7/24/2019 lgebra de Clases Para La Demostracin de Las Inferencias Inmediatas de La Lgica Aristotlica

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Ecuaciones para las proposiciones universales

A Todo S es P.

S P

SP SP SPSP = 0

SP = 0

S P

SP SP SP

E Ningn S es P.

_ _

__

_

U

U

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Ecuaciones para las proposiciones particulares

I Algn S es P.

S P

SP SP SPSP 0

SP 0

S P

SP SP SP

O Algn S no es P.

_ _

__

_

*

*

U

U

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Inerencias in!ediatas

Conversin simpleE Ningn S es P.

Ningn P es S.

I Algn S es P.

Algn P es S.

Contraposicin

A Todo S es P.

Todo no"P es no"S.

O Algn S no es P.

Algn no"P no es no"S.

Ecuaciones: E S P = 0

P S = 0

I S P 0

P S 0

Ecuaciones:

A S P = 0

PS = 0

O S P 0

PS 0

=

=

_

_

_

_

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Propiedades

Conmutatividadde la intersecci#n$ %& = &%

Propiedad involutivade la co!ple!entariedad$% = %

Regla de reemplazo

Si es una e'presi#n contenida en la ecuaci#n ( ) = (

entonces puede ree!plaar a en la ecuaci#n .

Ejemplo$

+,- SP = 0 +- P = /

ee!plaa!os +,- en +-( ) o1tene!os

+2- S/ = 0.

=

3#gica de clases

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Demostrar que las proposiciones de tipo Eadmiten conversin simple.

Sean S y P trminos de clasecualesquiera.

Demostraremos que siningn S es P, entonces

ningn P es S, es decir:

SP = 0 PS = 0

Supongamos que ningn Ses P, es decir,

(! SP = 0.

Por la conmutatividad de lainterseccin, tenemos que

("! SP = PS.

#$ora reempla%amos ("! en(!:

(&! PS = 0 .

'sta ecuacin epresa que

ningn P es S.)uego, si ningn S es P,entonces ningn P es S.

*

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Demostrar que las proposiciones de tipo Iadmitenconversin simple.

Sean S y P trminos de clasecualesquiera.

Demostraremos que si algnS es P, entonces algn P es

S, es decir:

SP 0 PS 0

Supongamos que algn S esP, es decir,

(! SP 0.

Por la conmutatividad de lainterseccin, tenemos que

("! SP = PS.

#$ora reempla%amos ("! en(!:

(&! PS 0.

'sta ecuacin epresa quealgn P es S.

Por lo tanto, si algn S es P,entonces algn P es S.

*

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Demostrar que las proposiciones de tipo Aadmiten conversin contrapuesta.

Sean S y P trminos de clasecualesquiera.

Demostraremos que si todoS es P, entonces todo no+Pes no+S, es decir:

SP = 0 PS = 0

Supongamos que todo S esP, es decir,

(! SP = 0.Por la conmutatividad de lainterseccin, tenemos que

("! SP = PS.

#$ora reempla%amos ("! en (!: (&! PS = 0.

Por la propiedad involutiva,es cierto que

(! S = S.

-inalmente, reempla%amos(! en (&!, para otener

(/! PS = 0.

'sta ecuacin epresa quetodo no+P es no+S.

Por lo tanto, si todo S es Pentonces todo no+P es no+S.

*

=

=

=

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Demostrar que las proposiciones de tipo Oadmiten conversin contrapuesta.

Sean S y P trminos de clasecualesquiera.

Demostraremos que si algnS no es P, entonces algnno+P no es no+S, es decir:

SP 0 PS 0

Supongamos que algn S noes P, es decir,

(! SP 0.Por la conmutatividad de lainterseccin, tenemos que

("! SP =PS.

#$ora reempla%amos ("! en (!: (&! PS 0.

Por la propiedad involutivaes cierto que

(! S = S.

-inalmente, reempla%amos(! en (&!, para otener

(/! PS 0 .

'sta ecuacin epresa quealgn no+P no es no+S.

)uego, si algn S no es P,entonces algn no+P no es no+S.

*

=

=

=