álgebra 1
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ÁLGEBRA 1TEMA
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
ÁLGEBRA - TEMA 1
I. ECUACIÓNEs una igualdad entre dos expresiones matemáticasen la que al menos esté presente una variable queahora recibirá el nombre de incógnita.
Notación:
Primer miembro Segundo miembroA(x; y;...z) B(x; y;...z)
Donde: x; y; ...; z: incógnita
Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valoresde las incógnitas recibe el nombre de ecuacióncondicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo:• x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una
ecuacióncondicional.• x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los
valores de x; es una identidad.Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuaciónLas soluciones de una ecuación son los valores delas incógnitas que transforman la ecuación en unaidentidad, es decir, se igualan ambos miembros. Lassoluciones satisfacen a la ecuación. Resolver unaecuación es hallar todas sus soluciones.Por ejemplo:
x = 2 es una raíz, o solución de la ecuaciónx + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2
en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dosmiembros se hacen iguales y la ecuación se con-vierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformaciónde ecuaciones• Si se suman miembro a miembro varias igual-
dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo laigualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambosmiembros, con lo que resulta x = y + z.
• Si se restan miembro a miembro varias igual-dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo,en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 aambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
• Si se multiplican miembro a miembro varias igual-dades se obtiene otra igualdad.Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miem-
bros de la igualdad: 21 y 5x3 .
Se obtiene: y = 15x2
Análogamente, si los dos miembros de:
9 C k – 4925
se multiplican por: 59
Si la ecuación sólo posee una incógnita, las solucionesse denominan raíces de la ecuación.
IDEAS FUERZA
Los métodos para resolver ecuaciones se remontan a los babilonios (2000 a. de C.) quienes las describían con palabras, enlugar de con símbolos de variables, como x, y, etc. como lo hacemos hoy; en Italia en el siglo XVI, se efectuaron grandesprogresos en la obtención de soluciones de ecuaciones, y los avances continuaron en todo el mundo hasta mediados delsiglo XIX, en la actualidad se emplean computadoras para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones muy complicadas.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
ÁLGEBRA1TEMA
Se obtiene 5C (k – 492)9
• Si se dividen miembro a miembro variasigualdades se obtiene otra igualdad siempre queno se divida por cero.
Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad3x = 6 por 3, se obtiene x = 2.Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividirlos dos miembros por m(m 0) obteniéndose:
Fa m
Fórmula:La fórmula es una ecuación que expresa un hechogeneral, una regla o un principio.
II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRA-DO CON UNA INCÓGNITAForma General: ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias.Como primer paso para la resolución de esta ecuacióntransponemos “b” al segundo miembro obteniéndoseasí la ecuación equivalente.
ax = b
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obte-niéndose otra ecuación equivalente que es la soluciónde la ecuación dada:
bx – a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0obtendremos la identidad:
ba – b 0a
–b + b = 0
Teorema:La ecuación lineal con una incógnitaax + b = 0, a 0Tiene solución única:
bx – a
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CONUNA INCOGNITAA. Método de completar cuadrados
Consiste en completar el cuadrado de un binomioy está basado en la aplicación del siguiente teorema.
2 2a b a b a –b
Ejemplo:Hallar la solución de: x2 – 2x – 1 = 0Dar como respuesta la menor raíz.
Solución:Como es difícil de factorizar, usamos el método decompletar cuadrados, los pasos a seguir son:
x2 – 2x – 1 = 0Sumar y restar la mitad del coeficiente de x:
1 –2 –12
Elevado al cuadrado: (–1)2 = 1, nos queda en 1.
2
2 2 2
(x–1) 2
x – 2x 1 – 1 – 1 0
Aplicando el teorema:a2 = b2 a = b a = –b
2(x –1) 2 x –1 2 x –1 – 2
x 1 2 x 1 – 2
C.S. {1 2;1 – 2}
Observación
La aplicación de este teorema nos conducea la demostración de la fórmula de lassoluciones o raíces de una ecuación de se-gundo grado.
B. Fórmula generalSea: ax2 + bx + c = 0Donde: a 0
Para encontrar las soluciones necesitamos seguirlos siguientes pasos:
Factorizamos el coeficiente de x2.
2 2 b cax bx c 0 x x 0a a
2 b cx x 0a a
Sumar y Restar la mitad del coeficiente de x:
1 b b2 a 2a
elevado al cuadrado:2b
2a
Cualquier término puede transponerse de unmiembro al otro de una igualdad y, por lo tanto deuna ecuación, con la condición de que cambie signo.
IDEAS FUERZA
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2 2 2 22
2
bx2a
b b b c b b cx x – 0 x – 0a 2a 2a a 2a a4a
Raíces
2 2 2
2 2b b c b – 4acx –2a a4a 4a
Si: 2b – 4ac 0, las soluciones son:
2 2b b – 4ac b b – 4acx o x+ –2a 2a 2a 2a
2 2b b – 4ac b b – 4acx – o x=– –2a 2a 2a 2a
2 2–b b – 4ac –b – b – 4acx o x2a 2a
Finalmente; las raíces de la ecuaciónax2 + bx + c = 0, están dadas por:
2–b b – 4acx 2a
b) 4t2 + 12t + 9 = 0En este caso: a = 4, b = 12, c = 9
Luego:2
1,2–(12) (12) – 4(4)(9)t 2(4)
1,2–12 0t
8
–12 0 3–8 2
–12 – 0 8–8 3
–3C.S. 2 es una raíz doble.
c) 9x2 + 18x –17 = 0Tenemos: a = 9, b = 18, c = – 17Luego:
21,2
–(18) (18) – 4(9)(–17)x 2(9)
1,2–18 936x 18
1,2–18 6 26x
18
–3 – 263
–3 263
–3 26 –3 – 26C.S. ;3 3
IV. VALOR ABSOLUTOA. Definición
Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, elcual se define por:
a ; a 0aa; a 0
Ejemplos|7| = 7|–219| = – (–219) = 219
B. Teoremas• a 0; a
• a a ; a
Ejemplo:Resolver aplicando la fórmula general:
a) x2 – 3x + 2 = 0En este caso: a = 1, b = – 3 , c = 2
Sabiendo que:2
1,2–b b – 4acx 2a
Luego:2
1,2–(–3) (–3) – 4(1)(2)x 2(1)
1,23 1x
2
3 1 22
3 – 1 12
C.S.{1,2}
A la expresión b2 – 4ac la llamaremos discriminantey la simbolizaremos por .
Así tenemos: – 2b 4ac
IDEAS FUERZA
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• ab a b ; a,b
•aa ; a ; b {0}b b
• 2n 2na (a) ; a ; n
• 2n 2na a ; a ; n
• Si: |a + b| = |a| + |b|, entonces ab 0
• Si: |a + b| < |a| + |b|, entonces ab < 0
• Si: |a + b| |a| + |b|, a,b
C. Ecuaciones con valor absoluto
Caso I
x 0 x 0
Ejemplo:
x 2 0 x 2 0
x = 2
Caso II
x a (a 0) (x a x a)
Ejemplo:
x 3 7 (7 0) (x 3 7 x 3 7)
(x 10 x 4)
x 2 4 4 0 (Falso)
C.S.
Caso III
x a (x a x a
Ejemplo:
x 2 2x 1 x 2 2x 1 x 2 (2x 1)
x = -1 x = 1
C.S. { 1; 1}
IDEAS FUERZA
; , a b a b a b
Llamaremos desigualdad triangular, este teorema va aser de gran utilidad en la resolución de ecuaciones einecuaciones con valor absoluto.
¡No olvides nunca de verificar la solución! El nohacerlo te puede causar grandes molestias, pues esposible que la solución no verifique la igualdad de laecuación.
SUGERENCIAS
Problema 1El producto de las raíces reales de laecuación
2 2x 3x 6 3x x 4 es:
UNI 2004 - IINivel fácil
A) – 2 B) – 1C) 1 D) 2E) 3
Resolución:La ecuación es:
2 2x 3x 6 x 3x 6 2 0
Si 2x 3x 6 a; a 0 2a a 2 0
(a - 2)(a + 1) = 0
a = 2 ó a = –1Como a 0 a 2
Ahora: 2x 3x 6 2
2ó x 3x 2 0
de donde: x1 . x2 = 2
Respuesta: D) 2
Problema 2Dada la ecuación algebraica
2x 4 3 x2x 3
Determine el número de raíces realesque posee dicha ecuación:
UNI 2005 - INivel intermedio
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Resolución:
22 x 4 3x x 3 ; x 3
I. 2x 3 x 9x 8 0(x 8)(x 1) 0
x 8 ; nopues x 3x 1 ; sipues x 3
II. 2x 3 5x 9x 8 0
9 241x ; nopues x 32(5)
9 241x ; nopues x 32(5)
Respuesta: B) 1
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ÁLGEBRA 1TEMA
Problema 3(x1, x2, ..., x20) es una 20-upla denúmeros reales. Sea la ecuación:(x1 - x2)2 + (x2 - x3)2 + (x3 - x4)2 + ... +(x19 - x20)2 + (x20 - x21)2 - 1El número de 20-uplas de númerosenteros (x1, x2, ..., x20) que son solu-ciones de la ecuación anterior es igual a:
UNI 2006 - INivel difícil
A) 0 B) 1 C) 19D) 20 E)
Resolución:
Sea: 1a x 2x
2b x 3x
3c x 4x
19 20
20 1
h x x
l x x
Sumando: a + b + c + ... l = 0 ... (I)también: 2 2 2 2a b c ... 1...(II) Como 1 2 3 20x , x , x ,..., x z , entonces:
a, b, c, ..., z
De (I) al cuadrado
2 2 2 2a b c ... 2 ab ac ... a
1 2 ab bc ... a 0
ab bc ... a 1 / 2 ( )
La ecuación no tiene solución, puestoque la suma de productos enteros nopuede ser un número fraccionario.
Respuesta: A) 0
NIVEL I1. Calcular el valor de "p" para que la
ecuación en "x":2px 3 3px 2 2p 3x 1 x 1
se reduzca a una ecuación lineal.A) –1 B) 1/2 C) –1/2D) 1/3 E) N.A.
2. Resolver la siguiente ecuación:2 7 2 5 7 5
5 7 2a b x a c x b c x
c b a
2 7 54x 1
a b c
A) a2 + b7 + c5 B) a + b + cC) abc D) 1E) (abc)/4
3. Al resolver la ecuación en x: p qpx qx q qx px pqb pa p pb qa q y cal-
cular la expresión abx
para a y bvalores naturales consecutivos, seobtiene un número:A) parB) imparC) negativoD) fraccionarioE) cuadrado perfecto
4. Si: n N , entonces un valor de xque satisface la siguiente ecuación:
2 2 2(x 1) (x 3) (x 5) ...
2 2(x 2n 1) n(n 1)x3
A) 2n + 1 B) 2n – 1
C) 1 – 2n D) 2n 13
E) 2n 13
5. Indicar la suma de soluciones quese obtienen al resolver:
2 2x 6x 9 4 x 6x 6
A) 12 B) 6 C) 18D) 15 E) 13
6. Resolver: 21 1 2x 1
2x 1 x x x
A) –1 B) –2 C) –3D) 2 E) 3
7. Si {x1; x2} es el conjunto soluciónde la ecuación:
4x 5 3x 1 x 1 2x 1
entonces el valor de 2 21 2N x x es:
A) 5 B) 17 C) 26D) 29 E) 34
NIVEL II8. Hallar el valor de "x" que verifica:
3 314 x 14 x 4
A) 179 B) 165 C) 170D) 169 E) N.A.
9. Un polinomio presenta la siguiente forma:4 n 3 2P(x) 5 x (x 2) (x 8)
luego:
A) 5 es una raíz de multiplicidad 4.B) Cero es una raíz de multiplicidad "n".C) –2 es una raíz de multiplicidad 3.D) 1 es una raíz de multiplicidad "n".E) Hay 2 correctas.
10. Dado el siguiente polinomio:3 2P(x) x 3x 10x 24
¿Qué alternativa presenta un cerode P(x)?A) –6 B) –4 C) 3D) 2 E) –2
11. Determine una de las raíces de laecuación: x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0
A) 1 3 52 B) 1 5 32
C) 1 3 52 D) 1 4 52
E) 1 4 52
12. Calcular la suma de las raíces noreales de la ecuación:2x5 – 7x4 + 6x3 – 6x2 + 7x – 2 = 0A) –1 B) –1/2 C) 1/2D) 1 E) 0
13. Si T es el conjunto solución de la ecua-ción: x 2 x 1 3 , entoncesdel conjunto T se puede afirmar:A) T ; 1
B) T ;1
C) 2;2 T
D) T ; 1 {2}
E) T { 1;2}
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14. Hallar la suma de soluciones de laecuación:
2 2x 8x 16 1 2x x 7
A) 1 B) 2 C) 3D) –1 E) 5
15. Si A = {x1; x2} con x1, x2 es elconjunto solución de la ecuación:
2x 2 2 x 2 5 6
entonces el valor de x1 + x2 es:A) 6/5 B) 4C) 5 D) 2 13E) 4 13
NIVEL III16. Determine la suma de los elementos
del conjunto:
26x x 4A x / 14 x
A) 5 B) 7 C) 8D) 9 E) 12
17. Si M es un conjunto definido por:2M {x / 2(x x 7x) 35
x x 7}
entonces indicar el valor de verdadde las siguientes proposiciones:p : x M; x 5
q : x M; x 3 r: M es un conjunto unitarioA) VVV B) FVFC) VVF D) FVVE) VFF
18. Sea M un conjunto definido por: A x / x 1 x 2 x 3
Si s es la suma de los elementosdel conjunto M, entonces la afir-mación correcta es:
A) s 1;3
B) n(M) = 3
C) n(M)M
D) s 6;9
E) s n(M) M
19. Si m y n son raíces de la ecuaciónpolinomial que se obtiene al trans-formar:
22
2 2(x 2)3 4x x 1 35 x x 1 x x 1
Halle el valor de: a = mn + nm
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 16
20. Indicar la suma de raíces en:3 2 x 1 x 1
A) 5 B) 7 C) 10D) 20 E) 13
1. Sea la ecuación: (x – 3)2(x + 1)5(x + 3)7 = 0Indicar:• Cantidad de raíces: ________________________
• Cantidad de soluciones: ____________________
2. Calcular el valor de "m" de modo que -1 sea raíz de laecuación:
x3 + (m + 2)x2 + (1 – m)x – 2 = 0
Rpta: _____________________________________
3. Resolver:a b(x a) (x b); a bb a
Rpta: _____________________________________
4. Resolver:x 1 3 x 23 x x 1
Rpta: _____________________________________
5. Si "2" es una de las raíces de la ecuación es "x"x2 – (k – 3)x – 6 = 0
Calcular la otra raíz
Rpta: _____________________________________
6. Resolver:3x 2 2 x
Rpta: _____________________________________
7. Resolver:
x 1 x 2 1
Rpta: _____________________________________
8. Resolver:2x 6x 9 x 2
Rpta: _____________________________________
9. Resolver:x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Rpta: _____________________________________
10. Hallar cuántas raíces racionales tiene la ecuación:x4 – x3 + 5x2 – 4x + 4 = 0
Rpta: _____________________________________