7/21/2019 Algebra de Boule

1/6

4. Algebra de Boole.4.1. Introduccin

La herramienta fundamental para el anlisis y diseo de circuitosdigitales, elctricos y control es el lgebra Booleana. Esta lgebra es un

conjunto de reglas matemticas (similares en algunos aspectos al lgebraconvencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamientode circuitos basados en dispositivos de conmutacin (interruptores,relevadores, transistores, etc). A continuacin se presentan los postuladosque definen el lgebra booleana, se presentan en forma de teoremas losresultados ms importantes, se presentan tambin los tres ejemplosclsicos de lgebras boolenas (lgica proposicional, lgebra de conjuntos,lgebra de switches) y herramientas bsicas como tablas de verdad ydiagramas de Venn.

En 1847, George Boole desarrolla el lgebra, que lleva su nombre,

como un anlisis matemtico. Su objetivo era describir las operacionesmentales mediante las cuales se realizan razonamientos. En 1938,Shannon emplea el lgebra de Boole en circuitos de conmutacin. Suobjetivo era describir la conducta de circuitos digitales mediante un lgebrabinaria.

George Boole.(2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864).

El lgebra de Boole es una estructura algebraica consistente de un conjuntoB, de dos elementos, y dos operaciones binarias; tales que se cumplen losaxiomas de clausura, conmutatividad, asociatividad, distributividad,identidad y complementariedad.

4.2. Postulados.4.2.1. Definicin.

El lgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene unconjunto B de dos elementos, {0, 1}; y dos operadores { * , + }. Losoperadores tambin suelen representarse segn: {AND ( Y), OR(O)}.

La clausura implica que si a y b pertenecen a B, entonces: a*b y a+btambin pertenecen a B.

7/21/2019 Algebra de Boule

2/6

4.2.2. Igualdad.

Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por la otra.

4.2.3. Elementos nicos.

Existen elementos nicos ( 0 y 1) en B tal que para cada aen B, se tieneque:

a + 0 = aa*1= a

4.2.4. Conmutatividad.

4.2.5. Asociatividad.

4.2.6. Distributividad.

Ntese que en la distribucin para la suma en el producto, laexpresin de la derecha es diferente de la empleada habitualmente paranmeros reales y enteros.

7/21/2019 Algebra de Boule

3/6

4.2.7. Complementariedad.

Al complemento nico de a lo representaremos, para facilitar suescritura como not a o NO a o a negado.

4.3. Circuitos de Conmutacin.

Para este ejemplo de lgebra de Boole, el conjunto B es el conjunto de todoslos switches o interruptores. La operacin suma de switches es la conexin enparalelo y la multiplicacin de switches es la conexin en serie, como semuestra en la siguiente figura. Los valores que pueden tomar los switches sonslo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.

Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un circuito abierto (unswitch que siempre est abierto), mientras que el neutro del producto esun corto circuito (un switch que siempre est cerrado).

Conmutatividad. Evidentemente las conexiones en serie y en paralelofuncionan de la misma manera independientemente del orden decolocacin de los switches que interconectan.

Asociatividad. Las conexiones en serie y en paralelo son asociativas, esdecir, al conectar tres switches en paralelo, no importa cual par seconecte primero. En forma similar pasa con la conexin de tres switchesen serie.

Distributividad. La conexin serie es distributiva sobre la conexin enparalelo y la conexin paralelo es distributiva sobre la conexin en serie,en el sentido que se ilustra en la figura siguiente.

7/21/2019 Algebra de Boule

4/6

4.4. Tablas de Verdad y Simbologa de Puertas.4.4.1. Funcin Y ( and).

Cuando varias variables lgicas, de tipo binario, se combinanmediante la operacin lgica AND, producen una variable de salida,que solo toma el nivel lgico 1, estado alto o verdadero, si todas ellastienen dicho nivel o estado. La ecuacin lgica de la funcin ANDpara dos variables de entrada es la siguiente:

S1 S2 S1 y S20 0 01 0 00 1 01 1 1

4.4.2. Funcin O ( or ).

Cuando distintas variables lgicas se combinan mediante la funcinOR, el resultado toma el estado alto, verdadero o 1 si alguna de ellastiene dicho estado. La ecuacin que representa la funcin OR de dos

variables de entrada es la siguiente:

7/21/2019 Algebra de Boule

5/6

S1 S2 S1 o S20 0 01 0 10 1 11 1 1

4.4.3. Funcin Y negado ( Not and _ NAND).

La puerta NAND produce la funcin inversa de la AND, o sea, lanegacin del producto lgico de las variables de entrada. Acta comouna puerta AND seguida de una NOT.

S1 S3 S3 S1 y S3

0 0 1 01 0 1 10 1 0 01 1 0 0

7/21/2019 Algebra de Boule

6/6

4.4.4. Funcin O negado ( Not or).

Esta puerta produce la funcin inversa de la puerta OR, es decir, lanegacin de la suma lgica de las variables de entrada. Sucomportamiento es equivalente a la de la puerta OR seguida de una

NOT.

S1 S2 S2 S1 o S20 0 1 11 0 1 10 1 0 01 1 0 1

4.4.5. Funcin O exclusiva ( XOR)

La salida de esta compuerta es 1, estado alto o verdadero si cada

entrada es 1 pero excluye la combinacin cuando las dos entradasson 1. La funcin OR exclusiva tiene su propio smbolo grfico opuede expresarse en trminos de operaciones complementariasAND, OR.

A B XOR(A o B)0 0 01 0 10 1 11 1 0