Akiskanlar+Mekanigi+Ders+notlari+Dr+Selman+Nas.pdf

Akkanlar Mekanii/Aerodinamik Ders Notlar Dr. Selman Nas

Bitirme devi kapsamnda kendi ders notlarmdan derlenmitir. 1

1. GR

Gerek ak problemlerini zmek bilgisayarlarn ortaya kmasndan evvel olduka

zor, hatta imkanszd. Son zamanlarda bilgisayar teknolojisindeki gelimeler bunu bir

nebze mmkn klmtr. Gerek ak problemlerinin belirli bir yaklaklkla zm

olay hakknda bir fikir elde etmek bakmndan nemlidir. Ak problemlerini yaklak

olarak zmek iin kullanlan kabullerden biri de viskoz olmayan ak kabuldr.

Viskoz etkilerin cisim yzeyine yakn blgede nemli olmas ve snr tabaka denilen bu

blgenin ok ince bir blge olmas neticesinde elde edilen sonular bu blge dnda

olduka doru deerler verecektir. Gerek problem hakknda ou zaman %90

mertebesinde doru fikir edinmek bu metodla mmmkndr. Dier bir yaklam ise

akkann ktrlamaz olmasdr. Genelde svlarn aknda bu yaklam olduka

dorudur. Hava gibi sktrlabilir gazlarn hareketinde ise, Mach saysnn dk

deerleri iin skamaz akkan kabul yaplabilir.

Bu durumda viskoz olmayan skamaz akmn hareketini incelemek mmkn olabilir.

nc boyuttaki etkilerin ihmal edildii durumlarda, akm alan iki boyutta

incelenebilir. Byle bir alma sonunda mesela, kanat etrafndaki akm iin tama

katsaysn tahmin etmek mmkndr.



FORMLASYON VE TANIMLAR

2.1 Akm izgileri

Bir akkan taneciinin hz vektrne teet olan eri ailesidir. Hz vektrnn yn ve

iddeti zamanla deitii iin akm izgilerinin yn de zamanla deiebilir. Akm

zelliklerinin zamanla deimedii daimi akmlarda akm izgileri ve yrngeler

zdetir.

V , akkan paracnn hz vektr ve

dr ise akm izgisine teet dorultudaki

diferansiyel elemann uzunluu olmak zere;

++= k w j v iu V (2.1)

++= k dz jdy idx dr (2.2)

eklinde yazlabilir.

Eger hz vektryle akm izgisi ayn ynde ise (paralel iseler) 2.1 ve 2.2 formullerinin

skaler arpmnn sonucunun sfr olaca aktr. Yani,

0 dr V dr // V = . (2.3)

)t,r(V

dr

ekil 2.2

Akm izgisi

)t,r(V

ekil 2.1

)t,r(V



Ayn zamanda hz zamann da fonksiyonu olduundan hz,

)t,z,y,x(V V = (2.4)

eklinde ksaca ifade edebiliriz. (2.3) denklemini aacak olursak akm izgilerinin

deklemini

t)z,y,w(x,dz

)t,z,y,x(vdy

)t,z,y,x(udx 0 dr V === (2.5)

eklinde elde edilebilir.

2.2 evri Vektr

evri akkan paracklarnn kendi eksenleri etrafnda dnmelerinin bir lsdr.

Hiz vektrnn rotosyeline evri vektr denir.

== VVrot (2.6)

eklinde ifade edilebilir. Burada hzla evri vektrnn birbirine dik olca aktr.

Asal hz ,

= Vrot

21 (2.7)

olarak tanmlandndan evri vektrn,

= 2 (2.8)

eklinde yazmak mmkndr.



++=

= kji

wvuzyx

kji

xyx (2.9)

Yukardaki ifadede yer alan bileenler srasyla,

xxx w2)t,z,y,x(zv

xw ==

=

yyy w2)t,z,y,x(xw

zu ==

=

zzz w2)t,z,y,x(yu

xv ==

=

olarak verilir.

Dzlemsel harekette,

)t,z,y,x(uu = , )t,z,y,x(vv = , w=0

olmasndan dolay

0,0 ZYX == ifadesine varlr.

Yani, evri vektrnn sadece z ynndeki bileeni sfrdan farkldr.

2.3 evri izgileri

Bir t anndaki evri vektrlerine teet olan erilere evri izgileri denir. Akm

izgileri ve evri izgileri birbiri ne diktir.



Eer evri izgileriyle evri vektrleri ayn ynl ise (yani paralel ise) skaler

arpmlarnn sfr olmas gerektiinden,

0 dr dr // = (2.10)

sonucu elde edilir. Buradan hareketle evri izgilerinin denklemi

t)z,y,(x,

dz )t,z,y,x(

dy )t,z,y,x(

dx

zyx

=

=

(2.11)

olarak elde edilebilir.

2.4 Dolam (Sirklasyon)

Kapal bir C erisi boyunca sirklasyon,

evri izgisi

)t,r(V

ekil 2.3

dr

V

dl

C

ekil 2.4



= dlVC

(2.12)

formlyle tanmlanr. dl kapal eri zerinde diferansiyel uzunluk vektrdr.

2.5 Kelvin teoremi

Younluun sabit kald veya sadece basnca bal olduu mkemmel bir akta

dolam (sirklasyon ) sabit kalr. Yani,

0DtD = (2.13)

dolamn zamana gre trevi sfrdr. Kelvin teoreminden hareketle balangta

potansiyel olan bir akm daima potansiyel kalr. Srtnmesiz ve izentropik akmda evri

ortaya kmaz. nk, tm akmlarn durma halinden veya dz akm halinden balad

dnlrse, bu akmlarn balang siklasyonu sfrdr ve sfr kalr.

2.6 Korunum Denklemleri

2.6.1 Ktlenin korunumu

Bir akkan hareketinde seilen, bir kontrol hacminde birim zamanda biriken ktle

miktar,

kangirenbiriken mmm = (2.14)

eklinde ifade edilebilir. Eer hareket daimi ve skamaz ise,

0mbiriken = (2.15)

olacaktr. Bunun sonucunda,



kangiren mm = (2.16)

eklinde ifade edebiliriz. (3.3) formln aacak olursak,

0y

)v(x

)u(t

=+

+ (2.17)

(3.4) denklemini elde edebiliriz. Burada younluk , u ve v kartezyen koordinatlardaki hz bilienleridir. (3.4) formln,

0yv

xu

yv

xu

t=

++

++

(2.18)

eklinde yazabiliriz. (3.5) denklemini ise,

0VdivDtD =+ (2.19)

olarak ksaca ifade etmek mmkndr.

Skamaz akkan demek, younluun toplam trevinin sfr olmas, yani akkan

tanecii takip edildiinde younluun deimemesi demektir. Dolaysyla

0DtD = (2.20)

olur. (3.6) denkleminin sonucu olarak,

0V. = (2.21)

elde edilir. Bu denklemde 0 olacandan,

0V. = (2.22)



elde edilir. Ve sreklik denklemi ad verilir.

2.6.3 Momentumun korunumu

Akm alannda basnla hzlar arasndaki ilikiyi newtonun ikinci kanunu, yani

hareketin korunumu kanunu yardmyla elde edebiliriz.

Daimi akmda, bir kontrol hacmi alp bu kontrol hacminin yzeyleri arasndaki

momentumun birim zamanda deiimini incelersek,

Momentum aks (ieri- dar)x +fx = momentumun x deiimi (2.23)

(3.4) formln aacak olursak en genel halde,

++= VfpDtVD 2 (2.24)

momentumun korunumu denklemini elde edebiliriz. Burada fx, birim ktleye etkiyen

hacim kuvveti, ise viskozite katsaysdr.

2.6.3 Enerjinin Korunumu

Bir akm alannda alnan kontrol hacminin enerji miktarnn zamanla deiimini,

Enerji aks(ieri-dar)+q (ieri-dar) +

w (ieri-dar) = (2.25)

eklinde ifade etmek mmkndr. Bu ifade de q kontrol hacmine birim zamanda giren

s miktarn, w ise kontrol hacmine giren akkann birim zaman da yapm olduu ii

ifade eder. Bu denklemi aacak olursak enerji denklemini,

++= TkDtDp

DtDh 2 (2.26)

enerji miktarnn zamanla deiimi



eklinde yazabiliriz. Burada h, entalpi, T ise scaklktr. ise disipasyon terimidir. Mekanik enerjinin s enerjisine dnmn ifade eder.

2.7 Skamaz mkemmel akkan hareketi

Skamaz mkemmel akkan hareketini viskoz etkilerin sfr olduu ve younluun

sabit olduu akmlarda yapabiliriz. Yani,

0DtD , 0 ==

kabulleriyle korunum denklemlerini zerek skmaz mkemmel akkan

inceleyebiliriz. Bu kabullerle sreklilik denklemi,

0V. =

ve momentum denklemi,

+= fpDtVD

1 (2.27)

olarak yazlabilir. Bu denklemleri verilen snr artlar iin zersek (saysal olarak)

ilgili hz alann ve basn dalmn buluruz. Bu ifadede evri vektr,

0veya0 =

olabilir.

2.8 Potansiyel (evirisiz) Hareket

Kelvin teoremine gre balangta potansiyel olan bir ak daima potansiyel kalr. Her

akm alan dz bir ak alanndan veya duran bir aktan baladna gre, bu hallerde

evri vektr sfrdr. Dolaysyla sonraki zamanlarda evri vektr,



0=

olacaktr.

=Vr

olarak kabul edelim. Burada potansiyel fonksiyondur.

Vxr=

olduu iin,

0

zyx

zyx

kji

)(x =

=

r (2.28)

olarak yazabiliriz. Vr

hz vektrnn bu seimi evirisiz hareketi otomatik olarak

salar.

z ,

yv ,

xu

==

= (2.29)

bu kabullerimizi sreklilik denklemin de yerine koyalm

denklemi) (Laplace 00zyx

22

2

2

2

2

2

==+

+ (2.30)

elde ederiz.Laplace denkleminin verilen snr artlar iin zm hzlar alann verir.

Bu hz alann kullanarak Momentum denklemi yardmyla basn dalmn buluruz.



2.9 Akm Fonksiyonu Skamaz ak ve dzlemsel hareket kabulu ile u ve v hzlarnn aadaki gibi kabul

sreklilik denklemini salar.

xv,

yu

== (2.31)

bu kabul sreklilik denkleminde yerine yazarsak,

0yv

xu =

+ (sreklilik denklemi)

0yxyx

22

=

(2.32)

elde edilir. Burada akm fonksiyonudur. Ve sabit)z,y,x( == erileri belirli bir t anndaki akm izgileri denklemini verir. Potansiyel akmda nc byuttaki

sirklasyon sfr olacandan dolay,

0yu

xv

z =

= (2.33)

denklemde yerine yazarak,

0)yx

()y

(y

)x

(x 2

2

2

2

z =+

=

=

02 = (2.34)

eklinde ifade edebiliriz. Ve potansiyel fonksiyonla birletirirsek,



r

(2.35)

olarak yazmak mmkndr. ki boyutlu harekette bir t anndaki akmda Laplace

denklemi lineer bir denklemdir. Bu yzden akm veya potansiyel fonksiyonlarnn

zmleri toplanabilir.

syon)(sperpozi 0)( 0

02

21

221

2

22

12

+==+=

= (2.36)

2.10 Silindirik koordinatlarda akm fonksiyonu:

qr : silindirik koordinatlarda hz olarak verilirse, teetsel ve radyal yndeki hz bileenlerinin ekindeki gibi seimi

=

r1q r (2.37)

rq

= (2.38)

sreklilik denklemi kendiliinden salanr.

q y

x

qr

ki ve boyutta geerli

Sadece iki boyutta geerli

022 ==

ekil 2.5



Sreklilik denklemi: 0q = r olarak verildiinden

0q

r1)rq(

rr1q div r =

+= r (2.39)

eklinde yazlabilir.

2.11 Silindirik Koordinatlarda Potansiyel Hareket

=q (2.40)

= r

1q (2.41)

rq r

= (2.42)

Teetsel ve radyal hz bileenleri yukardaki gibi seilirse 0= olma art kendiliinden salanm olur.

Silindirik koordinatlarda,

+

= er1e

rr (2.43)

eklinde verilir. Laplace denkleminin zm, verilen snr artlar iin nmerik olarak

zm mmkn olsada, her problem iin yeniden yazlmaldr. Bir baka yntem ise

laplace denklemini salayan analitik fonksiyonlarnn grafiini izmek ve akm izgilerinin pratikte anlam olan bir akm verip vermediini grmektir.



3. TEMEL 02 = ZMLER

Birok karmak akm 4 farkl akn toplam olarak elde edilebilir. Bunlar Dz akm,

Kaynak veya Kuyu, Duble ve Noktasal girdaptr.

3.1 DZ AKIM:

Dz akmn sadece x nnde olduunu varsayarsak (ekil 3.1)

u=U ( her yerde)

Yatay yndeki hz bileeni,

Uy

u ==

olarak verildiinden bu ifadeyi intere edersek,

)x(fUy += (3.1)

ifadesini elde ederiz. Ayn zamanda dey yndeki hzn da trevi akm fonksiyonunu

vereceinden,

C)x(f0)x(fx

v ' ====

Y =C1 =C2 =C3 U =C4 =C5 =C6 x ekil 3.1



(3.1) ifadesindeki f(x) fonksiyonun sabit bir deer (C) olduunu anlarz. Ve akm

fonksiyonunu,

CUy += (3.2)

eklinde yazmak mmkndr.

Potansiyel fonksiyonuda ayn ekilde,

Ux

u ==

olarak verildiinden

)x(fUx +=

intere ederek elde edilir. Dey hz bileenin trevide potansiyel fonksiyona eit

olduundan

C)x(f0)x(fy

v ' ====

CUx += (3.3)

olarak akm ve potansiyel fonksiyolar dz ak iin buluruz. Hz alan nin trevinden elde edildii iin Cnin deeri nemli deildir. Genelde bu sabit, durma

noktasndan (hzn tm bileenlerinin sfr olduu nokta) geen akm izgisi iin = 0 olacak ekilde eilir. Dz akta durma noktas yoktur.

x ve y yi kutupsal koordinatlarda yazacak olursak , dz akm iin akm ve potansiyel

fonsiyonlar,

Csinr UCy U +=+= (3.4)



Ccosr UC x U +=+= (3.5)

olarak yazlabilir.

3.2 Kaynak veya Kuyu

Kaynak akm bir noktadan radyal dogrultuda kan akm izgilerinin oluturduu

hayali bir akm eklidir (eki 3.3). Kaynak akmnn debisi sabit olup m ile belirtilirse,

akm alannda teetsel yndeki hz bileenin bulunmadn hatrlayarak,

= sbt ve =sbt erileri birbirine diktir.

0q =0q r

= sabit erileri

= sabit dorular

ekil 3.3 Mekezde kaynak akm

= sabit erileri

= sbt erileri

eki 3.2



r yarapnda ve birim derinlilikten birim zamanda geen debiyi yazarsak,

)1.r2(qdebim r == (3.6)

silindirik koordinatlada radyal yndeki hz akm fonksiyonu cinsinden,

== r

1r2

mq r

olarak verildiinden intere ederek,

)r(F2m += (3.7)

ayn zamanda akm fonksiyonu,

rq

= olarak tanmlandndan,

0)r(Fr

' ==

buradan F(r)nin sabit olduu sonucuna varrz. Ve kaynak iin akm fonksiyonunu,

C2m += (3.10)

eklinde ifade edilebilir. Burada m kaynak iddeti, C ise sabit bir saydr. Hz alalar

nin trevinden elde edildiinden deerinin ne olduunun nemi yoktur. Kaynak iin potansiyel fonksiyonu bulmaya alalm. Bunun iin radyal yndeki hz tanmndan

yararlanrsak,

3. boyutta birim uzunluk



rr2mq r

==

olarak yazlabilir. Ve intere edilerek,

)(Flnr 2m += (3.11)

bulunur. F()y bulmak iin teetsel hzn potansiyel tanmndan yararlanrsak,

=q

olarak tanmland iin

0)(F' ==

olacandan kaynak iin potansiyel fonksiyonu,

Clnr 2m += (3.12)

eklinde elde edilir.

0m > halinde (3.10) ve (3.12) formulleri balang noktasndaki kayna, 0m < olmas halinde balang noktasndaki kuyuyu temsil eden formllerdir.



3.3 DUBLE Balang noktasnda yer alan iddetindeki ve ekseni reel eksenle as yapm duble, bu eksen zerinde simetrik konumda yer alan eit iddetteki bir kaynakla, bir

kuyunun birbirine ok yaklatrlmas sretiyle elde edilebilir.

ma2= (3.13)

edilir. elde duble sonlu) ma2 (0a2

)kuyukanaklim(duble =

+=

= sabit dorular

0q = 0q r = sabit erileri

ekil 3.4 merkezde kuyu

ekil 3.5 merkeze a mesafedeki kaynak ve kuyu

x

m ( Kaynak )

-m ( kuyu )

y a

a



Duble iin akm ve potansiyel fonksiyonlar,

rsinycosx

2+

= (3.14)

rcosysinx

2

= (3.15)

olarak ifade edebilir.

3.4 VORTEKS (NOKTASAL GRDAP)

Balang noktasnda yer alan sabit sirklasyonlu bir noktasal girdabn oluturduu

akm alannda radyal hzlar sfr olup, akm igileri e merkezli dairelerden

ibarettir(ekil 3.7). Siklasyonun deeri ve saat ibrelerine zt yn pozitif olmak zere,

r2q =

y

x

ekil 3.6 merkezde yatay eksenle as yapm duble



(3.16)

ve buradan teetsel hz iin

r2rq

== (3.17)

yazmak mmkndr. Kaynak iin yaplana benzer ekilde polar koordinatlarda rq ve q

hz bileenlerini ve fonksiyaonlarna balayan bantlardan interal alarak

Crln2

+= (3.18)

C2

+= (3.20)

potansiyel ve akm fonksiyonunu elde edebiliriz.

Daire zerindeki birim dl uzunluunu,

== e.dse.d.rdl (3.21)

eklinde yazarsak, sirklasyonu,

x

y 0q r =0q

ekil 3.7 noktasal girdap



2 2

d 2

rd r2

rdqdlV

2

0CC

C

====== (3.22)

eklinde bulabiliriz. Demek ki kapal bir C erisi zerinde sirklasyon sabit

kalmaktadr.

Merkezi iine almayan herhangi bir eri zerinde hesaplanan dolam sfrdr. Bir ok

karmak akm, basit tekilliklerin ve dz akmn sperpozisyonu ile elde edilebilir.

rnek:

Girdap hareketinin girdap merkezi hari olmak zere neden evrisiz olduuna bakalm.

Birbirine dik akkan kolonlar dnelim.(ekil 3.9) dt zaman sonra bu kolonlar d1 pozisyonunda ekildeki gibi olacaklardr.

nce dey akkan kolonunu dnelim.

)dsdt.q(r.d rdt.q

d 11 === (3.23)

Cisim elde edilir

u

kaynaklar kuyular

ekil 3.8: Deiik akm alanlarnn birleimiyle cisim elde edilmesi

dr

d1

q

0 r

d1

ekil 3.9



dt rC

rdt

rCd 21 == (3.24)

Sonra yatay akkan kolonunu dnelim.

dt dr

dqddsdt.dqd.dr 21

=== (3.25)

0)rc

rc(

21)

dtd

dtd(

21w 22

21 ==+= (3.26)

Noktasal girdap hareketinde btn evri merkez noktasn da konsantre olmutur. O

noktas dnda akm evrisizdir. Oyu darda brakan C kapal erisi zerinde dolam

sfrdr. Bunu ekil 3.11 zerinde gsterelim.

ds= alan w=evri vektr

= ds.w2yzey

TT

O

1r

1C3C 2C

ekil 3.11

q + dqq

0r dr

d2



=== dr r2dl.q 1C 1C 1c 111

0C ==

rnein evrili ( potansiyel olmayan ) harekette yatay ve akkan stunlarn dt zaman

sonra incelersek, bu kolonlarn a ortaylarnn dndn grrz (ekil 3.12).

Buradan bu akkan hareketinde evrinin var olduu sonucuna varrz.

4. KOMPLEKS POTANSYEL VE KOMPLEKS ELENK HIZ

Bir analitik fonksiyonun reel ve imajiner ksmlar ayr ayr laplace denklemini salar. Bir potansiyel akm alannda potansiyel ve akm fonksiyonlar harmonik fonksiyon oldular ve

xyu

==

0)2.(r r2

2.r

r2

dl.qdl.q

33

22

CCT

1CT

1CC 3232

=+=

+=+++=

00

x

y

eksenler dnyor

0

yu

yu

xvw z

=

=

ekil 3.12



yxv

==

eklindeki Cauchy-Riemann artlarn saladklar bilinir. O halde bu iki fonksiyonu

)t,z(i)t,z()t,z(F += (4.1)

eklinde verilen bir analitik fonksiyonun reel ve imajiner ksmlar olarak yazmak

mmkndr. Bu analitik fonksiyon kompleks potansiyel olarak adlandrlr.

Kompleks potnasiyelin zye gre trevi x ynnden yaklarsak;

x i

xzF

+

= (4.2)

y ynnden yaklarsak;

y

yi

zF

+

= (4.3)

eklinde yazlabilir. Veya u ve v kartezyen koordinatlarda hz bileenleri olmak zere

xu

= , x

v = (4.3)

olduunu hatrlarsak

v iuzF)t,z(w == (4.4)

olarak yazlabilir. Bu son ifadedeki w, akm alannn herhangi bir noktasndaki u ve v

hz bileenlerinin

ivu )t,z(w = (4.5)



eklinde kompleks bir ifadenin elenii olup, kompleks elenik hz adn ad verilir. O

halde, herhangi bir F(z) analitik fonksiyonu bir potansiyel alan temsil eder.

Fonksiyonun z e gre trevi ise bu akm alan iindeki hzlar tanmlamaya yeterlidir.

Daha evvel grdmz temel zmlerin kompleks fonksiyonlarn elde edelim.

4.1 Dz Ak

x ekseni ile as yapan U hzndaki uniform paralel akm gz nne alalm. Reel ve imajiner eksenler dorultusundaki hz bileenleri u ve v olmak zere

yxu

== ,

xyv

==

bantlar yazlabilir. Dier taraftan kompleks potansiyelini,

)t,z(i)t,z()z(F +=

ekinde tanmland hatrlanrsa, hz bileenleri iin verilen bantlardan integre

edilerek ve deerleri bulunur ve kompleks fonksiyonda yerine yazlrsa,

)iyx)(ivu()vxuy(i)vyux()z(F +=++= (4.6)

U

U

y

x

uv

ekil 4.1: Dz akm



elde edilir. Bu bantdan da,

sinUvcosUuiyxz ==+= (4.7)

olduu hatrlanarak

= ie zU)t,z(F (4.8)

elde edilebilir. Komleks hz da trev alnarak,

= ieUw (4.9)

eklinde bulunur. nn eitli deerleri iin zel olarak reel ve imajiner eksene paralel akm tipleri elde edilebilir.

y

x

U

==

=

U)z(WzU)z(F

0

x

y

==

=

U)z(WzU)z(F

U

x

y

==

=

iU)z(WziU)z(F

2

U

ekil 4.2 Deiik ynde niform-paralel akmlar



4.2 Kaynak veya Kuyu:

a-) Merkezde

Kartezyen koordinatlarda akm ve potansiyel fonksiyonlar,

Clnr 2m +=

C2m +=

olarak elde etmitik. Bu iki fonksiyonu birletirerek kompleks potansiyel fonksiyonu

e rln2m)ir(ln

2m)t,z(i)t,z()z(F i=+=+= (4.10)

ve ayrca

= ie rz

olduunu hatrlarsak

zln2m)z(F = (4.11)

x

iy

m

qr

ekil 4.3: Merkezde kaynak



eklinde ifade edilir. Kompleks elenik hz da bu bantdan trev alnarak,

z2m)z(w = (4.12)

eklinde elde edilir.

b-) z = z0 da kaynak

z dzleminin balang noktas dndaki herhangi bir 0z noktasndaki bir kaynak veya

kuyunun yaratt akma ait komplex potansiyel fonksiyonu ve komplex elenik hz

yukardaki bantlardan bir eksen kaydrlmas yoluyla elde edilebilir. Bu amala

0z noktasn balang noktas kabul eden ve eksenleri z dzleminin eksenlerine paralel

olan yeni bir )iy,x(z 111 kompleks dzlemi gz nne alnrsa ( ekil 4.4 ), ele alnan

kaynak bu yeni dzlemin balang noktasnda yer aldndan, kompleks potansiyel

fonksiyonu kolaylkla

11 zln2m)z(F = (4.13)

eklinde yazabiliriz. Ayrca her iki dzlem arasnda

01 z-z z = (4.14)

bants yazlarak kompleks potansiyel

)zzln(2m)z(F 0= (4.15)

eklinde ve kopmlex elenik hz da, yine trev alnarak,

)zz(2m)z(w

0= (4.16)



eklinde bulunur.

Yukarda kartlan bu formller, 0m > halinde kayna, 0m < olmas halinde de kuyuyu temsil etmektedir.

4.3 Noktasal Girdap

Kartezyen koordinatlarda akm ve potansiyel fonksiyon iin

Cr += ln2

C+= 2

bantlar elde etmitik. Bu bantlar birletirerek kompleks potansiyel fonksiyonu

e ln2 )ln(

2),(),()( i r

iritzitzzF =+=+= (4.17)

ln2 )( zizF = (4.18)

x1

x

iy

ekil 4.4 Merkez dnda bir kaynak

m

iy1



eklinde elde edilir. Trev alarak kompleks elenik hz da

zizw 2 )( = (4.19)

eklinde buluruz.

z dzleminin herhangi bir z0 noktasndaki girdap (ekil 4.5), yine kaynak hareketine

benzer ekilde bir eksen kaydrrlmasyla

)ln(2 )( 0zzizF = (4.20)

eklinde ifade edilir. 0



4.4 Balang Noktasnda Duble

Daha ncede belirttiimiz gibi duble birbirne eit iddetteki kaynak ve kuyunun bir

birine ok yaklatrlmas ile elde ediliyordu. yle ki; ekil 4.7de grld gibi

srasyla

ii aeaez == + )(1 , iaez =2

noktalarnda yer alan m iddetindeki bir kaynakla, yine ayn iddetteki bir kuyu,

aralarndaki uzaklkla iddetlerinin arpm

ma2= (4.21)

eklinde dublenin iddetini verecek ve sabit kalacak ekilde tutulurken, bir birine

yaklatrlrlar, ve limitte 0a2 olduunda duble elde edilir. Bu amala kaynak ve kuyunun kompleks potaniyel fonksiyonlar

)ln(2

)ln(2

)( 11

iaezmzzmzF +== (4.22)

)ln(2

)ln(2

)( 22

iaezmzzmzF == (4.23)

eklinde yazlarak birletirilirse,

z2

z1

ekil 4.7: kaynak + kuyu akm

x

m ( Kaynak )

-m ( kuyu)

iy a

a

Duble ekseni



[ ])ln()ln(2

)()()( 21

ii aezaezmzFzFzF +=+= (4.24)

veya a2

m = yazlarak limit alnrsa

[ ]00)ln()ln(lim

4)(

02=+= a

aezaezmzFii

a

olduu grlr. Belirsizlii gidermek iin ifadenin pay ve paydasnn ayr ayr aya

gre trevleri alnarak Hospital kural uygulanrsa,

zeaez

eaeze

mzFii

i

i

i

a

21lim

4)(

02=

+= (4.25)

elde edilir. Kompleks elenik hzda trev alnarak,

ekil 4.8: Merkezde al duble



22w(z)

zei

= (4.26)

eklinde bulunur. nn eitli deerleri seilerek dublenin ekseni istenildii gibi dndrlebilir. rnein = 0 iin reel eksene paralel olan bir duble, = /2 iin imajiner eksene paralel bir duble elde edilir.

Herhangi bir z0 noktasnda yer alan dublenin (ekil 4.9) kompleks potansiyeli yine

eksen kaydrma yoluyla

)(2)(

0zzezFi

=

eklinde bulunabilir.

z0

x

iy

ekil 4.9 z0 noktasnda duble

Akiskanlar+Mekanigi+Ders+notlari+Dr+Selman+Nas.pdf

Documents

Transcript of Akiskanlar+Mekanigi+Ders+notlari+Dr+Selman+Nas.pdf