Alen Harapin - Pocetnaisens.webs.com/Dimenzioniranje prema TPBK (EC2).pdf · Literatura: [1]...
Transcript of Alen Harapin - Pocetnaisens.webs.com/Dimenzioniranje prema TPBK (EC2).pdf · Literatura: [1]...
Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet
Alen Harapin
Dimenzioniranje betonskih Dimenzioniranje betonskih konstrukcija prema TPBK konstrukcija prema TPBK
(EC2)(EC2)
Literatura:Literatura:
[1] Tehnički propis za betonske konstrukcije, NN 101/05[2] HRN ENV 1991-1 EUROKOD 1: Osnove projektiranja i djelovanja na konstrukcije – 1.
dio: Osnove projektiranja, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2005.[3] HRN ENV 1992-1-1 EUROKOD 2: Projektiranje betonskih konstrukcija – 1.1 dio: Opća
pravila i pravila za zgrade, Državni zavod za normizaciju i mjeriteljstvo, 2004.
[4] Jure Radić i suradnici: Betonske Konstrukcije – Priručnik, Hrvatska sveučilišna naklada, Sveučilište u Zagrebu – Građevinski fakultet, Andris, Zagreb, 2006.
[5] Ivan Tomičić: Betonske konstrukcije, DHGK, Zagreb, 1996.[6] Zorislav Sorić, Ivan Tomičić: EUROCODE 2, Projektiranje, proračun i dimenzioniranje
armiranobetonskih i prednapetih betonskih nosivih konstrukcija, u okviru Građevinskog godišnjaka ’95., Zagreb, 1995.
[7] Vahid Hasanović: Proračun armiranobetonskih konstrukcija: EUROCODE 2, Građevinski fakultet u Sarajevu, Sarajevo, 2000.
Sva predavanja na temu EC2 nalaze se na: www.gradst.hr/katedre/bkm
OptereOptereććenja:enja:
Pregled hrvatskih i europskih normi za djelovanja na konstrukcije
Djelovanje Hrvatske norme Europske norme
Prostorne težine, vlastite težine, uporabna opterećenja
HRN ENV 1991-2-1 EN 1991-1-1
Požarno djelovanje HRN ENV 1991-2-2 EN 1991-1-2
Izvanredna djelovanja uzrokovana udarom i eksplozijom
HRN ENV 1991-2-7 EN 1991-1-7
Prometna opterećenja mostova HRN ENV 1991-3 EN 1991-2
Djelovanja na silose i spremnike tekućina
HRN ENV 1991-4 EN 1991-3
Djelovanja uzrokovana kranovima i drugim strojevima
HRN ENV 1991-5 EN 1991-4
Potresno djelovanje nHRN ENV 1998-1-1 prEN 1998-1
Opterećenje snijegom HRN ENV 1991-2-3 EN 1991-1-3
Opterećenje vjetrom HRN ENV 1991-2-4 EN 1991-1-4
Toplinska djelovanja HRN ENV 1991-2-5 EN 1991-1-5
Djelovanja tijekom izvedbe HRN ENV 1991-2-6 EN 1991-1-6
OptereOptereććenja:enja:Uporabna opterećenja zgrada:
STALNA DJELOVANJA
Vlastita težina konstrukcijeVlastita težina nekonstruktivnih dijelova, obloge ili nepomične
opremeSile od djelovanja tlaka tla, koje nastaju od težine tlaDeformacije uslijed načina izgradnje konstrukcijeSile uslijed hidrostatičkog tlaka vodeSile nastale uslijed slijeganja oslonacaSile prednapinjanja
PROMJENJIVA DJELOVANJA
Opterećenja uslijed aktivnog i pasivnog korištenja objekta (uporabno/korisno opterećenje)
Prometno opterećenjePojedini dijelovi težine konstrukcije koji djeluju samo u
pojedinim fazama izgradnjeMontažna opterećenjaOpterećenja vjetromOpterećenja snijegomOpterećenja ledomPosljedice promjenjive razine površine vode
(ako je potrebno)Promjena temperatureOpterećenje valovima
IZVANREDNA DJELOVANJA
Udari vozila ili plovilaEksplozijeSlijeganje i klizanje terenaEkstremno jaki vjetar (Tornado)PotresPožar
Tipovi djelovanja:Promjenjivo djelovanje qk [kN/m2] Qk [kN]
A. Stambeni prostori, odjeli u bolnicama, hotelske sobe
Uobičajene prostorije 2.0 2.0
Stubišta 3.0 2.0
Balkoni 4.0 2.0
B. Uredi
Uredi 3.0 2.0
C. Prostorije u kojima je moguće okupljanje ljudi
Prostorije sa stolovima, škole, kavane, restorani, čitaonice, recepcije
3.0 4.0
Prostorije s nepomičnim sjedalima, crkve, kina, prodavaonice, čekaonice, konferencijske dvorane
4.0 4.0
Prostorije bez prepreka za kretanje ljudi, izložbeni prostori, pristupi u javnim zgradama, hotelima i sl.
5.0 4.0
Prostorije u trgovinama 5.0 4.0
E. Prostorije s mogućnošću gomilanja robe i stvari
Skladišta uključujući i knjižnice 6.0 7.0
Športske prostorije i prostori za igru, plesne dvorane, gimnastičke dvorane
5.0 7.0
Prostorije za velika okupljanja ljudi, zgrade za javne priredbe, koncertne dvorane, športske dvorane
5.0 4.0
D. Prodajne prostorije
Prostorije u robnim kućama i trgovinama na veliko
5.0 7.0
Četiri reprezentativne vrijednosti:
- karakteristična vrijednost (Qk)
- vrijednost u kombinaciji (ψ0Qk) – uzima u obzir smanjenu vjerojatnost istodobnog djelovanja više promjenjivih neovisnih opterećenja s njihovom najnepovoljnijom vrijednošću. Koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti i nepovratnog graničnog stanja uporabe. Ova kombinacija je vrlo rijetka, i u vijeku trajanja konstrukcije događa se jednom ili nijednom.
- česta vrijednost (ψ1Qk) – koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Ovakva česta kombinacija događa se npr. jedamput godišnje.
- nazovistalna vrijednost (ψ2Qk) – također se koristi za provjeru graničnog stanja nosivosti uzimajući u obzir izvanredna djelovanja i za povratna granična stanja uporabe. Nazovistalna kombinacija događa se npr. jednom tjedno.
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u komb.
ψ0
Česta vrijed.
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade
0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar)
0.6 0.5 0.0
OptereOptereććenja:enja:
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja nosivostina stanja nosivosti
( ) ( ) kP1i
i,ki,0Q1,kQi
i,kGsd PQQGS ⋅γ+⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ= ∑∑>
Uobičajena (stalna) proračunska kombinacija
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja nosivostina stanja nosivosti
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Primjer: Nepovoljno djelovanje opterećenja;Stalno opterećenje: (G) i Prednaprezanje (P)Pokretno opterećenje: Korisno (Qk), Vjetar (Qw), Snijeg (Qs)
Vodeće pokretno opterećenje: Korisno ( ) P0.1Q6.0Q6.05.1Q5.1G35.1S swksd ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=
( ) P0.1Q6.0Q7.05.1Q5.1G35.1S skwsd ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=Vodeće pokretno opterećenje: Vjetar
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja nosivostina stanja nosivosti
( ) ( ) kPd1i
i,ki,21,k1,1i
i,kGsd PAQQGS ⋅γ++⋅ψ+⋅ψ+⋅γ= ∑∑>
Izvanredna proračunska kombinacija
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Napomena: Znak “+” znači: “kombinira se sa”
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja nosivostina stanja nosivosti
( ) kdii
i,ki,2i
i,ksd PAQGS +⋅γ+⋅ψ+= ∑∑Seizmička proračunska kombinacija
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
γi - Koeficijenti važnosti: = 0.7 – građevina niže važnosti= 1.0 – građevina normalne važnosti= 1.3 – građevina povećane važnosti
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja uporabena stanja uporabe
( ) k1i
i,ki,0i,ki
i,ksd PQQGS +⋅ψ++= ∑∑>
Rijetka kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba –trajna lokalna oštećenja i deformacije
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja uporabena stanja uporabe
( ) k1i
i,ki,2i,k1,1i
i,ksd PQQGS +⋅ψ+⋅ψ+= ∑∑>
Česta kombinacija – koristi se kod proračuna širine pukotina i progiba –privremena lokalna oštećenja i deformacije, te kod proračuna ograničenja naprezanja
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
Koeficijenti sigurnosti Koeficijenti sigurnosti –– granigraniččna stanja uporabena stanja uporabe
( ) ki
i,ki,2i
i,ksd PQGS +⋅ψ+= ∑∑
Nazovistalna (Kvazistalna) kombinacija – koristi se kod proračuna ograničenja naprezanja u elementima
Promjenjivo djelovanjeVrijednost u kombinaciji
ψ0
Česta vrijednost
ψ1
Kvazistalnavrijednost
ψ2
Uporabna opterećenja u zgradama-Stambeni prostori-Uredi-Prostori za veće skupove ljudi-Trgovine-Skladišta
0.70.70.70.71.0
0.50.50.70.70.9
0.30.30.60.60.8
Prometna opterećenja u zgradama-Težine vozila ≤ 30 kN-Težine vozila ≤ 30 kN-Krovovi
0.70.70.0
0.70.50.0
0.60.30.0
Opterećenje vjetrom na zgrade 0.6 0.5 0.0
Opterećenje snijegom 0.6 0.2 0.0
Temperatura u zgradama (ne požar) 0.6 0.5 0.0
Koeficijenti kombinacije (ψ)Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
Koeficijenti sigurnosti na materijal
Djelovanje Stalno(γG)
Pokretno(γQ)
Prednap.(γP)
Nepovoljno 1.35
1.00
1.50 1.0-1.2
Povoljno 0.00 0.9-1.0
Koeficijenti sigurnosti za opterećenje
σc
εc [‰]
α fcd
f ck
2.0 ‰ 3.5 ‰
( ) ccck
c 44f εε−=σ
Koeficijentom “α” uzima se u obzir nepovoljno djelovanje dugotrajnog opterećenja i dinamičkih učinaka. Za “α” se uzima:
α = 0.85 za presjeke oblika pravokutnikaα = 0.80 za presjeke oblika trokuta ili trapeza
Gradivo Gradivo -- BetonBeton
Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55
fck (MPa) Čvrstoća na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45
fc,cub (MPa) Čvrstoća na kocki
Srednja vlačna čvrstoća
Posmična čvrstoća
Početni modul elastičnosti
15(MB 15)
20 (MB 20)
25(MB 25)
30(MB 30)
37(MB 40)
45(MB 45)
50(MB 50)
55(MB 55)
τRd (MPa) 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44
fct,m (MPa) 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8
Ecm (MPa) 26000 27500 29000 30500 32000 33500 35000 36000
C50/60
50
60(MB 60)
4.1
0.48
37000
Klase betona normalne gustoće (gustoća 2000-2600 kg/m3)
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f
MPaf;MPa8f9500E
ck32
ckm,ct
ck3
ckcm
⋅≈
+⋅=
1.001.30Izvanredna kombinacija
1.151.50Uobičajena kombinacija
Čelik(γs)
Beton(γc)
Materijal
Kombinacija
Koeficijenti sigurnosti na materijal
c
ckcd
ffγ
=
Gradivo Gradivo -- ČČelikelikSvojstva čelika za armiranje:
Šipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRNEN 10080-3 i nHRN EN 10080-4) Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5)
Naziv i oznaka (broj) čelika B500A (1.0438)
B500B (1.0439)
B450C (1.04…)
B500A (1.0438)
B500B (1.0439)
B450C (1.04…)
Nazivni promjer, d (mm)Namot: 4-16Šipke: 6-40
Namot: 6-16Šipke: 6-40
Namot: 6-16 5-16 6-16 6-16
Granica razvlačenja fyk (MPa) ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450 ≥ 500 ≥ 500 ≥ 450
Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja ≥ 1.05 ≥ 1.08
≥ 1.15≤ 1.35
≥ 1.05 ≥ 1.08≥ 1.15≤ 1.35
±σs
εs [‰]
f yk
20.0 ‰
f yd
Materijal
Kombinacija
Beton(γc)
Čelik(γs)
Uobičajena komb. 1.50 1.15
Izvanredna komb. 1.30 1.00
s
ykyd
ff
γ=
B500A – tri reda poprečnih rebara
B450C – dva reda poprečnih rebara; s jedne strane rebra pod različitim kutovima u odnosu na os
B500B – dva reda poprečnih rebara; s obje strane rebra su paralelna (pod istim kutom u odnosu na os)
Dimenzioniranje na moment savijanjaDimenzioniranje na moment savijanja
Neutralna os
sdN
d-x
b1d 1
s1A
h2
d
dsdM
s2A
2
d-d
s1ε Fs1
s2ε
2
εc2s2F
cF
0.85 fcd
x=ξ*
d
z=ζ*
d
Neutralna os
uN
h-x
b
a
aA
d
a'
h
uM
aA'
z=k
*dd-
a '
aε Fa
aεεb
aF'
bF
fB
z
x=k
*d x '
TPB
K (2
005.
)PB
AB
(198
7.)
Dimenzioniranje na moment savijanja Dimenzioniranje na moment savijanja –– osnovni izraziosnovni izrazi
Neutralna os
d-x
b1d 1
s1A
h2
d
sdM
d-d
s1ε Fs1
2
εc2
cF
0.85 fcd
x=ξ*
d
z=ζ*
d
A
B
Rdsd MM ≤
d – statička visina presjekah – ukupna visina presjekab – širina presjekad1 – udaljenost težišta vlačne armature od vlačnog ruba presjekad2 – udaljenost težišta tlačne armature od tlačnog ruba presjekax – udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka (s koeficijentom ξ)z – krak unutrašnjih sila (s koeficijentom ζ) εc2 – deformacija betona na tlačnom rubuεs1 – deformacija armature u težištu vlačnih šipkifcd – računska čvrstoća betonaMsd – računski moment savijanjaFs1 – sila u vlačnoj armaturiAs1 – površina vlačne armature
Dimenzioniranje na moment savijanja Dimenzioniranje na moment savijanja –– osnovni izraziosnovni izrazi
Neutralna os
d-x
b1d 1
s1A
h
2d
sdM
d-d
s1ε Fs1
2
εc2
cF
0.85 fcd
x=ξ*
d
z=ζ*
d
A
B
( )( )
( ) ‰5.3‰2232
243k
‰2‰064
8k
2c2c2c
2c2ca
2c2c
2ca
≤ε<−εε
+−εε=
≤ε<ε−
ε−=
( )
‰5.3‰2 3
2 3
‰2‰0612
2cc2
c2v
2c2c2c
v
≤ε<ε
−ε=α
≤ε<ε−ε
=α
cdvcdvc
yds1s1
fbd85.0fbx85.0FfAF
⋅⋅⋅ξ⋅α⋅=⋅⋅⋅α⋅=
⋅=
( )
( )
cd2sd
vsd
cdvcsd
aaa
csdA
fdbM=85.0
dfbd85.0zF=Mddk1dkdxkdz
zF=M 0M
⋅⋅ζ⋅ξ⋅α⋅=µ
⋅ζ⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅=⋅
⋅ζ=⋅ξ⋅−=⋅ξ⋅−=⋅−=
⋅⇒=∑
( )
yd
sds1
yds1sd
s1sdB
fdMA
dfA=M
zF=M 0M
⋅⋅ζ=
⋅ζ⋅⋅
⋅⇒=∑
cd
yd
cd
yds1v
yds1cdv
s1c
ff
ff
bdA85.0
fA=fbd85.0F=F 0N
⋅ρ=⋅⋅
=ξ⋅α⋅=ω
⋅⋅⋅⋅ξ⋅α⋅
⇒=∑
T
cdc f=σ
( ) cccd
c 4 εε−=σ
‰2 ‰5.3
cdf
cσ
2cε
ak
T
cdc f=σ
( ) cccd
c 4 εε−=σ
‰2 ‰5.3
cdf
cσ
2cε
ak
4f4f
Rdsd MM ≤
Jednostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja
Neutralna os
d-x
b=40 cm1
d =4
cm
1
s1A
h=60
cm
2d=
5 6 c
m sdM
xs1ε
εc2
TPBK (2005.) PBAB (1987.)
Neutralna os
h-x
b=40 cma=4
cm
aA
d=60
cm
h=5 6
cm uM
x
aε
εb
;kNm5.2950.805.10.13035.1MMM
;kNm0.80M;kNm0.130M
MPa78.43415.1
0.500ffMPa0.500fB500B
MPa67.165.10.25ffMPa0.25f3025C
cm0.56dhd;cm0.4d;cm0.60h;cm40b
qqggsd
qg
s
ykydyk
c
ckcdck
11
=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=
==
==γ
=⇒=⇒
==γ
=⇒=⇒
=−====
:eOpterecenj
:Materijal
:Geometrija
;kNm0.3520.808.10.1306.1MMM
;kNm0.80M;kNm0.130M
MPa0.500560/500MAMPa5.20f30MB
cm0.56adh;cm0.4a;cm0.60d;cm40b
ppggu
pg
vi
B
=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=
==
=σ⇒
=⇒−
=−====
:eOpterecenj
:Materijal
:Geometrija
2
yd
sd1s
2c1s
2cd
2sd
sd
cm56.1248.4356904.0
29550fd
MA
904.0;1.3:otanoci;10za
141.067.15640
29550fdb
M
=⋅⋅
=ζ
=
=ζ=ε=ε
=⋅⋅
==µ
‰‰
:Postupak
2
viz
ua
zba
2B
2u
u
cm63.130.5056922.0
35200hkMA
922.0k;5.2:otanoci;10za
137.005.25640
35200fhb
Mm
=⋅⋅
=σ
=
==ε=ε
=⋅⋅
==
‰‰
:Postupak
Jednostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja
TPBK (2005.) PBAB (1987.)
;kNm5.2950.805.10.13035.1MMM
;kNm0.80M;kNm0.130M
MPa78.43415.1
0.500ffMPa0.500fB500B
MPa67.165.10.25ffMPa0.25f3025C
cm0.56dhd;cm0.4d;cm0.60h;cm40b
qqggsd
qg
s
ykydyk
c
ckcdck
11
=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=
==
==γ
=⇒=⇒
==γ
=⇒=⇒
=−====
:eOpterecenj
:Materijal
:Geometrija
;kNm0.3520.808.10.1306.1MMM
;kNm0.80M;kNm0.130M
MPa0.500560/500MAMPa5.20f30MB
cm0.56adh;cm0.4a;cm0.60d;cm40b
ppggu
pg
vi
B
=⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=
==
=σ⇒
=⇒−
=−====
:eOpterecenj
:Materijal
:Geometrija
2
yd
sd1s
2c1s
2cd
2sd
sd
cm56.1248.4356904.0
29550fd
MA
904.0;1.3:otanoci;10za
141.067.15640
29550fdb
M
=⋅⋅
=ζ
=
=ζ=ε=ε
=⋅⋅
==µ
‰‰
:Postupak
2
viz
ua
zba
2B
2u
u
cm63.130.5056922.0
35200hkMA
922.0k;5.2:otanoci;10za
137.005.25640
35200fhb
Mm
=⋅⋅
=σ
=
==ε=ε
=⋅⋅
==
‰‰
:Postupakα===µ
=µ
=
=ε=ε
85.0187.0159.0
m
159.0187.0m
;5.3i10za
u
sd
sd
u
ba ‰‰ σc
εc [‰]
α fcd
f ck
2.0 ‰ 3.5 ‰
Dvostruko armirani pravokutni presjek optereDvostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja
ab
c
d
ef
g h
12
3
4
5
Vlak Tlak
A
C
B2d1d
d
As1
As2
20.0‰ 3.0‰
3.5‰2.0‰
( )( )
( )
( ) yd22s
yd2ydlim1s
1s2clim
1s2c
cd2
lim,Rd
fddA
fddfdA
0.20;5.30.20;5.3
fdbM
⋅−=
⋅−+
⋅⋅ζ=
=ε=εζ=ζ
=ε=εµ=µ
⋅⋅⋅µ=
>
limRd,sd
limRd,sdlimRd,
sdlimsd,
limsd,
limRd,sd
M-M
M-MM‰‰
‰‰
MM
Neutralna os
d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A
2
d-d
s1ε Fs1
s2ε
2
εc2s2F
cF
0.85 fcd
x
z
( )
( ) yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s
cd2
limsd,lim,Rd
sdsdsds
fddM-M
A
fN
fddM-M
fdM
A
fdbM2dhNMM
⋅−=
−⋅−
+⋅⋅ζ
=
⋅⋅⋅µ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+=
Konvencija: Tlak + Vlak -
Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek optereJednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek optereććen momentom en momentom savijanja i uzdusavijanja i uzdužžnom silom nom silom –– Postupak Postupak WuczkowskogWuczkowskog
d
s2A
b1 d 1
s1A
h
2
d-h/
2
sdN
sdM
tlNsdvl
Neutralna os
sdN
d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A
2
d-d
s1ε Fs1
s2ε
2
εc2s2F
cF
0.85 fcd
x
z
Pravokutni presjek opterePravokutni presjek optereććen momentom savijanja i uzduen momentom savijanja i uzdužžnom silom nom silom ––Dimenzioniranje pomoDimenzioniranje pomoćću dijagrama interakcijeu dijagrama interakcije
sdN
d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A
2x
s1s2
yd
cds1
cd2sd
sd
cd
sdsd
AA
dbffA
fdbM
fdbN
⋅β=
⋅⋅⋅ω=
⋅⋅=µ
⋅⋅=ν
Ograničenja:Prema EC-8 (HRN ENV 1998-1-3), za različite razrede duktilnosti postoji ograničenje najveće uzdužne tlačne sile u stupovima:
Razred duktilnosti L: Nsd ≤ 0.75 b h fcd
Razred duktilnosti M: Nsd ≤ 0.65 b h fcd
Razred duktilnosti H: Nsd ≤ 0.55 b h fcd
Pravokutni presjek Pravokutni presjek –– Dijagram toka rjeDijagram toka rješšenja problemaenja problema
poc,1ssdydcd1 ,M,f,f,d,h,b εUčitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature
Postavljanje početne ravnine deformacije
poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0 ε=ε=ε=ε
Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja
cd2sd
sd fdbM
⋅⋅=µ
( ) ξ⋅α⋅=ωζ⋅ξ⋅α⋅=µξ⋅−=ζε+ε
ε=ξ vv
izrsda
1s2c
2c 85.0;85.0;k1;
Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije
Postavljanje tekuće ravnine deformacije
Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti
sdizrsd µ≅µsd
izrsd µ<µ sd
izrsd µ>µ
2gor,cdon,c
tek,cε+ε
=εtek,cgor,c ε=εtek,cdon,c ε=ε
Izračunavanje potrebne armature, ispis
( ) ( ) yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s fdd
M-MA;
fN
fddM-M
fdM
A⋅−
=+⋅−
+⋅⋅ζ
=
T presjek optereT presjek optereććen momentom savijanjaen momentom savijanja
Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h (d). Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.
x2
zd-d
s1ε Fs1
s2ε
2
εc2s2F
cF
0.85 f cdbeff
cε
fh
*Neutralna os
sdN d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A
T presjek optereT presjek optereććen momentom savijanja en momentom savijanja –– određivanje efektivne određivanje efektivne šširineirine
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
effeff
f
v
vi
v
efffveffvi
ivefffveffv
ivcdefffvcdeffvcd
cicbca
bbb1
dh11b
dbbhdbdb
bdbbhdbd
bdf85.0bbhdf85.0bdf85.0
FFF
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅ξ
−αα
−=
⋅ξ⋅α−⋅−⋅ξ⋅α−⋅⋅ξ⋅α
=
⋅⋅ξ⋅α=−⋅−⋅ξ⋅α−⋅⋅ξ⋅α
⋅⋅ξ⋅α⋅⋅=−⋅−⋅ξ⋅α⋅⋅−⋅⋅ξ⋅α⋅⋅
=−
∗
∗
∗
∗
b
x
beff
fh
ib
iAvα
A*vα
a
cd0.85 f
bA
ε
ε *c
c2
T presjek T presjek –– Dijagram toka rjeDijagram toka rješšenja problemaenja problema
effipoc,1ssdydcdf1eff bb;,M,f,f,h,d,h,b,b =εUčitavanje podataka o presjeku, materijalu,
napadnim silama, te tražene deformacije armatureIzračunavanje bezdimenzionalnog momenta
savijanja
Postavljanje početne ravnine deformacije
poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0 ε=ε=ε=ε
Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije
Postavljanje tekuće ravnine deformacije
Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti
sdizrsd µ≅µsd
izrsd µ<µ sd
izrsd µ>µ
2gor,cdon,c
tek,cε+ε
=εtek,cgor,c ε=εtek,cdon,c ε=ε
Izračunavanje potrebne armature, ispis
( ) ( ) yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s fdd
M-MA;
fN
fddM-M
fdM
A⋅−
=+⋅−
+⋅⋅ζ
=
Kontrola položaja neutralne osi
fhx ≤
Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja cd
2i
sdsd fdb
M⋅⋅
=µ
fhx >Proračun reducirane širine T presjeka
effeff
f
v
vi b
bb1
dh11b ⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ξ
−αα
−=∗
( ) ξ⋅α⋅=ωζ⋅ξ⋅α⋅=µξ⋅−=ζε+ε
ε=ξ vv
izrsda
1s2c
2c 85.0;85.0;k1;
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silunu siluPoprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj
metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature.
Uvjet nosivosti na poprečne sile:
Rdsd VV ≤
gdje je:Vsd – računska poprečna silaVRd – računska nosivost na poprečne sile
hdz
s ws ws w
l
Vwd
F
Vwd
F
VRd1
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavakRačunska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti
potrebna ako je zadovoljen uvjet:
( )[ ] db15.0402.1kVV wcplRd1Rdsd ⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=≤
gdje je:τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanjak = 1.6-d ≥ 1.0 - korekcijski faktor kojim se povećava nosivost na poprečne sile (d u metrima)ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zonid – statička visina presjekaσcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)Nsd – računska uzdužna sila u presjekuAc – površina betonskog presjeka
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:
zbf5.0VV wcd2Rdsd ⋅⋅⋅ν⋅=≤
- redukcijski faktor (fck u N/mm2)5.0200f7.0 ck ≥−=ν
Karakteristika betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
fck (MPa) Čvrstoća na valjku 12 16 20 25 30 35 40 45 50
fc,cub (MPa) Čvrstoća na kocki
Posmična čvrstoća
15(MB 15)
20 (MB 20)
25(MB 25)
30(MB 30)
37(MB 40)
45(MB 45)
50(MB 50)
55(MB 55)
60(MB 60)
τRd (MPa) 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.37 0.41 0.44 0.48
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak
Ako nije zadovoljen uvjet:
potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila.
(a) Standardna metodaOva metoda pretpostavlja nagib tlačnih štapova pod kutom od 45°.Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta:
w
d,ywswwd
wd1Rd3Rdsd
szmfA
V
VVVV⋅⋅⋅
=
+=≤
1Rdsd VV ≤
gdje je:Asw – površina jedne grane sponam – reznost sponaz – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)sw – razmak sponafyw,d – računska granica popuštanja
poprečne armature
Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova:
2Rdcd
eff,cp2Rdred,2Rd V
f1V67.1V ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−⋅⋅=
Pri čemu je: cs
2syksdeff,cp AAfN ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
−=σ - tlačno naprezanje u betonu
Vsd0 VRd2VRd1 Vsd
Konstrukcijska poprecnaarmatura
Proracun poprecnearmature
Nedopuštenopodrucje
Vwd
Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:
( ) α⋅α+⋅⋅⋅
= sinctg1s
zfAV d,ywsw
wd
gdje je:s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementaα – Kut nagiba kosih šipki prema osi nosača
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak
αΘ
Vsd0 VRd2VRd1 Vsd
Konstrukcijska poprecnaarmatura
Proracun poprecnearmature
Nedopuštenopodrucje
Vwd
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak(b) Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapovaPrimjena ove metode predlaže se kada na presjek simultano djeluju poprečna sila i moment torzije. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi bira se u granicama:
5.24.02.688.21 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja0.25.04.636.26 ≤Θ≤⇒≤Θ≤ oo Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju
Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:
Θ⋅⋅⋅⋅
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅ν⋅≤
⋅
⋅⋅Θ⋅
⋅⋅⋅==
Θ+Θ⋅⋅⋅ν=
ctgV
mzfAs
f21
sbfmA
:uvjetuz;ctgs
mzfAVV
tgctgzbfV
Sd
d,ywsww
cdww
d,ywsw
w
d,ywswwd3Rd
wcd2Rd
Vsd0 VRd2Vsd
Proracun poprecnearmature
Nedopuštenopodrucje
Vwd
Njemački propisi predlažu sljedeći izraz:
cd
eff,cp
f325.1ctg
σ−=Θ Za σcp,eff =0, Θ=39°
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak
Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α−
α⋅⋅ν⋅≤
⋅
⋅α⋅α+Θ⋅
⋅⋅==
Θ+α+Θ
⋅⋅⋅⋅ν=
cos1sinf
21
sbfA
:uvjetuz;sinctgctgs
zfAVV
ctg1ctgctgzbfV
cd
ww
d,ywswd,ywswwd3Rd
2wcd2Rd
Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2.
Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:
( )α−Θ⋅⋅+= ctgctgV21
zMF Sd
Sds
te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- nastavaknastavak
Maksimalni razmaci spona, ovisno o veličini računske poprečne sile prikazani su u tablici:
Broj Računska poprečna sila VsdMaksimalni razmak spona u smjeru glavne
vlačne armature sw,max
1 Vsd ≤ 0.2 VRd2 0.8 d; 30 cm
2 0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd2 0.6 d; 30 cm
3 Vsd > 0.67 VRd2 0.3 d; 20 cm
Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:
mbsA wwmin
min,sw⋅⋅ρ
=
Klasa betona C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60
ρmin 0.0007 0.0011 0.0013
0.3 d; 20 cmVsd > 0.67 VRd23
0.6 d; 30 cm0.2 VRd2 < Vsd ≤ 0.67 VRd22
1.0 d; 80 cmVsd ≤ 0.2 VRd21
Maksimalni razmak vertikalnih krakova spona u poprečnom smjeruRačunska poprečna sila VsdBroj
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer
G, Qg, q
1.0 7.08.0
30
73 807
3.3
244.4217.1
62.6
128.5
230.8
302.4
R =244.4 kN R =128.5 kN
V (kN)sd
M (kNm)sd
s1Aa b
a bc d
kN5.154S
0.675.10.4035.1QGS'mkN3.27s
0.115.10.835.1qgskN0.67Q;'mkN0.11qkN0.40G;'mkN0.8g
qg
qg
=
⋅+⋅=⋅γ+⋅γ==
⋅+⋅=⋅γ+⋅γ=====
MPa34.0MPa0.30f
3730C
Rd
ck
=τ
=
2
yd
sd1s
2c1s
2cd
2sd
sd
cm20.1048.4373934.0
30240fd
MA
934.0;‰1.2:otanoci;‰10za
095.00.27330
30240fdb
M
=⋅⋅
=ζ
=
=ζ=ε=ε
=⋅⋅
==µ
30
7380
7s15Ø16 (A =10.05 cm )2
s2Ø14 (A =3.08 cm )2
s22Ø14 (A =3.08 cm )2
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu –– Primjer (nastavak)Primjer (nastavak)
( )[ ]
( )[ ]kN5.109V
73300.015.000675.0402.10.1034.0V0.0AN
0.1k0.187.073.06.1d6.1kdb15.0402.1kV
1Rd
1Rd
csdcp
wcplRd1Rd
=
⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=
==σ=⇒<=−=−=
⋅⋅σ⋅+ρ⋅+⋅⋅τ=
30
7380
7
s15Ø16 (A =10.05 cm )2
s2Ø14 (A =3.08 cm )2
s22Ø14 (A =3.08 cm )2
00675.0803021.16
AA
cm21.1608.325.10A
c
sl
2s
=⋅
==ρ
=⋅+=
∑∑
Beton C30/37
fck (MPa) Čvrstoća na valjku 30.0
τRd (MPa) Posmična čvrstoća 0.34
Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:
Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:
( ) kN1.1084739.0300.255.05.0V
55.05.055.0200307.0
200f7.0
zbf5.0V
2Rd
ck
wcd2Rd
=⋅⋅⋅⋅⋅=
=ν⇒>=−=−=ν
⋅⋅⋅ν⋅=
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu –– Primjer (nastavak)Primjer (nastavak)
Ležaj “a”:G, Q
{ }{ }
0024.0cm0.30s0.30;8.43736.0min
cm0.30;d6.0minsV23.0V23.01.10844.244VV
kN4.244V
min
max,w
max,w
2Rdsd2Rdsd
sd
=ρ
=⇒=⋅
=⋅=
=⇒≈=
=
1.08.0
cm94.21300024.0
79.02b
Ams
wmin
min,swpot,w =
⋅⋅
=⋅ρ
⋅≤
Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):
3.3
244.4217.1
62.6
230.8
302.4
R =244.4 kN
V (kN)sd
M (kNm)sd
a
ac d
( )
Rda,sd
w
d,ywsw1Rdwd1RdRd
2d,yw
s
ykd,yw
VV
kN8.21720
739.087.2079.025.109
szfAm
VVVV
cmkN87.20MPa7.20815.1
240f
360240GA;f
f
>
=⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅+=+=
===
⇒γ
=
Odabrane spone ∅10/20. Ukupna nosivost betona i odabrane poprečne armature:
Dimenzioniranje na popreDimenzioniranje na popreččnu silu nu silu –– Primjer (nastavak)Primjer (nastavak)
( ) cm06.165.1094.244
739.087.2079.02VV
zfAms
1Rdsd
d,ywswpot,w =
−⋅⋅⋅⋅
=−
⋅⋅⋅≤
Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):244.4
217.1
62.6
V =217.8 kNRd
Odabrane spone ∅10/15.
1.0 7.0
8.0
30
73 80
7
s1A
Ø10/15 Ø10/20
Dimenzioniranje na moment torzijeDimenzioniranje na moment torzijeProračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke.
Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile.
t
t /2
Ak
Kontura u
Kontura uk
c
Uvjet nosivosti na moment torzije:
Rdsd TT ≤
gdje je:Tsd – računski moment torzijeTRd – računska nosivost na torziju
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je:
Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅
=≤tgctg
tAf2TT kcd1Rdsd
- redukcijski faktor (fck u N/mm2)35.0200f7.07.0 ck ≥⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=ν′
gdje je:t=A/u – debljina stijenke zamjenjujućeg
šupljeg presjekaAk – površina unutar srednje konture
šupljeg presjeka u – opseg vanjske kontureA – ukupna površina presjekaTSd0 TRd1
Tsd
Proracun poprecnearmature
Nedopuštenopodrucje
TRd3TRd2
gdje je:Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku swAsl – površina svih uzdužnih šipkifyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature
Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:
wd,ywksw2RdSd s
ctgfAA2TT Θ⋅⋅⋅⋅=≤
8us k
w ≤
Dimenzioniranje na moment torzije Dimenzioniranje na moment torzije -- nastavaknastavak
Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:
kd,ylksl3RdSd u
tgfAA2TT Θ⋅⋅⋅⋅=≤
Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm.
Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe:
d,ylk
sld,yw
w
swk2Rd
d,ylk
sl
d,yw
w
sw2
fuAf
sAA2T
fuA
fsAtg
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=Θ
Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet:
zbf5.0V:uz;1VV
TT
wcd2Rd
2
2Rd
Sd2
1Rd
Sd ⋅⋅⋅ν′⋅=≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Dimenzioniranje na moment torzije Dimenzioniranje na moment torzije -- nastavaknastavak
Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira.Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje
izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne.
Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:
cd2Sd
2SdSd
2 f85.022
⋅≤τ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ σ−
σ=σ
Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile.
Uz:- Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom +
tbzMSd
Sd ⋅⋅=σ
- Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijomtA2
T
k
SdSd ⋅⋅
=τ
Dimenzioniranje na torziju Dimenzioniranje na torziju -- PrimjerPrimjer
Isti zadatak kao kod proračuna na poprečne sile, uz TSd=35.0 kNm
MPa34.0MPa0.30f
3730C
Rd
ck
=τ
=
30
73806
6
224 4
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kNcm8.110kNcm5.11080T45tg45ctg
91.1013190.2385.02tgctg
tAf2T
45
cm131991.108091.1030thtbA
cm91.10220
2400uAt
cm22080302hb2ucm24008030hbA
385.0200307.07.0
200f7.07.0
tgctgtAf2T
1Rd
kcd1Rd
2k
2
ck
kcd1Rd
==
=+
⋅⋅⋅⋅=
Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅
=
=Θ
=−⋅−=−⋅−=
===
=+⋅=+⋅==⋅=⋅=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=ν′
Θ+Θ⋅⋅⋅ν′⋅
=
oo
o
Dimenzioniranje na torziju Dimenzioniranje na torziju -- PrimjerPrimjer
Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2):
cm42.123500
187.20131979.02T
ctgfAA2s
sctgfAA2TT
Sd
d,ywkswpot,w
wd,ywksw2RdSd
=⋅⋅⋅⋅
=
Θ⋅⋅⋅⋅≤
Θ⋅⋅⋅⋅=≤
8Ø10 +Ø10/12
Odabrana poprečna armatura: ∅10/12.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
d,ylk
kSdsl
k
kd,ylksl2RdSd
cm38.5148.4313192
36.1763500tgfA2
uTA
cm36.17691.108091.10302thtb2uu
tgfAA2TT
=⋅⋅⋅
⋅=
Θ⋅⋅⋅⋅
=
=−+−⋅=−+−⋅=
Θ⋅⋅⋅⋅=≤
Uzdužna armatura:
Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2).
Dimenzioniranje na savijanje, torziju i popreDimenzioniranje na savijanje, torziju i popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer
2Ø14
Msd
"+"
Tsd
2Ø14
5Ø16
2Ø10
2Ø10
2Ø10
2Ø10
"="2Ø10
2Ø10
2Ø10
6Ø16
Ukupno
Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo:
Uzdužna armatura:
- U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije.-U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti.5∅16 (As=10.05 cm2); 2∅10 (As=1.57 cm2)6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10
Dimenzioniranje na savijanje, torziju i popreDimenzioniranje na savijanje, torziju i popreččnu silu nu silu -- PrimjerPrimjer
Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena, imamo:
Poprečna armatura:- Spone na prvih 1 m grede:
1.0 7.0
8.0
Ø10/15 Ø10/20 sdV
8.0Ø10/12 sdT
"+"
Ukupno
"="
1.0 7.0Ø10/6.5 Ø10/7.5
cm7.612151215
ssss
sT,wV,w
T,wV,wwt
=+⋅
=
=+⋅
≤
- Spone na ostalom dijelu grede:
cm5.712201220
ssss
sT,wV,w
T,wV,wwt
=+⋅
=
=+⋅
≤
- Kontrola zajedničkog djelovanja:
1204.08.7584.244
8.1100.35
kN8.758V7.0VkN1.1084V;kN4.244V
kNm8.110T;kNm0.35T
1VV
TT
222Rd2Rd
2RdSd
1RdSd
2
2Rd
Sd2
1Rd
Sd
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅=′==
==
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboja na proboj
cl
β
hdd 1
Kriticna površina
Kriticni presjek1.5 d 1.5 d
Kriticni presjek
cl1.5 d 1.5 d
b
a > b
1b /2
1b /2
1a /2 1a /2
1.5 d 1.5 d1.5 d
1.5 d
⎩⎨⎧
⋅≤
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅⋅≤
d8.2b
b;bd6.5
b2a
a 1
1
1
1.5 d
Stup pri rubu Stup u kutu
1.5 d
Uvjet nosivosti na proboj:
Rdsd vv ≤gdje je:vsd – računska poprečna sila po jedinici kritičnog opsegavRd – računska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega
Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj -- nastavaknastavak
cl
β
hdd 1
Kriticna površina
Kriticni presjek1.5 d 1.5 d
Kriticni presjek
cl1.5 d 1.5 d
Uvjet nosivosti na proboj:
cr
psdsd
Rdsd
uVv
vvβ
⋅=
≤
gdje je:Vsd – računska sila proboja od vanjskog opterećenjaucr – duljina kritičnog opsegaβp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir
ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritičan presjek
βp = 1.0 – za simetrično naprezane stupoveβp = 1.15 – za unutrašnje stupove
nesimetrično naprezanjeβp = 1.4 – za stupove na rubuβp = 1.5 – za stupove u kutu
β = 1.5
β = 1.0β = 1.15
β = 1.4 β = 1.0 β = 1.0
β = 1.4
β = 1.4 β = 1.4
Instalacijski šaht
Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj -- nastavaknastavak
Armatura za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet
( ) d402.1kvv lRd1Rdsd ⋅ρ⋅+⋅⋅τ=≤
gdje je:τRd – računska čvrstoća za djelovanje glavnih kosih naprezanjak – koeficijent visine presjeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne sile)d – srednja statička visina presjeka ploče ( = (dx+dy)/2)ρl – koeficijent armiranja ploče
%5.1%5.0; llylxl ≤ρ≤ρ⋅ρ=ρ
Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu:
∑ α⋅⋅+=≤
⋅=≤
crydsw1Rd3Rdsd
1Rd2Rdsd
usinfAvvv
v6.1vv – nosivost “tlačnih štapova” u ploči
– nosivost poprečne armature za osiguranje od proboja
Asw – ukupna poprečna armaturaα – kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče
Minimalna poprečna armatura proračunava se po izrazu:
( )∑ α−⋅ρ
=sin
AAA loadcritmin,w
min,swρw,min = 0.6 ρmin (ρmin – minimalni koef. armiranja na pop. sile)Acrit – površina unutar kritičnog presjekaAload – površina djelovanja opterećenja
Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj –– razmjerazmješštaj armaturetaj armature
cl1.5 d 1.5 d
< 0.5 d0.75 d
1.5 d≤
≈
cl1.5 d 1.5 d
α=90 α
Osiguranje vilicama Osiguranje kosim šipkama
Dimenzioniranje ploDimenzioniranje pločča na proboj a na proboj –– razmjerazmješštaj armaturetaj armature
Osiguranje posebnom ugradnom armaturom
GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda
Proračun po teoriji II reda mora se provesti za pojedinačne stupove i konstrukcije od vitkih elemenata pretežno naprezanih uzdužnom tlačnom silom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline prije otkazivanja nosivosti presjeka naprezanih na ekscentrični tlak.
U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati:- Krute sustave i elemente od onih koji to nisu,- Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sustave.
Kruti element ima veliku krutost na savijanje, upet je u temelj ili podrumsko ziđe (npr. armirano-betonski zid). Kruti sustav sadrži jedan ili više krutih elemenata u oba smjera.
Horizontalno nepomični sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet:
6.0IE
Fh4nza
n1.02.0IE
Fh3nza
ccm
vtot
ccm
vtot
≤⋅
⋅>
⋅+≤⋅
⋅≤
gdje je:htot – ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruman – broj katovaFv – suma ukupnog vertikalnog opterećenjaEcm Ic – suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata
Horizontalno pridržani sustavi proračunavaju se tako da sve horizontalne sile prihvaćaju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stupovi), ovisno o vitkosti, proračunavaju prema teoriji I, odnosno II reda, uključujući inperfekciju i puzanje betona. Često se pri tome koriste pojednostavljene metode.
GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda
F
H
h
F
H ∆v∆u
hHM
FNIsd
Isd
⋅=
=
Rezne računske sile po teoriji I reda:
( ) uFvhHM
FNIIsd
IIsd
∆⋅+∆−⋅=
=
Rezne računske sile po teoriji II reda:
( ) ( ) hHMvhHuFvhHM Isd
IIsd ⋅=<∆−⋅=∆⋅+∆−⋅=
1. SLUČAJ: Nema uzdužne sile ili je zanemariva (F ≈ 0.0)
( ) Isd
IIsd MhHuFvhHM =⋅≈∆⋅+∆−⋅=
2. SLUČAJ: Sustav nije vitak (∆u ≈ ∆v ≈ 0.0)
( ) hHMuFvhHM Isd
IIsd ⋅=>∆⋅+∆−⋅=
3. SLUČAJ: Sustav je vitak (∆u >> ∆v ≠ 0.0)
Mjera vitkosti – parametar izvijanja λ
AIl
il 00 ==λ
GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda
Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami.
Dužina izvijanja se općenito može izraziti:
Za korištenje nomograma treba općenito izračunati kA i kB, te očitati vrijednost β iz nomograma.
Za upete čvorove je:kA = kB = 0
a za slobodni vrh (vrh konzole):kA = ∞
Za ostale slučajeve:
pri čemu indeks “col” označava stupove (columns), a indeks “b” grede (beams).
α – koeficijent oslanjanja suprotnog kraja grede; α=1.0 – kraj upet, α=0.5 zglob; α=0.0 konzola
( )
b
bcm
col
colcm
BA IEl
E
k ilik
l
l
∑
∑
⋅α⋅
⋅
=
col0 ll ⋅β=
GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda
Mjera izvijanja je tzv. parametar vitkosti “λ” pojedinog tlačnog elementa. Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami.
Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet:
010202
01crit
00 ee;ee225
AIl
il
≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=λ≤==λ
gdje su e01 i e02 ekscentriciteti uzdužne tlačne sile na krajevima elementa.
Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkost ne smije prelaziti graničnu λlim=140.
Približni postupak koji predlaže EC-2, a koji vrijedi za elemente konstantnog presjeka i armature, pronalazi se ukupni ekscentricitet za koji se izračuna povećani moment savijanja dok odgovarajuća uzdužna sila ostaje nepromijenjena. Ukupni ekscentricitet, bez utjecaja puzanja, bit će:
2a0tot eeee ++=
gdje je:ea – ekscentricitet zbog imperfekcije
e0 – ekscentricitet po teoriji I reda
e2 – dodatni ekscentricitet po teoriji II reda
htot – ukupna visina građevinel0 – dužina izvijanja stupalcol – stvarna dužina stupaβ – koeficijent izvijanja (iz nomograma)
( )nomogramill2le col00
1a ⋅β=⋅ν=
2001
4001
h1001
min
minmintot
1
=ν
=νν≥⋅
=ν (Pridržani sustavi)
(Nepridržanisustavi)
sd
sd0 N
Me =
Nsd
e0
Nsd
Nsd
e02
Nsd
e01
Nsd
e02
Nsd
e01
GraniGraniččno stanje ravnoteno stanje ravnotežže na deformiranom sustavu e na deformiranom sustavu –– Teorija II redaTeorija II reda
Ekscentricitet nastao zbog deformiranja sustava (dodatni ekscentricitet po teoriji II reda) može se izračunati po izrazu:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅=r1lK1.0e 2
012
gdje je:
totIsd
IIsd
Isd
IIsd
eNM
NN
⋅=
=
d9.0K2
r1 yd
2 ⋅
ε⋅=
0.1K,35za;75.020
K 11 =>λ−λ
= - Korekcijski faktor
1K2 ≤ - Koeficijent kojim se uzima u obzir zakrivljenost
s
ydyd E
f=ε - Računska deformacija u čeliku koja odgovara računskoj granici popuštanja
Rezne računske sile na deformiranom sustavu bit će:
Teorija II reda Teorija II reda -- primjerprimjer
Potrebno je proračunati i dimenzionirati stup dimenzija prema slici. Materijal C 25/30 i B500B.
kN54N;kN36MkN170N;kN150N
QG
QG
==
==
- Rezne sile pri dnu stupa
MPa8.43415.1500fB500BMPa6.165.125f3025C
yd
cd
==⇒
==⇒
- Računske čvrstoće
- Koeficijent izvijanja
crit
0202
01crit
0
col0
50e0225
ee225
7840289.0
900il
cm9004502l2l
λ>λ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=λ
=⋅
==λ
=⋅=⋅=
- Potreban proračun na deformiranom sustavu!
F
H4.
5 m
4030
s1A
s2A
35
Teorija II reda Teorija II reda -- primjerprimjer
- Ekscentricitet po teoriji I redaF
H4.
5 m
4030
s1A
s2A
35
- Ekscentricitet zbog imperfekcije
- Dodatni ekscentricitet po teoriji II reda
m0112.01038.10.90.11.0r1lK1.0e
1038.1359.0
02174.00.12d9.0
K2r1
02174.00.200000
8.434Ef
0.1K
0.1K,35za;75.020
K
322012
3yd2
s
ydyd
2
11
=⋅⋅⋅⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅
ε⋅=
===ε
=
=>λ−λ
=
−
−
m283.05.4576.129
N5.1N35.1M5.1M35.1
NMe
QG
QG
sd
sd0 ==
⋅+⋅⋅+⋅
==
m0225.020.9005.0
2le
005.0
005.0200
1
0047.05.4100
1h100
1
01a
1min1
min
tot1
=⋅=⋅ν=
=ν⇒ν<ν
==ν
=⋅
=⋅
=ν
Teorija II reda Teorija II reda -- primjerprimjer
- Ukupne sile po teoriji I redaF
H4.
5 m
4030
s1A
s2A
35- Ukupni ekscentricitet
kNm6.129M5.1M35.1M
kN5.457N5.1N35.1N
QGIsd
QGIsd
=⋅+⋅=
=⋅+⋅=
m3167.00112.00225.0283.0eeee 2a0tot =++=++=
- Ukupne sile po teoriji II reda
kNm9.1443167.05.457eNM
kN5.457NN
totIsd
IIsd
Isd
IIsd
=⋅=⋅=
==
- Odnos momenata
12.16.1299.144
MM
Isd
IIsd ==
GraniGraniččno stanje naprezanjano stanje naprezanja
Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to:
U Betonu:- Pod rijetkom kombinacijom opterećenja
- Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenjackc f6.0≤σ
ckc f45.0≤σ
U Čeliku:- Pod rijetkom kombinacijom opterećenja
- Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)
- U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja
yks f8.0≤σ
yks f0.1≤σ
pkp f75.0≤σ
Ograničenjem naprezanja spriječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona.
Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.
MPa25.112545.0f45.0MPa0.12
30MB3025C
ckc
30MB,rub,dop
=⋅==σ
=σ−⇔
−
GraniGraniččno stanje pukotinano stanje pukotina
Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona.
Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za ab konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm.
Minimalna armaturaArmiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja
barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja).
Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati:
- Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),- Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).
Minimalna armatura može se izračunati po izrazu:
s
cteff,ctcmin,s
AfkkAσ
⋅⋅⋅=gdje je:
kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)
k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotineσs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine
GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavak
Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost.
Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.
Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici:
Konstrukcijski sustavJače
napregnut beton
Slabije napregnut
beton
1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju) 18 25
2. Krajnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice 23 32
3. Unutarnji raspon kont. nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera a koja nastavlja se 25 35
4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu) 21 30
5. Konzole 7 10
Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici:
Maksimalni razmak šipki (mm)Naprezanje u armaturi(MPa)
Maksimalni promjer šipkeφ (mm) Savijanje Vlak
160200240280320360
322520161210
30025020015010050
20015012575--
GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavakŠirina pukotine se uspoređuje s graničnom vrijednošću:
gk ww ≤
gdje je:β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno
opterećenje)srm – srednji razmak pukotinaεsm – srednja deformacija armature
Računska širina pukotine može se prognozirati pomoću izraza:
smrmk sw ε⋅⋅β=
Srednja deformacija armature određuje se po izrazu:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσ
⋅β⋅β−⋅σ
=ζ⋅σ
=ε2
s
sr21
s
s
s
ssm 1
EEgdje je:
ζ – koeficijent raspodjele
σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine
σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine
β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)
β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja(β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)
s
sd
s
sds
A3xd
MAz
M
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≈⋅
=σ
6hbfM;
AzM 2
ctmcrs
crsr
⋅⋅=
⋅=σ
GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- nastavaknastavakSrednji razmak pukotina određuje se po izrazu:
[ ]mmkk25.050sr
21rm ρφ
⋅⋅⋅+=
gdje je:φ – promjer šipke u mm
ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturomk1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona
(k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura)k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija
(k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka
eff,c
sr A
A=ρ
h
b
dd 1 2.
5 d 1
Grede
Ac,eff
Ploce
Težištearmature
d 1h d
c Manja vrijednost od2.5 (c+φ/2) ili(h-x)/3
Ac,eff
GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- primjerprimjerPotrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu.
gsmrmk wsw ≤ε⋅⋅β=
7.1=β
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσ
⋅β⋅β−⋅σ
=ζ⋅σ
=ε2
s
sr21
s
s
s
ssm 1
EE
cm50.803.671.54030211
3003.671.5
Andb211
bAnx
1S
1S =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
++−⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
++−⋅⋅
=
MPa9.195cmkN59.19
03.635.840
4390
A3xd
MAz
M2
s
sd
s
sds ==
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≈⋅
=σ
- odnos računske i srednje širine pukotina
Proračun srednje deformacije armature:
d =
41 b=30 cm
h=44
cm
d=40
cm
A =3Ø16s1
A =3Ø12s2 x
d =
42
sdM =43.90 kNm
( )
( ) ( )
MPa2.151cmkN12.15
03.6409.03388
03.635.840
3388
A3xd
MAz
M
kNm88.33kNcm0.33886443035.0M
MPa5.30.403.0f3.0f
MPa0.40f;f3.0f;6hbfM;
AzM
2
s
cr
s
crsr
2
cr
3232ckctm
ck32
ckctm
2
ctmcrs
crsr
==⋅⋅
=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≈⋅
=σ
==⋅
⋅=
=⋅=⋅=
=⋅≈⋅
⋅=⋅
=σ
GraniGraniččno stanje pukotina no stanje pukotina -- primjerprimjer
Proračun srednjeg razmaka pukotina:
5.00.1
kPa0.200000000GPa0.200E
2
1
s
=β=β
==
32
2
s
sr21
s
ssm
10688.09.1952.1515.00.11
0.2000009.195
1E
−⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⋅
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσ
⋅β⋅β−⋅σ
=ε
- modul elastičnosti armature- Rebrasta armatura- Dugotrajno opterećenje
[ ]mmkk25.050sr
21rm ρφ
⋅⋅⋅+=
5.0k8.0kmm16
2
1
=
==φ - Promjer najdeblje šipke
- Rebrasta armatura- Savijanje
0201.01030
03.6AA
eff,c
sr =
⋅==ρ - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom
4 =2.5
*d
=10
cm1
d 1
b=30
mm6.1290201.0165.08.025.050kk25.050s
r21rm =⋅⋅⋅+=
ρφ
⋅⋅⋅+=
mm3.0wmm151.06.12910688.07.1sw g3
smrmk =<=⋅⋅⋅=ε⋅⋅β= −
( )
mm3.0wmm166.0w
100.40.807.1955.315.351.1
cm10dAhh11w
cm803
4302n
cb2A
cm50.3550.80.44xhhcm50.3150.80.40xdh
gmax
53
63S
1
2max
2
a
2
1
=<=
×⋅⋅⋅⋅
=×××σ××=
=⋅⋅
=⋅⋅
=
=−=−==−=−=
−
−
Po Gergely-Lutzu:
GraniGraniččno stanje deformiranjano stanje deformiranja
Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba.
Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici:
δ0= nadvišenje
δ1= progib za kratkotrajno opterećenje
δ2= progib od vremenskih efekata
δmax= maksimalni (ukupni) progib
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici.
Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti:
- Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 sfaktorom: 0.8;
- Za sve elemente, osim ravnih ploča,raspona preko 7 m, koji nose pregradnoziđe, s faktorom: 7/leff.
- Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.
Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora:
gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature.
Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti.
prov,s
req,syk
3s
3
AA
f
400f;250f⋅
=σ
=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog:
gk ff ≤
( ) III 1 α⋅ζ−+α⋅ζ=α
Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:
gdje je:α – općenita vrijednost deformiranja, a može biti progib, zakrivljenost, pomak i sl. ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina);
za neraspucali element ζ=0.0 αI, αII – odgovarajuće vrijednosti deformiranja za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali
element
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσ
⋅β⋅β−=ζ2
s
sr211
tot
2tot r
1lkf ⋅⋅=
Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu:
gdje je:k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi sljedeći list)l – raspon elementartot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu
rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanjarcsm – zakrivljenost zbog skupljanja
csmmtot r1
r1
r1
+=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima:
Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II:
gdje je:I1 – moment tromosti presjeka u stanju I
(neraspucalo stanje)
( )IIIm r11
r1
r1
⋅ζ−+⋅ζ=
Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:
1eff,c
Sd
I IEM
r1
⋅=
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]MPaf;MPaf3.0f
MPaf;MPa8f9500E
ck32
ckm,ct
ck3
ckcm
⋅≈
+⋅=
A nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja iz norme:
( )0
cmeff,c t,t0.1
EE∞ϕ+
=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu:
Zakrivljenost za stanje naprezanja II:
gdje je:yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje IIεs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu:
IIg
1s
II ydr1
−ε
=
1s
sds
s
s1s Az
M;E ⋅
=σσ
=ε
( ) 32ckm,ct
2
m,ctcr f3.0f;6hbfM ⋅≈
⋅⋅=
Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele ζ uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju.
Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:
II
IIecs
II,cslI
Iecs
I,csl IS
r1;
IS
r1 ⋅α⋅ε
=⋅α⋅ε
= ∞∞
gdje je:SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:
( ) ( )∞==α==α t zaEE;0t za
EE
eff,c
se
cm
se
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Jedan jednostavan, a za praksu dovoljno točan način izračunavanja progiba armirano betonskih elemenata, je postupak po Bransonu (ACI) propisi.
MA MB
Ml
MA MB
Ml
MK
MK
F
F
q
q
l
l
Kontinuirani nosači:Raspodijeljeno opterećenje
Koncentrirana sila:
( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
′⋅⋅= BAI
kc
2
k MM101M
IEl
485f
[ ]BAIkc
2
k MMM4IE
l481f ++⋅
′⋅⋅=
Konzole:Raspodijeljeno opterećenje
Koncentrirana sila:
kc
2K
k IElM
41f
′⋅⋅
⋅=
kc
2K
k IElM
31f
′⋅⋅
⋅=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- nastavaknastavak
Bransonov postupak uključuje izračunavanje efektivnog momenta tromosti presjeka prema izrazu:( )'
B,k'
A,k'
l,k'k II15.0I7.0I +⋅+⋅=
gdje je:I’k – efektivni moment tromosti gredeI’k,l – efektivni moment tromosti grede u poljuI’k,A – efektivni moment tromosti grede na lijevom ležaju (ležaj A)I’k,B – efektivni moment tromosti grede na desnom ležaju (ležaj B)
( ) MM
-1 IIII2
ik,
bp'i,idi,idi,id
'i,k ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
Efektivni moment tromosti u svakom presjeku računa se prema izrazu:
gdje je:Iid,i – idealni moment tromosti ne raspucalog betonskog presjeka i n-struke armature u presjeku “i”I’id,i – moment tromosti raspucalog betonskog presjeka i n-struke armature u presjeku “i”Mk,i – računski moment u presjeku “i”Mbp – moment nosivosti betonskog presjeka prije pojave prve pukotine
( ) 32ckctm
2
ctmbp f3.0f;6hbfM ⋅≈
⋅⋅=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer
Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu.
M = 0 kNmA
M = 57.5 kNmB
M = 43.9 kNml
q
l=460 cm
Granični progib:
Beton: C 40/50; fck=40.0 MPaEc=35.0 GPa
Čelik: B500B; Es=200.0 GPa
cm 84.1250460
250lfg ===
4d 1
b=30
h=44
cm
40
A =2Ø16s1
A =2Ø12s2
4d 2 As1 = 2∅16 =4.02 cm2
As2 = 2∅12 =2.26 cm2
Presjek na lijevom ležaju:
( ) ( ) MPa5.30.403.0f3.0f 3232ckctm =⋅=⋅=
71.50.350.200
EEn
c
s ===
A,id'
A,id
4
223
2
12s
2
21s
3
A,id
IIcm3.2245783.116180.212960
42
4426,242
4402.471.512
4430
d2hAd
2hAn
12bhI
=
=+
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer
As1 = 3∅16 =6.03 cm2
As2 = 2∅12 =2.26 cm2
Presjek u polju:4d 1
b=30
h=44
cm
40
A =3Ø16s1
A =3Ø12s2 x
4d 2
4
223
2
12s
2
21s
3
l,id
cm8.2282968.153360.212960
42
4426.242
4403.671.512
4430
d2hAd
2hAn
12bhI
=+=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+=
cm50.803.671.54030211
3003.671.5
nAbd211
bAnx
1s
1s =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
++−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
⋅=
( )
4
2223
2
12s
2
21s
23'
l,id
cm 1.972138.153363.81876
42
4426.242
4403.671.52
50.84450.83012
50.830
d2hAd
2hAn
2xhbx
12bxI
=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅+⋅
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅+=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjerPresjek u polju:
( )
( ) ( )
kNcm4390kNm9.43M
kNm88.33kNcm0.33886443035.0M
MPa5.30.403.0f3.0f
MPa0.40f;f3.0f;6hbfM
l,k
2
bp
3232ckctm
ck32
ckctm
2
ctmbp
==
==⋅
⋅=
=⋅=⋅=
=⋅≈⋅
⋅=
As1 = 3∅16 =6.03 cm2
As2 = 2∅12 =2.26 cm2
4d 1
b=30
h=44
cm
40
A =3Ø16s1
A =3Ø12s2 x
4d 2
( )
( ) cm 175287.1 43.9033.88-1 97213.1-228296.8-8.282962
MM
-1 IIII
42
2
lk,
bp'l,idl,idl,id
'l,k
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer
As1 = 2∅16 = 4.02 cm2
As2 = 2∅16 + 2∅12= 6.28 =2.26 cm2
Presjek na desnom ležaju:4d 1
b=30
h=44
cm
40
A =2Ø16s1
A =2Ø16+2Ø12s2
x
4d 2
4
223
2
12s
2
21s
3
B,id
cm4.2320154.190550.212960
42
4402.442
4428.671.512
4430
d2hAd
2hAn
12bhI
=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+
⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+=
cm66.828.671.54030211
3028.671.5
nAbd211
bAnx
1s
1s =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅
++−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
⋅=
( )
4
2223
2
12s
2
21s
23'
B,id
cm 1.1017964.190557.82740
42
4402.442
4428.671.52
66.84466.83012
66.830
d2hAd
2hAn
2xhbx
12bxI
=+=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⋅+⋅
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅+=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer
Presjek na desnom ležaju:4d 1
b=30
h=44
cm
40
A =2Ø16s1
A =2Ø16+2Ø12s2
x
4d 2
( )
( ) ( )
kNcm5750kNm57.5M
kNm88.33kNcm0.33886443035.0M
MPa5.30.403.0f3.0f
MPa0.40f;f3.0f;6hbfM
l,k
2
bp
3232ckctm
ck32
ckctm
2
ctmbp
==
==⋅
⋅=
=⋅=⋅=
=⋅≈⋅
⋅=
As1 = 2∅16 = 4.02 cm2
As2 = 2∅16 + 2∅12= 6.28 =2.26 cm2
( )
( ) cm 147005.3 57.5033.88-1 101796.1-4.320152-4.320152
MM
-1 IIII
42
2
Bk,
bp'B,idB,idB,id
'B,k
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
GraniGraniččno stanje deformiranja no stanje deformiranja -- primjerprimjer
( ) 4'B,k
'A,k
'l,k
'k cm5.178438)3.1470053.224578(15.01.1752877.0II15.0I7.0I =+⋅+⋅=+⋅+⋅=
( ) ( ) cm175.0575001014390
5.1784383500460
485MM
101M
IEl
485f
2
BAIkc
2
k =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++
′⋅⋅=
Ukupna reducirana krutost:
Kratkotrajni progib:
68.003.626.245.085.0
AA45.085.0k
cm175.0ff
fkffff
1s
2sr
kg,k
g,krd
dku
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−=
=≈
⋅ϕ⋅=
+=
cm84.1fcm50.0321.0175.0fff
cm321.0175.07.268.0fkf
gdku
g,krd
=<=+=+=
=⋅⋅=⋅ϕ⋅=
Za dugotrajne utjecaje:
ϕ ≈ 2.7 – koeficijent puzanja (iz tablica)