más el producto del primernúmero por el segundo más el cuadrado delsegundo número.
![Page 103: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/103.jpg)
3 3
36
15 9
12527
1000
a b
yx
k l
![Page 104: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/104.jpg)
Binomios del tipo para mayor que 3 y divisible por 2.n nx y n
2 2/ 2 / 2
2 2
En este caso se expresa en la forma
En esta forma el binomio es la diferencia dedos cuadrados y se puede factorizarmediante el empleo de
=
Si / 2 es divisible por 2, se aplica
n n
n n
x y
x y
x y x y x y
n
nuevamenteel procedimiento anterior y se continúa asíhasta donde sea posible.
![Page 105: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/105.jpg)
3 3/3 /3
3 3 2 2
En este caso se puede expresar como
y .
Por tanto, los binomios de este tipo seconsideran como la suma o la diferenciade dos cubos y pueden aplicarse las fórmulas
.
n n
n n
x y
x
x y x y x xy y
Binomios del tipo para mayor que 3 y divisible por 3.n nx y n
![Page 106: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/106.jpg)
Si es divisible por 2 o por 3, la expresiónse factoriza por los anteriores métodos. Sin embargo, si no es múltiplo de 2 ni de 3,la expresión se puede factorizar por mediode las siguientes fórmulas
n
n
. Estas se dan sindemostración, pero se pueden comprobar,mediante divisiones laboriosas, para cualquiervalor entero positivo de .n
Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n
![Page 107: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/107.jpg)
1 2 3 2 2 3 2 1
Si no es divisible ni por 2 ni por 3,
...
n n
n n n n n n
n
x y
x y x x y x y x y xy y
Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n
![Page 108: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/108.jpg)
1 2 3 2 2 3 2 1
Para cualquier entero no divisible ni por 2 ni por 3,
...
n n
n n n n n n
n
x y
x y x x y x y x y xy y
Binomios del tipo para mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.n nx y n
![Page 109: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/109.jpg)
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
1 2 3 2 2 3 2 1
1 2 3 2 2 3 2 1
...
no divisible ni entre 2 ni entre 3
...
no divisible ni entr
n n n n n n n n
n n n n n n n n
x y x y x y
x y x y x xy y
x y x y x xy y
x y x y x x y x y x y xy y
n
x y x y x x y x y x y xy y
n
e 2 ni entre 3
con par y no divisible entre 3, es irreductiblen nx y n
![Page 110: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/110.jpg)
![Page 111: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/111.jpg)
6 6m s
![Page 112: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/112.jpg)
6 6
2 23 3
3 3 3 3
3 3 3 3
m s
m s
m s m s
m s m s
![Page 113: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/113.jpg)
6 6
2 23 3
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 2 2
m s
m s
m s m s
m s m s
m s m s m ms s
![Page 114: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/114.jpg)
16 16a b
![Page 115: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/115.jpg)
16 16
2 28 8
8 8 8
8 8
8
8 8
a b
a b
a b a
a b a
b
b
![Page 116: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/116.jpg)
8 8
2 24 4
4 4 4 4
44 4 4
a b
a b
a b a b
a b a b
![Page 117: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/117.jpg)
16 16
2 28 8
8 8 8 8
8 8 4 4 4 4
a b
a b
a b a b
a b a b a b
![Page 118: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/118.jpg)
4 4
2 22 2
2 2 2 2
22 2 2
a b
a b
a b a b
a b a b
![Page 119: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/119.jpg)
16 16
2 28 8
8 8 8 8
8 8 4 4 2 2 2 2
a b
a b
a b a b
a b a b a b a b
![Page 120: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/120.jpg)
2 2a b a b a b
![Page 121: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/121.jpg)
16 16
2 28 8
8 8 8 8
8 8 4 4 2 2
a b
a b
a b a b
a b a b a b a b a b
![Page 122: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/122.jpg)
15 15b c
![Page 123: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/123.jpg)
15 15
3 35 5
2 25 5 5 5 5 5
10 5 5 15 5 0
b c
b c
b c
b
b b c c
b b cc c
![Page 124: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/124.jpg)
15 15
3 35 5
2 25 5 5 5 5 5
5 5 10 5 5 10
4 3 2 2 3 4 10 5 5 10
b c
b c
b c b b c c
b c b b c c
b c b b c b c bc c b b c c
![Page 125: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/125.jpg)
10 5 5 10
2 2 8 7 5 3 4 4 3 5 7 8
b b c c
b bc c b b c b c b c b c bc c
![Page 126: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/126.jpg)
7 7x y
![Page 127: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/127.jpg)
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
x y
x y x x y x y x y x y xy y
![Page 128: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/128.jpg)
3125 x y
![Page 129: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/129.jpg)
3
3 3
2 2
2
2 2
2 2
125
5
5 5 5
5 25 5
5 25 5 5 2
5 2 5 5 25
x y
x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y xy
x y x y xy x y
![Page 130: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/130.jpg)
39 3 1x m
![Page 131: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/131.jpg)
39 3
3 33 3
2 23 3 3 3 3 3
3 3 6 3 3 3 6 3
1
1
1 1 1
1 2 1
x m
x m
x m x x m m
x m x x m x m m
![Page 132: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/132.jpg)
![Page 133: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/133.jpg)
2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados
![Page 134: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/134.jpg)
Frecuentemente un multinomio quecontiene cuatro o más términos sepuede reducir a una forma factorizablemediante una adecuada agrupación desus términos y posterior factorizaciónde los grupos.
![Page 135: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/135.jpg)
Si esto es posible, el multinomio sepuede factorizar por medio de algunode los métodos anteriores.
![Page 136: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/136.jpg)
1mn m n
![Page 137: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/137.jpg)
11
1 1
1 1
mn m nmn m n
m n n
n m
![Page 138: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/138.jpg)
3 3ab a b
![Page 139: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/139.jpg)
3 33 3
1 3 1
1 3
ab a bab b a
b a a
a b
![Page 140: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/140.jpg)
5 2 10uv v u
![Page 141: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/141.jpg)
5 2 102 5 10
2 5 2
2 5
uv v uuv u v
u v v
v u
![Page 142: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/142.jpg)
6 6rs s r
![Page 143: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/143.jpg)
6 66 6
6 6
6 1
rs s rrs s r
s r r
r s
![Page 144: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/144.jpg)
2 2 2 225 10 4 4r rs s t tu u
![Page 145: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/145.jpg)
2 2 2 2
2 2
25 10 4 4
5 2
5 2 5 2
5 2 5 2
r rs s t tu u
r s t u
r s t u r s t u
r s t u r s t u
![Page 146: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/146.jpg)
2 2 2 29 6 4 4a ab b c cd d
![Page 147: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/147.jpg)
2 2 2 2
2 2
9 6 4 4
3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
a ab b c cd d
a b c d
a b c d a b c d
a b c d a b c d
![Page 148: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/148.jpg)
2 26 6 13 4 6ms m mn sn n
![Page 149: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/149.jpg)
2 2
2 2
6 6 13 4 6
6 13 6 6 42 3 3 2 2 3 2
3 2 2 3 2
ms m mn sn n
m mn n ms nsm n m n s m n
m n m n s
![Page 150: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/150.jpg)
2 225 15 13 5 2jk j jh hk h
![Page 151: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/151.jpg)
2 2
2 2
25 15 13 5 2
25 5 15 13 25 5 5 3 2
5 5 3 2
jk j jh hk h
jk hk j jh hk j h j h j h
j h k j h
![Page 152: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/152.jpg)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
25 10 4 4
9 6 4 4
6 6 13 4 6
25 15 13 5 2
r rs s t tu u
a ab b c cd d
ms m mn sn n
jk j jh hk h
![Page 153: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/153.jpg)
2.1 El producto de dos binomios2.2 El cuadrado de un multinomio2.3 El proceso de factorización2.4 Factores de binomios del tipo an+bn2.5 Factorización por agrupación2.6 Trinomios que son reductibles a la diferencia de dos cuadrados
![Page 154: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/154.jpg)
Si se puede convertir un trinomioen un cuadrado perfecto,mediante la adición de un términoque sea cuadrado perfecto,entonces se puede expresar el trinomiocomo una diferencia de cuadrados.
![Page 155: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/155.jpg)
4 2 2 44 8 9x x y y
![Page 156: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/156.jpg)
4 2 2 4
4 2 2 4 2 2 2 2
4 2 2 2 2 4 2 2
4 2 2 4 2 2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 8 9
4 8 9 4 4
4 8 4 9 4
4 12 9 4
2 3 4
2 3 2 2 3 2
2 2 3 2 2 3
x x y y
x x y y x y x y
x x y x y y x y
x x y y x y
x y x y
x y xy x y xy
x xy y x xy y
![Page 157: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/157.jpg)
Debe observarse que este métodose aplica únicamente si al agregarun cuadrado perfecto al trinomioéste se convierte en cuadrado perfecto.
![Page 158: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/158.jpg)
4 2 2 4
2 2
4 2 2 4
4 2 2 4 2 2 2 2
24 2 2 4 2 2 2 2 2 2
Por ejemplo,
se convierte en cuadrado perfecto cuando
se le sustrae .Sin embargo, se tiene
2
que por ser suma de dos cuadrados no
x x y y
x y
x x y y
x x y y x y x y
x x y y x y x y x y
es factorizable.
![Page 159: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/159.jpg)
4 2 2 42 9a a b b
![Page 160: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/160.jpg)
4 2 2 4
4 2 2 4 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2
22 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 9
2 9 4 4
6 9 4
3 4
3 2 3 2
2 3 2 3
2 3 2 3
a a b b
a a b b a b a b
a a b b a b
a b a b
a b ab a b ab
a ab b a ab b
a ab b a ab b
![Page 161: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/161.jpg)
4 2 4 84 41 64x x y y
![Page 162: Álgebra elemental](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061411/568166db550346895ddb002e/html5/thumbnails/162.jpg)
4 2 4 8
4 2 4 8 2 4 2 4
4 2 4 8 2 4
22 4 2 4
2 4 2 2 4 2
2 4 2 2 4 2
4 41 64
4 41 64 9 9
4 32 64 9
2 8 9
2 8 3 2 8 3
2 8 3 2 8 3
x x y y
x x y y x y x y
x x y y x y
x y x y
x y xy x y xy
x y xy x y xy