aletos TEMA 5.1 1.1 Física para Ciencias e … Física para Ciencias e Ingeniería TEMA 5.1 CAMPO...

aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

TEMA 5.1CAMPO MAGNÉTICO

1.1

1.1 El campo magnético.

El concepto de campo ya se ha utilizado anteriormente para interpretar las fuerzas gravitatorias y eléctri-cas, como campo gravitatorio y campo eléctrico, respectivamente.

El campo magnético surge ante la necesidad de interpretar ciertas fuerzas, que no son ni mecánicas ni electros-táticas, ejercidas a distancia entre cargas eléctricas en movimiento.

El estudio del campo magnético, como tal, se inicia a comienzos del siglo XIX. Hasta entonces el magne-tismo fue un fenómeno poco comprendido, cuyos conocimientos, desde muy antiguo se limitaban a las propie-dades de los imanes naturales, formados por un mineral de hierro, la magnetita (Fe3O4), hallado en las pro-ximidades de la antigua ciudad de Magnesia.

Un imán natural tiene la propiedad de atraer al hierro manifestándose este efecto más intensamente enciertas regiones denominadas polos.

Hay pruebas de que, hacia el año 121 de nuestra era, los chinos conocían que una pequeña barra de hie-rro, colocada cerca de un imán natural, se convertía a su vez en un imán y conservaba sus propiedades. Y sia dicha barra se le daba la forma de aguja y se le suspendía por un hilo, o se le hacía flotar sobre el agua, deforma que pudiese girar libremente, se orientaba aproximadamente en la dirección Norte-Sur. Estos conoci-mientos fueron transmitidos quizá a los hindúes y posteriormente a los árabes, y, transcurridos unos mil años,fueron introducidos en los países occidentales donde tuvieron una gran influencia en la navegación y explora-ción. El uso de la brújula está documentado por numerosos autores hacia el año 1200.

Exceptuando estas propiedades el magnetismo apenas era conocido. Durante mucho tiempo se intentóexplicar el campo magnético siguiendo un método similar al utilizado para estudiar el campo electrostático:se introdujo el concepto de polo magnético o masa magnética, norte y sur, para caracterizar las propiedadesde un imán y desempeñaban un papel análogo al de las cargas eléctricas positiva y negativa por cuanto expli-caban el hecho experimental de que dos polos de distinto nombre se atraían y dos polos de igual nombre serepelían. Asimismo se suponía que las líneas de fuerza del campo magnético partían de los polos norte y sedirigían hacia los polos sur.

Sin embargo, no ha sido posible, hasta la fecha, obtener masas o polos magnéticos aislados a pesar de losnumerosos intentos para lograrlo. No obstante, no se excluye la posibilidad de su existencia y si se llegase aobtener separadamente monopolos magnéticos sería necesario revisar la teoría del campo magnético actual-mente establecida.

Por esta razón el concepto de polo magnético no fue tan útil como el de carga eléctrica. Hasta los comien-zos del siglo XIX no se demostró que existía una estrecha relación entre los campos eléctrico y magnético.

En el año 1820 el físico danés HANS CHRISTIAN OERSTED (1770-1851) descubrió que una corriente eléctricaoriginaba un campo magnético al observar que una aguja imantada, que podía girar alrededor de un eje, situa-da cerca de un hilo conductor, se desviaba al hacer circular una corriente eléctrica por dicho conductor. Si seinterrumpía el paso de la corriente, la aguja volvía a su posición inicial.

Unos años más tarde, MICHAEL FARADAY (1791-1867) en 1831, y JOSEPH HENRY (1797-1878), en 1832, obser-varon que se producía una corriente transitoria en un circuito cuando se establecía o se interrumpía unacorriente en otro circuito próximo. Posteriormente se observó que si se acercaba o se alejaba un imán de uncircuito, dicho movimiento producía el mismo efecto.

Las experiencias de Oersted demostraron que el movimiento de cargas eléctricas producía efectos magnéticos,y los trabajos de Faraday y Henry, que un campo magnético variable con el tiempo producía, en condiciones ade-cuadas, corriente eléctrica, es decir, un campo eléctrico.

HEINRICH FRIEDRICH EMIL LENZ (1804-1865), físico ruso, realizó casi simultáneamente muchos de los des-cubrimientos de Faraday y Henry, y estableció en 1834 una ley que permite determinar el sentido de la corrien-te inducida en un circuito por un campo magnético variable.

Los trabajos de GAUSS, BIOT, SAVART, AMPÈRE, MAXWELL, HERTZ, LORENTZ y otros muchos investigadores,demostraron que hay una estrecha relación entre los campos eléctrico y magnético.

En la actualidad se atribuyen los fenómenos magnéticos a las fuerzas que no son ni mecánicas ni eléctricas quese ejercen las cargas eléctricas en movimiento.

El estudio del magnetismo se inicia analizando este tipo de fuerzas prescindiendo del efecto producido porlas propiedades magnéticas de la materia, que se estudiarán más adelante.

En el modelo atómico de Bohr, que ya se mencionó para explicar las propiedades eléctricas de la materia,los electrones están en movimiento girando alrededor del núcleo, y a su vez cada electrón parece estar en rota-ción alrededor de un eje que pasa por él.



1.2

Por consiguiente, las órbitas circulares o elípticas que describen los electrones en su movimiento alrededordel núcleo constituyen minúsculas corrientes atómicas y cabe esperar, por tanto, que cada átomo, debido aestas cargas en movimiento, produzca efectos magnéticos, entendiendo por tales, la acción de fuerzas que noson ni mecánicas ni electrostáticas, ejercidas entre cargas en movimiento.

ANDRÉ MARIE AMPÈRE (1775-1836), matemático y físico francés, sugirió por primera vez en 1820 que laspropiedades magnéticas observadas en la materia debían ser consecuencia de estas minúsculas corrientes ató-micas. Posteriormente se comprobó la veracidad de esta teoría.

El concepto de campo magnético surge, como ocurrió con los campos gravitatorio y electrostático, ante laconveniencia de interpretar estas fuerzas ejercidas entre cargas móviles, no como fuerzas de acción a distan-cia sino suponiendo que

una carga móvil crea un campo magnético en el espacio que le rodea y este campo es el que ejerce una fuerzasobre otra carga en movimiento.

Naturalmente, además del campo magnético, una carga móvil crea en el espacio que la rodea un campoelectrostático. Si otra partícula cargada se encuentra en las proximidades de la primera, queda sometida a laacción de una fuerza debida al campo electrostático, tanto si se encuentra en reposo o en movimiento. En cam-bio el campo magnético ejercerá una fuerza sobre ella solamente si se encuentra en movimiento a lo largo deuna dirección que no sea paralela a dicho campo magnético.

Interpretaremos, pues, que

existe un campo magnético en un punto del espacio, si actúa una fuerza, cuyo origen no es ni mecánico ni elec-trostático, sobre una carga móvil que pase por dicho punto.

Al igual que sucede con las fuerzas electrostáticas, las fuerzas magnéticas dependen del medio material enel que se mueven las cargas eléctricas. Supondremos en todo lo que sigue, que las cargas se mueven en el vacío,aunque el aire se comporta, a efectos prácticos, como el vacío. No obstante, cuando haya que interpretar laacción de un campo magnético en un medio material que no sea el aire o el vacío, supondremos que las pro-piedades magnéticas son aproximadamente las mismas que en el vacío ya que la mayor parte de los materia-les tienen una susceptibilidad magnética muy pequeña.

Existen muchas analogías entre el campo electrostático y el campo magnético, aunque hay diferenciasimportantes entre ambos ya que tienen una naturaleza completamente distinta. El campo magnético es unamagnitud vectorial que queda caracterizada en cada punto del espacio por su módulo, dirección y sentido, yse representa por medio de líneas de fuerza denominadas líneas de inducción.

Y al igual que es conveniente introducir los vectores E y D en el estudio del campo electrostático, es útildefinir dos vectores campo magnético, B y H.

B recibe el nombre de inducción magnética o densidad de flujo magnético, y H, el de excitación magnéti -ca o intensidad magnética.

1.2 Fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento en un campo magnético: Fuerza de Lorentz.

El campo electrostático se definió como la razón entre la fuerza electrostática ejercida sobre una carga deprueba y el valor de dicha carga de prueba:

Para comprender este comportamiento escogemos un triedro de referenciaOXYZ, fijo en una región del espacio donde existe un campo magnético uniformeB dirigido a lo largo del eje OY, e imaginamos que se lanza desde el origen decoordenadas una partícula de masa m y carga +q, con una velocidad v, a lo largodel eje OX, como indica la figura 1-1.

Supondremos que el peso de la partícula es despreciable frente a la fuerza ejer-cida por el campo magnético.

Se observa experimentalmente que actúa sobre la partícula una fuerza cuyadirección es la del eje OZ, dirigida en el sentido positivo de dicho eje, y cuyomódulo es:

E=

F

q

O m

q

v

F

X

Y

Z

B

Con objeto de seguir el mismo orden que en el estudio del campo electrostático, se intenta definir el campomagnético como la razón entre la fuerza de origen magnético que actúa sobre una carga en movimiento y elvalor de dicha carga. No obstante surgen ciertas dificultades debido a que la naturaleza del campo magnéti-co es completamente distinta a la del campo electrostático.

FIG. 1-1



1.3

F= q v×B

F = qvBEsta es una situación particular en la que el vector velocidad v forma un ángulo de 90º con el vector induc-

ción magnética B.En el caso más general, cualquiera que sea el ángulo formado por los vectores v y B, la experiencia demues-

tra que la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la carga en movimiento viene expresada por:

[1.1]

Por consiguiente la fuerza F es un vector que tiene las siguientes características: -Su dirección es perpendicular al plano determinado por los vectores v y B.-El sentido es el del avance de un sacacorchos o de un tornillo roscado a derechas, al girar el vector v hacia

el B por el camino más corto, si la carga es positiva. El sentido es opuesto si la carga es negativa. De modo que la carga debe ser considerada algebráicamente, es decir, debe indicarse el signo de q en la

expresión del vector F.-El módulo es

B =

Fqv senθ

[1.3]

siendo θ el ángulo formado por los vectores v y B.Es fácil comprender ahora por qué no es posible definir la inducción magnética de forma similar a cómo

se definió el campo eléctrico, es decir, como fuerza por unidad de carga:

El módulo, la dirección y sentido de la fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre una carga en movi-miento, depende no sólo del valor de dicha carga sino también de su velocidad y de la dirección y sentido de ésta.

Por consiguiente, para determinar la inducción magnética no es suficiente una sola medida del vector F,ya que el vector B puede tener cualquier dirección que esté contenida en un plano perpendicular a la direc-ción de F. Sería necesario efectuar dos medidas de F correspondientes a dos velocidades de q, v1 y v2, perpen-diculares entre sí, para que el vector B quedase determinado unívocamente.

La expresión del módulo del vector F se utiliza para definir el módulo de la inducción magnética:

F = q v B sen θ [1.2]

En el sistema internacional, F se mide en newtons, q en culombios, v en m/seg. Por consiguiente la uni-dad de medida de la inducción magnética B es newton.segundo/culombio.metro, a la cual se le denominaweber/m2, o tesla.

Ahora bien, teniendo en cuenta las dimensiones y unidades de las magnitudes fuerza y carga en el SistemaInternacional de unidades:

Fuerza = masa × aceleración, 1 newton = 1 kg.m/seg2

Carga = Intensidad/tiempo, 1 culombio = 1 A/seg, queda1 weber/m2 = 1 tesla = 1 newton.segundo/culombio.metro = 1 kg/A.seg2.Dado que el tesla es una unidad relativamente grande, es frecuente medir la inducción magnética en gauss,

aunque esta unidad no corresponde al Sistema Internacional:1tesla = 104 gaussComo referencia, conviene conocer algunos valores aproximados de la inducción magnética:Campo magnético terrestre: B = 0,5 gauss = 5.10-5 teslas.Campo de un pequeño imán permanente: B = 100 gauss = 10-2 teslas.Campo de un gran electroimán: B = 20.000 gauss = 2 teslas.Campo de ciertos aceleradores de partículas: B = 60.000 gauss = 6 teslas.A partir de la expresión [1.2], se deduce que dicha fuerza es nula si la carga se encuentra en reposo, es

decir, si v = 0, o si el movimiento de la carga tiene lugar en la misma dirección que la del campo magnético,ya que entonces θ = 0º, o bien θ = 180º, según que el vector velocidad sea de igual sentido, o de sentido con-trario, que el campo magnético, y por consiguiente, sen θ = 0.

El comportamiento del campo magnético no es, pues, idéntico al del campo electrostático en este aspecto,ya que una carga eléctrica en presencia de un campo electrostático queda sometida a una fuerza, tanto si seencuentra en reposo en dicho campo como si se encuentra en movimiento en una dirección arbitraria.

No es éste el único aspecto en el cual se diferencian los campos electrostático y magnético.Veremos más adelante que las fuerzas magnéticas no son newtonianas en el sentido de que no cumplen, en

el caso más general, con la tercera ley de Newton.



1.4

Asimismo, a diferencia de las líneas de fuerza del campo electrostático que son líneas abiertas que, comoya vimos, se inician en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas o en puntos infinitamente ale-jados, o bien, se inician en estos puntos y terminan en las cargas negativas, las líneas de fuerza del campomagnético son líneas cerradas sobre sí mismas como consecuencia de la no existencia de las masas magnéti-cas o polos magnéticos.

Hay que hacer notar que la fuerza de origen magnético F no es una fuerza conservativa en el sentido quese le da a este concepto en Mecánica.

Sin embargo, la potencia mecánica que suministra el campo magnético a la partícula cargada en movimien-to es siempre nula, ya que, por la propiedad conmutativa del producto escalar de dos vectores, y la propie-dad del producto mixto de tres vectores, la potencia se puede expresar en la forma:

P =F⋅v= q v×B⋅v= q v×v⋅B= 0

FB= q v B sen 90º= q v B

Por consiguiente,

La energía de una partícula cargada en movimiento bajo la acción de un campo magnético no varía.

De modo que si las únicas fuerzas que actúan sobre dicha partícula son de origen electromagnético su ener-gía total se conserva.

En el caso particular representado en la figura 1.1 en el que los vectores v y B son ortogonales, la fuerzade origen magnético FB se comporta como fuerza normal o centrípeta por ser constantemente normal al vec-tor velocidad, ya que, como se ha indicado anteriormente, su expresión es siempre, de la forma [1.1].

Así es que, por una parte, el módulo de FB es:

y por otra parte, puesto que FB , mecánicamente, es la fuerza centrípeta que actúa sobre la partícula de masam, es:

F

B=ma

n=m v 2

rIgualando los segundos miembros de [1.4] y [1.5],

[1.4]

[1.5]

q v B =m v 2

rDadas las condiciones iniciales en las que se ha supuesto que se inicia el movimiento, la partícula describe

una trayectoria circular cuyo radio se obtiene despejando de la relación anterior,

r = mv

qB [1.6]

qO

m

F

X

Z

r

v

ω

FIG. 1-2

y cuyo centro se encuentra situado sobre el eje OZ, puesto que lafuerza F, por ser la fuerza centrípeta que actúa sobre la partícula, estádirigida hacia el centro de curvatura.

La figura 1.2 representa la situación planteada en la figura 1.1desde otro punto de vista. El eje OY es perpendicular al plano de lafigura con su sentido positivo dirigido hacia adentro alejándose dellector.

Puesto que el campo magnético tiene la misma dirección y elmismo sentido, se adopta el criterio de representarlo en cada puntopor medio de una cruz (×) que corresponde convencionalmente a lacola de la flecha que simboliza un vector.

Si el sentido del campo está dirigido hacia el lector se representapor medio de puntos (.) que corresponden a las puntas de las flechas.

Este mismo convenio se utiliza a veces para representar la intensidad de una corriente eléctrica, a pesar deno ser una magnitud vectorial, cuando su dirección es perpendicular al plano de la figura en la que se repre-senta.

La partícula describe la trayectoria circular representada en la figura 1.2 en el sentido contrario al de lasagujas del reloj, con una velocidad angular que se obtiene a partir de la expresión del radio,



1.5

ω =

vr=

qm

B [1.7]

Se obtiene el resultado sorprendente de que la velocidad angular de la partícula cargada no depende de suvelocidad lineal inicial ni del radio de la circunferencia que describe.

En esta propiedad se basa el funcionamiento del ciclotrón que fue el primer acelerador de partículas car-gadas diseñado en 1931 por ERNEST O. LAWRENCE y M. STANLEY LIVINGSTON, de la Universidad de California,en Berkeley.

Si se desea estudiar la trayectoria de una partícula cargada en presencia de un campo magnético cuandosu velocidad no es perpendicular a la dirección de dicho campo, conviene plantear el problema descomponien-do el vector velocidad en sus componentes paralela y perpendicular a la dirección del campo magnético,

v= v

=

+v

⊥

siendo los módulos de dichas componentes,

v= v cos θ

v⊥= v sen θ

donde θ es el ángulo formado por los vectores v y B,Sustituyendo en la expresión de la fuerza de Lorentz,

de modo que la fuerza total debida al campo magnético es,

F= q v×B= q(v

+v

⊥

)×B= qv

×B+qv

⊥

×B=F

B

+F

B⊥

donde se ha designado por F

B

y F

B⊥

a las fuerzas magnéticas debidas

a las componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la induc-

FB= q v

B sen0º= 0

FB⊥= q v

⊥B sen 90º= q v

⊥B = q v B sen θ

y su módulo es, F=F

B

+ F

B⊥

=F

B⊥

FB=F

B⊥= q v B sen θ

O

q

m

X

B

v

v

v⊥

Y

Z

FIG. 1-3

ción magnética B, y cuyos módulos son:

Se llega, pues, a la conclusión de que la fuerza total magnética FB es debida únicamente a la componentede la velocidad que es perpendicular al campo y, por lo tanto, dicha fuerza se comporta como fuerza normalo centrípeta para dicha componente. De modo que,

FB=F

B⊥= q v

⊥B

y por otra parte,

F

B=F

B⊥=ma

n=m

v⊥

2

rIgualando los segundos miembros de las dos últimas expresiones,

q v

⊥B =m

v⊥

2

ry, finalmente, simplificando y despejando r,

r =

mv⊥

qB=

mvqB

sen θ

De modo que, debido a la componente perpendicular del vector velocidad, la partícula realiza un movi-miento circular, cuyo radio queda expresado por la relación anterior, con una velocidad angular,

Si la partícula tuviese solamente la componente del vector velocidad que es perpendicular a la direccióndel campo magnético, describiría una circunferencia contenida en el plano XZ, con centro en el eje OZ, y tan-gente en el origen de coordenadas al eje OX.

ω =

v⊥

r=

qm

B



1.6

En cuanto a la componente del vector velocidad, que es paralela a B, no queda afectada por dicho campo,puesto que la fuerza magnética debida a dicha componente es nula.

Así que el movimiento de la partícula es el resultante de un movimiento circular de las características indi-cadas anteriormente, y, simultáneamente, de un movimiento de traslación uniforme a lo largo del eje OX, ensu sentido positivo, con una velocidad constante,

v= v cos θ

El movimiento resultante es un movimiento helicoidal, y la trayectoria descrita recibe el nombre de hélice.La figura 1.4 representa dicho movimiento. Se puede considerar que la partícula se mueve sobre la superficie

lateral de un cilindro horizontal, apoyado sobre el plano XY a lo largo de una generatriz que coincide con eleje OY.

O

X

Y

Z

qω

r

θm

FB

B

v v⊥

v

FIG. 1-4

El movimiento helicoidal que describe la partícula en elejemplo propuesto es, pues, el movimiento resultante de larealización simultánea de un movimiento circular uniforme yde un movimiento de traslación, asimismo uniforme, cuyascaracterísticas son las siguientes:

Movimiento circular

Trayectoria circular cuya proyección sobre el plano XZ esuna circunferencia con centro en el eje OZ, tangente al ejeOX, de radio,

r =

mv⊥

qB=

mvqB

sen θ

descrita con una velocidad angular ω dada por,

ω =

v⊥

r=

qm

B

Movimiento de traslación

Movimiento rectilíneo uniforme a lo largo de una direc-ción paralela al eje OY, en su sentido positivo, con una velo-

cidad constante,

v= v cos θ

Paso de la hélice

Se denomina paso de la hélice, h, al desplazamiento longitudinal que efectúa la partícula en la dirección deleje OY durante el mismo tiempo en que da una vuelta completa. Por consiguiente,

h = vΔt

2π =ωΔty, dividiendo miembro a miembro, y despejando h, se obtiene,

h = 2π

v

ω= 2πr = 2π mv

qBsen θ

Como resumen del estudio anterior, hay que destacar que:

Si se desea que la trayectoria de una partícula cargada, que se mueve en presencia de un campo magnético, seaplana, su velocidad debe ser perpendicular a dicho campo.

Y, puesto que la dirección de la fuerza FB debida al campo magnético es, a su vez, perpendicular al planodeterminado por las direcciones de los vectores velocidad v y campo magnético B,

Los tres vectores v, B y FB son perpendiculares entre sí. En caso contrario, la trayectoria es helicoidal.Veamos algunos ejemplos de aplicación de la fuerza de Lorentz a casos concretos.

1.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente

Supongamos un elemento de longitud dl de un conductor filiforme que forma parte de un circuito por elque circula una corriente eléctrica de intensidad I, en presencia de un campo magnético, con cuya direcciónforma un ángulo θ, como indica la figura 1.5.

[1.8]

[1.9]

[1.10]

[1.11]

[14.13]



1.7

B

X

Y

Z

fB

fB

fB

fB

fB

fB

v

v

v

v

v

v

I

Para mayor claridad en la explicación de los fenómenos quetienen lugar en el interior del conductor nos interesa representara cualquier elemento de longitud del mismo por medio de un vec-tor cuya dirección es la de dicho elemento, su sentido es el de cir-culación de la corriente I, y cuyo módulo es igual a la longituddel elemento.

Debe entenderse que, aunque el conductor sea curvilíneo, cual-quier elemento de longitud dl, puesto que es infinitamente peque-ño, coincide con la cuerda correspondiente al arco de dicho ele-mento de curva, y la dirección de ésta, a su vez, es la de la tan-gente a la curva, es decir, al conductor curvilíneo.

Vamos a utilizar un sistema de coordenadas cartesianas, en elque tomaremos como plano XY el plano formado por los vectoresdl y B, y el eje OX a lo largo del elemento de longitud dl, comoindica la figura 1-5

Sabemos que la circulación de una corriente eléctrica por un conductor metálico corresponde en realidada un movimiento de electrones libres en sentido contrario al de dicha corriente.

El campo magnético en el que se encuentra situado el conductor afecta a los electrones en movimiento ejer-ciendo sobre cada uno de ellos una fuerza dada por:

FIG. 1-5

fB= −ev×B

[1.12]

que, en el caso de la figura, corresponde a una fuerza cuya dirección y sentido son los del eje OZ positivo.Conviene advertir que el módulo del campo magnético en el interior del conductor es prácticamente el

mismo que en el vacío, excepto en el caso de que el material que forma el conductor sea ferromagnético. Noconsideraremos, por ahora, este tipo de materiales.

Como consecuencia de la acción del campo magnético, el elemento del conductor, puesto que es el sopor-te material de los electrones libres, queda sometido a una fuerza que es la suma vectorial de las fuerzas queactúan sobre todos los electrones libres en movimiento que, en un instante dado, están circulando por su inte-rior.

Ahora bien, puesto que todas las fuerzas que actúan sobre los electrones son de igual dirección, sentido ymódulo, la fuerza resultante se obtiene multiplicando la fuerza que actúa sobre cualquiera de ellos, por elnúmero de electrones libres que, en un cierto instante, se encuentran circulando por el interior del elementode longitud dl.

Conviene recordar ahora ciertas hipótesis que se postulan en el estudio de la corriente eléctrica y que nosvan a permitir obtener, de una forma sencilla, una expresión muy útil de la fuerza que ejerce un campo mag-nético B sobre un elemento de un conductor de longitud dl, por el que circula una corriente de intensidad I.

Las hipótesis son las siguientes:- Los portadores de carga que contiene un conductor, que en este caso son electrones libres, seencuentran repartidos uniformemente en todo su volumen. Supondremos, por tanto que hay n porta-dores de carga por unidad de volumen.

- Todos los portadores de carga se desplazan con la misma velocidad media. Es decir, no hay porta-dores de carga rápidos ni lentos.

Con estas hipótesis es fácil deducir cuántos portadores de carga pasan a través de la sección transversal Adel conductor. [Fig. 1-6]. Para ello, basta tomar, a partir de dicha sección y a lo largo del conductor, en sen-tido contrario al de movimiento de los portadores de carga, una longitud dl tal que,

I

AA’

dl = vdt

FIG. 1-6

dl = vdtDe esta forma, los portadores más alejados de la sección A, con-

tenidos en el cilindro de longitud dl, que se encuentran justo en lasección A’ efectuarán, en el tiempo dt, un desplazamiento ds = v.dt,es decir, justo la longitud del elemento considerado, y, por consi-guiente, llegarán a atravesar la sección A.

La cantidad de portadores de carga que, en el intervalo de tiem-po dt, pasan a través de la sección A se obtiene multiplicando elnúmero de los que hay por unidad de volumen, es decir, la densi-dad de portadores, por el volumen de dicho elemento,

dN = ndV = nAdl = nAvdt



1.8

y recordando que la intensidad de la corriente eléctrica se define como I = dq

dtse obtiene,

y, por consiguiente, la cantidad de carga dq que atraviesa normalmente a la sección A en el tiempo dt se obtie-ne multiplicando el número de portadores de carga, dN, por la carga e de cada uno de ellos,

dq = nevAdt

I = nevA

y de aquí, la densidad de corriente J, es J =

IA= nev

De las relaciones anteriores nos interesa particularmente la expresión de la intensidad de la corriente eléc-trica I = nevA, sin olvidar que el sentido convencional de esta corriente es contrario al del movimiento de losportadores de carga.

Ahora podemos calcular la fuerza que actúa sobre el elemento de longitud dl,

dFB

= f

B

dN = −ev

×B

.n Adl

y teniendo en cuenta que los vectores v y dl son de igual dirección y sentido contrario, la relación anterior sepuede escribir en la forma,

dFB

= nev Adl

×B

Se puede comprobar que los segundos miembros de ambas expresiones de dFB corresponden a un mismovector, ya que el módulo, dirección y sentido son los mismos y, puesto que, como ya se ha visto anteriormen-te, nevA = I, queda, en definitiva,

dFB

= I dl×B

[1.13]

El elemento de conductor, de longitud dl, queda, pues, sometido a una fuerza cuya dirección es la del ejeOZ, su sentido es el positivo de dicho eje, como indica la figura, y cuyo módulo es

dFB = IdlB sen θSi se quiere calcular la fuerza que actúa sobre una porción finita de conductor, de longitud l, basta inte-

grar la expresión anterior

F

B

= dF

B

l∫ = I dl

×B

l∫

Recuérdese que una integral no suma vectorialmente. Por consiguiente, de la relación anterior no se debededucir que, en general, sea válida la expresión,

FB

= I l×B

ya que el campo magnético puede variar de unos puntos a otros, y los distintos elementos de longitud dl delconductor pueden tener distinta dirección.

La única simplificación que se puede hacer en la relación anterior, suponiendo que a lo largo de todo elconductor no haya variaciones de corriente, es sacar el factor I fuera de la integral ya que, en las condicionesanteriores, permanecerá constante:

F

B

= I dl

×B

l∫

En el caso particular de que B sea uniforme, la expresión anterior toma la forma,

F

B

= I dl

l∫

×B

Y, si en estas condiciones, se aplica el resultado anterior a un circuito cerrado, es decir, a una espira, resul-ta,

FB

= I .0×B= .0

ya que la suma vectorial de los infinitos vectores que forman un circuito cerrado es el vector nulo. Por consi-guiente,

La fuerza neta ejercida por un campo magnético uniforme sobre un circuito cerrado es nula.

Sin embargo, cada elemento de longitud dl de dicha espira está sometido a una fuerza no nula, de origenmagnético, que se pondrá de manifiesto si la espira es deformable.



1.9

1.4 Campo magnético creado por una corriente rectilínea

Como ya se ha indicado anteriormente, el físico danés HANS CHRISTIAN OERSTED descubrió en el año 1820que una corriente eléctrica originaba un campo magnético.

Unas pocas semana después de que OERSTED anunciase su descubrimiento, AMPÈRE dio a conocer los resul-tados de una serie de experimentos que ponían de manifiesto que dos conductores próximos por los que cir-culaban sendas corrientes eléctricas se ejercían mutuamente fuerzas de atracción o de repulsión, lo que se inter-pretó como el resultado de la acción ejercida por el campo magnético creado por cada conductor sobre lacorriente que circulaba por el otro.

Posteriormente, los experimentos realizados por BIOT y SAVART, haciendo circular distintas intensidades decorriente a lo largo de conductores de diferentes formas, condujeron, en el caso particular de un conductorrectilíneo muy delgado y de gran longitud comparada con la distancia al punto de observación, a los siguien-tes resultados:

BB

B B

X

Y

Z

Or

I

FIG. 1-7

Las líneas de inducción del campo magnético creadopor un hilo conductor, rectilíneo e indefinido, son circun-ferencias contenidas en planos perpendiculares al con-ductor, concéntricas con el mismo, cuyo sentido se deter-mina por la regla del sacacorchos, o de un tornillo rosca-do a derechas.

Para ello, se supone situado un sacacorchos, o un tor-nillo, a lo largo del hilo y se le hace girar de forma queavance en el sentido de la corriente eléctrica.

El sentido de giro en el que hay que hacer girar elsacacorchos es el sentido de las líneas de fuerza delcampo magnético.

Por tanto, la dirección del vector B en un punto situado a una distancia r del hilo conductor es tangentea la circunferencia de radio r, con centro en el hilo, que pasa por dicho punto.

Su sentido, determinado por la regla del sacacorchos, es el que se indica en la figura 1-7, y su módulo, obte-nido a partir de medidas experimentales, viene expresado por,

B =

µ0

2πIr

siendo µ0 una constante de proporcionalidad que desempeña en Magnetismo un papel análogo al de la cons-tante que aparece en Electrostática, en la ley de Coulomb, ε0. Es decir, sirve para hacer compatibles los resul-tados experimentales con el sistema de unidades empleado. En el S.I. se toma,

µ0 = 4π.10-7 newtons/amperio2

En consecuencia, la constante que interviene en la ley de Biot y Savart es,

µ0

2π= 2.10−7 newtons/amperio2

No obstante, es costumbre conservar, en las fórmulas del magnetismo, las constantes en las que intervieneµ0 sin sustituirlas por sus valores numéricos.

De todo lo anterior se deduce que la dirección del campo magnético en un punto dado es perpendicular alplano determinado por el hilo conductor y dicho punto.

La expresión [1.14] es válida excepto para puntos del propio hilo, para los cuales es r = 0, y el campo mag-nético no se hace infinito, como podría deducirse, sino que es nulo. La explicación la da el teorema de Ampèreque se estudiará más adelante.

Una vez conocida la ley de Biot y Savart, los esfuerzos en la investigación del campo magnético fueronencaminados hacia la obtención de una expresión que permitiese calcular el campo creado por un elementoinfinitesimal de longitud dl, de un hilo conductor de forma arbitraria, por el que circulase una corriente deintensidad I.

El campo magnético creado por un hilo conductor, obtenido experimentalmente en cada caso, debía ser,lógicamente, la suma vectorial de los campos elementales creados en cada punto por los infinitos elementos delongitud dl que constituían el conductor en cuestión.

Las observaciones y medidas experimentales realizadas con conductores de diferentes formas, haciendo cir-cular por ellos distintas intensidades de corriente, llevaron a la conclusión de que el campo magnético creadopor un elemento de longitud dl, recorrido por una corriente de intensidad I, en un punto situado a una dis-tancia r de dicho elemento, siendo θ el ángulo formado por dl y r, es un vector de módulo,

[1.14]



1.10

dB =

µ0

4πIdl senθ

r 2 [1.15]

siendo su dirección perpendicular al plano determinado por el elemento de longitud y el punto, es decir, alplano determinado por dl y r.

Con lo cual se deduce que las líneas de inducción son circunferencias con-tenidas en planos perpendiculares al eje del elemento de longitud dl, y con-céntricas con el mismo.

Su sentido se determina, como en el caso del hilo conductor rectilíneo eindefinido, por la regla del sacacorchos, o del tornillo roscado a derechas: esaquél en el que habría que hacer girar un sacacorchos situado a lo largo delelemento de conductor para que avanzase en el sentido de la corriente.

La figura 1-8 representa el campo magnético dB creado en el punto Ppor el elemento de longitud dl.

Todo lo anterior se conoce como ley general de Biot y Savart.Se pueden expresar las tres características del vector dB, es decir, su

módulo, dirección y sentido, por medio de una sóla relación.Sea un elemento de longitud dl de un conductor, por el que circula una

corriente de intensidad I, cuya posición queda fijada respecto de un sistemade coordenadas por el vector de posición r'.

O

X

Y

Z

dl I

r

P

FIG. 1-8

dB

El campo magnético dB creado en un punto P cuyo vector de posición es r, viene expresado por,

dB

=µ

0

4πI .dl×(r−r')

r−r'3 [1.16]

No obstante, resulta más práctico determinar previamente la dirección y sentido del vector dB creado porel elemento de conductor, dl, y trabajar luego con el módulo de dicho vector, o con sus componentes carte-sianas.

1.5 Campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo de longitud finita*

Puesto que la obtención de la expresión [1-15] del módulo del campo magnético creado por un elementode conductor de longitud dl, por el que circula una corriente de intensidad I, es totalmente empírica, quedapor comprobar su validez.

Para ello, vamos a calcular la expresión del campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo, delongitud finita, por el que circula una corriente de intensidad I, en un punto situado a una distancia a delmismo, y posteriormente, particularizando el resultado para un conductor de longitud infinita, debemos obte-ner la expresión [1.14] de la ley de Biot y Savart.

PI

l

a

r

r+drr1

r2

O

z

α

β

γ

φ

φ

θ1

θ2

FIG. 1-9

Estamos interesados en calcular el campo magnético creado porun tramo rectilíneo de longitud l de un conductor que forma parte deun circuito por el que circula una corriente de intensidad I, en unpunto P situado a una distancia a de dicho tramo, como indica lafigura 1-9.

Los ángulos determinados por el tramo rectilíneo y las distanciasr1 y r2 desde el punto P a los extremos de dicho tramo son α y β,respectivamente.

Vamos a tomar la dirección del conductor rectilíneo como eje OZ,y como origen de coordenadas, O, la proyección de P sobre dicho eje.

El campo magnético creado en el punto P por el elemento de lon-gitud dl del hilo conductor, representado en la figura, es un vectorcuya dirección es perpendicular al plano de la misma, su sentido vadirigido hacia adentro, alejándose del lector según la regla del saca-corchos, y cuyo módulo es:

dB =

µ0

4πIdl senφ

r 2

El campo magnético creado en el punto P por cualquier otro ele-mento de longitud del tramo rectilíneo del hilo conductor es un vec-tor de igual dirección y sentido.

θ



1.11

Por consiguiente, el campo magnético total, es un vector de igual dirección y sentido, y cuyo módulo es lasuma aritmética de los módulos de los campos creados por los infinitos elementos de longitud dl que formanel tramo conductor rectilíneo de longitud l , es decir,

B = dB

l∫ =

µ0

4πIdl senφ

r 2l∫ =

µ0

4πI dl senφ

r 2l∫

La intensidad I es la misma a lo largo de cualquier elemento de longitud dl, y por lo tanto puede salir fuerade la integral.

Quedan tres variables en el integrando, ya que si el elemento de longitud se toma en diferentes posiciones,varía tanto el ángulo φ como la distancia r del punto P al elemento. Por consiguiente, para calcular la inte-gral hay que buscar la forma de sustituir las tres variables del integrando en función de una sola.

Para ello, se une el punto P con los extremos del elemento de longitud dl, quedando determinados los seg-mentos de longitudes r y r+dr. Con centro en dicho punto y con un radio r se traza el arco de circunferenciacomprendido entre dichos segmentos. La posición del elemento de longitud dl respecto del origen O quedadeterminada por su coordenada z, de forma que la longitud elemental dl es

dl = dzDe la geometría de la figura se deducen las siguientes relaciones:

r = a cosec φz = –a cotg φ

y diferenciando los dos miembros de la segunda igualdad,dz = a cosec2φ dφ

y como dz = dl,dl = a cosec2φ dφ

Sustituyendo r y dl en la expresión [1.17]:

[1.17]

B =

µ0

4πI

a cosec2 φ senφdφa 2 cosec2 φα

γ

∫ =µ

0

4πIa

senφdφα

γ

∫ =µ

0

4πIa−cosφ

α

γ

=µ

0

4πIa−cosγ + cosα

y puesto que cos γ = –cos β, sustituyendo, se obtiene finalmente para el módulo de B, la expresión:

B =

µ0

4πIa

cosα + cosβ

=

µ0

4πIa

senθ1+ senθ

2

[1.18]

En el caso particular de que el hilo conductor rectilíneo sea muy largo comparado con la distancia a delpunto P al hilo, los ángulos α y β son nulos y, por lo tanto,

B =

µ0

4πIa

cosα + cosβ

=

µ0

4πIa

cos0º+cos0º

=

µ0

2πIa

que coincide con la expresión obtenida experimentalmente.A pesar de que la ley general de BIOT y SAVART es válida para cualquier tipo de conductor, el cálculo de

la integral que aparece en dicha ley es resoluble en muy pocos casos . Uno de los ejemplos sencillos es el que acabamos de discutir.Se propone como ejercicio el cálculo del campo magnético creado en el centro de una espira exagonal regu-

lar, de lado l, por la que circula una corriente de intensidad I.

1.6 Campo creado por una espira circular en un punto de su eje

Supongamos una espira circular, formada por un hilo conductor muy delgado de radio a, por el que circu-la una corriente de intensidad I, como indica la figura 1-10.

Se supone que para mantener esta corriente hay intercalado en algún punto de la espira un generador def.e.m., o bien, que la corriente se hace llegar y salir, después de recorrer la espira, por medio de dos hilos con-ductores rectilíneos, paralelos, muy próximos entre sí. De esta forma no se rompe la simetría de la espira, yaunque no esté completamente cerrada, la proximidad de los conductores de entrada y salida hace que se com-porte como si lo estuviera. Y puesto que la corriente circula por dichos conductores paralelos en sentidosopuestos, sus efectos magnéticos se anulan mutuamente, tanto por lo que respecta a la fuerza de origen mag-nético que actúa sobre ellos, como al campo magnético creado por ellos mismos en cualquier punto del espa-cio.

El campo magnético creado por la espira en un punto arbitrario requiere métodos especiales de cálculo quequedan fuera de este estudio. Nos limitaremos, por tanto, a calcular el campo magnético creado en un puntocualquiera P del eje de la espira que pasa por su centro O, y es perpendicular al plano de la misma.



1.12

Tomaremos el plano de la espira como plano XY, sucentro O, como origen de coordenadas y el eje perpen-dicular al plano de la espira que pasa por su centro,como eje OZ.

El punto P se encuentra a una distancia z del centrode la espira, de modo que las coordenadas del punto Pson (0,0,z), y la distancia a cualquier elemento de lon-gitud de la espira es r.

Comenzaremos por calcular el campo magnético dBcreado en el punto P por un elemento de longitud dl,cuya posición en la espira queda determinada por elángulo φ, como indica la figura 1-10. El ángulo subten-dido por dicho elemento es, por tanto, dφ, de forma que

dl = adφLa dirección del campo magnético creado en el

punto P es perpendicular al plano determinado por elelemento de longitud dl y por la distancia r del elemen-to al punto. Dicho plano es tangente a lo largo de r, alcono circular recto, no representado en la figura, quetiene por vértice P y por base la espira circular.

De modo que el vector dB está contenido en el planovertical determinado por r y el eje OZ.

Su sentido se determina por la regla del sacacorchos,resultando el vector representado en la figura. FIG. 1-10

Su módulo es, según [1-15]:

dB =

µ0

4πIdl sen 90º

r 2=µ

0

4πIdlr 2

Si se representasen los diferentes vectores dB creados en el punto P por los infinitos elementos de longitudque forman la espira circular, se obtendría una superficie cónica de vértice P, semiángulo cónico, β, y genera-triz, el módulo del vector dB.

El campo magnético total B se obtendrá sumando vectorialmente estos infinitos vectores elementales dB,de modo que:

B= dB

C∫

donde C significa que la integral está extendida a lo largode toda la longitud de la curva que forma la espira circu-lar.

Se nos presenta el problema de integrar una expresiónvectorial en la que los infinitos vectores dB tienen distin-ta dirección. Es sabido que una integral no suma vecto-rialmente. Por consiguiente, el procedimiento a seguir esdescomponer cada vector dB en sus tres componentescartesianas, e integrar cada componente por separado.

Ahora bien, en algunos casos, por razones de simetría,nos podemos ahorrar el cálculo de alguna componente.En este caso, la componente normal al eje OZ del vectordB creado por cualquier elemento de longitud dl de laespira se anula con la correspondiente al vector dB crea-do por el elemento de longitud diametralmente opuestoal primero, como indica la figura 1-10.

Por consiguiente, basta integrar las componentesdBz = dB cos β

y, puesto que éstas son todas de igual dirección y senti-do, el módulo del vector resultante se obtendrá sumandosus módulos.

Por lo tanto,FIG. 1-11

dB cos β

dB sen β

dB sen β

dB cos β

β

β

α

α

φ

φ

dφ

a

a

r

r

z

z

O

O

P

P

X

X

Y

Y

Z

Z

I

I

dl

dl

dB

r

dl

dB sen β

dφ

dB

dB

90º

90º



1.13

B =B

z= dB

z=

C∫ dB cosβ =

C∫

µ0

4πIdlr 2

cosβC∫

La intensidad I, la distancia r y el ángulo β son iguales para todos los elementos de longitud de la espira. Por lo tanto, estas magnitudes pueden salir fuera de la integral,

B =

µ0

4πI cosβ

r 2dl

C∫ =

µ0

4πI cosβ

r 22πa

de donde, finalmente, se obtiene para el módulo del campo magnético, el valor:

B =

µ0

2Iar 2

cosβ [1.19]

La dirección y sentido del campo magnético resultante en el punto P son los del eje OZ positivo.Es más práctico expresar el módulo del campo magnético en función de la coordenada z del punto P, en

lugar de r y de cos β. De la figura se deducer2 = z2 + a2

cosβ = senα = ar=

a

(z 2 +a 2)12

y sustituyendo en la expresión de módulo del campo magnético,

B =Bz=µ

0

2Iar 2

ar=µ

0

2Ia 2

r 3=µ

0

2Ia2

(z 2 +a2)32

[1.20]

[1.21]

B =Bz=µ

0

2Ia 2

(z 2 +a2)32

El vector B se obtiene multiplicando la componente Bz por el vector unitario k en la dirección y sentidopositivo del eje:

B=µ

0

2Ia 2

(z 2 +a2)32

k

Como caso particular, para calcular el campo magnético en elcentro de la espira basta considerar que para este punto O, es

z = 0, y por consiguiente,

B=µ

0

2Ia

k

[1.22]

El campo magnético en cualquier otro punto del eje depende dela coordenada z, y puesto que esta variable aparece elevada al cua-drado en la expresiones [1.20] y [1.21], el campo magnético tiene elmismo módulo, dirección y sentido en los puntos de coordenadas

(0, 0, z) y (0, 0, –z).Si se calcula el campo magnético en diferentes puntos del espa-

cio se pueden representar sus líneas de fuerza. La figura 1-12, mues-tra solamente unas pocas líneas de inducción contenidas en el planoYZ. Se puede imaginar el aspecto que ofrecería el resto de las líne-as de fuerza del campo magnético, suponiendo que la figura giraalrededor del eje OZ , ya que es eje de simetría de toda la figura.FIG. 1-12

Las líneas de inducción del campo magnético son líneas cerradas sobre sí mismas, a diferencia de las líne-as de fuerza del campo eléctrico que son líneas abiertas. Estas líneas entran por la cara inferior de la espiray salen por su cara superior. En un tratamiento más elemental se suelen designar estas caras como cara sury cara norte, respectivamente.

El campo magnético creado por una espira no es uniforme. Las líneas de fuerza convergen cuando se apro-ximan al centro de la espira por la cara sur y divergen al alejarse del centro por la cara norte. Ahora bien, enpuntos próximos al eje de la espira y próximos, al mismo tiempo, al centro de la misma se puede considerarque el campo es aproximadamente uniforme e igual al valor en su centro.

O

IX

Y

Z



1.14

Esta aproximación suele utilizarse para resolver cierto tipo de problemas en los que es preciso calcular elflujo magnético que atraviesa a una pequeña espira circular situada coaxialmente en la proximidad del centrode una segunda espira por la que circula una corriente eléctrica.

O1

O2

z

a

I

(1)

(2)

b

X

Y

Z

FIG. 1-13

El flujo magnético a través de la espira (2) de la figura 1-13,debido al campo magnético creado por la corriente que circula porla espira (1) es,

Φ

2= B

1

S2

∫ da2

= B

1da

2cosφ

2S2

∫

donde la integral está extendida a la superficie de la espira (2).B1 es el módulo de la inducción magnética creada por la corrien-

te que circula por la espira (1) en los diferentes puntos de lasuperficie abarcada por la espira (2). De todos estos puntos, sola-mente hay uno, el centro O2 de la espira (2), en el que es válida laexpresión,

siendo z la distancia que hay entre los centros de las dos espiras, O1y O2. El campo magnético existente en los restantes puntos del cír-culo abarcado por la espira (2), no es constante y habría que calcu-larlo por métodos especiales, como ya se ha mencionado anterior-mente.

B1=µ

0

2Ia 2

(z 2 +a 2)32

Por consiguiente, B1 no puede salir fuera de la integral puesto que no es constante. Pero si el radio b de laespira (2) es muy pequeño comparado con el radio a de la espira (1) se puede considerar que B1 es aproxima-damente constante en todos los puntos de la superficie que abarca la espira (2) e igual al valor que tiene ensu centro O2.

En cuanto a su dirección puede considerarse que es la de la normal a cualquier elemento de área conteni-do en la espira (2), es decir, la del eje OZ. Por consiguiente, φ2 = 0, y, por tanto, cos φ2 = 1.

De todo lo anterior se deduce que,

Φ2= B

1da

2cosφ

2S2

∫ =B1

da2cos0º=

S2

∫µ

0

2Ia 2

(z 2 +a2)32

da2=

S2

∫µ

0

2Ia 2

(z 2 +a2)32

πb2

Si, a su vez, z es muy pequeño comparado con a, se obtiene:

Φ

2=µ

0I

2aπb2

1.7 El solenoide

Un solenoide es un dispositivo consistente en una o varias capas de hilo conductor, convenientemente ais-ladas unas de otras, arrolladas en forma helicoidal sobre un soporte material que puede tener diferentes for-mas. Consideraremos solamente el caso en el que el soporte sea un cilindro circular recto, como muestra lafigura 1-14.

Consideraremos que las espiras se encuentran deva-nadas muy apretadamente, de forma que el paso de lahélice es muy pequeño comparado con el radio de lasección recta del soporte cilíndrico. Se puede conside-rar, por tanto, que cada vuelta del devanado es unaespira contenida en un plano perpendicular al eje delsolenoide. La figura 1-15 muestra una sección diame-tral de un solenoide cilíndrico circular recto, de radioa y longitud l, sobre el que supondremos que hay deva-

O

X

II

FIG. 1-14

nadas uniformemente N espiras. Aunque consideraremos que el hilo que está devanado sobre el soporte cilíndrico es muy delgado, se han

representado por medio de pequeños círculos las secciones transversales de las espiras. Los puntos y las cru-ces que aparecen en dichas secciones indican el sentido de la corriente.

Tomaremos el eje del solenoide como eje OX y su extremo izquierdo como origen O de coordenadas.



1.15

Ox

dx

x0

P

l

θ1

θ2θα2

a

FIG. 1-15

Vamos a calcular el campo magnético creadopor el solenoide en un punto P de su eje, situadoa una distancia x0 de su extremo izquierdo.

Los extremos del solenoide quedan subtendi-dos desde el punto P bajo los ángulos 2θ1 y 2α2.

El punto P es un punto del eje de todas lasespiras del solenoide, y, en consecuencia, cada unade ellas crea en dicho punto un campo magnéticocuya dirección es la del eje OX, y cuyo sentido esel sentido positivo del eje OX.

El módulo del campo creado por una espira, cuyo centro se encuentra a una distancia x del origen, en elpunto P es, según la relación [1.20]:

B =µ

0

2Ia2

(x0−x)2 +a 2

32

expresión que depende de la posición de la espira, indicada por su abscisa x, y por tanto, el módulo del campomagnético no es constante. Por consiguiente, el módulo del campo magnético total no se puede obtener mul-tiplicando dicha expresión por el número N de espiras.

Vamos a considerar una rodaja infinitesimal del soporte cilíndrico, de longitud dx.El número de espiras dN, que hay devanadas sobre dicha rodaja, se obtiene multiplicando el número de

espiras por unidad de longitud del soporte cilíndrico, N/l, por la longitud de dicha rodaja dx:

dN =

Nl

dx

Todas las espiras devanadas sobre dicha rodaja infinitesimal se encuentran prácticamente a la misma dis-tancia x0–x del punto P. Por consiguiente, el módulo del campo elemental, dB, creado en el punto P porlas dN espiras se obtiene multiplicando el módulo del campo creado por una de ellas, por el número de espi-ras, dN:

dB =BdN =µ

0

2Ia 2

(x0−x)2 +a 2

32

Nl

dx =µ

0

2NIa2

ldx

(x0−x)2 +a 2

32

El módulo del campo creado por las N espiras del solenoide se obtiene integrando la expresión anteriorpara toda la longitud l del solenoide,

B =µ

0

2NIa2

ldx

(x0− x)2 +a 2

32

0

l∫

Puesto que la integral no es inmediata, conviene hacer el siguiente cambio de variable:x0–x = a cotg θ

y diferenciando los dos miembros,

−dx = −a dθ

sen2 θque, sustituida en la expresión de dB, da:

B =µ

0

2NIa2

ladθ

sen2 θ(a 2 cotg2 θ +a2)32

θ1

θ2∫ =µ

0

2NIl

dθ

sen2 θ(cotg2 θ +1)32

θ1

θ2∫ =µ

0

2NIl

senθdθθ1

θ2∫ =µ

0

2NIl

−cosθ

θ1

θ2=

=µ

0

2NIl

−cosθ2+ cosθ

1

En ocasiones, es más útil denominar θ1 = α1, y puesto que, –cos θ2= cos α2, sustituyendo en la expresiónanterior, se obtiene, finalmente:

B =

µ0

2NIl

cosα2+ cosα

1

[1.23]



1.16

Si se desea indicar, además del módulo, la dirección y el sentido del vector B en una misma expresión bastamultiplicar su módulo por el vector unitario en la dirección y sentido positivo del eje OX:

B=µ

0

2NIl

cosα2+ cosα

1

i

[1.24]

O X

FIG. 1-16

Las expresiones anteriores son válidas solamentepara puntos del eje del solenoide, tanto interiores comoexteriores. En los puntos exteriores hay que tener cui-dado con asignar los valores adecuados a los ánguloscorrespondientes, según se utilicen los ángulos θ, o losángulos α.

Si se calcula por métodos especiales el campo mag-nético creado en puntos situados fuera del eje del sole-noide, y se dibujan sus líneas de inducción, se obtienela figura 1–16.

Si se considera una región del espacio próxima aleje y alejada de los extremos, se observa que el campomagnético es aproximadamente uniforme e igual alvalor correspondiente al punto medio del eje.

1.8 Solenoide rectilíneo e indefinido

α1 = α2 ≈ 0º, por consiguiente,

cos α1 = cos α2 ≈ 1y en consecuencia,

Y en uno de los extremos del solenoide, por ejemplo en el punto O, es:α1 = 90º y α2 = 0º

con lo cualcos α1= 0, y cos α2≈ 1

y por tanto,

de modo que en los extremos de un solenoide rectilíneo e indefinido el módulo del campo magnético es lamitad que en el centro.

B =

µ0NIl

[1.25]

B =

µ0NI2l

[1.26]

En el caso particular de un solenoide indefinido, es decir, de un solenoide cuya longitud sea muy grandecomparada con el radio de su sección transversal, se verifica en los puntos próximos al centro del solenoide:

1.9 Campo creado por una carga puntual móvil

Hemos visto que la inducción magnética creada por un elemento de longitud dl por el que circula una inten-sidad I, en u punto situado a una distancia r, es

O

X

Y

Z

dl I

r

P

FIG. 1-8

dB

θ

En el capítulo dedicado al estudio de la corriente eléctrica hemos vistoque la intensidad de la corriente se puede expresar en la forma

I = nevASi se multiplican los dos miembros de la expresión anterior por dl

Idl = nevA.dly teniendo en cuenta que

dl = vdt sustituyendo, y agrupando factores se puede escribir en la forma

Idl = v.nevAdt

dB =

µ0

4πIdl senθ

r 2



1.17

y rcordando quedq = nevAdt

se puede escribirIdl = v.dq

Sustituyendo, se obtiene el módulo de la expresión de la inducción magnética creada por una carga dq enun punto situado a una distancia r de la carga, siendo θ el ángulo formado por v y r

dB =

µ0

4πvdq senθ

r 2

OX

Y

Z

+q

v

r

P

FIG. 1-9

B

θ

siendo su dirección, perpendicular al plano determinado por la direcció dela velocidad v y el punto, es decir, al plano determinado por v y r.

Las líneas de inducción son circunferencias contenidas en planos per-pendiculares a la dirección de la velocidad v.

Su sentido se determina, si la carga es positiva, como en el caso del hiloconductor rectilíneo e indefinido, por la regla del sacacorchos, o del torni-llo roscado a derechas: es aquél en el que habría que hacer girar un saca-corchos situado a lo largo de la dirección de la velocidad v para que avan-zase en el sentido de dicha velocidad.

Si la carga es negativa, su sentido es contario al anterior. La figura 1-9 representa el campo magnético B creado en el punto P

por la carga puntual +q.

Si hay varias cargas puntuales en movimiento, el campo creado en un punto P, es la suma vectorial de loscampos creados por cada una de las cargas

B=B

1

+B

2

+B

3

+…= B

i

i=1

n

∑

Si la carga es lo suficientemente pequeña como para considerarla una carga puntual, la inducción magné-tica es

B =

µ0

4πvq senθ

r 2

1.9 Fuerzas entre corrientes rectilíneas. Definición de amperio

Supongamos que dos hilos conductores rectilíneos y paralelos están separados por una distancia a, muypequeña comparada con su longitud, por los que circulan corrientes de intensidades respectivas I1 e I2, en sen-tidos contrarios, como indica la figura 1–17.

La figura 1-18 es la proyección sobre un plano perpendicular a los hilos conductores de las líneas de fuer-za de los campos magnéticos creados por cada uno de ellos.

Los hilos conductores, aunque se suponen muy delgados, se han representado con un cierto grosor para unamejor comprensión de la figura, y se suponen girados 90º hacia el lector. Los pequeños círculos centrales repre-sentan sus secciones transversales.

Cada elemento de longitud de cualquiera de los conductores experimentará una fuerza debida al campomagnético creado por el otro.

Vamos a calcular la fuerza dF2 que actúa sobre un elemento cualquiera de longitud dl2 del conductor (2). Para ello comencemos por calcular el módulo del campo magnético B1 creado por el conductor (1) en los

puntos ocupados por el elemento dl2 situados a una distancia a.Según la ley de Biot y Savart para un conductor rectilíneo e indefinido,

B

1=µ

0

2π

I1

a

Su dirección y sentido están indicados en la figura 1-18.

La fuerza que actúa sobre el elemento de longitud dl2 viene expresada por



1.18

FIG. 1-17

FIG. 1-18

dF2

= I

2dl

2

×B

1

cuyo módulo es:

dF

2= I

2dl

2B

1sen90º= I

2dl

2

µ0

2π

I1

a=µ

0

2π

I1I

2

adl

2

cuya dirección y sentido aparecen indicados en la figura.Por tanto, la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre el con-

ductor (2) es:

dF2

dl2

=µ

0

2π

I1I

2

a

A su vez, el conductor (1) queda sometido al campo creado por elconductor (2):

B

2=µ

0

2π

I2

a

y cualquier elemento de longitud dl1 del conductor (1) queda sometido a la fuerza:

dF1

= I

1dl

1

×B

2

cuyo módulo es:

dF

1= I

1dl

1B

2sen 90º= I

1dl

1

µ0

2π

I2

a=µ

0

2π

I1I

2

adl

1

y cuya dirección y sentido aparecen indicados enla figura.En consecuencia, la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre el conductor (1) es:

dF1

dl1

=µ

0

2π

I1I

2

a

Ambos conductores se repelen mutuamente con una fuerza por unidad de longitud de igual módulo. Si seinvirtiese el sentido de la corriente de cualquiera de los conductores se invertiría el sentido de las dos fuerzasy ambos conductores se atraerían mutuamente.

Hay que hacer notar que, en general, las fuerzas,

dF1

= I

1dl

1

×B

2

dF2

= I

2dl

2

×B

1

no cumplen con la tercera ley de Newton de la acción y reacción. Sin embargo, puesto que no es posible dis-poner de elementos de longitud “aislados”, hay que considerar las fuerzas que se ejercen mutuamente dos cir-cuitos, en su totalidad, es decir,

y se puede demostrar que dichas fuerzas cumplen con el principio de acción y reacción, es decir,

F1

= dF

1

C1∫

F2

= dF

2

C2∫

F1

= −F

2

El hecho de que dos hilos conductores, rectilíneos y paralelos, se ejerzan mutuamente fuerzas de atraccióno de repulsión, se toma como punto de partida para definir la unidad de intensidad de corriente eléctrica enel S.I. de unidades.

I1 I2

dl2dl1

(1) (2)

dF1dF2

B1B2

I2I1

a

El amperio es la intensidad de una corriente constante y continua que, circulando por dos hilos conductores rec-tilíneos y paralelos, de longitud infinita, situados en el vacío y separados a una distancia de 1 metro, hace quecada conductor quede sometido a una fuerza por unidad de longitud, de

µ0

2πnewtonsmetro

= 2.10−7 newtonsmetro



1.19

A partir de esta definición se deduce que el valor numérico de la constante en el S.I. de unidades es,

µ

0= 4π.10−7 webers

amperio.metro≈ 12,57.10−7 webers

amperio.metro

De esta forma, dada la mayor precisión con que se puede medir la intensidad de una corriente de un ampe-rio, comparada con la de la medida de un coulombio, se sustituye la magnitud fundamental carga por la deintensidad, con lo cual las unidades fundamentales en dicho sistema quedan establecidas como, M.K.S.A.,(metro, kilogramo, segundo, amperio), en lugar de M.K.S.C., (metro, kilogramo, segundo, coulombio).

De manera que la definición de coulombio en función de la nueva unidad fundamental, amperio, es comosigue,

Un coulombio es la cantidad de carga eléctrica que pasa a través de cualquier sección normal al movimiento deportadores de carga de un conductor por el que circula una corriente constante y continua de 1 amperio de inten-sidad.

Conviene hacer notar que la unidad de carga, el coulombio, queda definida ahora a partir de la fuerza ejer-cida entre las corrientes que circulan por dos conductores, es decir, a partir de la fuerza ejercida entre cargasmóviles, mientras que la definición electrostática se establece a partir de fuerzas ejercidas sobre cargas fijas.

El “amperio” definido anteriormente en función de la fuerza ejercida entre conductores se denomina ampe-rio absoluto.

Hay otra definición de “amperio” conocida como amperio internacional establecido como,Un amperio internacional es la intensidad de una corriente constante y continua que deposita 0,001118 gramosde plata por segundo de una disolución de sal de plata en una célula electrolítica de unas características dadas.

En un principio se creyó que el amperio internacional y el amperio absoluto eran iguales, pero medidasposteriores más precisas demostraron que hay una pequeña diferencia:

1 amperio internacional = 0,99986 amperios absolutos

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