LGEBRA ABSTRACTA

M. en C . Eduardo M. Ojeda PenaUniversity of Arizona, E Li A iini.versidad Autnomo de Gcladcllajara [UAG), Guadalajara, Mxico

Revis~rTcnico:

Dr. Ivn Castro

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" 1

Pontificia Universidad Jci~eri; Bogot, Colombia

Sernpio Rendnn 125-06470 Mxtco, D.F.Tel. 7050585 Fnx. 5352009

Versicln en espaflol de la obra Abstruct Algebra por I . N . Herstein. Edicin original en ingles publicada por Macmillan Publishing Company, Copyright O 1986, en Estados Unidos de Amrica. ISBN 0-02-353820-1D. R. O 2988 por Grupo Editorial Iberoamrica, S.A. de C.V. y/o Wadsworth Internacional/IberoamCrica, Belmont, California 94002. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algn sistema, ya sea electrnico, mecnico, de fotorreproduccin, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamrica y/o Wadssorth Intcrnacional/Iberoamr~ca, divisin de Wadsworth, Inc.

ISB 968-7270-42-X Impreso en MkxicoEditor- Nicols Grepe P Productor Oswaldo Ort~z R Cubrerra Miguel Angel Richaud

Grupo Mibrial Iberoamrica, S. A. de C.V.Seriipio Rendn 125. Col. San Ralacl, 06470 Mxico, D. F. Apdo. S- 1977-OfSf0 7C3.705 05 85 Fax 535 20 09

Rcg. CNIEM 1382

En el transcurso de los ltimos cincuenta aos, ms o menos, el lgebra Abstracta ha alcanzado una importancia creciente no slo dentro de la propia matemtica, sino tambin en varias otras disciplinas. Los resultados y conceptos del lgebra Abstracta desempean un papel cada vez ms importante; por ejemplo, en fsica, qumica y ciencias de la computacin, para mencionar slo algunos de tales campos. Dentro de la propia matemtica el lgebra Abstracta desempea una dable funcin: la de vnculo unificador entre ramas dispares de esta ciencia y la de rea de investigacin con una vida muy activa en si misma. El lgebra Abstracta ha sido un campo de investigacin fertil y recompensador tanto en la ltima centuria como en la actualidad. Algunos de los grandes logros de la matemtica del Siglo xx han tenido lugar precisamente en esta rea. Se han demostrado resultados muy interesantes en teora de grupos, teora de anillos conmutativos y no conmutativos, lgebras de Lie, lgebras de Jordan, matemtica cornbinatoria y muchas otras ramas de lo que se conoce genricamente como lgebra Abstracta. Esta materia, que fue catalogada en alguna ocasin como esotrica, ha llegado a ser considerada como completamente accesible a un amplio conjunto de estudiosos. Este libro tiene un doble propsito. A aquellos lectores que deseen proseguir hacia la investigacin en matemticas o en algunos campos relacionados donde se utilicen conceptos y mtodos atgebraicos, esta obra puede servirles como una introduccin -y, recalcamos, slo como una introduccin- a esta fascinante materia. A los lectores que deseen enterarse de lo que est aconteciendo en una atractiva rama de la matemtica moderna, este libro les podr ser iitil para tal fin y les proporcionara algunos medios muy apropiados para su aplicacin en el rea de inters,

vi

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pn~ocoLa eleccin de los temas se ha hecho con el objeto de introducir a los lectores al conocimiento de algunos de los sistemas algebraicos fundamentales, que son a la vez interesantes y de uso extenso. Adems, en cada uno de tales sistemas el propsito ha sido llegar a ciertos resultados significativos. Sera de poca utilidad estudiar algn objeto abstracto sin considerar determinadas consecuencias no triviales de su estudio. Esperamos haber logrado el objetivo de presentar resultados interesantes, aplicables y significativos en cada uno de los sistemas que hemos elegido para su anlisis. Como el lector lo apreciar pronto, hay muchos ejercicios en el libro. Por lo general se dividen en tres categoras: fciles, intermedios y difciles (y ocasionalmente, muy difciles). El propsito de tales problemas es permitir a los estudiantes poner a prueba su grado de asimilacin de la materia, desafiar su ingenio matemtico, preparar el terreno para los temas que siguen y ser un medio de desarrollo de criterio, intuicin y tcnica matemticas. Los lectores no deben desanimarse si no logran resolver todos los problemas. La idea de muchos de los ejercicios es que se intente resolverlos -aunque esto no se logre- para el placer (y frustracin) del lector. Algunos de los problemas aparecen varias veces en el libro. La mejor manera de avanzar en el aprendizaje de esta disciplina es, indudablemente, tratar de resolver los ejercicios. Hemos procurado desarrollar los temas en el lenguaje y tono de una clase en el aula. Por consiguiente, la exposicin es a veces un poco "festiva"; esperamos que esto haga que sea ms fcil para el lector. Se ha tratado de presentar muchos ejemplos que pongan en relieve los diversos conceptos tratados, Algunos de ellos resultan ser ejemplos de otros fenmenos. Con frecuencia se hace referencia a ellos a medida que avanza la discusin. Creemos que el libro es autosuficiente, excepto en una seccin -la penltima- donde se hace uso implcito del hecho de que un polinomio sobre el campo complejo tiene races complejas (o sea, el famoso Teoremafundamental del lgebra, debido a Gauss) y en la ltima, donde se utiliza un poca de Clculo. Estamos agradecidos con muchas personas por las observaciones y sugerencias formuladas acerca de versiones preliminares del libro. Muchos de los cambios que sugirieron han sido incorporados y favorecen la accesibilidad del libro. Expresamos nuestro agradecimiento especial al profesor Martin Isaacs, por sus comentarios sumamente tiles. Tambin agradecemos a Fred Flowers su excelente trabajo al mecanografiar el manuscrito, y al seor Gary W. Ostedt, de Macmillan Company, por su entusiasmo en el proyecto editorial y por Ia publicacin del libro. Dicho lo anterior, deseamos a todos los lectores una feliz travesa en el viaje matemtico que estn a punto de emprender al interior de este grato y atractivo mundo del lgebra Abstracta.* I.N.H.* Esta editorial tiene a disposicidn de los profesores que adopten el presente texto, el Manual de[ Profesur elaborado por el autor de este libro.

TEMAS FUNDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . .Algunas observaciones preliminares ........................ Teoradeconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones o aplicaciones (mapeos) ......................... A ( S ) (Conjunto de las aplicaciones inyectivas de S sobre s mismo) ..................................... Los nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induccin matemtica .................................... Nmeros complejos ......................................

Definiciones y ejemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunas observaciones sencillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . TeoremadeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homomorfismos y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENIDO

2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Teoremas de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Productos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupos abelianos finitos {opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjugacin y teorema de Sylow (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 88 92

96101

3 EL GRUPO SIMETRICO . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 3.2 3.3 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descomposicin en ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutaciones impares y pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ji 09109 112 118

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algunos resultados sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ideales. homomorfismos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ideales mximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios sobre los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo de cocientes de un dominio integral . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 136 139 148 151 165 171

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Ejemplos de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Breve excursin hacia los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . Extensiones de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensiones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ConstructibiIidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Races de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176 179 192 198 201 207

6.1 6.2

Simplicidad de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos finitos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 221

Contenido

X

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Campos finitos 11: Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos finitos 111: Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios ciclotmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterio de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irracionalidad de .R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224 228 229 237 240

STUDIANTEGrupo Editorial Iberoamrica en su esfuerzopermanente de producir cada vez mejores textos, pone en tus manos esta nueva obra, en la que se ha puesto la ms alta calidad en los aspectos terico y didctico, as como en diseo y presentacin, con el objetivo de proporcionarte la mejor herramienta, no slo para facilitarte el aprendizaje sino tambin para hacrtefo ms estimulante. Este, como cualquiera de nuestros libros, ha sido cuidadosamente seleccionado para que encuentres en l un pilar de tu preparacin, y un complemento ideal a la enseanza del maestro, Lo didctico de la presentacin de sus temas har que lo consideres el mejor auxiliar, y el que lleves a todas partes. Lo anterior esparte de nuestro propsito de ser partcipes en una mejor preparacin de profesionales, contribuyendo asa la urgente necesidad de un mayor desarrollo de nuestros pases hispanohablantes, Sabemos que esta obraserfundamental en tu biblioteca, y tal vez la mas inmediata y permanente fuente de consulta. Como uno de nuestros intereses principales es hacer mejores libros en equipo con profesores y estudiantes, agradeceremos tus comentariosy sugerencias o cualquier observacin que contribuyaal enriquecimiento de nuestraspublicaciones. Grupo Editorial Iberoamrica

. . .presente en tu formacin profesionalxiii

UNDAM

1.I ALGUNAS OBSERVACIONES PRELIMINARESPara muchos Iectores este libro ser su primer contacto con la matemtica abstracta. La materia que tratar se llama usualmente '"lgebra abstracta", pero las dificultades con las que el lector podra enfrentarse no se deben tanto a la parte "lgebra" sino a la parte "abstracta"'. Al estudiar por primera ocasin alguna rea de la matemtica abstracta, sea anlisis, topologa o cualquiera otra, parece existir una reaccin comn en el principiante. sta se puede describir mejor como una sensacin de andar a la deriva, de no contar con algo firme de donde sujetarse. Esto no es de extraar, porque aunque muchas de las ideas son fundamentalmente muy sencillas, a la vez son sutiles y parecen escapar aI entendimiento en la primera ocasin. Una manera de mitigar esta sensacin de estar en el limbo o de preguntarse a s mismo "de qu se trata todo esto?)', es analizar el concepto considerado y ver qu dice en casos partculares. En otras palabras, el mejor camino hacia la comprensin de las nociones presentadas es examinar ejemplos. Esto es cierto en toda la matemtica y especialmente en el lgebra abstracta. Es posible describir rpidamente, a grandes rasgos, la esencia, el propsito y los antecedentes del material que estudiaremos? Hagamos un intento. Se comienza con alguna coleccin S de objetos y fuego se le data de una estructura algebraica, suponiendo que pueden combinarse los elementos de este conjunto S de una o de varias maneras (usualmente dos), para obtener de nuevo elementos de dicho conjunto. A estas formas de combinar elenientos de

S se les llama operaciones en S. Luego se trata de condicionar o regular la naturaleza de S imponiendo ciertas reglas sobre cmo se comportan estas operaciones en S. Tales reglas suelen denominarse los axiomas que definen la estructura particular en S . Debemos determinar los axiomas, pero en la matemtica, historicamente, la eleccin hecha proviene de la observacin de que existen muchos sistemas matemticos concretos que satisfacen tales reglas o axiomas. En este libro se estudiarn algunos de los sistemas algebraicos axiomtcos bsicos, a saber, grupos, anillos y campos. Se pueden poner a prueba, desde luego, muchos conjuntos de axiomas para definir nuevas estructuras. Qu se exigira a una de tales estructuras? Sera deseable, naturalmente, que los axiomas fueran consistentes, es decir, que no se pueda arribar a ninguna contradiccin absurda trabajando en el marco de las cosas admisibles que los axiomas permitan hacer, Pero esto no es suficiente, ya que se pueden constituir fcilmente estructuras afgebraicas de este tipo imponiendo una serie de reglas a un conjunto S que conduzcan a un sistema patolgico o extrao. Adems, puede ser que haya muy pocos ejemplos que muestren algo que obedezca las reglas que se fijaron. El tiempo ha demostrado que ciertas estructuras definidas mediante "axiomas" desempean un papel importante en la matematica (lo mismo que en otras reas) y que algunas otras carecen de inters. Las mencionadas anteriormente, es decir, grupos, anillos y campos, han resistido al paso del tiempo, Una observacin acerca del uso de los '%xiomas". En el lenguaje cotidiano "axioma" significa una verdad evidente. Pero no estamos utilizando este lenguaje; nos estamos ocupando de la matematica. Un axioma no es una verdad universal -cualquiera que sta sea- sino una de varias reglas que describen una estructura matemtica dada. Un axioma es verdadero en el sistema que se est estudiando, porque se ha impuesto su veracidad por hiptesis, Es una licencia para realizar ciertas cosas dentro de la estructura particular. Se vuelve ahora a algo que se mencion al principio, respecto de la reaccin que muchos estudiantes tienen en su primer contacto con este tipo de lgebra, es decir, una falta de confianza en que la materia sea algo que pueden asimilar. Se exhorta al lector a que no se desanime si la exposicin inicial le causa un poco de confusin. Concntrese en ella, trate de entender lo que un concepto determinado dice y, lo ms importante, examine ejemplos concretos particulares de dicho concepto.

PROBLEMAS 1..1l. Sea S un conjunto y defnase una operacin * en S exigiendo que se cumplan

las dos reglas siguientes en S: 1. Si a, b son objetos cualesquiera de S , entonces a * Ei = a. 2. Si a, b son objetos cualesquiera de S , entonces a * b = b * a. Demustrese que S puede tener a lo sumo un objeto.

12

e

Teora de conjuntos

3

2. Sea S el conjunto de todos los enteros O, +1, 12, . . . , +n, . . . . Para a, b en S definase * mediante a * b = a - b. verifquese lo siguiente: (a) a * b # b * a a menos que a = b. (b) (a * b) * c # a * ( b * c) en general. Con qu condiciones para a, b , c es (a * b) * c = a * ( b * c)? (e) El entero O tiene la propiedad de que a * O = a para todo a en S. (d) Para a en S , a * a = O.

3. Supngase que S consiste en los dos objetos O y A. Se define la operacin * en S sujetando Ci y A a las condiciones siguientes: l.U*A= A = A*U. 2.Ci*C1 = o. 3 . A * A = o. Mediante clculos explcitos, verifquese que si a, b son elementos cualesquiera de S (esto es, a, b pueden ser O o A), entonces: (a) a * b est en S. (b) (a * b) * c = a * ( b * c). (c) a * b = b * a. (d) Existe un elemento particular a en S tal que u * b = b * a = b para todo b en S. (e) Dado b en S , entonces b * b = a, donde a es el elemento particular de la parte (d).

1.% TEORFA DE CONJUNTOSDebido a los cambios en los programas de estudios de matemticas escolares, muchos estudiantes de nivel universitario ya han recibido alguna orientacin acerca de la teora de los conjuntos. La introduccin que se imparte de ordinario en las escuelas sobre este tema, incluye las nociones elementales y las operaciones con conjuntos, Partiendo de la suposicin de que muchos lectores ya tienen algn conocimiento de la teora de conjuntos, se har un examen rpido de aquellas partes de esta teora que se utilizarn posteriormente. Sin embargo, se necesitan primeramente algunas notaciones. Para evitar la repeticin interminable de ciertas expresiones, se adopta una especie de taquigrafa. Sea S una coleccin de objetos, a los cuales se les llama elementos de S . Para indicar que u n :Icmento dado a pertenece a S , se escribe a E S, lo cual se lee "a es un elemento de S". Para indicar lo contrario, esto es, que un objeto u no es elemento de S , se escribe a S. De esta manera si, por ejemplo, S denota el conjunto de todos los enteros positivos 1 , 2 , 3 , . . . , n, . . . , entonces 165 E S, mientras que -13 4 S. A menudo se desea saber o probar que, dados dos conjuntos S y T, uno de ellos es una parte del otro. Se dice que S es un subconjunto de T, si cada ele-

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CAP~TULO * TEMAS FUNDAMENTALES 1

mento de S es un elemento de T, lo cual se expresa S C T (que se lee " S est contenido en T"). En trminos de la notacibn se tiene ahora que: S c T si s E S implica que s E T. Tambin se puede expresar esto escribiendo T 3 S , que se lee " T contiene a S". (Esto no &cluye la posibilidad de que S = T, o sea que S y T consten exactamente de los mismos elementos.) De esta manera, si T es el conjunto de todos los enteros positivos y S el de todos los enteros positivos pares, entonces S C T, y S es un subconjunto de T. De acuerdo con la definicin dada arriba, S 3 S para cualquier conjunto S; esto es, S siempre es un subconjunto de s mismo. Frecuentemente se enfrentar el problema de probar que dos conjuntos S y T, definidos tal vez de maneras diferentes, son iguales, o sea que constan de los mismos elementos. La estrategia usual para probarlo consiste en demostrar que a la vez S C T y T C S, Por ejemplo, si S es el conjunto de todos los enteros positivos que tienen a 6 como factor y T es el conjunto de todos las enteros positivos que tienen a 2 y a 3 como factores, entonces S = T. (Prubese.) Tambin surge la necesidad de un conjunto muy peculiar, a saber, uno que no tenga elementos. ste se llama conjunto nulo o vado y se denota con 0; 0 tiene la propiedad de ser un subconjunto de cualquier conjunto S. Sean A , B subconjuntos de un conjunto S dado. Se presentan ahora mtodos para construir otros subconjuntos de S a partir de A y B. El primero de ellos es la unicn de A y B, que se escribe A U B, y se define como el subconjunto de S que consiste de aquellos elementos de S que son elementos de A o son elementos de B. La "o"que se ha empleado tiene un significado un tanto diferente al del uso ordinario de la palabra. Aqu significa que un elemento c est en A U B si est en A , o en B, o en ambos. La "o" no quiere decir que se excluye la posibilidad de que ambas cosas sean ciertas. Por consiguiente, A U A = A , por ejemplo.

Si A = (1, 2, 3) y B = (2, 4, 6, 101, entonces A U B

=

(1, 2, 3, 4, 6, 10).

Se pasa ahora a una segunda manera de construir conjuntos nuevos a partir de otros anteriores. Sean A y B en subconjuntos de un conjunto S; la intersecciDn de A y B, que se escribe A i7 B, significa el subconjunto de S que consiste en aquellos elementos que estn a la vez en A y en B. Por consiguiente, en el ejemplo anterior, A 7 B = {S). A partir de las definiciones involucradas, debe resultar claro que A f? B C A y que A i-7 B C B. Ejemplos particulares de intersecciones que se cumplen universalmente son: A l A = A , A i7 S = A , A ~ = 0. @ Este es un momento oportuno para introducir un recurso notacional que ser utilizado repetidas veces. Dado un conjunto S , se necesitar a menudo describir el subconjunto A de S que satisfaga una propiedad determinada P. Esto se expresar como A = {S E Sls satisface P ) . Por ejemplo, si A y B son subconjuntos de S , entonces A U B = {S E 5 s E A o bien s E B), mientras que 1 ' A n B = { S E S I S EA y S E B ) .

12

a

Teora de coniuntos

5

Si bien las nociones de unin e interseccin de subconjuntos de S han sido definidas para dos subconjuntos, resulta claro cmo se puede definir la unin y la interseccin de cualquier numero de subconjuntos. Se presenta ahora una tercera operacin que se puede realizar con conjuntos, la dferencia de dos conjuntos. Si A , B san subconjuntos de S, se define A B = { a E Ala @ B). De esta manera, si A es el conjunto de los enteros positivos y B el de los enteros pares, entonces A - B es el conjunto de los enteros positivos impares. Cuando se tiene el caso particular de que A es un subconjunto de S, la diferencia S - A se llama complemento de A en S y se escribe A'. Se representan ahora grficamente estas tres operaciones. Si A es @ y B es @, entonces l . A U B =Z . A ~ B 3. A - B4. B - A=

es el rea sombreada. es el rea sombreada. es el rea sombreada. es el rea sombreada.

=

Observese la relacin entre las tres operaciones, a saber, A U B = ( A f B ) U 7 ( A - B ) U ( B - A j. A manera de ilustracin de cmo proceder para demostrar la igualdad de conjuntos obtenidos mediante este tipo de construcciones tericas, se probar esta ltima supuesta igualdad. Primero se demuestra que (A C7 B ) U ( A - Bj U ( B - A ) c A U B; esta parte es fcil, ya que por definicin, A n B C A, A - B C A , y B - A C B, por lo tanto

Ahora se procede hacia la otra direccin, es decir, A U B C ( A n B ) U ( A - B ) U (13 - A ) . Dado u E A U B, si u E A y u E B, entonces u f A n B, as que u est desde luego en ( A n B ) U ( A - B ) U ( B - A ) . Por otra parte, si u E A pero u B, entonces, por la misma definicin de A - B, u E A - B, as que nuevamente u resulta estar en ( A fi B) U ( A - B ) U ( B - A ) . Finalmente, s u E B pero u @ A , entonces u E B - A , por lo que u de nuevo pertenece a ( A n Bj U ( A - B ) U ( B - A ) . Se tienen cubiertas as todas las posibilidades y se ha demostrado que A U B C ( A fi Bj U ( A - B ) U ( e - A ) . Teniendo las dos reIaciones de contenido recproco entre A U B y ( A f i B ) U ( A - B ) U ( B - A ) , se obtiene la igualdad deseada de estos dos conjuntos. Se cierra este breve repaso de teora de conjuntos con una construccin ms que se puede efectuar. Esta se llama producto carrmano, definida para los conjuntos A , B mediante A x B = ( ( a , b ) 1 a E A , b E B ) , y en donde se conviene

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CAP~TULO I

TEMAS FUNDAMENTALES

en que el par ordenado ( a , b ) es igual al par ordenado ( a l ,b , ) si y slo si a = a , y b = b,. Tampoco aqu es necesario restringirse al caso de dos conjuntos; por ejemplo, se puede definir e1 producto cartesiano de los conjuntos A , B, C como el conjunto de ternas ordenadas ( a , b , c), donde a E A , b B, c E C y la igualdad de dos ternas ordenadas se define por la igualdad de las componentes respectivas.

PROBLEMAS 1.2

1. Describanse verbalmente los siguientes conjuntos. (a) S = {Mercurio, Venus, Tierra, . . ., Plutitn). ( b ) S = {Alabama, Alaska, . . ., Wyoming).

2. Descrbanse verbalmente los siguientes conjuntos. (a) S = (2, 4, 6, 8, . . .}. ( b ) S = (2, 4, 8, 16, 32, . . . l . (c) S = (1, 4, 9, 16,25, 36, .,.).

3. Si A es el conjunto de los residentes en los Estados Unidos, B el conjunto de los ciudadanos canadienses y C el conjunto de todas las mujeres de1 mundo, descrbanse verbalmente los conjuntos A fl B fl C, A - B, A C, C - A .

-

4. Si A = ( 1 , 4, 7, a) y B = (3, 4, 9, 11} y se sabe que A PIB = (4, 91, deter-

mnese el valor de a.5. Si A C B y B c

e, prubese que A

C C.

6. Si A C B, prubese que A U C C B U C para cualquier conjunto C .7. Demustrese que A U B = B U A y A R B = B fl A .

8. Pruebese que ( A - B ) U ( B - A ) camente.9. Prubese que A

=

( A U B ) - ( A fl B ) . Mustrese grfi-

n(B U

C ) = ( A fl B ) U ( A fl C ) .

10, Prubese que A U ( B l C ) = ( A U 23) fl ( A U C ) .11. Escrbanse todos los subconjuntos de S = (1, 2, 3, 4).

12. Si C es un subconjunto de S, dentese por C' el complemento de C en S. Prubense las leyes de De Morgan para subconjuntos A , B de S , a saber: (a) ( A O B)' = A' U B'. (b) ( A U B)' = A " B'.

1.2 * Teora de conjuntos

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13. Sea S un conjunto. Para dos subconjuntos cualesquiera de S se define

Demostrar que: (a)A-tB=B+A. (b) A + fa = A . (e) A . A = A . (d) A + A = 0, (e) A i ( B + C ) = ( A + B ) + C . (f) Si A + B = A + C , entonces B = C . ( g ) A . ( B +C ) = A * B + A . C .14. Si C es un conjunto finito, dentese por m ( C ) el nmero de elementos de C . Si A , R son conjuntos finitos prubese que

m(A U B)

=

m(A)

+ m(B) - m(A n B ) .

15, Para tres conjuntos finitos A , B, C determnese una frmula para m(A U t? U C ) . (Sugerencia: Considerar primero D = B U C y aplicar el resultado del Problema 14.)

16. Trtese de determinar m ( A , U A, U . . . U A,) para n conjuntos finitos A,, -42, A,.- a ,

17. Aplquese e1 Problema 14 para demostrar que si el 80070 de los norteamericanos han cursado la preparatoria y el 70% leen un peridico diario, entonces por lo menos 50Vo renen ambas condiciones.

18. Un sondeo de opinin pblica muestra que el 93Vo de la poblacin est de acuerdo con el gobierno en una primera decisin, el 84% en la segunda y el 74% en la tercera. Determinese por lo menos qu porcentaje de la poblacin esta de acuerdo con las tres decisiones tomadas por el gobierno. (Sugerencia: Aplicar el Problema 15.)19. En su libro A Tangled Tale (Un cuento enmaraado), Lewis Carro11 propuso el siguiente acertijo acerca de un grupo de excombatientes invlidos: "SUpongamos que 70% ha perdido un ojo, 75Vo una oreja, 8070 un brazo y 85% una pierna. Qu porcentaje, por lo menos, habr perdido los cuatro miembros?" Resulvase.20. Para conjuntos finitos A , B, demustrese que m(A x B ) = m ( A ) m ( B ) .

21. Si S es un conjunto que consta de cinco elementos: (a) Cuantos subconjuntos tiene S?(b) Cuntos subconjuntos de cuatro elementos tiene S? (e) Cuntos subconjuntos de dos elementos tiene S?

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CAP~TULO 1

TEMASFUNDAMENTALES

22. (a) Demustrese que un conjunto que consta de n elementos tiene 2" subconjuntos. (b) Si O < m < n, determnese cuntos subconjuntos hay que consten de exactamente m elementos.

1.3 FUNCIONESO APLICACIONES (MAPEOS)Uno de los conceptos verdaderamente universales que abarca casi todos los aspectos de las matemticas, es el de funcin o aplicacin de un conjunto en otro. Se puede decir con toda seguridad que no hay parte de las matemticas donde esta nocin no se presente o no desempee un papel principal. La definicin de funcin de un conjunto en otro se puede formular en trminos de un subconjunto del producto cartesiano de dichos conjuntos. En sil lugar se dar aqu una definicin informal y ciertamente no rigurosa de tal concepto. Sean S, T conjuntos; unajcuncin o aplicacin f de S en T es una regla que asigna a cada elemento S E S un elemento tnico 1 E T. Se explicar un poco ms a fondo lo que esto significa. Si s es un elemento dado de S , entonces hay solamente un elemento t de T que es asociado a S por la aplicacin. Cuando S vara en S , t vara en S (de una manera dependiente de S ) , Obsrvese que en virtud de la definicin dada, la siguiente no es una aplicacin. Sea S el conjunta de todas las personas del mundo y Te1 conjunto de todos los pases del mundo. Sea f la regla que asigna a cada persona su pas de nacionalidad. Entonces f no es una aplicacin de S en T. Por qu? Porque hay personas que gozan de doble nacionalidad; para ellas no habra un pas nico de nacionalidad. De esta manera, si Mary Jones es tanto ciudadana inglesa como francesa, f no tendra sentido actuando como aplicacin en Mary Jones. Por otra parte, si IW es el conjunto de los nmeros reales, la regla f: R 88, definida por f ( a ) a2 para a E 88, es una funcin perfectamente aceptable de IW en R. Ntese que f(-2) = (-2)2 = 4 = f (2), y f (-a) = f(a) para todo a E R. Mediante fi S T se denota que f es una aplicacin de S en T y se escribe t = f(s) para el t E S mencionado arriba y se le llama imagen de S bajo f. El concepto considerado no es nuevo para la mayoria de nosotros. Desde Ia escuela primaria hemos encontrado constantemente aplicaciones y funciones, a menudo como frmulas. Sin embargo, las aplicaciones no se reducen tan slo a conjuntos de nmeros; pueden ocurrir en cualquier rea, como se ver en seguida.- + -

-

+

EJEMPLOS1. Sean S=

(todos los hombres que han existido) y T = {todas las mujeres

13

e

Funciones o aplicaciones [mapeos]C+

9

que han existido). Defnasef: S T por f ( s ) = madre de s. Entonces, f (John F. Kennedy) = Rase Kennedy, y de acuerdo con Ia definicin, Rose Kennedy es la imagen bajo f de John F. Kennedy. {todos los ciudadanos de los Estados Unidos} y T = (los enteros positivos). Para s E S defnase f ( s ) mediante f ( S ) = numero de registro de Seguridad Social de s. Esto define una aplicacin de S en T.=

2, Sean S

3. Sean S el conjunto de todos los artculos de una tienda de abarrotes y T = (los nmeros reales). Defnasef: S Tmediante f f s ) = precio de s. Esta es una aplicaci0n de S en T. 4. Sean S el conjunto de 10s enteros y T = S. Definase f: S T por f ( m ) = 2m para cualquier entero m . De esta manera, la imagen de 6 bajo esta aplicacin, f ( 6 ) , est dada por f(6) = 2 - 6 = 12, mientras que la de -3, f(-3), est dada por 37-3) = 2f-3) = -6. Si S , , E S estn en S y f(s,) = f(s,), qu se puede decir acerca de S , y s2?+

-

+

5. Sea S = Tel conjunto de los nmeros reales; defnasef: S

- Tmediante ,

f(s)

s2. Determnese si todo elemento de T aparece como imagen de algn s E S. Si no es as cmo se describira el conjunto de todas las imgenes (f (s)lsE S)? Cundo es f ( S , ) = f(s2)?=+

6. Sea S = Te1 conjunto de los nmeros reales; definase8 S Tmediante f ( s ) = s3. Esta es una funcin de S en T. Qu se puede decir acerca de ( f f s ) l sE S)? Cundo es f(s,) = f(s,)? 7. Sean Tcualquier conjunto no vaco y S = T x T, el producto cartesian o de T consigo mismo. Defnasef: T x T T mediante f ( t , , t,) = t,. Esta aplicacin de T x T en T se llama proyeccin de T x T sobre su primera+

componente.

8. Sean S el conjunto de Ios enteros positivos y T el de Ios nmeros racioT mediante f ( ( m , n)) = m/n. Esto estanales positivos. Defnasef: S x S blece una aplicacin de S x S en T. Ntese que f((1, 2)) = "/z mientras que f ( ( 3 , 6)) = '/6 = % = ff((1, 2)), aunque (1, 2) f (3, 6). Descrbase el subconjunto de S x S tal que .f((a, b)) = !h.+

Las aplicaciones que se definen en los Ejemplos 9 y 10 ocurren para conjuntos no vacos cualesquiera y desempean un papel especial,

9. Sean S , T conjuntos no vacos y t, un elemento fijo de T. Defnase f : S T mediante f ( s ) = t, para cada s E S; f se llama funcihn constante de S en T.+

10. Sea S cualquier conjunto no vaco y defnase i: S S mediante i ( s ) = s para todo s E S. A esta funcin de S en s mismo se le llama funcin identidad (o aplicacin identidad) en S . A veces se puede denotarla por (y posterior, mente en este libro, por e).+

10

CAP~TULO * TEMAS FtlNDAMENTALES 4

Se necesita ahora alguna manera de identificar cundo dos aplicaciones de un conjunto a otro son iguales. Esto no est dado de antemana; a nosotras nos toca decidir cmo definir f = g, donde f: S T y g: S T. Lo ms natural es definir dicha igualdad va las accones de f y g sobre los elementos de S. En forma mas precisa, se dice que f = g si y slo si f(s) = g(s) para fado s f S . Si S es el conjunto de los nmeros reales y se definef en S mediante f(s) = S + 2s + 1, mientras que se define g en S por g(s) = (S + 1)2,la definicin de igualdad de f y g es simplemente una afirmacin de la conocida identidad = s2 + 2s + 1. (S + Se sealarn ahora ciertos tipos de aplicaciones por la forma como se comportan.+

+

aplicacin f: S - T es suprayectiva o sobre si . todo f E T es imagen bajo f de algn S f S; esto es, s y slo si, dado t E T, existe un s E S tal que t = f(s). La aplicacin del Ejemplo 1 dado anteriormente no es suprayectiva, ya que no toda mujer que haya existido fue madre de algUn varoncito. De manera semejante, la aplicacin del Ejemplo 2 no es suprayectiva, porque no todo entero positivo es nmero de registro de Seguridad Social de algn ciudadano norteamericano. La aplicacin del Ejemplo 4 no es suprayectiva porque no todo entero es par; y en el Ejemplo 5 nuevamente la aplicacin no es suprayectiva, porque el nmero -1, por ejemplo, no es el cuadrado de ningn nmero real. Sin embargo, la aplicacion del Ejemplo 6 es suprayectiva, porque todo nmero real tiene una raz cbica real nica. El lector puede decidir si las aplicacones dadas en los dems ejemplos son o no suprayectivas. Si se definef(S) = f f(s) E S(sE S ) , otra manera de expresar que la apiicacin $ S T es suprayectiva, es diciendo que f(S) = T. Hay otro tipo especfico de aplicacin que desempefia un papel importante y particular en lo que sigue.+

DEFINICI~N. Una

S - Tes inyecfva a uno , a uno (abreviado 1-1) si para S, # szen S, f(s,) # f(s2) T. En forma en equivalente, f es 1-1 si f(s,) = f(s2) implica que sl = S*. Dicho de otra forma, una aplicacin es 1-1 si lleva objetos distintos a imgenes distintas. En el Ejemplo 1 dado anteriormente, la aplicacin no es 1-1, ya que dos hermanos tendran la misma madre. Sin embargo, la aplicacin del Ejemplo 2 es 1-1 porque ciudadanos distintos tienen distintas nmeros de registro de Seguridad Social (siempre que no se haya cometido ningn error en ese organismo, lo cual es poco probable). El lector debe verificar si los dems ejemplos dados son de aplicaciones 1-1. Dada una aplicacin$ S --* Ty un subconjunto A C T, se desea considerar el conjunto B = fs E S f (S) E A), al cual se denotar por f - ' ( A ) y se llamar I

DEFINICION. dice que una aplicacin$ Se

1.3

Funciones o aplicaciones (mapeos)

11

la imagen inversa de A bajo f. De particular interks es fF1(t), la imagen inversa del subconjunto { t )de Tque consiste solamente del elemento t E T. Si la imagen inversa de ( t ) consta de solamente un elemento, digamos s E S , se podra intentar definir f -'(t) mediante f -'(t) = s; como puede verse, esta no es necesariamente una aplicacin de T en S, pero s lo es en caso de que f sea 1-1 y suprayectiva. Se emplear la misma notacin fe' tanto en el caso de subconjuntos como de elementos. Dicha f-' no define en general una aplicacin de Ten S por varias razones. En primer lugar, si f no es suprayectiva, entonces hay algn t en T que no es imagen de ningn elemento s, de modo que f7'(t) = Io. En segundo lugar, s f no es 1-1, entonces para algn t E T hay por lo menos dos elementos sl f s2 en S tales que f(s,) = t = f(s,). Por consiguiente f -'(t) no es un elemento nico de S -condicin que se requiere en la definicin de aplicacin. Sin embargo, si f es a la vez 1-1 y suprayectiva en T, entonces f -' define realmente una aplicacin suprayectiva de Ten S . (Verifquese.) Esto da lugar a una clase muy importante de aplicaciones.

DEFINICION,Se dice que una aplicacin$ S T es una carrespondencia biyectiva o biyeccin si f es a la vez inyectiva y suprayectiva.+

Luego de contar ya con la nocin de aplicacin y haber sealado varios tipos especiales, se podra muy bien preguntar: "Muy bien, pero qu se puede realizar con ellas?"Como se vera en seguida, se puede introducir una operacin de combinacin de aplicaciones en ciertas circunstancias. Considkrese la situacin g: S T y f: T U. Dado un elemento s E S, g lo enva al elemento g(s) de T; de modo que g(s) es un elemento sobre el cual puede actuar f. De esta manera se obtiene un elementof(g(s)) E U. Este procedimiento proporciona una aplicacin de S en U. (Verifquese.) De manera ms formal se tiene la siguiente+

+

DEFINICION. Si g: S -. T y$ T U, entonces la composicin (o producto), denotado por f o g, es la aplicacin f 0 g: S U definida mediante (f 0 g)(s) = f(g(s)) para todo s E S.+

+

Ntese que para la composicin de las aplicacionesf y g -esto es, para que f o g tenga sentido- el conjunto terminal T de la aplicacin g debe ser el conjunto inicial de la aplicacin f. Un caso especial en el que siempre se pueden componer dos ap/icaciones cualesquiera, es cuando S = T = U, esto es, cuando S se aplica a smismo. Este caso, aunque sea especial, es de suma importancia. Verifiquemos unas cuantas propiedades de la composicin de aplicaciones.

LEMA 1.3.1. si h: S fofgoh) = (fog?oh.

+

T, g: T

+

U, y

f: U

+

v,

entonces

DEMOSTRACI~N. Cmo proceder para demostrar este lema? Para verificar que dos aplicaciones son iguales, se debe simplemente comprobar que actan

12

CAP~TULO * TEMAS FUNDAMENTALES 1

de la misma manera sobre cada elemento. Ntese ante todo que tanto f (g o h ) como ( f o g ) o h definen aplicaciones de S en V, as que tiene sentido hablar de su posible igualdad. En consecuencia, la tarea consiste en demostrar que para todo s E S, ( f o ( g o h ) ) ( s ) = ((f g ) O h ) ( s ) . Se aplica la definicion de composicin para ver que ( f (g h))(s) = f((g o h)(s))= f(g(h)(s)).O

Desarrollando ((f o g ) ) h ) ( s ) = ( f o g ) ( h ( s ) )= f ( g ( h ) ( s ) ) ,se ve que efectivamente ( f (g h)(s) = ( f f g) h)(s) para todo s E S. Consecuentemente, por definicion, f O ( g O h )

-

( f o 8) h .

(El smbolo siempre indicar que la demostracin ha concluido.) La igualdad anterior se describe diciendo que las aplicaciones satisfacen la ley asociativa, bajo la composicin. Debido a la igualdad involucrada, no se necesitan realmente los parntesis, por lo cual se escribe tanto f o (g o h ) comofogoh. f g: S+ -

LEMAo

1.3.2. Si g: S+

T y f: T U son ambos inyectivas, entonces U tambin es inyectiva.+

DEMOSTRACI~N. Supngase que ( f o g ) ( s , ) = ( f o g ) ( s 2 ) ; modo que, por de definicin, f ( g( S , ) ) = f ( g ( s 2 ) ) Dado que f es 1- 1, de lo anterior se deduce que . g ( s ,) = g(s2);sin embargo, g tambin es 1-1, as que se concluye que S , = S*. Puesto que ( f 0 g ) ( s , ) ( f o g)(s,) implica S, = S,, la aplicacin f 0 g es inyectiva. 17 Se deja al lector la demostracin de la siguiente observacin.

-

f

0

g: S

+

Una consecuencia inmediata de la combinacin de la Observacion y el Lema 1.3.2 es obtener

LEMA 1.3.3. Si g: Sf0

g: S

+

T y f : T-+ Uson ambas biyectivas, entonces U tambin es biyectiva.+

Si f es una correspondencia biyectiva de S sobre T, entonces se puede demostrar fcilmente que el ""objeto" f -': T S definido anteriormente es una aplicacin inyectiva de Tsobre S . En este caso se llama inversa de f . En tal situacin tenemos+

T es una biyeccin, entonces f o f.-' = ir yf Of = is, donde is e ir son las aplicaciones identidad de S y T, respectivamente.

LEMA 1.3.4.

-'

Si J S

+

+ -

OBSERVACI~N. Si g: S

Tyf: T U tambin es suprayectiva.

-

Uson ambas suprayectivas, entonces

1.3

e

Funciones o aplicaciones (mapeos]

13

DEMOSTRAGI~N.verifica una de ellas. Si t E T, entonces ( f 0 f - ' ) ( t ) = Se f ( f - ' ( t ) ) . Pero qu es f -'(t)? Por definicin, f - ' ( t ) es aquel elemento S, E S tal que t = f{s,). Cual es el S, E S tal que f(s,) = f ( s ) ? Claramente resulta que so es el propio s. De esta manera f ( f -"(t)) = f(s,) = t. En otras palabras, ( f 0f -')(t) t para todo t E T; por lo tanto f 0 f = iT, la aplicacin identidad en T.

-

-'

Se deja al Iector la demostracin del ltimo resultado de esta seccin. T e iT es la aplicacin identidad de T en s mismo e is es la de S sobre s mismo, entonces iT 5 f = f y f O is = f.+

LEMA "1.35.Si f: S

1. Para los S, Tindicados, determnese si$ S

Tdefine una aplicacin; si no, explquese por qu. (a) S = conjunto de las mujeres, T = conjunto de los hombres, f ( s ) = esposo de s. (b) S = conjunto de Ios enteros positivos, T = S, f ( s ) = S - 1 . (c) S = conjunto de los enteros positivos, T = conjunto de los enteros no negativos, f ( s ) = s - l . (d) S = conjunto de los enteros no negativos, T = S, f ( s ) = s - 1 . (e) S % conjunto de los enteras, T = S , f ( s ) = s - 1. (f) S = conjunto de los nmeros reales, T = S, f ( s ) = h. (g) S = conjunto de los nmeros reales positivos, T = S, f ( s ) = 6.+

2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una fiincin, determnese si esta es inyectiva, suprayectiva o ambas cosas.

3. Si f es una aplicacin inyectiva de S sobre T, prubese que f cacin inyectiva de T sobre S.

-'

es una apli-

4, Si f es una aplicacin inyectiva de S sobre T, prubese que f

-'

O

f = is.

5. Dse una demostracin de la Observacin que sigue al Lema 1.3.2.+ -

6. Si f: S T es suprayectiva y g : T h 5 f , prubese que g = h.+

+

U y h: T

U son tales que g o f

=

7. Si g: S " T, h: S + T, y si f: T g = f 0 h, entonces g = h .

U es inyectiva, demustrese que si f,

0

8. Sean S el conjunto de los enteros y T = (1, -11; defnasef: S f ( S ) = 1 si S es par, f ( S ) = -1 si s es impar.

T como

14

CAP~~ULO TEMAS 1 e FUNDAMENTALES

(a) Determnese si esto define una funcin de S en T. (b) Demustrese que f(s, i- s2) = f ( s l ) f(s2). Qu dice esto acerca de los enteros? (c) Determnese si tambin es cierto que f(s,s2) = f('(s,) f(s,).+

9. Sea S el conjunto de los nmeros reales. Defnansef: S y g: S+- S por g(s) = S -t 1 . (a) Obtener f 0 g . (b) Obtener g o f.

S por f(s) = s2,

(c) ~ E s f ~ g o f ? = g10. Sea S el conjunto de los nmeros reales y para a, b E S , donde a f O; defnase &,&(S)= as + b. (a) Demustrese que f,,b o fc,d = fu,"para ciertos u, v reales. Dnse valores explcitos para u, v en trminos de a, b, e y d . (b) Es f ~ , b f , = f c , d f o , b siempre? O c d (e) Hallar todas las fe,, tales que fe,, o f,,, = f,,, o (d) Demustrese que f ~ ' y encuntrese su forma. existefUrb.

11. Sea S el conjunto de Ios enteros positivos. Definase$ S S mediantef(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1, y f{s) = s para cualquier otro s E S, Demuestrese que f f o f = is. Cul es f - h n este caso?+

Q

PROBLEMAS INTERMEDIOS12. Sea S el conjunto de los nmeros racionales no negativos, esto es, S = (mlnfm,n enteros, n f O), y sea T el conjunto de los enteros. define una funcin (a) Determnese si f : S T dada por f(m/n) = 2m3ff valida de S en T. (b) Si no es funcin, cmo se podra modificar la definicin de f para obtener una funcin vlida?+

13. Sea S el conjunto de los enteros positivos de la forma 2"3", donde m > 0, n > O, y T el conjunto de los nmeros racionales. Definase f: S - T por . f(2"3") = m/n. Prubese que f define una funcin de S en T. (En qu propiedades de las enteros se basa esto?)14. Defnasef: S S, donde S es el conjunto de los enteros, mediante f(s) = as + b, donde a, b son enteros. Determnense condiciones necesarias y suficientes para a, b de tal manera que f o f = is.+

15. Hallar todas las f de la forma dada en el Problema 14 tales que f f fQ

Q

=

1s.

16. Si f es una aplicacin inyectiva de S sobre s mismo, demustrese que = f. (f -1)--'

'i J

e

runcrones o apiicacionec (mapeosj

qt3

17. Si S es un conjunto finito con m de S en s mismo?

> O elementos, cuntas aplicaciones hay

18. En el Problema 17, cuntas aplicaciones inyectivas hay de S en si mismo?

19. Sea S el conjunto de los nmeros reales y defnase f: S S por f(s) = s! + as + b, donde a, b son nmeros reales fijos. Pruebese que f no puede ser suprayectiva ni inyectiva para ningn valor de a, b.+

20. Sea S el conjunto de los nmeros reales positivos. Determinese si es posible que para a, b, c, d nmeros reales y e, d positivos, la "aplicacin" f: S S definida por f(s) = (as + b)/(cs + d), satisfaga f f = l.%. Hallar todos los a, b, e, d que sirvan para el caso. Es f una aplicacin de S en s mismo?Q+

+

21, Sea S el conjunto de los nmeros racionales y fa,,: S S definida por fa,,(s) = as -t- b, donde a # 0, b son nmeros racionales. Encuntrense todas las fcPd de esta forma que satisfagan ~ f= fa,6 O, ~ toda ~ fc,d parafu,be

22. Sean S el conjunto de los enteros y a, b, c nmeros racionales. Defnase f: S S mediante f(s) = as2 + bs + c. Determnense condiciones necesarias

y suficientes para a, b, c, de tal manera que f defina una aplicacin en S. INota: No es necesario que a, b, c sean enteros; por ejemplo, f (S) = %S($ + 1 ) = % ' S + 55s da siempre entero cuando s es entero.]

23. Sean S el conjunto de los enteros de la forma 2'"3",m 2 O, n r O y Te1 conjunto de Ios enteros positivos. Demustrese que hay una correspondencia biyectiva de S sobre T.

24. Aplicando los Problemas 23 y 13, prubese que hay una correspondencia biyectiva del conjunto de los enteros positivos sobre el conjunto de los nmeros racionales positivos.25. Sean S el conjunto de los nmeros reales y T el de los reales positivos. ' Hallar una aplicacin inyectiva f de S sobre 7 tal que f(s, + S,) = f(s, )f(s,) para todos los S , , s2 E S. 26. Para la f del Problema 2 5 , obtener f-' explcitamente.27. Si f,g son aplicaciones de S en S y f o g es una funcin constante, entonces (a) Que se puede decir acerca de f si g es suprayectiva? (b) Que se puede decir acerca de g si f es inyectiva?

28. Si S es un conjunto finito y f es una aplicacin de S sobre s mismo, demustrese que f debe ser inyectiva,

29. Si S es un conjunto finito y f es una aplicacin inyectiva de S en s mismo, demustrese que fdebe ser suprayectiva. 30. Si S es un conjunto finito y f es una aplicacin inyectiva de S en si mismo, demustrese que para algn entero n > 0,

fofofo_ _ I _ -

. . - o f

= is.

n veces

31. Si en el Problema 30,S consta de m elementos, hallar un n > O (en trminos de m) que funcione simultneamente para todas las aplicaciones inyectivas de S en s mismo.

1.4 A(S) (CONJUNTO DE LAS APLICACIONESINYECTIVAS DE S SOBRE S MISMO)En esta seccin se concentrar el inters en aplicaciones particularmente amenas de un conjunto no vaco S en s mismo. Es decir, se considerar el conjunto A ( S ) de todas las aplicaciones inyectivas de S sobre s mismo. No obstante que la mayor parte de lo tratado en este libro abordar el caso en el que S sea un conjunto finito, por lo pronto no se limitara aqu a dicha situacin. Cuando S tiene un nmero finito de elementos, digamos a, A ( S ) recibe un nombre especial. Se le llama grupo simtrico de grado n y se denota a menudo por S,. El Captulo 3 se dedicar a un estudio algo profundo de S,. En 1a investigacin de grupos finitos, S, desempea un papel principal. Hay muchas propiedades del conjunto A ( S ) sobre las cuales nos podramos concentrar. Se ha elegido desarrollar aqu aquellos aspectos que motivarn la nocin de grupo y que proporcionarn al lector cierta experiencia y sentido para trabajar en el marco de la teora de grupos. Los grupos sern tratados en el Capitulo 2. Se comienza con un resultado que realmente es un compendio de algunos de los que se obtuvieron en la Seccin 3.

LEMA 1.4.1. A ( S ) satisface lo siguiente: ( a ) f , g E A ( S ) implica que f o g E A ( S ) . (b) f,g , h E A ( S ) implica que (fo g ) o h = f o ( g o h ) .( e ) Existe un elemento -la aplicacin identidad i -tal que f o i i 0 f = f para toda f A ( S ) . (d) Dada f E A ( S ) , existe una g E A ( S ) ( g = f -') tal que f o gg o f

=

=

i.

-

DEMOSTRAGI~N. Todos estos puntos se desarrollaron en la Seccin 3, ya sea en el material del texto o en los problemas. Se deja al lector encontrar la parte

1.4

*

AfS) (Conjunto de las aplicaciones inyeclivas de S sobre si mlsmo]

17

relevante de la Seccin 3 que verifique cada uno de los enunciados del (a) al (d).

Nos gustara saber ahora cuntos elementos hay en A(S) cuando S es un conjunto finito que consta de n elementos. Para tal efecto, primero se realiza una ligera disgresin. Supngase que cierta cosa se puede efectuar de r maneras diferentes y que una segunda cosa independiente de la primera se puede hacer de s maneras diferentes. De cuntas maneras diferentes se pueden llevar a cabo ambas cosas juntas? La mejor forma de averiguarlo es hacer una ilustracin de esto en un contexto concreto, Supngase que hay r caminos que van de Chicago a Detroit y S caminos de Detrot a Chicago (r no es necesariamente igual a s, puesto que algunos de estos caminos pueden ser de un solo sentido). De cuntas maneras se puede realizar el viaje redondo de C h i c a g ~ Detroit? Evidentemente, por a cada camino que se tome de Chicago a Detroit se tienen s opciones para el regreso. Se puede empezar el viaje desde Chicago de r maneras distintas, por lo tanto se puede completar el viaje redondo de

s .+s+s+ .r veces

+s=rs

maneras diferentes. Resulta claro que se puede extender la realizacin de dos cosas independientes a m de ellas, para cualquier entero m > 2. Si la primera se puede efectuar de r , maneras distintas, la segunda de r, modos, . . . , la m-sima de r , maneras distintas, entonces todas juntas se pueden llevar a cabo de r,r, . . . r,, modos diferentes. Recordemos algo que es muy conocido:

DEFINICI~N. n 1 es un entero positivo, entonces n! (lease Si factorial") se define por n! 1 2 3 . n.LEMA 4.4.2. Si S tiene a elementos, entonces A (S) consta de n! eiementos.= (x,, x2, . . . , x,). Cuntas opciones de lugares para enviar a x, tiene f ? Evidentemente son n, porque x, se puede enviar bajo f a cualquier elemento de S. Pero ahorafno es libre de enviar a x2 a cualquier lugar, porque como f es inyectiva, se debe tener f ( x , ) # f ( x , ) . As que x2 se puede enviar a cualquier sitio excepto a f(xl). Por lo tanto, f puede asignar a x2, n - 1 imgenes diferentes. Prosiguiendo de esta manera, se ve que f puede enviar a x, hacia a - (i - 1 ) imgenes diferentes. Por lo tanto, elnmerodetales f e s n ( n - l ) ( n - 2 ) 1 = n!.

-

DEMOSTRACI~N.f E A ( S ) , donde S Sea

18

CAP~TULQ 1

* TEMA$ FUNDAMENTALES

El nmero n! se hace muy grande rpidamente. Para poder ver la situacin en su totalidad, se examina el caso especial n = 3, donde n! es todava realmente pequeo. Considrese A (S) = S3,donde S consiste en los tres elementos x,, x2, x3. Se enumeran todos los elementos de S3,describiendo cada aplicacin explcitamente por medio de lo que realiza a cada uno be x,, x2, x3.+ -

1. 2.

: x,

f:x,3X2>X2-+x~,X34X,.

tiene Puesto que aqu se han enumerado seis elementos de S3 distintos y SI! solamente seis elementos, se tiene una lista completa de todos los elementos de S,,. Qu indica esta lista? Para empezar, se observa que f o g # g o f, as que se viola una regla conocida de la especie de witmtica que se ha estado empleando. Puesto que g E S3y g E S3,se debe tener g 0 g tambin en S3. A qu es igual? Si se calcula g 4 g, se obtiene fcilmente g o g = i. De manera semejante, se obtiene

Ntese tambin que f o (f o f ) = i, por lo tanto f -' = f o f. Finalmente se deja al lector demostrar que g o f = f -' 0 g. Resulta un poco incmodo escribir este producto en A(S) empleando el smbolo o. En adefante se omifira' y se expresara f o g simplemente como fg. Tambin se comenzar a emplear la "taquigrafia" de los exponentes para evitar expresiones como f 0 f o f o . 0 f. Para f E A(S) se define f O = i, f ' = f, f = f o f = ff, y as sucesivamente. Para exponentes negativos -n se define f -" mediante f -n = (f -')", donde n es un entero positivo. Las leyes usuales de Los exponentes prevalecen, a saber f 'f" = f '+"(f 3" = f ". Dichas leyes se dejan como ejercicios -un poco tediosos, por lo dems- para el lector. No debe concluirse precipitadamente que todas las propiedades conocidas de los exponentes se satisfacen. Por ejemplo, en el caso de las f, g E S3 definidas anteriormente afirmamos que (fg)' f f 2g2.Para probarlo, ntese que fg:X* - X J , + ,

de tal manera que (fg)2: X, xl, x2 x2, x3 x3,esto es, (fgI2 = i. Por otra parte, f P i y g Z = i, por lo tanto f 2g" f f 2f i, por lo cual (fg)' f f Zg2 en este caso. Sin embargo, algunas otras propiedades conocidas s se cumplen. Por ejemplo, sif, g, h estn en A ( S ) y fg = fh, entonces g = h. Por qu? Porque+

+ -

+

+

+ -

+

+ -

3. g: Xl 4. g o f : x , 5. f o g: xl 6. f f: x,

-

X l , X2X2, x 2

+

X2, X3

+

X3.

-*

X1,

x 3

-)

xj.

+

x,, x2 x3, x2 x3, .x2

x3, x?,-" x2. (Verifquese.) x2, x3 x,. (Verifquese,) x,, x3 x2. (Verifquese.)

& -' & - * XI, x2,++

1 4 * A ( S ][Conjunto de las aplicaciones inyectivas de S sobre s mismo)

19

de fg = f h se tiene f-'( f g ) = f M ' ( f h ) ;por lo tanto, g = ig = (f i i f ) g = f-'( f g ) = f - ' ( f h ) = ( f -y)h = ih = h. De modo semejante, g f = h f implica que g = h. As que se puede cancelar un elemento en una ecuacin de esta forma siempre que no se cambien lm posiciones. En S3,f , g satisfacen g f = f -lg, pero dado que f # f aqui no se puede cancelar g.

-'

PROBLEMAS 1.4Recurdese que fg representa f 0 g y, adems, lo que f '" significa. S , sin subndices, ser un conjunto no vaco.

1. Si S , f s2 estn en S , demustrese que hay una f E A ( S ) tal que f ( s , ) =

SI.

2. Si

S , E S , sea N = { f E A ( S ) l f ( s , ) (a) i f H. (b) Si f,g E N, entonces fg E H. ( e ) Si f E H , entonces f-' f H.

= S,}.

Demustrese que:

3. Si s, # s2estn en S y f ( s l ) = s2,donde f E A ( S ) , si N e s como en el Problema 2 y K = { g E A ( S ) l g ( s 2 ) = sZ), demustrese que: (a) Si g E K , entonces f -'g f E H. ( b ) Si h E W, entonces existe alguna g f K tal que h = f -'g f .4. Si f , g, h E A ( S ) ,probar que ( f -'g f ) ( f - ' h f ) decir de (f -'g f )"? 5. Si f , g E A ( S ) y fg (a) ( f g I 2 = f 2g2. ( b ) (fg)-' = f -'g-l. trese que (fg)"'= =

f - ' ( g h ) f . Qu se puede

=

g f , probar que:

6. Extiendase el resultado del Problema 5 , para las mismas f y g, y demusf para todos los enteros m . 7. Verifquense las leyes de los exponentes, a saber f para f E A ( S ) .8. Si f , g E A ( S ) y (fgI2=

7% f ' ( f ')" 9

=fa

f ' g 2 , prubese que fg = g f .

9. Si S = {x,,x2, x3,x4),sean f , g E S4 definidas mediante

YCalclense: (a) f ', f 3, f (b) g2, g3.4.

+

+ -

+ -

g: x,

X2, x 2

Xl, X3

-

x3, x4

x4.

CAPTULO 1

TEMAS FUNDAMENTALES

(c>fg. (d) g f . (e) f g I 3 , ( g f )3. (f) Son iguales fg y g f ? 10. Si f E S 3 , demustrese que f h = i.11. Es posible encontrar un entero positivo m tal que f"' S43=

i para &odu E f

PROBLEMAS INTERMEDIOS12, Si f E S,, demustrese que existe algIn entero positivo k, dependiente de f, tal que f h = i, (Sugerencia: Considrense las potencias positivas de f . )13. Demustrese que existe un entero positivo & tal que f ' = i para todu.f E S,.

11. Si m < n, demustrese que existe una aplicacin inyectiva F: S, - S, tal . que F ( f g ) = fV(f ( g ) para toda f , g f S,,,. )F 15. Si S tiene tres o ms elementos, demustrese que se pueden encontrar f , g EA ( S ) tales quefg 7 gf. 16. Sea S un conjunto infinito y M C A ( S ) el conjunto de los elementos f E A ( $ ) tales que f ( s ) # s para a lo sumo un nmero finito de s E S . Probar que: (a) f , g E M implica que fg E M . (b) f E M implica que f -' E M .

17. Para la situacin del Problema 16, demustrese que, si f E A ( S ) ,f { f -'g f lg E M ) debe ser igual a M.18. Supngase que S > S y considrese el subconjunto U( T ) = {f E A ( S )1 f ( t ) E 7' para todo t E T ) . Probar que: (a) i E U ( T ) . (b) f , g E U ( T ) implica que fg E U(

-' Mf =

v.

19. Si el conjunto S del Problema 18 tiene n elementos y Ttiene m elementos, , ;cuntos habr en U ( T ) ?Demustrese que existe una aplicacin F: U ( T )S , tal que F ( f g ) = F( f ) F ( g ) para f , g E U ( T )y que F es suprayectiva en S,,,.

20. Si m .= n, puede ser inyectiva la F del Problema 19? Si as es, dgase cundo.

21. Demustrese que la aplicacin f en S, definida por

S: X 1

+

X*, X2

+

[esto es, f ( x , ) = x, si i < n , f ( x , ) = x,] puede escribirse como J' = g,g, . . . g,,_, donde cada g, E S, intercambic~ exactamente dos elementos de S = { x , , . . . , x,,}, dejando fijos los otros elementos de S .

.,

X j , X3

+

X4,

.-

4

,

X , -1

X,,

X, - X I .

1 4 * A!S) [Conjiinto de las ao icaciones inyectivas de S sobre s mismo)

24

22. Si f E S,z, demustrese que fJ

=

h,h, . . h, para algunas h, E S, tales que

=

i.

23. Un elemento de S,, se llama transposicin si intercambia dos elementos, dejando fijos los dems. Demustrese que cualquier elemento de S, es un producto de transposiciones. (Esto agudiza el resultado del Problema 22.)24. Si n es mayor que o igual a 3 y J'est en S,, demostrar que j no es igual a g ' para ninguna g de S,,.

25. Si f E S,, es tal que f f i pero f ' = i, demustrese que se pueden numerar los elementos de S de tal manera q uef(x, ) = +, f ( x 2 ) = xj, fixi) = x,, f ( x 5 ) = X, f(x6) = X4i . . . ? f ( x 3 , 4 + 1 ) x2/,+2i f ( . ~ 7 A + 2 ) = = f(-r41IJ) x , ~ f ( x T h ? ) - xqh para cierto k, y que f ( x , ) = x, para los dems x, E 7, , S.~ F I+ , Y

26. Considrese una mano fija en un juego de naipes de 22 cartas como una aplicacin inyectiva sobre si mismo. Demustrese que en a repeticibn de dicho arreglo un nmero (positivo) finito de veces har volver las carta5 a su orden original.27. Sean f E A ( S )y s E S , Se llama rbita de s (relativa a,f) al conjunto O ( s ) = { f'(s)lj entero}. Demustrese que si S , i E S , entonces O ( s ) CI O ( t ) = Rr

o bien

?(S)

=

O([).

28. Si S

= { x , , x2, . . ., xI2)y f E Si2 se define porf(x,) = x,,, si i = 1, 2, . . ., 11 y f ( x , , ) = x,, encuntrense las drbitas (relativas a f ) de todos los

elernentos de S .29. Si f E A ( S ) satisface f 7 = i , demustrese que Ia rbita de cualquier elemento de S consta de uno o de tres elementos.

30. Recurdese que un entero positivo p > 1 se llama nmero primo si p no se puede factorizar como producto de enteros positivos menores. Si f E A ( S ) satsface ff'= i, qu se puede decir acerca del tamano de las rbitas de los elementos de S relativas a f ? ;Qu propiedad de los nmeros primos se aplica para obtener la respuesta?

31. Prubese que si S consta de ms de dos elementos, entonces los nicos f , de A ( S ) tales que fo = fh, para toda f E A ( S ) , deben satisfacer f, = 1. f32. Se dice que g E A ( S ) conmufa con f E A ( S ) si fg = g.f. Encuenrrense todos los elementos de A ( S ) que conmuten con f: S S , definida por f ( x l ) = x t , f ( x 2 ) = A-,, y f(s) = s s i s f s , , .t.:.+ -

33. Demustrese que los nicos elementos de S, que conmutan con f , definida por f (x,) = x, , si i < n,f(x,) = x , , son las potencias de f , es decir i = f " , . f , f 2 , . . . , f"-',

.

22

CAP~TULO 1

TEMAS FUNDAMENTALES

34. Sea C(f) = { g E A (S)lfg = g f). Prubese que: (a) g, h E C(f)implica que gh E C( 1). (b) g E Cff)implica que g-' E C(f). (c) Cff ) no es vacio.

4.5 LOS

NUMEROS ENTEROS

El conjunto matemtico ms conocido por todos es el de los enteros positivos I, 2, . . ., el cual a menudo se llama N. Igualmente conocido es el conjunto Z de todos los enteros -los positivos, negativos y cero. Por tal motivo, se har aqu un examen bastante superficial de las propiedades de Z que se utilizarn a menudo en los temas que siguen. La mayora de estas propiedades son muy conocidas; otras pocas de ellas lo son menos. La suposicin bsica que se hace acerca del conjunto de los enteros es el

PRINCIPIO D LA B E A ORDENACIN. E UN Todo conjunto no vaciode enteros no negativos tiene un elemento mnimo. De una manera ms formal, lo que este principio dice es que dado un conjunto V de enteros no negativos, existe un elemento v, E V tal que vo r v para todo v f V . Este principio servir como fundamento del desarrollo de los enteros que estamos a punto de realizar. La primera aplicacin que se har es demostrar algo ya conocido y que se ha dado por supuesto, es decir, que se puede dividir un entero entre otro para obtener un residuo menor. Esto se conoce corno Algoritmo de Euciides. Se le dar un planteamiento ms formal y una demostracin basada en la buena ordenacin.

f EOREMA15.1 (ALGORITMO D EUGLIDES). m y n son enE siteros y n > O, entonces existen enteros q y r, con O m = qn i- r .5

r < n , tales que

DEMOSTRACI~N. W el conjunto m - tn, donde t recorre todos los enteros Sea {esto es, W = {m - tnlt E 2)).W contiene seguramente algunos enteros no negativos, porque si t es sufcientemente grande y negativo, entonces m - tn > O. Sea V = {v E Wl v 1 O}; por el principio de la buena ordenacin, V tiene un elemento mnimo r . Puesto que r E V , r r O y r = m - qn para algn q (ya que sta es la forma de los elementos de W > V ) . Afirmamos que r < n. Si no es as, r = m - gn ; n, por lo tanto m - (q -t 1)n r O . Pero esto hace que m - (q + 1)n est en V , a pesar de que m - fq + 1)n < r, lo cual contra-

dice la naturaleza mnima de r en V. Con esto queda probado el algoritmo de Euclides. r ]

El algoritmo de Euclides proporcionar una multitud de consecuencias, especialmente acerca de la nocin de divsibilidad. Dado que se est hablando de los enteros, debe entenderse que todas las literales empleadas en esta seccibn representan enteros. Esto evitar fa repeticin a gran escala de algunas frases.

DEFINICION. Dados m # O, n se dice que m divide a n, escrito como mln, si n = cm para algUn entero c.De esta manera, por ejemplo, 2 14, (-7)114, 41(-16). Si m/n, se dice que m 1 es un divisor o factor de n y que n es un mttipfo de m. Para indicar que m no es divisor de n, se escribe m t M ; por ejemplo, 3 t 5. Las propiedades elementales bsicas de Ia divisibilidad se presentan en el ,-,-. ,". .,, --(c) Si mln y nlq, entonces mlq. (d) Si mln y mlq, entonces ml(un + vq) para todo u, v. (e) Si m [ ,entonces m = 1 o bien m = -1. (f) Si mln y njm, entonces m = t n .----y

1

DEMOSTRACION. pruebas de todas estas partes son fciles y se obtienen Las de inmediato a partir de la definicin de m/n. Se dejan como ejercicios todas las partes excepto (d), la cual se demuestra para proporcionar el sabor de dichas pruebas. Supngase entonces que mln y nzlq; por consiguiente, n = cm y q = dm. Por lo tanto, un + vq = u(cm) + v(dm) = (uc -+ vd)m. As que, por definicin, ml(un + vq).Una vez que se tiene el concepto de divisor de un entero, resulta deseable introducir el de mximo comn divisor de dos (o ms) enteros. Muy sencillo, debe ser el mximo entero posible que sea divisor de ambos enteros en cuestin. Sin embargo, se trata de evitar hacer uso del tamao de un entero, por razones que podrn resultar claras ms adelante, cuando se trate acerca de los anillos. As que la definicin se formula de una manera que puede parecer inesperada.

DEFINICI~N. Dados a, b (no ambos cero), su mdximo comn divisor c se define mediante: (a) c > O. (b) cla Y clb. (c) Si dla y dlb, entonces dlc. Escribimos c como c = ( a , b ).

24

CAP~TULO * TEMASFUNDAMENIP.LES I

La definicin de una cosa no garantiza su existencia. As que nos incumbe probar que ( a , 6 ) existe y que, en realidad, es nico. La prueba demuestra realmente ms, a saber, que ( a , b ) es una agradable combinacin de a y b . Dicha combinacin no es nica; por ejemplo, (24,9) = 3=

3

.9 +

(-1)24

=

(-99

+

2 . 24.

TEOREMA 1.5.3. Si a, b no son 0, entonces su mximo comn divisar c = ( a , b ) existe, es nico y, adems, c = m,,a + n,]bpara ciertos m,>y no apropiados.

DEMOSTRACI~N. virtud de que a y b no son ambos O, el conjunto A = En {ma + nblm, n E 2) tiene elementos que no son cero. Si x f A y x < O, entonces -x tambin esta en A y -x > O, ya que si x = m , u + n , b , entonces -x = (-m,)a + (-n,)b, as que est en A . De esta manera, A tiene elementos positivos; por consiguiente, por el principio de la buena ordenacin, existe un elemento positivo minimo c en A . Puesto que c E A , por la forma de los elementos de A se sabe que c = rn,,a + nob para algunos m,,, n,,. Afirmamos que c es el mximo comn divisor requerido, Ntese primero que si dla y dlb, entonces dl(moa + nob) por la parte (d) del Lema 1.5.2, esto es, dlc. Entonces, para verificar que c es el elemento deseado, se necesita demostrar solamente que cla y clb. Por el algoritmo de Euclides, a = qc + r, donde O r r c c, esto es, a = q(m,,a + nob) + r. Por lo tanto, r = -qn,b + ( I - qm,)a. Asque r esfa en A. Pero r < c y est en A , de modo que, por la eleccin de c, r no puede ser positivo. Por consiguiente r = O; en otras palabras, u = qc y entonces cta. De manera semejante, clb. En cuanto a la unicidad de c , si t > O satisficiera tambin tla, flb y dlt para todo d tal que dla y dlb, se tendra tlc y clt. Por la parte (f) del Lema 1.5.2 se obtiene que t = c (puesto que ambos son positivos). C ]Considrese el ejemplo explcito a = 24, b = 9. Por inspeccin directa se sabe que (24, 9) = 3; ntese que 3 = 3 . 9 + (-1)24. A que es igual (-24, 9)? Al final de esta seccin se incluirn algunos ejercicios sobre otras propiedades de ( a , b ) . Ahora pasamos a la muy importante

DEFINIGION. dice que a y b son primos Se

entre si si ( a , b ) = 1.

De esta manera, los enteros a y b son primos entre s si no tienen ningn factor comn no trivial. Un corolario inmediato al Teorema 1 S . 3 es

TEOREMA 4.5.4. Los enteros u y b son primos entre s \i y so10 si 1 = rna + nb para enteros apropiados m y n .El Teorema 1.5.4 tiene una consecuencia inmediata

I5

LOS nmeros

enteros

25

TEOREMA 1.s.s. Si a y b son primos entre s y al(bc), entonces ajc. DEMOSTRACI~N. el Teorema 1.5.4, rna + nb = 1 para algunos m y n, Por por consiguiente (ma + nb)c = e, esto es, mac + nbc = c. Por hiptesis, a(bc y por observacin a(mac, por lo tanto aj(rnac + nbc) y entonces ajc.

COROLARIO.y c son relativamente primos a a, entonces bc tamSi b bin es relativamente primo a a.DEMOSTRACI~N.la demostracin del Teorema 1.5.5 se tiene que mac De

+

nbc = c. Si d = (a, be), entonces dla y dlbc, por consiguiente dl(mac t- nbc) = c. Puesto que dla y d f c y (a, c) = 1, se obtiene que d = 1. Puesto que 1 = d = (a, bc), se tiene que bc es primo con respecto a a. C! Se seala ahora una clase sumamente importante de enteros positivos.

DEFINICION.Un enterop > I es nmeroprimo, opritno, si para todo entero a se tiene que p ( a o bien p es primo respecto a a.Esta definicin coincide con la usual, a saber, que no se puede factorizar p en forma nu trivial. Ya que si p es primo segn se defini arrba y p = ab, donde a > 1 y b > 1 , entonces puesto que a[p, (a, p ) = a # 1, sin embargo p .i a , dado que p > a (porque b > 1). Otro resultado que proviene del Teorema 1.5.5 es

TEOREMA 1.5.6. S; p es primo y pl(a,a, algn i tal que 1 5 i S n.

. . a,), entonces pla, para

DEMOSTRACIQN.pla,, no hay nada que probar. Supngase que p .i a,; enSi tonces p y a , son relativamente primos. Pero p(a,(a, . . . a,); por consiguiente, por el Teorema 1.5'5, pla, . . . a,. Reptase el argumento recin dado sobre al, y continese.Los nmeros primos desempean un papel muy especial en el conjunto de los enteros mayores que 1, en el sentido de que todo entero n > 1 es ya sea primo o bien producto de primos. Esto se demostrar en el teorema siguiente. En el teorema posterior al siguiente se probar que hay unicidad en la forma en la que n > 1 se descompone en factores primos. Las demostraciones de ambos resultados se apoyan profundamente en el principio de la buena ordenacin.

TEOREMA 1.5.7. Si n > 1, entonces n es primo o bien n es productode primos.

DEMOSTRACI~N. Supngase que el teorema es falso. Entonces debe existir unentero m > 1 para el cual el teorema falla. Por lo tanto, el conjunto M para

26

CAPNULO 1

TEMAS FUNDAMENTALES

el cual no se cumple e1 teorema no es vaco, de esta manera, por el principio de la buena ordenacin, M tiene un elemento mnimo m . Evidentemente m no puede ser primo, ya que m E M, por consiguiente m = ab, donde 1 < a < m y 1 < b < m . Debido a que a < m y b < m y m es el elemento mnimo de M, no se puede tener a g M o bien b 4 M. Puesto que a G M , b @ M, por la definicin de M el teorema debe ser verdadero para ambos a y b . As a y b son primos o producto de primos; de m = ab se obtiene que m es un producto de primos. Esto coloca a m fuera de M , contradiciendo que m f M. Se prueba as el teorema, Anteriormente se afirm que existe cierta unicidad acerca de la descomposicin de un entero en primos. Lo cual se hace ahora preciso. Para evitar triviaIidades del tipo 6 = 2 . 3 = 3 . 2 (as, en cierto sentido, 6 tiene dos factorzaciones en los primos 2 y 3), se formular el teorema de una manera particular.

TEOREMA 1.5.8. Dado n > 1, existe una y slo una manera de escribir n en la forma n = pypp - . . &, donde p, < p, < - . . p, son primos y los exponentes a l , a2, . . . , ak son todos positivos.DEMOSTRACI~N.empieza como se hizo anteriormente suponiendo que el Se teorema es falso, as que existe un entero mnimo m > 1 para el cual no se cumple. Dicho m debe tener dos factorizaciones distintas como m = pTlpZz . . pp = q:iq$2 . . qp, donde pl < p2 < - - < p,, q , < q2 . q, son primos y los . exponentes a,, . . ., ak y bl, . . ., be son todos positivos. Puesto que p,lpll . pp qfi . - . g ! ~ ,por el Teorema 11.5.6 p,lqft para cierto i ; por consiguiente, de nuevo por eI Teorema 1.5.6, p,lq,, por lo tanto p, q,. Del mismo modo q , = p, para cierto j; as quep, S p, = q , i q, = p , . De lo cual resulta que pl = qL.Ahora bien, puesto que m / p , < m , m / p , tiene la propiedad de factorizacin nica. Pero m / p , = ppl-'pp . p> = pf:-lq$ - - . qb y puesto que m / p , se puede factorizar de una y slo una manera de esta forma, se obtiene fcilmente k = e , p2 g,, . . . ,pk = qk,a, - 1 = b, - 1 , a2 = b,, . . ., ak = bk. Se ve entonces que los primas y sus exponentes que resultan en la factorizacin de m son nicos. Esto contradice la carencia de tal unicidad para m, y entonces prueba el teorema.

-

-

Lo que estos dos ltimos teoremas dicen es que se pueden construir los enteros a partir de los primos de una manera muy precisa y bien definida. De ello se esperara que deben existir muchos -esto es, una infinidad- de primos. Este antiguo resultado se remonta hasta Euclides; de hecho, el argumento que se dar se debe a l.

TEOREMA 1.5.9. Existe un nzmero infinito de primos.DEMOSTRACI~N. resultado fuera falso, se podran enunciar todos los Si el primos en la formap,, p2, . . ., pk. Considrese el entero q = 1 + p g 2 . - pk.

-

I5

e

LOS nmeros enteros

27

Puesto que q 3 p, para todo i = 1, 2, . . . , k, q no puede ser primo. Dado que p, + q, ya que se obtiene un residuo de 1 al dividir q entre p,, q no es divisible por ninguno de p,, . . . , p,. De esta manera q no es primo ni es divisible por ningn primo. Esto contradice al Teorema 1.5.7 y por ello se demuestra el teorema. U Existen resultados ms agudos que el Teorema 1.5.9 acerca de cuntos primos hay hasta un punto dado. El famoso teorema de los nmeros primos dice que el nmero de primos menores que o iguales a n es "ms o menos" u/lo&n, donde dicha expresin se describe de manera precisa. Hay muchas cuestiones abiertas acerca de los nmeros primos.

PROBLEMAS FACILES 1. Hallar ( a , b ) y expresarlo como ma (a) (116, -84). ( b ) (859 65). (e) (72, 26). (4 (72, 25).

+

nb para:

2. Prubense todas las partes del Lema 1.5.2.

3. Demustrese que (ma, mb) = m(a, b ) si m =. 0,4, Demu6strese que si alm y blm y (u, b ) = 1, entonces (ab)lm.

5. Factorizar en primos los siguientes nmeros: (a) 36. (b) 120. (c) "O. (d) 5040.6. Si m = pyl

- . pp y n = pjl . p$, donde p,, . . ., p, san primos distintos y a , , . . . , a, son no negativos a1 igual que b l , . . . , b,, exprsese ( m , n ) en trminos de p , , . . ., pk, a , , . . . , a,, b , , . . b,.

7. Definase el mhimo camun mltplo de m y n como el mnimo entero positivo v tal que mlv y nlv. (a) Demustrese que v = mn/(m, n ) . (b) En trminos de las factorizaciones de m y n dadas en el Problema 6, a qu es igual v?

8. Determnese el mnimo comn mltiplo de las parejas dadas en el Problema 1,9. Si m, n > O son dos enteros, demustrese que se pueden encontrar enteros k, v con -n/2 S v 5 n/2 tales que m = un + v.

28

CAPITULO FUNDAMENTALES I TEMAS10. Para verificar que un entero dado n

> 1 es primo, pruebese que basta con demostrar que n no es divisible por ningn primo p tal que p 5 6 n .

11. Verificar si los siguientes nmeros son primos: (a) 301.

(b) 1001. (e) 473.12. Comenzando con 2, 3, 5 , 7, . . ., constryanse los enteros positivos 1 + 2 . 3 . 5 . 7, . . , Se obtiene siempre un nmero 2 . 3, 1 2 3 . 5, i

+ -

+

primo de esta manera?

PROBLEMAS INTERMEDIOS13. Si p es un primo impar, demustrese que p es de la forma: (a) 4n + I o bien 4n + 3 para algn n. (b) 6n + 1 o bien 6n + 5 para algn n.14. Adptese la demostracin del Teorema 1.5.9 para probar que: (a) Hay un nmero infinito de primos de la forma 4n + 3. (b) Hay un nmero infinito de primos de la forma 6n + S .15. Demustrese que ningn entero u = 4n ( ' 1 bZ,donde a, b son enteros.

+

+

3 se puede escribir como u

=

16. Si T es un subconjunto infinito de N, el conjunto de los enteros positivos, demustrese que existe una aplicacin inyectiva de T sobre N.

17. Si p es primo, prubese que no se pueden obtener enteros no nulos a y b tales que a2 = pb2. (Esto demuestra que -\ip es irracional.)

Si se examina de nuevo la Seccin 1.5, se ve que en varias ocasiones -por ejemplo en la demostracin del Teorema 1.5.6- se dice "reptase el argumento y continese". Esta no es una manera muy satisfactoria de sostener un razonamiento. Lo q u e es evidente es que se necesita alguna tcnica para evitar tales frases cuando se desea probar una proposicin acerca de todos los enteros positivos. El Principio de Induccin Matemtica la suministra; de hecho, ser el mtodo usual que se emplear para demostrar teoremas respecto de los enteros posjtivos.

TEOREMA 1.6.1. Sea P ( n ) una afirmacin acerca de los enteros positivos tal que:

1 6 * Induccin matemotica

29

(a) P(1) es valida. (b) Si P ( k ) es vlida para algn entero k r 1, entonces P ( k bien es vlida. Entonces P ( n ) es vlida para todo n r 1.

+

1) tam-

DEMOSTRAGION. realidad, los razonamientos dados al probar los Teoremas En1.5.7 y 1.5.8 son un prototipo del que se da aqu. Supngase que el teorema es falso; entonces, por la buena ordenacin, existe un mnimo entero m r 1 para el cual P ( m ) no es vlida. Puesto que F(1) es vlida, un # 1 , por consiguiente m > 1. Ahora bien, 1 s m - 1 < m , as que por la eleccin de m, P ( m - 1 ) debe ser valida. Pero entonces por la hiptesis inductivu [parte (b)] se debe tener que P ( m )es vlida. Esto contradice que P ( m ) no es vlida, Por consiguiente no puede existjr ningn entero para el cual P no sea vlida, y se demuestra as el teorema.

Con algunos ejemplos bastante diversos se ilustra cmo se utiliza la induccin.

EJEMPLOSl. Supngase que n pelotas de tenis se colocan en lnea recta, tocndose entre ellas. Entonces se afirma que dichas pelotas hacen n - 1 contactos.

DEMOSTRACI~N. = 2, la cuestin es evidente. Si para k pelotas se tienen Si n k - 1 contactos, entonces al agregar una pelota (en lnea recta) se agrega un contacto. De esta manera k + 1 pelotas tendrn k contactos. As que si P ( n ) es lo que se ha afirmado anteriormente acerca de las pelotas de tenis, se ve que si ocurre que P ( k ) es verdadera, entonces tambin lo es P ( k + 1 ). Por consiguiente, por el teorema, P ( n ) es vlida para todo n 2 l .2. Si p es primo y pla,az .*

a,, entonces pla, para algn 1

5

i r n.

DEMOSTRAGI~N. P ( n ) el resultado de la afirmacin del Ejemplo 2. EnSea tonces P ( l ) es verdadera, ya que si pla,, ciertamente divide a a, para algn 1 S i : 1. Supngase que se sabe que P ( k ) es vlida, y que pla,az - . . @,a,+ ,. De esta se manera, por el Teorema 1.5.6, puesto que pl(a,a2 - . ak)ak+, tiene ya sea que plai + ,(una conclusin deseada) o bien pla, . a,. En esta segunda posibilidad, puesto que P ( k ) es vlida se tiene que plu, para algn 1 S i S k . Combinando ambas posibilidades, se obtiene que pla, para algn 1 c j 5 k + 1. Se cumple ah la parte (b) del Teorema .6.1; por consiguiente, P ( n )es verdadera para todon2

1.

[ I

3, P a r a n 2 1, 1

+

2

+

...

+

n

=

Sn(n

+

1).

30

GAP~TU I LO

TEMAS FUNDAMENTALES. +

+ 2+ . + n= !hn(n + l ) , entonces P(1) es desde luego verdadera, ya que 1 = '/z (1 + 1). Si P ( k ) ha de ser verdadera, significa queDEMOSTRACI~N.P ( n ) es la proposicin que 1 SiLa pregunta es: tambin es verdadera P ( k + l), es decir, es 1 + 2 + . . . + k + (k + 1 ) = %(k + l)((k + 1 ) + l)?Ahorabien, 1 + 2 + . - . + k + (k + 1) = ( 1 + 2 + . . . k) + ( k + 1) =?hk(k + 1) + ( k + l ) , y a q u e P ( k ) es vlida. Pero %k(k + 1) + ( k + 1) = ?h(k(k + 1) + 2(k + 1) = %(k + 1)(k + 2), lo cual asegura que P ( k + 1) es vlida, Por consiguiente, la proposicin 1 + 2 + . . . + n = ?hn(n + 1) es verdadera para todo n 3 l. 0 Aqu se debe recalcar un punto: la induccin matemtica no es un metodo para encontrar resultados acerca de los enteros; es un recurso para verificar un resultado. Se podra obtener, por otros medios, la frmula dada anteriormente para1 + 2 + + n. La parte (b) del Teorema 1.6.1 se llama normalmente paso de inducci~n. En los problemas se darn algunas otras versiones del principio de induccin.

PROBLEMAS 1.6PROBLEMAS FCILES1. Prubese por induccin que l 2 i n ( n + 1)(2n + 1). 6

+ z2 4S '

3*

+

.-.

+

n2

=

2. Prubese por induccin que l 3

+

+ . . . + n3 =

%n2(n

+

I)~.

3. Prubese un conjunto que consta de n r 2 elementos tiene %n(n subconjuntos con exactamente dos elementos.

+-

1)

4. Demostrar que un conjunto que consiste en n 2 3 elementos tiene n(n 4 I)(n + 2 ) / 3 ! subconjuntos con exactamente tres elementos.5 . Si n si 4 y S consta de n elementos, conjeturese (a partir de los Problemas

3 y 4) cuntos subconjuntos con exactamente k elementos hay en S . Luego verifquese la conjetura empleando induccin matemtica.6. Completar la demostracin del Teorema 1.5.6, empleando induccin.

7. Si a > 1, prubese que 1 induccin.

+ a + a2 +

+ a" = [anf'- l)/(a - 1) por1 n(n--

8. Demustrese que1 1 - 2 por induccin.1 + --- + . . . + 2 . 3

+

n

1)

n

+

I

'

17

Numeras complejos

31

9. Supngase que P ( n ) es una proposicin referente a los enteros tal que P(no) es vlida, y s P ( k ) es valida, tambin P ( k + 1) debe serlo. Qu se puede decir acerca de P(n)? Prubese. 10. Si P ( n ) es una proposicin referente a los enteros tal que P(1) es vlida y P ( j ) vlida para j < k implica que F ( k ) es vlida, prubese que P ( n ) es verdadera para todos los enteros positivos.

PROBLEMASINTERMEDIOS11. Dse un ejemplo de una proposicin que no sea verdadera para todo entero positivo, aunque para ella se cumpla el paso de induccin [la parte (b) del Teorema 1.6.11.17 nemnctrar nnr indiirriic ntip*itn rnniiintn niic rnnctn d~ n e l p m ~ n t n c tiene

rencia: el teorema del binomio.)

15. Prubese por induccin que para un conjunto que consta de n elementos el nmero de aplicaciones inyectivas de dicho conjunto sobre si mismo es n!.

% .7 NUMEROS COMPLEJOSTodos sabemos algo acerca de los enteros, los nmeros racionales y los reales -en efecto, se ha hecho esta suposicin en parte del material del libro y muchos de los problemas se han referido a estos nmeros. Desafortunadamente, los nmeros complejos y sus propiedades son a veces mucho menos conocidos por los estudiantes de licenciatura de la actualidad. En un tiempo los conrplejos formaron parte de los programas de estudio de bachillerato y de primeros grados de licenciatura. Este ya no suele ser el caso. En consecuencia, se har un desarrollo rpido de este conjunto matemtico tan importante. El conjunto de los ntimeros complejos, 63, es el conjunto de todos los a + bi, donde a, b son reales y donde se declara:

1. a + bi = c + di, a, b, c, d reales, si y slo si a = e y b = d. 2. ( a + bi) Ic + di) = ( a * c) + ( b + d ) . ( 3. ( a t bi)(c t di) = (ac - bd) t (ad -+ be)i.Esta iiltirna propiedad -la multiplicacin- se puede recordar mejor utilizando 2 = -1 y multiplicando formalmente teniendo presente tal relacin.

CAPTULO 1 * T M S FUNDAMENTALES E A

Para el nmero complejo z = a + bi, a se llama la parte red de c y b la parte imaginaria de z. Si a es O, se dice que z es imaginario. Se escribir O + Oi como O y a + 01 como a. Ntese que z i- O = z, zl = z para cualquier nmero complejo z. Dado z = a + bi, hay un nmero complejo relacionado con z , que se expresa como 2, definido por .? = a - bi. A dicho nmero complejo z se le llama conjugado complejo de z. Considerando estos nmeros con " - " se obtiene una aplicacin de e sobre s mismo. Se afirma el

LEMA 1.7.1. Si z, w E (a) 0= z.p -

e , entonces:

(b) (z + w) - = 2! + E. (e) (ZW)= ZW. (d) zS es real y no negativo y es, en realidad, positivo si z f O. (e) z + 2 es el doble de la parte real de z. (f) z - 2 es el doble de la parte imaginaria de z multiplicada por i.

DEMOSTRACI~N.mayora de las partes de este lema son sencillas y simpleLa mente requieren del uso de la definicin de conjugado complejo. Se verifican las partes (c) y (d). Supngase que z = a + bi, w = c + di, donde a, b, c, d son reales. De esta manera, zw = (ac - bd) -i- ( a d + bc)i, por consiguiente(ZW)

(ac - bd)

+

(ad

+

bc)i = (ae

-

bd) - ( a d

+

bc)i.

Por otra parte, 2 = a - bi y w = c - di, por lo tanto, por la definicin del = (ac producto en e , ScU - - bd) - (ad + bc)i. Comparando esto con el resultado que se obtuvo para (zw), se ve que en efecto (zw) = ZG. Esto verifica la parte (e). Para la demostracin de (d) supngase que z = a + bi # O; entonces S = a - bi y zz = a' + b2. Puesto que a, b son reales y no ambos O, a 2 -t b 2 es real y positivo, tamo se afirma en la parte (d). La demostracin de (d) del Lema 1.7.1 muestra que si z = a tonces zS = a2 +- b2 # O y z(2/(a2 + b2)) = 1, de suerte que

+

bi # O, en-

acta como el inverso l / z de z. Esto permite realizar divisin en C , perrnaneciendo en C mientras se lleva a cabo. Se listan ahora aIgunas propiedades de C.

LEMA

1.7.2.

C se comporta bajo su suma y producto segn lo siguiente:

Si u, v, w E

e , entonces

(a)u+v==v+u.

17

*

Nmeros comple~os

33w =U

(b) ( u

+

V ) 3-

+

(V

+

w),

(e)

U V = vu. (d) ( u v ) w = ~ ( v w ) . ( e ) u # O implica que u-' = i / u existe en 4 y es tal que uu-' 2

-

I.

DEMOSTRACI~N.deja al lector. SeEstas propiedades hacen de C lo que se llamara un campo, lo cual se estudiar con mayor profundidad posteriormente en este libro. Lo que el lema dice es que se permite calcular en C ms o menos como se hizo con los nmeros reales. Sin embargo, C es una estructura mucho ms rica que la del conjunto de los nmeros reales. Se introduce ahora una funcin de "magnitud" en C .

+ bi E C , entonces el valor absoluto de z , expresado como ] z l , se define por lzl = d%= v'u2 + b2.DEFINICION. z Si=a

En unos momentos ms se ver lo que significa esta definicin geomtrcamente. Mientras tanto se prueba el

LEMA .7.3. Si u , v e , entonces luvlDEMOSTRAClON. Por definicin, 1 ts 1=--= &~V)(UV)

=

[ u ] Ivl.=

d% y 1 vl

tlC'v. Ahora bien,

P

= =

ltlvl

d(uv)(EV) -v v>

[por la parte (c) del t e m a 1.7.11 (por el Lema 1.7.2)

=

GJvv

= [ u ][ V I .

O=

Otra manera de verificar este lema es escribir u ( a c - b d ) + (ad + bc)i y observar la identidad (ac - 5d)*

a

+ bi, v = c + di, uv +d').

=

+

(ad

+

=

( a 2 + b2)(c'

Ntense varios aspectos pequeos acerca de los conjugados. Si z E C, entonces z es real si y slo si i? = z, y z es puramente imaginario si y slo si i = -2. Si z, w E C , entonces

de suerte que zw + Zw es real. Se desea obtener una cota superior para 1 ~ G J zw 1; sta surgir posteriormente en la demostracin del Teorema 1.7.5. Sin embargo, se debe hacer primero una digresin momentnea para obtener una proposicin referente a las expresiones cuadraticas.

+

34

CAP~TULO i

8

TEMASFUNDAMENTALES

LEMA 1.7.4. Si a, b , c son reales, tales que a > O y aa2 + b ac2

+

O para todo real a , entonces b2 - 4ac 5 0.

DEMOSTRACI~N. Considrese la expresidn cuadrtica para a

= -b/2a. Se tiene ~ ( - b / 2 a )+ b(-b/2a) + c 2 0, Simplificndola se obtiene que ~ (4ac - b2)/4a 2 O, y puesto que a > O, se llega a que 4ac - b2 > O, y de esta manera b2 - 4ac s O.

Se aplica inmediatamente este resultado para probar el importante

TEOREMA 1.7.5 (DESIGUALDAD D L TRINGULO). Para z , E w E C , lz + wl s 121 + Iwl.

DEMOSTRACI~N.= O, no hay nada que probar, as que se puede suponer Si z que z # 0; por consiguiente, z2 > O. Ahora bien, para a real,O 5 laz

+

wI2 = ( a z

Si a = zf > O, b zF + Sw, c = wi?, entonces el Lema 1.7.4 djce que b2 4ac = (z@ + i ~ 4(zZ)(wW) I 0, por consiguiente ( z @ + Z W ) ~c - ) ~ 4 ( 2 z ) ( w @ )= 41z121wI2. Por lo tanto, zi? + Zw S 2lzl 1 wl. Para a = 1 en lo anterior,

-

+ w)(az + W ) = ( a z + = a2zZ + a(zW + Sw) + wty .

w)(aZ

+

W)

por el resultado obtenido. En otras palabras, 1 z + w '1 yendo races cuadradas se obtiene el resultado deseado, ] z

S ( 1 zl + 1 ~ 1 ) ' ; extra+ w 1 S 1 z1 + ] w ].

Por qu esta expresin se llama desigualdad del tringulo? La razn ser evidente una vez que se consideren los nmeros complejos geomtricamente. Represntese el nmero camplejo z a + bi como el punto que tiene coordenadas ( a , b) en el plano x-y,

-

1 7 * Nmeros complejos

35

La distancia r de este punto al origen es v'a2 + b2, en otras palabras, ( z l . El ngulo 8 se llama argumento de z y, como se ve, tan 8 = b/a. Adems, a = r cos 8, b = r sen 0; por lo tanto, z = a bi = r(cos B + isen O). Esta representacin de z se llama su forma polar. Dados z = a + bi, w = c + di, entonces su suma es z + w = ( a + c ) + ( b + d)i; geomtricamente, se tiene la ilustracin

+

La relacin 1 z + w 1 r 1 z [ + 1 w 1 simplemente refleja que en el tringulo T un lado es de longitud menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados: de aqu el termino desigualdad del tringulo. Los nmeros complejos del tipo cos 6 + i sen 8 que surgen en la forma polar son realmente muy interesantes. En primer lugar, ntese que lcos B

+

isen 8 / =

JCO~ZH L/i + senZ8 =

=

I ,

de modo que proporcionan muchos nmeros complejos de valor absoluto 1. En realidad proporcionan todos los nmeros complejos de valor absoluto 1; para ver esto simplemente examnese la forma polar de uno de tales nmeros, Recurdense dos identidades trigonomtricas bsicas, cos(0 + $1 = cos B cos 6 - sen 8 sen S. y sen (13 + $) = sen 8 cos 6 + cos ? S.. Por lo tanto, sen (cos 8=

+

isen I3)(cos

+

isen $) i(sen I3 cos S.

(COS cas $ 8

- sen t sen $) + 9

+

cos 8 sen