UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

APUNTES DE ÁLGEBRA

SEMESTRE 2013-1

PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMÍREZ

Apuntes de Álgebra

2

ÁLGEBRA

MÉTODO DE EVALUACIÓN

La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoria mínima de siete (7).

Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberá entregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serie tiene un valor del 10% + la calificación del examen.

Se dejarán tareas por clase, su promedio tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREAS ATRASADAS.

Lectura de dos libros en el semestre, para evaluarlos se necesita calificación APROBATORIA. En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales,

siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado con parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso. Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes.

Examen final 50%

Exámenes parciales 40%

Tareas 10%

ESCALA DE CALIFICACIONES 0.0 – 5.9 --- 5

6.0 – 6.4 --- 6

6.5

6.6 – 7.4 --- 7

7.5

7.6 – 8.4 --- 8

8.5

8.6 – 9.4 --- 9

9.5

9.6 – 10 --- 10

Apuntes de Álgebra

3

En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en el segundo examen final. Los oyentes serán evaluados con el segundo examen final colegiado.

FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES:

1er. Parcial: Temas I, II, III, del 17 al 21 de septiembre de 2012

2do. Parcial: Temas IV, V, del 22 al 26 de octubre de 2012

3er. Parcial: Temas VI, VII, del 20 al 23 de noviembre de 2012

FINALES

1er. Final: 28 de noviembre de 2012, 10:30 hrs.

2do. Final:. 5 de diciembre de 2012, 10:30 hrs

Apuntes de Álgebra

4

BIBLIOGRAFÍA

1. Bell E.T. Historia de las Matemáticas, Fondo de cultura económica, 1995

2. Rees, Paul K. Álgebra, Reverté, 2000

3. Solar G., Eduardo y Speziale, Leda Álgebra I, Editorial Limusa, 2004

4. Solar G., Eduardo y Speziale, Leda Apuntes de Álgebra Lineal, Editorial Limusa, 1999

5. Barrera G. Francisco, y Castañeda de I.P. Erick Cuaderno de ejercicios de Álgebra, Facultad de Ingeniería UNAM, 1994

6. Godínez C, Héctor y Herrera C., Abel Álgebra Lineal, teoría y ejercicios, Facultad de Ingeniería 1987

CAPÍTULOS:

1. Introducción al álgebra

2. Formalización de los números reales

3. Números complejos

4. Polinomios

5. Sistemas de ecuaciones lineales

6. Matrices y determinantes

7. Estructuras algebraicas.

Apuntes de Álgebra

5

2. Formalización de los números reales.

2.1 Números naturales, (N).

Estos números se utilizan para contar y estrictamente no incluyen el cero (0). Estos números

sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un conjunto y se llama cardinal de

dicho conjunto. Los números naturales son infinitos y el conjunto de todos ellos se designa

por N.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para

ordenar los elementos de un conjunto: 1° (primero), 2° (segundo) …

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones, es

también, un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la resta y la división.

Postulados de Peano:

El conjunto N de los números naturales es tal que:

i) 1 N

ii) Para cada n N existe un único n* N, llamado el siguiente de n.

iii) Para cada n N se tiene que n* ≠ 1

iv) Si m, n N y m* = n*, entonces m = n

v) Todo subconjunto S de N que tenga las propiedades: 1 S, k S implica que k* S,

es el mismo conjunto N.

Estos postulados son suficientes para deducir, a partir de ellos, todas las propiedades de los

números naturales. El v) es un postulado conocido como “principio de inducción” que indica

que se puede alcanzar cualquier número natural partiendo del uno y recorriendo los

siguientes hasta llegar al número natural deseado.

Los postulados de Peano establecen las propiedades intrínsecas de los números naturales,

otras propiedades son algebraicas:

ADICIÓN EN N.

Definición:

i) n + 1 = n*, para todo n N

ii) n + m* = (n+m)*, siempre que n+m esté definido.

Para sumar n + m se deben recorrer m números naturales consecutivos a partir de n.

Apuntes de Álgebra

6

La adición en los naturales cumple las siguientes propiedades.

Teorema:

Para todo m,n,p N:

i) m + n N Cerradura

ii) m + (n + p) = (m+n) + p Asociatividad

iii) m + n = n + m Conmutatividad

iv) si m+p= n+p, entonces m = n Cancelación

MULTIPLICACIÓN EN N.

Definición:

i) n ⋅ 1= n

ii) n ⋅ m* = (n ⋅ m ) + n

Y satisface las propiedades del siguiente teorema:

Teorema:

Para todo m, n, p N:

i) m ⋅ n N Cerradura

ii) m ⋅ (n ⋅ p) = (m ⋅ n) ⋅ p Asociatividad

iii) m ⋅ n = n ⋅ m Conmutatividad

iv) Si m ⋅ p= n ⋅ p entonces m = n Cancelación.

Uniendo las operaciones de adición y multiplicación satisfacen la ley de distributividad.

Teorema:

Para todo m, n, p N

m ⋅ (n + p) = (m ⋅ n) + (m ⋅ p)

Orden en N

Como los números naturales sirven para expresar cantidades, es necesario definir la relación

“menor que” en N. Se dice por ejemplo que 3 es menor que 5 dado que existe un número

natural 2, tal que al sumarlo al 3 se llega al 5. Por lo que se llega a la siguiente definición.

Definición:

Dados dos números naturales n y m, se dice que n es menor que m, lo que se representa

mediante n<m, si: ∃ x N tal que n+x = m.

Apuntes de Álgebra

7

Los números naturales satisfacen la siguiente propiedad. Ley de tricotomía.

Teorema:

Si m y n son números naturales cualesquiera, entonces se verifica una y sólo una de las

siguientes proposiciones:

i) n < m

ii) n = m

iii) m < n

Y representados gráficamente, los números naturales como puntos igualmente espaciados en

una recta numérica.

1 2 3 4 5 6 …

Cuando m < n se tendrá que el punto que representa a m se encuentra a la izquierda de n.

Propiedades:

Teorema:

Para todo m, n, p N:

i) m < n ⇒ m + p < n + p

ii) m < n ⇒ mp < np

iii) m < n y n < p ⇒ m < p

En lugar de utilizar la relación “menor que” es más cómodo utilizar la relación “mayor que”,

por lo que se establece la siguiente definición.

Definición:

Dados dos números naturales m y n, decimos que m es mayor que n, lo que se representa

mediante m > n, si n < m.

Demostración por Inducción matemática:

Es importante establecer generalizaciones o leyes que expliquen todo cuanto ocurre en la

naturaleza. Existen dos caminos para llegar a una generalización, el primero consiste en

considerar desde un principio el caso general, trabajando de lo general a lo particular por

“deducción”. El segundo consiste en examinar un cierto número de casos particulares para

descubrir la forma en que están relacionados, una vez que se determina esta relación se le

constituyen en generalización. Se trabaja de lo particular a lo general, y el método es llamado

“inducción”.

Apuntes de Álgebra

8

El proceso de una demostración por inducción matemática consiste de los siguientes pasos:

- Escribir claramente la proposición P(n) que se quiere demostrar, especificando la

variable de inducción y el conjunto de valores que puede asignarse a dicha variable.

i) Si P(n) es una proposición enunciada para todos los números naturales, se

debe verificar el cumplimiento de la proposición para el menor valor de n (que

equivale a verificar que 1 pertenece a S, de acuerdo al quinto postulado de

Peano).

ii) Demostrar que si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) es verdadera (equivale

a demostrar que si k S entonces k+1 S).

Cuando i) y ii) se cumplen se concluye que P(n) es verdadera para todo n en el conjunto de los

números naturales.

Ejemplos:

2.2 Números Enteros ( Z )

Son los números negativos y el cero, que con los número naturales constituyen el conjunto de

los números enteros.

= … , 3, 2, 1, ,1,2,3, ,…

Por lo que N ⊂ Z.

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como saldos deudores) y

ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (temperaturas

inferiores o superiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la

entrada).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros dan como resultado otro

número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es

múltiplo del divisor.

Igualdad en Z.

Se debe establecer un criterio para decidir si dos números enteros expresados como la

diferencia de dos números naturales son iguales o no lo son.

Definición:

Sean a = m –n, b= p – q , a y b dos números enteros, con m, n , p, q N. Entonces:

a = b si m+q=n+p.

Apuntes de Álgebra

9

Adición en Z.

La adición en Z deber producir los mismos resultados que la adición en N cuando los enteros

que se suman son positivos.

Definición:

Sea a= m-n, b=p-q dos números enteros, con m, n , p, q N. El número a+b se define como:

a+b = (m+p) – (n+q)

La adición en Z satisface todas las propiedades que se establecieron para la adición en N, pero

la adición en los enteros cuenta con propiedades adicionales.

Teorema:

Para todo a, b, c Z:

i) a + b Z cerradura

ii) a + (b + c) = (a + b) + c asociatividad

iii) a + b = b+ a conmutatividad

iv) si a + c = b + c, entonces a= b cancelación

v) a + 0 = a elemento idéntico

vi) ∃ -a Z tal que a + (-a) = 0 elementos inversos.

Multiplicación en Z.

Definición:

Sean a = m - n, b = p - q dos números enteros, con m, n, p, q N. El número a ⋅ b se define

como:

a ⋅ b = (m ⋅ p + n ⋅ q) – (n ⋅ p + m ⋅ q)

La multiplicación en Z quedó definida a partir de la multiplicación y adición en N.

Propiedades:

Teorema:

Para todo a, b, c Z:

i) a ⋅ b Z cerradura

ii) a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c asociatividad

iii) a ⋅ b = b ⋅ a conmutatividad

iv) si a ⋅ c = b ⋅ c y c≠ , entonces a=b cancelación

v) a ⋅ 1 = a elemento idéntico.

Apuntes de Álgebra

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Tomadas simultáneamente, la adición y la multiplicación satisfacen la siguiente propiedad.

Teorema:

Para todo a, b, c Z: a (b + c) = ab + ac

La introducción del cero y los negativos trae como consecuencia la aparición de algunas

propiedades adicionales para la multiplicación en Z.

Teorema:

Para todo a, b Z:

i) a ⋅ =

ii) (-a) (b) = - (ab) primera regla de los signos.

iii) (-a) (-b) = ab segunda regla de los signos.

Orden en Z.

Para los enteros también se define la relación “menor que”, como una generalización de las

que se definieron en los naturales.

Definición:

Sean a, b Z:

i) a < b si ∃ n N tal que a + n = b

ii) a > b si b < a

Propiedades:

Los enteros también satisfacen la ley de tricotomía.

Teorema:

Para todo a, b, c Z:

i) a < b ⇒ a+c < b+c

ii) a < b y c> ⇒ ac < bc

a < b y c < ⇒ ac > bc

iii) a < b y b < c ⇒ a < c

Representación en la recta numérica.

Los números enteros quedan representados también en la recta numérica como puntos

igualmente espaciados, solo que la recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.

Apuntes de Álgebra

11

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

Si a < b se tendrá que el punto que representa a a estará a la izquierda del que representa b.

Ahora la recta se extiende en ambos sentidos no tiene un punto inicial, como en los naturales,

por lo que se considera como número de referencia al cero. Los números que se encuentran a

la derecha del cero son “positivos”, y los que están a la izquierda son “negativos”.

Definición:

Sean a Z:

a es positivo si a > 0

a es negativo si a < 0

En particular, el cero no es positivo ni negativo.

Enteros positivos: = = , >

2.3 Números racionales ( Q ).

Es el conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios. Un número

racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros.

Definición:

Sea la ecuación bx = a; con a, b Z, el número x que multiplicado por b no da como resultado

a, se llama el cociente de a entre b y se representa por

con b ≠ .

Para el cociente

se distinguen tres casos:

i) b es factor de a, único caso en que la ecuación tendrá solución en Z, por lo que

es

un número entero.

ii) b no es factor de a y b ≠ , entonces la solución no es entera, por lo que

es un

número fraccionario. 3x = 7

iii) Si b= 0,

no está definido.

A los números que se obtienen como el cociente de dos números enteros se les llama

racionales y al conjunto que conforman se representan con Q.

Apuntes de Álgebra

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Definición:

= =

, , , ≠

Igualdad en Q.

Definición:

Sean

,

, dos números racionales, con a, b, c, d Z y b, d ≠ , entonces

=

si ad = bc, lo

que establece la igualdad de números racionales en términos de la igualdad de números

enteros.

Adición en Q.

Definición:

Sean

,

dos números racionales, donde a, b, c, d Z y b, d ≠ . La suma se define

+

=

+

Propiedades.

Teorema:

Para todo x, y, z Q:

i) x + y Q cerradura

ii) x + (y + z) = (x + y) + z asociatividad

iii) x + y = y + x conmutatividad

iv) si x + z = y + z entonces x = y cancelación

v) x + 0 = x elemento idéntico

vi) ∃ -x Q tal que x + (-x) = 0 elementos inversos

Multiplicación en Q.

Definición:

Sean

,

dos números racionales, donde a, b, c, d Z y b, d ≠ . La multiplicación se define:

=

Propiedades.

Apuntes de Álgebra

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Teorema:

Para todo x, y, z Q

i) x y Q cerradura

ii) x(yz) = (xy)z asociatividad

iii) xy = yx conmutatividad

iv) si xz = yz y z ≠ , entonces x=y cancelación

v) x ⋅ 1 = x elemento idéntico

vi) si x ≠ , ∃ x-1 Q tal que x x-1 = 1 elementos inversos

Y también son válidos los siguientes teoremas.

Teorema:

Para todo x, y, z Q: x(y+z) = xy +xz

Teorema:

Para todo x, y Q

i) x ⋅ =

ii) (-x) (y) = -(xy)

iii) (-x) (-y) = xy

La división en Q puede definirse a partir der la multiplicación de la siguiente manera.

Definición:

Sean

,

dos números racionales y

≠ . La división se define como:

=

Y la división satisface la siguiente propiedad:

, , ≠ :

Orden en Q.

La relación “menor que” en Q, puede establecerse de la siguiente manera.

Definición:

Sean

,

, donde b, d Z+:

i)

<

<

Apuntes de Álgebra

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ii)

>

<

Como consecuencia de esta definición y de la ley de tricotomía en Z, la relación “menor que”

en Q satisface también dicha ley y las siguientes propiedades:

Teorema:

Para todo x, y, z Q:

i) x < y ⇒ x + z < y + z

ii) x < y y z > ⇒ xz < yz

x < y y z < ⇒ xz > yz

iii) x < y y y<z ⇒ x < z

Expresión Decimal de un número racional.

Al hacer la división del número racional presentado, se obtendrá una expresión conocida

como la expresión decimal. Todo número racional tiene una expresión decimal.

= .3 5

Se dice que una expresión decimal es periódica cuando un dígito, o grupo de dígitos, se repite

indefinidamente a partir de un cierto lugar a la derecha del punto decimal, como 0.212121

Teorema:

Todo número racional tiene una expresión decimal periódica.

Algoritmo de la división para números enteros.

Dados dos números enteros a y b, con b>0, existen dos enteros únicos q y r, con < ,

tales que: a = bq + r

3x = 7 3(2)+1 = 7

Los números a, b, q y r Z reciben el nombre de dividendo, divisor, cociente y residuo

respectivamente. Aquí el cociente siempre es siempre un número entero.

La relación a = bq + r, que está planteada en términos de números enteros exclusivamente,

puede ser enunciada en Q como:

= +

Densidad de los números racionales y representación en la recta numérica.

Los elementos de Q pueden también ser representados en la recta numérica, donde x < y, el

punto que representa a x se encuentra a la izquierda del que representa a y.

Apuntes de Álgebra

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-11/5 -1/2 ¾ 10/3

… -3 -2 -1 0 1 2 3 ….

Los números racionales poseen una propiedad conocida como “densidad”, según la cual entre

dos números racionales diferentes siempre hay otro número racional, como lo establece el

siguiente teorema.

Teorema:

Para todo x, y Q, con x < y, ∃ z Q tal que: x < z < y

Los números naturales y enteros no poseen la propiedad de densidad.

2.4 El conjunto de los números reales.

Lema:

Si a2 es un número par y a Z, entonces a es un número par.

Teorema:

El número x tal que x2 = 2 no es un número racional.

Los números racionales tienen representación en la recta numérica y en virtud de la densidad

en Q, podría pensarse que estos son suficientes para llenar la recta, lo cual es falso. 2.

Existen otros muchos números que tienen representación en la recta numérica y no son

racionales. A este tipo de números se les conoce como número irracionales. Y tienen

expresión decimal no periódica, característica que los distingue de los números racionales.

Los números irracionales pueden ser de dos tipos: los que son solución de alguna ecuación

algebraica con coeficientes enteros llamados irracionales algebraicos, y los que no son

solución de una ecuación de tal tipo se les llama irracionales trascendentes, como π y ℯ.

Se construyeron los números enteros a partir de los naturales, y los racionales a partir de los

enteros de tal forma que:

Definición:

Al conjunto que contiene tanto a los números racionales como a los irracionales se les conoce

como el conjunto de los números reales y se representa con R.

Este conjunto viene a satisfacer la necesidad de un conjunto de números que represente todos

los puntos de la recta, es decir que a cada número real le corresponde un punto de la recta y

viceversa.

Apuntes de Álgebra

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Propiedades:

Teorema:

Para todos x, y, z R:

i) x + y R cerradura

xy R

ii) x + ( y+z) = (x+y)+ z

x(yz) = (xy)z asociatividad

iii) x + y = y + x

xy = yx conmutatividad

iv) x + 0 = x

x ⋅ 1 = x elementos idéntico

v) ∃ -x R tal que x + (-x) = 0

∃ x-1 tal que x x-1 = 1, si x≠ elementos inversos

vi) x(y + z) = xy + xz distributividad.

Teorema:

Para todo x, y R

i) x ⋅ =

ii) (-x) (y) = - (xy)

iii) (-x) (-y) = xy

División: Si y ≠ el número x y = xy-1

Orden en R.

La relación “menor que” en R, de tal forma que si x, y son números reales tales que x < y,

entonces el punto que representa a x en la recta numérica se encuentra a la izquierda del que

representa a y.

Teorema:

Si x, y R entonces se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones:

i) x < y

ii) x = y

iii) y < x

Apuntes de Álgebra

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Teorema:

Para todo x, y, z R

i) x < y ⇒ x + z < y +z

ii) x < y y z > ⇒ xz < yz

x < y y z< ⇒ xz > yz

iii) x < y y y <z ⇒ x < z

También se definen los términos “positivo” y “negativos”: x > positivo, x< negativo.

Completitud en los reales.

El sistema de los números reales tiene las mismas propiedades algebraicas y de orden que el

sistema de los números racionales, pero el de los reales es más amplio y versátil, puesto que

en R se pueden resolver ecuaciones como x2 = 2 por eso los reales tienen una propiedad

adicional, y se conoce como “propiedad de completitud”

Teorema:

Todo subconjunto no vacío de R que está acotado superiormente tiene un supremo que

pertenece a R.

Este teorema garantiza la existencia de una mínima cota superior para cualquier conjunto de

números reales acotados superiormente y establece además que la mínima cota es un número

real, es decir que pertenece a R. La propiedad de completitud permite establecer el concepto

de continuidad en R.

Definición: Sea S subconjunto de R. Un elemento t R es cota superior si x t, x S.

Cualquier otro número real mayor que t será también una cota superior de S. Si un conjunto

tiene cotas superiores se dice que está acotado superiormente.

Definición: Sea S subconjunto de R. Un elemento m R se llama elemento máximo si: x m

x S y m S. Un elemento máximo es una cota superior, además pertenece a S, y es único.

Definición: Sea S subconjunto de R. Un elemento p R se llama supremo de S si: x p, x S,

q R y x q, ⇒ p q. sup S = p

El máximo debe ser un elemento del conjunto S, mientras que el supremo puede ser un

elemento de S o no serlo.

Ejemplos:

= , 1

Apuntes de Álgebra

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Acotado superiormente. Elemento máximo es el 1

Supremo también el 1.

= , < 1

Acotado superiormente, No tiene elemento máximo, Supremo es el 1.

Valor Absoluto.

Dado que existe una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, cabe

esperar que el concepto geométrico de distancia entre dos puntos tenga su equivalente en el

conjunto de los números reales, este concepto para su cálculo utiliza el valor absoluto de un

número real.

Definición:

Sea x un número real. El valor absoluto de x, que se representa como , y se define como:

= ,

, <

En general el valor absoluto de x R será un número no negativo, es decir, siempre positivo o

cero. Las propiedades de valor absoluto son:

Teorema:

Para todo x, y R:

) . á = =

) =

) + +

) =

) + =

)

)

)

) +

) ,

Mientras más grandes es , más lejos del origen se encuentra el punto que representa a x.

Debido a esto, al número se le conoce como la distancia de x al cero.

Apuntes de Álgebra

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Teorema:

Sea α R con α x R se tiene que: α ⇔ -α x α

Ejemplos:

Resolución de desigualdades e inecuaciones.

Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra.

Propiedades de las desigualdades:

1.- El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o se resta la misma cantidad a ambos

miembros. > >

2.- El sentido de una desigualdad no se altera si ambos miembros se multiplican o dividen

entre la misma cantidad positiva. > > >

>

3.- El sentido de una desigualdad se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen

entre la misma cantidad negativa. > < <

<

4.- Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, la suma da origen a

una desigualdad del mismo sentido. > > + > +

5.- Si dos desigualdades entre números positivos tienen el mismo sentido, se pueden

multiplicar miembro a miembro y los productos son desigualdades en el mismo sentido.

, , , >

> >

>

6.- Si en una desigualdad se sustituyen ambos miembros por sus recíprocos, se invierte su

sentido. >

<

7.- Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia

positiva, o se les extrae una misma raíz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

> > >

>

8.- Si los miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una misma potencia par

positiva, el signo de la desigualdad cambia.

< , < > <

Apuntes de Álgebra

20

9.- Si los miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el

signo de la desigualdad no cambia.

10.- Si los miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo de

la desigualdad cambia.

11.- Si un miembro es positivo y otro negativo y ambos se elevan a una misma potencia par

positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar.

Inecuaciones.

Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo

se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también

desigualdades de condición.

Por ejemplo:

4x-3<2x+5

El objeto será determinar la totalidad de números que hacen que expresiones de este tipo den

afirmaciones verdaderas. Si una afirmación verdadera se obtiene cuando se reemplaza a x por

un número real a, entonces se llama una solución de la desigualdad. El conjunto de soluciones

es el dominio de x, entonces la desigualdad se llama desigualdad absoluta, de otra manera se

llama desigualdad condicional. Resolver una desigualdad significa encontrar su conjunto de

soluciones.

La resolución de las inecuaciones se funda en las propiedades de las desigualdades y en las

consecuencias que de las mismas se derivan.

Ejercicios:

Apuntes de Álgebra

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3. Números complejos

3.1 Forma binómica.

Una vez aceptada la existencia de los número imaginario (i) como un número tal que i x i = i2

=-1, un número imaginario queda definido como aquel de la forma bi, donde b es cualquier

número real. Por ejemplo: 3i, -7i,

, 2 .

Los imaginarios proporcionan soluciones a toda ecuación de la forma x2 + c= 0, donde c es un

número positivo.

Ejemplos: x2 + 25=0

x2 + 4x + 13 = 0

La suma de un número real y con un número imaginario permite obtener un nuevo número

llamado complejo.

Definición:

= = + , , , = 1

Para manejar los números complejos se necesita saber cuándo dos de estos son iguales.

A esta representación se le conoce como forma binómica debido a su apariencia de binomio, y

a los números reales a y b se les conoce, respectivamente como parte real y parte imaginaria

de z. R(z) = a, I(z) = b

Definición:

Sean = + , = + dos números complejos con a, b, c, d R, entonces:

= = =

La igualdad en C requiere de dos igualdades entre números reales.

Conjugado de un complejo.

Definición:

Sea z=a+bi un número complejo. El conjugado de z, que se representa como , se define

como: =

Apuntes de Álgebra

22

Propiedades.

Teorema:

Para todo ,

) =

) =

) +

)

) + = +

) =

Representación gráfica.

La idea de representar a los números complejos en el plano se le debe al matemático inglés

John Wallis, casi cien años después de que Bombelli los había introducido.

Sobre el eje X se pone la parte real y sobre el eje Y se pone la parte imaginaria. Así por ejemplo

1+3i queda representado como:

Operaciones y sus propiedades.

Adición y multiplicación en C.

Estas operaciones se definen en términos de la adición y multiplicación de números reales.

Definición:

Sea = + , = + dos números complejos, donde a, b, c, d R

i) el número + se define como:

+ = ( + ) + ( + )

ii) el número se define como:

= ( ) + ( + )

Apuntes de Álgebra

23

Propiedades.

Para todo , , :

) + Cerradura

) + ( + ) = ( + ) + Asociatividad

( ) = ( )

) + = + Conmutatividad.

=

) + ( + ) = Elemento idéntico

(1 + ) =

) ∃ + ( ) = + Elementos inversos

≠ + ∃ :

= 1 +

) ( + ) = + Distributividad

Sustracción y división en C.

La sustracción y división se definen a partir de la adición y la multiplicación en C.

Definición:

Sean = + , = + dos números complejos, donde a, b, c, d R

) ú se define como: = + ( )

) ≠ + ú

se define como:

=

( + ) =

+ +

+

El resultado de la división puede también obtenerse multiplicando el dividendo y el divisor

por el conjugado del divisor, y considerando a los números complejos como binomios:

3.2 Forma polar o trigonométrica.

Un número complejo a+bi se puede representar como un punto de coordenadas (a, b) en el

plano cartesiano, donde su parte real a queda representada en el eje x, y su parte imaginaria b

en el eje y. A esta representación se le conoce como Diagrama de Argand y al eje x se le llama

“eje real” y a y “eje imaginario”.

El punto de coordenadas (a, b) también está determinado por los parámetros (r, ) conocidos

como coordenadas polares del punto.

Apuntes de Álgebra

24

Transformación de la forma binómica a la polar y viceversa.

Las coordenadas cartesianas se obtienen a partir de las polares mediante las siguientes

formulas de transformación:

a = r cos

b = r sen

En consecuencia el número complejo z = a + bi puede también expresarse como:

z = (r cos ) + (r sen ) i

z = r (cos + i sen )

Que es la llamada forma polar o trigonométrica del número complejo z. Usando la expresión

“cis ” para representar el factor cos + i sen , se puede escribir el complejo z = r cis .

Definición:

= ( cos ) + ( )

Y la forma polar del complejo será: z = r cis

Donde las coordenadas polares se pueden obtener a partir de las cartesianas mediante las

siguientes expresiones.

= +

= tan

Ejemplo:

Definición de módulo, argumento y de igualdad de números complejos en forma polar.

En la forma polar, el número real r, que es una distancia y por tanto un número no negativo, se

conoce como el “módulo” del número complejo, y al ángulo como su “argumento”. Para el

caso particular del número 0 + 0i, su módulo es cero y su argumento se considera arbitrario.

Si se tienen dos números complejos expresados en forma polar con módulos iguales y

argumentos que difieran un múltiplo entero de 360°, dichos números quedarán

representados en el plano por el mimo punto; en consecuencia, en su forma binómica tendrán

la misma parte real y la misma parte imaginaria, por lo que serán iguales, de acuerdo al

siguiente teorema:

Apuntes de Álgebra

25

Teorema:

Sean = = :

= = = + (3 °) = ,1,2,3, …

Ejemplo:

Por lo que se puede concluir que un número complejo puede tener más de un argumento. Se

llama “argumento principal” del número complejo al ángulo tal que: ° 3 °

Obtener el argumento principal de: = 2 5 °

Operaciones en forma polar: multiplicación, división, potenciación y radicación.

La multiplicación se reduce a multiplicar módulos y sumar argumentos, y la división en dividir

módulos y restar argumentos.

Ejemplo:

= 12 ° = 2 °

Teorema:

Sean = = , :

) = ( + )

)

=

( )

Al efectuar la división de números complejos en forma polar, puede suceder que el argumento

del divisor sea mayor que el del dividendo, y en ese caso se tendrá que el resultado es un

número complejo con argumento negativo. Los argumentos negativos deben interpretarse

como ángulos medidos en sentido contrario. Un argumento negativo está fuera del intervalo

° 3 °, así para obtener el argumento principal correspondiente deberá sumarse 3 °

tantas veces como se requiera para quedar dentro de dicho intervalo.

Ejemplo:

Potencias y raíces de números complejos.

Definición:

Sea z C y n N. La potencia enésima de z, (zn), se define como:

=

n factores.

Apuntes de Álgebra

26

En general cuando el número complejo está en forma polar se puede obtener sus potencias

naturales con la llamada fórmula de De Moivre, que se expresa con el siguiente teorema.

Teorema:

Para todo número natural n: ( ) = ( )

Ejemplo:

Si un número complejo está en su forma binómica, generalmente es más fácil obtener sus

potencias cambiándolo a la forma polar.

Ejemplos.

Definición:

Sean z C y n N. Si = se dice que w es raíz enésima de z, y se representa como

=

.

Teorema:

Para todo número natural n:

=

( °)

= ,1,2,3,… , ( 1)

Se observa que la raíz enésima de un número complejo no es única, y que existen exactamente

n raíces diferentes correspondientes a los valores de k = , 1, …, (n-1).

Estas n raíces quedan representadas en el Diagrama de Argand por n puntos sobre una

circunferencia con centro en el origen y radio igual a

.

Ejemplos:

Existen casos donde el exponente no es un número natural, por lo que se sigue la siguiente

definición:

Definición.

Sean z C y m,n N: = 1

=1

=

Ejemplos:

Apuntes de Álgebra

27

3.3 Forma exponencial o de Euler.

El matemático suizo Leonard Euler estableció la relación: = cos + que

permite escribir el número complejo z = r cis en la forma = conocida como forma de

Euler o forma exponencial, en el cual r es el módulo y es el argumento expresado en

radianes.

Equivalencia entre forma polar y exponencial.

Se puede establecer la relación de igualdad entre números complejos expresados en forma de

Euler de acuerdo con el siguiente teorema.

Teorema:

Sean = , = : = = = + (2 ) = ,1,2,…

= 2 225°, = 3 1 ° = 2 °

Euler: = 2

, = 3 , = 2

Operaciones en forma exponencial.

Teorema:

Multiplicación: = ( )

( )

División:

=

( )

Potencia: ( ) =

Raíz: =

( )

Ejemplos:

3.4 Resolución de ecuaciones con una incógnita que involucren números complejos.

Ejercicios.

Apuntes de Álgebra

28

4. Polinomios.

4.1 Definición de polinomio de igualdad de polinomios.

Los polinomios pueden ser tratados como una expresión o como una función.

Al considerar el polinom9io como expresión los símbolos x0, x1, x2, … , xn son i9ndicadores de

la posición de los números a0, a1, a2, …, an y los signos + deben interpretarse únicamente como

medios de conexión. Si el polinomio es considerado como función, los símbolos x0, x1, x2, … , xn

representan potencias de la variable x: a0x0, a1x1, a2x2, …, anxn representan producto y los

signos + se interpretan como símbolos de adición.

Al considerar los polinomios como expresiones, se tendrá el siguiente proceso algebraico.

Definición:

Se llama polinomio en x con coeficientes en C a una expresión de la forma:

( ) = + + + + , , , … ,

A las expresiones a0x0, a1x1, a2x2, …, anxn se les identifica como términos del polinomio y a los

números a0, a1, a2, …, an coeficientes de x0, x1, x2, … , xn, respectivamente.

Se conoce como grado de un polinomio al mayor índice superior que se encuentra en la

expresión, siempre y cuando el coefic9ientes correspondiente sea diferente de cero.

Definición:

Sea el polinomio en x con coeficiente en C. ( ) = + + + + si a ≠ el

entero no negativo n es el grado del polinomio, lo que se representa como ( ) = .

Igualdad de polinomios.

Dos polinomios se consideran iguales si tienen los mismos términos, con excepción de

aquellos que tengan coeficientes cero, de acuerdo con la siguiente definición.

Definición:

Sean los polinomios en x con coeficientes en C.

( ) = ( ) =

Se dice que son iguales, f(x)=g(x) cuando:

) = = < , <

) = , =

) = = < , >

Ejemplos:

Apuntes de Álgebra

29

Al considerar al polinomio como una función e C en C, si los polinomios f(x) y g(x) son iguales,

entonces f(x) = g(x), indica que las funciones f y g son iguales. Así pues, dos polinomios que

son iguales en el sentido algebraico lo son también como funciones.

Adición de polinomios.

La adición de polinomios en el sentido algebraico, de be ser consistente con la definición de

adición de funciones y las propiedades de las operaciones en complejos.

Definición:

Sean los polinomios en x con coeficientes en C:

( ) =

( ) =

El polinomio f(x) + g(x) se define como:

( ) + ( ) = ( + )

Esta suma es de carácter general ya que siempre es posible considerar que dos polinomios

tienen el mismo número de términos.

Ejemplo.

Para representar el grado del polinomio obtenido de la suma se tiene que:

) ( ) > ( ), ( + ) = ( )

) ( ) < ( ), ( + ) = ( )

) ( ) = ( ) = , ( + ) =

Propiedades de la adición:

Teorema:

Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces:

) ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) .

) ( ) + ( ) = ( ) + ( )

) ( ) ( ) + ( ) = ( ) é

) ( ) ( ) + ( ) = ( )

El polinomio θ(x) se conoce como “polinomio cero” debido a que todos sus coeficientes son

iguales a cero, su grado no está definido.

Apuntes de Álgebra

30

Multiplicación de polinomios.

Definición:

Sean los polinomios en x con coeficientes en C. ( ) = ( ) =

. El

polinomio f(x) g(x) se define como: ( ) ( ) = =

.

gr(fg) = gr(f) + gr(g)

Ejemplos:

Se pueden escribir los polinomios en el orden que resulte mas conveniente de acuerdo con lo

que se esté tratando.

Propiedades.

Teorema

Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces:

) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) = ( ) ( )

) ( ) ( ) ( ) = ( ) é

Tomando simultáneamente la adición y la multiplicación de polinomios satisfacen también la

propiedad distributiva, es decir:

Teorema:

Si f(x), g(x), h(x) son polinomios en x con coeficientes en C, entonces: ( ) ( ) + ( ) =

( ) ( ) + ( ) ( )

Multiplicación de un polinomio por un escalar.

NOTA: Los polinomios de grado cero son, a fin de cuentas, números.

Debido a esto la multiplicación de un número complejo por un polinomio es un caso particular

de la multiplicación de polinomios. Así, si c es un numero complejo, éste puede expresarse

como: c = cx0, y si f(x) es un polinomio en x con coeficientes en C, entonces:

( ) = ( )(

=

Por lo que: ( ) = + + + +

Ejercicios.

Apuntes de Álgebra

31

4.2 División de polinomios

Definición.

Sean f(x) y g(x) dos polinomios en x con coeficientes en C y g(x) ≠ : g(x) es un factor de f(x)

si existe un polinomio q(x) con coeficientes en C tal que: f(x) = g(x) q(x) se dice entonces que

f(x) es divisible entre g(x).

Algoritmo de la división para polinomios.

Teorema:

Sean f(x) y g(x) dos polinomios en x con coeficientes en C. Si g(x) ≠ , existen dos polinomios

únicos q(x) y r(x) con coeficientes en C tales que: f(x) = g(x) q(x) + r(x) donde gr(r) < gr(g)

o bien r(x)=0.

De manera similar al caso de los números enteros, los polinomios f(x), g(x), q(x) y r(x)

reciben el nombre de “dividendo”, “divisor”, “cociente” y “residuo” respectivamente.

“Dividir f(x) entre g(x)” debe interpretarse como encontrar los polinomios q(x) y r(x) cuya

existencia garantiza el teorema de divisibilidad. Estos polinomios pueden obtenerse mediante

el procedimiento de álgebra elemental

Ejemplo

Ley de la cancelación.

Teorema:

Sean f(x), g(x), h(x) polinomios en x con coeficientes en C. Si h(x) ≠ entonces

f(x) h(x)=g(x) h(x) ⟹f(x) = g(x)

Teorema de residuo y del factor.

Dado un polinomio en x con coeficientes en C puede ser considerado como una función de

complejos a complejos de la forma:

( ) = + + + +

Al sustituir un numero complejo “c” en lugar de la variable x y efectuar las operaciones

indicadas, se obtienen un numero al que se llama “valor del polinomio en c” y que, de acuerdo

con la notación para funciones, se representa con p( c), esto es:

( ) = + + + +

Cuando un polinomio cualquiera p(x) se divide entre un polinomio de primer grado, el

residuo que se obtiene es un número. En particular, si el polinomio de primer grado es de la

forma x-c, dicho número coincide con el valor del polinomio en c, de acuerdo al siguiente

teorema.

Apuntes de Álgebra

32

Teorema: (del residuo)

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y c C. El residuo de dividir p(x) entre x-c es

igual a p(c ).

Ejemplos:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C. Si el residuo que se obtiene al dividir p(x)

entre x-c es igual a cero si y solo si p( c)= . Este resultado se conoce como “teorema del

factor”.

Teorema: (del factor)

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y c C. p(x) es divisible entre x-c si y solo si

p(c ) = 0.

División sintética.

Cuando se presenta que el divisor es un polinomio de la forma x-c, es posible introducir

algunas simplificaciones al procedimiento general hasta llegar a lo que se conoce con el

nombre de “división sintética”.

Ejemplo.

Formalmente el procedimiento es el siguiente:

Considerando los polinomios:

( ) = + + + + ≠ ( ) =

Como g(x) es de grado uno, el cociente q(x) será de grado n-1 y se puede escribir:

( ) = + + + ≠

Además el residuo será cero o de grado cero, es decir, un numero r.

Entonces de f(x)= g(x) q(x) + r(x)

+ + + + = ( )( + + + ) +

Por igualdad de polinomios:

=

=

=

=

Por lo que los coeficientes del cociente y el residuo se obtienen como:

Apuntes de Álgebra

33

=

= +

= +

= +

Para efectuar los cálculos indicados en las expresiones anteriores se puede utilizar el

siguiente arreglo.

c

Ejemplos:

4.3 Raíces de un polinomio: Definición de raíz.

A los valores para los cuales el polinomio vale cero, se les denomina raíces del polinomio.

Definición:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y sea α un número complejo. Α es una raíz de

p(x) si p(α) =

Los conceptos de “raíz de un polinomio” y “solución de una ecuación algebraica” son

equivalentes ya que se conoce como ecuación algebraica (de grado n) a una ecuación de la

forma:

+ + + + = ≠

Teorema fundamental del álgebra y numero de raíces de un polinomio.

Existen polinomios con coeficientes en R que no tienen raíces en R. Podría pensarse entonces

en la existencia de polinomios con coeficientes en C que no tuviesen raíces en C que no

tuvieses raíces en C, por lo tanto surge la necesidad de ampliar el sistema de los números

complejos, pero tal posibilidad queda excluida por el Teorema fundamental de álgebra.

Teorema: fundamental de álgebra.

Si p(x) es un polinomio en x con coeficientes en C de grado mayor o igual que uno, entonces

p(x) tiene al menos una raíz en C.

Este teorema establece la existencia de al menos una raíz, pero no proporciona ningún

método para determinarla.

Apuntes de Álgebra

34

Por el teorema anterior p(x) tiene por lo menos una raíz α1 tal que ( ) = , x-α1 es factor

de p(x), por lo que se puede escribir p(x) = ( x- α1) q1(x) donde q1(x) es un polinomio de

grado n-1.

Si n-1 ≥ 1 entonces, q1(x) tiene por lo menos una raíz α2 C y se puede escribir:

q1(x) = ( x- α2) q2(x) donde q2(x) es un polinomio de grado n-2.

Si todavía n-2 ≥ 1, se repite el razonamiento un número finito de veces hasta obtener un

polinomio qn de grado cero, esto es: ( ) = ( ) y como qn es de grado cero, no

tiene raíces y el proceso termina. Por lo que:

( ) = ( )( ) ( )

Donde el polinomio p(x) se encuentra expresado como el producto de n polinomios de grado

uno, y qn al ser un polinomio de grado cero es un número y coincide con el coeficiente an. A

esta expresión se le conoce como “descomposición de p(x) en factores lineales” y se concluye

con el siguiente teorema.

Teorema:

Si p(x) es un polinomio en x con coeficientes en C de grado n ≥ 1, entonces p(x) tiene n raíces.

Se debe hacer notar que las n raíces a las que se refiere el teorema no son necesariamente

diferentes.

Si el número α se presenta más de una vez como raíz se dice que α es una raíz múltiple, y el

número de factores de la forma x-α en la descomposición de p(x) se conoce como

multiplicidad de α.

Ejemplo.

4.4 Técnicas elementales para buscar raíces: posibles raíces racionales.

Las raíces de un polinomio con coeficientes en Q pueden ser de tres tipos:

a) Raíces racionales

b) Raíces irracionales

c) Raíces complejas

Aunque los tres tipos son raíces complejas, suela hacerse esta clasificación para facilitar su

estudio.

Raíces Racionales.

Los polinomios con coeficientes en Q con raíces racionales son las mas fáciles de encontrar y

pueden obtenerse de entre un conjunto finito de números mediante un procedimiento de

prueba directa.

Apuntes de Álgebra

35

Teorema:

Sea ( ) = + + + + un polinomio en x con coeficientes enteros,

donde an ≠ , a0 ≠ y n ≥ 1. Si un número racional es raíz de p(x) y

es su mínima expresión,

entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an.

Ejemplo.

Teorema:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en R. Si a y b son dos números reales tales que

a < b y p(a), p(b) tienen signos contrarios, entonces p(x) tiene al menos una raíz real α en el

intervalo a<α<b.

Se acota el intervalo en que se encuentran las raíces reales, utilizando el siguiente teorema:

Teorema:

Sea ( ) = + + + + un polinomio en x con coeficientes reales y

an>0.

i) Si s R, s >0, y no existen números negativos en el tercer renglón de la división

sintética de p(x) entre x – s, entonces para toda raíz real α de p(x) se tiene que

α <s.

ii) Si t R, t <0, y los números del tercer renglón de la división sintética de p(x) entre

x – t son alternadamente positivos y negativos, entonces para toda raíz real α de

p(x) se tiene que t<α. Los ceros en este tercer renglón podrán considerarse

positivos o negativos a efecto de lograr los signos alternados.

Ejemplo.

Regla de los signos de Descartes.

Cuando un polinomio no tiene raíces nulas (cuando coeficiente a0 =0) es posible obtener

información acerca del número de raíces positivas y negativas, analizando los signos de sus

coeficientes con base en el siguiente teorema:

Teorema: Regla de los signos de Descartes.

Sea ( ) = + + + + un polinomio en x con coeficientes reales y

a0≠ .

Apuntes de Álgebra

36

i) El numero de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de cambios de

signo en la secuencia de coeficientes del polinomio p(x), o menor que éste en un

número par.

ii) El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de cambios de

signo en la secuencia de coeficientes del polinomio en x que se obtiene al sustituir

x por –x en p(x), o menor que éste en un número par.

Solo se consideran los coeficientes distintos de cero

Ejemplo.

Raíces complejas:

Teorema:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en R. Si α = a+bi, con b≠ , es una raíz de p(x)

entonces = es otra raíz de p(x).

Ejemplo.

El problema de determinar las raíces de un polinomio no admite un método general, más bien,

un procedimiento que debe seguirse en cada caso está determinado por la naturaleza del

polinomio. Una secuencia sugerida para el caso de polinomios con coeficientes en Q es:

1.- Se aplica la regla de los signos de Descartes y se obtienen las diferentes alternativas en

cuanto al número y tipo de raíces del polinomio.

2.- Se obtienen las posibles raíces racionales.

3.- Con base en la información del paso 1, se prueba con las posibles raíces enteras positivas

(o negativas según sea el caso) hasta encontrar una raíz o un l9imite superior de las raíces,

observando durante el proceso si existen cambios de signo en el residuo de la división

sintética.

4.- En caso de encontrar un límite superior se descartan las posibles raíces racionales

mayores a dicho límite y se prueba con las restantes, empezando con aquellas que se

encuentren entre dos valores para los cuales se presento un cambio de signo en el residuo de

la división sintética.

Apuntes de Álgebra

37

5.- Si durante los pasos 3 o 4 se obtiene una raíz del polinomio, se factoriza este y se trabaja

con el cociente obtenido, aprovechando la información que se tenga respecto a las raíces del

polinomio original.

6.- Agotadas las posibles raíces racionales positivas se repiten los pasos 3, 4 y 5 para las raíces

racionales negativas.

7.- Si con los pasos anteriores se logra llegar a un polinomio de segundo grado, se obtienen las

raíces de este por medio de la formula, con la que termina el proceso.

8.- En caso de no haberse obtenido un polinomio de segundo grado se procederá a localizar el

intervalo donde se encuentran las raíces irracionales, si estas existen.

Apuntes de Álgebra

38

5. Sistemas de ecuaciones lineales.

5.1 El sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático de problemas.

Su propósito fundamental es el de establecer un método para obtener soluciones.

Definición de ecuación lineal y de su solución.

Definición:

Una ecuación lineal sobre C es una expresión de la forma + + + = donde

, , ,

A los símbolos , , , se les conoce como “incógnitas” de la ecuación, a los números ai

como “coeficientes” de las xi y a b como el “término independiente”.

Una solución de la ecuación lineal + + + = es un conjunto ordenado de n

valores , , , tales que + + + =

En la búsqueda de soluciones para la ecuación + + + = pueden

distinguirse tres casos.

i) Al menos uno de los coeficientes es diferente de cero.

ii) Todos los coeficientes son nulos y el término independiente también lo es,

entonces la ecuación es de la forma: + + + = y es claro que

cualquier conjunto de n valores es una solución de dicha ecuación.

iii) Todos los coeficientes son nulos y el término independiente no lo es, entonces a

ecuación es de la forma + + + = ≠ y es claro que

ningún conjunto de n valores podrá ser una solución de la ecuación, por lo que la

ecuación no tiene solución.

Definición de sistemas de ecuaciones lineales y de su solución.

Un sistema es un conjunto de ecuaciones lineales que tienen las mismas incógnitas, como lo

establece la siguiente definición.

Definición:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sobre C es una expresión de la forma:

+ + + =

+ + + =

+ + + =

Donde , , , , , ,

Apuntes de Álgebra

39

Puesto que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones con las mismas

incógnitas, resulta natural considerar como una solución del sistema a un conjunto de valores

que satisface a todas las ecuaciones del sistema, por lo que se establece la siguiente

definición.

Definición:

Una solución del sistema de ecuaciones lineales.

+ + + =

+ + + =

+ + + =

Es un conjunto ordenado de n valores , , , tales que:

+ + + =

+ + + =

+ + + =

La definición establece lo que deberá entenderse por solución de un sistema de ecuaciones

lineales; sin embargo no dice que cualquier sistema de ecuaciones lineales habrá de tener

solución.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales en cuanto a la existencia y al número de

soluciones.

Hay sistemas de ecuaciones que no admiten solución. A este tipo de sistemas se les llama

“incompatibles”.

Si por el contrario, un sistema de ecuaciones lineales tienen solución se dice que es

“compatible”. Los sistemas compatibles pueden tener una sola solución, en cuyo caso se dice

que son “determinados” o más de una solución en cuyo caso se dice que son

“indeterminados”.

Apuntes de Álgebra

40

Sistemas homogéneos, soluciones triviales y varias soluciones.

Si se considera el caso en el que se tiene un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y

n incógnitas, donde el término independiente será igual a cero, = , se le llamará sistema

homogéneo. Y solo admitirá la solución trivial: = = = = .

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas

de la trivial es que el número de ecuaciones sea menor al número de incógnitas.

Ejemplo:

5.2 Sistemas equivalentes y transformaciones elementales.

Cuando dos sistemas de ecuaciones lineales tienen las mismas soluciones se dice que son

“equivalentes”.

Para encontrar estas soluciones se utiliza un método que se basa en el empleo de ciertas

transformaciones, llamadas transformaciones elementales, que no alteran las soluciones del

sistema; son transformaciones que al aplicarse a un sistema dan como resultado un sistema

equivalente.

Las transformaciones elementales pueden ser tres tipos y consisten en:

I) Intercambiar dos ecuaciones.

II) Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero.

III) Multiplicar una ecuación por un número y sumarla a otra ecuación, remplazando

esta última por el resultado obtenido.

Ejemplo:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

El procedimiento más cómodo para obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones

lineales, es tal vez, el método de Gauss.

Este método consiste en la eliminación consecutiva de las incógnitas con el propósito de llegar

a un sistema que tenga forma “escalonada”. Para llevar a cabo dicha eliminación sin alterar las

soluciones del sistema, se recurre a las transformaciones elementales.

Ejemplo:

El sistema de ecuaciones puede quedar completamente definido por el valor de sus

coeficientes y términos independientes, los cuales pueden presentarse convenientemente en

un arreglo tabular “matriz”.

Ejemplo:

Apuntes de Álgebra

41

A esta matriz se le pueden aplicar transformaciones análogas a las descritas con las

ecuaciones. Estas transformaciones son conocidas como “transformaciones elementales por

renglón”, que consisten en:

I) Intercambiar dos renglones

II) Multiplicar un renglón por un número diferente de cero.

III) Multiplicar un renglón por un número y sumarlo a otro renglón, reemplazando

este ultimo por el resultado obtenido.

Se llega a una matriz escalonada. Se dice que una matriz esta en forma escalonada si el

numero de ceros anteriores al primer elemento no nulo de cada renglón aumenta al pasar de

un renglón al siguiente, hasta llegar eventualmente a renglones cuyos elementos son todos

nulos.

Ejemplos:

Por lo que al utilizar el método de Gauss es conveniente representar el sistema mediante una

matriz y efectuar en ella las transformaciones necesarias para llevarla a la forma escalonada.

Ejemplos:

Generalizando; el método de Gauss consiste en aplicar a un sistema de m ecuaciones con n

incógnitas (o a la matriz que lo representa) una sucesión de transformaciones elementales

hasta llevarla hasta la forma escalonada.

Si durante el proceso se obtiene una ecuación nula:

0x1+0x2+0x3+... + 0xn = 0 se desecha, puesto que cualquier conjunto de n valores

es una solución a la misma.

Si se obtiene una ecuación de la forma:

0x1+0x2+0x3+ ... + 0xn = b; b0 es un sistema incompatible, ya que dicha ecuación no

tiene solución, de otra manera el sistema es compatible.

Si el sistema es compatible y al reducirlo a la forma escalonada se obtienen n ecuaciones no

nulas, entonces el sistema es determinado y su solución se obtiene por sustitución sucesiva de

los valores de las incógnitas, a partir de la última cuyo valor es inmediato.

Si el sistema es compatible y al reducirlo a la forma escalonada se obtiene r<n ecuaciones no

nulas, entonces le sistema es indeterminado y su solución general se obtiene dejando n-r

incógnitas libres (como parámetros) y expresando a las otras r incógnitas en función de estas.

Apuntes de Álgebra

42

a a a n11 12 1

6. Matrices y determinantes.

6.1 Definición de matriz y de igualdad de matrices.

MATRIZ: Es una “tabla” o “arreglo rectangular” de elementos reales o complejos.

Para trabajar con matrices se ha desarrollado una notación especial. La posición de un

elemento en una matriz se describe al dar el renglón y la columna en la que éste se encuentra.

El elemento en el renglón i y la columna j de una matriz A se denota como aij.

El primer subíndice indica el renglón y el segundo subíndice indica la columna.

Una matriz A de m x n es un arreglo de la forma:

A =

En forma abreviada, la matriz de la definición anterior puede expresarse como:

aij Donde i = 1, 2, 3, …, m y j = 1,2,3,…, n.

Al arreglo horizontal: se le conoce como el primer renglón de

la matriz, así hasta el i-ésimo renglón de la matriz.

En forma análoga, el arreglo vertical

Se le conoce como la j-ésima columna.

Comúnmente se representa a las matrices con letras mayúsculas y a sus elementos con letras

minúsculas.

Una matriz de orden 1 x n es conocida como “matriz renglón” o “vector renglón” y una matriz

de orden n x 1 es conocida como “matriz columna” o “vector columna”.

Ejemplo:

a a a

a a a

a a a

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .

a

a

a

ij

j

mj

2

Apuntes de Álgebra

43

A a y B b i m j nij ij para y ; , , ..., , , ,...,1 2 3 1 2 3

c a bij ij ij

El desarrollo de una teoría algebraica de matrices se inicia al definir el concepto de igualdad

de matrices.

IGUALDAD DE MATRICES:

Se dice que dos matrices son iguales cuando tienen los mismos elementos y éstos se

encuentran dispuestos de la misma manera en ambos arreglos. Por lo tanto A = B si aij = bij

donde

Ejemplo:

Operaciones con matrices y sus propiedades: adición, sustracción, multiplicación por un

escalar y multiplicación.

ADICIÓN.

La primera de las operaciones con matrices y también la más sencilla, es la adición. Esta

operación puede efectuarse cuando las matrices son del mismo orden y el resultado se

obtiene sumando los elementos correspondientes de ambas matrices. Si las matrices no son

del mismo tamaño u orden, se dice que las matrices “no son conformables” y no se pueden

sumar, y en consecuencia la suma no existe

Si C = A + B, entonces

Ejemplo:

La adición de matrices, satisface las propiedades que se enuncian a continuación.

Teorema:

Si A, B y C son matrices de mxn cuyos elementos son números complejos, entonces:

1) Asociatividad; A + (B + C) = (A + B) + C

2) Conmutatividad; A + B = B + A

3) Elemento idéntico; Existe una matriz 0 de mxn tal que A + 0 = A

4) Elemento inverso; Existe una matriz –A de mxn tal que A + (-A) = 0

A la matriz 0, que es una matriz de mxn cuyos elementos son todos nulos, se le conoce como

“matriz nula” o “matriz cero” de mxn.

A la matriz –A, que es una matriz de mxn cuyos elementos son los simétricos de los elementos

de A, se le conoce como “la simétrica de A” o la “negativa de A”

Auxiliándonos de la definición anterior, se pueden definir la Sustracción de Matrices.

Apuntes de Álgebra

44

aij

eij

e a i m j nij ij ; ,..., ,..., para y 1 1

Para obtener la diferencia A – B, bastará con restar los elementos de la matriz A con los

elementos correspondientes de la matriz B.

A – B = A + (-B)

Ejemplo:

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR.

En ocasiones, se requiere multiplicar una matriz por un número, al que genéricamente se le

conoce como “escalar”. La multiplicación del escalar por una matriz A, es la matriz que se

obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por el escalar. La matriz resultante será

del mismo orden que la matriz A.

Sea A = una matriz de mxn con elementos en C, y α Є C. El producto αA

Es una matriz E = de mxn, definida por

Ejemplo:

La multiplicación por un escalar satisface las siguiente propiedades.

Teorema:

Si A y B son matrices de mxn con elementos en C y α, β Є C, entonces:

α ( A + B) = αA + αB

(α + β) A = αA + βA

α ( βA ) = ( αβ ) A

Se define –A como la matriz (-1)A. Esto significa que para negar una matriz, se multiplica cada

elemento de la matriz por -1.

De aquí se tiene que A – B = A + (-1) B

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

La manera más natural de multiplicar dos matrices A y B parecería ser multiplicar elementos

correspondientes de A y de B. Sin embargo, se ha encontrado que ésta no es la manera más

útil para multiplicar matrices. Los matemáticos han dado una regla alternativa que consiste en

multiplicar, de manera sistemática, los renglones de la primera matriz A por las columnas de

Apuntes de Álgebra

45

a a ai i in1 2

c a b a b a bij i j i j in nj 1 1 2 2

c a bij ik

k

n

kj

1

la segunda matriz B. Esta regla se establece al dar un método para obtener un elemento

arbitrario de la matriz producto AB.

En general si A y B son dos matrices tales que el número de columnas de A coincide con el

número de renglones de B, el elemento que se encuentra en la posición correspondiente al

renglón i y la columna j de la matriz producto AB, se obtiene sumando los productos de los

elementos del renglón i de la matriz A por sus elementos correspondientes en la columna j de

la matriz B.

Si el número de columnas de A no es igual al número de renglones de B, se dice que el

producto no existe, las matrices no son conformables para el producto de matrices.

Sea A una matriz de n columnas y B una matriz de n renglones. El renglón i de A es

Y la columna j de B es .

Si C = AB, entonces

Generalizando esto es:

A = [ aij ] m x n y B = [ bij ] de n x q, el producto AB es una matriz C = [ cij ] de m x q definida

por:

Ejemplo:

La multiplicación de matrices no es conmutativa; es decir, no puede establecerse que para dos

matrices A y B (conformables para el producto AB) se tenga que AB = BA

Puesto que AB y BA representan en general matrices diferentes, es importante hacer énfasis

en el orden en que se multiplican. Así, en el producto AB se dice que la matriz A

“premultiplica” a la matriz B mientras que en el producto BA se dice que A “postmultiplica” a

B.

b

b

b

j

j

nj

1

2

Apuntes de Álgebra

46

En algunos casos, la multiplicación puede efectuarse en un sentido, digamos AB, pero no en el

otro, es decir BA. En otros casos la multiplicación puede efectuarse tanto en un sentido como

en el otro, pero los resultados pueden ser diferentes o iguales según las matrices de que se

trate.

Cuando dos matrices Ay B son tales que AB = BA se dice que son “permutables” (también

suele decirse que “conmutan”).

Ejemplo:

Orden de una matriz producto:

Sea A una matriz de m x r y B una matriz de r x n. A tiene r columnas y B tiene r renglones,

entonces AB existe. El primer renglón de AB se obtiene al multiplicar el primer renglón de A

por cada una de las columnas de B. Por lo tanto, el número de columnas de AB es igual al

número de columnas de B. La primera columna de AB es el resultado de multiplicar cada uno

de los renglones de A por la primera columna de B; entonces el número de renglones de AB es

igual al número de renglones de A. AB será una matriz de m x n.

Esto se representa como sigue:

Ejemplo:

La multiplicación de matrices satisface la ley asociativa que establece el siguiente enunciado.

Teorema:

Sean A, B y C matrices de orden mxn, nxp y pxq, respectivamente, cuyos elementos son

números complejos, entonces:

A (BC) = (AB) C

Consideradas simultáneamente, la adición y la multiplicación de matrices tienen las

propiedades que se enuncian a continuación, conocidas como leyes distributivas de la

multiplicación sobre la adición.

Teorema:

Sean A, B y C matrices de orden mxn, nxp, y nxp, respectivamente, y D, E y F matrices de mxn,

mxn y nxp, respectivamente, cuyos elementos son números complejos; entonces:

ń

A B AB

m x r r x n m x n

interiores coinciden

exteriores dan el tama o de AB

Apuntes de Álgebra

47

A (B + C) = AB + AC

(D+ E) F = DF +EF

MATRIZ IDENTIDAD.

Las matrices cuadradas desempeñan un papel muy importante en la teoría de matrices,

especialmente en lo que se refiere a sus aplicaciones. Es por ello que se establece cierta

terminología especial para este tipo de matrices.

Si el número de renglones m es igual al número de columnas n, se dice que la matriz A es una

matriz cuadrada.

Se conoce como “matriz identidad” de orden n a una matriz cuadrada de orden n que es de la

forma:

Como puede verse, esta matriz está formada con unos y ceros únicamente. Los elementos

iguales a uno son aquello en que coinciden el número del renglón y el de la columna donde se

encuentran, y todos los demás elementos son iguales a cero.

Definición.

Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada In = δij ], tal que

δij = 1, si i = j δij = , si i ≠ j.

Al símbolo δij de la definición anterior se le conoce como “delta de Kronecker”.

La matriz identidad juega un papel muy importante en el álgebra de matrices, ya que

constituye un elemento idéntico para la multiplicación. Las matrices cero juegan un papel

semejante al del cero en los números reales, y las matrices identidad juegan un papel

semejante al del 1.

Teorema:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Apuntes de Álgebra

48

Sea A una matriz de orden m x n y 0mn la matriz cero de m x n. Sea B una matriz cuadrada de

n x n, On e In las matrices cero e identidad de n x n. Entonces:

A + 0mn = Omn + A = A

B0n = 0nB = 0n

BIn = InB = B

ImA = A

6.2 Definición y propiedades de la inversa de una matriz. Cálculo de inversa por

transformaciones elementales.

Definición y propiedades de la inversa de una matriz.

No toda matriz cuadrada tiene inversa. A las matrices que tienen inversa les llamamos “no

singulares” (regular) y a las que no tienen inversa “singulares”

Definición:

Sea A una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es no singular si existe , en caso

contrario se dice que A es singular.

En cuanto a la unicidad, la inversa de una matriz cuadrada (si existe) es única.

Propiedades:

Teorema:

Si A y B son dos matrices no singulares del mismo orden y λ Є C, entonces:

A-1 es única

(A-1)-1 = A

(AB)-1 = B-1 A-1

(λA)-1 = λ-1A-1, si λ ≠ .

NOTA: El producto de dos matrices no singulares es una matriz no singular.

Cálculo de la inversa por transformaciones elementales.

Existe un método práctico que se basa en el empleo de las transformaciones elementales por

renglón. Este método consiste en aplicar una sucesión de transformaciones elementales a la

matriz A, hasta obtener la matriz identidad, y aplicar esta misma sucesión de

transformaciones a la matriz In con lo que se obtiene A-1. Si no es posible transformar la

matriz A en la matriz identidad entonces no existe A-1.

Apuntes de Álgebra

49

AI I AnT T

nk1 1

- Transformaciones elementales:

- Intercambiando renglones

- Sumando renglones

- Multiplicar el renglón por un escalar

- Multiplicar el renglón por un escalar y sumando el resultado a otro renglón.

Ejemplos:

Obteniendo la inversa.

Sea A una matriz de n x n.

1.- Se adjunta a A la matriz identidad del mismo orden In, para formar la matriz

A│In].

2.- Se calcula la forma escalonada reducida de A│In].

Si la forma escalonada reducida es de la forma [In│B , entonces B es la inversa de A.

Si la forma escalonada reducida no es de la forma [In│B, debido a que la primera submatriz de

n x n no es In, entonces A no tiene inversa.

Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo a la matriz A y del lado derecho a la matriz

identidad In. Se efectúan entonces (en ambas matrices simultáneamente) las

transformaciones necesarias para obtener en el lado izquierdo la matriz In, y al finalizar el

proceso se obtiene en el lado derecho a la matriz A-1.

Esquematizando:

Ejemplos:

6.3 Ecuaciones matriciales y su resolución. Representación y resolución matricial de los

sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones matriciales y su resolución.

Considerando la siguiente ecuación entre matrices:

AX + B = 3X, donde X es la matriz incógnita.

Apuntes de Álgebra

50

En ciertos casos estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones matriciales, pueden resolverse

siguiendo el mismo procedimiento que se emplea para resolver ecuaciones planteadas con

números, esto es, tratando de “despejar” la incógnita en términos de los otros elementos que

intervienen en la ecuación. Sin embargo, las propiedades de las operaciones con matrices

presentan algunas diferencias con respecto a las operaciones con números, por lo que se debe

tener especial cuidado en que los pasos efectuados en el despeje son válidos en el álgebra de

matrices.

Siguiendo el ejemplo anterior y dando valores a A y B.

Ejemplo:

Representación y resolución matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.

Otro ejemplo de ecuación matricial, de uso frecuente en las aplicaciones, los constituye la

llamada representación matricial de un sistema de ecuaciones.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede quedar representado por la

expresión:

AX = B donde A es una matriz de mxn que se conoce como “matriz de coeficientes” del

sistema, X es una matriz de nx1 conocida como “vector de incógnitas” y B es una matriz de m

x1 conocida como “vector de términos independientes”

Ejemplo:

6.4 Matrices triangulares, diagonales y sus propiedades. Definición de traza de una matriz y sus

propiedades.

En una matriz cuadrada, los elementos que tienen los dos subíndices iguales, es decir, a11. a22,

…, ann, forman la diagonal principal. Dichos elementos se encuentran ubicados en lo que

geométricamente sería una de las diagonales del cuadrado formado por la matriz (la diagonal

que va de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo)

Es una matriz de orden nxn

diagonal principal

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

\

11 12 1

1 22 2

1 2

Apuntes de Álgebra

51

a i jij tales que

a i jij tales que

A aij

El “triángulo superior”, está constituido por lo elementos

Estos elementos se encuentran situados “por arriba” de la diagonal principal.

El “triángulo inferior” constituido por los elementos

Estos elementos se encuentran situados “por debajo” de la diagonal principal.

Los tipos especiales de matrices cuadradas que veremos en esta sección se refieren a la

naturaleza y disposición de los elementos de acuerdo con estas tres regiones.

Matrices triangulares.

Sea una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que:

A es triangular superior si aij = 0 para i > j

A es triangular inferior si aij = 0 para i< j

De acuerdo a esta definición, en una matriz triangular superior los elementos

correspondientes al triángulo inferior son todos nulos. En consecuencia, en una matriz de

este tipo sólo pueden hallarse elementos distintos de cero en el triángulo superior y en la

diagonal principal.

Por el contrario, en una matriz triangular inferior los elementos del triángulo superior deben

ser nulos.

Con relación a las matrices triangulares, superiores e inferiores se tiene el siguiente teorema.

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

Triángulo Superior

Triángulo inferior

a a a

a a

a

11 12 13

22 23

33

0

0 0

a

a a

a a a

11

21 22

31 32 33

0 0

0

Apuntes de Álgebra

52

a i j

diag a a a

ij

nn

0

11 22

para y se representa con:

( , ,..., )

Teorema:

Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y α Є C,

entonces:

A + B es triangular superior (inferior)

αA es triangular superior (inferior)

AB es triangular superior (inferior)

Matriz Diagonal

Una matriz que es triangular superior e inferior a la vez; esto es, una matriz cuyos elementos

situados fuera de la diagonal principal son todos nulos, recibe el nombre de matriz diagonal;

dicho de otra forma, es una matriz en la que todos los elementos, fuera de la diagonal

principal son cero.

Sea A = [ aij ] una matriz de orden n x n con elementos C. Se dice que A es una matriz diagonal

si

Ejemplo:

Los cálculos para efectuar operaciones con matrices se simplifican notablemente cuando se

trata de matrices diagonales, especialmente la multiplicación.

Teorema:

Si A y B son dos matrices diagonales tales que A = diag (a11, a22, … , ann) y B = diag (b11, b22, …,

bnn) y α Є C, entonces:

A + B = diag (a11 + b11 , a22+b22, …, ann+bnn)

αA = diag(αa11, αa22, ..., αann)

AB = diag(a11b11, a22b22, ..., annbnn)

Un caso particular de matriz diagonal es aquel en que todos los elementos de la diagonal

principal son iguales. A una matriz de este tipo se le conoce como “matriz escalar” es decir,

una matriz

A = [ aij) de nxn con elementos en C se dice que es una matriz escalar si aij = para i ≠ j y aii=

α.

Así una matriz escalar es de la forma:

Apuntes de Álgebra

53

Definición de traza de una matriz y sus propiedades.

Se conoce como traza de una matriz cuadrada al número que se obtiene sumando los

elementos de su diagonal principal.

Definición.

Sea A = [ aij ] una matriz de orden nxn con elementos en C. Se llama traza de A, y se

representa con tr A, al número:

Ejemplo.

PROPIEDADES.

Teorema:

Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y α Є C:

tr (A + B) = (tr A) + (tr B)

tr (αA) = α(tr A)

tr (AB) = tr (BA)

6.5 Transposición de una matriz y sus propiedades. Matrices simétricas, antisimétricas y

ortogonales. Conjugación de una matriz y sus propiedades. Matrices hermitianas,

antihermitianas y unitarias. Potencia de una matriz y sus propiedades.

La transposición es una operación que transforma una matriz en otra, llamada su transpuesta,

cuyos renglones son las columnas de la matriz original y cuyas columnas son los renglones de

la matriz original.

Definición:

Sea A = [ aij ] una matriz de m x n con elementos en C. Se llama transpuesta de A a la matriz de

n x m AT = [cij ] tal que:

cij = aji

De acuerdo con esta definición, el elemento correspondiente al renglón i y columna j de AT es

el que se encuentra en el renglón j y columna i de la matriz A.

0 0

0 0

0 0

tr A a ii i

n

1

Apuntes de Álgebra

54

a aij ji

a aij ji

a a aii ii ii 0

Ejemplo:

Propiedades.

Teorema:

Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:

(AT)T = A

(αA)T = α AT

(A + B)T = AT + BT, A + B puede obtenerse.

(AB)T = BTAT, si AB puede obtenerse.

Matrices simétricas y antisimétricas.

La transposición da lugar a la definición de dos tipos especiales de matrices cuadradas.

Definición.

Sea A una matriz de n x n con elementos en C. Se dice que:

A es simétrica si AT = A

A es antisimétrica si AT = -A

Las características que tienen los elementos de una matriz simétrica y antisimétrica son las

siguientes:

A = AT en consecuencia:

Es decir que los elementos “simétricos” con respecto a la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

De manera similar, para las matrices antisimétricas se tiene:

A = -AT esto es:

Es decir que los elementos “simétricos” con respecto a la diagonal principal deben ser uno el

negativo del otro. Además, de la expresión anterior se tiene, para i = j, que:

Por lo que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos.

Apuntes de Álgebra

55

A c c aij ij ij tal

Ejemplo.

Propiedades.

Teorema:

Si A y B son dos matrices simétricas (antisimétricas) de nxn y α Є C, entonces:

A + B es simétrica (antisimétrica)

αA es simétrica (antisimétrica)

Teorema:

Si A es una matriz de nxn con elementos en C, entonces:

A + AT es simétrica

A – AT es antisimétrica.

Matriz Ortogonal.

Una matriz A no singular se dice que es ortogonal si = .

Ejemplo.

Conjugación de una matriz y sus propiedades.

La conjugación transforma una matriz en otra, llamada su conjugada, cuyos elementos son los

conjugados de los elementos correspondientes en la matriz original, como lo establece la

siguiente definición.

Definición.

Sea A = [aij] una matriz mxn con elementos en C. Se llama conjugada de A a la matriz de mxn

Ejemplo.

Propiedades.

Apuntes de Álgebra

56

Teorema:

Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:

1) =

2) =

3) + = + , +

) = ,

Transposición-Conjugación de una matriz y sus propiedades.

Se conoce como transposición-conjugación a la aplicación sucesiva de las dos operaciones

definidas anteriormente. A la matriz que se obtiene se le llama conjugada-transpuesta de la

matriz original.

Definición.

Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Se llama conjugada transpuesta de A, y se

representa con A*, a la matriz de nxm definida por:

El orden es que se efectúen las operaciones de transposición y conjugación es indiferente,

como lo señala el siguiente teorema.

Teorema.

Si A es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

Ejemplo:

Teorema.

Si A y B son dos matrices con elementos en C y α Є C, entonces:

1) ( ) =

2) ( ) =

3) ( + ) = + , +

) ( ) = ,

Matrices hermitianas, antihermitiana y unitarias.

A partir de la conjugación-transposición se definen otros dos tipos especiales de matrices

cuadradas, de acuerdo a la siguiente definición.

A A T

A A A T T

Apuntes de Álgebra

57

Definición:

Sea A una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que:

A es hermitiana si A = A

A es antihermitiana si A = A

A es unitaria si A = A

Los elementos de una matriz hermitiana deben ser tales que los elementos “simétricos” con

respecto a la diagonal principal deben ser conjugados, además los elementos de la diagonal

principal deben ser números reales.

Ejemplo:

Para los elementos de una matriz antihermitiana los elementos simétricos con respecto a la

diagonal principal deben ser tales que sus partes reales sólo difieran en el signo y sus partes

imaginarias serán iguales y los elementos de la diagonal principal deben ser números

imaginarios.

Ejemplo.

Teorema:

Si A y B son dos matrices hermitianas (antihermitianas) de nxn, entonces A+B es hermitiana

(antihermitiana)

Teorema:

Si A es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

A A* es hermitiana

A* A es hermitiana

A+A* es hermitiana, si A es cuadrada

A-A* es antihermitiana, si A es cuadrada.

Potencia de una matriz y sus propiedades.

De manera similar al caso de los números, se conoce como potencia enésima de una matriz

cuadrada al producto. A A A (n factores).

Apuntes de Álgebra

58

Definición:

Sea A una matriz de mxm con elementos en C y sea n N. Se llama potencia enésima de A, y se

representa con An, a la matriz definida por A0 = Im, An = A An-1, para n 1

Teorema:

Si A es una matriz cuadrada con elementos en C y m,n N, entonces:

A A = A

(A ) = A

A partir de la definición de potencia enésima se establecen los siguientes tipos especiales de

matrices cuadradas.

Definición:

Sea A una matriz de mxm con elementos en C. Se dice que A es:

Idempotente si A2 = A

Involuntaria si A2 = I

Nilpotente (de índice n) si n es el menor número natural tal que An =0

Periódica si n es el menor número natural distinto de uno tal que An = A

Teorema:

Sea A una matriz de mxm con elementos en C:

Si A es indempotente entonces An = A, n N

Si A es involuntaria entonces A2n = I, A2n+1= A, n N

6.6 Definición de determinante de una matriz y sus propiedades. Cálculo de determinantes.

Regla de Sarrus, desarrollo por cofactores y método de condensación. Cálculo de la inversa por

medio de la adjunta. Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de

orden superior a tres.

Definición de determinante de una matriz y sus propiedades.

Apuntes de Álgebra

59

a a

a aa a a a

11 12

21 2211 22 12 21

La forma de representar al determinante de una matriz consiste en escribir sus elementos tal

y como aparecen en el arreglo, pero reemplazando los paréntesis rectangulares por barras

verticales para indicar que se trata de un determinante.

Así, para una matriz de dos por dos se tiene:

Expresión que puede considerarse como la definición del determinante de orden dos.

Es importante resaltar que una matriz es un arreglo de números mientras que su

determinante es un número.

Ejemplo:

Determinante:

Es la suma de n! productos, la mitad de ellos con signo + y la mitad con signo -.

Cada uno de los productos consta de n factores.

En cada producto hay un elemento de cada renglón y un elemento de cada columna.

Determinante de orden tres, se define como sigue.

det A

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a ab g

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de tres elementos de la matriz diagonal. Tres de

los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo), y tres con signo negativo

(cambian su signo)

Ejemplo:

Propiedades.

Las principales propiedades de los determinantes pueden ser consideradas en dos grupos: las

primeras se refieren a las condiciones bajo las cuales se puede concluir que un determinante

es nulo mediante la simple inspección de las líneas de la matriz (renglones y columnas), así

como a los efectos producidos en el determinante al efectuar transformaciones elementales

como las líneas de la matriz. El segundo grupo se refiere a las propiedades del determinante

en relación con las operaciones definidas para las matrices.

Apuntes de Álgebra

60

a a

a aa a a a

11 12

21 2211 22 21 12

Teorema:

Sea A= [aij] una matriz de nxn con elementos en C.

Si los elementos de una línea de A (renglón o columna) son todos nulos, entonces det A = 0.

Si B se obtiene de A multiplicando los elementos de una de sus líneas por un número λ Є C,

entonces det B = λ det A.

Si B se obtiene de A intercambiando dos líneas paralelas (dos renglones o dos columnas),

entonces det B = - det A.

Si dos líneas paralelas de A son proporcionales entonces det A = 0.

Si B se obtiene de A sumando a los elementos de una línea los elementos de una línea paralela

multiplicados por un número λ Є C, entonces det B = det A.

Teorema:

Si A = [aij] y B= [bij] son dos matrices de nxn con elementos en C, entonces:

det A = det AT

det (λA) = λn det A

det (AB) = (det A) (det B)

Ejemplo.

Regla de Sarrus:

Es el método más sencillo para el cálculo de determinantes. Este método se emplea para

calcular determinantes de segundo y tercer orden exclusivamente.

Para calcular el valor de un determinante de segundo orden empleando la regla de Sarrus, se

efectúa el producto de los elementos de la diagonal principal y a éste se resta el producto de

los elementos de la “diagonal secundaria”, esquematizando:

Como se ve, el resultado que arroja la regla de Sarrus coincide con la definición de

determinante de segundo orden.

Ejemplo.

Apuntes de Álgebra

61

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 32 13 31 23 12 31 22 13 11 32 23 21 12 33

11 12 13

21 22 23

det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31

Para calcular el valor de un determinante de tercer orden empleando la regla de Sarrus, se

efectúa el producto de los elementos de la diagonal principal y de las dos “diagonales

paralelas” a ella el término “diagonales paralelas” se debe a que, cuando se emplea el artificio

que consiste en volver a escribir los dos primeros renglones a continuación del tercero, los

elementos en cuestión aparecen formando “diagonales” paralelas a la principal. A la suma de

dichos productos se restan los productos de los elementos de la diagonal secundaria y de las

dos “paralelas” a ella.

En forma esquemática:

Ejemplo.

También se pueden agregar las dos primeras columnas a la derecha y formar los productos de

los elementos que atraviesas las flechas. A los productos de las flechas que van de la izquierda

superior a la derecha inferior se les asigna el signo positivo y a los otros el signo negativo.

a a a

a a a

a a a

a a

a a

a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12

21 22

31 32

Ejemplo.

Es importante subrayar que la regla de Sarrus sólo se aplica a determinantes de segundo y

tercer orden. En ocasiones se pretende erróneamente “generalizar” esta regla para calcular

determinantes de orden mayor; sin embargo se puede comprobar fácilmente que al aplicar la

“regla de Sarrus” a un determinante de orden superior al tercero se obtiene un desarrollo que

no coincide con el de la definición.

Desarrollo por Cofactores.

Este método es aplicable al cálculo de determinante de cualquier orden y constituye el

fundamento de todos los métodos de aplicación práctica.

Considerando nuevamente el desarrollo del determinante de tercer orden de la definición se

tiene:

Apuntes de Álgebra

62

det ( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

( )a a a aa a

a a22 33 23 32

22 23

32 33

a a a

a a a

a a a

a a

a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 23

31 33

Como en cada término hay un elemento de cada renglón y de cada columna, podemos

seleccionar una línea cualquiera y factorizar los elementos de ésta. Por ejemplo, eligiendo el

primer renglón podemos factorizar sus elementos y escribir.

Cada uno de los factores que multiplican a los elementos del primer renglón en la expresión

anterior constituye el desarrollo de un determinante de segundo orden. Así:

Para a11 tenemos que:

Para a12 se tiene:

Para a13 tenemos que:

Cada uno de estos determinantes puede ser obtenido de la matriz original suprimiendo el

renglón y la columna en que se encuentre el elemento correspondiente. Tales determinantes

reciben el nombre de “menores”

Así por ejemplo, el menor de a12 se puede obtener de la siguiente manera:

Podemos ver que los factores que multiplican a los elementos del primer renglón no son, en

todos los casos, los menores correspondientes.

En el caso de a12 dicho factor es igual al menor con el signo cambiado. Esto se identifica con el

hecho de que tal elemento es de “característica impar” es decir que la suma del número del

renglón y de la columna en que se encuentra es un número impar (1+ 2 = 3). Sólo se tiene un

elemento de característica impar en el desarrollo anterior por haber elegido el primer renglón

para factorizar sus elementos. Si se hubiese elegido el segundo renglón se tendrían dos

elementos de característica impar (a21 y a23) y, en tal caso, los factores que multiplican a éstos

a a a a a a

a a

a a

a a 21 33 23 31

23 21

33 31

21 23

31 33 1

a a a a a a

a a 21 32 22 31

21 22

31 32

Apuntes de Álgebra

63

1 r n,

i A a c

ii A a c

rj

j

n

rj

ir

i

n

ir

) det

) det

1

1

en el desarrollo del determinante serían iguales a sus correspondientes menores con el signo

cambiado.

Surge así el concepto de “cofactor”, como el factor que multiplica al elemento en el desarrollo

del determinante. Dicho cofactor es igual al menor, o al negativo de éste, según sea par o

impar la característica del elemento.

Expresión que se conoce como el “desarrollo por cofactores según el primer renglón”. Es claro

que pueden obtenerse desarrollos similares para cada uno de los otros renglones y columnas

de la matriz A.

Definición:

Sea A = [aij] una matriz de nxn con elementos en C.

Se llama menor del elemento aij, y se representa como Mij, al determinante de la matriz que se

obtiene suprimiendo en A el renglón i y la columna j.

Se llama cofactor del elemento aij y se representa como cij, al producto

Ejemplo:

Teorema.

Si A = [aij] es una matriz de nxn con elementos en C y r es un número entero tal que

Entonces:

El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los elementos de una cualquiera de

sus líneas, sumando los productos de éstos por sus respectivos cofactores.

Ejemplo.

1 i j

ij M .

Apuntes de Álgebra

64

En caso general, el desarrollo por cofactores transforma el problema de calcular un

determinante de orden n en el de calcular n determinantes de orden n-1. Cada uno de estos

determinantes puede desarrollar a su vez por cofactores, obteniéndose menores de orden n-2

y así sucesivamente. Se acostumbra continuar el proceso hasta obtener menores de orden 3 o

de orden 2, cuyo valor puede obtenerse empleando la regla de Sarrus.

Condensación.

Este método consiste en:

Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible.

Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia un 1 o un -1) y aplicar

reiteradamente las transformaciones elementales en las matrices hasta reducir a cero todos

los demás elementos de la línea.

Desarrollar por cofactores según dicha línea.

Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer orden (o de

segundo orden si se prefiere) y obtener su valor mediante la regla de Sarrus.

Ejemplo.

El método de condensación ofrece en cada ciclo un gran número de posibilidades para la

selección de la línea y del elemento pivote. Una selección adecuada en cada caso puede

contribuir notablemente a simplificar los cálculos correspondientes.

Matriz Adjunta. Cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta.

Matriz Adjunta.

Se conoce como adjunta de una matriz cuadrada de A a la transpuesta de la matriz que se

obtiene reemplazando los elementos de A por sus respectivos cofactores, como lo establece la

siguiente definición.

Definición.

Sea A = [aij] una matriz de nxn con elementos en C, y sea cij el cofactor del elementos aij. Se

llama Adjunta de A a la matriz:

Adj A = [bij], donde bij = cji

Ejemplo.

Apuntes de Álgebra

65

Teorema:

Si A es una matriz de nxn con elementos en C, entonces:

A (Adj A) = (Adj A) A = (det A) Im

Cálculo de la matriz inversa por medio de la adjunta.

Es un método el cual consiste en multiplicar el recíproco del determinante por la adjunta.

Para esto se tiene que cumplir con el siguiente teorema.

Teorema:

Sea A una matriz de nxn con elementos en C: A-1 existe si y solo si det A ≠

Corolario.

Si det A ≠ , entonces

Ejemplo.

Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de orden superior a

tres.

Teorema: (Regla de Cramer)

Sea

+ + + =

+ + + =

+ + + =

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, y sea = su matriz de

coeficientes.

Si det A ≠ entonces =

, (k=1,2, …, n) donde = es tal que

= , ≠

, =

Es decir que el valor de la k-ésima incógnita en la solución del sistema puede calcularse como

el cociente de los determinantes de las matrices Ak y A, donde Ak se obtiene reemplazando en

A a la k-ésima columna por el vector de términos independientes.

Ejemplo.

A A

Adj A

1 1

det

Apuntes de Álgebra

66

7 Estructuras Algebraicas.

7.1 Definición de operación binaria. Propiedades de las operaciones binarias. Cerradura,

elementos idénticos e inversos, asociatividad y conmutatividad.

Definición de Operación Binaria.

El concepto de operación binara es fundamental para el estudio de las estructuras algebraicas.

No se trata de una operación en particular, como la adición de números complejos o la

multiplicación de matrices, sino del concepto mismo de operación binaria; es decir, de aquello

que es común a todas las operaciones de este tipo.

Lo que se puede observar entre operaciones es:

Se aplican a dos elementos de la misma especie (de ahí el término de binaria).

Asignan a dichos elementos un único “resultado”, que es otro elemento de la misma especie,

por medio de un criterio determinado.

Se puede decir que una operación binaria es una regla que asigna a cada par ordenado de

elementos de un conjunto, un único elemento de dicho conjunto.

Definición.

Una operación binaria * definida en un conjunto S no vacío es una función de SxS en S. La

imagen del par ordenado (a, b) bajo la operación * se representa con a*b.

Ejemplo.

Operaciones binarias conocidas:

Adición y multiplicación en el conjunto de los números naturales

La sustracción en el conjunto de los números enteros.

La división en el conjunto de los números complejos diferentes de cero.

La adición y la sustracción de polinomios

La adición y la multiplicación en el conjunto de matrices cuadradas de orden n.

La unión e intersección de conjuntos, etc.

Para definir una operación binaria en un conjunto S bastará con especificar una regla que

asigne a cada par ordenado de elementos de S un único elemento de S.

Ejemplo.

Apuntes de Álgebra

67

a b T a b T, :

e a a e a a S* * ,

i a a i e* *

a b S a b b a, :

Aunque la manera más usual de definir una operación binaria es mediante una expresión

“matemática” en ciertos casos suele hacerse también mediante una “tabla”. Estas tablas son

particularmente útiles cuando el conjunto sobre el que se define la operación es finito y tiene

pocos elementos.

Ejemplo.

Propiedades.

Cerradura.

Sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. Se dice que

T es cerrado respecto a la operación * si:

Es decir que el subconjunto T es cerrado respecto a la operación * si al aplicar dicha operación

a dos elementos cualesquiera de T se obtiene como resultado otro elemento de T.

Ejemplo.

Conmutatividad.

Sea * una operación binaria definida en un conjunto S. Se dice que * es conmutativa si:

Ejemplo.

Existencia del elemento idéntico.

Sea * una operación binaria definida en un conjunto S:

Un elemento e Є S es un idéntico para * si

Ejemplo.

Existencia del elemento inverso.

Sea * una operación binaria definida en un conjunto S, y:

Sea e un elemento idéntico para *. Un elemento i Є S es un inverso del elemento a Є S para * si:

Apuntes de Álgebra

68

* Para poder obtener elementos inversos se requiere que exista elemento idéntico.

Ejemplo.

Asociatividad.

Sea * una operación binaria definida en un conjunto S. Se dice que * es asociativa si:

Ejemplo.

7.2 Definición de grupo. Propiedades elementales de los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo.

Grupo.

La estructura algebraica más simple es la de grupo. Se emplea el nombre de grupo para

designar la estructura que poseen los sistemas formados por un conjunto y una operación

binaria cuando dicha operación es asociativa, está dotada de elemento idéntico y todo

elemento del conjunto tiene inverso para la operación. Recordar la cerradura, que se da por

asentada en una operación binaria.

Definición.

Sea G un conjunto no vacío y sea * una operación binaria definida en G. El sistema (G,*) tiene

estructura de grupo si:

Ejemplo.

Como consecuencia de los postulados que establece la definición de grupo, se deducen una

serie de propiedades, las cuales son comunes a todos los sistemas que tienen dicha estructura.

Teorema:

Si (G, *) es un grupo entonces el idéntico para * es único.

Teorema:

Si (G, *) es un grupo entonces el inverso de a Є G para la operación * es único.

a b c S a b c a b c , , :

i a b G a b G

ii a b c G a b c a b c

iii e G e a a a G

iv a G i G i a e

) ,

) , ,

) ,

) ,

,

,

tal que

tal que

Apuntes de Álgebra

69

i a b S a b S

ii a S i S

) , :

) : .

a b G a b b a,

Si (G, ) es un grupo abeliano entonces:

i a b cG a b c a b c

ii a b c G b a a c b c

) , , ;

) , , ;

Grupo Abeliano.

Si a la estructura anterior se le agrega un nuevo postulado, se obtendría una estructura más

completa; más rica, en el sentido que se podrían efectuar en ella ciertos procesos algebraicos

que no serían válidos en estructuras más simples.

Al agregar la propiedad de conmutatividad a la operación, la estructura obtenida se conoce

como “grupo conmutativo” o “grupo abeliano”.

Definición.

Un grupo (G, *) se dice que es abeliano si:

Entre las propiedades adicionales que poseen los grupos abelianos, como consecuencia de la

conmutatividad, se encuentran las siguientes.

Ejemplo.

Subgrupo.

Cuando un sistema (G, *) tiene estructura de grupo es posible que algunos subconjuntos de G

con la operación * tengan, por si mismos, estructura de grupo. En tal caso se dice que éstos

son subgrupos de G.

Definición.

Sea (G, *) un grupo y sea S G, se dice que S es un subgrupo de G para la operación * si (S, *)

es un grupo.

El siguiente teorema nos permite determinar cuándo un subconjunto es un subgrupo, sin

tener que verificar todas las condiciones definidas para analizar a un grupo.

Teorema.

Sea (g, *) un grupo y sea S G, S es un subgrupo de G para la operación * si y sólo si:

Ejemplo.

Apuntes de Álgebra

70

i a b A a b b a

ii u A u a a a A

) , ; ,

) ; ,

Si se dice que el anillo es conmutativo

Si tal que

se dice que el anillo tiene unidad.

7.3 Definición de anillo, tipos de anillo. Definición de dominio entero.

A partir de esta nueva estructura algebraica, se podrá observar que es más completa, y se

hablaran de sistemas formados por un conjunto y dos operaciones binarias.

Definición.

Sea A un conjunto no vacío y sean + y dos operaciones binarias definidas en A. El sistema

(A, +, ) tiene estructura de anillo si:

Un anillo es un grupo abeliano para la primera operación; en consecuencia, todas las

propiedades de los grupos y de los grupos abelianos son válidas en la estructura (A, +)

conocida como “la estructura aditiva” del anillo.

Al elemento idéntico del postulado iv), se le conoce como “el cero del anillo”, cabe enfatizar

que este elemento no es el número cero necesariamente.

A partir del postulado vi) se comienza a trabajar con la segunda operación binaria, y se

establece que debe cumplir con la asociatividad además de la distributividad, en donde se

utilizan las dos operaciones simultáneamente.

Ejemplo.

De manera similar al concepto de subgrupo, un subconjunto de anillo que es un anillo para las

mismas operaciones, se dice que es un subanillo de éste.

Anillo Conmutativo y Anillo con Unidad.

Definición.

Sea (A, +, ) un anillo:

i a b A a b A

ii a b c A a b c a b c

iii a b A a b b a

iv e A e a a a A

v a A i A i a e

vi a b c A a b c a b c

vii a b c A a b c a b a c

) , ;

) , , ;

) , ;

) ,

) ,

) , , ;

) , , ;

tal que

tal que

Apuntes de Álgebra

71

Al elemento u es el idéntico para la segunda operación, se le conoce como “la unidad” del

anillo. Este elemento no es el uno necesariamente.

Ejemplo

Dominios Enteros.

Cuando sus elementos a y b de un anillo son tales que: a ≠ , b ≠ y a b = se dice que

son “divisores propios de cero”

Divisores propios de cero: Aquellos números diferentes ambos de cero para los cuales se

cumple que el producto entre ellos sea cero.

La estructura denominada “dominio entero” posee como característica adicional la no

existencia de divisores propios de cero, como lo establece la definición.

Definición.

Sea (A, +, ) un anillo conmutativo con unidad de por lo menos dos elementos, donde ≠ 1 si

a b = a= o b= se dice que (A, +, ) es un dominio entero.

Ejemplo.

7.4 Definición de campo. Los números racionales, reales y complejos como ejemplos de campos

con la adición y la multiplicación.

Al incorporar los inversos para la segunda operación se obtiene la estructura más algebraica

más completa, dicha estructura recibe el nombre de “campo” (cuerpo) y contiene las

propiedades comunes a los sistemas numéricos más completos algebraicamente; entre los

que se encuentran los números racionales, los números reales y los números complejos con

sus respectivas operaciones de adición y multiplicación.

Un campo es un anillo conmutativo con unidad cuyos elementos distintos del cero tienen

inverso para la segunda operación.

Definición.

Sea A un conjunto de por los menos dos elementos y sean + y dos operaciones binarias

definidas en A. El sistema (A, +, ) es un campo si:

(A, +) es un grupo abeliano.

(A- e , ) es un grupo abeliano

es distributiva.

Apuntes de Álgebra

72

Estado anillo conmutativo con unidad para el cual existen inversos para la segunda operación

para todos los elementos del conjunto, excepto el cero del anillo (entendiendo por cero del

anillo, el elemento idéntico de la 1ª. Operación.)

*Todo campo es un dominio entero.

Ejemplos.

Otras estructuras algebraicas.

Estructura semigrupo: Se le define a un conjunto de operaciones que cumple con la cerradura

y la asociatividad (A, *).

Semigrupo conmutativo: Se asocia con la propiedad de conmutatividad.

Semigrupo con unidad: Tiene un elemento idéntico

7.5 Isomorfimos y homomorfismo entre grupos y entre anillo, propiedades elementales.

El término “isomorfo” etimológicamente significa “de igual forma”, se emplea en el álgebra

para denotar la idea de que dos sistemas son tan parecidos que pueden considerarse, en

esencia el mismo.

Ejemplo.

En general, la sustitución de los elementos de un conjunto A por los elementos de otro

conjunto B puede hacerse mediante una función: : . Cuando dicha función es biyectiva

los elementos de A y de B se encuentran en relación “uno a uno”, y cada uno de ellos puede

considerarse como el “reflejo” de su elemento correspondiente en el otro conjunto.

Si en el conjunto A está definida una operación * y en el conjunto B una operación ∆, es

necesario que los resultados obtenidos en el sistema (A, *) se conservan al efectuar las

operaciones en el sistema (B, ∆) con las imágenes respectivas por lo que la función f debe ser

tal que: f(a*b) = f(a) ∆ f(b) a, b A

Esta propiedad de la función f garantiza que se llega al mismo resultado empleando

cualquiera de los dos procedimientos siguientes:

1. Efectuando la operación * en el sistema (A,*) y aplicando después la función f al

resultado.

2. Aplicando la función f a cada uno de los elementos y efectuando después la operación

∆ con las imágenes denle el sistema (B, ∆)

Apuntes de Álgebra

73

Esquematizando:

( , )

f f

( ), ( ) ∆ ( )

( )∆ ( )

Definición:

Sean (G, *) y (G’, ∆) dos grupos. Una función f: G G’ es un homomorfismo si:

f(a*b) = f(a) ∆ f(b) a, b G. Si f es, además biyectiva, se dice que es un isomorfismo y que

los grupos (G, *) y (G’, ∆) son isomorfos.

Al ser f una función biyectiva existe su inversa f-1 y se puede emprender el regreso del sistema

(B, ∆) al sistema (A, *) una vez que se ha efectuado la operación.

Ejemplo.

Teorema:

Sean (G, *) y (G’, ∆) dos grupos, y f:G G’ un homomorfismo:

i) Si e es el idéntico para * y e’ es el idéntico para ∆, entonces f(e) = e’

ii) Si â es el inverso de a G para * y ( ) es el inverso de f(a) G’ para ∆, entonces:

f(â) = ( )

Teorema:

Sean (G, *) y (G’, ∆) dos grupos. Si f: G G’ es un isomorfismo entonces f-1: G’ G es un

isomorfismo.

Los conceptos de isormorfismo y homomorfismo entre estructuras algebraicas no se limitan

al caso de la estructura de grupo. También se aplican a los anillos. Por lo que se puede hablar

de isomorfismos entre anillos, entre campos y entre espacios vectoriales.

Ejemplo.